Rovnice s parametrem ( lekce)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)"

Transkript

1 Rovnice s parametrem ( lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011

2 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16.

3 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0

4 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4

5 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) =

6 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = 16 16

7 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0

8 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0 x R

9 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0

10 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4

11 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16

12 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4

13 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4

14 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4

15 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4 Závěr: a a {4} x x R a R {4} x {a + 4}

16 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5.

17 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0

18 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2

19 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5

20 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5

21 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5 0 5

22 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = x

23 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0

24 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2

25 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5

26 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1

27 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1 Závěr: a a { 1 2 } a R { 1 2 } x x { } x 5 2a+1

28 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8.

29 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0

30 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4

31 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8

32 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8

33 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0

34 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0 x R

35 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0

36 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4

37 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8

38 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4

39 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5

40 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3

41 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1

42 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1 Závěr: a a { 4} a R { 4} x x R x { 1}

43 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2.

44 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2

45 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a

46 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

47 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0

48 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2

49 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

50 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = 2 2 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

51 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

52 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 x R 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

53 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0

54 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2

55 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a

56 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1

57 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1

58 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2

59 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2 Závěr: a a { } 1 2 a R { 1 2 } x x R x { 2}

60 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m.

61 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky:

62 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0

63 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m

64 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m Upravíme 2m 2 + x = m 1 x + 1 m

65 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) / (2 + x)(x + 1 m)

66 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x / (2 + x)(x + 1 m)

67 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

68 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

69 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 x (m + 1) = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

70 Příklad 5 1 m + 1 = 0

71 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1

72 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2

73 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2

74 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0

75 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R

76 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m

77 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1

78 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1 x 2

79 Příklad 5 2 m + 1 0

80 Příklad 5 2 m m 1

81 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2

82 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1

83 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1

84 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2

85 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m

86 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m

87 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m m 0 m 1

88 Příklad 5 Závěr: m m { 1} m {0; 1} x x R { 2} x m R {0; ±1} x {2m 2}

89 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2.

90 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky:

91 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0

92 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m

93 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m Upravíme 2x + m x + 1 3m x m = 2

94 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m)

95 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m

96 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m

97 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m

98 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m x ( 2m 2) = m 2 + m

99 Příklad 6 1 2m 2 = 0

100 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2

101 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1

102 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1)

103 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1

104 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0

105 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R

106 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m

107 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m x 1

108 Příklad 6 2 2m 2 0

109 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1

110 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m

111 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2

112 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1)

113 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2

114 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m

115 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m

116 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m

117 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m m 2 m 0

118 Příklad 6 Závěr: m m { 1} x x R { 1} m {0; 2} x m R { 1; 0; 2} x { } m 2

119 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1

120 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka:

121 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0

122 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a

123 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1

124 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1)

125 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a

126 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a ax = a (a + 1)

127 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0

128 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0

129 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0

130 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0

131 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0 x = a právě jedno řešení

132 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.

133 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.

134 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1.

135 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1. Závěr: Daná rovnice má aspoň jeden záporný kořen pro a = 0 a pro všechna a < 1.

136 Cvičení Cvičení Řešte rovnice s neznámou x R: 1. a 2 x x + a = 1, a R, 2. xa 2 = a (1 + 3x) 3, a R, m x + m + x m = 1, m R, x + 1 ( ) (m + 1) x 6 = 3 1 m2 m, m R, x x 5. px 2 p 2 = 1 (4x + 1), p R {0}. p

137 Cvičení 1. a x 2. a x a {1} x R a {0} x a { 1} a R {±1} x { } x 1 a+1 a {3} x R a R {0; 3} x { } 1 a 3. m x 4. m x m { 1} x R {±1} m { 1} x m {1} x m {2} x R {0} m R {±1} x {m 2} m R { 1; 2} x { 3m 3} 5. p p = 2 p = 2 x x x R p R {0, ±2} x = 1 p(p+2).

138 Cvičení Cvičení 6. Určete všechny hodnoty parametru p R tak, aby řešením rovnice 2p (xp + 1) (p 2 + 1) x = 2 bylo kladné reálné číslo. 2x + a2 2x a2 7. Řešte v R rovnici + a + 3 a 3 = (a2 + 4)x a 2 s parametrem 9 a R {±3}. Potom určete všechny hodnoty parametru a, pro něž má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. 8. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + 2x = 15, b) x 2 3 ax+1 2 = a 1 2.

139 Cvičení 6. p p ( ; 1) {1} x > 0 x 7. a a = 2 x x a R { 3; 2; 3} x = 6a2 (a 2) 2 a R { 3; 0; 2; 3} aspoň jeden záporný kořen [ 3(2a 5) 8. a) a 2 > 0 a ( ; 2) ( [ 5 2 ; )], b) 3a+4 2 3a > 0 a ( 4 3 ; 2 ) ] 3

Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce)

Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce) Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října

Více

Soustavy rovnic a nerovnic

Soustavy rovnic a nerovnic Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 2. září 20 Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití

Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období

Více

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou @04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

( ) Obecná rovnice elipsy. Předpoklady: Př. 1: Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí ( x ) ( y )

( ) Obecná rovnice elipsy. Předpoklady: Př. 1: Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí ( x ) ( y ) 7.5.9 Obecná rovnice elipsy Předpoklady: 7508 Př. : Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí Rovnici upravíme do správného tvaru: ( x ( y + Z rovnice víme: S [ ; ], a =, Excentricita: Hlavní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

2.8.6 Parametrické systémy funkcí

2.8.6 Parametrické systémy funkcí .8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 2. Kinematika Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1

Více

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1:

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1: Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Test A. 1) Určete hodnoty výrazu. 2) Pro přípustné a upravte výraz. (a) a 5 2

Test A. 1) Určete hodnoty výrazu. 2) Pro přípustné a upravte výraz. (a) a 5 2 Test A V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (A), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. a ). V případě omylu zakroužkujte

Více

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL PRO ŽÁKY

VÝUKOVÝ MATERIÁL PRO ŽÁKY PROJEKT Zlepšení podmínek výuky učebních oborů CZ.1.07./1.1.06/01.0079 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky VÝUKOVÝ MATERIÁL PRO ŽÁKY Vyučovací

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí.

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí funkcí funkce Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 funkce funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 T 0 (x) = 24 funkce funkcí Polynom

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice 7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 = /7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9_1_07 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Rovnice 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová

Rovnice 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Rovnice 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 38 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro a b a b zjednodušte výraz ( a b a ) ( b a b ). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jedním

Více

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda @112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Lineární funkce IV

Lineární funkce IV .. Lineární funkce IV Předpoklady 0 Pedagogická poznámka Říkám studentům, že cílem hodiny není naučit se něco nového, ale použít to, co už známe (a možná se také přesvědčit o tom, jak se nemůžeme obejít

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvšování kvalit výuk technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuk směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010 Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 00/010 Zadavatel: Ekonomický přehled: kód 1 Matematické myšlení: kód Společensko historický přehled: kód Zadejte kód místo x do níže

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice

4.3.1 Goniometrické rovnice .. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více