Logaritmické rovnice a nerovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Logaritmické rovnice a nerovnice"

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová

2 Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne Lenka Balounová

3 Na tomto místě bych ráda poděkovala všem, kteří mi s prací pomohli, zvláště pak mému vedoucímu bakalářské práce panu RNDr. Jiřímu Dulovi za jeho velmi cenné rady a připomínky.

4 Obsah Obsah Úvod Věty o aritmech 3 Logaritmické rovnice. s neznámou v aritmovaném výrazu. s neznámou v základu aritmu 7.3 s neznámou v exponentu 9. s parametrem 3 Logaritmické nerovnice 3. s neznámou v aritmovaném výrazu 3. s neznámou v základu aritmu s neznámou v exponentu 0 3. s parametrem 3 3. s absolutní hodnotou 6 Procvičení 9. Logaritmické rovnice 9. Logaritmické nerovnice 3 Literatura 33

5 Úvod Tato sbírka Logaritmických rovnic a nerovnic je určena studentům posledních ročníků středních škol připravujícím se na maturitní a následné přijímací zkoušky na vysoké školy z matematiky. Sbírka obsahuje spíše složitější úlohy, které prohlubují učivo probrané v hodinách matematiky a hodí se především pro studenty matematických tříd. Publikace je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola je věnována stručnému opakování poznatků o počítání s aritmy, přičemž předpokládáme znalost základních vět a připomínáme pouze věty složitější, často využívané při řešení úloh dále uvedených. Další kapitola je věnována řešeným aritmickým rovnicím. Tento oddíl je členěn do pěti částí, rozdělených dle výskytu neznámé a rozšířený o aritmické rovnice s parametrem. Na konci každé podkapitoly jsou příklady k procvičení uvedeného typu příkladů s výsledky v hranatých závorkách bezprostředně za zadáním. Stejně tak je členěna další kapitola jen s tím rozdílem, že v hlavní roli zde vystupují aritmické nerovnice. Čtvrtá, poslední část, je věnována celkovému opakování, kde jsou namíchány všechny typy, aritmických rovnic v jedné a aritmických nerovnic ve druhé podkapitole, mezi sebou. Výsledek příkladu je opět uveden ihned pod jeho zadáním. Příklady v této sbírce jsou vybrány většinou z hvězdičkových (tj.složitých) úloh. Sbírka studenty s látkou neseznamuje, navazuje na již probranou problematiku aritmů a měla by sloužit k zopakování a rozšíření učiva.

6 Kapitola Věty o aritmech Pozn.: Věty o aritmech, uváděny v této kapitole, jsou bohatě využívány při řešení mnoha příkladů z této sbírky. Samozřejmě už dále v textu nejsou uváděny, ale je na ně poukazováno pomocí čísla, pod kterým je daná věta uvedena. Podmínka: Výraz a x je definován pro a 0 a a x 0.. Pro každé x, y R + a pro každé a R + - {} platí a x = a y x = y.. Pro každé y R, pro každé x R + a pro každé a R + - {} platí a a y = y x a a = x. 3. Pro každé x, y R + a a R + - {} platí a (x y) = a x + a y.. Pro každé x, y R + a a R + - {} platí a y x = a x a y.. Pro každé x R +, a R + - {} a n R platí a x n = n a x. 6. Pro každé c R + a pro každé a, b R + - {} platí b c = ac. a b 3

7 Kapitola Logaritmické rovnice Jak již bylo řečeno v úvodu, rovnice jsou rozděleny do několika skupin podle toho, kde se nachází neznámá. Pro většinu typů budou navíc vyřešeny rovnice dvě, jedna se stejnými základy a druhá se základy různými.. s neznámou v aritmovaném výrazu.. Řešte v R rovnici: (3 x ) (3 3 x ) = 0, + 8, Řešení: Užitím věty převedeme reálné číslo 0, na dekadický aritmus a pomocí pravidel pro počítání s aritmy převedeme mocniny a dostaneme x 3 3 x 3 = 0 + 8,. Dále pravou stranu upravíme a dostaneme x 3 3 x 3 = 8, 8 = 9 = 3 = 3. Díky tomuto rozepsání můžeme celou rovnici vydělit číslem 3 x 3 x =. Provedeme substituci, kde nahradíme kvadratickou rovnici x = y, musí být y 0 a dostaneme y 3y = 0, 3 ± y, = y =, y = -, y nevyhovuje zadané podmínce. Vrátíme se do substituce, kam dosadíme výsledky kvadratické rovnice a dostaneme, že x = 0. Proto K = {0 }.

8 .. Řešte v R rovnici: x 3 + x - x ( + 3x) = x 3x + + x Řešení: Dle věty 6) upravíme aritmy na stejný základ, v tomto případě je vhodný volit základ např., při prozkoumání stávajících základů zjistíme, že všechny základy jsou mocninou čísla. Dostaneme x 3 + x 0 - x ( + 3x) = x + 3x + x Jmenovatele složených zlomků můžeme vypočítat a na levé straně vytknout x x 3 + x ( 0 - ( + 3x) ) = x + ( ) 3x + x 0 + 6, po úpravě dostaneme x 3 + x ( 0 + ( + 3x)) = x 3x x , 0 x 3x x 6 ( + + ) = x 3x + + x Logaritmy převedeme na stejnou stranu a vytkneme (x 3x x 6 ) = x. () Protože na obou stranách máme výraz (x předpokladu, že (x ) 0. Dostaneme ) můžeme rovnici zkrátit za 3x x =. Číslo převedeme na aritmus při základu a dále počítáme dle věty ) 3x x =, 3x + x + 6 =, 0 3x + x + 6 = 0,

9 3x + x = 0. Kvadratickou rovnici vyřešíme a dostaneme x = x = - 3 Musíme zkontrolovat, jestli výsledek splňuje udané podmínky v. Kapitole tj. např. ( + 3 (- )) > 0, ( + 3 ) > 0 a takto ověříme všechny podmínky. 3 Vidíme, že kořen x nevyhovuje. Řešením je tedy pouze x. Dále rovnice () má však také kořeny x 3 =, x = -, kdy (x ) = 0. Dosazením do původní rovnice zjistíme, že také x 3 = je kořenem. Proto K = {, }. Příklady k procvičení Řešte v R rovnici: a) 3x + 7x 3 = + 0 K = { } b) (x + 3) (x 3) = K = { 7 } c) ( 3 x) 3 x 3 + = 0 K = {3, 9} d) ( 9 - x) = 9 - x K = { 3, 3} 6

10 . s neznámou v základu aritmu.. Řešte v R rovnici: (x + 3) + 3x + 7 x + 3 (3x + 7) = Řešení: S pomocí věty 3) si převedeme aritmy na stejný vhodně zvolený základ, např. 3x+7 (x + 3) + 3x+ 7 (3x + 7) 3x + 7 (x + 3 ) 3x+ 7 = vidíme, že v čitateli zlomku vychází číslo (x + 3) + 3x + 7 (x 3 ) 3 x+ 7 + = protože základy i argumenty jsou u obou aritmů stejné, provedeme substituci a= (x + 3) a dostaneme 3x + 7 a + a = po roznásobení: a + = a. Tedy a =. Vrátíme se k substituci: 3x + 7 (x + 3) = dle definice aritmu x + 3 = (3x + 7), x =, x =. Překontrolujeme zda výsledek odpovídá podmínkám, x = souhlasí. Proto K = {}... Řešte v R rovnici: 6 x = 8x Řešení: Dle věty ) výraz na pravé straně rovnice upravíme a získáme tak rovnici 6 x = 6 6 8x. 7

11 Porovnáme exponenty x = 6 8x. Dále rovnici převedeme na stejný základ x = 8x, 6 jmenovatele vypočítáme x =, 8x x = 8x, x = 8x, argumenty porovnáme a dostaneme x = 8x, x (x 3 8) = 0. Z toho x = 0 a x = Ověříme podmínky z Kapitoly a zjistíme, že x není řešením rovnice, protože x musí být různé od nuly. Tedy K = {}. Příklady k procvičení Řešte v R rovnice: a) x 3 + 3x x 3 = 0 K = {, 3 } 3 b) x K = {, 8} 8 = 6 6 c) (x - ) = x + (x + ) x - K = {} d) x 0 = K = {7}

12 .3 s neznámou v exponentu.3. Řešte v R rovnici: x 3 + x = 00 x + x Řešení: Rovnici rozepíšeme dle věty ) 0 x (3 + x) = 0 x ( + x) 0 na pravé straně dáme exponenty dohromady, abychom je mohli v dalším kroku porovnat, 0 x (3 + x) = 0 + x ( + x), x (3 + x) = + x ( + x), po roznásobení, úpravě a následné substituci, kdy nahradíme x =y, dostaneme kvadratickou rovnici, kterou řešíme 3 x + x = + x + x, x + x - = 0, y + y = 0. Kořeny kvadratické rovnice y = y = - dosadíme do substituce, odkud x = 0 x = 00 ověříme, jestli má aritmus smysl pro oba výsledky, vidíme že má, proto řešením této rovnice je K = {, 0} Řešte v R rovnici: x 3 x - x + 3 x = 0 Řešení: Zlomek převedeme na pravou stranu a vyjádříme ho pomocí x x 3 x - x + 3 = x (-) 9

13 porovnáme exponenty 3 x - x + 3 = - dle pravidel pro počítání s aritmy upravíme x 3 a výraz x nahradíme v substituci reálným číslem a 3 x - x + = 0 -a + 3a + = 0 kvadratickou rovnici řešíme a dostáváme a = - a =, návratem do substituce x = a získáme výsledek x = x = 6, obě řešení splňují podmínky K = {, 6}. Řešte v R rovnice: a) x Příklady k procvičení x + 7 = 0 x + K = {0, 0 - } b) x 3 + x 0 x 6 = 0 K = {0, } 0 c) x x + = 9x K = {9, 3 } d) x = 0 0, x K = { 0000 } 0

14 . s paramatrem Uvádíme dva typy rovnic s parametrem. První typ jsou rovnice, kde máme neznámou x vyjádřit pomocí parametru a určit jakých hodnot může parametr nabývat, druhým typem jsou nepravé rovnice s parametrem, kde pomocí znalostí o aritmech počítáme neznámou, která se v aritmu jinak nevyskytuje... Řešte v R rovnici s parametrem a R + : ( x) a = + ( + x) ( + a ) Řešení: Musí platit: a > 0, ( x) > 0, ( + x) > 0. Poslední dvě podmínky ověříme v závěru řešení. Pak lze danou rovnici psát ve tvaru Odtud plyne x a (+ x) =. + a x (+ x) =, a + a ( x) ( + a ) = a ( + x). Po roznásobení převedeme všechny členy s neznámou x na jednu stranu a dostaneme rovnost Dostaneme x + a a x = a + ax, x ( + a + a ) = - a + a. (- a) x = (+ a). Ověříme podmínky: a) x > 0 (- a) - > 0 / ( + a) > 0 (+ a) ( + a) - ( - a) > 0 +a + a + a a > 0 a > 0 / a > 0.platí, proto platí i podmínka a).

15 b) + x > 0 (- a) + > 0 (+ a) je splněna ( na levé straně je součet). Proto je řešením pro každé a R + (- a) K a = { (+ a) }... Určete číslo m, je-li m = 9-7 Řešení: Levou stranu převedeme na mocninu m = 9-7. Porovnáme exponenty a převedeme jedničku na pravé straně na aritmus 9 m = 7 7 7, základ aritmu levé strany změníme. Pak 7 7 m 9 = 7 7. Víme, že 7 9 =, tímto číslem násobíme obě strany rovnice 7 m = 7 7 m = 7 ( 7, 7 ). Porovnáme argumenty aritmů a dostáváme po úpravě m = 9.

16 Příklady k procvičení Řešte v R rovnice s parametrem a R + : a) a x (a + ) x + a = 0 K = {0 a, a 0 } x b) x a = a K = {a} 3 a x Upravte: c) m = ( 3 ) + ( 9 ) m = 0 d) m = m =

17 Kapitola 3 Logaritmické nerovnice Třetí kapitola pojednávající o aritmických nerovnicích je řešena podobně jako kapitola předchozí. Části jsou znovu děleny podle toho, kde se nachází neznámá x. Tento oddíl je navíc rozšířen o úlohy s parametrem a a o úlohy s různým umístěním absolutní hodnoty. Než začneme aritmické nerovnice řešit, musíme pomocí podmínky z Kapitoly nalézt intervaly, pro které má neznámá x smysl. Navíc je důležité si připomenout pravidlo: Pro a x > a y, kde 0 < a < platí x < y. 3. s neznámou v aritmovaném výrazu 3.. Řešte v R nerovnice: л (x + 7) л (6 x) < л x Řešení: Nejprve si stanovíme, pro jaká x má daná nerovnice smysl. Položme x + 7 > 0 6 x > 0 x > 0, z toho musí být x (0, 8). Nyní řešíme upravenou nerovnici л x x < л x, porovnáme argumenty, protože л > x x < x. Vynásobíme obě strany nerovnice výrazem (6 - x). Dostaneme x + 7 < 6 + x, x x + 7 < 0.

18 Kvadratickou nerovnici vyřešíme, kořeny jsou x = 3, x = 9, tj. výsledkem je interval (3, 9 ). Porovnáme výsledný interval s intervalem v podmínce. Na závěr K = (3, 9 ). 3.. Řešte v R nerovnici:, (x + x ) (x - 3x -0) > ( ) 3 Řešení: Stanovíme podmínky x 3x 0 > 0 x + x + > 0, řešíme kvadratické nerovnice. Dostáváme, že neznámá x má řešení na množině (, -) (, ). Nyní řešíme aritmickou nerovnici. Uvědomíme si, že, = 9, což je ( 3 ) -. Z toho (x + x ) ( ) - (x - 3x -0) > ( ) 3 3. Porovnáme mocnitele - (x 3x 0) > (x + ). Převedeme základ pravé strany nerovnice - (x (x + ) 3x 0) >. Jmenovatel zlomku na pravé straně je roven (-), dostaneme - (x 3x 0) > - (x + ). Porovnáme argumenty x 3x 0 > x +, x x > 0.

19 Vyřešíme kvadratickou nerovnici, dostaneme (-, -) (6, ). Tento interval porovnáme s počátečními podmínkami, tj. K = (-, -) (6, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) + 9 x 3 x > (x + 3) K = (0, ) 3 b) 0, (x + 7) 0, (x ) - K = (, 9, ) pozn. Základ je menší než, musíme obrátit znaménka nerovnosti. c) 0, (x ) 0, (x ) 0 K = (,, ) (x - x 8) d) ( ) 0, +, K =, 6

20 3. s neznámou v základu aritmu 3.. Řešte v R nerovnici: x (x 3 + ) x + x > Řešení: Stanovíme interval, na kterém mají aritmy smysl. Řešíme nerovnici x + > 0 x > 0, x tj. x (0, ) (, ). x (x 3 + ) x + x >. Nerovnici si přepíšeme do staženého tvaru, kdy první z aritmů si napíšeme jako mocnitel aritmovaného výrazu x + x 3 x (x + ) >. Podle věty ) upravíme výraz x x + (x 3 + ) >. 3 x (x + ) a dostaneme Pravou stranu přepíšeme na aritmus x + (x 3 + ) > x + (x + ), porovnáme argumenty (x 3 + ) > (x + ), x 3 - x x > 0, x ( x x ) > 0 /:x (x > 0). Kořeny této kvadratické rovnice jsou x = 0, x = -, x 3 =, tj. x (-, -) (, ). Tento interval porovnáme s intervalem z podmínky a dostaneme K = (, ). 3.. Řešte v R nerovnici: x + ( x - x - 3 ) < 0 Řešení: Nalezneme interval, pro který má nerovnice smysl. Tj. musí platit pro základ: 7

21 x - () x + > x x 3 0, tj. x (- 3, 3 ) ( 3, ) (, ), x - () 0 < x + < x - 3 tj. x (-, - 3 ), 0 x - 3 0, zlomek nám stačí uvažovat pouze různý od nuly, protože každé číslo (tedy kromě nuly) na druhou mocninu je kladné. Řešíme nerovnici x + ( x - x - 3 ) < x +, porovnáme argumenty pro () x - ( ) <, x - 3 x 0x + < x x + 9, 3x x 6 > 0. Kvadratickou nerovnici vyřešíme, dostaneme kořeny x = -, x = 3 8, tj. K = ( 3 8, ) (, ). Porovnáme argumenty pro () x - ( ) >, x - 3 x 0x + > x x + 9, 3x x 6 < 0. Vyřešíme, kořeny se oproti předchozí nerovnici neliší, dostaneme druhý výsledek Dohromady K = (-, - 3 ). K = (-, - 3 ) ( 3 8, ) (, ). 8

22 Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) x - (x 3) > x - ( 6x) K = ( 8 7, ) (, ) b) 3x + x > K = (, ) c) x (x + ) > K = (, ) x + 3 d) x ( ) > x - K = (, 3) ( x) x 9

23 3.3 s neznámou v exponentu 3.3. Rěšte v R nerovnici: 3 x - Řešení: Hledáme intervaly, na kterých je nerovnice řešitelná, tj. x - > 0 (x - ) > 0 Nerovnic vyřešíme, dostaneme x >, tedy po rozšíření x > 3 3 x <, tedy x <. 3 3 Nerovnici tedy řešíme na intervalu K =, -,. Nejprve nerovnici upravíme, a 3 x - 0. Porovnáme mocniny 3 x - 0. Pravou stranu zaritmujeme podle základu 3 3 x - 3, x -. Znovu pravou stranu zaritmujeme, tentokrát podle základu x -, při odaritmování musíme znovu otočit znaménko nerovnost 0

24 x -, x, x. Výsledek nerovnice tedy je K =, -, Řešte v R nerovnici: 3 ( x + ) + 3 >,. ( x + ) Řešení: Stanovíme podmínky x + > 0 x +. Tato podmínka platí vždy, tj. x R. Počítáme nerovnici, nejprve sjednotíme základy 3 ( x + ) + ( x 3 + ) >. Provedeme substituci y = 3 ( x + ) a dostaneme y + y >, y + y - > 0, y + - y y > 0. Vypočítáme kořeny ve jmenovateli a porovnáme znaménka s čitatelem a získáme interval y (0, ) (, ). Nyní se vrátíme do substituce 3 ( x + ) (0, ) (, ),

25 nerovnici tedy řešíme nadvakrát 0 < 3 ( x + ) <, < 3 ( x + ), 3 < 3 ( x + ) < 3 3, 3 3 < 3 ( x + ), < ( x + ) < 3, 9 < ( x + ), 0 < x < ( 3 - ), 8 < x. První případ vidíme, že platí pro x na intervalu (-, ( převedeme na mocniny dvou 3 - )), druhý případ 3 < x, 3 < x, x > 3, získáme interval ( 3, ). Výsledek je K = (-, ( 3 - )) ( 3, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) (3 x 3 x + ) < 0 K = (-, 0) (, ) 3 b) x + x x 30 K =, c) ( x + 3 -x ) x (x + 6) > K = (3, ) d) x x > K = (0, ) (, )

26 3. s parametrem 3.. Řešte v R nerovnici s parametrem : a x > 6 x (a ), kde a (0, ). Řešení: Nejprve stanovíme, na jakých intervalech má aritmická nerovnice smysl Řešíme nerovnici ) 0 < x < x > 0 tj. x (0, ), ) x > x > 0 tj. x (, ). a x > 6 x a. Logaritmy převedeme na stejné základy a x > 6 a a a x -. Výraz převedeme na jednu stranu do zlomku a x 6 a a x x Provedeme substituci y = a x a x a x + > 0, > 0. y + y - 6 y > 0. Vyřešíme kvadratickou nerovnici, výsledný interval pro čitatele porovnáme s jmenovatelem. Dostaneme y (-3, 0) (, ). Počítáme -3 < a x < 0, < a x, a a -3 < a x < a, a a < a x. Při odaritmování nesmíme zapomenout na podmínku, že a (0, ). a -3 > x >, x < a. Z toho a počátečních podmínek 3

27 K = (0, a ) (, a -3 ). 3.. Pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice x x a = 0 s neznámou x alespoň jeden reálný kořen. Řešení: Nejprve stanovme interval, na kterém má a smysl a (0, ). Kořeny kvadratické rovnice vypočteme vzorcem x, = - b ± což v našem případě je b a - ac, x, = ± 6 + a. Aby alespoň jeden kořen kvadratické rovnice byl reálný, musí být D 0, tím dostáváme nerovnici Vyřešíme 6 + a 0. a -6, a -, a 6. Rovnice x x a = 0 má alespoň jeden reálný kořen právě tehdy, když a, ). 6

28 Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice s parametrem: a) >, kde a > a x K = (, a) b) Určete hodnotu kladného parametru k tak, aby kx rovnice = s neznámou x měla právě (x + ) jeden reálný kořen. k = [pozn. D = 0]

29 3. s absolutní hodnotou Logaritmické rovnice s absolutní hodnotou počítáme, jak jsme zvyklí. Nejprve si určíme na jakém intervalu je výraz v absolutní hodnotě menší a na jakém větší než nula. Na těchto intervalech pak řešíme aritmickou nerovnici s příslušnými znaménky stejným způsobem jako v předchozích podkapitolách, tj. stanovíme si interval, na kterém je nerovnice řešitelná, a vyřešíme ji. Výsledné intervaly pak sjednotíme. 3.. Řešte v R nerovnice: x + 8 < 3. Řešení: Rozdělíme R na intervaly, tj. počítáme () x + 8 < 0 () x + 8 > 0, řešíme () x + < 0 () x + 0, dostaneme dva intervaly () x (6, ) () x (-, 6. Nyní řešíme zadanou aritmickou nerovnici se znaménky příslušnými danému intervalu () - x < 3 () x + < 3. Obě strany obou rovnic roznásobíme číslem () - x - < 6 () x + < 6, upravíme a pravou stranu rovnic zaritmujeme () - () - x < 0 () x <, x < -0 () x <. 6

30 Obě strany nerovnic odaritmujeme, protože základ aritmu je menší než jedna, musíme zaměnit znaménka nerovnosti () x (-) > (-0) () x >. ( 0 = 0) x < 0 Dostáváme intervaly K = (6, 0) K = (,6. Výsledek je K = (, 0). 3.. Řešte v R nerovnici: x x - > 0. Řešení: Nejprve si určíme intervaly, na kterých je výraz v absolutní hodnotě menší a větší než nula dostaneme intervaly () x < 0 () x 0, () x (-, ) () x (-, -, ). Na těchto intervalech řešíme nerovnice s příslušnými znaménky. Musíme si uvědomit, že neznámá x se vyskytuje i v základu. Proto musíme na základě této skutečnosti pozměnit intervaly, na kterých budeme nerovnice řešit a sice pro x musí platit 0 < x < nebo x >, dostaneme tedy intervaly () x (0, ) () x (, ). Nyní můžeme řešit nerovnice () x ( x + ) > 0 () x (x ) > 0. Číslo 0 na pravé straně nerovnic nahradíme výrazem x 7

31 () x ( x + ) > x () x (x - ) > x, obě nerovnice odaritmujeme. V nerovnici () musíme obrátit znaménko nerovnosti, protože x (0, ) () -x + < () x - >, () -x < 0 () x >, () x > (protože x ). Nerovnice () platí vždy, proto výsledné intervaly jsou Dohromady K = (0, ) K = (, ). K = (0, ) (, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) x + 3 > K = 0 0, ( 0, ) 0 x - b) < 0 x + K = (-, -) (0, ) (, ) c) x + - x K = 0 0, 0 [pozn. Řešíme již na třech intervalech, neznámá x musí dle podmínky z Kapitoly větší než nula] d) 3 K = x , 3, - 8

32 Kapitola Procvičení. Řešte v R aritmické rovnice ) (x 3 + 7) - (x + 6x + 9) = K = {, } ) - x x - 3, = x K = { } 8 3) 3 (x ) = ) x K = {} ( x) = K = { 3 } ( x ) + 6 x ) x (3 x + ) = x 6) 8 K = { x = ± } x - x = 0 x - 3 K = {, 6} 7) ( x ) K = {0 } 3 x = 8) x + x =, K = {, } 9

33 9) x x x = K = { } 0) x x - x - + (x + ) K = {,, } 8 (x + ) = 3 x ) x a = a x K = {a -, a } ) ( 9 - x) = 9 - x K = { 3, 3} 3) m = K = {} ) x x = 0 3 x K = {0 -, 0 3 } 30

34 . Řešte v R aritmické nerovnice ) x x > K = (0, ) (, ) ) x - ( - x) > x - (+ x) K = (-, 0) ( 3, ) 3) (x + 3) (x + 3) 6 7 K = (-3, ) (, ) ) (6 x + 36 x ) - K = (-, 0) 6, ) ) x x x > - K = (, ) (, ) 6) x + 6 (x x ) K = (-, -7) (-, -, ) x - 7) x (9-3 ) K = 3 0,9, ) 8) 3 - x > - x K = (-, ) (, ) 9) x x + 0,3 > 0 K = (, ) x 0) x - x + 6x < 7 K =(, ) (, ) 3

35 ) x 0,3 x - < 0 - x K = (-, 0) (, ) (, 3) (, ) ) x (x + ) > ( x) x + K = (, ) (8 - x) 3) (8 x) K =, 8) 3x - ) (x 3) (x + ) + (x 3) < - K = (3, 7) 3 3

36 Literatura [] V. N. Litviněnko, A.G. Mordkovič: Praktikum po rešeniju matematičeskich zadač, Prosveščenie, Moskva, 98 [] P. Benda, B. Daňková, J. Skála: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN, Praha, 968 [3] J. Petáková: Matematika - Příprava k maturitě a k přímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha, 006 [] I. Bušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prométheus, Praha, 999 [] O. Odvárko: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia Funkce, Prométheus, Praha, 006 [6] H. J. Bártech: Matematické vzorce, SNTL Nakladatelství technické literatury, Praha, 987 [7] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky Přírodovědecké fakulty, Brno, 00 [8] P. Boucník, J. Herman, P. Krupka, J. Šimša: Odmaturuj z matematiky 3- sbírka řešených příkladů, Didaktik, Brno, 00 [9] J. Kubát : Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k piíjímacím zkouškám na VŠ, Victoria Publishing, Praha,

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924 5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ

Více

UŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ

UŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol UŽITÍ

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Rovnice s absolutní hodnotou

Rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období vytvoření VM: prosinec

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací

Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: a Sčítací b Dosazovací c Substituce Metoda sčítací Cílem sčítací metody je sečíst 2 rovnice tak, aby se eliminovala odstranila jedna neznámá! Vždy se

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou @04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Opakovací test. Komlexní čísla A, B

Opakovací test. Komlexní čísla A, B VY_32_INOVACE_MAT_195 Opakovací test Komlexní čísla A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Předmět: matematika, příprava k maturitě,

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvšování kvalit výuk technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuk směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Zobrazení, funkce, vlastnosti funkcí

Zobrazení, funkce, vlastnosti funkcí Projekt ŠABLONY na GVM registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Zobrazení, funkce, vlastnosti funkcí

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více