Nástin formální stavby kvantové mechaniky

Transkript

1 Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT

2 Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 = 3 3 = 9, (-3) 2 = (-3) (-3) = 9. Inverzní operace k druhé mocnině, tedy odmocnina, má smysl pouze pro nezáporná čísla. Např. 9 = 3, (-9) nemá smysl, protože neexistuje reálné číslo, jehož druhá mocnina je rovna -9. Z praktických důvodů se v matematice zavedl objekt, tzv. imaginární jednotka i, jehož druhá mocnina se definuje jako -. Platí tedy, že (-) = i. Pro imaginární jednotku i se definuje operace násobení reálným číslem. Výsledek je číslo ryze imaginární, např. 3i, -5i, 6.72i. Komplexní číslo se definuje jako uspořádaná dvojice čísla reálného a ryze imaginárního, zapisuje se jako a+bi. Na množině komplexních čísel se definuje operace sčítání, odčítání a násobení po složkách, tedy: 2/6

3 Komplexní čísla - pokračování Dělení komplexních čísel: Absolutní hodnota (velikost) komplexního čísla: 3/6

4 Vektorový prostor Množina prvků, na které je zavedena operace sčítání a násobení prvku číslem (v případě reálných čísel mluvíme o reálném vektorovém prostoru, v případě komplexních čísel o komplexním vektorovém prostoru). Prvky takové množiny nazýváme vektory. Součet dvou vektorů je opět vektor. Číselný násobek vektoru je opět vektor. Příklad: uspořádané dvojice reálných čísel (α,β). Operace sčítání dvou vektorů: Operace násobení vektoru číslem: Grafická reprezentace: prvky v rovině. Vektor z je lineární kombinací vektorů x a y, pokud existují čísla α, β taková, že Dimenze vektorového prostoru je rovna minimálnímu počtu vektorů takových, že všechny ostatní vektory lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. Existují vektorové prostory s konečnou i nekonečnou dimenzí. Výše uvedený vektorový prostor je příklad prostoru s dimenzí 2. 4/6

5 Vektorový prostor - pokračování Příklad: množina všech reálných funkcí jedné reálné proměnné s následující operací sčítání a násobení reálným číslem: Uvedený vektorový prostor má nekonečnou dimenzi. 5/6

6 Popis stavu v klasické mechanice V klasické mechanice je stav objektu charakterizován znalostí všech (vzájemně nezávislých) fyzikálních veličin popisujících vlastnosti zkoumaného objektu. Např. stav bodové plně popisují 3 souřadnice x,y,z polohy a 3 složky rychlosti v x,v y,v z. Každá šestice reálných čísel x,y,z,v x,v y,v z představuje stav bodové. Množina všech stavů představuje konečněrozměrný vektorový prostor. Prostor stavů bodové má dimenzí 6. v x,v y,v z 6/6

7 Stav v kvantové mechanice V kvantové mechanice je stav objektu plně charakterizován jeho přípravou, tedy návodem na uspořádání a použití přístrojů, součástek a laboratorních zařízení použitých v experimentu se zkoumaným objektem. Mějme zařízení, ze kterého po spuštění vylétne. Pokud zařízení za stejných podmínek spustíme ještě jednou, říkáme, že, která vylétla, je ve stejném stavu jako předchozí. obě jsou ve stejném stavu Často se stav objektu v kvantové fyzice značí speciální závorkou, do které se umístí označení stavu: 7/6

8 Stav a proces měření v kvantové fyzice Mějme zkoumanou částici v připraveném stavu. Předpokládejme, že provedeme na této částici tzv. opakovatelné měření nějaké veličiny, např. energie není přístrojem pohlcena, přístroj nám ukáže nějakou hodnotu, např. E. Pokud zkoumané částici, která po měření vylétla z přístroje, postavíme do cesty ještě jeden stejný přístroj na měření energie, dostaneme opět stejnou hodnotu energie E. Stejnou hodnotu energie dostaneme v jakémkoli dalším případném měření energie. Ne každé měření je opakovatelné. V principu lze pro danou měřenou vlastnost zkonstruovat měřicí přístroj realizující opakovatelné měření. V dalším textu se budeme zabývat pouze opakovatelnými měřeními. E E E Říkáme, že po výletu z prvního měřicího přístroje je ve stavu s energií E, takový stav označíme. 8/6

9 Stav a proces měření v kvantové fyzice Po provedení měření energie (naměřili jsme hodnotu E) je objekt ve stavu s energií E. Ale v jakém stavu byl objekt před měřením? Předpokládejme, že vyrobíme několik částic podle stejného receptu, tedy ve stejném stavu. Na těchto částicích provedeme opakovatelné měření nějaké fyzikální veličiny, např. energie. Při vhodné volbě přípravy částic se nám může stát, že pokaždé změříme jinou hodnotu energie. Vícenásobným zopakováním experimentu zjistíme, že naměřené energie nejsou libovolné, ale nabývají pouze některých hodnot (např. pouze dvou E a E 2 ). E E 2 E 2 E 2 E E 9/6

10 Popis stavu v kvantové mechanice Matematicky je stav kvantového objektu reprezentován prvkem komplexního vektorového prostoru s konečnou či nekonečnou dimenzí. Všechny nenulové komplexní násobky zvoleného vektoru představují týž stav objektu. Stavový prostor bodové na přímce má nekonečnou dimenzi (prostor všech komplexních vlnových funkcí jedné reálné proměnné). Lineární kombinace dvou stavů je opět stav, s využitím předchozího způsobu značení můžeme psát. Koeficienty a a b jsou obecně komplexní čísla. Pokud a představuje dva stavy s energií E a E 2, lineární kombinace těchto stavů představuje reálný stav, který lze vyrobit. /6

11 Měření prováděné na lineární kombinaci stavů Připravíme částici ve stavu energie. Celý pokus mnohokrát zopakujeme. a provedeme opakovatelné měření Měřicí přístroj nám bude ukazovat rozdílné hodnoty energie. Náhodně se budou střídat hodnoty E a E 2. E E 2 Poměr počtu pokusů s výsledkem E a E 2 bude. /6

12 Vývoj stavu v kvantové mechanice - shrnutí Pokud objekt neinteraguje s okolním světem (neprobíhá měření), vývoj jeho stavu je spojitý a řídí se Schrödingerovou rovnicí: Pro bodovou částici v poli s potenciálem V: Pokud se objekt nachází ve stavu s určitou hodnotou měřené veličiny, po provedení opakovatelného měření se stav objektu nezmění. Mějme objekt, který se nenachází ve stavu s určitou hodnotou měřené veličiny, ale v lineární superpozici takových stavů. Po provedení opakovatelného měření se stav systému náhodně překlopí do některého ze stavu s určitou hodnotou měřené veličiny. Tomuto procesu říkáme kolaps vlnové funkce. Schrödinger při jednom rozhovoru s Bohrem prý řekl: Jestliže budeme muset jít dál s těmi prokletými kvantovými skoky, pak lituji, že jsem se do toho kdy míchal. Bohr prý odpověděl: Ale my ostatní jsme vám za to velmi vděčni, protože vaše práce udělala pro zdokonalení této teorie mnoho. 2/6

13 Stav fotonu za polopropustným zrcadlem Označme stav fotonu, který letí nahoru a stav fotonu, který letí doprava. Předpokládejme, že odražené světlo na polopropustném zrcadle je vůči prošlému světlu fázově zpožděno o čtvrtinu vlnové délky. Stav fotonu, který je zpožděn o čtvrtinu vlnové délky lze vyjádřit jako i násobek původního stavu. D detektor pohlcující plocha 2 polopropustné zrcadlo 2 pohlcující plocha polopropustné zrcadlo D detektor zdroj fotonů zdroj fotonů 3/6

14 Stav fotonu za polopropustným zrcadlem D detektor polopropustné zrcadlo 2 zdroj fotonů D 2 detektor 2 5% 5% D D 2 Zápis současně. vyjadřuje tu vlastnost, že se foton nachází v obou ramenech 4/6

15 Machův-Zehnderův interferometr - opakování D D = detektor Detektor D zaznamená plnou intenzitu (konstruktivní interference obou paprsků). D obyč. zrcadlo 3 4 polopropustné zrcadlo D2 detektor + = polopropustné zrcadlo 2 zdroj světla 5 obyč. zrcadlo D D2 Detektor D2 nezaznamená žádné světlo (destruktivní interference obou paprsků). 5/6

16 Stav fotonu v M.-Z. interferometru Označme stav fotonu, který letí nahoru a stav fotonu, který letí doprava. Stav fotonu, který je zpožděn o čtvrtinu vlnové délky lze vyjádřit jako i násobek původního stavu. detektor 2 D 3, 5 obyč. zrcadlo 3 4 polopropustné zrcadlo D2 detektor 4 Stav fotonu za polopropustným zrcadlem 4 je vyjádřen pouze pomocí stavu. Foton tedy zaregistruje pouze detektor D. polopropustné zrcadlo 2 zdroj fotonů 5 obyč. zrcadlo 6/6