Název: Práce s parametrem (vybrané úlohy)

Transkript

1 Název: Práce s parametrem (vybrané úlohy) Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: maturitní opakování práce s parametrem Stručná anotace: Výukový materiál je určen pro opakování a procvičení úloh s parametrem k maturitní zkoušce z matematiky. Obsahuje řešené úlohu s parametrem včetně ilustraci řešení v programu Geogebra. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha Adaptabilita.

2 Úlohy s parametrem Pracovní list Úloha 1. Řešení rovnic a nerovnic s parametrem a) Řešte nerovnici p(x 2)+p(x 1) x (p+2) 6 s reálným parametrem p. [1] b) Řešte rovnici x 2 +p 2 =p x s reálným parametrem p. [1] c) Znázorněte řešení předchozí rovnice a nerovnice v programu Geogebra s využitím funkce f ( x)=p(x 2)+p( x 1) x (p+2)+6 pro nerovnici a) a funkce g(x)= x 2 +p 2 p+ x pro rovnici b). Úloha 2. Konstrukce trojúhelníku Máme k dispozici úsečky o délkách 3 cm, 8 cm a m cm. a) Stanovte všechny hodnoty parametru m, pro něž lze z daných úseček sestrojit trojúhelník. b) Pro které hodnoty m bude tento trojúhelník pravoúhlý? c) Nechť m je celé číslo. Zjistěte, kolik trojúhelníků o stranách 3 cm, 8 cm a m cm, z nichž žádné dva nejsou shodné, je tupoúhlých. [1] Úloha 3. Vzájemná poloha přímky a hyperboly Je dána hyperbola (H): x ² 6 =1.. a) Pomocí programu Geogebra vyšetřete vzájemnou polohu (H) a následujících přímek: 1) (p): y=2 x +p 2) (q):y=x +p 3) (r):y= 6 2 x +p b) Ověřte předchozí výsledky pomocí řešení soustavy rovnic s parametrem. Literatura : [1] VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. Praha : Prometheus 2001 (1. vydání). ISBN X.

3 Úlohy s parametrem (řešení) Úloha 1. Řešení rovnic a nerovnic s parametrem a) Řešte nerovnici p( x 2)+ p( x 1) x (p+2) 6 s reálným parametrem p. px 2 p+px p px 2 x 6 x (p 2) 3 p 6 Pro p=2 dostáváme 0 x 0, a tedy x R. Pro p>2 dostáváme x 3 p 6 p 2, a tedy Pro p<2 dostáváme x 3 p 6 p 2, a tedy x 3. x 3. b) Řešte rovnici x 2 +p 2 =p x s reálným parametrem p. Na levé straně rovnice je vždy nezáporné číslo, a tedy i na pravé straně rovnice musí být nezáporné číslo. Musí tedy platit p x. Umocněním obou stran rovnice dostáváme x 2 +p 2 =p 2 2px+p 2, a tedy 0= 2 px. Pokud p=0, musí platit x R p x, a tedy x (, 0. Pokud p 0, pak x=0. Pokud ale p<0, nemá rovnice řešení, protože při x=0 p<0 nmají obě rovnice různá znaménka. Rovnice má tedy řešení je pro p 0. c) Znázorněte řešení předchozí rovnice a nerovnice v programu Geogebra s využitím funkce f ( x)=p(x 2)+p( x 1) x (p+2)+6 pro nerovnici a) a funkce g(x)= x 2 +p 2 p+ x pro rovnici b). Počet řešení lze znázornit pomocí průsečíků grafů funkcí s osou x (viz soubor Úloha1.ggb). Úloha 2. Konstrukce trojúhelníku Máme k dispozici úsečky o délkách 3 cm, 8 cm a m cm. a) Stanovte všechny hodnoty parametru m, pro něž lze z daných úseček sestrojit trojúhelník. Dané délky úseček musí splňovat trojúhelníkovou nerovnost. Musí tedy zároveň platit 3+8> m 3+m>8 8+ m>3. Z těchto nerovností plyne, že 5<m<11. b) Pro které hodnoty m bude tento trojúhelník pravoúhlý? Úsečka délky m může být buď odvěsnou nebo přeponou trojúhelníka. Podle Pythagorovy věty dostáváme m 2 = =73. Úsečka délky m= 73 je přeponou trojúhelníka. Pokud je úsečka délky m odvěsnou trojúhelníka, dostáváme 8 2 =3 2 +m 2 a m= 55.

4 c) Nechť m je celé číslo. Zjistěte, kolik trojúhelníků o stranách 3 cm, 8 cm a m cm, z nichž žádné dva nejsou shodné, je tupoúhlých. Pokud m je celé číslo a zároveň 5<m<11, získáme 5 různých trojúhelníků a pomocí kosinové věty můžeme vypočítat kosinus největšího úhlu. Pokud jet tento kosinus záporný, výsledný úhel je tupý, pokud je tento kosinus kladný, výsledný úhel je ostrý. Postupně dostáváme 4 možn tupoúhlé trojúhelníky s celočíselnými délkami stran. 3 cm, 6 cm, 8 cm 8 2 = cosϕ cos ϕ= 19 <0 tupoúhlý trojúhelník 36 3 cm, 7 cm, 8 cm 8 2 = cos ϕ cos ϕ= 6 <0 tupoúhlý trojúhelník 42 3 cm, 8 cm, 8 cm 8 2 = cos ϕ cosϕ= 9 >0 ostroúhlý trojúhelník 3 cm, 8 cm, 9 cm 9 2 = cos ϕ cos ϕ= 8 <0 tupoúhlý trojúhelník 3 cm, 8 cm, 10 cm 10 2 = cos ϕ cosϕ= 27 <0 tupoúhlý trojúhelník Úloha 3. Vzájemná poloha přímky a hyperboly Je dána hyperbola (H): x ² 6 =1. a) Pomocí programu Geogebra vyšetřete vzájemnou polohu (H) a následujících přímek: 1) (p): y=2 x +p 2) (q):y=x +p 3) (r):y= 6 2 x +p b) Ověřte předchozí výsledky pomocí řešení soustavy rovnic s parametrem. 1) (H): x ² =1 a zároveň (p): y=2 x +p. Použijeme substituční metodu a dostaneme 6 6 x 2 4(2 x +p) 2 =24 6 x 2 16 x 2 16 px 4 p 2 24=0 10 x 2 16 px 4 p 2 24=0 5 x 2 +8px +2 p 2 +12=0 D=(8 p) (2 p 2 +12)=64 p 2 40 p 2 240=24 p 2 240=24(p 2 10)

5 D=0 p=± 10, soustava má právě jedno řešení a (p) je tečnou hyperboly. D>0 p R [ 10, 10], soustava má právě dvě řešení a ( p) je sečnou hyperboly. D<0 p ] 10, 10[, soustava nemá řešení a (p) je vnější přímkou hyperboly. 2) (H): x ² =1 a zároveň (q):y=x +p. Použijeme substituční metodu a dostaneme 6 6 x 2 4(x +p) 2 =24 6 x 2 4 x 2 8 px 4 p 24=0 2 x 2 8px 4p 24=0 D=( 8 p) ( 4 p 24)=64 p 2 +32p =96 p =96(p 2 +1) Pro každé p R je D>0 a přímka (q) je sečnou hyperboly. 3) (H): x ² 6 =1 a zároveň (r ): y= 6 2 x +p. Použijeme substituční metodu a dostaneme 6 x 4( ) x+p =24 6 x 4( x2 + 6 px+p 24=0 2) 6 x 2 6 x p x 4 p 2 24=0 6p x= p 2 6 x= p2 6 p 6 Pro p=0 je přímka jednou z asymptot hyperboly. Pro p 0 je přímka asymptotickou sečnou a má právě jeden průsečík s hyperbolou. Řešení v programu Geogebra viz soubory Úloha_1.ggb, Úloha_2.ggb a Úloha_3.ggb.