Singulární charakter klasické limity

Transkript

1 Singulární charakter klasické limity

2 obecná speciální Teorie O Teorie S Parametr δ : δ ) O S) O S Pieter Bruegel starší +569) Velké ryby jedí malé ryby 556)

3 obecná speciální Teorie O Teorie S Parametr δ : δ ) O S) Příklady: ) O speciální teorie relativity, S klasická mechanika: c ) svět klasické mechaniky δ v c ) O klasická statistická fyzika, S termodynamika: N ) 3) O kvantová mechanika, S klasická fyzika : ) svět termodynamiky svět klasické fyziky???? δ N δ S

4 Harmonický oscilátor ρ clas ) π ma n Rozdělení nemá limitu Econst, h

5 mv a V E Průchod potenciálovou bariérou ) sin ) sinh ) 4 ) T ) e e sinh Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:

6 mv a V E Průchod potenciálovou bariérou ) sin ) sinh ) 4 ) T ) e e sinh Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:

7 mv a V E Průchod potenciálovou bariérou ) sin ) sinh ) 4 ) T ) e e sinh Klasická limita: 3 Transmisní pravděpodobnost:

8 mv a V E Průchod potenciálovou bariérou ) sin ) sinh ) 4 ) T ) e e sinh Klasická limita: 4 Transmisní pravděpodobnost:

9 mv a V E Průchod potenciálovou bariérou ) sin ) sinh ) 4 ) T ) e e sinh Klasická limita: 5 Transmisní pravděpodobnost: Funkce T) nemá limitu

10

11 Podivuhodné chování kvantového rotátoru ilustrace singulární limity)

12 Jednoduchý rotátor M.V.Berry: Physica D ) 6 H I J z Klasické pohybové rovnice popisují precesi: J Kvantový hamiltonián má vlastní stavy m : Velikost spinu se zachovává: J J J I y z y I z z j J J J j, Jˆ j, m j j + ) j, m Jˆ z j, m m j, m j j + ) const Budeme vyšetřovat stopu evolučního operátoru: Tr e moment setrvačnosti i Ht ˆ + j m j e t i m I τ t Nejkratší periodická trajektorie v úhlech): /T cl + j m j e τ iπ m j J J z j ) ma J J ) j ) T cl π I J 3) komplení funkce reálných parametrů: j diskrétní) τ spojitý) Závislost na čase t je periodická: Závislost na spinu j není periodická. T qu j T cl Budeme vyšetřovat chování stopy v komplení rovině při pohybu podél 3 typů čar ) τ t /T cl

13 ) Časová závislost asymptotika): t [, Tqu ] j j 3 Im TrU ) j 5 j Re TrU )

14 ) Spinová závislost semiklasická asymptotika): j [, ] j,,3,... t.t cl t.t cl t.8t cl t.7t cl Im TrU ) t 3.T cl j [, t 4π T cl 4 ] Re TrU )

15 3) Časová & semiklasická asymptotika: j [,8] j / τ 3 j [,8] j / τ 3 Im TrU ) j [,4] j / τ 3 Re TrU ) Nekonečně citlivá závislost na poměru j/τ Fraktální charakter pro j/τ iracionální

16 Dekoherence a kvantově-klasická korespondence

17 Klasická evoluce izolovaného systému Trajektorie tok ve fázovém prostoru analog nestlačitelné kapaliny objem elementární buňky se zachovává, ale její tvar se může stávat velmi složitý Důsledky: Zjemňování struktur ve fázovém prostoru Eponenciální vzdalování trajektorií v některých směrech t Podle kvantové mechaniky však tento trend nemůže pokračovat libovolně dlouho, protože pro velmi dlouhé časy začnou jemné struktury ve fázovém prostoru být rozrušovány kvantovými fluktuacemi jakoby se fázový prostor skládal z elementárních kvantových buněk objemu h f )

18 Duffingův oscilátor dvoujámový potenciál periodické buzení 4 H p,, t) p + B A + C cos Klasická pohybové rovnice: m H H p f t) p / V, t) stochastická funkce šum)* interakce s okolím disipace π t) charakterizována koeficientem difuze D Počáteční stav: a) klasická dynamika: gaussovské rozdělení ve fázovém prostoru ρcl, p) b) kvantová dynamika: gaussovský vlnový balík, resp. jeho Wignerova funkce p T i py y y ) e dy W, p) ρ, + Kvantová dynamika Wignerovy funkce určena pohybovými rovnicemi s uvážením stochastické interakce π * Místo šumového členu se někdy uvažuje standardní disipační člen p p příklad klasické trajektorie vlevo)

19 W p, ) D plocha 4ħ S Habib, K Shizume, WH Zurek, PRL 8, ) Rozdělení ve fázovém prostoru v čase t 8T Počáteční stav: gaussovský vlnový balík [ ), p)] [ 3, + 8] [ ), p)] [.5,] kvantová Wignerova funkce klasické rozdělení pravděpodobnosti W p, ) ρ p, ) D.5 D. 5 cl

20 BD Greenbaum S Habib, K Shizume, B Sundaram, quant-ph/64 7) t 49 T D. počáteční fáze evoluce

21 t 49T p řez fáz. prostorem D. W p, ) D. ρ p, cl ) D.

22 Ztráta kvantově-klasické korespondence na velmi dlouhých časových škálách tzv. kvantové potlačení chaosu Chaos většinou přežije jen díky dekoherenci! Příklad: Hyperion měsíc Saturnu & eemplární případ klasického chaosu τchaos) dní Odhad τpotlačení) 37 let Odhad τdekoherence) 53 s

23 Klasické periodické trajektorie a kvantové spektrum

24 Hustota kvantových stavů ve sférické dutině základní typy periodických orbit Zhlazené kvantové spektrum R me / R Balian, C Bloch, Ann.Phys. 64, 76 97) B Mottelson, Nucl.Phys. A574, )

25 Kvantové jizvy v biliáru typu stadion Jizvy pozůstatky po periodických trajektoriích patrné ve vlnových funkcích vysoce ecitovaných stacionárních stavů chaotických systémů Překvapení:. Vlnové funkce nekonvergují k WKB klasické limitě Ψ / vcl. Nalezené periodické orbity mohou být klasicky silně nestabilní EJ Heller, Phys.Rev.Lett. 53, )

26 Kvantové jizvy v biliáru typu stadion Efekt patrný i pro hl.q.čísla řádu n 6 n 48 B Li, Phys.Rev. E 55, )