Rovnice s parametrem ( lekce)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)"

Transkript

1 Rovnice s parametrem ( lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011

2 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16.

3 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0

4 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4

5 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) =

6 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = 16 16

7 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0

8 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0 x R

9 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0

10 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4

11 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16

12 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4

13 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4

14 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4

15 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4 Závěr: a a {4} x x R a R {4} x {a + 4}

16 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5.

17 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0

18 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2

19 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5

20 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5

21 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5 0 5

22 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = x

23 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0

24 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2

25 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5

26 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1

27 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1 Závěr: a a { 1 2 } a R { 1 2 } x x { } x 5 2a+1

28 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8.

29 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0

30 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4

31 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8

32 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8

33 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0

34 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0 x R

35 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0

36 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4

37 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8

38 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4

39 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5

40 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3

41 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1

42 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1 Závěr: a a { 4} a R { 4} x x R x { 1}

43 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2.

44 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2

45 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a

46 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

47 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0

48 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2

49 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

50 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = 2 2 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

51 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

52 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 x R 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a

53 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0

54 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2

55 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a

56 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1

57 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1

58 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2

59 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2 Závěr: a a { } 1 2 a R { 1 2 } x x R x { 2}

60 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m.

61 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky:

62 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0

63 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m

64 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m Upravíme 2m 2 + x = m 1 x + 1 m

65 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) / (2 + x)(x + 1 m)

66 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x / (2 + x)(x + 1 m)

67 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

68 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

69 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 x (m + 1) = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)

70 Příklad 5 1 m + 1 = 0

71 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1

72 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2

73 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2

74 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0

75 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R

76 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m

77 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1

78 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1 x 2

79 Příklad 5 2 m + 1 0

80 Příklad 5 2 m m 1

81 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2

82 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1

83 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1

84 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2

85 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m

86 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m

87 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m m 0 m 1

88 Příklad 5 Závěr: m m { 1} m {0; 1} x x R { 2} x m R {0; ±1} x {2m 2}

89 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2.

90 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky:

91 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0

92 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m

93 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m Upravíme 2x + m x + 1 3m x m = 2

94 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m)

95 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m

96 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m

97 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m

98 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m x ( 2m 2) = m 2 + m

99 Příklad 6 1 2m 2 = 0

100 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2

101 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1

102 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1)

103 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1

104 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0

105 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R

106 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m

107 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m x 1

108 Příklad 6 2 2m 2 0

109 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1

110 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m

111 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2

112 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1)

113 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2

114 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m

115 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m

116 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m

117 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m m 2 m 0

118 Příklad 6 Závěr: m m { 1} x x R { 1} m {0; 2} x m R { 1; 0; 2} x { } m 2

119 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1

120 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka:

121 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0

122 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a

123 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1

124 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1)

125 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a

126 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a ax = a (a + 1)

127 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0

128 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0

129 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0

130 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0

131 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0 x = a právě jedno řešení

132 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.

133 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.

134 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1.

135 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1. Závěr: Daná rovnice má aspoň jeden záporný kořen pro a = 0 a pro všechna a < 1.

136 Cvičení Cvičení Řešte rovnice s neznámou x R: 1. a 2 x x + a = 1, a R, 2. xa 2 = a (1 + 3x) 3, a R, m x + m + x m = 1, m R, x + 1 ( ) (m + 1) x 6 = 3 1 m2 m, m R, x x 5. px 2 p 2 = 1 (4x + 1), p R {0}. p

137 Cvičení 1. a x 2. a x a {1} x R a {0} x a { 1} a R {±1} x { } x 1 a+1 a {3} x R a R {0; 3} x { } 1 a 3. m x 4. m x m { 1} x R {±1} m { 1} x m {1} x m {2} x R {0} m R {±1} x {m 2} m R { 1; 2} x { 3m 3} 5. p p = 2 p = 2 x x x R p R {0, ±2} x = 1 p(p+2).

138 Cvičení Cvičení 6. Určete všechny hodnoty parametru p R tak, aby řešením rovnice 2p (xp + 1) (p 2 + 1) x = 2 bylo kladné reálné číslo. 2x + a2 2x a2 7. Řešte v R rovnici + a + 3 a 3 = (a2 + 4)x a 2 s parametrem 9 a R {±3}. Potom určete všechny hodnoty parametru a, pro něž má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. 8. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + 2x = 15, b) x 2 3 ax+1 2 = a 1 2.

139 Cvičení 6. p p ( ; 1) {1} x > 0 x 7. a a = 2 x x a R { 3; 2; 3} x = 6a2 (a 2) 2 a R { 3; 0; 2; 3} aspoň jeden záporný kořen [ 3(2a 5) 8. a) a 2 > 0 a ( ; 2) ( [ 5 2 ; )], b) 3a+4 2 3a > 0 a ( 4 3 ; 2 ) ] 3

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí funkcí funkce Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 funkce funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 T 0 (x) = 24 funkce funkcí Polynom

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1) PROCENTOVÁ KONCENTRACE HMOTNOSTNÍ PROCENTO (w = m(s) /m(roztoku))

1) PROCENTOVÁ KONCENTRACE HMOTNOSTNÍ PROCENTO (w = m(s) /m(roztoku)) OBSAH: 1) PROCENTOVÁ KONCENTRACE HMOTNOSTNÍ PROCENTO (w = m(s) /m(roztoku)) 2) ŘEDĚNÍ ROZTOKŮ ( m 1 w 1 + m 2 w 2 = (m 1 + m 2 ) w ) 3) MOLÁRNÍ KONCENTRACE (c = n/v) 12 příkladů řešených + 12příkladů s

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 URČI HODNOTU VÝRAZU Kolik to je? A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1 určit (vy)počítat dosadit hodnota výrazu (urči) (vypočítej) (dosaď) B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 DOSAĎ

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 14. listopadu 2007 1 Diferenciální 2 Motivace Linearizace Metoda Matematický model Global Positioning System - Diferenciální 24 navigačních satelitů

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2015 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

pracovní list studenta Elektrický proud v kovech Voltampérová charakteristika spotřebiče Eva Bochníčková

pracovní list studenta Elektrický proud v kovech Voltampérová charakteristika spotřebiče Eva Bochníčková pracovní list studenta Elektrický proud v kovech Eva Bochníčková Výstup RVP: Klíčová slova: žák měří vybrané veličiny vhodnými metodami, zpracuje získaná data formou grafu; porovná získanou závislost s

Více

Funkcionální rovnice

Funkcionální rovnice Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

4.2.13 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem

4.2.13 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem 4..3 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem Předpoklady: 405, 407, 40 Nejde o dva, ale pouze o jeden druh součástky (reostat) ve dvou různých zapojeních (jako reostat a jako potenciometr).

Více

Slovní úlohy. o pohybu

Slovní úlohy. o pohybu Slovní úloy o poybu Slovní úloy o poybu Na začátek zopakujme z fyziky vzorec pro výpočet průměrné ryclosti: v v je průměrná ryclost v / (m/s) s je ujetá dráa v (m) t je čas potřebný k ujetí dráy s v odinác

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd 005 MA0Z9 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI A Testový sešit obsahuje 7 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Při řešení konstrukční úlohy užívejte rýsovací potřeby. V průběhu

Více

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Fyzika úloha č. 14 Zatěžovací charakteristika zdroje Cíle Autor: Jan Sigl Změřit zatěžovací charakteristiku různých zdrojů stejnosměrného napětí. Porovnat je, určit elektromotorické

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel . Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zopakujte si co to je násobek a dělitel čísla co je to prvočíslo jak se hledá rozklad složeného čísla na prvočinitele největší společný dělitel, nejmenší společný

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

1. Vypočítejte: 775522 : 11. 2. Základní čtvercová síť má délky strany čtverců 1 cm. Určete obsah vyznačeného obrazce, odpověď zdůvodněte.

1. Vypočítejte: 775522 : 11. 2. Základní čtvercová síť má délky strany čtverců 1 cm. Určete obsah vyznačeného obrazce, odpověď zdůvodněte. Z A D Á N Í Gymnázium Ohradní Praha 4 / 5. třída / 03-04 / 1. kolo 1. Vypočítejte: 775522 : 11 2. Základní čtvercová síť má délky strany čtverců 1 cm. Určete obsah vyznačeného obrazce, odpověď zdůvodněte.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Autor Mgr. Lenka Střelcová Tematický celek Posloupnosti Cílová skupina 3. ročník SŠ Anotace Materiál má podobu výkladového a pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci osvojí a procvičí využití geometrické

Více

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok 7. Finanční matematika 7.. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok Základní pojmy : Dlužník osoba nebo instituce, které si peníze půjčuje. Věřitel osoba nebo instituce, která peníze půjčuje. Jistina

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více