Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

Transkript

1 Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1

2 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce

3 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Logaritmická funkce f se základem a je dána předpisem f : y = log a x, kde a > 0, a 1, D f = (0; + ). Je to inverzní funkce k exponenciální funkci o stejném základu a. Tedy y = log a x x = a y Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka. Tato křivka je bud rostoucí anebo klesající v celém definičním oboru.

4 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Ukázky grafů logaritmických funkcí f : y = log a x a > 1 f : y = a x 0 < a < 1 a= 1 a= 1 3 a= a= a=3 a=

5 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Ukázky grafů logaritmických funkcí a příslušných exponenciálních funkcí f : y = log x 10 5 f 1 : y = x f f 1 pro základ a > 1 jsou obě funkce rostoucí mají navzájem prohozený definiční obor s oborem hodnot funkce 5

6 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Ukázky grafů logaritmických funkcí a příslušných exponenciálních funkcí f : y = log 1 x f 1 : y = f f 1 x pro základ 0 < a < 1 jsou obě funkce klesající mají navzájem prohozený definiční obor s oborem hodnot funkce 5

7 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Přirozený logaritmus je to logaritmus, jehož základem je Eulerovo číslo e. =, má své vlastní označení, tj. místo f : y = log e x píšeme f : y = ln x. 1 f : y = ln x e 5 e 10

8 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce f : y = log x Dekadický logaritmus je to logaritmus, jehož základem je číslo 10 má své vlastní označení, tj. místo f : y = log 10 x píšeme f : y = log x

9 předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Příklady určení definičního oboru logaritmické funkce Určete definiční obory logaritmických funkcí g 1 až g. g 1 : y = log x g : y = log (x + 3) 1 g 3 : y = log 3 x 1 g : y = log(x 1)

10 předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Řešení příkladů na určení definičního oboru logaritmické funkce g 1 : y = log x argumentem logaritmu mohou být pouze kladná reálná čísla, tedy x > 0, D g1 = R +.

11 předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Řešení příkladů na určení definičního oboru logaritmické funkce g : y = log (x + 3) argumentem logaritmu mohou být pouze kladná reálná čísla, tj. x + 3 > 0, D g = ( 3; + ). Poznámka: graf funkce g získáme posunutím grafu funkce g 1 o hodnotu 3 doleva.

12 předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Řešení příkladů na určení definičního oboru logaritmické funkce g 3 : y = 1 log 3 x 1 Poznámka: Je třeba rozlišit log 3 x 1 s D = (0; + ) od log 3 (x 1) s D = (1; + ). Aby g 3 byla definována musí platit: g 3 : y = log 3 x 1 h : y = log 3 x 1 1 x > 0 log 3 x 1 0, tj. log 3 x 1 x 3 Tedy D g3 = R + {3}.

13 předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů exponenciální a logaritmické funkce přirozený a dekadický logaritmus určení definiční oboru u logaritmické funkce Řešení příkladů na určení definičního oboru logaritmické funkce g : y = log(x 1) 1 Aby g byla definována musí platit: 1 x 1 > 0, tj x > g : y = log(x 1) h : y = log(x 1) log(x 1) 0, tj. (x 1) 1 x Tedy D g = ; + ).

14 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Načrtněte grafy následujících logaritmických funkcí h 1 až h 6 v kartézské soustavě souřadnic. Určete definiční obor, obor funkčních hodnot a průsečíky příslušného grafu s osami o x a o y. h 1 : y = log (x + 1) h : y = log (x + 1) h 3 : y = log (x +1) h : y = log 1 (x 1) h 5 : y = log 1 h 6 : y = log 1 (x 1) + 1 (x 1) + 1

15 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 1 : y = log (x + 1) D h1 = ( 1; + ) H h1 = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 0. Průsečík s o x je [0; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y = 0. Průsečík s o y je [0; 0]

16 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 1 : y = log (x + 1) D h1 = ( 1; + ) H h1 = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 0. Průsečík s o x je [0; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y = 0. Průsečík s o y je [0; 0]

17 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h : y = log (x + 1) D h = ( 1; + ) H h = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y =. Průsečík s o y je [0; ]

18 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h : y = log (x + 1) D h = ( 1; + ) H h = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y =. Průsečík s o y je [0; ]

19 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 3 : y = log (x + 1) D h3 = ( 1; + ) H h3 = 0; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y =. Průsečík s o y je [0; ]

20 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 3 : y = log (x + 1) D h3 = ( 1; + ) H h3 = 0; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log (x + 1) číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. pro x = 0 je řešením rovnice y = log (0 + 1) číslo y =. Průsečík s o y je [0; ]

21 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h : y = log 1 (x 1) D h = (1; + ) H h = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) číslo x =. Průsečík s o x je [; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

22 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h : y = log 1 (x 1) D h = (1; + ) H h = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) číslo x =. Průsečík s o x je [; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

23 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 5 : y = log 1 (x 1) + 1 D h5 = (1; + ) H h5 = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) + 1 číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

24 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 5 : y = log 1 (x 1) + 1 D h5 = (1; + ) H h5 = ( ; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) + 1 číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

25 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 6 : y = log 1 (x 1) + 1 D h6 = (1; + ) H h6 = 0; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) + 1 číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

26 řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí Řešení příkladů k procvičení grafů logaritmických funkcí h 6 : y = log 1 (x 1) + 1 D h6 = (1; + ) H h6 = 0; + ) pro y = 0 je řešením rovnice 0 = log 1 (x 1) + 1 číslo x = 3. Průsečík s o x je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiční obor funkce. Průsečík s o y neexistuje

27 Příloha Seznam použité literatury Seznam použité literatury I PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách I: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 3 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN