Diferenciální rovnice a dynamické modely

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální rovnice a dynamické modely"

Transkript

1 Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009

2 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem je matematika. A. Turing: Věda je diferenciální rovnice. Náboženství je hraniční podmínka. A. N. Whitehead: Není běžnějšího omylu než věřit, že kž provedeme dlouhé a přesné matematické výpočty, je pak aplikace výsledku na nějaký fakt v přírodě absolutně jistá. Rosenblueth & Wiener: Nejlepším modelem kočky je zase kočka, pokud možno ta samá. c Robert Mařík, 2009

3 Obsah 1 Motivace 4 Rovnice samočištění jezer Malthusův růst (exponenciální) Verhulst Pearlův růst (logistický) Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice prvního řádu 18 Rovnice y = y cosx Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými c Robert Mařík, 2009

4 1 Motivace Růst populace Nechť veličina y udává velikost určité populace v čase x. Potom veličina y udává rychlost změny této populace. Populací rozumíme v širším slova smyslu soubor objektů či jedinců, vykazujících určitou společnou vlastnost. Rychlostí změny rozumíme počet nových jedinců snížený o počet uhynulých či jinak odstraněných jedinců za jednotku času. Kladná rychlost velikost populace roste Záporná rychlost velikost populace klesá Motivace c Robert Mařík, 2009

5 Rovnice samočištění jezer r 1 V 1, y 1 r 1 y 1 = r 1 y V 1 +f 1 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 V jezeře je znečištěná voda objemuv 1 [m 3 ], intenzita znečištění je y 1 [kg]. y je rychlost vyplavování nečistot množství nečistot[kg], které jsou za časovou jednotku vyplaveny z jezera. 1 Do jezera vtéká čistá voda rychlostí r 1 a vytéká i s nečistotami toutéž rychlostí. Koncentrace nečistot je y 1 V 1 [kg/m 3 ] a za každou časovou jednotku z jezera vyteče r 1 m 3 vo, které obsahují y 1 r 1 kg nečistot. V 1 Motivace c Robert Mařík, 2009

6 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 V 1, y 1 r 1 y 1 = r 1 y V 1 +f 1 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Modifikace předchozí úlohy předpokládejme navíc, že nečistoty jsou i v přítoku do jezera a f 1 je množství (v kg) nečistot, které se za časovou jednotku dostanou do jezera v přitékající vodě. Motivace c Robert Mařík, 2009

7 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Další modifikace předchozí úlohy předpokládáme, že voda teče do druhého jezera o objemu V 2, v němž je intenzita znečištění y 2 a vytéká rychlostí r 2 = r 1. Motivace c Robert Mařík, 2009

8 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 r 3, f 2 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Má-li druhé jezero ještě jeden přítok, o velikosti r 3, který je znečištěný tak, že nečistoty přibývají rychlostí f 2, objeví se v rovnicích další člen. V tomto případě navíc platí r 2 = r 1 +r 3. Motivace c Robert Mařík, 2009

9 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 r 3, f 2 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Podobným způsobem je možno sestavit model větší soustavy jezer například velkých kanadských jezer. Jako řešení modelu získáme informaci o tom, jak rychle nečistoty protékají jezerním systémem. Motivace c Robert Mařík, 2009

10 Malthusův růst (exponenciální) y = ry y(0) = y 0 Velikost populace stále roste. Předpoklad: Rychlost růstu je přímo úměrná velikosti populace (specifická míra růstu je konstantní) y(0) = y 0 je počáteční podmínka. Řešením je exponenciální funkce y = K e rx. Model není realistický pro velká y. Růst populace nad přijatelnou mez způsobí destrukci životního prostředí. Motivace c Robert Mařík, 2009

11 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Velikost populace roste pro y < K a klesá pro y > K. Specifiká míra růstu lineárně klesá s velikostí populace. Řešením je logistická křivka. K Verhulst Pearlův r: invazní parametr růst s lovem K : nosná intenzity kapacita h prostředí ( ) Motivace c Robert Mařík, 2009

12 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( y 1 = r 1 1 y ) 1 y K 1 ay 1 y Při vnějších změnách prostředí se 2 1 druh s těmito změnami musí vyrovnat ( y 2 = r 2 1 y ) 2 y K 2 by 1 y 2 r-strategie 2 K -strategie Motivace c Robert Mařík, 2009

13 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Rovnice sociální difúze (rovnice "šíření drbů") y = ay(m y) Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h ( y = r 1 y ) Podobně y h y(0) = y K 0 Šíření epidemií (Kermack+Mc Kendrik 1927) Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi Šíření vzorců chování ((evoluční y 1 = r 1 1 y ) hra "jestřáb holubice") 1 Ostrovní ekologie kolonizacey K ostrova 1 ay 1 yživ. 2 druhy z pevniny (Mac Arthur+Wilson ( 60. léta 1 y 2 = r 2 1 y ) 20. stol) 2 y 2 by 1 y 2 Motivace K 2 c Robert Mařík, 2009

14 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( y 1 = r 1 1 y ) 1 y K 1 ay 1 y 2 ( 1 y 2 = r 2 1 y ) 2 y K 2 by 1 y 2 h: intenzita lovu 2 Problém: Jak nastavit parametry systému tak, aby h bylo trvale co největší a aby nedošlo ke zdecimování populace? Motivace c Robert Mařík, 2009

15 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( 1 y ) 1 y 1 ay 1 y 2 y 1 = r 1 ( y 2 = r 2 K 1 1 y 2 K 2 ) y 2 by 1 y 2 Motivace c Robert Mařík, 2009

16 2 Diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice jsou vztahy mezi neznámou funkcí a její derivací (jejími derivacemi). Např. y +xy ln(1 y 2 ) = 4 je diferenciální rovnice prvního řádu (obsahuje jenom první derivaci), rovnice y + 2y 4y = sinx je diferenciální rovnice druhého řádu. Nejednoduššími diferenciálními rovnicemi jsou rovnice typu y = f (x). Například řešením rovnice je každá funkce tvaru y = x y = x2 2 +C, kde C je libovolná reálná konstanta. Diferenciální rovnice. c Robert Mařík, 2009

17 FYZIKÁLNÍ POPIS PROBLÉMU: scénář vývoje + počáteční stav budoucí stav systému "Scénářem vývoje" je zpravidla nějaký fyzikální zákon. Většinou tvrzení tvaru "změna jedné veličiny vyvolává odpovídající změnu veličiny jiné", nebo "působení jedné veličiny vyvolává odpovídající změnu jiné veličiny". Časová změna hybnosti tělesa je rovna výsledné působící síle (druhý Newtonův pohybový zákon). F = m dv dt Velikost indukovaného proudu v cívce je přímo úměrná časové změně indukčního toku cívkou (Faradayův indukční zákon). MATEMATICKÝ POPIS: diferenciální rovnice + počáteční podmínka řešení rovnice

18 3 Diferenciální rovnice prvního řádu Definice (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí (ODR)) s neznámou y rozumíme rovnici tvaru y = f (x,y) (1) kde f je funkce dvou proměnných. Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu I rozumíme každou funkciy = y(x), která splňuje identicky (1) na I. Daná diferenciální rovnice má zpravidla nekonečně mnoho řešení Například řešením rovnice y = y je nejen funkce y = e x, ale i např. funkce y = C e x, kde C R.

19 Definice (počáteční podmínka, počáteční úloha). Úloha najít řešení rovnice (1), které splňuje zadanou počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0 (2) se nazývá počáteční Cauchyova úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (2) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod x 0 řešením rovnice (1). Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (1). Graf partikulárního řešení se nazývá integrální křivka. Má daná rovnice (počáteční úloha) řešení? Na jakém intervalu je toto řešení definováno? Je toto řešení určeno jednoznačně? Lze toto řešení nalézt analytickou cestou? (pomocí integrálního počtu)?

20 Nejjednodušším příkladem diferenciální rovnice je rovnice tvaru Řešením rovnice (3) je funkce y = f (x) dx+c, y = f (x). (3) kde C je libovolná konstanta. Takovýto vztah, popisující všechna řešení, nazýváme obecné řešení rovnice. Libovolné partikulární řešení získáme z obecného řešení vhodnou volbou konstanty. Poznámka 1 (obecné a partikulární řešení). Podobný princip platí i u dalších diferenciálních rovnic. Funkcí které vyhovují diferenciální rovnici prvního řádu je nekonečně mnoho, zapíšeme-li všechny jedním vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu C. Takový vzorec se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice. Každé jednotlivé (partikulární) řešení lze z tohoto vzorce obdržet 1 vhodnou volbou konstanty C. 1 i z tohoto pravidla však existují výjimky, :)

21 Definice (ODR se separovanými proměnnými). ODR tvaru y = f (x)g(y), (4) kde f a g jsou spojité funkce na otevřených intervalech nazýváme obyčejnou diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými. Počáteční úloha pro rovnici se separovanými proměnnými nemusí mít vž jediné řešení. Existují dokonce řešení, které mají porušenu jednoznačnost v každém bodě svého definičního oboru. Tato řešení se nazývají singulární.

22 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Rovnice může sloužit jako jednoduchý model sezónní populace specifická míra růstu, funkce cosx, se periodicky mění s časem.

23 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Přepíšeme derivaci y jako podíl dx

24 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Násobením převedeme proměnnou y na jednu a proměnnou x na druhou stranu. Podle předpokladů je alespoň v nějakém okolí bodu x = 0 funkce y nenulová.

25 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Připíšeme integrály na obě strany rovnice, vlevo je te integrál v proměnné y a vpravo integrál v proměnné x.

26 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme C = ln 0.1 integrály. Podle předpokladů je funkce y kladná (alespoň lny = sinx v nějakém + ln 0.1okolí bodu x = 0). Integrační konstantu stačí uvažovat pouze jednu. Dostáváme rovnici, která popisuje všechny funkce, splňující rovnici y = y cosx.

27 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Dosadíme z počáteční podmínky a určíme velikost integrační konstanty.

28 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme C.

29 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Dosadíme do rovnice popisující všechna řešení a obdržíme řešení úlohy. Toto řešení je v implicitním tvaru a ještě se jej pokusíme převést do tvaru explicitního.

30 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Převedeme logaritmy na jednu stranu.

31 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Sloučíme logaritmy.

32 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Odlogaritmujeme pomocí inverzní funkce k logaritmu pomocí exponenciální funkce.

33 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme y. Tato funkce představuje řešení naší úlohy.

34 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Názvosloví: diferenciální rovnice + počáteční podmínka = počáteční úloha, obecné řešení, partikulární řešení (řešení počáteční úlohy)

35 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. Diferenciální rovnice se separovanými dx = f (x)g(y) proměnnými je rovnice, jejíž pravá strana se dá vyjádřit jako součin funkce proměnné x a funkce = f (x) dx proměnné y. Například rovnice g(y) y = g(y) x 2 (1+y) f (x) dx+c má tuto vlastnost, zatímco rovnice ne. y = x 2 +y

36 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) Nejprve hledejme konstantní řešení. g(y) = f (x) Protože dx+c derivace konstanty je nula, budou tato konstantní řešení produkovat nulu na levé i na pravé straně rovnice. Například konstantní řešení rovnice jsou funkce y(x) = 0 a y(x) = 1. y = x (1 y)y

37 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Přepíšeme derivaci y jako podíl dx

38 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Násobením a dělením převedeme výrazy s jednou proměnnou na jednu stranu a výrazy s druhou proměnnou na stranu druhou.

39 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Zintegrujeme obě strany a po výpočtu integrálů na jedné straně budeme uvažovat integrační konstantu, která může nabývat libovolné reálné hodnoty. Obdrželi jsme obecné řešení rovnice.

40 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Je-li zadána počáteční podmínka, dosadíme a určíme partikulární řešení podobně jako v předchozím případě.

41 Rovnice typu y (n) = f (x) y (n 1) = f (x) dx+c 1, ( ) y (n 2) = f (x) dx dx +C 1 x +C 2, ( ( ) ) y (n 3) = f (x) dx dx + C 1 2 x2 +C 2 x +C 3,. y = f (x) dx dx +C 1 x n 1 +C 2 x n 2 + +C n Počáteční podmínky: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,..., y(n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0,

42 KONEC

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Diferenciální rovnice II

Diferenciální rovnice II Diferenciální rovnice II Cílem tohoto kurzu je ukázat si různé příklady použití počítačového algebraického systému Maple při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. řádu a soustav obyčejných diferenciálních

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3.

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3. Vnitřní energie U Vnitřní energie U je stavová veličina U = U (p, V, T), ale závisí pouze na teplotě (experiment Gay-Lussac / Joule) U = f(t) Pro měrnou vnitřní energii (tedy pro vnitřní energii jednoho

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Funkce více proměnných - úvod

Funkce více proměnných - úvod Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více