Jednotlivé body pouze kmitají kolem rovnovážných poloh. Tato poloha zůstává stálá.

Transkript

1 MECHANICKÉ VLNĚNÍ Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonický pohyb izolované částice (hmotného bodu nebo tělesa), která konala kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy Jestliže takový objekt bude součástí hmotného prostředí (tuhého, kapalného, plynného), pak se kmity neomezí jen na samotný hmotný bod, ale budou se přenášet i na sousední body tohoto prostředí Z místa prvotního kmitu zdroje se bude přenášet ENERGIE i na ostatní body prostředí Říkáme, že v prostředí vzniká vlnění, případně, že prostředím se šíří postupná vlna Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, který vzniká na vodní hladině po dopadu kamene V daném hmotném prostředí se vlnění šíří konstantní rychlostí v To znamená, že pro popis rychlosti můžeme použít vztah pro rychlost rovnoměrného pohybu s v t Jednotlivé body pouze kmitají kolem rovnovážných poloh Tato poloha zůstává stálá Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních dějů Šíří se jím zvuk, světlo, pohyby v zemské kůře při zemětřesení Vlnění má různou fyzikální podstatu a může mít i složitý průběh Základní poznatky o vlnění je možné nejsnadněji objasnit na vlnění mechanickém 1 Druhy vlnění Mechanické vlnění se šíří v hmotném prostředí Jednotlivé body jsou navzájem spojeny molekulovými silami (pružnou vazbou) Prostřednictvím této vazby se přenáší rozruch z jednoho bodu na druhý Nejpřehlednější je vlnivý pohyb v bodové řadě, kdy jedna její částice začne kmitat Vznikne lineární postupná vlna Body prostředí mohou kmitat v libovolných směrech: o napříč ke směru šíření vlnění příčná vlna, o podél směru šíření vlnění podélná vlna

2 Rychlost šíření vlnění s Pro rovnoměrný pohyb platí v t Vzdálenost, do které se rozruch rozšíří za dobu kmitu ( periodu ) T krajního bodu, se nazývá vlnová délka Jednotkou vlnové délky je m Pak rychlost šíření vlnění je možné vyjádřit vztahem Rychlost v nazýváme fázovou rychlostí v nebo v f T Pak vlnová délka je nejkratší vzdálenost dvou bodů, které kmitají se stejnou fází Při přestupu vlnění do jiného prostředí zůstává frekvence stejná, mění se fázová rychlost a vlnová délka Příklad: Prostředím se šíří postupné vlnění, jehož úhlová frekvence je 1 rads -1 a rychlost šíření vlnění je 6 ms -1 Určete vlnovou délku tohoto vlnění Řešení: =1 rads -1, v = 6 ms -1, v Pro vlnovou délku platí ze vztahu pro fázovou rychlost f Frekvenci f kmitavého pohybu vyjádříme ze vztahu f Pak f v 6 Po dosazení do vztahu pro vlnovou délku je 1 m 1 Vlnová délka je 1 m 3 Rovnice výchylky postupné vlny Budeme uvažovat řadu bodů Krajní bod řady (zdroj vlnění) kmitá s výchylkou popsanou rovnicí u Asin t Poznámka: Okamžitá výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy při vlnivém pohybu se obvykle značí u Bod řady ve vzdálenosti x bude uveden do kmitavého pohybu s časovým zpožděním Pak rovnice pro výchylku tohoto bodu bude zapsaná ve tvaru

3 t u Asin - Protože vlnění se šíří konstantní rychlostí, pak x x v v Dosadíme do vztahu pro výchylku x u Asin t - v Protože fázová rychlost je v, T pak x T x u Asin t - Asin t T Vzhledem k tomu, že, pak T T x u Asin t T Po úpravě získáme rovnici t x u Asin T Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou výchylku bodu, který leží ve vzdálenosti x od zdroje vlnění v časovém okamžiku t Příklad: Jakou rovnici má vlna o frekvenci 40 Hz, amplitudě cm, která postupuje rychlostí 80 ms -1 a) v kladném směru osy x b) v záporném směru osy x Řešení: f = 40 Hz, A = 0,0 m, v = 80 ms -1 a) Rovnice okamžité výchylky vlny je t x v 80 u Asin Vlnová délka m T f 40 Můžeme ji přepsat do tvaru x x u Asin f t 0,sin 40t m b) V rovnici změníme pro orientaci znaménko x x u Asin f t 0,sin 40t m

4 4 Fázový a dráhový rozdíl Jestliže se řadou bodů šíří energie, pak jednotlivé body vykutávají se zpožděním Tomuto zpoždění říkáme fázový posuv (rozdíl) Rovnici pro okamžitou výchylku t x u Asin T upravíme na tvar t x x u Asin Asin t T pak člen x představuje fázi bodu ve vzdálenosti x od zdroje vlnění vůči tomuto bodu Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdálenostech x 1 a x, pak jejich fázový rozdíl bude Fázový rozdíl x x1 x x x 1 1 bude úměrný dráhovému rozdílu x Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna sudému násobku polovin vlnových délek x k to je x k, pak fázový rozdíl bude roven k a oba body budou kmitat ve fázi Budou dosahovat maxima a minima současně kde k 1,,3,, Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna lichému násobku polovin vlnových délek x (k 1), pak fázový rozdíl bude roven ( k 1) a oba body budou kmitat v opačné fázi

5 Příklad: Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech x1 16cm a -1 x 48cm od zdroje vlnění, jestliže vlnění se šíří rychlostí v 18ms s frekvencí f 400Hz Řešení: x 1 = 0,16 m, x = 0,48 m, v = 18 ms -1, f = 400 Hz Fázový rozdíl je x x1 K výpočtu je nutné určit vlnovou délku v 18 0,3m f 400 Pak 0,48 0,16 0,3 rad 0,3 0,3 Body budou ve fázi 5 Interference vlnění V pružném prostředí se mohou současně šířit vlnění z různých zdrojů Nastává skládání kmitů příslušejících jednotlivým vlněním Vlnění se překrývají a pak se opět rozcházejí a šíří se tak, jakoby se nikdy nesetkala Každé vlnění se tak šíří nezávisle na ostatních vlněních a chová se tak, jakoby v prostoru bylo samo Tento fakt nazýváme principem nezávislosti šíření vlnění Skládání vlnění se nazývá interference Jevy, které skládáním vlnění vznikají, jsou interferenční jevy Interferenční jevy můžeme pozorovat v různých prostředích Pozorujeme je při vlnění: 1 mechanickém, akustickém, 3 elektromagnetickém (optika) Poznámka: K interferenci dochází například tehdy, když na klidnou vodní hladinu hodíme na dvě různá místa dva kamínky Dopad kamenů rozkmitá vodní hladinu Stane se zdrojem vlnění, ze kterého se šíří vlny v kruhových vlnoplochách Kruhové se vzájemně prostoupí, projdou jedna druhou a pokračují tak, jakoby se nesetkaly Kmity jednotlivých bodů se skládají na principu superpozice V některých místech nastane zesílení (zvětšení amplitudy) v jiných místech zeslabení (zmenšení amplitudy)

6 Obecně jsou interferenční jevy velmi složité Důležité interferenční případy nastávají tehdy, když sledujeme interferenci koherentních vln Koherentní vlny mají stejnou frekvenci, vlnovou délku, stejný směr kmitání, šíří se stejnou rychlostí a mají konstantní fázový rozdíl Amplituda výsledného kmitu je podle teorie skládání stejnosměrných kmitání x Mohou nastat významné případy: A A, 1 A A1 Acos 1 1 jestliže x amplitudě x 1 k, pak se obě vlnění setkají ve fázi a nastane interferenční maximum o A A 1 A x x k 1, pak se obě vlnění se setkají v opačné fázi a nastane jestliže 1 interferenční minimum o amplitudě A A 1 A Může nastat případ, kdy A1 A Pak se obě vlnění zruší

7 Příklad: Vlnění je charakterizováno vlnovou délkou 4 m a) Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech 1 m a 0 m od zdroje vlnění b) Určete, zda body kmitají ve fázi Řešení: = 4 m, x 1 =1 m, x =0 m, =? Pro fázový rozdíl platí x x rad 1 4 Fázový rozdíl je roven sudému násobku rad, body jsou ve fázi 6 Stojaté vlnění Stojaté vlnění vznikne interferencí dvou postupných vlnění stejné amplitudy a stejné vlnové délky, které se šíří proti sobě Typickým příkladem je stojaté vlnění, které vznikne při chvění struny Struna je upevněna na dvou koncích Drnkneme-li na strunu v určitém místě, bude se z tohoto místa šířit postupná vlna na obě strany Dospěje k místům, kde je upevněná Tam se odrazí a od obou konců budou proti sobě postupovat dvě koherentní vlny se stejnou amplitudou Tyto dvě vlny se složí budou interferovat pak rovnice stojaté vlny bude mít tvar x u Acos sin t T Je tvořena ze dvou částí První představuje amplitudu kmitu bodu v umístění x Druhá část je harmonická Amplituda bude v každém bodě jiná a je určena výrazem A V Acos V určitých bodech bude amplituda trvale nulová 1,, 3, 4, 5, 6 E 0J Nazývají se uzly Na Obr se jedná o body 1 Body, které budou mít amplitudu trvale maximální, je energie E ka Nazývají se kmitny Na Obr se jedná o body E, B, C, D, E

8 Ve všech ostatních bodech bude mít amplituda určitou hodnotu závislou na vzdálenosti x Vzdálenost d dvou uzlů je rovna polovině vlnové délky d Poznámka: Se stojatým vlněním se můžeme setkat i v rovině Typickým příkladem jsou tzv Chladniho obrazce Jev je možné demonstrovat i na dětském bubínku, na který nasypeme prášek Úderem v kolmém směru bubínek rozechvějeme Vlnění bude postupovat k hranám, tam se odrazí a bude se vracet zpět Na bubínku vznikne rovinné stojaté vlnění V místech, kde budou uzly, budou zrníčka v klidu V místech kmiten budou kmitat s maximální amplitudou Srovnání vlnění 1 U postupného vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou, ale různou fází Kmitová energie, která je pro všechny body stejná se šíří prostředím U stojatého vlnění závisí amplituda kmitů na poloze bodu a fáze mezi dvěma uzly je stejná Kmitová energie se liší pro jednotlivé body v závislosti na jejich amplitudě a nedochází k jejímu přenosu Příklad: V určitém prostředí vzniklo stojaté vlnění interferencí dvou postupných vln s frekvencí 480 Hz Určete rychlost vlnění v tomto prostředí, je-li vzdálenost dvou sousedních uzlů stojatého vlnění 1,5 m Řešení: f=480 Hz, d=1,5 m, v=? Pro fázovou rychlost vlnění platí v f Po dosazení ze vztahu pro vzdálenost sousedních uzlů d dostaneme v d f 1, ms -1 Rychlost šíření vlnění je 1440 ms -1 7 Energie vlnění, tok energie, intenzita 1 Každá částice kmitající kolem rovnovážné polohy má energii kmitavého pohybu kde 1 A E k, k m je konstanta charakterizující pružnost prostředí a A je amplituda kmitů

9 Kmitová energie se přenáší z jednoho bodu na druhý, proudí z jednoho místa prostředí do druhého Hovoříme o toku energie Tok energie vysílané zdrojem vlnění do prostředí za jednotku času dt představuje výkon zdroje vlnění P Jednotkou toku energie výkonu je watt (W) d E P dt 3 Zavedeme veličinu intenzita vlnění I, což je množství celkové energie E, která projde jednotkovou plochou S kolmou na směr šíření vlnění za jednotku času t I 1 t Po úpravě lze intenzitu zapsat jako Jednotkou intenzity je Wm - E S nebo I d E d I dt d S d S P ds Příklad: Popište změnu intenzity vlnění v závislosti na vzdálenosti r od bodového zdroje vlnění konstantního výkonu P Řešení: Vlnění se šíří ze zdroje ve tvaru kulových vlnoploch Plochu kulové vlnoplochy určíme jako obsah povrchu koule o poloměru r Pak S 4 r P Intenzita I S rostoucí vzdáleností intenzita klesá 4 r 8 Huygensův princip V hmotném prostředí se rozruch šíří všemi směry Pokud se bude šířit ve všech směrech stejnou rychlostí, pak toto prostředí bude izotropní V opačném případě bude anizotropní Vlnoplocha V izotropním prostředí se energie rozšíří za stejný časový interval do stejné vzdálenosti Všechny body v této vzdálenosti budou kmitat se stejnou fází Množina všech těchto bodů se nazývá vlnoplocha Směr šíření vlnění se nazývá paprsek Je kolmý k vlnoploše Jestliže je zdrojem vlnění jeden hmotný bod, pak vlnoplochy v prostoru budou mít tvar koule V případě, že se vlnění bude šířit v rovině, budou vlnoplochy tvořit kruhy (např známá kola na vodní hladině)

10 Jednotlivé body prostředí se postupně rozkmitávají a samy se tak stávají zdroji vlnění Šíří se z nich tzv elementární vlnoplochy Jejich vnější obálka se pak stane celkovou výslednou vlnoplochou Teorií vlnoploch se zabýval Christian Huygens Proto se tento závěr nazývá Huygensovým principem Hlavní vlnoplocha bude mít tvar překážky Jestliže bude zdroj kmitů přímkového tvaru, pak vlnoplochy budou rovinné V případě, že postavíme hlavním vlnoplochám do cesty překážku (např desku s vyříznutými otvory), pak se hlavní vlnoplochy rozšíří do těchto otvorů Body prostředí se v těchto otvorech rozkmitají a vytvoří elementární vlnoplochy Pomocí Huygensova principu jsou odvozeny např zákony lomu a odrazu vlnění nebo ohyb vlnění na překážce Zákon odrazu Při vysvětlení zákona odrazu použijeme rovinných vlnoploch Tyto vlnoplochy se vytvářejí, když má zdroj vlnění přímkový tvar nebo je zdroj vlnění v tak velké vzdálenosti, že poloměr vlnoplochy je příliš velký a zakřivení je zanedbatelné Zákon odrazu je odvozován pomocí Huygensova principu Paprsek p dopadne na rozhraní dvou prostředí o různých hustotách Bod dopadu se rozkmitá a stane zdrojem vlnění, ze kterého se šíří vlnoplocha ve směru paprsku p, zpět do původního prostředí Úhel dopadu se rovná úhlu odrazu 1 Zákon lomu Budeme opět uvažovat rovinnou vlnu Paprsek p dopadne na rozhraní prostředí Bod na rozhraní se rozkmitá a vlnoplocha se šíří do druhého prostředí ve směru paprsku p, Protože druhé prostředí má jinou hustotu, budou se vlnoplochy v jednotlivých prostředích šířit různou rychlostí a výsledná vlnoplocha bude mít jiný sklon Jestliže v prvním prostředí se šíří vlnění rychlostí v 1 a ve druhém rychlostí v, pak zákon lomu zapíšeme ve tvaru Úhel 1 je úhel dopadu, úhel je úhel lomu sin 1 sin v1 n v

11 Veličina n je rovna poměru rychlostí v obou prostředích a nazývá se index lomu vlnění pro daná prostředí Lom ke kolmici nastává tehdy, jestliže v1 v Pak 1 Lom od kolmice nastává tehdy, jestliže v1 v Pak 1 Při specifickém úhlu dopadu (mezním úhlu m ), který je pro každé prostředí jiný, nastává totální odraz Úhel lomu je v tomto případě roven 90º Ohyb vlnění Tento jev nastává tehdy, když je velikost překážky srovnatelná s vlnovou délkou vlnění Budeme uvažovat vlnění, které se bude šířit ve tvaru rovinných vlnoploch Kolmo ke směru šíření je umístěna překážka s otvorem Vlnění dospěje k otvoru Částice prostředí v otvoru se rozkmitají a šíří se z nich vlnoplochy i za překážku do prostoru geometrického stínu

12 Příklad: Pod jakým úhlem může nejvýše dopadnout zvuková vlna, aby se úplně od desky odrazila? Rychlost vlnění ve vzduchu je 34 ms -1, v mosazi 300 ms -1 Řešení: v 1 =34 ms -1, v =300 ms -1, =? Úhel lomu je v tomto případě 90 Pak zákon lomu zapíšeme ve tvaru Po dosazení je sin 0, sin v 1 sin 90 v PŘÍKLADY 1 Vlnění je popsáno rovnicí Jaká je amplituda, perioda, rychlost a vlnová délka tohoto vlnění? Rovnice rovinné mechanické vlny má tvar: u(x,t) = 16 sin (15πt-1πx) Určete amplitudu, periodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost této vlny a rovnici pro rychlost kmitající částice v bodě x, jsou-li všechny zadané proměnné v základních jednotkách SI 3 Rovnice postupná mechanické vlny má tento tvar: u(x,t) = 6 sin (4 π t-8 π x) Určete amplitudu, periodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost této vlny a rovnici pro rychlost kmitající částice v bodě x, jsou-li všechny zadané proměnné v základních jednotkách SI 4 Výchylka bodu, který je ve vzdálenosti 40 mm od zdroje vlnění, je v okamžiku t = 1 / 6 T rovna polovině amplitudy Určete vlnovou délku vlnění 5 Napište rovnici postupné vlny, jestliže frekvence vlnění je 1 khz, amplituda výchylky je 0,3 mm a rychlost vlnění 340 ms -1 6 Vlnění o frekvenci 450 Hz se šíří fázovou rychlostí o velikosti 360 ms -1 ve směru přímky p Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohybů dvou bodů, které leží na přímce p a mají vzájemnou vzdálenost 0 cm? 7 Vypočítejte šířku jezera, víte-li, že zvuk šířící se ve vodě se dostane k protějšímu břehu o 1 s dříve, než ve vzduchu Rychlost zvuku ve vodě je 1400 ms -1 a ve vzduchu je 340 ms -1

13 Mechanické vlastnosti některých pevných látek: - hustota, E - modul pružnosti v tahu, G - modul pružnosti ve smyku, - Poissonovo číslo látka -3 kgm E Pa G Pa mosaz ocel uhlíková 8300 až ,9 3,65 0, ,0 8,10 0,9 olovo ,6 0,56 0,44 hliník 699 7,1,64 0,34 měď ,3 4,55 0,35 platina ,0 6,10 0,39 stříbro ,9,87 0,37 zinek ,0 3,60 0,5 sklo tabulové 400 až 600 led 917 (- pryž 4 o C) 1150 až až 7,6 až 3, 0, až 0, ,35 0,33 0,00015 až 0,0005 0,00005 až 0, ,46 až 0,49 Podélné vlnění (longitudinální) a příčné (transverzální) se šíří v pevném neohraničeném prostředí rychlostí c L E kde E (jednotka Pa) je modul pružnosti v tahu v pevné látce hustoty Poměr rychlostí a modulů pružností je V ohraničeném prostředí a) deska

14 E 1 c L, 1 b) tyč E c L, Souvislost mezi podélným a příčným vlněním určuje vztah, kde G je modul pružnosti v torzi (jednotka Pa) a m je Poissonova konstanta charakteristické pro každý materiál Platí 9 Zvuk se šíří ve vodě rychlostí ms -1, ve vzduchu rychlostí 340 ms -1 Jak se změní při přechodu zvuku ze vzduchu do vody jeho vlnová délka? [Vlnová délka je ve vzduchu 4,35 krát kratší] 10 Uslyšíme zvuk, jehož vlnění je popsáno rovnicí u 0,05sin1980t 6x také vlnovou délku a rychlost tohoto zvuku? Vypočtěte 11 Rychlost zvuku v ledu je 3300 ms -1 Vypočítejte modul pružnosti v tahu ledu, je-li jeho hustota 910 kgm -3 [E = 9,810 9 Pa] 1 Vypočítejte modul pružnosti v tahu oceli, rozšíří-li se podélné vlnění do vzdálenosti 1000 m za dobu 0,188 s Hustota oceli je 7,810 3 kgm -3 [E =, Pa] 13 Vypočítejte modul pružnosti v tahu mědi, rozšíří-li se podélné vlnění v mědi do vzdálenosti 1000 m za dobu 0,69 s [E = 1,10 11 Pa] 14 Vypočítejte koeficient stlačitelnosti alkoholu, je-li jeho hustota 8,0610 kgm -3 a rychlost šíření podélných vln v alkoholu 17 ms -1 [ =8, Pa -1 ] 15 Rychlost šíření podélných vln v oceli v 1 = 5100 ms -1 Ocel je ve tvaru tyče Jaká je rychlost šíření příčných vln, jestliže Poissonovo konstanta m = 3,1? [v = 3111 ms -1 ]

15 16 Jaká je intenzita zvuku v postupující zvukové vlně o takové amplitudě 0,1 Pa a o frekvenci 1 khz ve vzduchu, kde hustota vzduchu je 1,93 kgm -3 a rychlost šíření 331,7 ms -1 [I = 11,710-6 Wm - ] 17 Bodový zdroj výkonu 1 W vysílá zvukové vlny Za předpokladu, že energie vln se zachovává, jaká je intenzita zvuku ve vzdálenosti 1 m od zdroje? [I = 0,08 Wm - ] 18 Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně Když se přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila Vypočtěte vzdálenost D [D = 170,7 m]