Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY"

Transkript

1 Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik Základní operace s množinami Aiom, definice, vět a důkaz Úprav agebraických výrazů 8 4 Rovnice Rovnice lineární, kvadratické, s absolútní hodnotou, parametrické Rovnice vššího stupně a iracionální rovnice Soustav lineárních rovnic Řešení nerovnic 5.1 Operace s nerovnicemi Lineární nerovnice Kvadratická nerovnice Nerovnice s absolutními hodnotami Iracionální nerovnice a soustav nerovnic Elementární funkce Lineární funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce Eponenciální funkce a logaritmická funkce Logaritmické a eponenciální rovnice Vlastnosti funkce jedné proměnné Vlastnosti a druh funkcí Inverzní funkce Goniometrické funkce Oblouková míra Goniometrické funkce Goniometrické rovnice Komplení čísla Algebraický tvar kompleního čísla Goniometrický tvar kompleního čísla Moivreova věta Řešení binomických rovnic v C

4 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 10 Vektorová algebra a analtická geometrie Základní operace s vektor Přímka v rovině Přímka v prostoru a rovnice rovin Kuželosečk v rovině Posloupnosti a řad Aritmetická a geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada Kombinatorika Permutace, variace a kombinace Binomická věta

5 Přípravný kurs z matematik 3 1 Přehled použité smbolik N = {1,, 3,...} množina všech přirozených čísel N 0 = N {0} Z = {0, 1, 1,,,...} Q = {p/q; p, q Z, q 0} množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel R R + množina všech reálných čísel množina všech reálných kladných čísel C = { + i;, R} množina všech kompleních čísel { },Ø prázdná množina a M a M a je prvek množin M a není prvek množin M { M; v()} množina všech prvků množin M s vlastností v P Q P Q P Q P Q konjunkce výroků P, Q disjunkce výroků P, Q P implikuje Q ekvivalence výroků P a Q obecný kvantifikátor (každý...) eistenční kvantifikátor (eistuje...) M N M je podmnožina N M = N (M N ) (N M) ; M se rovná N M N M N {; M N } sjednocení množin {; M N } průnik množin M N {; M N } A[a 1 ; a ; a 3 ] bod o souřadnicích a 1, a, a 3 u = (u 1 ; u ) vektor o složkách u 1, u AB a, z vzdálenost bodů A, B; velikost úsečk AB absolutní hodnota reálného resp. kompleního čísla

6 4 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Základní pojm matematické logik a teorie množin.1 Element matematické logik Výrok je vslovená nebo napsaná mšlenka, která sděluje něco, co může být pouze pravdivé nebo nepravdivé. Jednoduché výrok označujeme velkými písmen, např. A, B, V,.... Pomocí logických spojek dostáváme složené výrok. Nejdůležitější jsou: A (nona; A ; A;...) negace výroku A (není pravda, že A) A B konjunkce (A a zároveň B) A B disjunkce (A nebo B; platí alespoň jeden) A B implikace (jestliže A, pak B; z A plne B) A B ekvivalence (A platí tehd a jen tehd, kdž platí B; A platí právě tehd, kdž platí B) Kvantifikované výrok jsou výrok, udávající počet: obecný kvantifikátor (čteme: ke každému, pro každé, pro všechna) vjadřující, že každý (všichni, libovolný, kterýkoliv) uvažovaný objekt má - nebo nemá - požadovanou vlastnost. eistenční kvantifikátor (čteme: eistuje alespoň jeden) vjadřuje, že některé (alespoň jeden, někteří, lze nalézt, eistuje,...) objekt mají vlastnost, o kterou jde. Příklad.1 Výrok A je "rok má 13 měsíců" a výrok B je = 4. Utvořte A, A B, A B, A B, A B a rozhodněte, jsou-li pravdivé nebo nepravdivé. A : "rok nemá 13 měsíců" - pravdivý výrok A B : "rok má 13 měsíců nebo = 4 - pravdivý výrok A B : "rok má 13 měsíců a = 4 - nepravdivý výrok A B : " má-li rok 13 měsíců, pak = 4 - pravdivý A B : "rok má 13 měsíců právě tehd, je-li = 4 - nepravdivý výrok Příklad. Vslovte negaci výroku A: a) Všechn kořen mnohočlenu jsou rovn nule. b) Ne všechna reálná čísla jsou kladná. c) < 7 d) Levná výroba proudu. a) Alespoň jeden kořen mnohočlenu je nenulový; b) Všechna reálná čísla jsou kladná; c) 7; d) není výrok

7 Přípravný kurs z matematik 5 Příklad.3 Výrok A "číslo a je dělitelné osmi", výrok B "číslo a je dělitelné dvěma". Formulujte A B, a rozhodněte zda je pravdivý. Je-li číslo a dělitelné osmi, pak je dělitelné dvěma. Pravdivá implikace. Základní operace s množinami Množinou rozumíme souhrn libovolných, navzájem různých objektů, které mají určitou vlastnost. Základní operace s množinami : A B A = B A B A B inkluze množin A, B rovnost množin A, B sjednocení množin průnik množin A B rozdíl množin (A \ B) A B doplněk množin A v množině B Připomínáme ješte interval, jejich názv, znázornění na číselné ose: uzavřený interval a; b = { R; a b} otevřený interval (a; b) = { R; a < < b} a a b b polootevřený interval (a; b = { R; a < b} (polouzavřený) a; b) = { R; a < b} neomezený interval a; ) = { R; a } (a; ) = { R; a < } ( ; b = { R; b} ( ; b) = { R; < b} a a a a b b b b oboustranně neomezený interval ( ; ) = R Příklad.4 M je množina všech sudých čísel, P množina všech lichých čísel, která nejsou dělitelná třemi, R množina všech čísel, která jsou dělitelná třemi. Určete M R, M P R, P R. M P R = Z M R množina všech celých čísel dělitelných šesti P R = { }

8 6 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.5 M je množina všech sudých přirozených čísel menších než deset. Najděte všechn její podmnožin. M = {, 4, 6, 8} jednoprvkové {}, {4}, {6}, {8} dvouprvkové {, 4}, {, 6}, {, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8} trojprvkové {, 4, 6}, {, 4, 8}, {4, 6, 8}, {, 6, 8} čtřprvkové {, 4, 6, 8} množina prázdná.3 Aiom, definice, vět a důkaz Základem logické výstavb matematik je soubor aiomů, t.j. matematických výroků, které se považují za pravdivé a nedokazují se. K zavedení nových pojmů slouží definice, která stanoví název pojmu a určí jeho základní vlastnosti. Věta v matematice je pravdivý výrok, který musíme logick odvodit - dokázat - z aiomů, definic a dříve dokázaných vět. Podle použitých postupů rozlišujeme důkaz přímý, nepřímý, důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí. Příklad.6 Věta: Součin dvou libovolných sudých čísel je dělitelný čtřmi. Důkaz přímý: Jde o součin l k = 4lk (l, k Z) a to blo dokázat. Příklad.7 Věta: Nechť rovnice a + b + c = 0 má celočíselné koeficient, a 0, b je číslo liché. Dokažte, že rovnice nemůže mít dvojnásobný kořen. Důkaz sporem: Předpokládáme, že rovnice má dvojnásobný kořen. Pak diskriminant je nulový. Víme, že b = k + 1, k Z. Ted D = (k + 1) 4ac = 0 4k + 4k + 1 = 4ac. Na levé straně rovnice je liché číslo, na pravé straně sudé a to je spor. Neplatí ted předpoklad, že kvadratická rovnice má za daných podmínek dvojnásobný kořen. Příklad.8 Matematickou indukcí dokažte, že součet čtverců prvních n přirozených čísel je roven S n = 1 n(n + 1)(n + 1). 6 Důkaz: Matematickou indukcí dokazujeme výrok V (n) tak, že nejprve dokážeme platnost V (a), kde a je nejmenší přirozené číslo pro danou úlohu. Pak předpokládáme platnost V (n) a ukážeme platnost implikace V (n) V (n + 1). Pak V (n) platí pro všechna n. V našem případě: V (1) : S 1 = = 1, což odpovídá S 6 1 = 1. Předpokládáme V (n) : S n = 1 n(n + 1)(n + 1). 6 Počítáme V (n + 1) : S ( n + 1) = S ( n) + (n + 1) = 1n(n + 1)(n + 1) + (n + 6 1) = 1 (n + 6 1)(n + 7n + 6) = 1 (n + 1)(n + )(n + 3). 6

9 Přípravný kurs z matematik 7 Příklad.9 Nechť množina M je množina všech řešení rovnice cos π je množina všech řešení rovnice sin π = 0. Najděte M N, M N. = 0, množina N Příklad.10 Najděte sjednocení a průnik intervalů: a) ; 3) a 1; ) b) ( ; 3 a ( 8; 15) Příklad.11 Přímým důkazem dokažte: [M N = Z; M N = kladná a záporná lichá čísla ] a) Zvětší-li se číslo a o, zvětší se jeho druhá mocnina o (a + ). [a) 1; ), ; 3) b) ( ; 15), ( 8; 3 ] b) Zvětší-li se číslo o h, zvětší se jeho dekadický logaritmus o log (1 + h ). c) Součet dvou čísel lichých je sudé číslo. Příklad.1 Sporem dokažte: a) Rovnice a = b, kde a 0, má jediné řešení. b) V každém trojúhelníku leží proti stejným úhlům stejné stran. Příklad.13 Metodou matematické indukce dokažte: a) n 1 = 1 (3n 1) b) n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + ) 3 c) (n 1) = 1 n(n 1)(n + 1) 3

10 8 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 3 Úprav agebraických výrazů Algebraický výraz je zápis, který je správně vtvořen z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Při úpravách používame poznatků o mocninách, odmocninách, zlomcích a mnohočlenech tak, abchom výraz převedli na nejjednodušší tvar. Nutnou součástí řešení jsou podmínk, které stanoví, kd jsou výraz definován. Pravidla pro počítání s mocninami: Pro každé reálné r, s a každé a > 0, b > 0, (respektive pro každé celé r, s a každé a 0, b 0) platí: a 0 = 1 a r = 1 a, r a r a s = a r+s a r : a s = a r s (a r ) s = a rs (ab)r = a r b r ( a b ( a b ) r = a r b r ) 1 = b a Pravidla pro počítání s odmocninami: Nechť m, n N, a 0. Pak platí: n a = a 1 n. Pro a = 0 je n 0 = 0. Pro n = 1 je 1 a = a. Pro n = zapisujeme a = a. n a n b = n ab, a 0 b 0 n a n b = n a b, a 0 b > 0 ( n a) m = n a m = a m n, a 0 m n a = mn a, a 0 Rozklad nejjednodušších mnohočlenů: (a ± b) = a ± ab + b (a ± b) 3 = a 3 ± 3a b + 3ab ± b 3 a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) Rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů:

11 Přípravný kurs z matematik 9 Jsou-li 1, kořen kvadratického trojčlenu a + b + c, kde a 0, pak platí: a + b + c = a( 1 )( ) Připomínáme definici absolutní hodnot: Každému reálnému číslu a přiřazujeme právě jedno nezáporné číslo a takto: a pro a 0 a = a pro a < 0. Jestliže a, b jsou reálná čísla, pak absolutní hodnota má tto vlastnosti: 1) a = ma{a, a} 5) ab = a b ) a = a 6) a n = a n, pro každé přirozené n 3) a a 7) a = a, b b pro každé b 0 4) a = a 8) a + b a + b, (trojuhelníková nerovnost) 9) Nechť ε > 0, pak pro libovolná reálná čísla a, platí: a ε < < a + ε a < ε Příklad 3.1 Upravte výraz V na nejjednodušší tvar: a) V = 3 ( ) + +, 0 Pro > 0 : V = [ ( )] [ ( )] + = 83 + Pro < 0 : V = ( ) ( ) + = 83 b) V = V = ( 1) 3( 1) ( 3) = platí pro 0, 1, 3. ( 1)( + 1)( 3) ( + 1)( 3) = 1,

12 10 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně c) V = a b ab 1 + a b a 1 b (a 1 b 1 )(ab 1 + a 1 b + 1) V = a + b b b a a ( 1 1)( a + b + 1) a b a b b a a b a b = a4 a 3 b + b 4 ab 3 (b a)(a + b + ab) = = a3 (a b) b 3 (a b) (a b)(a + ab + b ) = (a b)(a3 b 3 ) (a 3 b 3 ) pro a 0 b 0 a b. d) V = = b a, ( 3 + 1)(1 ) + ( 3 + 1)(1 + ) 1 = = = ( 1) ( 1) 1 = ( ); Pro 1 0 : V = 0 Pro 1 < 0 : V = Příklad 3. Užitím rozkladu kvadratického trojčlenu převeďte na součin: a) b) c) [a) 3 ( 8)( + 7); b) ( 1)( + 1)( + 3); c) ( + 5)( 5)( + 8)( 8)] Příklad 3.3 Zjednodušte následující výraz: a) + b) a a + b a b a + ( c) + + ) ( ) 1 : + + ( a b d) + b 1) ( a + b + 1) a b a ( a 4 ) b4 b a : (a b ) e) 1 + (4 a ) 1 ( a) 1 1 a ( + a) 1 + (4 a ) 1 1 a ( ) [( + 1 f) + : + 1 ) ] ( a + a ) a

13 Přípravný kurs z matematik 11 g) ( v + u v ) ( : uv ) v(u v) 1 + uv h) : [a) +, ±; b) a (a b), 0 a a b; c), ± ; Příklad 3.4 Usměrněte zlomk: d) 1, a 0 b 0 a ±b; e) a +, a ( ; 1) (1; ); f), 0 0; g) u, uv 1; h) 1 3, 0 1] a) b) [a) 5 + 6; b) + 4, > ] 4 Rovnice 4.1 Rovnice lineární, kvadratické, s absolútní hodnotou, parametrické Jsou-li f() a g() funkce proměnné definované na množině D R, pak úloha najít všechna D, pro něž f() = g(), znamená řešit rovnici o jedné neznámé. Lineární rovnici o jedné neznámé R lze psát ve tvaru a + b = 0, kde a R, b R, a 0. Má právě jeden kořen = b a. Grafick tento kořen určíme jako průsečík přímk = a + b s osou. Příklad 4.1 V oboru reálných čísel řešte rovnici ( 1) 11 3 = 9 5( + 1). 8 Celou rovnici vnásobíme 8 11, tím se zbavíme zlomků: 16( 1) 44( 3) = 79 55( + 1) a po roznásobení je: = , sloučíme = ,

14 1 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně k oběma stranám rovnice přičteme a to je rovnice tvaru a + b = 0. Takže 7 61 = 0 = 61 7 = 3. Nemusíme provádět zkoušku, veškeré úprav (násobení rovnice nenulovým číslem, přičítání stejného čísla k oběma stranám rovnice) jsou ekvivalentní. Zkouška pak má jen charakter kontrol výpočtu. Příklad 4. Řešte v R rovnici: a) = b) 3 + ( ) = 5. 3 a) Řešíme za předpokladu + 7 0, tzn. 7, úpravou: ( + 7) + 3 = = + 10 b) Zbavíme se zlomků = 7 což je spor { } 3(3 + ) 7 + (1 1) = = 30 0 = 0 Rovnice má nekonečně mnoho řešení = t, t R. Kvadratickou rovnici o jedné neznámé R lze psát ve tvaru a + b + c = 0, kde a, b, c R, a 0. Kořen této rovnice vpočítáme pomocí diskriminantu D = b 4ac. Pro D > 0 dostaneme dva reálné různé kořen 1, = b ± D. a Pro D = 0 dostaneme jeden dvojnásobný kořen 1, = b a. Pro D < 0 nemá rovnice v R řešení. Grafick kořen určíme jako průsečík parabol = a + b + c s osou.

15 Přípravný kurs z matematik 13 Příklad 4.3 Řešte v R následující kvadratické rovnice: a) = 0 1, = 4 ± = 4 ± 6 1 = 1 = 5 b) = 0 1, = 6 ± = 3 dvojnásobný kořen c) = 0 1, = 4 ± v R nemá rovnice řešení d) + 6 = 0 ( + 6) = 0 1 = 0 = 6 e) 5 4 = 0 ( 5 )( 5 + ) = 0 1 = 5 5 = 5 5 f) + 16 = 0 v R neřešitelná rovnice Příklad 4.4 Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořen jsou 1 = 3 3 a = 3. ( 1 )( ) = 0 ( + 3 3)( 3) = = 0 Nebo podle vztahů mezi kořen 1, a koeficient p, q kvadratické rovnice + p + q = 0 kde 1 + = p, 1 = q pak a úpravou dostaneme + (+3 3 3) = = 0. Při řešení rovnic s absolutní hodnotou vcházíme z definice absolutní hodnot a řešíme rovnice v intervalech, které dostaneme pomocí tzv. kritických bodů. Příklad 4.5 V oboru reálných čísel řešte rovnice s absolutními hodnotami: a) = 5 b) 7 + = 3 c) 3 1 = + 1 d) = + 3 a) Pro (, ), rovnice přejde v rovnici 3 4( ) = 5. Tato má řešení = 11, které patří do daného intervalu. 9

16 14 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Pro, ) : 3 + 4( ) = 5 = 5, ) Sjednocení řešení pak je = b) (, ) : = 3 = (, ), 7 ) : = 3 =, 7 ) 7, ) : 7 + = 3 = 4 7, ) Závěr: {, 4} c) (, 1 ) : = + 1 = 1 (, 1 ) 1, ) : = = 0 Závěr: 1, ) d) (, 3 ) : = + 3 = 3 5 (, 3 ) 3, ) : = + 3 = 1 3, ) Závěr: {1, 3 5 } Rovnice s parametrem jsou rovnice, které kromě neznámých obsahují ještě další proměnné - parametr. Řešení rovnic s parametr spočívá v určení kořenů v závislosti na parametrech a v úplném rozboru všech možností parametrů. Příklad 4.6 Řešte v R rovnici a + 1 a = a, kde a R je parametr. a Pro a = 0 rovnice nemá smsl. Pro a 0 dostaneme a + a a 1 = a pro a = 1 : 0 =, spor (a 1) = a + 1 = pro a 1 : = a+1 a 1 Závěr: a = 0 rovnice nemá smsl a = 1 rovnice nemá řešení a 0 a 1 rovnice má jediné řešení = a + 1 a 1 Příklad 4.7 Pro které hodnot reálného parametru m má kvadratická rovnice + 3 m + m + 3 = 0 o neznámé R jeden kořen rovný nule? Najděte druhý kořen.

17 Přípravný kurs z matematik 15 Absolutní člen m + m + 3 = 0 m 1, = 1 ± Druhý kořen = 3. m = 1 m = 3. Příklad 4.8 Pro které hodnot parametru t má kvadratická rovnice + t + = 0 reálné různé kořen? Reálné různé kořen D = t 16 > 0 t > 16 t > 4 t (, 4) (4, ) Příklad 4.9 Na základě vět o absolutní hodnotě reálného čísla zjistěte, pro která čísla platí rovnosti: a) ( )( 4) = ( )( 4) b) ( 4)( 3) = 4 3 c) ( )( 5) = ( )( 5) d) 0, 5 0, 5 1, = 1, e) 3 = 3 [a) 4 b) R c), 5 ; d) R {1,} e) (, 3 ] Příklad 4.10 Rozhodněte, který z výroků je pravdivý: a) < < < b) 1 < 3 1 c) 1 < 3 < 4 d) 3; 5) < 5 [a) pravdivý; b) není pravdivý; c) není pravdivý; d) není pravdivý] Příklad 4.11 Řešte v R rovnici 1 1 = 8 3. [ 1 = 5 = 5 4 ] Příklad 4.1 Řešte v R následující rovnice: a) = 0 b) = c) = 4 d) 3 5 = 0 e) 0, + 0, 01 = 0 f) (1 ) = 3 [a) 1 = 1 5 = ; b) = 1; c) 1 = 9 = 4; d) 1 = = 1 3 ;

18 16 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně e) 1, = 0, 1 f) { }] Příklad 4.13 Řešte v R rovnici a = 1 (4 + 1), parametr a R. 3 a [a 0; pro a = rovnice nemá řešení; a = nekonečně mnoho řešení = t, t R; a, 0, je = 1 a(a ) ] Příklad 4.14 Určete reálnou hodnotu parametru a tak, ab rovnice 6a a+ = 15, R měla kladný kořen. [ = 3(a 5) a > 0, a (, ) ( 5, )] Příklad 4.15 Pro které reálné hodnot parametru má rovnice a) t + 1 t = 0 reálné různé kořen? b) + m m = 1 jeden kořen roven nule? [a) t (, 3 ) ( 3, ); b) m = 3 m = 4; 1 = 0, = 1] Příklad 4.16 Najděte kvadratickou rovnici, jejíž kořen jsou 1 = 1, = Rovnice vššího stupně a iracionální rovnice [ = 0] Algebraické rovnice vššího stupně řešíme převodem na součinový tvar, někd jako rovnice binomické. Příklad 4.17 V oboru reálných čísel řešte rovnice: a) 4 = 16 b) = 0 a) 4 16 = 0, upravíme na součinový tvar ( )( + )( + 4) = 0 reálné kořen jsou 1 =, = b) = 0 ( + 1) = 0 { } Iracionální rovnice obsahují odmocnin z výrazů s neznámou. Odmocnin odstraňujeme neekvivalentní úpravou - umocněním, proto je nutně součastí řešení zkouška. Příklad 4.18 V oboru reálných čísel řešte iracionální rovnici: a) 4 = b) 7 5 = 3

19 Přípravný kurs z matematik 17 a) Řešíme za předpokladu Umocněním dostaneme ( 4) = = 0 1, = 10 ± Podmínce řešitelnosti vhovuje pouze = 8. Umocnění je neekvivalentní operace, provedeme zkoušku: L(8) = 8 4 = 4 P (8) = 16 = 4 } = 8 = 10 ± 6 b) Řešíme za předpokladu {} rovnice nemá řešení. Příklad 4.19 Řešte v R iracionální rovnice: a) = 1 b) + + = + 3 c) 3 4 = 0 d) = e) = 3 [a) = 3; b) = 5 ; c) = 16 d) {}; e) = 5 3 ] 4.3 Soustav lineárních rovnic Několik rovnic o dvou a více neznámých, které mají být současně splněn, tvoří soustavu rovnic. Řešením soustav je průnik řešení jednotlivých rovnic. Při řešení soustav se používají ekvivalentní úprav soustav rovnic, tj. takové úprav, jimiž se nemění řešení soustav. V takovém případě není nutná zkouška, ale je vhodná pro kontrolu. Přehled ekvivalentních úprav soustav rovnic: Nahrazení libovolné rovnice soustav rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj.má totéž řešení. Nahrazení libovolné rovnice soustav součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustav. Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustav do jiné její rovnice. M se budeme zabývat soustavou lineárních rovnic. Základním tpem metod řešení lineárních algebraických rovnic jsou eliminační metod, jejichž podstatou je postupná eliminace (vlučování) neznámých z rovnic soustav. Podle způsobu, jimž eliminujeme jednu neznámou, rozlišujeme několik metod řešení: Metoda sčítací - rovnice soustav násobíme čísl zvolenými tak, ab se po sečtení vnásobených rovnic jedna neznámá vloučila.

20 18 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.0 Metodou sčítací řešte v R R soustavu rovnic. = = 11. První rovnici vnásobíme třemi, dostávame rovnici 6 3 = 31. Získali jsme tímto způsobem ekvivalentní soustavu 6 3 = = 11. Rovnice teď sečteme, tím vloučíme neznámou a pro neznámou dostáváme rovnici 7 = 14, =. Obdobně lze vloučit neznámou vnásobením druhé rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí. Dostáváme rovnici 7 = 1, = 3. Řešením soustav je uspořádaná dvojice [, ], =, = 3. Metoda dosazovací - vjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustav a dosadíme ji do dalších rovnic, čímž se jedna neznámá ze soustav vloučí. Příklad 4.1 Metodou dosazovací řešte v R R soustavu rovnic. = = 9. Z první rovnice vjádříme = 5, a dosadíme do druhé rovnice. Dostáváme 3 + 4( 5) = 9, 11 = 9 + 0, = 1. Potom = 5 = 5 = 3. Dostali jsme řešení = 1, = 3. Metodu sčítací a dosazovací můžeme také kombinovat. Příklad 4. V R R řešte soustav rovnic: a) + = 4 b) = 13 c) 3 = = = = 10 a) + = 4 / ( 3) 3 3 = 1 = 5, = = = 7

21 Přípravný kurs z matematik 19 b) = = 13 soustava nemá 7 + = 1 / = 4 řešení c) 3 = 5 / 4 6 = = = 10 soustava má nekonečně mnoho řešení = t, = 1 (t 5), t R 3 Při řešení více než dvou rovnic je nejvýhodnější použití Gaussov eliminační metod, která spočívá v postupném převedení dané soustav rovnic ekvivalentními úpravami na tzv. trojúhelníkový tvar. Příklad 4.3 Užitím Gaussov eliminační metod řešte v R R R soustavu rovnic z = 15 (1) z = 15 () z = 7 (3) Nejprve soustavu upravíme tak ab v první rovnici koeficient u neznámé bl 1. Blo b možné toho dosáhnout dělením první rovnice číslem 9, tím bchom ovšem dostali v první rovnici desetinná čísla. Raději od první rovnice odečteme druhou, čímž dostaneme soustavu rovnic: 5z = 0 (1) z = 15 () z = 7 (3) Dále v získané soustavě od druhé rovnice odečteme 8-krát první, a od třetí rovnice odečteme 3-krát první. Tím eliminujeme neznámou v těchto rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu: 5z = 0 (1) z = 15 () z = 7 (3) Nní druhou rovnici dělíme čtrnácti, abchom u neznámé získali koeficient 1. Dále k třetí rovnici přičteme 4-krát druhou, čímž v ní eliminujeme neznámou. Tím přecházíme k této soustavě rovnic: 5z = 0 (1) z = () 19z = 19 (3) Tato soustava má trojúhelníkový tvar a její řešení určíme snadno takto: Z třetí rovnice po

22 0 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně dělení číslem 19 dostáváme: z = 1. Dosazením do druhé rovnice vpočteme = 1 (15 43) = 14 a po dosazení do první rovnice vchází = + 5 = 3. Dostali jsme řešení = 3, =, z = 1. Příklad 4.4 V R 3 řešte soustav rovnic: a) + + 3z = 7 b) + + 3z = 1 c) + + 3z = z = z = z = + + z = z = 1 + z = 4 Soustav budeme řešit Gaussovou eliminační metodou. a) + + 3z = z = z = z = 6 7 8z = 15 + z = z = 4 + z = 3 6z = 6 Tato soustava má trojúhelníkový tvar a můžeme jej snadno vřešit. Postupně dostáváme z = 1, = 3 z = 1, = 7 3z = 7 3 =. Dostali jsme ted řešení =, = 1, z = 1. b) + + 3z = z = z = z = + z = 1 + z = z = 1 + z = 10 0 = 9 Z trojuhelníkového tvaru vidíme, že soustava nemá řešení. c) + + 3z = z = z = z = 0 = z = 3 + z = z = 3 soustava má nekonečně mnoho řešení. Zvolíme-li z = t, pak postupně máme = 3 t 1 a = t + 3t = t. Řešením soustav potom bude uspořádaná trojice = t, = 1 t, z = t, t R. 3 Příklad 4.5 Řešte v R R soustav lineárních rovnic: a) = 0 b) 6 = c) + = = 0 3 = = 8

23 Přípravný kurs z matematik 1 [a) = 3, = 1; b) nemá řešení; c) = 4 a, = a, a R] Příklad 4.6 Převedením na trojúhelníkový tvar řešte v R 3 soustav rovnic: a) 3 + 4z = 8 b) + 4 3z = 0 c) + + 4z = z = 10 3 z = z = z = z = z = 10 [a) nemá řešení; b) = 13t/7, = t/7, z = t; c) = 3, = 4, z = 5] Příklad 4.7 Převedením na trojúhelníkový tvar řešte v R 4 soustav rovnic: a) 3 + 6z u = 1 b) + z u = + z = z + u = z u = z + u = z 5u = z u = 4 Příklad 4.8 Určete vzájemnou polohu tří rovin: α : 3 + z = 0 β : + z 3 = 0 γ : + + z 1 = 0 [a) soustava nemá řešení; b) = 1, =, z = 1, u = 3] [rovin se protínají v bodě [, 3, 5]] Příklad 4.9 Užitím Gaussov eliminační metod řešte v R 3 soustavu rovnic v závislosti na parametru a z = 7a z = 3a z = a 8 [[,, z] = [a, a/3, a/]]

24 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 5 Řešení nerovnic 5.1 Operace s nerovnicemi Jsou-li f a g funkce proměnné definované na množině D R, pak úloha: "najděte všechna D, která po dosazení do jednoho ze vztahů: f() < g(), f() > g(), f() g(), f() g() dají pravdivou nerovnost" znamená řešit nerovnici s neznámou. Při řešení nerovnic používáme ekvivalentní úprav: 1. Záměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnice: f() < g() g() > f(). Přičtení konstant nebo funkce h(), definované v D, k oběma stranám nerovnice: f() < g() f() + h() < g() + h() 3. Násobení nenulovou konstantou nebo funkcí h() definovanou v D : a) h() > 0 pro D : f() < g() f()h() < g()h() b) h() < 0 pro D : f() < g() f()h() > g()h() 4. Umocnění pro případ nezáporných stran nerovnice: 0 f() < g() f n () < g n (), n N 5. Odmocnění pro případ nezáporných stran nerovnice: 0 f() < g() n f() < n g(), n N Pokud používáme při řešení nerovnic ekvivalentní úprav, není potřeba provádět zkoušku, snad jen pro vloučení vlastních chb. Klasifikace nerovnic Elementární nerovnice s neznámou můžeme rozdělit (podobně jako rovnice) podle toho, v jaké pozici se v dané nerovnici nachází neznámá. Rozlišujeme nerovnice lineární a kvadratické, nerovnice s absolutní hodnotou, eponenciální a logaritmické nerovnice, iracionální nerovnice. Postup řešení pro jednotlivé tp nerovnic ukážeme na příkladech.

25 Přípravný kurs z matematik 3 5. Lineární nerovnice Příklad 5.1 Řešte v R nerovnici Odstraníme zlomk a upravíme roznásobením ( 17) 4(8 ) 16 8( 4) + Příklad 5. Řešte v N nerovnici \ ( 1) ; ) Odstraníme zlomk a upravíme roznásobením, stejně jako kdž hledáme řešení nerovnice v R \ (5 6) Hledáme řešení v oboru přirozených čísel. Dostaneme 43 9 N {1,, 3, 4} Příklad 5.3 Řešte v R nerovnici v podílovém tvaru 1 4 > 0.

26 4 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 1 4 > 0 [(1 ) > 0 ( 4) > 0] [(1 ) < 0 ( 4) < 0] [ < 1 > 4] [ > 1 < 4] 4 < < 1 { } (4; 1) Jiný způsob řešení: Najdeme tzv. nulové bod čitatele a jmenovatele - to jsou bod, ve kterých je polnom v čitateli nebo ve jmenovateli rovný nule - a v intervalech mezi nulovými bod zjistíme znaménko čitatele, jmenovatele a nakonec celého zlomku. ( ; 4) (4; 1) (1; ) podíl Máme ostrou nerovnost, takže řešením naší nerovnice je (4; 1). Příklad 5.4 Řešte v R nerovnici Upravíme na podílový tvar: ( + 1) Můžeme vužít nulových bodů čitatele a jmenovatele, pak dostaneme řešení ( ; 4) 1; ) Danou rovnici můžeme řešit i jinak: \ (4 + ) a) 4 + > Dostali jsme, že b) 4 + < Dostali jsme, že ( > 4 1) 1. ( < 4 1) < 4. Ted < 4 1 čili ( ; 4) 1; ).

27 Přípravný kurs z matematik Kvadratická nerovnice Příklad 5.5 Řešte v R nerovnici ( 5)( + 1) 0 [( 5) 0 ( + 1) 0] [( 5) 0 ( + 1) 0] 5 1 ( ; 1 5; ) Úlohu můžeme řešit i pomocí nulových bodů polnomu nebo také grafick: = 4 5 je rovnice parabol, její vrcholový tvar je + 9 = ( ), vrchol je V [; 9], průsečík s osou : P 1 [ 1; 0] P [5; 0], protože ( ) = 9 = ±3 1 = 5, = 1. Načrtneme graf. Vidíme, že 0 pro ( ; 1) 5; ). 9 V Příklad 5.6 Řešte v R nerovnici ( + 3)( 4) + ( + 4)( 1) ( 1)( 4) Převedeme na podílový tvar ( 1)( 4) 1( ) úpravě čitatele ( 1)( 4) 0. Pomocí nulových bodů: ( ; 1) (1; (; 4) (4; ) zlomek a po (1; (4; )

28 6 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 5.4 Nerovnice s absolutními hodnotami Příklad 5.7 Řešte v R nerovnici 1 > Pomocí nulových bodů výrazů v absolutních hodnotách rozdělíme R na interval, ve kterých nerovnice řešíme. Pro ( ; 3 : 1 > 15 + ( + 3) < 3. } {{ } < 3 Pro ( 3; 1 : 1 > 15 ( + 3) 1 < 1. } {{ } { } Pro (1; ) : 1 + > 15 ( + 3) > 1. } {{ } > 1 Celé řešení rovnice ( ; 3) (1; ). 5.5 Iracionální nerovnice a soustav nerovnic Příklad 5.8 Řešte v R nerovnici 3 < 5. Nerovnice má smsl pouze pro 3 0 t.j. 3, potom na obou stranách nerovnice jsou nezáporná čísla a lze umocnit: Řešení je pak 3; 8). 3 < 5 < 8. Příklad 5.9 Řešte v R nerovnici + 1 < Řešíme za předpokladu , ted 7 3. Po umocnění < < 0. Kvadratický trojčlen má komplení kořen (D < 0). Parabola = nikde neprotne osu, proto řešení je { }.

29 Přípravný kurs z matematik 7 Příklad 5.10 Řešte v R soustavu nerovnic > 0 3 < 0. Ekvivalentní soustava je + 1 > 0 ( 1) < 0. Na znaménko polnomu nemají vliv kořen se sudou násobností. Ted ( 1; 0) (0; 1). Příklad 5.11 Která přirozená čísla splňují nerovnici Příklad 5.1 Řešte v R nerovnice: a) < b) + 1 c) < d) > 4. 5 [ {49, 50, 51,...} ] [a) ( ; 4) ( 7 ; ); b) (1; 4 ; c) ( 1; 3); d) ( ; 1 ] 5 Příklad 5.13 V množině celých záporných čísel řešte nerovnici > 1. [ { 8, 9, 10,...} ] Příklad 5.14 Jaké musí být číslo k, ab rovnice 5k 9 = 10 3k měla kladné řešení? Příklad 5.15 Řešte v R kvadratické nerovnice: a) 3 > 0 b) 0 36 c) < 0 d) 0, + 0,01 0 [ < k < 3 ] [a) ( ; 1 ) (; ); b) ; 18 ; c) { }; d) = 0,1] Příklad 5.16 Pro která m R bude platit (5m 1)(m 1) > 0 pro všechna reálná? [m ( ; 4 ) (; ) ] 5

30 8 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 5.17 Řešte v R nerovnice: a) b) ( ) > 0 c) < 0 d) < (10 6) Příklad 5.18 V oboru reálných čísel řešte nerovnice: a) 3 > 5 b) + < 8 Příklad 5.19 Pomocí absolutní hodnot zapište nerovnice: a) < < b) 1 3 c) 3 1 [a) ( ; 3) ( 1 ; ); b) (0; ) (5; ); 3 c) ( 1; ) (3; 6); d) ( ; ) (3; )] [a) ( ; ) (8; ); b) ( 10; 6) ] [a) < ; b) 1; c) + 1 ] Příklad 5.0 Najděte množinu všech řešení nerovnic s absolutní hodnotou: a) + 1 < 0 b) 1 < 0 c) d) e) < 1 f) 1 g) < h) i) > 0 [a) ( 1; 0); b) ( ; 0); c) 3; 1 ; d) R; e) (0; 4 ) (; ); 3 f) ( ; 1 ; g) ; h) R; i) R, 4,, 3 ] Příklad 5.1 Řešte v R iracionální nerovnice: a) b) c) + < 8 d) + > 4 e) > 3 [a) ( ; 4 3; ; b) 16; ); c) (10; ); d) (3; ); e) (3; 5)]

31 Přípravný kurs z matematik 9 Příklad 5. Řešte v R soustavu nerovnic 4 5 < < 0. [ (3; 5)] Příklad 5.3 Najděte R, která splňují složenou nerovnost. a) 1 < < + 1 b) 3 1 < < [a) 3 < < ; b) 1 4 < < 1 ] Příklad 5.4 Najděte zlomek, pro nějž platí: zmenšíme-li jmenovatele o 1, je zlomek roven 1, zvětšíme-li čitatele o 0, dostaneme zlomek z intervalu (;3). [ 4 9, 5 11 ]

32 30 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 6 Elementární funkce 6.1 Lineární funkce Lineární funkcí nazýváme každou funkci f, která je daná předpisem f : = k + q, k, q R. Grafem lineární funkce je vžd přímka různoběžná s osou O. Definiční obor D lineární funkce f (značíme D f ) je R. Obor hodnot funkce f pro k 0 (značíme H f ) je R. Význam konstant k, q je vidět z následujícího obrázku: Pro k = 0 dostáváme konstantní funkci. q q q k > 0 k = tg α, α < π rostoucí funkce k < 0, k = tg α, α > π klesající funkce k = 0 k = tg α, α = 0 konstantní funkce Příklad 6.1 Určete lineární funkci, jejímiž prvk jsou uspořádané dvojice [ ; 3], [ 1; 4] a jejíž obor funkčních hodnot je interval 6; 0. Sestrojte graf. Je = k + q a dosadíme souřadnice bodů. Pak 3 = k + q 4 = k + q. Řešením této soustav dostaneme k = 1, q = Lineární funkce pak je = 5. Pro 6; 0 dostaneme krajní bod úsečk [1; 6], [ 5; 0]. 5

33 Přípravný kurs z matematik 31 Příklad 6. Nakreslete graf těchto funkcí: a) f 1 : = + 3 Funkce je definována pro každé R, grafem lineární závislosti je přímka. H(f 1 ) = R Zvolíme 1 = 0 1 = 3, dále = 0 = 3. Tto průsečík se souřadnicovými osami nám určí přímku. b) f : = + 1 pro 0,5; Příslušná úsečka má krajní bod [ 1 ; 0] a [; 5] D(f ) = 0,5;, H(f ) = 0; f 1 : = + 3 f : = + 1 Příklad 6.3 Nakreslete graf funkce = 1 +. Bod = 0, 1, rozdělí osu na čtři interval a určíme tvar funkce v jednotlivých intervalech:

34 3 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně ( ; 0 (0; 1 (1; (; ) 1 ( + 1) ( + 1) ( 1) ( 1) Kvadratická funkce = 1 + Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci, která je daná předpisem f : = a + b + c, kde a, b, c R, a 0. Definiční obor kvadratické funkce f je D f = R. Grafem kvadratické funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou. V 0 0 V f : = a + b + c, a < 0 f : = a + b + c, a > 0

35 Přípravný kurs z matematik 33 Máme-li sestrojit graf kvadratické funkce = a + b + c, vjdeme ze základní parabol = a postupnými transformacemi určíme souřadnice vrcholu. Je také vhodné určit průsečík s osami. Příklad 6.4 Načrtněte graf kvadratické funkce = Předpis upravíme na tvar + 3 = 3 4 ( + 1) a postupně sestrojíme 1 =, = ( + 1), 3 = 3 4 ( + 1), = 3 4 ( + 1) 3 neboli 3 = 3 4 ( + 1) = = ( + 1) = 3 ( + 1) = 3 ( + 1) 4 Obecně ted: Rovnoběžným posunutím parabol = a do vrcholu V (m; n) dostaneme parabolu n = a( m). Osa parabol zůstává rovnoběžná s osou.

36 34 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 6.3 Mocninná funkce Mocninná funkce s přirozeným eponentem je funkce f : = n, n N, n >. Definiční obor mocninné funkce je D = R. Příklad 6.5 Načrtněte graf funkcí f 1 : = 3 1, f : = ( 1) 3, f 3 : = 1 4 4, f 4 : = 4 3. Upravíme analogick jako u kvadratické funkce: f 1 : + 1 = 3, graf dostaneme posunutím grafu funkce = 3 do vrcholu V [0; 1]. f : + 0 = ( 1) 3, V [1; 0] f 3 : + 0 = 1( + 4 0)4, V [0; 0] f 4 : Nakreslíme postupně graf = 4 a pak = f 1 : + 1 = f : + 0 = ( 1) f 3 : = f 4 : = 4 3

37 Přípravný kurs z matematik 35 Příklad 6.6 Bez výpočtu rozhodněte, které z čísel 4 300, je větší. Upravíme = (4 3 ) 100, = (3 4 ) 100. Obě mocnin lze chápat jako hodnot funkce = 100. Tato funkce je pro 0 : ) rostoucí, 4 3 < 3 4, proto < Příklad 6.7 Uvažujme množinu všech kvádrů, jejichž délk hran jsou v poměru 1 : : 3. Určete funkci vjadřující závislost objemu kvádru na délce jeho nejdelší hran a načrtněte její graf. V 1 /9 b Označme délku nejdelší hran b, 1 pak a = b ; c = b pro b > Pak V = 9 b3. Příklad 6.8 Určete definiční obor funkcí: a) = 1 6 b) = + 1 a) Ab bla funkce = 6 definovaná, musí být 6 0, ted 3. Můžeme ted psát, že D(f) =< 3, ) b) Definičním oborem funkce bude řešení nerovnice , 1 Nulové bod čitatele a jmenovatele jsou = 1 a = 1. Dostaneme D(f) = (, 1) < 1, )

38 36 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Mocninná funkce s celým záporným eponentem je funkce f : = n, n N Definiční obor této funkce D f = R {0}. Příklad 6.9 Nakreslete graf funkcí f 1 : = 1 a f : = f 1 : = 1 f : = 1 Lineární lomená funkce je funkce daná předpisem f : = a + b c + d, kde a, b, c, d R, d c, c 0. Definiční obor této funkce je D f = R { d c }. Nejjednodušší případ nastane pro a = d = 0, pak = k a grafem je rovnoosá hperbola. V případě, kd ad cb 0 dostaneme po úpravě a c = a c b a d c + d c opět rovnoosou hperbolu se středem v bodě S[ d c ; a ], asmptot procházejí středem a c jsou rovnoběžné s osami souřadnými.

39 Přípravný kurs z matematik 37 Příklad 6.10 Nakreslete graf funkce f : = k (nepřímá úměrnost). k k f : = k k > 0 f : = k k < 0 Příklad 6.11 V kartézském souřadnicovém sstému nakreslete graf funkce f : = 1. Upravíme = 1 + = + 1 = 1 1, ted + 1 = 1. Asmptot procházejí bodem S[; 1]. Můžeme určit průsečík se souřadnicovými osami: X[1; 0], Y [0; 0,5] 0 1 S[, 1]

40 38 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 6.4 Eponenciální funkce a logaritmická funkce Eponenciální funkce o základu a > 0 a 1 je každá funkce f : = a. Definiční obor této funkce D f = R. Obor hodnot H f = (0; ). Pro případ a = e dostaneme přirozenou eponenciální funkci. Grafick: = a, a > 1 = a, 0 < a < 1 = e Inverzní k eponenciální funkci = a je: Logaritmická funkce o základu a > 0 a 1. Značíme f : = log a. Definiční obor D f = { R, > 0}. Obor hodnot H f = R. Pro základ a = e dostaneme přirozený logaritmus, který používáme nejčastěji. Grafick: = log a, a > 1 = log a, 0 < a < 1 = ln

41 Přípravný kurs z matematik 39 Příklad 6.1 V téže kartézské soustavě souřadnic načrtněte graf funkcí: f 1 =, f =, f 3 = + a f 4 =. Sestavíme tabulku pro získání několika funkčních hodnot: Logaritmické a eponenciální rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, v nichž se vsktují logaritm výrazů s neznámou R. Jestliže stanovíme podmínk řešitelnosti a řešíme ekvivalentními úpravami, pak zkouška není nutná. Příklad 6.13 Řešte v R logaritmické rovnice: a) log + 3 log = 4 b) 1 log( 3) = log( 3) a) Podmínk: > 0 log 0 (0, 1) (1, ). Rovnici vnásobíme log, dostaneme log 4 log + 3 = 0 Odtud log 1 = 3 log = 1, je ted 1 = 10 3 = Obě řešení patří do oboru řešitelnosti. b) Podmínk > 3 > 3 > 3. Úpravou log( 3) = log( 3). Pak 3 = ( 3), neboli 3 = Z toho 0 = = 4, =. Podmínkám vhovuje pouze 1 = 4. Eponenciální rovnice jsou rovnice, kde neznámá R se vsktuje v eponentu nějaké mocnin. Rovnice řešíme buď logaritmováním, nebo porovnáním eponentu při stejném základu, často až po úpravách

42 40 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 6.14 Řešte v R eponenciální rovnice. a) ( 4 5 ) +3 ( 15 8 ) 4 1 = 5 a) Upravíme vše na mocnin o základu a = 5. b) = 10 c) = 0 ( 5 (+3) ) ( 5 3(4 1) ) = = 1 10 = 10 = 1 b) Položíme =, pak = 10, neboli = 0. Kořen Pak je 1 = 1 = 1. 1, = 10 ± Druhý kořen = 4 3 a logaritmováním = log 3. c) Položíme 3 =, pak + 3 = 0 ( 1)( + 3) = 0. 1 = = 1 1 = 0 = 3 není možné, neboť 3 > 0 R. Zůstává = 0. = 4 3 0

43 Přípravný kurs z matematik 41 Příklad 6.15 Načrtněte graf funkcí: a) = , R b) = +, R c) = ( 1), 3; ) [a) = 5, ( ; 1); = 5 1, 1; 1); = + 5, 1; ); b) = 0, ( ; 0); =, 0; ); c) = + 1, 3; 1); = 1, 1; )] Příklad 6.16 Úpravou rovnice parabol určete souřadnice vrcholu a průsečík P 1 a P s osou O, průsečík Q s osou O. a) = 4 6 b) = + 4 [a) = ( 1) 8, V [1; 8], P 1 [ 1; 0], P [3; 0], Q[0; 6]; b) = ( ) + 4, V [; 4], P 1 [0; 0], P [4; 0], Q[0; 0] ] Příklad 6.17 Sestrojte graf lineární lomené funkce: a) = b) = c) = + Příklad 6.18 Najděte všechna p R, pro něž eponenciální funkce a) rostoucí, ( ) p je p + b) klesající. [ a) p ( ; ); b) p (0; ) ] Příklad 6.19 V téže kartézské soustavě souřadnic nakreslete graf funkcí: a) = 1,5, = 1,5, = 1,5, = 1,5 b) = log 3, = log 3 ( ), = log 3 ( + ), = log 3 Příklad 6.0 Najděte definiční obor těchto funkcí: a) = log a ( + 3) b) = log 3 c) = log 5 ( ) d) = ln + 1 g) = log e) = log 5 4 f) = log3 h) = ln [a) ( 3; ); b) R, 0; c) ( ; 0); d) ( ; 1) (; ); e) ( ; 4); f) 1; ); g) (0; 3 ); h) (0; 1 ] Příklad 6.1 Najděte definiční obor následujících funkcí:

44 4 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně a) = b) = 9 + log(3 5) + c) = 1 + ln ( + ) d) = e) = 1 log 1 f) = log ( + 5) [a) 3; 4 ; b) ( 5; 3 ; c) (1; ); d) ( ; 3) ( 1 9 ; ); e) ; 1); f) ; )] 3 11 Příklad 6. Řešte v R logaritmické rovnice: a) log (4 + 6) log ( 1) = 1 b) log ( ) = log (14 ) c) log ( + 1) + log ( 1) = log + log ( + ) d) 1 log ( 3) = log ( 3) Příklad 6.3 Řešte v R eponenciální rovnice: a) = 49 b) = c) = d) 64 5 ( ) = ( ) 3 [a) = 1; b) = 5; c) { }; d) = 6] [a) = ; b) = 4, 0408; c) = 1 ; d) = 4 = 3 ]

45 Přípravný kurs z matematik 43 7 Vlastnosti funkce jedné proměnné 7.1 Vlastnosti a druh funkcí Sudá funkce, lichá funkce Nechť je f funkce definována na množině D(f) R, taková, že pro každé D(f) je také D(f). Říkáme, že funkce f je sudá funkce, jestliže pro každé D(f) je f() = f( ). Říkáme, že funkce f je lichá funkce, jestliže pro každé D(f) je f() = f( ). Graf sudé funkce je souměrný podle os, graf liché funkce je souměrný podle počátku. Příklad 7.1 Zjistěte zda funkce : a) = b) = 3 c) = ( 1) je sudá nebo lichá. a) D(f) = R, f( ) = ( ) = = f(). Funkce je sudá. 4 3 f() = f(-) Obrázek 7.1: Sudá funkce

46 44 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 3 f() f(-) Obrázek 7.: Lichá funkce b) D(f) = R, f( ) = ( ) 3 = 3 = f(). Funkce je lichá. c) D(f) = R, f( ) = ( 1) = ( + 1) f(), ( + 1) f( ). Funkce není ani sudá ani lichá. Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, právě kdž eistuje takové reálné číslo p 0, že pro každé D(f) je také ± p D(f) a platí Číslo p se nazývá perioda funkce f. f( ± p) = f(). Jestliže p je perioda funkce f, potom platí, že f( + kp) = f() pro každé D(f) a každé celé k. Má-li ted periodická funkce f periodu p, pak také každé číslo kp, (k 0, celé) je rovněž periodou funkce f. Nejvýznamnějšími příklad periodických funkcí jsou goniometrické funkce.

47 Přípravný kurs z matematik = sin, perioda p = π Omezená funkce = cotg, perioda p = π Funkce f se nazývá zdola omezená na množině M D(f), právě kdž eistuje takové reálné číslo d, že pro všechna M je f() d. Funkce f se nazývá shora omezená na množině M D(f), právě kdž eistuje takové reálné číslo h, že pro všechna M je f() h. Funkce f se nazývá omezená na množině M D(f), a shora omezená na množině M. právě kdž je zdola omezená Monotonní funkce Funkce f se nazývá rostoucí na množině M D(f), právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je-li 1 < pak f( 1 ) < f( ). Funkce f se nazývá klesající na množině M D(f), právě kdž pro každé dva prvk 1, M platí: Je-li 1 < pak f( 1 ) > f( ). Funkce f se nazývá neklesající na množině M D(f), prvk 1, M platí: Je-li 1 < pak f( 1 ) f( ). Funkce f se nazývá nerostoucí na množině M D(f), prvk 1, M platí: Je-li 1 < pak f( 1 ) f( ). právě kdž pro každé dva právě kdž pro každé dva Rostoucí a klesající funkce se souhrnně nazývají rze monotonní funkce na množině M; nerostoucí a neklesající funkce se souhrnně nazývají monotonní funkce na množině M.

48 46 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 7. Inverzní funkce Funkce f s definičním oborem D(f) se nazývá prostá funkce právě kdž pro každou dvojici 1, D(f), 1 platí f( 1 ) f( ). Je-li f prostá funkce s definičním oborem D(f), a oborem hodnot H(f), potom k tomuto zobrazení eistuje zobrazení inverzní, které je opět prosté a zobrazuje množinu H(f) na množinu D(f). Je to funkce inverzní k funkci f a značíme ji f 1. Platí, že D(f 1 ) = H(f) a H(f 1 ) = D(f) a = f 1 () právě kdž = f(). Graf inverzní funkce f 1 je souměrný s grafem funkce f podle přímk o rovnici =. Příklad 7. Určete funkci inverzní k funkci f : = 3 +. Funkce f je lineární a je prostá. 3 1 = Obrázek 7.3: Inverzní funkce k funkci f : = 3 + Inverzní funkci budeme hledat tak, že zaměníme a a z nové rovnice vjádříme. f 1 : = 3 + Z toho f 1 : = 1 ( ). 3

49 Přípravný kurs z matematik 47 Pro definiční obor inverzní funkce platí, že D(f 1 ) = H(f) = R. Příklad 7.3 Určete funkci inverzní k funkcím : a) = ln( + 8) b) = 5 1 a) Definičním oborem funkce bude řešení nerovnice + 8 > 0. Dostaneme D(f) = ( 4, ). Funkce f je logaritmická funkce složená s lineární. Je to funkce složená ze dvou prostých funkcí, ted je i f prostá funkce. Zaměníme a a z této nové rovnice vjádříme. f 1 : = ln( + 8) Inverzní funkce k logaritmické funkci je eponenciální funkce. Aplikujeme ted eponenciální funkci na obě stran rovnice a dostaneme: e = + 8 e 8 = Proto inverzní funkce k funkci f : = ln( + 8) je funkce Pro definiční obor inverzní funkce platí, že a pro obor hodnot inverzní funkce platí, že b) Ab bla funkce = 5 1 f 1 : = e 8 D(f 1 ) = R, H(f 1 ) = D(f) = ( 4, ). definovaná, musí být 1. Můžeme ted psát, že D(f) = (, 1) (1, ). Funkce f je lineární lomená funkce, a je i prostá (grafem této funkce je hperbola). Pro výpočet inverzní funkce zaměníme v zadání funkce a. f 1 : = 5 1 ( 1) = 5 = 5 = 5 ( ) = 5 f 1 : = 5

50 48 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně Pro definiční obor inverzní funkce platí, že. D(f 1 ) = (, ) (, ) = H(f), a pro obor hodnot inverzní funkce platí, že H(f 1 ) = D(f) = (, 1) (1, ). Příklad 7.4 Zjistěte zda je funkce : a) = 3 sin sudá nebo lichá. b) = sin c) = sin 1 d) = e cos Příklad 7.5 Určete funkci inverzní k funkcím : a) = 3 4 b) = c) = [a) sudá b) lichá c) ani sudá ani lichá d) ani sudá ani lichá ] [a) ( + 4)/3 b) log( 5) c) (6 + 1)/(3 )] Příklad 7.6 Najděte příklad (načrtněte graf) funkce, která je : a) omezená zdola na svém definičním oboru b) omezená shora na svém definičním oboru c) omezená shora i zdola na intervalu (0, 5) d) rostouci na svém definičním oboru e) klesající na intervalu ( 6, 0) f) periodická na svém definičním oboru g) prostá na svém definičním oboru h) není prostá na svém definičním oboru

51 Přípravný kurs z matematik 49 8 Goniometrické funkce 8.1 Oblouková míra V matematice, ve fzice a v technické prai se používá na určování velikosti úhlu tzv. oblouková míra. Je dán úhel ABC. Sestrojíme kružnici se středem v bodě B, (ve vrcholu úhlu). Jestliže r je poloměr kružnice a s je délka oblouku kružnice uvnitř úhlu ABC, potom velikost tohoto úhlu je s r radiánů. ABC = s r rad. Toto číslo nezávisí na poloměru kružnice. C s B r A Příklad 8.1 Vjádřete úhel 15 v obloukové míře. Kružnice má délku πr a velikost úhlu 360 v radiánech je πr r Z toho 1 = π 360 = π 180 radiánů. Ted 15 π = = π 1. = π. Dále budeme pracovat s orientovanými úhl. Orientovaný úhel si můžeme představit jako počáteční a koncovou polohu polopřímk (nejlépe kladné poloos O ) otáčející se kolem svého počátku a to v jednom ze dvou navzájem opačných smslů. Buď proti pohbu hodinových ručiček, tak dostaneme kladné úhl (např. π, 6π, atd), nebo ve směru hodinových ručiček a tak dostaneme záporné úhl (např. π, 4π, atd). 1

52 50 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 8. Goniometrické funkce V kartézské souřadnicové soustavě sestrojme kružnici o středu v počátku a poloměru 1. Uvažujme orientovaný úhel o velikosti ψ radiánů jehož vrchol je v počátku a počáteční rameno kladná poloosa. Druhé rameno protne kružnici v bodě P. Potom definujeme kosinus úhlu ψ jako -ovou souřadnici bodu P. Označujeme cos ψ. Podobně -ová souřadnice bodu P se nazývá sinus úhlu ψ. Označujeme sin ψ. Obě funkce jsou periodické, jejich nejmenší perioda je π. Definičním oborem obou funkcí je R, oborem hodnot je 1; 1. Grafem je sinusoida (kosinusoida). Snadno se dá ukázat, že pro každé R platí cos = sin ( + π ) = sin = cos Funkce f : = sin, R je lichá: sin( ) = sin. Funkce f : = cos, R je sudá: cos( ) = cos. Tangens je funkce, která každému reálnému číslu, pro něž je cos 0, přiřadí číslo tg = sin cos. Definičním oborem této funkce je D = { R, k+1 π, kde k je celé číslo }. Oborem hodnot je H = R. Kotangens je funkce, která každému reálnému číslu, pro něž je sin 0, přiřadí číslo cotg = cos sin. Definičním oborem této funkce je D = { R, kπ, kde k je celé číslo }. Oborem hodnot je H = R.

53 Přípravný kurs z matematik = tg Funkce tg a cotg jsou periodické funkce s periodou π. = cotg Obě funkce jsou liché: tg ( ) = tg a cotg ( ) = cotg pro všechna z definičního oboru. V následující tabulce jsou vpočten hodnot goniometrických funkcí pro některá 0; π), které je vhodné si pamatovat. Tabulka 8.1: Hodnot goniometrických funkcí pro některé důležité úhl 0 π 6 sin 0 1 cos 1 tg 0 cotg π π 3 π 3 π π Dále uvedeme některé důležité vzorce, které budou užitečné při řešení úloh souvisejících s goniometrickými funkcemi. ( Pro každé 0; π ) platí: sin = sin(π ) = sin(π + ) = sin(π ) cos = cos(π ) = cos(π + ) = cos(π ) tg = tg (π ) ; cotg = cotg (π ) Příklad 8. Vpočítejte hodnot goniometrických funkcí v daných bodech : a) α = 5 3 π b) α = 5 π c) α = 3 4 π

54 5 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně a) α = 5 3 π = π 1 3 π sin(π 1π) = sin( 1π) = 3 sin α = cos(π 1 3 π) = cos( 1 3 π) = 1 cos α = 1 tg α = sin α cos α = 3 cotg α = cos α = 3 sin α 3 b) α = 3 π Funkce sin, cos jsou periodické s periodou π. Platí: sin α = sin(α + π) = sin 4 3 π = sin(π π) = sin( 1 3 π) = 3 cos α = cos(α + π) = cos 4 3 π = cos(π π) = 1 tg α = sin α cos α = 3 cotg α = cos α = 3 sin α 3 c) α = 5 4 π sin( 5 4 π) = sin( 1 4 π + 6π) = sin 1 4 π = cos( 5 4 π) = cos( 1 4 π + 6π) = cos 1 4 π = tg α = cotg α = 1 Důležité vztah a vzorce Pro každé reálné platí: Pro každé reálné a celé k, k π platí: sin + cos = 1 tg cotg = 1 Funkce dvojnásobného a polovičního argumentu R : sin = sin cos ; R : cos = cos sin R : sin 1 cos = ; R : cos 1 + cos =

55 Přípravný kurs z matematik 53 Součtové vzorce, R : sin( ± ) = sin cos ± cos sin, R : cos( ± ) = cos cos sin sin, R : sin + sin = sin +, R : sin sin = cos +, R : cos + cos = cos +, R : cos cos = sin +, R,, k+1 π : tg ( ± ) = Příklad 8.3 Vpočítejte cos 5 1 π. cos sin cos sin tg ± tg 1 tg tg cos 5 ( π 1 π = cos 4 + π ) = cos π 6 4 cos π 6 sin π 4 sin π = 4 Příklad 8.4 Vpočtěte hodnot funkcí cos α, sin(α), tg (α), sin α, jestliže sin α = 3 5, 0 < α < π. cos α = cos α = 1 sin α = = 4 5 sin(α) = sin α cos α = = 4 5 cos(α) = cos α sin α = = < α < π 0 < α < π 4 sin α tg (α) = sin(α) cos(α) = 4 7 = sin α = = 1 10

56 54 Fakulta elektrotechnik a komunikačních technologií VUT v Brně 8.3 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou jako argument jedné nebo několika goniometrických funkcí. Příklad 8.5 Vřešte v R goniometrické rovnice: a) sin(3) = b) sin cos = 0,5 c) sin 5 cos + 1 = 0 a) Upravíme: sin(3) =. Funkce sinus má kladné hodnot v I. a II. kvadrantu. Ted 3 = π 4 + kπ 3 = 3 π + kπ, k Z. Odtud 4 = π kπ = π 4 + kπ, k Z. 3 b) Upravíme levou stranu rovnice: sin cos = (cos sin ) = cos(). Potom rovnice má tvar cos() = 0,5, tzn. cos() = 0,5. Funkce kosinus má záporné hodnot v II. a III. kvadrantu. Potom = π π 3 + kπ = π + π 3 + kπ, k Z. Odtud = 1 3 π + kπ = π + kπ, k Z. 3 c) Upravíme levou stranu rovnice: sin 5 cos + 1 = (1 cos ) 5 cos + 1 = cos 5 cos + 3 Potom rovnice má tvar cos 5 cos + 3 = 0 t.j. cos + 5 cos 3 = 0. Položíme = cos a dostaneme kvadratickou rovnici = 0. Tato rovnice má kořen 1 = 3 a = 1. Protože 3 > 1, řešíme jen rovnici cos = 1. Funkce kosinus má kladné hodnot v I. a IV. kvadrantu. Dostaneme = 1 3 π + kπ = 5 π + kπ, k Z. 3

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 7.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání: Ekonomické lyceum Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.7 Matematika 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika je zařazen jako povinný ve všech ročnících čtyřletého studia. Patří do vzdělávací oblasti

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Školní vzdělávací program

Školní vzdělávací program Školní vzdělávací program Obor: 7941K/81, Gymnázium všeobecné ( osmileté ) Obor: 7941/41, Gymnázium všeobecné ( čtyřleté ) Učební osnovy pro vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium Vzdělávací

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika Podle těchto učebních osnov se vyučuje ve třídách 1.N a 2.N šestiletého gymnázia od školního roku 2013/2014. Zpracování osnov předmětu Matematika koordinoval Mgr. Petr Spisar Časová dotace : Nižší gymnázium:

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 6.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání Gymnázium Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od 1.9.2009

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více