Diferenciální rovnice a dynamické modely

Transkript

1 Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009

2 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem je matematika. A. Turing: Věda je diferenciální rovnice. Náboženství je hraniční podmínka. A. N. Whitehead: Není běžnějšího omylu než věřit, že kž provedeme dlouhé a přesné matematické výpočty, je pak aplikace výsledku na nějaký fakt v přírodě absolutně jistá. Rosenblueth & Wiener: Nejlepším modelem kočky je zase kočka, pokud možno ta samá. c Robert Mařík, 2009

3 Obsah 1 Motivace 4 Rovnice samočištění jezer Malthusův růst (exponenciální) Verhulst Pearlův růst (logistický) Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice prvního řádu 18 Rovnice y = y cosx Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými c Robert Mařík, 2009

4 1 Motivace Růst populace Nechť veličina y udává velikost určité populace v čase x. Potom veličina y udává rychlost změny této populace. Populací rozumíme v širším slova smyslu soubor objektů či jedinců, vykazujících určitou společnou vlastnost. Rychlostí změny rozumíme počet nových jedinců snížený o počet uhynulých či jinak odstraněných jedinců za jednotku času. Kladná rychlost velikost populace roste Záporná rychlost velikost populace klesá Motivace c Robert Mařík, 2009

5 Rovnice samočištění jezer r 1 V 1, y 1 r 1 y 1 = r 1 y V 1 +f 1 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 V jezeře je znečištěná voda objemuv 1 [m 3 ], intenzita znečištění je y 1 [kg]. y je rychlost vyplavování nečistot množství nečistot[kg], které jsou za časovou jednotku vyplaveny z jezera. 1 Do jezera vtéká čistá voda rychlostí r 1 a vytéká i s nečistotami toutéž rychlostí. Koncentrace nečistot je y 1 V 1 [kg/m 3 ] a za každou časovou jednotku z jezera vyteče r 1 m 3 vo, které obsahují y 1 r 1 kg nečistot. V 1 Motivace c Robert Mařík, 2009

6 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 V 1, y 1 r 1 y 1 = r 1 y V 1 +f 1 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Modifikace předchozí úlohy předpokládejme navíc, že nečistoty jsou i v přítoku do jezera a f 1 je množství (v kg) nečistot, které se za časovou jednotku dostanou do jezera v přitékající vodě. Motivace c Robert Mařík, 2009

7 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Další modifikace předchozí úlohy předpokládáme, že voda teče do druhého jezera o objemu V 2, v němž je intenzita znečištění y 2 a vytéká rychlostí r 2 = r 1. Motivace c Robert Mařík, 2009

8 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 r 3, f 2 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Má-li druhé jezero ještě jeden přítok, o velikosti r 3, který je znečištěný tak, že nečistoty přibývají rychlostí f 2, objeví se v rovnicích další člen. V tomto případě navíc platí r 2 = r 1 +r 3. Motivace c Robert Mařík, 2009

9 Rovnice samočištění jezer r 1, f 1 r 3, f 2 V 1, y 1 r 1 r 2 V 2, y 2 y 1 = r 1 V 1 y 1 +f 1 y 2 = r 1 V 1 y 1 r 2 V 2 y 2 +f 2 Podobným způsobem je možno sestavit model větší soustavy jezer například velkých kanadských jezer. Jako řešení modelu získáme informaci o tom, jak rychle nečistoty protékají jezerním systémem. Motivace c Robert Mařík, 2009

10 Malthusův růst (exponenciální) y = ry y(0) = y 0 Velikost populace stále roste. Předpoklad: Rychlost růstu je přímo úměrná velikosti populace (specifická míra růstu je konstantní) y(0) = y 0 je počáteční podmínka. Řešením je exponenciální funkce y = K e rx. Model není realistický pro velká y. Růst populace nad přijatelnou mez způsobí destrukci životního prostředí. Motivace c Robert Mařík, 2009

11 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Velikost populace roste pro y < K a klesá pro y > K. Specifiká míra růstu lineárně klesá s velikostí populace. Řešením je logistická křivka. K Verhulst Pearlův r: invazní parametr růst s lovem K : nosná intenzity kapacita h prostředí ( ) Motivace c Robert Mařík, 2009

12 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( y 1 = r 1 1 y ) 1 y K 1 ay 1 y Při vnějších změnách prostředí se 2 1 druh s těmito změnami musí vyrovnat ( y 2 = r 2 1 y ) 2 y K 2 by 1 y 2 r-strategie 2 K -strategie Motivace c Robert Mařík, 2009

13 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Rovnice sociální difúze (rovnice "šíření drbů") y = ay(m y) Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h ( y = r 1 y ) Podobně y h y(0) = y K 0 Šíření epidemií (Kermack+Mc Kendrik 1927) Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi Šíření vzorců chování ((evoluční y 1 = r 1 1 y ) hra "jestřáb holubice") 1 Ostrovní ekologie kolonizacey K ostrova 1 ay 1 yživ. 2 druhy z pevniny (Mac Arthur+Wilson ( 60. léta 1 y 2 = r 2 1 y ) 20. stol) 2 y 2 by 1 y 2 Motivace K 2 c Robert Mařík, 2009

14 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( y 1 = r 1 1 y ) 1 y K 1 ay 1 y 2 ( 1 y 2 = r 2 1 y ) 2 y K 2 by 1 y 2 h: intenzita lovu 2 Problém: Jak nastavit parametry systému tak, aby h bylo trvale co největší a aby nedošlo ke zdecimování populace? Motivace c Robert Mařík, 2009

15 Verhulst Pearlův růst (logistický) y = r ( 1 y ) y y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s lovem intenzity h y = r ( 1 y ) y h y(0) = y K 0 Verhulst Pearlův růst s konkurencí mezi dvěma populacemi ( 1 y ) 1 y 1 ay 1 y 2 y 1 = r 1 ( y 2 = r 2 K 1 1 y 2 K 2 ) y 2 by 1 y 2 Motivace c Robert Mařík, 2009

16 2 Diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice jsou vztahy mezi neznámou funkcí a její derivací (jejími derivacemi). Např. y +xy ln(1 y 2 ) = 4 je diferenciální rovnice prvního řádu (obsahuje jenom první derivaci), rovnice y + 2y 4y = sinx je diferenciální rovnice druhého řádu. Nejednoduššími diferenciálními rovnicemi jsou rovnice typu y = f (x). Například řešením rovnice je každá funkce tvaru y = x y = x2 2 +C, kde C je libovolná reálná konstanta. Diferenciální rovnice. c Robert Mařík, 2009

17 FYZIKÁLNÍ POPIS PROBLÉMU: scénář vývoje + počáteční stav budoucí stav systému "Scénářem vývoje" je zpravidla nějaký fyzikální zákon. Většinou tvrzení tvaru "změna jedné veličiny vyvolává odpovídající změnu veličiny jiné", nebo "působení jedné veličiny vyvolává odpovídající změnu jiné veličiny". Časová změna hybnosti tělesa je rovna výsledné působící síle (druhý Newtonův pohybový zákon). F = m dv dt Velikost indukovaného proudu v cívce je přímo úměrná časové změně indukčního toku cívkou (Faradayův indukční zákon). MATEMATICKÝ POPIS: diferenciální rovnice + počáteční podmínka řešení rovnice

18 3 Diferenciální rovnice prvního řádu Definice (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí (ODR)) s neznámou y rozumíme rovnici tvaru y = f (x,y) (1) kde f je funkce dvou proměnných. Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu I rozumíme každou funkciy = y(x), která splňuje identicky (1) na I. Daná diferenciální rovnice má zpravidla nekonečně mnoho řešení Například řešením rovnice y = y je nejen funkce y = e x, ale i např. funkce y = C e x, kde C R.

19 Definice (počáteční podmínka, počáteční úloha). Úloha najít řešení rovnice (1), které splňuje zadanou počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0 (2) se nazývá počáteční Cauchyova úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (2) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod x 0 řešením rovnice (1). Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (1). Graf partikulárního řešení se nazývá integrální křivka. Má daná rovnice (počáteční úloha) řešení? Na jakém intervalu je toto řešení definováno? Je toto řešení určeno jednoznačně? Lze toto řešení nalézt analytickou cestou? (pomocí integrálního počtu)?

20 Nejjednodušším příkladem diferenciální rovnice je rovnice tvaru Řešením rovnice (3) je funkce y = f (x) dx+c, y = f (x). (3) kde C je libovolná konstanta. Takovýto vztah, popisující všechna řešení, nazýváme obecné řešení rovnice. Libovolné partikulární řešení získáme z obecného řešení vhodnou volbou konstanty. Poznámka 1 (obecné a partikulární řešení). Podobný princip platí i u dalších diferenciálních rovnic. Funkcí které vyhovují diferenciální rovnici prvního řádu je nekonečně mnoho, zapíšeme-li všechny jedním vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu C. Takový vzorec se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice. Každé jednotlivé (partikulární) řešení lze z tohoto vzorce obdržet 1 vhodnou volbou konstanty C. 1 i z tohoto pravidla však existují výjimky, :)

21 Definice (ODR se separovanými proměnnými). ODR tvaru y = f (x)g(y), (4) kde f a g jsou spojité funkce na otevřených intervalech nazýváme obyčejnou diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými. Počáteční úloha pro rovnici se separovanými proměnnými nemusí mít vž jediné řešení. Existují dokonce řešení, které mají porušenu jednoznačnost v každém bodě svého definičního oboru. Tato řešení se nazývají singulární.

22 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Rovnice může sloužit jako jednoduchý model sezónní populace specifická míra růstu, funkce cosx, se periodicky mění s časem.

23 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Přepíšeme derivaci y jako podíl dx

24 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Násobením převedeme proměnnou y na jednu a proměnnou x na druhou stranu. Podle předpokladů je alespoň v nějakém okolí bodu x = 0 funkce y nenulová.

25 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Připíšeme integrály na obě strany rovnice, vlevo je te integrál v proměnné y a vpravo integrál v proměnné x.

26 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme C = ln 0.1 integrály. Podle předpokladů je funkce y kladná (alespoň lny = sinx v nějakém + ln 0.1okolí bodu x = 0). Integrační konstantu stačí uvažovat pouze jednu. Dostáváme rovnici, která popisuje všechny funkce, splňující rovnici y = y cosx.

27 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Dosadíme z počáteční podmínky a určíme velikost integrační konstanty.

28 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme C.

29 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Dosadíme do rovnice popisující všechna řešení a obdržíme řešení úlohy. Toto řešení je v implicitním tvaru a ještě se jej pokusíme převést do tvaru explicitního.

30 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Převedeme logaritmy na jednu stranu.

31 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Sloučíme logaritmy.

32 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Odlogaritmujeme pomocí inverzní funkce k logaritmu pomocí exponenciální funkce.

33 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Vypočteme y. Tato funkce představuje řešení naší úlohy.

34 Najděte funkci splňující y = y cosx a podmínku y(0) = 0.1 dx = y cosx 1 y = cosx dx lny = sinx +C ln 0.1 = sin 0+C C = ln 0.1 lny = sinx + ln 0.1 lny ln 0.1 = sinx ln y 0.1 = sinx y 0.1 = esinx y = 0.1 e sinx Názvosloví: diferenciální rovnice + počáteční podmínka = počáteční úloha, obecné řešení, partikulární řešení (řešení počáteční úlohy)

35 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. Diferenciální rovnice se separovanými dx = f (x)g(y) proměnnými je rovnice, jejíž pravá strana se dá vyjádřit jako součin funkce proměnné x a funkce = f (x) dx proměnné y. Například rovnice g(y) y = g(y) x 2 (1+y) f (x) dx+c má tuto vlastnost, zatímco rovnice ne. y = x 2 +y

36 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) Nejprve hledejme konstantní řešení. g(y) = f (x) Protože dx+c derivace konstanty je nula, budou tato konstantní řešení produkovat nulu na levé i na pravé straně rovnice. Například konstantní řešení rovnice jsou funkce y(x) = 0 a y(x) = 1. y = x (1 y)y

37 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Přepíšeme derivaci y jako podíl dx

38 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Násobením a dělením převedeme výrazy s jednou proměnnou na jednu stranu a výrazy s druhou proměnnou na stranu druhou.

39 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Zintegrujeme obě strany a po výpočtu integrálů na jedné straně budeme uvažovat integrační konstantu, která může nabývat libovolné reálné hodnoty. Obdrželi jsme obecné řešení rovnice.

40 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y = f (x)g(y) Konstantními řešeními jsou funkce typu y = y i, kde y i je číslo vyhovující rovnici g(y i ) = 0. Dále hledáme nekonstantní řešení. dx = f (x)g(y) = f (x) dx g(y) g(y) = f (x) dx+c Je-li zadána počáteční podmínka, dosadíme a určíme partikulární řešení podobně jako v předchozím případě.

41 Rovnice typu y (n) = f (x) y (n 1) = f (x) dx+c 1, ( ) y (n 2) = f (x) dx dx +C 1 x +C 2, ( ( ) ) y (n 3) = f (x) dx dx + C 1 2 x2 +C 2 x +C 3,. y = f (x) dx dx +C 1 x n 1 +C 2 x n 2 + +C n Počáteční podmínky: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,..., y(n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0,

42 KONEC