Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály,

Transkript

1 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14

2 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f

3 Definiční obor funkce množina všech hodnot, kterých nabývá proměnná x dané funkce jde o podmnožinu reálných čísel. tuto množinu označujeme D, dolním indexem je název funkce např. u funkce f zápisem D f, nebo pro funkci g zápisem D g apod.

4 Příklady určení definičního oboru uvedených funkcí Určete definiční obor funkce f 1 : f 1 (x) = x + 3x 1 Řešení: předpis funkce f 1 není v množině R nijak omezen. Tedy D f1 = R

5 Příklady určení definičního oboru uvedených funkcí Určete definiční obor funkce f 1 : f 1 (x) = x + 3x 1 Řešení: předpis funkce f 1 není v množině R nijak omezen. Tedy D f1 = R

6 Příklady určení definičního oboru uvedených funkcí Určete definiční obor funkce f : f (x) = x + 4x 6 Řešení: předpis funkce f je omezen odmocňovanými výrazy a lomeným výrazem. Musí platit, že x + 0, tj. x a současně 4x 6 > 0, tj. x > 3 ( ). Tedy 3 D f9 =, +.

7 Příklady určení definičního oboru uvedených funkcí Určete definiční obor funkce f : f (x) = x + 4x 6 Řešení: předpis funkce f je omezen odmocňovanými výrazy a lomeným výrazem. Musí platit, že x + 0, tj. x a současně 4x 6 > 0, tj. x > 3 ( ). Tedy 3 D f9 =, +.

8 Příklady k procvičení Definiční obor funkce Určete definiční obor následujících funkcí g 1 až g 4 g 1 (x) = x + 1 x 3 g (x) = x + 1 g 3 (x) = x 3x + x + g 4 (x) = x

9 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí g 1 (x) = x + 1 g 1 (x) = x + 1 x 3 x 3 předpis funkce g 1 je 10 omezen lomeným výrazem. Musí platit, že x 3. Tedy D g1 = R

10 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí g 1 (x) = x + 1 g 1 (x) = x + 1 x 3 x 3 předpis funkce g 1 je 10 omezen lomeným výrazem. Musí platit, že x 3. Tedy D g1 = R

11 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí g (x) = x + 1 x 3 předpis funkce g je omezen odmocninou. Musí platit, že x. Tedy D g = ; + ) g (x) = x + 4 4

12 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí g (x) = x + 1 x 3 předpis funkce g je omezen odmocninou. Musí platit, že x. Tedy D g = ; + ) g (x) = x + 4 4

13 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí 1 g 3 (x) = x 3x + předpis funkce g 3 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x + 3x > 0. Tedy D g3 = ( ; 1) (; + ) g 3 (x) = x 3x + 4

14 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí 1 g 3 (x) = x 3x + předpis funkce g 3 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x + 3x > 0. Tedy D g3 = ( ; 1) (; + ) g 3 (x) = x 3x + 4

15 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí x + g 4 (x) = x předpis funkce g 4 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x x + x 0. Tedy D g 4 = ( ; (; + ) g 4 (x) = 10 5 x + x 5 5

16 Řešení příkladů na určení definičního oboru funkcí x + g 4 (x) = x předpis funkce g 4 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x x + x 0. Tedy D g 4 = ( ; (; + ) g 4 (x) = 10 5 x + x 5 5

17 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f množina čísel přiřazených danou funkcí číslům z definičního oboru jde o podmnožinu reálných čísel. tuto množinu označujeme H, dolním indexem je název funkce např. u funkce f zápisem H f, nebo pro funkci g zápisem H g apod.

18 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklad určení hodnot uvedené funkce Je dána funkce g(x) = 3x + 1. Vypočítejte: g(1), g(a) + g(), g(a + ), g(b ), [g(b)]. Řešení: Za x dosazujeme výrazy ze závorek. Tedy g(1) = 4, g(a) + g() = 3a , tj. 3a Podobně g(a + ) = 3a + 1a + 13, g(b ) = 3b a nakonec [g(b)] = (3b + 1) = 9b 4 + 6b + 1.

19 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklad určení hodnot uvedené funkce Je dána funkce g(x) = 3x + 1. Vypočítejte: g(1), g(a) + g(), g(a + ), g(b ), [g(b)]. Řešení: Za x dosazujeme výrazy ze závorek. Tedy g(1) = 4, g(a) + g() = 3a , tj. 3a Podobně g(a + ) = 3a + 1a + 13, g(b ) = 3b a nakonec [g(b)] = (3b + 1) = 9b 4 + 6b + 1.

20 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklady určení oboru hodnot uvedené funkce Je dána funkce f (x) = x + x 30. Rozhodněte, zda existuje x R tak, aby platilo: 1 f (x) = 5 f (x) = f (x) = 11 3 Řešení: Je nutné zjistit, zda rovnice v nichž za f (x) dosadíme příslušnou hodnotu mají řešení. Tedy:

21 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklady určení oboru hodnot uvedené funkce Je dána funkce f (x) = x + x 30. Rozhodněte, zda existuje x R tak, aby platilo: 1 f (x) = 5 f (x) = f (x) = 11 3 Řešení: Je nutné zjistit, zda rovnice v nichž za f (x) dosadíme příslušnou hodnotu mají řešení. Tedy:

22 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklady určení oboru hodnot uvedené funkce 1 pro f (x) = 5 získáme rovnici 5 = x + x 30 Řešení: x 1 =, x = 5 pro f (x) = 100 získáme rovnici 100 = x + x 30 Řešení: nemá v R řešení 3 pro f (x) = 11 3 získáme rovnici 11 3 Řešení: x 1 = 9 + 3, x = 13 3 = x + x 30

23 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Příklady určení oboru hodnot uvedené funkce 1 pro f (x) = 5 získáme rovnici 5 = x + x 30 Řešení: x 1 =, x = 5 pro f (x) = 100 získáme rovnici 100 = x + x 30 Řešení: nemá v R řešení 3 pro f (x) = 11 3 získáme rovnici 11 3 Řešení: x 1 = 9 + 3, x = 13 3 = x + x 30

24 Příklad k procvičení Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Je dána funkce h : y = x + 1 x. 1 Rozhodněte, která z následujících čísel, 5, 0, 5, 1 patří do oboru hodnot funkce h. Určete všechna čísla m R tak, aby platilo: h(m) = h( 3)

25 příklady na určení oboru hodnot funkce příklady k procvičení H f řešení příkladů na procvičení H f Řešení příkladu z oboru hodnot funkce h : y = x + 1 x 1 Čísla ; 5 ; 5 leží v oboru hodnot funkce h. Číslo m musí mít hodnotu ±

26 Příloha Seznam použité literatury Seznam použité literatury I PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách I: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 344 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN