Homogenní P kolonie 1

Transkript

1 Homogenní P kolonie 1 Luděk Cienciala 1, Lucie Ciencialová 1, Alica Kelemenová 1,2 1 Ústav informatiky, Slezská univerzita Opava Bezručovo nám.13, Opava 2 Katedra informatiky, Katolická univerzita Ružomberok, Námestie A. Hlinku 56/1, Ružomberok, Slovenská republika ludek.cienciala@fpf.slu.cz, lucie.ciencialova@fpf.slu.cz, alica.kelemenova@fpf.slu.cz Abstrakt V příspěvku prezentujeme výsledky získané při výzkumu P kolonií, jedné z variant výpočetních modelů založených na nezávislých membránových agentech, které se vyvíjí a působí ve společném prostředí. Budeme se zabývat především P koloniemi, které jsou homogenní vzhledem k typu pravidel jednotlivých agentů. Počet agentů, stejně jako počet v každém agentu lze omezit i při zachování výpočetní úplnosti homogenních P kolonií. Uvedeme výsledky pro P kolonie s jedním a se dvěma objekty uvnitř každého agenta. 1 Úvod P kolonie byly zavedeny v práci [8] jako jeden z modelů inspirovaných membránovými systémy ([10]) a gramatickými systémy, které nazýváme kolonie ([6]). Daný model je inspirován strukturou a činností živých organismů ve společném prostředí. Autonomní organismy žijící v P kolonii nazýváme agenty. Jako agenty si můžeme klidně představit například mravence nebo včely. Samozřejmě nebudeme zkoumat jejich stavbu nebo životní projevy do detailů a hledat adekvátní popis, formalismus v daném modelu. Agenty i jejich životní projevy jsou definovány velmi jednoduchým způsobem. Každý agent je tvořen jednou membránou ohraňičující oblast s objekty. Počet objektů uvnitř agenta je pevně stanoven a je pro všechny agenty stejný. Počet objektů uvnitř každého agenta určuje tzv. kapacita P kolonie. Objekty P kolonií si můžeme představit v přírodě jako látky, které jsou schopny dané organismy měnit, přijímat, vylučovat do prostředí. I takto jednoduché životní projevy mohou emergovat v mnohem složitější životní projevy celé P kolonie. Nejvíce k tomu přispívá předávání informací mezi agenty, kdy jeden agent vyloučí do prostředí určitou látku odpovídající jeho stavu v dané situaci. Například u mravenců patří mezi nejdůležitejší komunikační prvek mravenčí pachy, tzv. feromony. Mezi výhody využívání pachů patří to, že mravencům stačí i malý mozeček k vytvoření poměrně složité společenské struktury. Existují však parazité, kteří jsou schopni napodobit mravenčí pach a z toho vyplývá snadná napadnutelnost daného systému. Mezi častými parazity mravenců jsou mravenci jiného druhu. Nyní se podívejme na druhý příklad a to včely. Žihadlový aparát včely tvoří několik žláz. V jejich výměšcích je histamin, fosfolipáza a hyaluronidáza vyvolávající nepříjemné pocity svědění a pálení v okolí vpichu. Tyto žlázy také vylučují i feromony, které slouží k vyvolání poplachu u ostatních včel. Do rány vstřikují včely i látku připomínající vůni banánů. Pomocí ní se orientují další včely a vpichují další žihadla do blízkosti prvního, tzn. u každé dávky jedu je i dávka izoamylacetátu. Izoamylacetát je stálá látka informující něco okolo 10 minut další včely, kde se nachází nepřítel. Včely z jednoho úlu se poznájí podle specifické vůně, podobné úlové vůni, která sestává z mnoha složek. Včely jsou schopny se vyznat i ve směsici pachů. Pyl a nektar dvou úlů nevonívá stejně, z důvodu, že bývá sbírán jednak z různých rostlin, ale hlavně v různém poměru těchto rostlin. Povrch těla včely je uzpůsoben tak, že nabírá vůni úlu a udržuje si ji. Ale to ještě není všechno. Včely si značí cestu k nektaru. Jsou to molekuly neralu, citralu a geraniolu, jejichž vůně dohromady připomíná vůni květů meduňky nebo plodů kdoule. Pomáhají včelám najít i cestu zpátky do úlu. Pro orientaci slouží včelám i tance uvnitř úlu a mnoho dalších vůní. Např. terpeny, aldehydy, ketony i další štiplavé a aromatické sloučeniny v různých množstvích ovlivňují dorozumívání včel a umožňují fungování včelstva. Vůni včely používají 1 Poděkování Výzkum byl proveden za podpory grantu GAČR 201/06/0567, výzkumného záměru MSM a grantu OP RLZ CZ / /

2 jako dorozumívací jazyk. Prostředí P kolonie slouží jako komunikační kanál, právě přes prostředí agenty jsou schopni ovlivňovat chování ostatních agentů. Stejně jako mravenci a včely. V prostředí se nacházejí speciální objekty, které nazýváme enviromentální a označujeme e. Počet objektů e je v prostředí obecně nekonečně mnoho. Činnost agenta je určena pomocí. Každý agent má k dispozici svou množinu. Program je tvořen pravidly a to pravidly přepisujícími, komunikačními a kontrolními. Kontrolní pravidla jsou rozšířením pravidel komunikačních. Každý program obsahuje tolik pravidel, kolik je objektů uvnitř agenta. V každém okamžiku jsou všechny objekt uvnitř agenta změněny a nebo přesunuty. Existují tři základní typy pravidel: (1) Přepisující pravidla mají tvar a b. Aplikací pravidla je objekt a v agentu přepsán na objekt b. (2) Komunikační pravidla mají tvar c d. Pomocí tohoto pravidla je objekt c, který je uvnitř agenta, přesunut ven a objekt d, který je vně, je pak přesunut dovnitř agenta. Schopnosti agentů jsou rozšířeny o (3) kontrolní programy. Dáme jimi agentům možnost výběru mezi dvěma možnostmi. Programy mají tvar a b, c d/c d. Pokud tento program je aplikován, pravidlo c d má vyšší prioritu k provedení než pravidlo c d. To znamená, že agent vybere pravidlo c d (pokouší se najít uvnitř objekt c a objekt d v prostředí). Pokud toto pravidlo může být vykonáno, tak je použito. Když první pravidlo nemůže být provedeno, agent použije druhé pravidlo z dané dvojice pravidel c d. Pro případ dvou objektů uvnitř agenta, můžeme přepsat kontrolní pravidlo do tvaru c d/c d. Pokusme se tato pravidla, alespoň z části interpretovat v přírodě. Přepisující pravidla zabezpečují změnu látky a uvnitř organismu na jinou látku b. Komunikační pravidla, jsou právě ta pravidla, pomocí kterých určité organismy komunikují. Jedná látka c je vyloučena do prostředí a další látka d, je přijata organismem. Látku d můžeme klidně v některých případech chápat jako zpětnou vazbu při vyloučení látky c. U kontrolních pravidel organismus zjišt uje, jestli se v prostředí vyskytuje určitý typ látky, pokud ne, přizpůsobí své chování tomuto nedostatku. To znamená například mravenec pokud nenajde, ztratí feromonovou stopu, bude ji dále hledat a pokud ji najde, bude ji sledovat. Výpočet začíná v počáteční konfiguraci, která je definována následujícím způsobem: prostředí a všechny agenty obsahují pouze kopie objektů e. Aplikováním agenty mohou měnit svůj obsah a pomocí prostředí mohou ovlivňovat chování ostatních agentů v dalším kroku výpočtu. V přírodě se také často prostředí využívá jako komunikační kanál. Některé organismy vylučují jisté látky do prostředí a tím ovlivňují chování ostatních. Výpočet je paralelní. V každém kroku výpočtu každý agent nedeterministicky vybere jeden ze svých a vykoná jej. Výpočet končí zastavením, kdy žádný agent nemůže aplikovat žádný ze svých. Výsledkem výpočtu je počet určitých objektů v prostředí na konci výpočtu. P kolonie jsou výpočetně úplné. Zajimavá je otázka, jaký je nejmenší počet agentů, počet v agentu při zachování výpočetní úplnosti. V tomto příspěvku popisujeme vlastnosti homogenních P kolonií, to znamená P kolonií s programy tvořených stejným typem pravidel (přepisujícími, komunikačními nebo kontrolními) pro všechy objekty uvnitř agenta. Každá P kolonie s kapacitou jedna je homogenní. Homogenní P kolonie byly poprvé studovány v [1]. Budeme se zabývat počtem agentů a počtem v agentech při zachování výpočetní úplnosti homogenních P kolonií s kapacitou jedna a dvě. To znamená, že všechny agenty bude v prvním případě obsahovat jeden objekt a ve druhém případě dva objekty. V následující kapitole uvedeme základní definice, definici P kolonie a definici registrového stroje, který je použit v důkazech výpočetní síly P kolonií. V třetí kapitole se budeme zabývat P koloniemi s jedním objektem uvnitř každého agenta. V [1] jsme ukázali, že v nejlepším případě sedm u každého agenta, stejně tak i pět agentů zabezpečuje výpočetní úplnost P kolonií. V článku ukážeme, že šest v každém agentu bez omezení počtu agentů je výpočetně úplný. Výsledky týkající se homogenních P kolonií se dvěma agenty v každém agentu uvedeme v kapitole 4. Dva objekty v agentech dovolují maximálně snížit počet agentů tak, že výpočetní úplnost může být realizována pouze jedním agentem. Navíc čtyři programy v každém agentu dovolují generovat každou spočitatelnou podmnožinu přirozených čísel (bez omezení počtu agentů). 2 Definice Budeme předpokládat, že čtenáři jsou známy základní definice a poznatky z teorie formálních jazyků a automatů. Více informací o membránových výpočtech je možno získat v [11], o výpočetních strojích a koloniích 72

3 částečně v [9] a [6, 7, 8]. Počet článků o daném modelu neustále roste, nejlépe se o tom můžeme přesvědčit na webových stránkách [12]. Uvedeme zde označení použité v tomto článku. NRE budeme označovat množiny rekurzívně spočitatelných nezáporných celých čísel a N množinu nezáporných celých čísel. Σ je označení pro abecedu. Necht Σ je množina všech slov nad abecedou Σ (včetně prázdného slova ε). Pro délku slova w Σ budeme používat označení w a pro počet výskytů symbolů a Σ ve w w a. Multimnožina objektů M je dvojice M = (V, f), kde V je libovolná (ne nutně konečná) množina objektů a f je zobrazení f : V N; f přiřazuje každému objektu z V jeho násobnost v M. V je množina všech konečných multimnožin nad konečnou množinou V. Support množiny M je množina supp(m) = {a V f M (a) 0}. Kardinalitu množiny M značíme M a je definována jako M = a V f M (a). Konečná multimnožina M nad V může být reprezenotvána jako řetězec w nad abecedou V s w a = f M (a) pro všechna a V. Budeme tedy psát M = w, tj. operator je asociován s w odpovídající multimnožiny M. Samozřejmě všechna slova obdržená z w permutací znaků jsou reprezentována stejnou multimnožinou M. ε představuje prázdnou multimnožinu. 2.1 P kolonie P kolonie byly zavedeny v práci [8]. P kolonie je tvořena agenty a prostředím. Agenty i prostředí obsahuje objekty. Každý agent má množinu. Nejdříve uvedeme dva typy pravidel v programech. První typ nazýváme přepisující pravidla, mají tvar a b. To znamená, že objekt a uvnitř agenta je přepsán (změněn) na objekt b. Druhý typ pravidel nazýváme komunikační pravidla a mají tvar c d. Pokud je dané pravidlo aplikováno, objekt c uvnitř agenta a objekt d vně agenta si zamění pozice, to znamená, že po vykonání pravidla objekt d se nachází uvnitř agenta a c je obsaheženo v prostředí. V práci [7] byla schopnost agentů rozšířena o kontrolní pravidla. Tímto pravidlem získali agenty schopnost vybrat si mezi dvěma možnostmi. Pravidla mají tvar r 1 /r 2. Pokud je aplikováno kontrolní pravidlo, pravidlo r 1 má vyšší prioritu pro vykonání než pravidlo r 2. To znamená, že agent pokud je to možné aplikuje pravidlo r 1, v opačném případe pravidlo r 2. Pokud programy mají jeden typ pravidel, pak hovoříme o programech přepisujících, komunikačních nebo kontrolních. V případě P kolonií se dvěma objekty uvnitř každého agenta přepisující programy mohou být modifikovány na tvar ab cd. Stejným způsobem můžeme modifikovat komunikační programy na tvar ab cd. Definition 1 P kolonie s kapacitou c je struktura Π = (A, e, f, v E, B 1,..., B n ), kde A je abeceda kolonie, její prvky nazýváme objekty, e je základní objekt kolonie, který nazýváme enviromentální, e A, f je finální objekt kolonie, f A, v E je počáteční obsah prostředí, v E (A {e}), B i, 1 i n, jsou agenty, každý agent je struktura B i = ( o i, P i ), kde o i je multimnožna nad A, která definuje počáteční stav (obsah) agenta B i a o i = c, P i = {p i,1,..., p i,ki } je konečná množina, kde každý program obsahuje právě c pravidel v jednom z následujících tvarů: a b, pravidla v daném tvaru nazýváme přepisující pravidla, c d, pravidla v daném tvaru nazýváme komunikační pravidla, r 1 /r 2, pravidla nazýváme kontrolními pravidly; r 1, r 2 jsou přepisující nebo komunikační pravidla. Počáteční konfigurace P kolonie je (n + 1)-tice ( o 1,..., o n, v E ) multimnožin objektů nacházejících se v P kolonii na začátku výpočtu, kde o i pro 1 i n a pro prostředí v E. Obecně konfigurace P kolonie Π je definovaná jako ( w 1,..., w n, w E ), kde w i = c, 1 i n, w i a reprezentuje všechny objekty i-tého agenta a w E (A {e}) je souhrn všech objektů obsažených v prostředí a různých od e. Výpočet P kolonií studovaných v tomto článku probíhá paralelně. V každém kroku paralelního výpočtu pracuje maximální počet agentů. Každý agent, který může použít nějaký ze svých, tak ho použije. Jestliže najde více než jeden program, pak nedeterministicky vybere právě jeden a použije ho. Pro programy z každé množiny P i zavedeme označení z množiny lab (P i ) takové, že lab (P i ) lab (P j ) = pro i j, 1 i, j n. Pro formální vyjádření kroku výpočtu zavedeme čtyři funkce: Pro pravidlo r ve tvaru a b, c d 73

4 a c d/c d, resp., pro multimnožinu w A definujeme: left (a b, w) = a right (a b, w) = b export (a b, w) = ε import (a b, w) = ε left (c d, w) = ε right (c d, w) = ε export (c d, w) = c import (c d, w) = d left (c d/c d, w) = ε right (c d/c d, w) = ε } export (c d/c d, w) = c import (c d/c d pro, w) = d w d 1 } export (c d/c d, w) = c import (c d/c d, w) = d pro w d = 0 a w d 1 Pro program p a α {lef t, right, export, import}, necht α (p, w) = r p α (r, w). Změna konfigurace je definována jako ( w 1,..., w n, w E ) ( w 1,..., w n, w E), kde jsou splněny následující podmínky: Množina označení P s P n taková, že p, p P, p p, p lab (P j ), p lab (P i ), i j, pro každé p P, p lab (P j ), left (p, w E ) export (p, w E ) = w j, a import (p, w E ) w E. p P Kromě toho, vybraná množina P je maximální, to znamená, že žádný další program r 1 i n lab (P i), r / P, nemůže být přidán do množiny P tak, aby splňoval podmínky dříve uvedené Obecně pro každé j, 1 j n, pro které existuje a p P s p lab (P j ), necht w j = right (p, w E ) import (p, w E ). Pokud neexistuje p P s p lab (P j ) pro nějaké j, 1 j n, necht w j = w j a dále necht w E = w E import (p, w E ) export (p, w E ). p P p P Sjednocení a - zde představují operace nad multimnožinami. Konfigurace je koncová, pokud množina označení P splňující podmínky výše, nemůže být vybrána, jinak než jako prázdná množina. Množinu koncových konfigurací označíme jako H. Pokud se výpočet zastaví, můžeme s ním asociovat výsledek výpočtu. Výsledkem výpočtu je počet kopií speciálního symbolu f v prostředí. Množina čísel počítaných P kolonií Π je definována jako N (Π) = { w E f ( o 1,..., o n, v E ) ( w 1,..., w n, w E ) H}, kde ( o 1,..., o n, v E ) je počáteční konfigurace, ( w 1,..., w n, w E ) je koncová konfigurace, a označuje reflexivní a tranzitivní uzávěr. Mějme P kolonii Π = (A, e, f, v E, B 1,..., B n ). Maximální počet asociovaných s agenty nazýváme výškou, počet agentů, n, pak stupněm a počet objektů uvnitř každého agenta kapacitou P kolonie. Označme NP COL par (c, n, h) třídu množin čísel počítáných P koloniemi pracujícími paralelně bez použítí kontrolních pravidel a s: - kapacitou nejvýše c, - stupněm nejvýše n a - výškou nejvýše h. Pokud použijeme kontrolní pravidla, pak třídu množin čísel počítaných P kolonií označíme NP COL par K. Pokud jsou omezeny použijeme označení NP COL par R respektive NP COL par KR. Jesltliže P kolonie jsou homogenní použijeme označení NP COL par H respektive NP COL par KH. 2.2 Registrový stroj V našem příspěvku porovnáváme třídy NP COL par (c, n, h) s rekuzivně spočetnými množinami čísel. Pro důkaz výpočetní síly použijeme registrový stroj. Definition 2 [9] Registrový stroj je struktura M = (m, H, l 0, l h, P ) kde: - m je počet registrů, - H je množina označení instrukcí, - l 0 je označení pro počáteční / startovní instrukci, - l h je označení pro koncovou instrukci, - P je konečná množina instrukcí mající své označení určené pomocí množiny H. Instrukce registrového stroje mají následující tvary: 74

5 l 1 : (ADD(r), l 2, l 3 ) K obsahu registru r přičte 1 a výpočet pokračuje instrukcí (označenou) l 2 nebo l 3. l 1 : (SUB(r), l 2, l 3 ) Pokud registr r není prázdný, tak odečte z jeho obsahu 1 a pokračuje instrukcí l 2, jinak (registr r obsahuje 0) pokračuje instrukcí l 3. l h : HALT Stroj zastaví. Pro tuto instrukci je přiřazeno pouze jediné koncové označení l h. Bez ztráty na obecnosti můžeme předpokládat, že v každé ADD-instrukci l 1 : (ADD(r), l 2, l 3 ) a v každé SUB-instrukci l 1 : (SUB(r), l 2, l 3 ) je označení l 1, l 2, l 3 navzájem různé. Registrový stroj M počítá množinu N(M) čísel následujícím způsobem: na začátku jsou všechny registry prázdné (je v nich uloženo číslo nula) s instrukcí označenou l 0 a přejdeme k aplikování instrukcí určených pomocí označení (docílíme pomocí obsahu registrů). Pokud dojdeme ke koncové instrukci, pak číslo uložené v daném okamžiku v registru 1 představuje výsledek získaný registrovým strojem M a od této chvíle představuje N(M). (Kvůli nedeterminismu ve vybírání pokračování výpočtu v případě ADD-instrukcí N(M) může být nekonečná.) Tímto způsobem výpočtu můžeme vypočíta všechny množiny čísel, které jsou vypočitatelné Turingovým strojem. [9] 3 P kolonie s jedním objektem uvnitř agenta V této části se budeme zabývat vlastnostmi P kolonie pouze s jedním objektem uvnitř každého agenta P kolonie. To znamená, že každý program agenta je tvořen pouze jedním pravidlem a to přepřepisujícím, komunikačním nebo kontrolním. Theorem 1 NP COL par K(1,, 6) = NRE. Důkaz: Uvažujme registrový stroj M = (m, H, l 0, l h, P ). Všechna označení z množiny H budou objekty z P kolonie. Obsah registru i bude reprezentován počtem kopií objektů a i v prostředí. Zkonstruujeme P kolonii Π = (A, f, e, B 1,..., B n ) s: abecedou A = H {a i 1 i m} {F i 1 i H } {e, d, D} koncovým objektem f = a 1 agenty B i = ( e, P i ), 1 i H + 3, a jejich programy jsou následující: 1. Mějme strartovací agenty B 1, B 2 s množinami : P 1 : P 2 : 1 : e l 0 1 : e D 2 : l 0 D/l 0 e 2 : D l 0 Agent B 1 generuje a posílá kopie označení pro startovací instrukci l 0 registrového stroje M a zastaví se příjmutím jedné kopie objektu D. Druhý agent B 2 generuje jednu kopii objektu D a další výpočet agenta je zastaven pomocí symbolu l 0. Simulace výpočtu může začít druhou kopií objektu l 0 v prostředí. 2. Potřebujeme jednoho agenta generujícího speciální objekt d. P 3 : 1 : e d 2 : d H/d e V každém druhém kroku agent B 3 umístí jeden objekt d do prostředí. 3. Pro každou instrukci l 1 : (ADD(r), l 2, l 3 ) je zde agent P kolonie Π. Daný agent přidává jeden objekt a r a objekt l 2 nebo l 3 do prostředí. P l1 : 1 : e l 1 4 : d l 2 2 : l 1 a r 5 : d l 3 3 : a r d 6 : l 2 e/l 3 e Jakmile je objekt l 1 přítomný v prostředí, agent B l1 může začít pracovat, odebírá z prostředí objekt l 1 a generuje místo něj objekt a r, nakonec vymění objekt l 2 nebo l 3 za e. Na závěr této části výpočtu je objekt s označením další instrukce stroje M umístěn do prostředí a další agent začíná pracovat. 4. Pro každou instrukci l 1 : (SUB(r), l 2, l 3 ) z množiny P uvažujme agenta B l1 s množinou : P l1 : 1 : e l 1 4 : a r l 2 /d l 3 2 : l 1 F 1 5 : l 2 e/l 3 e 3 : F 1 a r / F 1 d 75

6 Agent znovu přivádí dovnitř objekt l 1 a mění ho za objekt F 1. V dalším kroku agent zkontroluje zda-li je v prostředí nejméně jeden objekt a r. Jestliže ano, agent vezme dovnitř a r a přepíše ho na objekt l 2. Pokud se objekt a r v prostředí nevyskytuje, agent vezme objekt d a přepíše ho na objekt l 3. V posledním kroku agent vždy znovu zamění objekt l 2 nebo l 3 za e. 5. Pro koncovou instrukci označenou l h budeme mít agenta B lh s programy: P lh : 1 : e l h 3 : H d 2 : l h H Agent zpotřebovává objekt l h a v prostředí není další objekt l m. Tento agent umístí jednu kopii objektu H do prostředí a zastaví svou činnost. Objekt H je v dalším kroku zpotřebován agentem B 3. Neexistuje agent, který by mohl začít pracovat a výpočet končí. Ukázali jsme, že P kolonie Π simuluje výpočet registrového stroje M. Výpočet P kolonie Π začíná bez objektů a r v prostředí, stejným způsobem začíná výpočet registrového stroje M s nulami ve všech registrech. Výpočet Π končí pokud symbol l h je umístěn dovnitř odpovídajícího agenta, stejným způsobem registrový stroj M končí činnost po vykonání koncové instrukce označené l h. Platí tedy N(M) = N(Π), a protože každý agent má nejvýše 6, důkaz je kompletní. Další otázkou je, jaký počet agentů je nutný pro simulování registrového stroje. V práci [2] je dokázáno: Theorem 2 NP COL par K(1, 4, ) = NRE 4 P kolonie se dvěma objekty uvnitř agentů Agenty se dvěma objekty mají v každém programu dvě pravidla. Pokud pravidla v programech jsou stejného typu, P kolonii nazýváme homogenní. Theorem 3 NP COL par HK(2, 1, ) = NRE. Důkaz: Mějme registrový stroj M s m registry. Zkonstruujeme P kolonii Π = (A, f, e, B) simulující výpočet registrového stroje M s: A = {d, a, s, f, h, v} {l, l l H} {a r 1 r m}, f = a 1, B = ( ee, P ) Na začátku výpočtu agent generuje objekt l 0 (označení startovací instrukce registrového stroje M) a dvě kopie objektů a. Agent začíná simulaci instrukce označené l 0 a generuje označení následující instrukce. Množina obsahuje: 1. Pro innicializaci simulace: P : 1 : ee dd 7 : se fg 2 : dd ee 8 : fg ae 3 : dd sa 9 : ae al 0 4 : sa ed 10 : al 0 ge 5 : ed ha 11 : ge hl 0 6 : ha se 12 : hl 0 aa 13. sa sa Agent s dvěma kopiemi objektu a uvnitř je připraven pro simulování instrukce označené l i (s objektem l i umístěném v prostředí). Toho je dosaženo n následujícími kroky: Agent začíná výpočet generováním objektu d. Pro další kroky výpočtu musí generovat čtyři objekty d. Druhá dvojice objektů d může být přepsána na pomocné objekty s a a. Program 13 zajišt uje zacyklení výpočtu, pokud počet kopí objketu d není dostatečný. V dalších krocích agent generuje druhý objekt a, objekt h a další pomocné symboly (z důvodu dodržení posloupnosti kroků výpočtu) a konečně označení l 0. Pokud jsou uvnitř agenta dvě kopie objektu a, agent je připraven pro simulaci instrukce označené l i (Pokud objekt l i je umístěn v prostředí). Inicializace je vykonána pomocí následující posloupností kroků: konfigurace Π označení krok B Env P 1. ee 1 2. dd 2 nebo 3 3. ee dd 1 4. dd dd 2 nebo 3 5. sa dd 4 nebo ed sad 5 7. ha sad 6 8. se haad 7 9. f g haad ae f ghad 9 76

7 konfigurace Π označení krok B Env P 11. al 0 fghad ge l 0 fhaad hl 0 gfaad aa l 0 gfd? Pokud agent použije program 3 ve druhém kroku musí v dalších krocích použít program 13 a výpočet nikdy neskončí. Pokud je více než jeden aplikovatelný program, agent vybere napsaný tučně a vykoná jej. 2. Pro každou ADD-instrukci l 1 : (ADD(r), l 2, l 3 ) přidáme do množiny P : P : 14 : aa l 1 e 20 : 15 : el 1 l 2a r 21 : ef el 3 el 2 l 2 v 16 : el 1 l 3a r 22 : el 3 l 3 v 17 : l 2a r ef 23 : l 2 v aa 18 : l 3a r ef 24 : l 3 v aa 19 : ef el 2 Když agent vezme objekty l 1 a e dovnitř, přepíše je na a r a l 2 nebo l 3. Další kroky končí generováním l 2 nebo l 3. Tento objekt musí být poslán ven do prostředí s objektem v. konfigurace Π označení krok B Env P 1. aa l 1 fghd l 1 e fghdaa 15 nebo l 2a r fghdaa ef l 2ghdaaa r l 2e fghdaaa r l 2 v fghdaaa r aa l 2 vfghdaaa r? 3. Pro každou SUB-instrukci l 1 : (SUB(r), l 2, l 3 ) je podmnožina : P : 25 : a l 1 / a l 1 ; a a r / a e 26 : l 1 a r l 2 v 28 : l 2 v aa 27 : l 1 e l 3 v 29 : l 3 v aa V prvním korku agent kontroluje, zda-li se a r nevyskytuje v prostředí (pokud registr r není prázdný). V případě, že ano, přídá l 1 s a r dovnitř, v případě, že ne, l 1 vstoupí do agenta se symbolem e. V závislosti na obsahu agenta generuje objekt l 2 nebo l 3. V případě kdy registr r je prázdný: konfigurace Π označení krok B Env P 1. aa l 1 fghd l 1 e fghdaa l 3 v fghdaa aa l 3 vfghd? Výpočet v případe, kdy registr r není prázdný: konfigurace Π označení krok B Env P 1. aa l 1 fghda n r l 1 a r fghdaaa n 1 r l 2 v fghdaaa n 1 r aa l 2 vfghda n 1 r? 4. Pro koncovou instrukci l h je v množině program: P : aa hl h Po proběhnutí tohoto programu P kolonie ukončí výpočet, stjně jako registrový stroj zastaví svůj výpočet. Ukázali jsme, že P kolonie Π simuluje činnost registrového stroje M a číslo získané v prvním registru registrového stroje M odpovídá počtu kopií objektů a 1 v prostředí P kolonie Π. Theorem 4 NP COL par HK(2,, 4) = NRE. Důkaz: Mějme registrový stroj M = (m, H, l 0, l h, P ). Všechna Označení z množiny H budou objekty P kolonie, prvky množiny uvedeme dále. Obsah registru i bude reprezentován počtem kopií určitých objketů a i prostředí. Zkonstruujeme P kolonii Π = (A, f, e, B 1,..., B n ) s: abecedou A = H {a i 1 i m} {F i 1 i H } {e, d, D} koncovým objektem f = a 1 77

8 agent B i = ( ee, P i ), 1 i H + 2, a jeho programy: 1. Uvažujme startovací agenty B 1, B 2 s množinou : P 1 : 1 : ee el 0 2 : e e/e e; l 0 D/l 0 e P 2 : 1 : ee De 2 : De el 0 Agent B 1 generuje dvě počáteční označení registrového stroje M a zastaví se přijetím jedné kopie objektu D. Druhý agent B 2 generuje jednu kopii objektu D a čeká na objekt l 0. Pokud je objekt přesunu dovnitř agenta, ukončí agent svou činnost. Simulace výpočtu může začít s druhou kopií objektu l 0 v prostředí. Začátek výpočtu může probíhat následovně: konfigurace Π označení krok B l1 Env P l1 1. ee l el 1 2 nebo 3 3. a r l ee a r l 2? 3. Pro každou instrukci l 1 : (SUB(r), l 2, l 3 ) z množiny P použijeme agenta B l1 s následující množinou : P l1 : 1 : e l 1 /e l 1 ; e a r /e e 2 : a r l 2 /e l 3 ; l 1 v/l 1 v 3 : l 2 e/l 3 e; v e/v e Agent vždy přivádí dovnitř objekt l 1 a jednu kopii a r (pokud je nějaká kopie a r v prostředí). Jestliže ano, agent generuje objekt l 2. Jestliže ne, agent generuje objekt l 3. V dalším kroku agent vždy zamění objekt l 2 nebo l 3 za e. konfigurace Π označení krok B 1 B 2 Env P 1 P 2 1. ee ee el 0 De 2 3. ee De el el 0 el 0 De 2 5. De el 0 el 0 2. Pro každou instrukci l 1 : (ADD(r), l 2, l 3 ) je v P kolonii Π jeden agent. Daný agent musí přidat do prostředí jednu kopii objektu a r a objekt l 2 nebo l 3. P l1 : 1 : ee el 1 3 : el 1 a r l 3 2 : el 1 a r l 2 4 : a r e/a r e; l 2 e/l 3 e Pokud objekt l 1 je obsažen v prostředí, agent B l1 může začít pracovat, odebírat objekt l 1, generovat a r a l 2 nebo l 3. Na závěr této části výpočtu objekt s označením další instrukce registrového stroje M je umístěn do prostředí a další agent může začít pracovat. Výpočet pro případ, kdy registr r není prázdný: konfigurace Π označení krok B l1 Env P l1 1. ee l 1 a r 1 2. a r l l 2 v 3 4. ee l 2 v? Výpočet pro případ, kdy registr r je prázdný: konfigurace Π označení krok B l1 Env P l1 1. ee l el el ee l 3 v? 4. Pro koncovou instrukci l h není zde program ani žádný agent P kolonie. 5. Druhá možná posloupnosti kroků na žačátku je tato: 78

9 konfigurace Π označení krok B 1 B 2 B l0 Env P 1 P 2 P l0 1. ee ee ee el 0 De ee 2 3. ee De ee el el 0 De el ee De??? el De el 0??? Ukázali jsme, že P kolonie Π simuluje činnost registrového stroje M. Výpočet Π začíná s žádným objektem a r umístěným v prostředí, stejně jako registrový stroj M začíná s nulou na všech registrech. Výpočet Π se zastaví pokud symbol l h je umístěn dovnitř odpovídajícího agenta, stejně jako registrový stroj M se zastaví vykonáním koncové instrukce označené l h. Platí tedy, N(M) = N(Π), a protože každý agent obsahuje nejvýše pět, důkaz je hotov. 5 Závěr Homogenní P kolonie jsou výpočetně úplné pro: 1. c = 1, h = 6 a neomezené n (P kolonie s jedním objektem uvnitř každého agenta, s použitím nejvýše šest ) 2. c = 1, n = 4 a neomezené h (P kolonie sestavená ze čtyř agentů, každý z ních má uvnitř pouze jeden objekt) 3. c = 2, h = 4 a neomezené n (P kolonie se dvěma objekty uvnitř každého agenta, s použitím nejvýše čtyř ) 4. c = 2, n = 1 a neomezenéh (P kolonie s jedním agentem, který zpracovává dva symboly). Pro dané výsledky byla použita simulace registrového stroje. Výzkum simulace operace ADD určuje obdržené výsledky. Literatura [1] Ciencialová, L. Cienciala, L.: Variations on the theme: P colonies, Proceedings of the 1 st International workshop WFM 06 (Kolář, D., Meduna, A., eds.), Ostrava, 2006, pp [2] Cienciala, L. Ciencialová, L. Kelemenová, A.: On the Number of Agents in P colonies, Membrane Computing. Proc. Intern. Workshop, WMC 2007, Thessaloniki, Greece, June 2007 (G. Eleftherakis et al., eds.), LNCS 4860, Springer, Berlin, 2007, pp [3] Csuhaj-Varjú, E. Kelemen, J. Kelemenová, A. Păun, Gh. Vaszil, G.: Cells in environment: P colonies, Journal of Multiple-valued Logic and Soft Computing 12, 3-4, 2006, pp [4] Csuhaj-Varjú, E. Margenstern, M. Vaszil, G.: P colonies with a bounded number of cells and programs. Pre-Proceedings of the 7 th Workshop on Membrane Computing (H. J. Hoogeboom, Gh. Păun, G. Rozenberg, eds.), Leiden, The Netherlands, 2006, pp [5] Freund, R. Oswald, M.: P colonies working in the maximally parallel and in the sequential mode. Pre-Proceedings of the 1 st International Workshop on Theory and Application of P Systems (G. Ciobanu, Gh. Păun, eds.), Timisoara, Romania, 2005, pp [6] Kelemen, J. Kelemenová, A.: A grammartheoretic treatment of multi-agent systems. Cybernetics and Systems 23, 1992, pp [7] Kelemen, J. Kelemenová, A.: On P colonies, a biochemically inspired model of computation. Proc. of the 6 th International Symposium of Hungarian Researchers on Computational Intelligence, Budapest TECH, Hungary, 2005, pp [8] Kelemen, J. Kelemenová, A. Păun, Gh.: Preview of P colonies: A biochemically inspired computing model. Workshop and Tutorial Proceedings, Ninth International Conference on the Simulation and Synthesis of Living Systems, ALIFE IX (M. Bedau at al., eds.) Boston, Mass., 2004, pp [9] Minsky, M. L.: Computation: Finite and Infinite Machines. Prentice Hall, Engle-wood Cliffs, NJ, [10] Păun, Gh.: Computing with membranes. Journal of Computer and System Sciences 61, 2000, pp [11] Păun, Gh.: Membrane computing: An introduction. Springer-Verlag, Berlin, [12] P systems web page. 15. leden února 2008 < 79

10 80