Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obsah Obyčejné diferenciální rovnice"

Transkript

1 Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice Základní pojmy Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Exaktní rovnice Separovatelné diferenciální rovnice Lineární rovnice Řešení homogenní rovnice y H Variace konstanty Obecné řešení lineární rovnice Bernoulliova rovnice Řešení homogenní rovnice y H Variace konstanty Obecné řešení Bernoulliovy rovnice

2 Harmonogram přednášek a cvičení. 1. Diferenciální rovnice základní pojmy (obyčejné diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, řešení diferenciální rovnice, integrální křivka, počáteční (Cauchyova) úloha) existence řešení klasifikace obyčejných diferenciálních rovnic 25.9.,2.10. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné (řešení separací proměnných) exaktní lineární Bernoulliova Možnosti řešení Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou Zápočtový testík 16., Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu homogenní nehomogenní (se speciální pravou stranou) převod na soustavu rovnic 1. řádu Možnosti řešení Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou Soustavy diferenciálních rovnic cvičení Opakování: zápočtový test 2. Numerické metody Řešení nelineární rovnice Výpočet určitého integrálu: pomocí mocninné řady; numerickou metodou Řešení praktické úlohy (plocha) Interpolace a aproximace dat Řešení soustav lineárních rovnic Shrnutí: zápočtový test -2-

3 Kapitola 1 Obyčejné diferenciální rovnice Základní studijní text: Příklad: Chladnutí kávy Předpokládáme, že rychlost ochlazování (tj. změna teploty v čase) kávy v hrnečku v místnosti je přímo úměrná rozdílu teploty kávy a vzduchu v místnosti. V místnosti je teplota 23 C. Za jak dlouho se právě zalitá káva ochladí na 40 C, když po po 10 minutách má káva teplotu 65 C? Označíme t čas, y(t) teplotu kávy, T teplotu v místnosti, k konstantu úměrnosti. Sestavíme rovnici pro ochlazování: y (t) = k (y(t) T ) Zapíšeme známé údaje o teplotě: y(0) = 100, y(10) = 65 Nahradíme derivaci y (t) = dy dt a upravíme rovnici dy y T = k dt Rovnici integrujeme: dy y T = k dt kt+c ln y T + C 1 = kt + C 2 ln(y T ) = kt + C 3 y T = e 3 y>t,c 3=C 2 C 1 y(t) popisuje ochlazování kávy: Konstanty C, k určíme ze známých údajů o teplotě. 1.1 Základní pojmy y(t) = Ce kt + T (C = e C3 ) Diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou funkci a její derivace. Obyčejné diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci jedné proměnné a její derivace. Příklady: y + xy = 0, y + y = xy hledáme funkci y(x) Parciální diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci více proměnných a její derivace. u Příklady: x = 3xy, 2 u x u = x + y hledáme funkci u(x, y) y2 Řád diferenciální rovnice určuje nejvyšší derivace neznámé funkce. Řešení diferenciální rovnice je funkce, která vyhovuje diferenciální rovnici (na zadané množině). Příklad: Ověříme, zda funkce x 2 xy + y 2 = 0 je řešením diferenciální rovnice (x 2y)y = 2x y. -3-

4 funkce x 2 xy + y 2 = 0 je zadaná implicitně, zderivujeme ji: 2x y xy + 2yy = 0 upravíme: 2x y y (x 2y) = 0 a porovnáme se zadanou rovnicí y (x 2y) = 2x y nebo vyjádříme y = y 2x 2y x = 2x y x 2y a dosadíme y do diferenciální rovnice: (x 2y) 2x y = 2x y 2x y = 2x y x 2y Obecné řešení je množina funkcí (závislých na konstantě resp. konstantách). Partikulární řešení je jedna konkrétní funkce, kterou určíme z obecného řešení výpočtem nebo volbou konstanty. Výjimečné řešení nelze získat z obecného řešení pro žádnou hodnotu konstanty. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka. Rovnice v normálním tvaru: y n = f(y n 1, y n 2,..., y, y, x) Řešení existuje v oblasti, ve které je f spojitá. Cauchyova (počáteční) úloha Diferenciální rovnice + počáteční podmínka. Hledáme partikulární řešení, procházející zadaným bodem. Příklady (procvičení) Určete, zda se jedná o obyčejnou nebo parciální diferenciální rovnici. Uveďte řád diferenciální rovnice. Ověřte, zda uvedená funkce je řešením zadané diferenciální rovnice. y(x) = 2 x + 2 ln(x) y = x x y + 1 y 1 = 4, y 2 = x + 3 y = y + 1 x + 1 y(1) = 2 y(0) = 3-4-

5 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné exaktní lineární Bernoulliova Rovnice v normálním tvaru: Rovnice v diferenciálech při P y = Q x y = f(x, y), [x, y] G P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, Funkce f, P, Q musí být (alespoň) spojité v oblasti G R 2 Oblast je otevřená souvislá (neprázdná) množina. [x, y] G y = p(x) q(y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 y = a(x)y + b(x) y = a(x)y + b(x)y p Příklady (procvičení) Určete typ(y) ODR 1. řádu 1. y = xy 2. y = x 2 y 2 3. y x + 1 x y = x2 4. y x + 1 x y = y2, y 2 ( 5. x 2 dx + y 2 2 ) dy = 0 x 6. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = x 2 ydx + (x 3 + y)dy = x cos ydx x 2 sin ydy = 0-5-

6 1.3 Exaktní rovnice Nechť P (x, y), Q(x, y) jsou spojité v G R 2 a mají spojité derivace v každém bodě [x, y] G. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 je exaktní v G P y = Q x tj. pokud P (x, y)dx + Q(x, y)dy je totálním diferenciálem funkce F (x, y). Funkci F budeme nazývat kmenovou funkcí. Postup řešení exaktní rovnice Kmenovou funkci F můžeme určit stejným ( způsobem) jako potenciál vektorového pole (P, Q). F Vyjdeme z definice gradientu: gradf = x, F = (P, Q) y 1. F = P (x, y) F (x, y) = x P (x, y) dx = U 1 (x, y) + K 1 (y) 2. F = Q(x, y) F (x, y) = y Q(x, y) dy = U 2 (x, y) + K 2 (x) 3. Kmenovou funkci F (x, y) vytvoříme sloučením U 1 (x, y) a U 2 (x, y), přičemž členy, které se vyskytují v obou výrazech, zapisujeme do výsledného výrazu pouze jedenkrát. Řešení exaktní rovnice zpravidla určíme v implicitním tvaru. Příklad: exaktní rovnice (2y 3x 3 )dx + 2(x y)dy = 0 1. Ověření exaktnosti 2. 2y 3x 2 dx = 2xy x 3 + K 1 (y) 3. 2x 2y dy = 2xy y 2 + K 2 (x) 4. F (x, y) = 2xy x 3 y 2 + C resp. y 2 2xy + x 3 + C = 0 5. Zkouška Vyjádříme df resp. gradf Uvažujeme - li řešení jako funkci jedné proměnné y(x), zadané rovnicí F (x, y) = 0, potom pro její derivaci musí platit dy (x, y) = P pro Q(x, y) 0. dx Q(x, y) -6-

7 Příklady Pro danou diferenciální rovnici 1. ověřte, zda je exaktní 2. určete obecné řešení Varianty zadání 1. y 2 x 2 dx + ( y 2 2 x ) dy = 0 2. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = x 2 ydx + (x 3 + y)dy = x cos ydx x 2 sin ydy = 0 ( 1 5. y y ) ( 1 x 2 + 2y 5 dx + x x ) + 2x + 11 dy = 0 y2 6. y 2 x dx + 4y xdy = 0 7. xe 2y dx + (x 2 + 1)e 2y dy = 0 8. (3x 2 y 2xy 2 )dx + (x 3 2x 2 y)dy = 0 9. (cos(2y) + y + x)dx + (x 3 2x 2 y)dy = y 2 dx + 2xydy = 0 y 11. x 2 dx 1 x dy = 0 ) ( 12. (ln y ey e y x 2 dx + x + x ) dy = 0 y 13. (x + 3y)dx + 3xdy = y 2 dx + 2xydy = y sin xdx cos xdy = (2x y 2 )dx + (3 2xy)dy = 0-7-

8 1.4 Separovatelné diferenciální rovnice y = P (x) Q(y) Existence řešení : P (x) Q(y) musí být spojitá v oblasti G R 2 Řešení : funkce y(x) definovaná na intervalu J, pokud platí: Interval není tvořen jediným bodem, y má spojitou derivaci na J, tj y C 1 (J) x J : [x, y(x)] G x J : y (x) = f(x, y(x)) Prodloužení řešení, maximální řešení. Postup řešení: y = dy dx 1. y = dy dx, dy = P (x) Q(y dx 2. Separujeme proměnné: R(y)dy = P (x)dx 3. Integrujeme levou a pravou stranu rovnice Levá = R(y)dy P ravá = P (x)dx 4. Vyjádříme y(x) = + C, případně zapíšeme řešení jako množinu funkcí, zadaných rovnicemi F (x, y) = C 5. Řešení Cauchyovy (počáteční) úlohy: z počáteční podmínky určíme konstantu C a tím získáme partikulární řešení vyhovující zadané podmínce. Příklad: separovatelná rovnice Předpokládejme, že voda v nádobě zamrzá tak, že obsah nezamrzlé plochy A (v cm 2 ) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech): da dt = 4t 3. a) Určete obsah plochy nezamrzlé plochy v závislosti na čase A(t), když víte, že po prvním dnu byl nezamrzlý obsah roven 2 cm 2. b) Vypočtěte, po kolika dnech bude nezamrzlý obsah roven 0,5 cm 2. c) Vypočtěte, jak velká bude nezamrzlý obsah po deseti dnech. Řešení a) Známe-li derivaci A(t), která závisí pouze na t, určíme A(t) integrováním: A(t) = 4t 3 dt = 2t 2 + C. Integrační konstantu C určíme z informace o obsahu po prvním dnu: A(1) = 2cm 2 2 = 2 (1) 2 + C C = 0 a obsah nezamrzlé plochy v závislosti na čase je A(t) = 2t 2. b) Určíme t tak, aby A = 0, 5 cm 2 : 0, 5 = 2t 2 t = 2, tj. nezamrzlá plocha bude mít velikost 0,5 cm 2 po dvou dnech. c) Určíme A pro t = 10 : A(10) = (cm 2 ), tj. nezamrzlá plocha bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm 2 = 2 mm

9 Příklady k procvičení 1. y = 1 x 1 y, y(1) = 0 2. y = y 2 sin(2x), y( π 4 ) = 4 3. y = y + 1, y(0) = 2 4. y = e y cos(2x), y(0) = ln 2 5. y = xy2 + x y x 2 y, y(0) = 1 6. (2x + e y )dx + xe y dy = 0, y(1) = 0 ( x 2 7. xydx ) dy = 0, y y(0) = 1 8. x 4 y + 3x 3 y = 1, y( 1) = 2 9. xy y = x 2 sin x, ( y π ) = π

10 1.5 Lineární rovnice y + p(x)y = q(x) resp. y = p(x)y + q(x) Pro existenci řešení požadujeme spojitost p(x), q(x) na množině G R, na které hledáme řešení. Je-li q(x) = 0, rovnice y = p(x)y, resp. y + p(x)y = 0 se nazývá homogenní. 1 2 Pro určení obecného řešení diferenciální rovnice nejprve hledáme obecné řešení homogenní rovnice (y H ), potom libovolné partikulární řešení nehomogenní rovnice (y p ). Obecné řešení lineární rovnice (y ob ) je jejich součtem y ob = y H + y P Řešení homogenní rovnice y H Homogenní rovnice je separovatelná a její obecné řešení (y H ) je: dy = p(x) dx ln y = p(x) dx y y H = Const e p(x) dx Variace konstanty Najdeme takovou funkci u(x), aby y ob = u(x) e p(x) dx bylo řešením nehomogenní rovnice. Postup nalezení u(x): 1. Označíme v(x) = e p(x) dx, tj. hledáme y ob ve tvaru y ob = u(x) v(x). 2. Zderivujeme y ob. y = u (x) v(x) + u(x) v (x), kde v (x) = p(x)v(x), tj. y = u (x) v(x) u(x) p(x) v(x) 3. Dosadíme y ob a y ob do původní diferenciální rovnice: u (x) v(x) u(x) p(x) v(x) = p(x) u(x)v(x) +q(x), tj. y y ob ob u (x) v(x) = q(x), což je separovatelná rovnice pro hledanou funkci u(x), tedy u(x) = Obecné řešení lineární rovnice Našli jsme obecné řešení y ob ve tvaru součinu y ob = u(x) v(x). Upravíme tento výsledek na tvar y ob = y H + y P. y ob = q(x) v(x) dx + C e p(x) dx v(x) u(x) q(x) v(x) dx + C. q(x) = C v(x) + v(x) v(x) dx y H y P 1 V v některých zdrojích se užívá pojem homogenní rovnice v jiném kontextu. Pozor na to! 2 Pozor na tvar rovnice a znaménko ±p(x), změna znaménka způsobí chybu v určení v(x), protože ln a = ln b + ln c ln a = ln bc a = bc, ale ln a = ln b + ln c ln a = ln c b a = c b! -10-

11 Příklad. Určíme obecné řešení rovnice y = 2xy + x 3 1. Existence řešení: 2x a x 3 jsou spojité pro všechna reálná čísla x, řešení existuje v R. 2. Určíme řešení homogenní rovnice y = 2xy: separujeme: dy = 2x dx, toto je korektní pro y 0, y = 0 je také řešení (ověříme!) y a integrujeme: ln y = x 2 + C 1 y = e x2 +C 1 y = e C1 e x2 y H = Const e x2 v(x) 3. Určíme obecné řešení ve tvaru y ob = u(x) v(x). (a) Nahradíme Const funkcí u(x): y ob = u(x) e x2, (b) vyjádříme derivaci y ob : y ob = u e x2 + u e x2 ( 2x), (c) dosadíme vyjádření y ob a y ob do původní rovnice, (když se nic nevyruší, je někde chyba!) u e x2 + u e x2 ( 2x) = 2x u e x2 + x 3, (d) upravíme a zapíšeme rovnici pro u(x) : u (x) v(x) = q(x) u (x) e x2 = x 3 u(x) = x 3 e x2 dx (e) integrujeme: použijeme-li substituci t = x 2, dt = 2x dx, dostaneme 1 který integrujeme per-partes, dostaneme 2 tet dt = 1 2 tet 1 2 et + C. Máme u(x) = 1 2 x2 e x2 1 2 ex2 + C, v(x) = e x2, y ob = 4. Upravíme obecné řešení a zapíšeme ve tvaru y ob = y H + y P y ob = 1 ( x 2 1 ) + Ce x2, y H = Ce x2, y P = 1 ( x 2 1 ) tet dt, ( 1 2 x2 e x C 2 ex2 5. Provedeme zkoušku: y H musí vyhovovat homogenní rovnici, y P nehomogenní. (a) Pro y H musí platit: y H = 2xy H, tj.y H = 2xCe x2. Zderivujeme y H = 2xC e x2, tj. y H vyhovuje homogenní rovnici. (b) Pro y P musí platit: y P = 2xy P + x 3, tj. y P = 2x 1 ( x 2 1 ) + x 3, tj. y P = x 2 Zderivujeme y P = 1 2 2x = x, tj. y P vyhovuje nehomogenní rovnici. Případně můžeme ověřit, že celé obecné ( řešení vyhovuje rovnici. y = 1 2 x 2 1 ) ( + Ce x2 ( pravá strana 2xy + x 3 1 = 2x 2 x 2 1 ) + Ce x2) + x 3 = x 3 + x 2xCe x2 + x 3 = x 2xCe x2 levá strana y L = = x 2xCe x2 P ) e x2-11-

12 Příklady na lineární rovnici 1. y x + 1 x y = x2, y(1) = 1 2. y sin x y cos x = sin 3 x, y( π 4 ) = y y = e 2x, y(0) = 2 4. xy y = 2x 3, y(1) = 2 5. xy y = x, y(4) = y + y cotg x = 1, y( π 2 ) = 0 7. x 2 y + xy = ln x, y(1) = y = y 2 x y(4) = 1 9. y y x = 0, y(0) = xy y + 4x = 0, y( 1) = xy + y 4x = 0, y(1) = y cos x y sin x = tg x, y(π) = xy = y y x, y(0) = 1-12-

13 1.6 Bernoulliova rovnice Základní tvar Bernoulliovy rovnice y + p(x)y = q(x)y l resp. y = p(x)y + q(x)y l, kde p(x), q(x) jsou spojité funkce na intervalu J R, l R. Předpokládáme, že l 0, l 1. V případě, že l > 0, je funkce y = 0 řešením rovnice. Poznámka: Řešení nemusí existovat na celém intervalu J. Bernoulliovu rovnici řešíme podobně, jako lineární rovnici Řešení homogenní rovnice y H Homogenní rovnice je separovatelná a její obecné řešení (y H ) je: dy = p(x) dx ln y = p(x) dx y y H = Const e p(x) dx Variace konstanty Najdeme takovou funkci u(x), aby y ob = u(x) e p(x) dx bylo řešením nehomogenní rovnice. Postup nalezení u(x): 1. Označíme v(x) = e p(x) dx, tj. hledáme y ob ve tvaru y ob = u(x) v(x). 2. Zderivujeme y ob. y = u (x) v(x) + u(x) v (x), kde v (x) = p(x)v(x), tj. y = u (x) v(x) u(x) p(x) v(x) 3. Dosadíme y ob a y ob do původní diferenciální rovnice: u (x) v(x) u(x) p(x) v(x) y ob = p(x) u(x)v(x) +q(x) u l (x)v l (x), tj. y ob u (x) v(x) = q(x)u l (x)v l (x), což je separovatelná rovnice pro hledanou funkci u(x) a Obecné řešení Bernoulliovy rovnice tj. y l ob u (x) u l (x) = q(x) vl 1 (x) u l+1 (x) l + 1 = Upravíme u(x) a zapíšeme obecné řešení y ob ve tvaru součinu y ob = u(x) v(x). u(x) = ( (1 l) q(x)v l 1 (x) dx + C. ) 1 q(x)v l 1 1 l (x) dx + C, v(x) = e p(x) dx y ob = ( (1 l) ) 1 q(x)v l 1 1 l (x) dx + C v(x) -13-

14 Příklad. Určíme partikulární řešení Bernoulliovy rovnice, které prochází bodem [1, 4]. y = 1 x y x2 y 2, y(1) = 4 1. Existence řešení: x 0 řešení diferenciální rovnice existují v polorovinách M 1 = {[x, y] R 2 : x (, 0), y (, )} a M 2 = {[x, y] R 2 : x (0, ), y (, )}. Partikulární řešení, které prochází bodem [1, 4] leží v polorovině M 2. Interval nalezeného řešení nemusí být celý interval (0, ), ale jeho podmnožina! 2. Určíme řešení homogenní rovnice y = 1 x y separujeme: dy y = 1 x dx a integrujeme: y H = Const x Pro separaci : y 0. Je y = 0 řešením diferenciální rovnice y = 1 x y x2 y 2? Levá strana: y = 0 Pravá strana: 1 x 0 x2 0 2 = 0 L? = P ano. Je to hledané řešení počáteční úlohy? (Prochází bodem [ 1, 4]?) y(1) 4 není. 3. Variace konstanty (a) Nahradíme Const = u(x) a označíme v(x) = x (b) y zderivujeme: y = u v y = u v + uv = u x + u (c) y a y dosadíme do původní rovnice: u x + u = 1 x u x x2 u 2 x 2 (d) Upravíme rovnici pro funkci u: u x = u 2 x 4, (e) separujeme: du u 2 = x3 dx integrujeme: 1 u = x4 4 + C 4 u = 4 x 4 + C 4. Vyjádříme obecné řešení: y ob = u v: y ob = ( ) 4 x 4 x = 4x + C x 4 + C 5. Určíme partikulární řešení, které vyhovuje počáteční podmínce y(1) = 4: 4 = 4 4x 4 4C = 4 C = 2 y = 1 + C x Interval nalezeného řešení: x 4 2 x (0, ) x ( 4 2, ) 7. Provedeme zkoušku: y = 4x x 4 2, y = 4(x4 2) 4x 4x 3 (x 4 2) 2 dosadíme do rovnice: y = 1 x y x2 y 2 levá strana: y = 12x4 8 (x 4 2) 2 pravá strana: 1 x y x2 y 2 = 1 x 4x x x 2 x2 (x 4 2) 2 Určené řešení vyhovuje diferenciální rovnici a platí y(1) = 4, tj. i počáteční podmínce. -14-

15 Příklady k procvičení 1. xy + y = y 2 ln x, y(1) = 1 2. y + y x = 2 yx 2, y(1) = 1 3. y + x x y = 1 2 y3 (x 2 + 1), y(0) = 1-15-

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015)

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015) Diferenciální rovnice součást předmětu Matematická analýza 3 Pavel Řehák (verze 10. června 2015) 2 Pár slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza 3 (partie týkající se diferenciálních

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme najít vzorce popisující analytickéřešení,

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Zlín, 2015 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky FAI UTB ve Zlíně

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1 ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc.

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice (Elektrotechnika, elektronika, komunikační a

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Základy algoritmizace a programování Přednáška 23. listopadu 2011 Co řešíme Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: separovatelné lineární exaktní druhého řádu,

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více