Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data
|
|
- Luboš Bílek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení příbuzná Transformace náhodných veličin
2 Opakování tp dat Jaké znáte tp dat? Uveďte příklad
3 Opakování popis dat Co chceme u dat popsat? Jak to můžeme udělat?
4 Opakování který histogram je správný a proč? Chceme pomocí histogramu vkreslit počt zraněných při automobilových haváriích na předměstí Londýna v roce Data máme zadána jako počt v daných věkových kategoriích.
5 1. Náhodná veličina
6 Pojem náhodná veličina Číselné vjádření výsledku náhodného pokusu. Matematick je to funkce, která každému elementárnímu jevu ω z Ω přiřadí hodnotu ω z nějaké množin možných hodnot. : Ω R Náhodná veličina se netýká pouze kvantitativních proměnných. Číselné vjádření výsledku náhodného pokusu může popisovat i pohlaví. Chování náhodné veličin lze popsat pomocí rozdělení pravděpodobnosti: Funkce zadaná analtick Výčet možností a příslušných pravděpodobností
7 Význam náhodných veličin Množina Ω často není známa může být i nekonečná a nejsme tak schopni ji popsat. Náhodná veličina převádí Ω na čísla, se kterými se pracuje lépe. Neznáme li Ω, nejsme schopni popsat ani, ale jsme schopni ho pozorovat. Základní prostor Ω Pravděpodobnost P Jev A ω 1 Náhodná veličina 0 PA 1 R 0 x R
8 Pravděpodobnostní chování náhodné veličin Pravděpodobnostní chování náhodné veličin je jednoznačně popsáno tzv. rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličin. Rozdělením náhodné veličin definované na prostoru s pravděpodobností P rozumíme předpis, který jednoznačně určuje všechn pravděpodobnosti tpu P pro každou B R. B P B P ω Ω : ω B i i Distribuční funkce Hustota spojité náhodné veličin Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličin
9 Opět vztah populace vzorek Rozdělení pravděpodobnosti představuje model cílové populace. Pomocí vzorku naměřených pozorování se ptáme, jestli bl model správný snažíme se z dat usuzovat na vlastnosti tohoto rozdělení pravděpodobnosti. Ověření hpotéz na základě dat Hpotéza Experimentální vzorek Model cílové populace
10 Popis rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce popisuje rozdělení pravděpodobnosti kumulativním způsobem. Hustota a pravděpodobnostní funkce popisují rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé bod respektive interval na reálné ose. Distribuční funkce a hustota, respektive pravděpodobnostní funkce, jsou navzájem ekvivalentní, ted známe li jednu nepotřebujeme druhou.
11 Distribuční funkce Vjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nepřekročí dané x na reálné ose. F x P x P ω Ω : ω x i i Vlastnosti distribuční funkce?
12 Distribuční funkce Vjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nepřekročí dané x na reálné ose. F x P x P ω Ω : ω x i i Vlastnosti distribuční funkce: 1. Neklesající 2. Zprava spojitá F x 1 F x 0 pro x F x 1pro x
13 Distribuční funkce F x 2 Fx P x < 2 1 x F x 1 x1 x2 x x < 2 1 x
14 Distribuční funkce příklad Uvažujme 5 hodů mincí. Náhodná veličina představuje počet líců. Jak vpadá distribuční funkce?
15 Distribuční funkce příklad Uvažujme 5 hodů mincí. Náhodná veličina představuje počet líců. Jak vpadá distribuční funkce? {0, 1, 2, 3, 4, 5} P0 1 / 32 P1 5 / 32 P2 10 / 32 P3 10 / 32 P4 5 / 32 P5 1 / 32
16 Výběrová distribuční funkce Distribuční funkce je teoretická záležitost, která definuje pravděpodobnostní model pro náhodnou veličinu. Často neznáme její přesné vjádření. Výběrová distribuční funkce je charakteristika pozorovaných dat. Je odhadem teoretické distribuční funkce je li vzorek reprezentativní. Vjádření: F x n # xi n x 1 n n i 1 I x i x
17 Výběrová distribuční funkce příklad Výška studentů 2. ročníku Matematické biologie
18 Spojité a diskrétní náhodné veličin Náhodné veličin dělíme dle podstat na: Spojité mohou nabývat všech hodnot v daném intervalu. Diskrétní mohou nabývat nejvýše spočetně mnoha hodnot. Spojitou náhodnou veličinu s distribuční funkcí Fx charakterizuje tzv. hustota pravděpodobnosti, což je funkce taková, že platí: x f F x x dt Diskrétní náhodnou veličinu s distribuční funkcí Fx charakterizuje tzv. pravděpodobnostní funkce, což je funkce taková, že platí: t x F x p t P t t x
19 Fx a fx a px Spojitá náhodná veličina P 0 < 2 P 0 < 2 Diskrétní náhodná veličina P 3
20 Spojité a diskrétní náhodné veličin příklad Spojité náhodné veličin: Medicína: výška, váha, krevní tlak, glkémie, čas do sledované události, Biologie: biomasa na m 2, listová plocha, ph, koncentrace látek ve vodě, ovzduší, Diskrétní náhodné veličin: Medicína: počet krvácivých epizod, počet hospitalizací, počet dní po operaci do odeznění bolesti, Biologie: počet zvířat na jednotku plochu, objem, počet kolonií na misku,
21 Kvantilová funkce Inverzní funkce k distribuční funkci, výsledkem není pravděpodobnost, ale číslo na reálné ose, které odpovídá určité pravděpodobnosti. Distribuční funkce F x P x Kvantilová funkce x p F 1 P x F 1 p P Spojitá náhodná veličina x
22 2. Charakteristik náhodných veličin
23 Co chceme u dat popsat? Kvalitativní data četnosti absolutní i relativní jednotlivých kategorií. Kvantitativní data těžiště a rozsah pozorovaných hodnot.
24 Charakteristik náhodných veličin Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce popisují chování náhodné veličin sice kompletně, ale trochu nepraktick složitě. Jsou definován dvě charakteristik, které odráží vlastnosti rozdělení jedním číslem: střední hodnota a rozptl. Střední hodnota je definována pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou fx jako integrál pokud existuje: E μ x f x dx pro diskrétní náhodnou veličinu s pravděpodobnostní funkcí px jako součet: E μ xp x x R
25 Charakteristik náhodných veličin Rozptl je definován pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu jako střední hodnota: Pro výpočet je používán vzorec: Nevýhoda rozptlu je, že není ve stejných jednotkách jako střední hodnota, proto se používá tzv. směrodatná odchlka odmocnina z rozptlu E E E E E E E E E E E D E E D σ
26 Charakteristik náhodných veličin To, co nás zajímalo u pozorovaných dat má teoretický ekvivalent ve smslu pravděpodobnosti ve formě charakteristik náhodných veličin: Těžiště Střední hodnota Rozsah Rozptl Těmto charakteristikám pak odpovídají parametr rozdělení pravděpodobnosti. Charakteristik však mohou být i lehce zavádějící: náhodná veličina nemusí nabývat své střední hodnot. Příklad: Náhodná veličina nabývá hodnot 1 a 1, obou s pravděpodobností 0,5. Její střední hodnota je 0!
27 Význam střední hodnot Jedná se o formu váženého průměru možných hodnot na základě jejich pravděpodobností. Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu {x 1,, x k } Px 1 p 1,, Px k p k Pak střední hodnota má tvar: E μ k i 1 x p i x i Váhu pro jednotlivé hodnot hraje jejich pravděpodobnost Jednotlivé možné hodnot
28 K čemu všechn t funkce a čísla vlastně jsou? Popis vlastností cílové populace na základě pozorovaných dat histogram, box plot, popisné statistik jsme schopni usuzovat na charakter rozdělení pravděpodobnosti sledované veličin. Dokonce jsme schopni otestovat míru shod s teoretickým rozdělením. Srovnání vlastností cílové populace/populací na základě pozorovaných dat a našich předpokladů o teoretickém modelu hpotéz jsme schopni pomocí statistických testů srovnávat vlastnosti jedné nebo více cílových populací. Predikce vlastností cílové populace nevvrátíme li na základě pozorovaných dat platnost teoretického modelu, jsme schopni se ptát, jak a s jakou pravděpodobností se bude cílová populace v budoucnu chovat.
29 Příklad srovnání Pacienti s hpertenzí, léčení ACE I nebo AIIA. Pacienti s ACE I Pacienti s AIIA N N Teď předbíháme: Vizualizace a popis zhodnotíme tvar rozdělení a přítomnost odlehlých hodnot. Testem můžeme ověřit normalitu hodnot. Testem můžeme ověřit rovnost rozptlů. Rozhodneme o aplikovatelnosti jednotlivých testů. mmhg 0 12 Medián 25% 75% 5% 95% 0 12 TKs v sedě mmhg B ACE-I B AIIA p-hodnota A vs. B Čas 0 medián Čas 12 měsíců - medián p-hodnota 0 vs. 12 <0,001 <0,001 0,929
30 3. Normální rozdělení pravděpodobnosti a rozdělení z něj odvozená
31 Normální rozdělení pravděpodobnosti Klíčové rozdělení pravděpodobnosti. Jak pro teoretickou statistiku, tak pro biostatistiku. Označení normální neznamená, že b blo normálnější než ostatní rozdělení. Popisuje proměnné, jejichž hodnot se smetrick shlukují kolem střední hodnot. Rozptl kolem střední hodnot je dán aditivním vlivem mnoha slabě působících faktorů. Příklad: výška člověka, krevní tlak
32 Normální rozdělení pravděpodobnosti Je kompletně popsáno dvěma parametr: μ střední hodnota, ted E σ 2 rozptl, ted D Označení: Nμ, σ 2 Hustota pravděpodobnosti: 2 f x; μ, σ 1 2 2πσ e x μ 2 / 2 σ 2 Čím bchom mohli jednotlivé parametr normálního rozdělení odhadnout?
33 Normální rozdělení dle hodnot parametrů μ a σ 2
34 Normální rozdělení pravděpodobnosti Normalita je klíčovým předpokladem řad statistických metod zejména testů a modelů. Není li splněna podmínka normalit hodnot, je špatně celý model se kterým daná metoda pracuje, což vede k neinterpretovatelným závěrům. Její ověření je tak stejně důležité jako výběr správného testu. Pro ověření normalit existuje řada testů a grafických metod.
35 Standardizované normální rozdělení Jakékoliv normální rozdělení může být převedeno zatím schválně neříkám transformováno na tzv. standardizované normální rozdělení: ~ 2 N μ, σ Y μ Y 2 σ ~ N0,1 Hustota pravděpodobnosti: f x;0,1 1 e 2π x 2 / 2 Klíčové rozdělení řad testů. Výhoda je, že všechn hodnot distribuční i kvantilové funkce jsou tabelován a obsažen ve všech dostupných softwarech.
36 Pravidlo ±3 sigma U normálního rozdělení lze včíslit procento hodnot, které b se měl vsktovat v rozmezí ± x násobku směrodatné odchlk od střední hodnot. Lze říci, že v rozmezí μ ±3σ b se mělo vsktovat přes 99,5 % všech hodnot. 68,3 % všech hodnot 95,6 % všech hodnot 99,7 % všech hodnot
37 Pravidlo ±3 sigma k čemu to je? Lze ho použít pro jednoduché ale pouze orientační ověření normalit rozdělení pozorovaných dat. Příklad 1: Hladina sérového albuminu u 216 pacientů s cirhózou jater. Sumarizace pozorovaných hodnot: x 34,46 g/l s 5,84 g/l x ± 1s 73,15 % hodnot x ± 2s 95,83 % hodnot x ± 3s 28,62 40,30 g/l 22,78 46,14 g/l 16,94 51,98 g/l 99,07 % hodnot 68,3 % všech hodnot 95,6 % všech hodnot 99,7 % všech hodnot
38 Pravidlo ±3 sigma k čemu to je? Příklad 2: Simulovaná data, 50 hodnot z N0,1 + 1odlehlá hodnota 200. Sumarizace pozorovaných hodnot: x 3,87 s 28,02 x ± 1s 98,04 % hodnot 68,3 % hodnot x ± 2s 98,04 % hodnot 95,6 % hodnot x ± 3s 24,15 31,90 52,18 59,92 80,21 87,95 98,04 % hodnot 99,7 % hodnot
39 Pravidlo ±3 sigma k čemu to je? Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro identifikaci odlehlých hodnot. Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro orientační ověření normalit dat.
40 Chí kvadrát rozdělení Vzniká jako součet druhých mocnin k nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním rozdělením, N0,1. Konstanta k je nazývána počet stupňů volnosti. i ~ N0,1 Q k i 1 2 i Q ~ 2 χ k Velký význam v teoretické statistice: Výpočet intervalu spolehlivosti pro rozptl Testování hpotéz o nezávislosti kvalitativních dat Test dobré shod
41 Studentovo t rozdělení Charakterizuje rozdělení průměru jako odhadu střední hodnot veličin s normálním rozdělením, v případě, že neznáme rozptl což je téměř vžd. Vzniká jako podíl dvou nezávislých veličin, jedné s rozdělením N0,1 a druhé s rozdělením χ 2 k. Parametrem t rozdělení je opět počet stupňů volnosti k. ~ N0,1, Q ~ 2 χ k T Q / k T ~ t k Lze ho chápat jako aproximaci normálního rozdělení pro malé vzork, pro velké velikosti souborů konverguje k normálnímu rozdělení. Teoretický základ t testu.
42 Log normální rozdělení Náhodná veličina Y má log normální rozdělení, kdž lny má normální rozdělení.a naopak, kdž má normální, pak Yexp má log normální. Hustota: f 2 x; μ, σ x 1 2 2πσ e ln x μ 2 / 2 σ 2, x > 0 Normální rozdělení aditivní efekt faktorů Log normální rozdělení multiplikativní efekt faktorů Řada jevů v přírodě se řídí log normálním rozdělením: délka inkubační dob infekčního onemocnění, abundance druhů, řada krevních parametrů např. sérový bilirubin u pacientů s cirhózou, počet bakteriálních buněk v daném objemu,
43 Binomické rozdělení Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výsktů sledované události ve formě nastala/nenastala v sérii n nezávislých experimentů, kd v každém experimentu je stejná pravděpodobnost výsktu události a je p θ. Pravděpodobnostní funkce: n P k θ k k n k θ 1 Základ binomických testů pro srovnávání výsktu sledovaných událostí v populaci nebo mezi populacemi.
44 Poissonovo rozdělení Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výsktů sledované události na danou jednotku času, ploch, objemu, kdž se tto události vsktují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou parametr λ. Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro n a p 0. Pravděpodobnostní funkce: Střední hodnota, rozptl: x λ λ e P x p x; λ, x x! E λ, D λ 0 Příklad: průměrný výskt mutací bakterií na 1 Petriho misku, počet krvinek vpoli mikroskopu, počet žížal vsktujících se na 1 m 2, počet pooperačních komplikací během určitého časového intervalu po výkonu.
45 Poissonovo rozdělení vliv λ
46 Exponenciální rozdělení Spojité rozdělení, které popisuje délk časových intervalů mezi jednotlivými událostmi Poissonova procesu. Popisuje ted časový interval mezi událostmi, kdž se tto události vsktují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou parametr λ. Hustota: Střední hodnota, rozptl: f x; λ λe E 1 λ, D λx, x λ Význam v analýze přežití, je to nejjednodušší modelové rozdělení pro délku dob do výsktu sledované události předpokládá totiž konstantní intenzitu sstém nemá paměť. Zobecněním jsou další rozdělení: Weibullovo, Gamma.
47 Bimodální rozdělení Představuje většinou problém, neboť se zřejmě jedná o směs dvou souborů s unimodálním rozdělením. Bimodální rozdělení má např. tento tvar: žen muži
48 Existuje ±3 sigma i u asmetrických rozdělení? Pro nenormální rozdělení existuje pomůcka v podobě obecného pravidla Čebševov nerovnosti: Máme li náhodnou veličinu se střední hodnotou μ a a konečným rozptlem σ 2,pak pro libovolné reálné číslo k >0platí: P μ kσ 1 k 2
49 4. Transformace náhodných veličin
50 Transformace náhodné veličin Transformací náhodné veličin rozumíme aplikaci matematické funkce g tak, že vzniká nová náhodná veličina tzv. transformovaná Y g. Nová veličina nabývá nových hodnot má také jiné rozdělení pravděpodobnosti je třeba ho najít hustotu, pravděpodobnostní funkci. S transformací se mění škála mění se i interpretace vzdáleností mezi jednotlivými hodnotami.
51 Transformace náhodné veličin Spojitá veličina: chceme najít hustotu f Y. Diskrétní veličina: chceme najít pravděpodobnostní funkci p Y.., 1 1 R x p g P g P Y P p g x Y., 1 1 R g F g P g P Y P F Y., 1 klesající : Pro R g d d g f g F d d F d d f x g Y Y., : rostoucí Pro R g d d g f g F d d F d d f x g Y Y., jakoukoliv : Pro 1 1 R g d d g f f x g Y
52 Transformace náhodné veličin příklad Máme rozdělení náhodné veličin dáno tabulkou a chceme najít rozdělení pravděpodobnosti transformované náhodné veličin Y 2 1. x px 0,1 0,25 0,15 0,3 0,2 x px 0,1 0,25 0,15 0,3 0, p 0,3 0,55 0,15
53 Význam transformací pro zpracování dat Teoretické vlastnosti transformovaných náhodných veličin nám dávají nástroj pro práci s pozorovanými dat. Transformace můžeme použít pro následující cíle: 1. Normalizaci pozorovaných hodnot 2. Standardizaci normálních hodnot 3. Stabilizaci rozptlu pozorovaných hodnot teď vnecháme 4. Lepší interpretaci pozorovaných hodnot
54 1. Normalizace pozorovaných hodnot Normalita pozorovaných hodnot je silný předpoklad řad statistických metod, který musí být splněn, ab výsledk bl interpretovatelné! Hodnocení normalit dat vizuálně, na základě testu. Nenormální data je nutné transformovat nebo použít test bez předpokladu normalit. Logaritmická transformace Y ln Odmocninová transformace Y sqrt Box Coxova transformace
55 2. Standardizace normálních hodnot Standardizace je transformace náhodné veličin s Nμ,σ 2 na N0,1. Důvod: řada statistických metod bla odvozena pro standardizované normální rozdělení, N0,1. Děláme to ted opět kvůli lepší možnosti hodnocení dat. Teoretická standardizace: Praktická standardizace: U u i x i μ 2 σ x 2 s Obrázek: standardizace je převod modré, zelené a okrové na červenou.
56 4. Lepší interpretace pozorovaných hodnot Někd se nám hodí transformovat pozorovaná data kvůli lepší interpretaci. Příklad: Microarra experiment se dvěma vzork, měříme intenzitu genu Y v jedné tkáni hodnota intenzit A Y a v druhé tkáni hodnota intenzit B Y. Následně hodnot převádíme na logaritmus se základem 2 jejich podílu: log Z Y 2 A B Y Y Jaké to má výhod?
57 Poděkování Rozvoj studijního oboru Matematická biologie PřFMU Brno je finančně podporován prostředk projektu ESF č. CZ.1.07/2.2.00/ Víceoborová inovace studia Matematické biologie a státním rozpočtem České republik
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceNáhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data
Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data V této kapitole definujeme náhodnou veličinu, jako základní myšlenku matematické statistiky, která nám umožňuje pracovat pomocí statistické metodiky
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Více2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat
2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VícePřednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
Vícepravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 3 Jak a kdy použít parametrické a
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
VícePřednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy
Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Relativní riziko a poměr šancí Princip korelace dvou náhodných veličin Korelační koeficienty Pearsonůva Spearmanův Korelace a kauzalita
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VícePřednáška III. Data, jejich popis a vizualizace. Náhodný výběr, cílová a výběrová populace Typy dat Vizualizace různých typů dat Popisné statistiky
Přednáška III. Data, jejich popis a vizualizace Náhodný výběr, cílová a výběrová populace Typy dat Vizualizace různých typů dat Popisné statistiky Opakování podmíněná pravděpodobnost Ω A A B B Jak můžu
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceAnalýza dat na PC I.
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VícePřednáška IX. Analýza rozptylu (ANOVA)
Přednáška IX. Analýza rozptylu (ANOVA) Princip a metodika výpočtu Předpoklady analýzy rozptylu a jejich ověření Rozbor rozdílů jednotlivých skupin násobné testování hypotéz Analýza rozptylu jako lineární
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Více6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení
6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceMe neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33
1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceInferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů
Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceZpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceStatistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická
VícePRŮZKUMOVÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Exploratory Data Analysis (EDA)
PRŮZKUMOVÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Exploratory Data Analysis (EDA) Reprezentativní náhodný výběr: 1. Prvky výběru x i jsou vzájemně nezávislé. 2. Výběr je homogenní, tj. všechna x i jsou ze stejného
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceZáklady biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II
Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceCvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
VíceSTATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ
STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceDva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.
Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.
VíceStatistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží
Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží Zdeněk Karpíšek Jsou tři druhy lží: lži, odsouzeníhodné lži a statistiky. Statistika je logická a přesná metoda, jak nepřesně
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceJevy a náhodná veličina
Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceDesign Experimentu a Statistika - AGA46E
Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceDeskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability
Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 7 Jak hodnotit vztah spojitých proměnných
Více