12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy"

Transkript

1 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c) = 0, je funkce y(t) = c řešením rovnice Na intervalech, kde g(y) 0 uvažte y dy g(y) = h(t) s následným y = g(y) h(t) (1) g(y) = h(t) dt Nutná je diskuse o možnostech navazování řešení předchozích dvou typů! Definice 122 Lineární ODR prvního řádu je rovnice tvaru kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b R, a < b Návod k řešení: y + p(t)y = q(t), (2) Násobte rovnici výrazem e P (t), kde P je primitivní funkce k p na (a, b) Upravte na levé straně do tvaru derivace součinu Integrujte Definice 123 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru Ay + By + Cy = f(t), (3) kde A, B, C R, A 0, a funkce f(t) je spojitá na intervalu (a, b) Pokud je f identicky nulová na (a, b), nazýváme rovnici (3) homogenní Případ I: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = 0, obecné řešení y h Pokud charakteristická rovnice Aλ 2 + Bλ + C = 0 má: 1 dva různé reálné kořeny λ 1 λ 2 : 2 jeden dvojnásobný reálný kořen λ: 3 dva komplexně sdružené kořeny α ± iβ, β 0: y h (t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t y h (t) = c 1 e λt + c 2 te λt y h (t) = e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt) 13

2 Případ II: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = f(t) Pro řešení y(t) platí: y(t) = y h (t) + y p (t), kde y h (t) je obecné řešení homogenní rovnice (viz předchozí případ) a y p (t) je jedno (jakékoliv), tzv partikulární řešení rovnice Ay + By + Cy = f(t) Některá partikulární řešení lze uhodnout podle tvaru pravé strany Je-li f(t) = P (t)e αt, kde α R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P, že 1 α λ 1, α λ 2 = y p (t) = Q(t)e αt, 2 α λ 1, α = λ 2 = y p (t) = tq(t)e αt, 3 α = λ 1 = λ 2 = y p (t) = t 2 Q(t)e αt Je-li f(t) = e αt (P (t) cos βt+r(t) sin βt), (P, R polynomy), existují polynomy Q, S, stupně nejvýše max(st P, st R), takové, že 1 α + iβ λ 1, α + iβ λ 2 = y p (t) = e αt (Q(t) cos βt + S(t) sin βt), 2 α + iβ = λ 1, α + iβ λ 2 = y p (t) = te αt (Q(t) cos βt + S(t) sin βt) Konec opakování 122 Lineární DR n-tého řádu s (ne)konstantními koeficienty Budeme se zabývat rovnicemi tvaru a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = f(t), (4) kde a 0,, a n a f jsou funkce spojité na daném intervalu (a, b), a n (t) 0 pro t (a, b) (lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s nekonstantními koeficienty) Jsou-li všechny funkce a 0,, a n konstantní na intervalu (a, b), jde o lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty, (f(t) nemusí být konstantní) Homogenní rovnicí k rovnici (4) rozumíme rovnici a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 (5) Věta 121 Necht t 0 (a, b) a z 0,, z n 1 R Pak existuje právě jedno maximální řešení y rovnice (4) resp (5), které splňuje tzv počáteční podmínky y(t 0 ) = z 0, y (t 0 ) = z 1,, y (n 1) (t 0 ) = z n 1 Toto řešení je navíc definováno na celém intervalu (a, b) Věta 122 (o struktuře všech řešení) (i) Maximální řešení rovnice (5) jsou definována na celém R a tvoří vektorový podprostor prostoru C n ((a, b)) dimenze n Jeho jakoukoli bázi nazýváme fundamentálním systémem rovnice (5) (ii) Necht y p je maximální řešení rovnice (4) Pak funkce y je jejím maximálním řešením, právě když ji lze zapsat ve tvaru y = y p + y h, kde y h je vhodné řešení rovnice (5) 14

3 I Hledání fundamentálního systému Pro rovnici (5) s konstantními koeficienty lze použít tzv metodu charakteristického polynomu Pro rovnici (5), kde alespoň jeden z koeficientů je nekonstatní, nelze obecně explicite najít její fundamentální systém (V některých speciálních případech to lze, jak uvidíme později) Definice 124 Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní Charakteristickým polynomem rovnice (5) rozumíme polynom P (λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Věta 123 Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní Necht λ 1,, λ s jsou všechny různé reálné kořeny charakteristického polynomu P, s násobnostmi r 1,, r s Necht α 1 + β 1 i,, α l + β l i jsou všechny navzájem různé kořeny polynomu P, s kladnou imaginární částí a násobnostmi q 1,, q l Pak funkce t s i e λ it, s i = 0,, r i 1; i = 1,, s, t p j e α jt cos(β j t), t p j e α jt sin(β j t); p j = 0,, q j 1; j = 1,, l tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s konstantními koeficienty) Uvažujme nyní soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1 řádu ve tvaru x 1 = a 11 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t), x 2 = a 21 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t), x n = a n1 (t)x a nn (t)x n + b n (t), (6) kde n N, a ij : (α, β) R, b i : (α, β) R, i, j {1,, n}, jsou spojité funkce Vektorový tvar lineární soustavy (6) je: x = A(t) x + b(t), kde a 11 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 2n (t) b 1 (t) A(t) =, b(t) = b a n1 (t) a nn (t) n (t) Věta 124 (o existenci a jednoznačnosti řešení) Necht α, β R, α < β, t 0 (α, β) a x 0 R n Necht A : (α, β) M n n (R), b : (α, β) R n jsou spojitá zobrazení Potom existuje právě jedno maximální řešení x soustavy (6) splňující x(t 0 ) = x 0 Toto řešení je definováno na celém intervalu (α, β) Definice 125 Homogenní soustavou k soustavě (6) rozumíme soustavu x = A(t) x (7) Věta 125 Necht n N, α, β R, α < β, a A : (α, β) M n n (R) je spojité zobrazení Potom množina všech maximálních řešení soustavy (7) tvoří vektorový podprostor prostoru C 1 ((α, β), R n ) Dimenze tohoto podprostoru je rovna n Jakoukoli bázi tohoto podprostoru, (složenou z vektorových funkcí y 1,, y n ), nazýváme fundamentálním systémem rovnice (7) Věta 126 Necht α, β R, α < β a x 0 R n Necht A : (α, β) M n n (R), b : (α, β) R n jsou spojitá zobrazení Necht y P je jedno (partikulární) řešení (6) na intervalu (α, β) Potom každé řešení x soustavy (6) na intervalu (α, β) má tvar y P + y H, kde y H je jisté řešení homogenní soustavy (7) 15

4 rindent=0pt (B) Řešení soustav lineárních rovnic pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů Věta 127 Necht matice A M n n (R) má n lineárně nezávislých vlastních vektorů q 1, q n, které po řadě přísluší vlastním číslům λ 1,, λ n Potom funkce e λ 1t q 1,, e λnt q n (8) tvoří fundamentální systém lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty) x = A x Věta 128 Necht v 1, v k, je řetězec vektorů, přidružený vlastnímu číslu λ matice A M n n (R) Potom funkce ( ) t e λt v 1, e λt (t v 1 + v 2 ),, e λt k 1 (k 1)! v t v k 1 + v k (9) jsou lineárně nezávislá řešení lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty) x = A x Poznámka Tvrzení předchozích dvou vět umožní sestavit fundamentalní systém dané lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty), která je reprezentována maticí A M n n (R) tak, že převedeme matici A na Jordanův kanonický tvar, a nalezneme příslušné vlastní vektory resp jejich řetězce Prvky fundamentalního systému pak dostaneme jako sjednocení všech funkcí tvaru (8) resp (9), které odpovídají všem blokům v Jordanově kanonickém tvaru matice A Definice 126 Necht vektorové funkce y 1,, y n tvoří fundamentální systém rovnice (7) Označme y1 1 (t) yn 1 (t) y2 1 Φ(t) = (t) yn 2 (t) yn(t) 1 yn(t) n Matici Φ pak nazýváme fundamentální maticí soustavy (7) Lemma 129 Necht Φ je fundamentální matice soustavy (7) Pak Φ(t) je regulární pro každé t (α, β) Věta 1210 (variace konstant) Necht α, β R, α < β, t 0 (α, β) a y 0 R n Pak maximální řešení y rovnice (6) s počáteční podmínkou y(t 0 ) = y 0 má tvar y(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 ) y 0 + Φ(t) kde Φ je fundamentální matice soustavy (7) t t 0 Φ 1 (s) b(s) ds, t (α, β), Věta 1211 (regularita řešení lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty) Necht A M n n a vektorová funkce x : R R n je řešením soustavy x = A x Pak x je třídy C a pro každé k N platí x (k) (t) = A k x(t) pro t R Vztah mezi soustavou rovnic 1 řádu a jednou rovnicí vyššího řádu Necht y (n) = f(t, y, y,, y (n 1) ) (10) je rovnice n-tého řádu a necht je y(t) její řešení pro t J R Potom je vektorová funkce x(t) = ( y(t), y (t),, y (n 1) (t) ) řešením soustavy x (t) = F (t, x), (11) na intervalu J, kde F j (t, x) = x j+1, j = 1,, n 1, F n (t, x) = f(t, x 1, x 2,, x n ) II Hledaní partikulárního řešení 16

5 Věta 1212 (o uhodnutí partikulárního řešení) Necht (4) je rovnice s konstatními koeficienty Necht f(t) = e αt (P (t) cos βt + Q(t) sin βt), kde α, β R a P, Q jsou polynomy Pak existuje řešení rovnice (4) ve tvaru y p (t) = t m e αt (R(t) cos βt + S(t) sin βt), kde R, S jsou vhodné polynomy stupně ne většího než max{stupeň P, stupeň Q} a m N {0} udává, jakou násobnost má číslo α + iβ jakožto kořen charakteristického polynomu Následující Lemma je základem tzv metody variace konstant pro hledání partikulárního řešení lineární (nehomohenní) ODR, a to jak s konstantními tak s nekonstantními koeficienty Lemma 1213 Necht y 1,, y n tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s obecně nekonstatními koeficienty) Potom matice y 1 (t) y 2 (t) y n (t) y 1 U(t) = (t) y 2 (t) y n(t) y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t) y n (n 1) (t) je regulární pro každé t R Věta 1214 (variace konstant) Necht y 1,, y n tvoří fundamentální systém rovnice (5) (s obecně nekonst koeficienty), U(t) bud jako v předchozí větě Necht c 1 (t),, c n (t) řeší soustavu c 1 (t) 0 U(t) c n 1 (t) = 0 c n(t) f(t)/a n Pak funkce je (partikulární) řešení rovnice (4) y p (t) := c 1 (t)y 1 (t) + + c n (t)y n (t) III Fundamentální systém lineární rovnice s nekonstantními koeficienty, Wronskián Definice 127 Bud te y 1,, y n funkce, definované na (a, b) a mající na něm (n 1) vlastních derivací Determinant y 1 (t) y 2 (t) y n (t) y 1 W (t) W [y1,,y n](t) := (t) y 2 (t) y n(t) y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t) y n (n 1) (t) nazýváme Wronského determinantem (Wronskiánem) funkcí y 1,, y n Věta 1215 Necht funkce y 1,, y n řeší na (a, b) lineární homogenní rovnici (a 0,, a n a n (t) 0 pro t (a, b)) C(a, b), a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 Bud W (t) Wronskián funkcí y 1,, y n na (a, b) Potom nastane právě jedna z následujících dvou možností: 17

6 1 W (t) = 0 t (a, b) y 1,, y n jsou LZ na (a, b); 2 W (t) 0 t (a, b) y 1,, y n jsou LN na (a, b) Věta 1216 Necht funkce y 1,, y n řeší na (a, b) lineární homogenní rovnici (a 0,, a n a n (t) 0 pro t (a, b)) C(a, b), a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 Bud W (t) Wronskián funkcí y 1,, y n na (a, b) Potom a n (t)w (t) + a n 1 (t)w (t) = 0, t (a, b); ( W (t) = W (t 0 ) exp ) t a n 1 (s) t 0 a n(s) ds, t, t 0 (a, b) Příklad 1 Mějme rovnici ty +(1 t)y y = 0 Tato rovnice degeneruje pro t = 0, řešíme ji tedy separátně na t > 0 a t < 0 Uvažujme například t > 0 Není příliš obtížné uhodnout jedno řešení rovnice, y 1 = e t V této situaci může pomoci Wronskián nalézt druhý prvek fundamentálního systému, funkci y 2 Příslušný Wronskián je jednak podle definice roven e t (y 2 y 2), jednak platí W (t) = W (1) exp ( t 1 1 s s ) ds = = c et t Odtud srovnáním dostaneme y 2 y 2 = c/t a řešením této lineární rovnice 1 řádu dostaneme (netriviální) druhý prvek fundamentálního systému původní rovnice Dořešte úlohu podrobně 123 Speciální typy ODR 1231 Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu Obecná rovnice 1 řádu s vyřešenou 1 derivací: y = f(x, y) lze formálně psát takto: obecněji: dy = f(x, y) dx 0 = f(x, y) dx dy 0 = P (x, y) dx + Q(x, y) dy =? dφ(x, y) 0 = Φ Φ (x, y) dx + (x, y) dy = dφ(x, y) x y Definice 128 Řekneme, že rovnice P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 je ve tvaru totálního diferenciálu na oblasti G R 2, pokud existuje Φ C 1 (G) taková, že Φ = (P, Q) v G Řešení je poté: dφ(x, y) = 0 = Φ(x, y) = c Poznámka Rovnici ve tvaru totálního diferenciálu říkáme také exaktní rovnice Pozorování 1 Pokud je P, Q C 1 (G), je nutná podmínka pro to, aby rovnice P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 byla exaktní, rovnost P Q y (x, y) = x (x, y) v G Příklad 2 Uvažujte rovnici 2xy dx + (x 2 y 2 ) dy = 0 Máme P y = 2x = Q x Potenciálem je funkce Φ = x 2 y y3 3 Všechna řešení původní rovnice jsou tedy tvaru x 2 y y3 3 = c 18

7 Všimněte si, že v původní rovnici je role proměnných x, y rovnocenná, že tedy lze uvážit jak y = y(x) a mít rovnici y = 2xy, ale také x = x(y), a x = y2 x 2 y 2 x 2 2xy Dopočtěte, včetně určení definičních oborů řešení v obou případech, a provedení zkoušky dosazením Obrázek: Množiny bodů [x, y] v rovině, splňující vztah x 2 y y3 3 = c pro hodnoty c = 01, 2, 5, 01, 2, 5 Definice 129 Řeknu, že µ = µ(x, y) je integračním faktorem rovnice P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 v oblasti G R 2, pokud je rovnice exaktní v G µ(x, y)p (x, y) dx + µ(x, y)q(x, y) dy = 0 (12) Poznámka Nutná podmínka exaktnosti rovnice (12) je rovnost (µp ) y = (µq) x, tedy µ y P +µp y = µ x Q+ µq x Nalezení integračního faktoru je obecně těžká úloha, proto se často předpokládá, že integrační faktor závisí pouze na x nebo pouze na y, nebo na výrazu (x+y), případně na xy atd Cvičení Řešte rovnici xy = xy 2 + y metodou převedení na exaktní tvar pomocí integračního faktoru, víte-li, že integrační faktor závisí pouze na proměnné y Návod k řešení Zjistěte nejprve, že daná rovnice není exaktní Najděte integrační faktor µ(y) = 1 y 2 Najděte potenciál Φ(x, y) = x2 2 + x y rovnice, přenásobené integračním faktorem, a odvod te odtud, že řešeními původní rovnice jsou funkce y(x) = 2x, c R Udělejte kontrolu dosazením Nezapomeňte diskutovat definiční obory pro řešení s různými 2c x 2 c Cvičení Řešte následující rovnice: a) xy 2 dx + (x 2 y x) dy = 0 b) x 2 y 3 + y + (x 3 y 2 x)y = 0 víte-li, že integrační faktor µ závisí pouze na součinu xy Řešení a) xy ln y = c; b) x 2 y ln = c 1232 Bernoulliho rovnice Definice 1210 Bernoulliovou rovnicí nazýváme ODR tvaru kde a, b C(J), J R je otevřený interval x y y + a(t)y = b(t)y n, n Z, n / {0, 1}, (13) Návod k řešení: Pro n = 0 nebo n = 1 jde o lineární ODR 1 řádu Pro jiná celá n zavedeme novou funkci z = z(t) substitucí y(t) = z(t) 1 1 n, která převede rovnici (13) na lineární ODR 1 řádu Cvičení Řešte rovnici y = y 2 + y t jako Bernoulliovu Porovnejte s postupem z přechozího paragrafu Prohlédněte si grafy řešení, y(t) = 2t, pro hodnoty c = 10, 0, 10 2c t 2 19

8 1233 Speciální typy rovnic 2 řádu Pro obecnou rovnici 2 řádu (vyřešenou vzhledem k nejvyšší derivaci), tj pro rovnici tvaru y = f(t, y, y ) (14) nelze obecně stanovit postup pro řešení Pokud je však funkce f na pravé straně vztahu (14) jednodušší (speciálně není-li závislá na některém z výše uvedených argumentů), lze v některých případech řešení rovnice (14) najít Níže uvedená tabulka navrhuje postup řešení v případě, že rovnice y = f(t, y, y ) nabývá některého z jednodušších tvarů Ne vždy je však zaručeno, že se řešení explicite najde (že úloha lze dopočítat) V f(t, y, y ) Tvar rovnice (14) Návod k řešení 1) nechybí nic y = f(t, y, y ) obecně není 2) chybí t y = f(y, y ) polož y (t) = p(y) 3) chybí y y = f(t, y ) polož y (t) = u(t) 4) chybí y y = f(t, y) obecně není 5) chybí t, y y = f(y ) polož y (t) = u(t) 6) chybí t, y y = f(y) násob 2y 7) chybí y, y y = f(t) dvakrát integruj 8) chybí t, y, y y = c dvakrát integruj Komentář k některým výše zmíněným případům: ad 2): y (t) = p(y) = y (t) = dy (t) dt = dp(y) dt = dp(y) dy dy(t) dt = p p Tedy y = f(y, y ) p p = f(y, p) Dostáváme rovnici 1 stupně pro p = p(y) Ta však nemusí být vždy řešitelná ad 6): y (t) = f(y) 2y 2y y (t) = 2y f(y) ( (y ) 2) = (2F (y)) (y ) 2 = 2F (y) + c (F je primitivní k f) Dostáváme (po odmocnění) rovnici 1 řádu v separovaných proměnných Příklad 3 (k případu 2)) Rovnici y = (y ) 2 y +3y převede navrhovaná úprava na rovnici p py = 3yp 1, což je Bernoulliho rovnice Jejím řešením dostaneme p 2 (y) = ce y2 3, a po zpětném dosazení tedy (y ) 2 = ce y2 3, c R Jde (po odmocnění) o rovnici v separovaných proměnných Její řešení však nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí Rovnici y y = (y ) 2 půjde uvedenou metodou zcela vyřešit Výsledek (spočtěte): y(t) = c 1 e c 2t, c 1, c 2 R 1234 Eulerova rovnice Definice 1211 Eulerovou rovnicí nazýváme lineární ODR s nekonstantními koeficienty tvaru a n t n y (n) + a n 1 t n 1 y (n 1) + a 1 ty + a 0 y = f(t), n N, (15) kde a 0, a n R, a n 0, f C(J), J R je otevřený interval neobsahující nulu Poznámka Pro t = 0 rovnice (15) degeneruje Rovnici tedy uvažujeme separátně pro t > 0 a pro t < 0 20

9 Poznámka Jde o lineární rovnici (i když s nekonstantními koeficienty), pro její řešení proto platí příslušná teorie Jde tedy o nalezení n prvkového fundamentálního systému pro homogenní rovnici (s f = 0), a poté o nalezení jednoho (partikulárního) řešení rovnice s pravou stranou Pro nalezení partikulárního řešení lze použít např metodu variace konstant Eulerova rovnice tedy bude vyřešena, nalezneme-li její fundamentální systém Metoda nalezení FS Eulerovy rovnice Použijeme ansatz y = t λ, který vede k tzv charakteristickému polynomu pro Eulerovu ODR Je-li λ R kořenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního systému funkce t λ ln k t, k = 0,, p 1 Je-li α + iβ (β > 0) kořenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního systému funkce t α ln k t cos(β ln t ), t α ln k t sin(β ln t ), k = 0,, p 1 Poznámka Eulerovu rovnici dostaneme např při hledání sféricky symetrických řešení Laplaceovy rovnice u = 0 v celém R n, n 2 Je-li u sféricky symetrická, je u(x) = w(r), kde r = x > 0 Funkce w pak (jak lze ukázat) splňuje Eulerovu rovnici r 2 w (r) + (n 1)r w (r) = 0 Jejím řešením (proved te) a zpětným dosazením dostaneme (c 1, c 2 R): n = 2 = u( x ) = c 1 + c 2 ln x, x R 2 \ {0}, n > 2 = u( x ) = c 1 + c 2 x n 2, x Rn \ {0} 124 Řešení ODR pomocí Taylorových řad Věta 1217 Uvažujme lineární rovnici n-tého řádu, a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = f(t) (16) na intervalu J R, t 0 J Dají-li se koeficienty a pravá strana rovnice (16) rozložit do Taylorových řad na nějakém okolí U δ (t 0 ), přičemž a n (t 0 ) 0, lze každé řešení rovnice (16) rozložit na nějakém okolí U η (t 0 ) do Taylorovy řady Řešení: Uvážíme ansatz y(t) = k=0 a k(t t 0 ) k, který formálně n-krát proderivujeme člen po členu a dosadíme do rovnice Jsou-li k (16) zadány počáteční podmínky (v bodě t 0 ), dosadíme uvedený ansatz i do nich Poznámky k řešení: Nejsou-li koeficienty a j a pravá strana f ve tvaru mocninné řady, je potřeba rozložit do řady i je Po formálním provedení všech algebraických operací s řadami porovnáme koeficienty u stejných mocnin t Tím dostaneme soustavu nekonečně mnoha rovnic pro nekonečně mnoho koeficientů a k, k = N {0} Jejím vyřešením nalezneme hledanou funkci y(t) ve tvaru mocninné řady Na závěr určíme poloměr konvergence této řady V případě homogenní rovnice (f 0) můžeme různou volbou počátečních podmínek obdržet různá řešení Jejich lineární (ne)závislost je možno ověřit např pomocí Wronskiánu 21

10 125 Soustavy ODR 1 řádu Uvažujme soustavu (obecných) diferenciálních rovnic 1 řádu, vyřešených vzhledem k 1 derivaci, ve tvaru x 1 = f 1 (t, x 1, x 2,, x n ), x 2 = f 2 (t, x 1, x 2,, x n ), x n = f n (t, x 1, x 2,, x n ), (17) kde f j, j = 1,, n, jsou dané funkce definované na jisté neprázdné otevřené množině G R R n Vektorový tvar soustavy (17): x (t) = f(t, x(t)), kde x(t) = ( x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) ), x (t) = ( x 1 (t), x 2 (t),, x n(t) ), f = ( f 1, f 2,, f n ) Definice 1212 Řešením soustavy (17) rozumíme vektorovou funkci x = ( ) x 1,, x n definovanou na otevřeném neprázdném intervalu J R s hodnotami v R n takovou, že pro každé t J existují vlastní derivace x j (t), j = 1,, n, a platí (17) Počáteční úlohou pro (17) rozumíme úlohu, kdy hledáme řešení x soustavy (17) splňující navíc předem zadanou podmínku x(t 0 ) = x 0, kde [t 0, x 0 ] je daný bod z G (tzv počáteční podmínka) Maximální řešení soustavy (17) je takové řešení x definované na intervalu J, které již nelze prodloužit, tj je-li y řešení definované na intervalu I, J I a y(t) = x(t) pro každé t J, pak J = I Věta 1218 (Peanova věta o existenci) Necht G R R n je otevřená neprázdná množina, f : G R n je spojitá na G Pak pro každé [t 0, x 0 ] G existuje maximální řešení rovnice (17) splňující x(t 0 ) = x 0 Věta 1219 (Picardova věta o existenci a jednoznačnosti) Necht G R R n je otevřená neprázdná množina, f : [t, x] f(t, x) R n je spojité zobrazení na G a je lokálně lipschitzovské v x, tj pro každý bod [t, x] G existuje ε R, ε > 0, a L R takové, že pro každé dva body [s, x 1 ], [s, x 2 ] z U ε ([t, x]) máme f(s, x 1 ) f(s, x 2 ) L x 1 x 2 Jestliže [t 0, x 0 ] G, potom existuje právě jedno maximální řešení rovnice (17) splňující x(t 0 ) = x 0 22

16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 13 16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 161 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Aplikovaná matematika III (NMAF073) ZS 2011/12

Aplikovaná matematika III (NMAF073) ZS 2011/12 Aplikovaná matematika III (NMAF73) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) ZS 211/12 15 Maticový a vektorový počet II 1 15.1 Úvod 1 15.2 Vlastní čísla a vlastní vektory 3 15.3 Lineární zobrazení v prostorech se skalárním

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic 1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Obecné lineární problémy

Obecné lineární problémy Obecné lineární problémy Variace konstant V kapitolách o soustavách lineárních rovnic a o lineárních rovnicích n-tého řádu jsme se naučili řešit rovnice (soustavy) s nulovou pravou stranou, resp. s pravou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Zlín, 2015 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky FAI UTB ve Zlíně

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelné diferenciální rovnice Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici

Více

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok. DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.) Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace

Více

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více