Obyčejné diferenciální rovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obyčejné diferenciální rovnice"

Transkript

1 Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019

2 OBSAH 1 Diferenciální rovnice n-tého řádu 2 2 Diferenciální rovnice 1. řádu Metoda separace proměnných Řešení rovnice typu y = f ()g(y) Řešení rovnice typu y = f (a + by + c) Řešení rovnice typu y = f ( y ) Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Metoda variace konstanty Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Řešení homogenní LDR Nalezení fundamentálního systému řešení homogenní LDR Řešení nehomogenní LDR Metoda variace konstant Metoda neurčitých koeficientů

3 KAPITOLA 1 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU Za diferenciální rovnici označujeme rovnici, v níž je neznámou funkce a daná rovnice obsahuje derivace neznámé funkce. Rovnice vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí a jejími derivacemi. Definice 1.1 Rovnice tvaru F(, y, y,,..., y (n 1), y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu pro neznámou funkci y = y(). Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace neznámé funkce y(), který se v rovnici vyskytuje. Řešením (integrálem) diferenciální rovnice na intervalu I je každá funkce y(), která má spojité derivace až do řádu n včetně a dané diferenciální rovnici vyhovuje. Rozlišujeme následující typy řešení: obecné řešení rovnice n-tého řádu představuje množinu funkcí tvaru Φ(, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0, příp. y = ϕ(, C 1, C 2,..., C n ), tj. množina funkcí obsahující n konstant C 1, C 2,..., C n, partikulární řešení y p je konkrétní řešení, které získáme z obecného řešení volbou, nebo výpočtem konstant C 1, C 2,..., C n, výjimečné (singulární) řešení je řešení, které nelze získat z obecného řešení žádnou volbou konstant C 1, C 2,..., C n. 2

4 Příklad 1.1 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = 6 6. V zadání diferenciální rovnice se nachází neznámá funkce y pouze ve své třetí derivaci, proto k nalezení obecného řešení použijeme přímou integraci. Integrací y dostaneme druhou derivaci funkce y. y = y d = (6 6)d y = C 1. Stejným způsobem budeme snižovat řád diferenciální rovnice, dokud nedostaneme neznámou funkci y. Tedy y = y = y d = y d = ( C 1 )d y = C 1 + C 2, ( C 1 + C 2 )d y = C C 2 + C 3. V obecném řešení diferenciální rovnice 3. řádu se vyskytují právě 3 integrační konstanty C 1, C 2, C 3 R. Partikulárním řešením rozumíme konkrétní křivku (jediné řešení). Tu získáme libovolnou volbou konstant C 1, C 2 a C 3, např. pro C 1 = 2, C 2 = 3 a C 3 = 5 dostaneme partikulární řešení y =

5 KAPITOLA 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Diferenciální rovnici ve tvaru F(, y, y ) = 0 nebo y = f (, y) nazýváme diferenciální rovnicí prvního řádu. Funkce f (, y) je funkce dvou proměnných. Poznámka Řešení diferenciální rovnice prvního řádu F(, y, y ) = 0 se také nazývá integrál diferenciální rovnice a jeho graf v rovině y integrální křivka. Integrální křivky mohou být dány i implicitně. Geometrická interpretace ODR 1. řádu y = f (, y) Uvažujme, y jako souřadnice bodu (, y) v rovině y. Každému bodu (, y) je přiřazena hodnota f (, y), která je spojena s derivací y. Derivace geometricky udává směr definujeme směrové pole {(, y, f (, y))}. Uspořádaným trojicím (, y, f (, y)) říkáme lineární elementy a znázorňujeme je pomocí krátkých úseček se středem v bodě (, y) a směrnicí f (, y). Integrální křivky rovnice y = f (, y) mají v každém bodě tečnu orientovanou shodně se směrovým polem. Křivky, ve kterých je derivace konstantní (y = k, k R), nazýváme izokliny. Směrové pole je tedy systém lineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám. Příklad 2.2 Pomocí izoklin znázorněte směrové pole diferenciální rovnice y = y. 4

6 Funkce f (, y) = y je definovaná pro R a y 0. Izokliny nalezneme tak, že funkci položíme rovnu konstantě a vyjádříme y. y = k y = k y = ( k) 2 ; k R, k. Jedná se o pravou polovinu paraboly s vrcholem v [k, 0]. y y Izokliny rovnice y = y. Směrové pole rovnice y = y. Cauchyova úloha K jednoznačné předpovědi budoucího stavu je nutné znát i stav současný. V praktických úlohách nás proto často nezajímají všechna řešení dané úlohy, ale pouze taková, která splňují určité podmínky. Jednou z možných podmínek je tzv. počáteční podmínka. Je-li k dané diferenciální rovnici zadána současně i počáteční podmínka, jedná se o tzv. Cauchyovu úlohu. Jde o základní úlohu teorie diferenciálních rovnic. Definice 2.2 Cauchyovou úlohou (počáteční úlohou) pro diferenciální rovnici F(, y, y ) = 0 označujeme úlohu { y = f (, y) y( 0 ) = y 0. Řešením Cauchyho úlohy je takové řešení y = y() diferenciální rovnice, které je definováno na nějakém intervalu I a splňuje počáteční podmínku y( 0 ) = y 0 (kde 0 I). Příklad 2.3 Určete řešení diferenciální rovnice y (y ) = (y ) sin, za podmínky y(0) = 2. Zadanou rovnice upravíme do tvaru y = f (, y), rovnici vydělíme výrazem (y ) za předpokladu y =. Dostáváme rovnici ve tvaru y = f (), což vede k úloze nalezení primitivní funkce y = sin y = sin d y = cos + C, C R. 5

7 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Určili jsme obecné řešení. Počáteční podmínku y(0) = 2 dosadíme do obecného řešení a určíme c. 0 = 0, y 0 = 2 2 = cos 0 + C 2 = 1 + C C = 3 y p = cos + 3 je hledaným partikulárním řešením. y C = 4 y(0) = 2 y p = cos + 3 C = 3 C = 2 C = 1 C = 0 Partikulární řešení y p 2.1 Metoda separace proměnných Metoda se používá pro řešení separovatelných diferenciálních rovnic. Definice 2.3 Diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými rozumíme každou rovnici, kterou lze zapsat ve tvaru pokud nahradíme derivaci y podílem dy d. Q(y)y = P(), tj. Q(y)dy = P()d, Okamžitě je vidět, že v rovnici jsou proměnné separovány (odděleny) na jednotlivé strany rovnice a je možné celou rovnici integrovat, což přímo vede k řešení Q(y)dy = P()d + C. Po integraci na obou stranách rovnice vyskočí integrační konstanty, tyto se ale spojují do jedné a bývá obvyklé tuto integrační konstantu uvádět u výrazu s nezávislou proměnnou. V prai se můžeme setkat s řadou úloh, které lze pomoci jednoduchých manipulací převést na diferenciální rovnici separovanou. Takové rovnice se nazývají separovatelné. Rozlišujeme následující typy separovatelných rovnic: y = f ()g(y), y = f (a + by + c), y = f ( y ) - homogenní diferenciální rovnice. 6

8 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Řešení rovnice typu y = f ()g(y) Rovnici typu y = f ()g(y) lze za předpokladu g(y) = 0 a užitím identity y = dy d upravit na tvar: dy g(y) = f ()d, což je diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Její obecné řešení lze zapsat ve tvaru dy g(y) = f ()d + C. Poznámka Tvar obecného řešení je vhodné v některých případech upravit, hlavně v případech, když po integraci na levé straně rovnice dostaneme logaritmickou funkci. Pravou stranu řešení převedeme také na logaritmickou funkci užitím vztahu A = ln e A. Předpokládejme, že obecné řešení nějaké diferenciální rovnice má tvar ln m(y) = n() + C. Na pravé straně zavedeme logaritmickou funkci ( ln m(y) = ln e n()+c ln m(y) = ln e n() e C). Z rovnosti logaritmů plyne m(y) = e n() e C. Bez újmy na obecnosti bývá zvykem novou konstantu e C označit stejně jako původní integrační konstantu, tedy e C = C. Dostáváme tedy upravený tvar obecného řešení m(y) = C e n(). Příklad 2.4 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = e y + e y. y = ( e 1 ) y + e y rovnice je ve tvaru y = f ()g(y), budeme ji řešit metodou separace proměnných. Rovnici zapíšeme v separovaném tvaru, tzn. rovnici vynásobíme výrazem (y + e y ) a derivaci y nahradíme podílem diferenciálů dy d : (y + e y ) dy = ( e ) d Integrací obou stran rovnice dostaneme ( (y + e y ) dy = e ) d + C y ey = e + C. 7

9 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Obecné řešení obdržíme ve tvaru y ey e = C. y C > 0 C = 0 C < 0 Obecné řešení y Úlohy k samostatnému řešení Řešte diferenciální rovnice: a) y tan y = 3 g) 1 + y 2 + yy = 0 b) y + y = y 2 h) (1 + e )yy = e y c) y = 10 +y d) y + 1 y = 0 e) y + sin + y 2 f) y = 1 + y2 y(1 + 2 ) = sin y 2 i) (y 2 + )d + (y 2 y)dy = 0 j) 1 y 2 d = y 1 2 dy ( k) e y 1 + dy ) = 1 d l) 3 d sin y + ydy = 0 8

10 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Příklad 2.5 Řešte Cauchyho úlohu y y = 2 sin, y (π) = 1. Jedná se o separovanou rovnici. Derivaci y nahradíme podílem diferenciálů dy d a upravíme: 1 dy = 2 sin d. y Po integraci dostaneme 1 y dy = 2 sin d ln y = 2 cos + C. Obecné řešení upravíme ln y = 2 cos + C y = Ce 2 cos. Dosazením počáteční podmínky určíme hodnotu konstanty C 1 = Ce 2 cos π C = e 2. Hledané partikulární řešení je tedy y p = e 2 e 2 cos y p = e 2 cos +2. Příklad 2.6 Řešte Cauchyho úlohu ( 8y 7 + 6y 5 + 4y 3 + 2y ) ( ) y = 5, y 45 = 1. Jedná se o separovanou rovnici. Derivaci y nahradíme podílem diferenciálů dy d a upravíme: ( ) 8y 7 + 6y 5 + 4y 3 + 2y dy = 5d. Nyní obě strany rovnice integrujeme ( ) 8y 7 + 6y 5 + 4y 3 + 2y dy = Obecné řešení má tvar 5d. y 8 + y 6 + y 4 + y 2 = C, c R. Dosazením počáteční podmínky určíme hodnotu konstanty c = 5 ( ) C C = Hledané partikulární řešení je tedy y 8 + y 6 + y 4 + y 2 =

11 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Příklad 2.7 Za jakou dobu klesne teplota tělesa zahřátého na 90 C na 50 C, jestliže teplota okolí je rovna 25 C a za prvních 10 minut se těleso ochladilo na 73 C. Rychlost ochlazování tělesa představuje pokles teploty τ za jednotku času t a je vyjádřena derivací dτ. Podle Newtonova zákona vedení tepla je rychlost ochlazování tělesa přímo dt úměrná rozdílu teplot tělesa a okolního prostředí. Za předpokladu, že se teplota okolí nemění, bude mít diferenciální rovnice ochlazování tělesa tvar dτ dt = k(τ τ 0), kde τ je teplota tělesa, τ 0 je teplota okolí a k > 0 je koeficient úměrnosti. Rovnici řešíme separací proměnných: Obecné řešení upravíme a dostáváme dτ τ τ 0 = kdt ln τ τ 0 = kt + c τ = τ 0 + c 1 e kt. Dosadíme počáteční podmínku, v čase t 0 = 0 je τ = 90 a τ 0 = = 25 + c 1 e k 0 c 1 = 65. Víme, že v čase t = 10 je τ = 73 a τ 0 = 25. Po dosazení do vztahu pro τ platí: 73 = e k 10 e k 10 = ( e k) 10 = e k = ( ) , 65 a tedy τ = ( ) t τ ? Křivka chladnutí tělesa t 10

12 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Určíme hledaný čas pro τ = 50: 50 = ( ) t = ( ) t ( ) 5 10 = 13 ( ) 48 t t = ln 5 13 ln Těleso bude mít teplotu 50 C po 31 minutách a 30 sekundách. Úlohy k samostatnému řešení Řešte Cauchyho úlohu: a) 2(1 + e )yy = e, y(0) = 0 ( b) y π ) sin = y ln y, y = e 2 ( c) sin sin y y π ) = cos cos y, y = 0 4 d) (1 + e ) y y + e = 0, y(0) = 1 e) y = 1 + y , y(0) = 1 f) y y = 5(1 + 2 y ), y(1) = 1 11

13 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Řešení rovnice typu y = f (a + by + c) Diferenciální rovnici tvaru y = f (a + by + c), kde b = 0, lze převést substitucí u() = a + by + c na rovnici se separovanými proměnnými s novou neznámou funkcí u(). Ze substitučního vztahu určíme vztah pro nahrazení derivace y. Rovnost u() = a + by + c derivujeme podle proměnné a z nalezené derivace vyjádříme y. u = a + by y = u a. b Dosazením do původní diferenciální rovnice dostáváme separovatelnou rovnici typu u = f ()g(u), kterou již řešit umíme, u a b Pro a + b f (u) = 0 dostaneme rovnici Její obecné řešení lze zapsat ve tvaru = f (u) u = a + b f (u). 1 a + b f (u) u = 1. du a + b f (u) = + C. Příklad 2.8 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = 3 2y + 5. Jedná se o separovatelnou rovnici typu y = f (a + by + c), kde a = 3, b = 2, c = 5. Použijeme substitucí, u = 3 2y + 5 u = 3 2y y = 3 u 2 Dosadíme do původní diferenciální rovnice: 3 u 2 Víme, že nová diferenciální rovnice s neznámou funkcí u je separovatelná typu u = f ()g(u), = u. u = 3 2u du d = 3 2u du 3 2u = d Nyní obě strany rovnice budeme integrovat du 3 2u = d + C 1 ln 3 2u = + C ln 3 2u = 2 + C. 2 Nalezené obecné řešení pro neznámou u upravíme, 3 2u = Ce 2 u = Ce

14 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH a vrátíme substituci: 3 2y + 5 = Ce Obecné řešení pro neznámou y je tedy ve tvaru y = Ce Příklad 2.9 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = cos( y). Jedná se o rovnici typu y = f (a + by + c), kde a = 1, b = 1, c = 0. Budeme řešit substitucí, u = y u = 1 y y = 1 u. Dosadíme do původní diferenciální rovnice 1 u = cos u u = 1 cos u. V rovnici nahradíme derivaci u podílem diferenciálů du a upravíme ji na rovnici v separovaném tvaru d du d = 1 cos u du 1 cos u = d + C. Integrál na levé straně rovnice si spočítáme zvlášt du 1 cos u = tan u 2 = t cos u = 1 t2 1 + t 2 = du = t 2 dt Obecné řešení pro neznámou funkci u: t2 1+t 2 cot u 2 = + C. 2 dt 1 + t 2 dt = t 2 = 1 t = 1 tan u 2 = cot u 2. Vrátíme substituci a dostaneme obecné řešení ve tvaru cot y 2 = C + cot y 2 = C. Úlohy k samostatnému řešení Řešte diferenciální rovnice: a) y = ( + y) 2 b) y y = + y + 1 c) y 3y = d) y = sin 2 ( y) 13

15 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Řešení rovnice typu y = f ( y ) Definice 2.4 Diferenciální rovnice F(, y, y ) = 0 se nazývá homogenní, pokud ji lze pro = 0 upravit na tvar ( y y ) = f. Homogenní diferenciální rovnici převedeme substitucí y = z, kde z = z(), na diferenciální rovnici se separovanými proměnnými pro novou neznámou funkci z(). Ze substituce y = z, tj. z = y, plyne po derivování vztah pro nahrazení derivace y = z + z. Dosazením substituce do původní rovnice a úpravách dostaneme diferenciální rovnici se separovanými proměnnými pro funkci z = z(), za podmínky f (z) z = 0. Její obecné řešení lze zapsat ve tvaru Poznámka z + z = f (z) z = f (z) z z = 1 ( f (z) z) 1 f (z) z dz = 1 d dz f (z) z = ln + C. Připomeňme si, kdy se funkce f (, y) na oblasti Ω R 2 nazývá homogenní stupně k a ukážme si, jak tento pojem souvisí s homogenní diferenciální rovnicí. Funkce f (, y) se nazývá homogenní funkce stupně k (k N) na oblasti Ω právě tehdy, když v každém bodě [, y] Ω pro libovolné t = 0 platí f (t, ty) = t k f (, y). Budeme-li předpokládat, že funkce P(, y), Q(, y) jsou homogenní stejného stupně k, potom rovnice P(, y) + Q(, y)y = 0 je homogenní diferenciální rovnicí. Tedy P(t, ty) = t k P(, y) Q(t, ty) = t k Q(, y) P(t, ty) Q(t, ty) = tk P(, y) t k Q(, y) P(t, ty) Q(t, ty) = P(, y) Q(, y) 14

16 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Rovnici P(, y) + Q(, y)y = 0 lze pro Q(, y) = 0 upravit na tvar y P(, y) = Q(, y) y P(t, ty) = Q(t, ty) a z této rovnice pro t = 1, = 0 dostaneme což je homogenní diferenciální rovnice. y = P(1, y ) ( Q(1, y ) y y ) = f, Příklad 2.10 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y y = 2 y. y = 2 y + y y = 2 y + y Jedná se o homogenní diferenciální rovnici y = f ( y ). y = 2 + y Zavedeme substituci: kde z = z(). Dosadíme do rovnice y = 2 y + y y = z y = z + z, a nalezneme řešení z(). z + z = 2 z + z z = 2 z dz d = 2 z 1 z dz = 2 d. Nyní obě strany rovnice budeme integrovat 1 dz = z 2 d + C z 1 2 dz = 2 d + C z = 2 ln + C z = ln + C. Nalezené obecné řešení pro neznámou z() upravíme z = (ln + C) 2, vrátíme substituci a dostaneme obecné řešení pro neznámou y() y = (ln + C)2 y = (ln + C) 2. 15

17 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Příklad 2.11 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = 3y 2 + y. Ověříme, že se jedná o homogenní diferenciální rovnici. y = Zavedeme substituci: kde z = z(). 3y 2 + y Dosadíme do rovnice y = 3 y y. y = (3 y 2) (1 + y ) y = 3 y y y = z y = z + z, z + z = 3z z z = 3z z z dz d = 1 z2 2z z 1 + z z 2 2z + 2 dz = 1 d Nyní budeme integrovat obě strany rovnice a nalezneme řešení pro funkci z(). 1 + z d z 2 2z + 2 dz = + C 2 1 (z 1) dz (2z 2) z 2 dz = ln + C 2z arctan(z 1) ln z2 2z + 2 = ln + C 4 arctan(z 1) + ln z 2 2z + 2 = 2 ln + C Vrátíme substituci z = y a dostaneme obecné řešení pro funkci y() : ( y ) 4 arctan 1 + ln y ) 2 y ( = 2 ln + C. Příklad 2.12 Určete řešení Cauchyovy úlohy: y y = y 2 2, y(1) = 2. Ověříme, že se jedná o homogenní diferenciální rovnici. y = y2 2 + y y = y y y = ( y ) 2 y

18 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Zavedeme substituci: kde z = z(). y = z y = z + z, Dosadíme do rovnice y = ( y ) y. z + z = z z z = z 2 1 dz d = 1 z z2 1 dz = 1 d Nyní budeme integrovat obě strany rovnice. dz z2 1 = Integrál na levé straně rovnice si spočítáme zvlášt t = z z ( ) dz 1 2z z2 1 = dt = 2 z dz = dt = dz t z2 1 d + C Po integraci obou stran dostaneme řešení pro funkci z(). ln z + z 2 1 = ln + C. dt t = ln t = ln z + z 2 1. Vrátíme substituci z = y a dostaneme obecné řešení pro funkci y(). y ( y ) 2 ln + 1 = ln + C Obecné řešení upravíme y ( y ) 2 ln + 1 = ln C y ( y ) = C Do nalezeného obecného řešení dosadíme počáteční podmínku y(1) = 2 a určíme hodnotu konstanty C, (2 ) = C 1 C = Řešení Cauchyovy úlohy je ve tvaru: y + ( y ) 2 1 = (2 + 3) y + y 2 2 = (2 + 3) 2. 17

19 2.1. METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Úlohy k samostatnému řešení Řešte diferenciální rovnice: a) y = y2 2 2 b) y = + y y c) y = 2y 2 y 2 d) y = y + y e) y = e y + y f) y y = yy g) y = 2 + y + y 2 2 h) y = y(ln y ln ) i) y y = tan y j) 3 y = y(y ) k) dy yd = ydy l) (3y 2 + 3y + 2 )d = ( 2 + 2y)dy m) ( y cos y ) d + cos y dy = 0 n) (8y + 10)d + (5y + 7)dy = 0 Úlohy k samostatnému řešení Řešte Cauchyho úlohu: a) (y y) arctan y =, y(1) = 0 b) (y )dy + 2yd = 0, y(0) = 1 18

20 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU 2.2 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Lineární diferenciální rovnice jsou takové rovnice, které jsou lineární vzhledem k neznámé funkci a jejím derivacím. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu jsou velmi důležité - vede na ně řada praktických problémů, a také na ně lze transformovat některé jiné typy rovnic. Definice 2.5 Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu (zkráceně LDR) nazýváme každou rovnici tvaru y + p() y = q(), kde p(), q() jsou spojité funkce na určitém intervalu a, b. Dále 1. je-li q() = 0, hovoříme o zkrácené (homogenní) LDR, 2. je-li q() = 0, hovoříme o nezkrácené (úplné, nehomogenní) LDR. Poznámka Příklady lineárních rovnic: y y = y ln 2 y = sin 2y y 2 = 0 Příklady rovnic, které nejsou lineární: y y = y y 2 = sin 2y y 2 sin y = 0 Homogenní LDR y + p() y = 0 je zároveň separovatelnou rovnicí y = p() y, kterou řešit umíme. Ke každé úplné LDR y + p() y = q() eistuje příslušný zkrácený tvar y + p() y = 0. Věta 2.1 Homogenní LDR y + yp() = 0 má na intervalu a, b obecné řešení tvaru ŷ = Ce p()d, C R. Věta 2.2 Obecné řešení úplné lineární diferenciální rovnice má tvar y() = ŷ() + v(), 19

21 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU kde ŷ() je obecné řešení zkrácené rovnice a v() je libovolné partikulární řešení úplné lineární diferenciální rovnice. Funkce v() se také nazývá partikulární integrál úplné lineární diferenciální rovnice Metoda variace konstanty K nalezení řešení nehomogenní rovnice (rovnice s pravou stranou) se nejčastěji užívá metoda variace konstanty, integrační kosntantu C zaměníme za nějakou funkci proměnné, C = C(): 1. Nalezneme řešení (separací proměnných) příslušné homogenní rovnice (zkrácený tvar) y + p() y = 0 ŷ = Ce p()d, C R. 2. Obecné řešení úplné rovnice je ve stejném tvaru jako je řešení příslušné zkrácené rovnice s tím rozdílem, že C není konstantou, ale funkcí C() takovou, že funkce y = C()e p()d vyhovuje zadané rovnici. Postup nalezení C(): Určíme derivaci odhadovaného řešení y = C()e p()d y = C ()e p()d C()e p()d p(). Funkci y a její derivaci y dosadíme do úplné LDR 1. řádu a dostaneme rovnici pro neznámou funkci C (). C ()e p()d C()e p()d p() }{{} y +p() p()d C()e = q(). }{{} y Na levé straně rovnice se vždy musí odečíst dva členy obsahující funkci C(). Po úpravě dostáváme diferenciální rovnici pro neznámou funkci C(). C ()e p()d = q() C () = q()e p()d Integrací nalezneme funkci C() s integrační konstantou C: C() = p()d q()e d + C, kterou dosadíme do odhadovaného řešení y = C()e p()d a dostaneme obecné řešení rovnice ( ) y = p()d q()e d + C e p()d = Ce p()d + e p()d p()d q()e d. } {{ } } {{ } ŷ() v() 20

22 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Příklad 2.13 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y y = e 2. Příslušná zkrácená LDR má tvar y y = 0. Jedná se o rovnici separovatelnou, jejíž obecné řešení je dy dy d = y y = d + C ln y = + C ŷ = Ce. Provedeme variaci konstanty. Předpokládejme, že C = C(), potom a její derivace je y = C()e y = C ()e + C()e. Po dosazení do původní rovnice se nám odečtou dva členy C ()e + C()e C()e = e 2, Odtud přímou integraci C ()e = e 2 C () = e C() = e d = e + C. Po dosazení do y = C()e obdržíme obecné řešení y = (e + C) e = Ce + e 2 = ŷ + v. Příklad 2.14 Určete obecné řešení diferenciální rovnice 2 y + y = ln Rovnici si nejprve upravíme na tvar a vyřešíme zkrácenou LDR y + y = 0 dy d = y y + 1 y = ln 2 dy y = d + C ln y = ln + C. Řešení zkrácené rovnice: ŷ = C. Provedeme variaci konstanty. Předpokládejme, že C = C(), potom y = C(), y = C () C() 2. 21

23 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Po dosazení do původní rovnice dostáváme C () C() 2 Odtud přímou integraci + C() 1 = ln 2 C () C() = ln d = 1 2 ln2 + C. = ln 2 C () = ln. Po dosazení obdržíme obecné řešení ( ) 1 1 y = 2 ln2 + C = C ln2 = ŷ + v. Příklad 2.15 Určete řešení Cauchyovy úlohy y 7y = 2, y(3) = 1. Vyřešíme zkrácenou LDR y 7y = 0 y y = dy y = dy y = 7 ( 2)( + 5) d, 7 2 d + C ln y = ln ( 2)( + 5) ln C ŷ = C Provedeme variaci konstanty, C = C(). Dosadíme do původní rovnice: y = C() y = C () C() 7 ( + 5) 2 Odtud C () C() 7 7C() +5 ( + 5) 2 C() = = d = ( 2)( + 5) = 2 C () = 2 C () = ( + 5) = t 2 = t 2 t + 2 = tdt t d = 2tdt ( ) C. (2t )dt = 2t t + C =

24 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Po dosazení a úpravě obdržíme obecné řešení ( ) 2 2 y = 2( + 19) + C Do nalezeného obecného řešení dosadíme počáteční podmínku y(3) = 1 a určíme C. ( ) (3 + 19) + C = 1 ( ) C 8 = 1 C = 20 3 Řešení Cauchyovy úlohy je ve tvaru: ( ) y = 2( + 19) Příklad 2.16 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y + y sin = sin 3. Nejprve vyřešíme zkrácenou LDR y + y sin = 0 y y = sin dy y = sin d + C ln y = cos + C Řešení zkrácené rovnice: ŷ = Ce cos. Provedeme variaci konstanty C = C(). Dosadíme do původní rovnice: y = C()e cos y = C ()e cos + C()e cos ( sin ) C ()e cos + C()e cos ( sin ) + C()e cos sin = sin 3 C ()e cos = sin 3 C () = e cos sin 3. Odtud C() = e cos sin 3 d = e cos (1 cos 2 cos = t ) sin d = sin d = dt = = e t (1 t 2 u = 1 t 2 v = e t )dt = u = 2t v = e t = (1 t2 )e t + 2te t dt = u = 2t v = e t = u = 2 v = e t = (1 t2 )e t 2te t 2e t = (t 2 + 2t + 1)e t = = (cos + 1) 2 e cos + C. 23

25 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Dosadíme do předpokládaného tvaru obecného řešení ( ) y = (cos + 1) 2 e cos + C e cos a po úpravě dostaneme y = (cos + 1) 2 + Ce cos, C R. Příklad 2.17 Řešte Cauchyho úlohu y y cot = e sin, y ( π 2 ) = 0. Nejprve vyřešíme zkrácenou LDR y y cot = 0 dy d = y cot dy y = cot d + C ln y = ln sin + C Řešení zkrácené rovnice: ŷ = C sin. Provedeme variaci konstanty C = C(). y = C() sin y = C () sin + C() cos Dosadíme do původní rovnice: C () sin + C() cos C() sin cot = e sin C () sin = e sin C () = e. Odtud C() = e d = e + C. Dosadíme do předpokládaného tvaru obecného řešení y = (e + C) sin. Dosazením počáteční podmínky y ( π 2 ) = 0 určíme hodnotu konstanty C 0 = (e π 2 + C ) sin π 2 C = e π 2. Hledané řešení je tedy y = ( ) e e π 2 sin. 24

26 2.2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU Úlohy k samostatnému řešení Řešte diferenciální rovnice: a) y + 2y = 4 b) y + 2y = e 2 c) y y = 1 d) (y y) = (1 + 2 )e e) y = 2 ln y + f) y = e 2 e y g) y + y cos = sin cos h) y = 2y 2 i) (1 + 2 )y 2y = (1 + 2 ) 2 j) ( 2 + 1)y + y = (1 + 2 ) 2 k) 2 dy + (3 2y)d = 0 l) dy = ( 3 y)d m) dy d = y cos + sin 2 n) 2dy + ( 2 6y)d = 0 Úlohy k samostatnému řešení Řešte Cauchyho úlohu: a) y y + 1 =, y(1) = 0 b) y y tan = 1 cos, y(0) = 0 25

27 KAPITOLA 3 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2. ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Řešíme-li konkrétní problémy z prae, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, často zjišt ujeme, že jednotlivé parametry (hmotnost, hustota, frekvence, atd.), které vystupují jako koeficienty diferenciálních rovnic, jsou konstanty. Takovéto úlohy tvoří základní skupinu mezi LDR druhého řádu. Definice 3.6 Lineární diferenciální rovnice (LDR) druhého řádu s konstantními koeficienty má tvar a 2 y () + a 1 y () + a 0 y() = b(), kde a 2 = 0, a 1, a 0 jsou reálné konstanty a funkci b() nazveme pravou stranou rovnice. Dále 1. je-li b() = 0, hovoříme o zkrácené (homogenní) LDR, 2. je-li b() = 0, hovoříme o nezkrácené (úplné, nehomogenní) LDR. Poznámka y + 3y = 2... nehomogenní LDR y + 3y = 0... příslušná homogenní LDR 26

28 3.1. ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ LDR 3.1 Řešení homogenní LDR Definice 3.7 Dvojici funkcí y 1 = y 1 (), y 2 = y 2 () nazýváme fundamentální systém řešení rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0, pokud y 1, y 2 jsou dvě netriviální lineárně nezávislá řešení dané rovnice. O lineární nezávislosti funkcí y 1, y 2, které jsou definované na I a mají zde spojitou první derivaci, rozhodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu). W = y 1 y 2 y 1 y 2 Pokud v nějakém bodě I platí, že W = 0, pak jsou funkce y 1, y 2 lineárně nezávislé na I. Příklad 3.18 Ukažte, že funkce y 1 = e 3, y 2 = e 3 jsou lineárně nezávislé na R. Určíme hodnotu Wronského determinantu: W = e 3 e 3 3e 3 e 3 + 3e 3 = e3 (e 3 + 3e 3 ) 3e 6 = e 6 Protože e 6 = 0 pro R, jsou funkce y 1 = e 3, y 2 = e 3 lineárně nezávislé na R. Mějme zkrácenou rovnici a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0. Ukážeme, že všechna řešení takovéto rovnice dokážeme najít bez použití integrace a dokážeme je vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Podívejme se na řešení homogenní lineární rovnice prvního řádu s konstantním koeficientem: y + ay = 0 y = ay 1 dy = ad y ŷ = Ce a Řešením je například funkce ve tvaru y = e r, kde r R. Pro rovnici druhého řádu hledejme řešení také ve tvaru y = e r a určeme, jaké jsou požadavky pro r. Odhadované řešení y = e r a jeho první a druhou derivaci, y = re r, y = r 2 e r dosadíme do rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 a upravíme. a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 a 2 r 2 e r + a 1 re r + a 0 e r = 0 e r (a 2 r 2 + a 1 r + a 0 ) = 0 Jelikož funkce e r = 0 pro R, platí, že y = e r je řešením, pokud r je řešením tzv. charakteristické rovnice (kvadratická rovnice pro neznámou r) a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0. 27

29 3.1. ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ LDR Charakteristickou rovnici odvodíme snadno ze zadané homogenní LDR, kde místo y dosadíme r 2, místo y dosadíme r a místo y dosadíme Nalezení fundamentálního systému řešení homogenní LDR Mějme rovnici a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 a její charakteristickou rovnici a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0. Řešení zkrácené rovnice závisí na tom, jaké jsou kořeny charakteristické rovnice: má-li charakteristická rovnice dva různé reálné kořeny r 1, r 2 R, potom fundamentální systém řešení je y 1 = e r 1, y 2 = e r 2 a obecné řešení je ve tvaru kde C 1, C 2 R, ŷ = C 1 e r 1 + C 2 e r 2, má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen r, potom fundamentální systém řešení je y 1 = e r, y 2 = e r a její obecné řešení je kde C 1, C 2 R, ŷ = C 1 e r + C 2 e r, má-li charakteristická rovnice komplení kořeny r 1,2 = α ± iβ, potom fundamentální systém řešení je y 1 = e α cos β, y 2 = e α sin β a obecné řešení je kde C 1, C 2 R. ŷ = C 1 e α cos β + C 2 e α sin β, Příklad 3.19 Řešte diferenciální rovnici y 3y + 2y = 0. y 3y + 2y = 0 r 2 3r + 2 = 0... příslušná charakteristická rovnice r 1,2 = 3 ± 9 8 r 1 = 2, r 2 = 1 2 Charakteristická rovnice má 2 různé reálné kořeny r 1 = 2, r 2 = 1, tedy řešení rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 e 2 + C 2 e. Příklad 3.20 Řešte Cauchyho úlohu y 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2. y 4y = 0 r 2 4 = 0... příslušná charakteristická rovnice r 1,2 = ±2 28

30 3.1. ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ LDR Charakteristická rovnice má dva reálné kořeny r 1 = 2, r 2 = 2, tedy obecné řešení rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 e 2 + C 2 e 2. Dosazením počátečních podmínek y(0) = 1, y (0) = 2 do obecného řešení a jeho derivace určíme konstanty C 1, C 2. y = C 1 e 2 + C 2 e 2 y = 2C 1 e 2 2C 2 e 2 Hledané řešení je ve tvaru: 1 = C 1 e 0 + C 2 e 0 C 1 = 1 C 2 2 = 2C 1 e 0 2C 2 e 0 2 = 2 4C 2 C 2 = 0 C 1 = 1 0 = 1 ŷ = e 2. Příklad 3.21 Řešte diferenciální rovnici y 4y + 5y = 0. y 4y + 5y = 0 r 2 4r + 5 = 0... příslušná charakteristická rovnice r 1,2 = 4 ± r 1,2 = 2 ± i 2 Charakteristická rovnice má 2 kompleně sdružené kořeny, přičemž α = 2, β = 1, tedy řešení rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 e 2 cos + C 2 e 2 sin. Příklad 3.22 Řetěz o délce 3 metry klouže z hladkého horizontálního stolu. Přesně před tím, než došlo k pohybu řetězu ze stolu, visela ze stolu část řetězu o délce 30 cm. Za jakou dobu řetěz ze stolu spadne? Pohyb řetězu ze stolu způsobuje tíhová síla působící na část řetězu visící ze stolu, její velikost je F = m l yg, kde l je délka řetězu, m hmotnost řetězu a y je velikost části řetězu, již visící ze stolu, g = 9, 81 m s 2. Víme, že podle 2. Newtonova zákonu je F = mÿ, po dosazení a úpravách dostáváme diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci y(t) mÿ = m l yg ÿ g l y = 0. 29

31 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR r 2 g l = 0... příslušná charakteristická rovnice g r 1,2 = ± l Obecné řešení rovnice je ve tvaru: g ŷ = y = C 1 e l t + C 2 e g Dosadíme počáteční podmínky v čase t = 0, y(0) = 0, 3 a ẏ(0) = 0, g y = C 1 e l t + C 2 e g l t ẏ = C 1 g l e g l t C 2 g l e g l t 0, 3 = C 1 e 0 + C 2 e 0 9, 81 9, 81 0 = 3 C 1e 0 3 C 2e 0 C 1 = C 2 0, 3 = C 1 + C 1 C 1 = C 2 = 0, 15 l t. a dostaneme řešení ve tvaru ( g y = 0, 15 e l t + e g t) l. Úkolem je určit čas, za který řetěz spadne ze stolu, tudíž je potřeba z řešení vyjádřit t. Rovnici vynásobíme 1 0,15 e g l t a dostaneme kvadratickou rovnici proměnné e ( g e t) 2 1 l 0, 15 e g l t g y + 1 = 0 e l t = 1 0, 3 y ± g l t 1 4 0, 15 2 y2 1. Čas musí být nezáporný, proto má smysl pouze řešení e g l t = 1 0,3 y ,15 2 y 2 1, do kterého dosadíme za y = l a vyjádříme t: ( ) l t = g ln l 0, , 15 2 l2 1 = Řetěz ze stolu spadne za 1,66 sekund. 3 ( 9, 81 ln 3 0, 3 + ) , = 1, Řešení nehomogenní LDR Mějme nehomogenní LDR tj. b() = 0. a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(), Obecné řešení úplné rovnice je ve tvaru: y() = ŷ() + v(), 30

32 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR kde ŷ() je řešení příslušné zkrácené rovnice a v() je partikulární řešení úplné rovnice příslušné pravé straně b(). Řešení příslušné homogenní rovnice ŷ nalézt umíme. Partikulární řešení v() lze nalézt pomocí dvou metod: Lagrangeova metoda variace konstant - univerzální metoda metoda neurčitých koeficientů - metoda použitelná pouze v případě speciálního tvaru pravé strany Věta 3.3 (Princip superpozice) Necht v nehomogenní rovnici a 2 y + a 1 y + a 0 y = b() lze funkci b() rozložit na součet ve tvaru a necht v j () je partikulární řešení rovnice pak je partikulární řešení původní rovnice. b() = b 1 () + b 2 () + + b k () a 2 y + a 1 y + a 0 y = b j (), j = 1,..., k, v() = v 1 () + v 2 () + + v k () Metoda variace konstant Princip metody je analogický řešení lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Věta 3.4 (Variace konstant pro LDR 2. řádu) Obecné řešení rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = b() s konstantními koeficienty a 2, a 1, a 0 lze vyjádřit ve tvaru W1 () y() = ŷ() + v() = ŷ() + y 1 () W() d + y W2 () 2() W() d, kde ŷ() = C 1 y 1 () + C 2 y 2 () je obecné řešení příslušné zkrácené rovnice, W() wronskián jejího fundamentálního systému a W 1 (), W 2 () jsou determinanty vytvořené z wronskiánu W() nahrazením prvého resp. druhého sloupce vektorem pravých stran (0, b()/a 2 ). Úplnou lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a 2 y + a 1 y + a 0 y = b() budeme řešit za předpokladu, že známe řešení zkrácené rovnice ŷ = C 1 y 1 () + C 2 y 2 (). Předpokládejme, že obecné řešení úplné lineární diferenciální rovnice druhého řádu bude 31

33 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR mít stejný tvar jako řešení zkrácené rovnice, avšak ve vzorci nahradíme konstanty C 1, C 2 neznámými funkcemi C 1 (), C 2 (). Provedeme tzv. variaci konstant. Hledáme tedy řešení ve tvaru y() = C 1 ()y 1 () + C 2 ()y 2 (). Určíme derivaci odhadovaného řešení y = C 1 y 1 + C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 2 y 2. Volba nových funkcí C 1 (), C 2 () umožňuje stanovit vhodnou doplňující podmínku, a tou je požadavek, aby C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0. Dosazením podmínky do první derivace dostáváme y = C 1 y 1 + C 2y 2 a y = C 1 y 1 + C 1y 1 + C 2 y 2 + C 2 y 2. Získaný vztah pro funkci y() a její derivace dosadíme do úplné rovnice a po úpravě obdržíme C 1 (a 2 y 1 + a 1y 1 + a 0y 1 ) + C 2 (a 2 y 2 + a 1 y 2 + a 0 y 2 ) + a 2 (C 1 y 1 + C 2 y 2) = b(). Protože y 1, y 2 jsou řešení příslušné zkrácené rovnice, musí být výrazy v závorkách rovny nule a dostaneme C 1 y 1 + C 2 y 2 = b(). Tím jsme obdrželi druhou podmínku pro derivace a 2 neznámých funkcí C 1 (), C 2 () a můžeme řešit soustavu lineárních rovnic C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0, C 1 y 1 + C 2 y 2 = b(). a 2 Determinant soustavy je wronskiánem funkcí y 1, y 2 (W = y ) 1 y 2 y 1 y 2, který je různý od nuly, nebot obě funkce jsou podle předpokladu lineárně nezávislé. Soustava má tedy jediné řešení, které nalezneme pomoci Cramerova pravidla pro řešení soustav lineárních rovnic C 1 () = W 1() W(), C 2() = W 2() W(), kde W 1 = 0 y 2 b() a 2 y 2 a W y = y 1 Po integraci těchto vztahů dostaneme C 1 () = b() a 2. W1 () W() d + C W2 () 1, C 2 () = W() d + C 2, kde C 1, C 2 R. Dosadíme-li do předpokládaného řešení y() = C 1 ()y 1 () + C 2 ()y 2 () a po roznásobení dostaneme obecné řešení zadané rovnice v požadovaném tvaru W1 () y() = ŷ() + v() = C 1 y 1 () + C 2 y 2 () +y 1 () W() d + y W2 () 2() W() d. }{{}}{{} ŷ() v() 32

34 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Příklad 3.23 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y + y = 5e 2. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: y + y = 0 r = 0 r 1,2 = ±i Charakteristická rovnice má 2 kompleně sdružené kořeny, přičemž α = 0, β = 1, tedy řešení rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 cos + C 2 sin. Provedeme variaci konstant C 1 = C 1 (), C 2 = C 2 (): y = C 1 () cos + C 2 () sin. Pro určení neznámých funkcí C 1 () a C 2 () vypočteme příslušné determinanty: cos sin W() = sin cos = cos2 + sin 2 = 1, 0 sin W 1 () = 5e 2 cos = cos 0 5e2 sin, W 2 () = sin 5e 2 = 5e2 cos. Dále bude C 1 = W 1() W() = 5e2 sin C 1 = 5 C 2 = W 2() W() = 5e2 cos C 2 = 5 e 2 sin d = e 2 (cos 2 sin ) + C 1, e 2 cos d = e 2 (2 cos + sin ) + C 2. Nalezené C 1 a C 2 dosadíme do y = C 1 () cos + C 2 () sin ) ) y = (e 2 (cos 2 sin ) + C 1 cos + (e 2 (2 cos + sin ) + C 2 sin, po úpravě dostaneme obecné řešení ve tvaru y = ŷ() + v() = C 1 cos + C 2 sin + e 2. Příklad 3.24 Určete obecné řešení diferenciální rovnice y + 3y + 2y = e. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: y + 3y + 2y = 0 r 2 + 3r + 2 = 0 33 r 1 = 1 r 2 = 2

35 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Charakteristická rovnice má 2 různé reálné kořeny, tedy řešení rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 e + C 2 e 2. Provedeme variaci konstant C 1 = C 1 (), C 2 = C 2 (): y = C 1 ()e + C 2 ()e 2. Pro určení neznámých funkcí C 1 () a C 2 () vypočteme příslušné determinanty: e e 2 W() = = 2e 3 + e 3 = e 3, e 2e 2 0 e 2 W 1 () = e 2e 2 = e e, W e 0 2() = e e = Dále bude C 1 = W 1() W() = e 2 (1 + e )( e 3 ) = e 1 + e C 1 = C 2 = W 2() W() = e (1 + e )( e 3 ) = e2 1 + e C 2 = Nalezené C 1 a C 2 dosadíme do y = C 1 ()e + C 2 ()e 2 y = (ln 1 + e + C 1 ) e + (ln 1 + e e + C 2 ) e 2, po úpravě dostaneme obecné řešení ve tvaru e 1 + e. e 1 + e d = ln 1 + e + C 1, e e d = ln 1 + e e + C 2. y = ŷ() + v() = C 1 e + C 2 e 2 + e ln 1 + e + e 2 (ln 1 + e e ) Metoda neurčitých koeficientů Princip metody je založen na odhadu tvaru partikulárního řešení na základě tvaru pravé strany diferenciální rovnice. Metodu lze využít pouze pro tzv. speciální pravé strany - pravá strana rovnice je polynom, eponenciální funkce nebo funkce sinus či kosinus, případně jejich součiny. Tvar speciální pravé strany je dán následující větou. Věta 3.5 (Metoda neurčitých koeficientů pro LDR 2. řádu) Necht má pravá strana LDR s konstantními koeficienty tvar b() = e λ (p m () cos ω + q n () sin ω), kde p m (), q n () jsou polynomy stupňů m, n a λ, ω R. Je-li číslo λ ± iω k-násobným kořenem její charakteristické rovnice, potom volíme partikulární integrál (řešení) ve tvaru v() = k e λ (P M () cos ω + Q M () sin ω), kde M = ma{m, n}. 34

36 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Koeficienty polynomů P M () a Q M () určíme srovnávací metodou po dosazení partikulárního integrálu do původní rovnice. Poznámka speciální pravé strany: sin, cos(2) e, 3, e 3 nejsou speciální pravé strany: sin cos(3), ln, e 2 +2 Tvar partikulárního řešení odhadneme podle následující tabulky: - p m (), P m (), Q m () jsou polynomy m-tého stupně: A m m + + A 1 + A 0 - A, B R b() kořen charakteristické rovnice v() p m () r = 0, k-násobný r = 0 k P m () P m () e λ r = λ, k-násobný A k e λ r = λ Ae λ sin ω r = ±iω (A sin ω + B cos ω) cos ω r = ±iω A sin ω + B cos ω e λ p m () sin ω r = λ ± iω e λ (Q m () sin ω + P m () cos ω) e λ p m () cos ω r = λ ± iω e λ (Q m () sin ω + P m () cos ω) Příklad 3.25 Odhadněte pro rovnici y + 5y = b() tvar partikulárního řešení: a) b() = 5 2 b) b() = sin(5) c) b() = 3e 5 d) b() = 3e 5 e) b() = e cos 2 f) b() = e + 2 Nalezneme kořeny příslušné charakteristické rovnice: y + 5y = 0 r 2 + 5r = 0 r 1 = 0, r 2 = 5 a) b() = polynom druhého stupně tvar partikulárního řešení musí být tedy obecný polynom stejného stupně : A 2 + B + C (kontrola: po dosazení konkrétních hodnot A = 5, B = C = 0 dostaneme tvar pravé strany) - v případě, že na pravé straně je pouze polynom, kontrolujeme, zda je číslo 0 kořenem charakteristické rovnice: ano, 0 je jedním z kořenů r 1 = 0 35

37 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR - partikulární řešení bude ve tvaru : v() = (A 2 + B + C) b) b() = sin 5 - funkce sinus a konstanta tvar partikulárního řešení musí tedy obsahovat funkci sinus i kosinus se stejným argumentem: A sin 5 + B cos 5 (kontrola: po dosazení konkrétních hodnot A = 1, B = 0 dostaneme tvar pravé strany) - v případě, že na pravé straně je goniometrická funkce, kontrolujeme, zda je číslo ±5i kořenem charakteristické rovnice: není - partikulární řešení bude ve tvaru : v() = A sin 5 + B cos 5 c) b() = 3e 5 - eponenciální funkce a konstanta i tvar partikulárního řešení musí být eponenciální funkce se stejným argumentem: Ae 5 (kontrola: po dosazení konkrétních hodnot A = 3 dostaneme tvar pravé strany) - v případě, že na pravé straně je eponenciální funkce, kontrolujeme, zda je číslo 5 kořenem charakteristické rovnice: není - partikulární řešení bude ve tvaru : v() = Ae 5 d) b() = 3e 5 - eponenciální funkce a polynom prvního stupně i tvar partikulárního řešení musí být eponenciální funkce se stejným argumentem a polynom stejného stupně: (A + B)e 5 (kontrola: po dosazení konkrétních hodnot A = 3, B = 0 dostaneme tvar pravé strany) - v případě, že na pravé straně je eponenciální funkce, kontrolujeme, zda je číslo 5 kořenem charakteristické rovnice: ano, -5 je jedním z kořenů r 2 = 5 - partikulární řešení bude ve tvaru : v() = (A + B)e 5 e) b() = e cos 2 - eponenciální funkce, konstanta a funkce kosinus tvar partikulárního řešení musí obsahovat eponenciální funkci se stejným argumentem a obě goniometrické funkce se stejným argumentem: e (A cos 2 + B sin 2) (kontrola: po dosazení konkrétních hodnot A = 1, B = 0 dostaneme tvar pravé strany) - v případě, že na pravé straně je eponenciální funkce i goniometrická funkce, kontrolujeme, zda je číslo 1 ± 2i kořenem charakteristické rovnice: není - partikulární řešení bude ve tvaru : v() = e (A cos 2 + B sin 2) f) b() = e nejedná se o speciální tvar pravé strany (mezi konstantou a eponenciální fukncí není součin), ale je dána jako součet dvou funkcí, z nichž každá má tvar speciální pravé strany, tzn. lze využít principu superpozice a odhad nalezneme ve tvaru v() = v 1 () + v 2 (), kde v 1 () bude odpovídat funkci b 1 () = e a v 2 () funkci b 2 () = 2 v 1 () = Ae - eponenciální funkce (1 není kořen) v 2 () = B - konstanta (0 je kořen obecnou konstantu násobíme ) 36

38 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR - partikulární řešení bude tedy ve tvaru : v() = Ae + B Nalezení koeficientů Po správném určení tvaru partikulárního řešení zbývá dopočítat neznámé koeficienty polynomů. 1. odhadovaný tvar řešení v() a jeho první a druhou derivaci dosadíme do původní (úplné) rovnice za y, y, y 2. dostaneme jednu rovnici pro neznámé koeficienty polynomů a tu řešíme známou metodou neurčitých koeficientů, která spočívá v porovnání koeficientů u jednotlivých lineárně nezávislých funkcí na obou stranách rovnice - dostaneme soustavu lineárních rovnic, kterou vyřešíme Příklad 3.26 Řešte diferenciální rovnici y + 4y = 2. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: y + 4y = 0 r = 0 r 1,2 = ±2i Charakteristická rovnice má 2 kompleně sdružené kořeny, přičemž α = 0, β = 2, tedy řešení zkrácené rovnice je ve tvaru: ŷ = C 1 cos 2 + C 2 sin 2. b() = 2 - speciální pravá strana použijeme metodu neurčitých koeficientů partikulární řešení je ve tvaru (0 není kořen) : v() = A určíme první a druhou derivaci odhadnutého tvaru řešení: v = 0, v = 0, dosadíme do původní rovnice y + 4y = 2 a dostaneme: partikulární řešení je : 0 + 4A = 2 A = 1 2 v = 1 2 obecné řešení rovnice dostaneme jako y = ŷ() + v(): y = ŷ() + v() = C 1 cos 2 + C 2 sin

39 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Příklad 3.27 Řešte diferenciální rovnici y 10y + 24y = (3 1)e 3. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: řešení zkrácené LDR druhého řádu bude y 10y + 24y = 0 r 2 10r + 24 = 0 r 1 = 4 r 2 = 6 ŷ = C 1 e 4 + C 2 e 6. b() = (3 1)e 3 - speciální pravá strana použijeme metodu neurčitých koeficientů partikulární řešení je ve tvaru (3 není kořen) : v() = (A + B)e 3 příslušné derivace jsou v = Ae 3 + 3(A + B)e 3, v = 6Ae 3 + 9e 3 (A + B). odhad řešení a derivace dosadíme do úplné rovnice 6Ae 3 + 9e 3 (A + B) 10 (Ae 3 + 3(A + B)e 3) }{{} v po úpravě dostaneme } {{ } v 3Ae 3 + ( 4A + 3B)e 3 = 3e 3 e (A + B) e = (3 1)e 3 }{{} v() porovnáme koeficienty u výrazů e 3 a e 3 na obou stranách rovnice e 3 } : 3A = 3 e 3 A = 1 a B = 1. : 4A + 3B = 1 partikulární řešení je obecné řešení úplné rovnice má tvar v() = ( + 1) e 3 y = ŷ() + v() = C 1 e 4 + C 2 e 6 + ( + 1) e 3. Příklad 3.28 Řešte diferenciální rovnici y 2y + y = e 2. 38

40 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: řešení zkrácené LDR druhého řádu je y 2y + y = 0 r 2 2r + 1 = 0 r 1,2 = 1 ŷ = C 1 e + C 2 e. b() = e 2 - není speciální pravá strana, ale dle principu superpozice lze pravou stranu rozložit na součet funkcí kde b 1 () = a b 2 () = e b() = b 1 () + b 2 () = e, partikulární řešení rovnice s pravou stranou b 1 () (y 2y + y = 2 2 2) je ve tvaru (0 není kořen) : v 1 () = A 2 + B + C příslušné derivace jsou v 1 = 2A + B, v 1 = 2A. odhad řešení a derivace dosadíme do rovnice y 2y + y = A 2(2A + B) + A 2 + B + C = porovnáme koeficienty u výrazů 2, 1 a 0 na obou stranách rovnice 2 : A = 2 1 : 4A + B = 0 A = 2, B = 8 a C = : 2A 2B + C = 2 partikulární řešení je v 1 () = určíme partikulární řešení rovnice s pravou stranou b 2 () (y 2y + y = e ) je ve tvaru (1 je dvojnásobný kořen) : v 2 () = A 2 e příslušné derivace jsou v 2 = 2Ae + A 2 e, v 2 = 2Ae + 4Ae + A 2 e. odhad řešení a derivace dosadíme do rovnice y 2y + y = e 2Ae + 4Ae + A 2 e 2(2Ae + A 2 e ) + A 2 e = e po jednoduchých úpravách a po zkrácení rovnice funkcí e dostaneme 2A = 1 A =

41 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR partikulární řešení rovnice je v 2 () = e obecné řešení rovnice y 2y + y = e 2 má tvar y = ŷ() + v 1 () + v 2 () = C 1 e + C 2 e e Příklad 3.29 Řešte diferenciální rovnici y 2y + 2y = e sin. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: řešení zkrácené LDR druhého řádu bude y 2y + 2y = 0 r 2 2r + 2 = 0 r 1,2 = 1 ± i ŷ() = C 1 e cos + C 2 e sin. b() = e sin - speciální pravá strana použijeme metodu neurčitých koeficientů partikulární řešení je ve tvaru (1 ± i je kořen) : v() = e (A sin + B cos ) příslušné derivace jsou v = e (A sin + B cos ) + e (A sin + B cos ) + e (A cos B sin ), v = 2e ((A + B + B) cos (A B + A) sin ). odhad řešení a derivace dosadíme do úplné rovnice 2e ((A + B + B) cos (A B + A) sin ) 2e (A sin + B cos + (A sin po úpravě dostaneme +B cos + A cos B sin )) + 2e (A sin + B cos ) = e sin 2B cos 2A sin = sin. porovnáme koeficienty u výrazů cos a sin na obou stranách rovnice } cos : 2B = 0 A = sin : 2A = a B = 0. partikulární řešení je obecné řešení úplné rovnice má tvar v() = 1 2 e sin y = ŷ() + v() = C 1 e cos + C 2 e sin 1 2 e sin. 40

42 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Příklad 3.30 Řešte diferenciální rovnici y 8y + 16y = 32 cos sin 4. Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: řešení zkrácené LDR druhého řádu bude y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = 0 r 1,2 = 4 ŷ() = C 1 e 4 + C 2 e 4. b() = 32 cos sin 4 - speciální pravá strana použijeme metodu neurčitých koeficientů partikulární řešení je ve tvaru (±4i není kořen) : v() = (A + B) cos 4 + (C + D) sin 4 příslušné derivace jsou v = (A + 4D) cos 4 + 4C cos 4 + ( 4B + C) sin 4 4A sin 4, v = (8C 16B) cos 4 16A cos 4 + ( 8A 16D) sin 4 16C sin 4. odhad řešení a derivace dosadíme do úplné rovnice a po úpravě dostaneme ( 8A + 8C 32D) cos 4 + ( 8A + 32B 8C) sin 4 32C cos A sin 4 = 32 cos sin. porovnáme koeficienty u výrazů cos 4, cos 4, sin 4 a sin 4 na obou stranách rovnice cos 4 : 8A + 8C 32D = 0 sin 4 : 8A + 32B 8C = 4 cos 4 : 32C = 32 sin 4 : 32A = 0 A = 0, B = 1 8, C = 1, D = 1 4. partikulární řešení je v() = 1 8 cos 4 sin 4 1 sin 4 4 obecné řešení úplné rovnice má tvar y = ŷ() + v() = C 1 e 4 + C 2 e cos 4 sin 4 1 sin 4. 4 Příklad 3.31 Řešte Cauchyho úlohu y + y = 2, y(0) = 1, y (0) = 2. Pokud to lze, použijte k nalezení obecného řešení obě metody. 41

43 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Nalezneme řešení příslušné homogenní rovnice: řešení zkrácené rovnice je 1) Metoda neurčitých koeficientů b() = 2 - speciální pravá strana y + y = 0 r = 0 r 1,2 = ±i ŷ() = C 1 cos + C 2 sin. partikulární řešení je ve tvaru (0 není kořen) : v() = A 2 + B + C příslušné derivace jsou v = 2A + B, v = 2A. odhad řešení a derivace dosadíme do úplné rovnice }{{} 2A v + } A 2 + {{ B + C } = 2 v() porovnáme koeficienty u výrazů 2, 1 a 0 na obou stranách rovnice 2 : A = 1 1 : B = 0 A = 1, B = 0 a C = 2. 0 : 2 + C = 0 partikulární řešení je obecné řešení úplné rovnice má tvar v() = 2 2 y = ŷ() + v() = C 1 cos + C 2 sin ) Metoda variace konstant Provedeme variaci konstant C 1 = C 1 (), C 2 = C 2 (): y = C 1 () cos + C 2 () sin. Pro určení neznámých funkcí C 1 () a C 2 () vypočteme příslušné determinanty: cos sin W() = sin cos = 1, W 1 () = 0 sin cos = cos 0 2 sin, W 2 () = sin 2 = 2 cos. 2 42

44 3.2. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Dále bude C 1 = W 1() W() = 2 sin C 1 = C 2 = W 2() W() = 2 cos C 2 = 2 sin d = 2 cos 2 sin 2 cos + C 1, 2 cos d = 2 sin + 2 cos 2 sin + C 2. Nalezené C 1 a C 2 dosadíme do y = C 1 () cos + C 2 () sin ) ) y = ( 2 cos 2 sin 2 cos + C 1 cos + ( 2 sin + 2 cos 2 sin + C 2 sin, po úpravě dostaneme obecné řešení ve tvaru y = C 1 cos + C 2 sin Dosazením počátečních podmínek y(0) = 1, y (0) = 2 do obecného řešení a jeho derivace určíme konstanty C 1, C 2. Hledané řešení je ve tvaru: y = C 1 cos + C 2 sin y = C 1 sin + C 2 cos = C 1 2 C 1 = 3 2 = C 2 y = 3 cos + 2 sin Úlohy k samostatnému řešení Řešte diferenciální rovnice: a) y 2y = b) y 3y 4y = 3e 2 c) y + y 2y = 2 d) y + 2y = 8 cos 4 f) y 5y + 4y = e sin g) y 3y 10y = 2(7 + 1)e 5 h) y 5y + 6y = i) y 4y = 4 sin cos e) y 2y + 10y = 12e cos 3 Úlohy k samostatnému řešení Řešte Cauchyho úlohu: ( a) y π ) + 9y = 8 cos, y 3 ( = 0, y π ) 3 = 3 2 b) y 5y + 6y = (2 + 1)e 2, y(0) = 4, y (0) = 2 c) y 4y + 3y = e 4, y(0) = 1, y (0) = 4 43

45 ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Zlín, 2015 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky FAI UTB ve Zlíně

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více