CZ.1.07/1.1.30/01,0038

Transkript

1 Jitka oubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Z..7/../,8 Automatizace výrobních procesů ve strojírenství a řemeslech

2

3 Střední průmyslová škola strojnická a Střední odborná škola prof. Švejcara, Plzeň EEKTOTEHNKA Jitka oubalová

4 Anotace Tato učebnice obsahuje základy teoretické elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti studentů středních průmyslových škol se strojírenským zaměřením. Jsou zde vysvětleny fyzikální základy elektrotechniky, jejich souvislosti a jejich využití při řešení praktických úkolů. čebnice obsahuje vysvětlení elektrostatického pole, obvodů stejnosměrného proudu, magnetismu, obvodů střídavého proudu a trojfázové soustavy. Jednotlivé kapitoly jsou doplněny řešenými příklady typickými pro daný okruh. Příklady jsou řešeny i s podrobným výpočtem, aby použité výpočetní postupy ukázaly čtenáři, že vhodným krácením a prací s exponenty je možné výpočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb způsobených kalkulačkovými překlepy. čebnice je rozdělena do pěti částí, z nichž každá obsahuje uzavřený tématický celek. Jednotlivé části: - Fyzikální základ elektrických jevů a teorie elektrostatického pole - Stejnosměrný proud a řešení obvodů stejnosměrného proudu - Magnetické pole a elektromagnetická indukce - Střídavý proud a řešení obvodů střídavého proudu - Trojfázová soustava 4

5 Obsah Anotace... Úvod... 9 Fyzikální veličiny a jejich jednotky.... Mezinárodní soustava jednotek S.... Předpony jednotek... Fyzikální základ elektrických jevů.... Elektronová teorie.... Vodiče a izolanty.... Zdroje elektrické energie... Elektrostatické pole Zobrazování elektrostatického pole Homogenní elektrostatické pole oulombův zákon Nehomogenní elektrostatické pole Elektrická indukce Elektrické vlastnosti izolantů Polarizace dielektrika Elektrická pevnost dielektrika....7 Kondenzátor....8 Spojování kondenzátorů Paralelní spojování kondenzátorů Sériové spojování kondenzátorů Přechodový jev na kondenzátoru Energie elektrostatického pole Složená dielektrika..... Dielektrika vedle sebe..... Dielektrika za sebou.... Kondenzátory s nehomogenním elektrickým polem Dvě soustředné kulové plochy Osamocená koule Dvě soustředné válcové plochy Elektrostatické jevy v praxi Stejnosměrný proud Proudová hustota ntenzita proudového pole Elektrický odpor vodičů a Ohmův zákon Velikost elektrického odporu Závislost elektrického odporu na teplotě Práce a výkon stejnosměrného elektrického proudu Kirchhoffovy zákony První Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon

6 4.6 Spojování rezistorů Sériové zapojení rezistorů Paralelní zapojení rezistorů Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s jedním zdrojem Obvody se sérioparalelním zapojením rezistorů Transfigurace Zdroje stejnosměrného napětí a proudu eálný zdroj napětí Spojování zdrojů napětí Specifické způsoby využití rezistorů v praxi Dělič napětí Změny rozsahů měřících přístrojů pomocí rezistorů rčení velikosti odporu pomocí měření napětí a proudu rčení teploty pomocí měření odporu rezistoru Nelineární prvky v obvodech Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s více zdroji Řešení elektrických obvodů s více zdroji aplikací Kirchhoffových zákonů Řešení elektrických obvodů metodou smyčkových proudů Řešení elektrických obvodů metodou uzlových napětí Řešení elektrických obvodů metodou lineární superpozice Magnetické pole Zobrazování magnetického pole Magnetické pole vybuzené elektrickým proudem Magnetické pole vodiče Veličiny magnetického pole Magnetický tok Magnetická indukce Magnetomotorické napětí a magnetické napětí ntenzita magnetického pole Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením Hopkinsonův zákon Magnetické vlastnosti látek Magnetické vlastnosti feromagnetických materiálů Řešení magnetických polí Magnetické pole přímého vodiče Magnetické pole kruhového závitu Magnetické pole tenké cívky Magnetické pole válcové cívky Magnetické pole prstencové cívky Řešení magnetických obvodů Výpočet magnetických obvodů buzených elektrickým proudem Elektromagnetická indukce ndukční zákon Pohybové napětí Vlastní indukčnost Vzájemná indukčnost Spojování cívek Přechodový jev na indukčnosti Energie magnetického pole

7 5. Ztráty ve feromagnetických materiálech Silové působení magnetického pole Elektromagnety Střídavé proudy Časový průběh harmonických střídavých proudů Fázorové zobrazení střídavých harmonických veličin Efektivní a střední hodnota střídavých harmonických veličin Efektivní hodnota střídavého proudu Střední hodnota střídavého proudu Vznik střídavého harmonického napětí Typy zátěží v obvodech střídavého proudu Odporová zátěž nduktivní zátěž Kapacitní zátěž Vzájemná indukčnost v obvodech střídavého proudu Řešení obvodů střídavého harmonického proudu Sériový obvod Sériový obvod Sériový obvod Sériový obvod Paralelní obvod Paralelní obvod Paralelní obvod Paralelní obvod Sérioparalelní obvody Výkon v obvodech střídavého harmonického proudu ezonance Sériový rezonanční obvod Paralelní rezonanční obvod Kompenzace účiníku Trojfázová soustava Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí Výroba trojfázového proudu Přenos energie v trojfázové elektrizační síti Připojování spotřebičů k trojfázové síti Zapojení trojfázových spotřebičů ve trojfázové síti Zapojení trojfázového spotřebiče do hvězdy Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka Výkon trojfázového proudu Svorkovnice trojfázového spotřebiče, přepojování hvězda - trojúhelník Točivé magnetické pole Kompenzace účiníku... 8 Přehled nejdůležitějších veličin a vztahů... 4 Přehled obsahuje nejdůležitější veličiny uváděné v učebnici, jejich jednotky včetně jejich značek a základní vztahy mezi veličinami Elektrostatické pole Stejnosměrný proud

8 8. Magnetické pole Střídavé proudy Trojfázová soustava... Použitá literatura... 8

9 Úvod Současná teoretická elektrotechnika je postavena na čtyřech základních rovnicích obsahujících obecný matematický popis elektromagnetického pole, nazvaných podle jejich autora fyzika Jamese lerka Maxwella Maxwellovy rovnice. Maxwellovy rovnice jsou základní vztahy komplexně popisující elektromagnetické pole. Mohou být zapsány buď v integrálním, nebo v diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v konkrétním bodu této oblasti. Maxwellovy rovnice vycházejí ze všech do té doby známých poznatků elektrotechniky a všem těmto zákonům vyhovují. Matematická úroveň studenta střední školy neumožňuje využívat Maxwellovy rovnice; proto tato učebnice využívá základních vztahů mezi elektrickými veličinami, které byly odvozeny a ověřeny empiricky a matematicky různými fyziky a které jsou též odvoditelné z Maxwellových rovnic. Po prostudování této učebnice by měl mít čtenář přehled o základních jevech, procesech a jejich vzájemných souvislostech v elektrotechnice a měl by být schopný získané vědomosti aplikovat v praxi a využívat při studiu navazujících oborů ze silnoproudé i slaboproudé aplikované elektrotechniky. 9

10 Fyzikální veličiny a jejich jednotky Fyzikální veličina je vlastnost hmoty, děje nebo jevu, kterou je možné změřit. Jednotkou fyzikální veličiny je pevně stanovené množství této veličiny. Konkrétní hodnotu každé veličiny stanovíme počtem jednotek, jimiž ji měříme. Například: veličina = délka (označení l), jednotka = metr; veličina = čas (označení t), jednotka = sekunda. Mezi různými fyzikálními veličinami platí vztahy, které je možné vyjádřit matematickým zápisem. Například: veličina = rychlost (označení v); rychlost je dráha s za určitý čas t, matematický zápis vyjadřující tento vztah je v = s/t. Jednotkou rychlosti je m/s.. Mezinárodní soustava jednotek S Pro jednoznačné vyjádření velikosti fyzikálních veličin bylo dohodou stanoveno několik základních veličin, jejichž jednotky byly nezávisle na sobě zvoleny. Tyto jednotky se nazývají základní jednotky a tvoří mezinárodní soustavu jednotek S (Systéme nternational d'nités). Mezinárodní soustava jednotek S má tři kategorie jednotek: a) Základní jednotky soustavy S Jednotka zkratka jednotky veličina Metr m délka Kilogram k hmotnost Sekunda s čas Ampér A elektrický proud Kelvin K teplota Mol mol látkové množství Kandela cd svítivost b) Doplňkové jednotky doplňují základní jednotky soustavy S. radián rad jednotka rovinného úhlu steradián sr jednotka prostorového úhlu c) Odvozené jednotky soustavy S vznikají kombinací základních jednotek podle matematických vztahů, které popisují vzájemnou závislost mezi veličinami. Některé odvozené jednotky soustavy S se vyjadřují pomocí základních jednotek, jiné mají vlastní název.

11 Například: elektrický proud (označení ) je množství elektrického náboje (označení Q) proteklého vodičem za určitý čas, matematický zápis tohoto vztahu je =Q/t. Elektrický náboj je tedy definován jako Q= t, jednotka je A s (ampérsekunda) a má vlastní název oulomb []. Mimo tyto jednotky S existují ještě tzv. vedlejší jednotky, které mají odlišnou definici než jednotka pro tutéž veličinu v S. Mezi vedlejší a odvozenou (základní) jednotkou existuje vždy převodní vztah. Vedlejší jednotky se dělí na dovolené (úředně se smí používat) a nedovolené (úředně se nesmí používat). Dovolené: Čas: hodina [h], minuta [min]: h=6 s a min=6 s Hmotnost: tuna [t]: t = kg Objem: litr [l] : l=dm =, m Úhly: stupeň je rozdělen na 6 minut a minuta na 6 vteřin (/8 rad = stupeň) Nedovolené: Délka: palec [inch]: inch=,54 cm, stopa [ft]:,48 cm, yard [y]: y =94 mm Výkon: kůň [k]: k = 75,49875 W.. Předpony jednotek Předpony a jejich dohodnuté zkratky jsou: Předpony zvětšují jednotky: Předpony zmenšující jednotky: k kilo m mili - M mega 6 mikro -6 G giga 9 n nano -9 T terra p piko - Například: km = m = m; 5 F = 5-6 F =,5 F. Doplňkové předpony zvětšují Doplňkové předpony zmenšující d deka d deci - h hekto c centi -

12 Fyzikální základ elektrických jevů. Elektronová teorie Každá látka se skládá z atomů, což jsou částice, které není možné dále chemicky rozdělit. harakter látky určuje struktura atomu. Atomy se skládají z elementárních částic protonů, neutronů a elektronů. Částice nazývaná elektron je nositelem elementárního záporného elektrického náboje (elementární náboj již nelze dělit, je to nejmenší možný elektrický náboj), označuje se -e. Částice nazývaná proton je nositelem elementárního kladného elektrického náboje, označuje se +e. Částice nazývaná neutron nemá žádný elektrický náboj. Struktura atomu je tvořena jádrem atomu složeným z protonů a neutronů (je tedy kladné) a z elektronového obalu (je záporný). Velikost elektrického náboje se měří v coulombech (označení ), elementární elektrický náboje e =,6-9. Atomy konkrétních látek se liší počtem elementárních částic protonů, neutronů a elektronů, které daný atom obsahuje. Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u dané látky vždy stejný, atom v klidovém stavu je tedy z vnějšího pohledu elektricky neutrální. Působením vnějších vlivů je u některých materiálů možné z atomu oddělit elektron. Tím se poruší elektrická rovnováha atomu a vznikne tzv. iont s kladným elementárním nábojem (kationt) a volný elektron se záporným elementárním nábojem. Jakékoliv elektricky nabité tělěso může tedy být nositelem elektrického náboje; ten je však vždy celočíselným násobkem elementárního náboje Q = ke, kde Q je celkový elektrický náboj a k je celé číslo. Náboje se stejnou polaritou se navzájem odpuzují, náboje opačné polarity se navzájem přitahují. Elektricky nabité těleso se ve svém okolí projevuje silovým působením na jiná elektricky nabitá tělesa v okolí elektricky nabitého tělesa tedy existuje elektrické pole.. Vodiče a izolanty Jsou-li vzájemné vazby mezi nabitými částicemi v dané látce slabé, mohou se tyto částice i při slabém vlivu okolního prostředí v látce pohybovat a přenášet elektrický náboj. Tyto materiály nazýváme vodiče. Jedná se většinou o kovy (vykazují elektronovou vodivost, volným nositelem náboje jsou elektrony), případně elektrolyty nebo ionizované plyny (nositelem náboje jsou kladné nebo záporné ionty). Vodiče (kovy) mají krystalickou mřížku, která je složena z kladných iontů kovu. Valenční elektrony jsou ke kationtům vázány kovovou vazbou, která je ale velmi slabá. Valenční elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovým působením elektrického pole. Jsou-li částice v dané látce pevně chemicky vázány, přenos náboje nenastává. Tyto látky označujeme jako nevodiče (izolanty). zolanty mají valenční elektrony v obalu vázány velkým silovým působením (př. chemická vazba).. Zdroje elektrické energie Elektrický zdroj je zařízení, ve kterém vzniká elektrická energie přeměnou z jiného druhu energie. Elektrický zdroj rozdělí elektrický náboj tak, aby se na jednom místě udržoval přebytek záporného náboje (elektronů) a na druhém místě jeho nedostatek. Tato místa nazýváme póly

13 zdroje. Pól s přebytkem záporného náboje se označuje jako (minus), pól s nedostatkem záporného náboje jako + (plus). Póly jsou vyvedeny na svorky, což jsou místa, kde se ke zdroji připojuje spotřebič. Obr. - Stejnosměrný elektrický zdroj a jeho schematická značka Nahromaděný náboj vytváří mezi póly zdroje elektrické napětí. Pokud se póly zdroje propojí vodičem, přebytek záporných elektronů ze záporného pólu je přitahován ke kladnému pólu, na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně. Elektrický náboj prochází vodičem; tento jev se nazývá elektrický proud. Směr proudu je dohodou stanoven od + k -. Obr. - Elektrický proud ve vodiči připojeném ke zdroji Elektrický proud je tedy pohyb elektrického náboje ve vodiči a je definován jako množství elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času: Q ( A ;, s) t Jednotkou elektrického proudu je ampér (A), což je jedna ze základních jednotek v S soustavě. Tedy jednotka elektrického náboje coulomb má v S rozměr: Q t A s. oulomb je též označován jako ampérsekunda.

14 Elektrostatické pole Elektricky nabité těleso se ve svém okolí projevuje silovým působením na jiná elektricky nabitá tělesa v okolí elektricky nabitého tělesa tedy existuje elektrické pole. Silové působení elektrického náboje, který je v klidu, se nazývá elektrostatické pole. Elektrický náboj může být záporný, což je působeno přebytkem elektronů nad počtem kladných protonů, nebo kladný, tehdy je elektronů v materiálu nedostatek. Elektrostatické pole může existovat v jen v nevodivém prostředí, ve vodivém by vlivem elektrického pole nastal pohyb elektrického náboje až do doby, kdy by se náboje různé polarity vyrovnaly, síla by přestala působit a elektrické pole by přestalo existovat. Elektrický náboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů. Víme, že náboje se stejnou polaritou se navzájem odpuzují, náboje opačné polarity se navzájem přitahují. Obr. - Vzájemné silové působení elekrticky nabitých částic. Zobrazování elektrostatického pole Působení elektrostatického pole popisujeme pomocí tzv. siločar. Na volnou kladně nabitou částici umístěnou do elektrostatického pole působí síla elektrostatického pole a vyvolává její pohyb v poli. Siločáry jsou křivky, které by byly dráhou pohybu volné kladně nabité částice v daném poli. Siločáry směřují od pevného nositele kladného náboje (kladné elektrody) do pevného nositele záporného náboje (záporné elektrody) a jejich tvar je takový, že vektor síly působící na volnou kladnou částici je vždy tečný k dráze pohybu volné částice. Elektrostatické pole osamoceného kladného a záporného náboje jsou radiální viz obr. 4. Obr. 4 - adiální elektrostatické pole osamoceného kladného a záporného náboje Na obr. 5 je znázorněno elektrostatické pole dvou opačně nabitých elektrod. Kladná elektroda volnou kladně nabitou částici odpuzuje, záporná ji přitahuje. Elektrostatické pole působí na částici silou danou vektorovým součtem sil vyvolaných oběma elektrodami. 4

15 Obr. 5 - Elektrostatické pole dvou opačných nábojů Síla, která působí v elektrostatickém poli na pokusnou elektricky nabitou částici, je přímo úměrná velikosti náboje Q této částice. Silové schopnosti elektrostatického pole lze vyjádřit veličinou E intenzita elektrického pole. F E Q ( N ;, N ) ntenzita elektrického pole E je síla, která v daném místě působí na jednotkový kladný náboj; je tedy určena jako podíl elektrické síly, která by v daném místě působila na bodový náboj, a tohoto náboje. Z toho F E ( N ; N, ) Q Působí-li v různých bodech elektrostatického pole síla různé velikosti nebo směru, nazýváme toto pole nehomogenní. Působí-li ve všech bodech elektrostatického pole síla stejné velikosti i směru, nazýváme toto polem homogenním. Příklad : ntenzita elektrického pole v bodě X je 5 kv/m. rčete, jakou silou působí elektrostatické pole na částici nabitou nábojem. Řešení: 6 F E Q 5 5,5 (N) 5

16 . Homogenní elektrostatické pole Homogenní pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnými vodivými deskami, které nesou stejně velké náboje opačné polarity. ntenzita tohoto pole má v každém bodě stejný směr a velikost. Obr. 6 - Homogenní elektrostatické pole Je-li v prostoru pole volná částice nabitá elektrickým nábojem Q, působí na ni v elektrickém poli síla F E Q. Tato síla urychluje částici a vyvolá její pohyb po siločáře. Přemístí-li se částice s nábojem Q po siločáře z bodu do bodu ve vzdálenosti l, vykoná se práce A: Po dosazení F=E Q dostaneme A F l ( J ; N, m ) A F l E Q l Pokud budeme z bodu do bodu přemisťovat nabitou částici s jednotkovým nábojem, pak práci potřebnou k tomuto přemístění nazýváme elektrické napětí označení. A ( V ; J, ) Q Jednotkou elektrického napětí je volt (V). V je práce, která je potřebná k přemístění náboje o velikosti. ozměr (V) je (J - ). Elektrické napětí se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrického pole, na rozdíl od intenzity pole (což je vektor vázaný ke konkrétnímu jednomu místu v poli). Protože F E, lze po dosazení ze vztahů A F l E Q l Q A Q F l l E ( V m ) Q Q Q l a A vypočítat: Q ntenzitu elektrického pole je tedy možné vyjádřit také jako spád napětí : E ( V m ; V, m ) l Napětí je v poli rozloženo rovnoměrně. Místa, která mají proti některé elektrodě stejné napětí (tzv. potenciál) se nazývají ekvipotenciály. 6

17 Obr. 7 - Vektory intenzity elektrického pole a hladiny ekvipotenciál Příklad : Jaká je intenzita elektrického pole mezi dvěma kovovými deskami, jejichž vzájemná vzdálenost je mm, je-li mezi nimi napětí 4 V? Řešení: 4 4 E 8 8 ( V m ) l. oulombův zákon Dva elektrické náboje na sebe silově vzájemně působí. Měřením bylo zjištěno, že síla, kterou se náboje přitahují (kladný a záporný), případně odpuzují (kladný a kladný nebo záporný a záporný), je přímo úměrná součinu jejich velikosti a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Platí tedy: kde konstanta má hodnotu Obr. 8 - oulombův zákon Q Q F konst r konst 4 7

18 kde se nazývá permitivita daného prostředí. Pokud se náboje nacházejí ve vakuu, tato hodnota se označuje permitivita vakua. Její hodnota je = 8,854 - (V - m - ). V jakémkoliv jiném nevodivém prostředí platí r kde r je poměrná permitivita daného prostředí; r je vždy větší než, pro vzduch je přibližně rovna. Poměrná permitivita dielektrik se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Tedy síla, jíž na sebe navzájem působí dva elektrické náboje v obecném nevodivém prostředí je Q Q F oulombův zákon 4 r r Příklad : Jak velkou silou na sebe vzájemně působí dva elektrony ve vakuu, je-li jejich vzdálenost mm? Řešení: Q Q F 4 r 9 9,6,6, r 4 8,854 ( ) ( N).4 Nehomogenní elektrostatické pole Nehomogenní elektrostatické pole se vyskytuje např. v okolí osamoceného elektrického náboje. Silové účinky tohoto pole budou tím větší, čím je větší daný elektrický náboj a tím větší, čím bude zkoumaný bod elektrostatického pole blíž k náboji, který ho vyvolal. Ekvipotenciálami budou soustředné kulové plochy se středem v místě elektrického náboje. Vliv silového působení náboje se tedy rovnoměrně rozloží po kulové ploše dané ekvipotenciály. Obr. 9 - Ekvipotenciály v okolí nabité kulové částice a intenzita el. pole. Velikost intenzity v bodě A a B je tatáž E A = E B, směr je vždy do středu kulové plochy 8

19 Víme, že intenzita elektrického pole E F Q Q Q F 4 r r a platí oulombův zákon, Q Q a Q. ntenzita elektrostatického pole E v bodu A ve vzdálenosti r od středu koule tedy bude: Q E 4 r kde r je konstanta zohledňující vliv okolního nevodivého prostředí. Na jedné ekvipotenciále bude stejná velikost intenzity elektrostatického pole E, její směr však bude v každém bodu do středu koule. Vyskytuje-li se v prostoru více nábojů, výsledná intenzita pole bude dána vektorovým součtem intenzit polí vyvolaných dílčími náboji. Obr. - Výsledná intenzita elektrického pole.5 Elektrická indukce Při přiblížení tělesa, které je nabito záporným nábojem, k vodivému tělesu v neutrálním stavu se poruší jeho elektrická rovnováha viz obr. Elektrony v tělese se odpuzují a část tělesa přivrácená k tělesu je tudíž nabitá kladně. Po oddálení tělesa od tělesa se elektrická rovnováha tělesa obnoví. Obr. - Elektrická indukce 9

20 Pokud bychom těleso neoddálili od tělesa a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa do země, zůstane těleso nabito kladným elektrickým nábojem. Tento jev se nazývá elektrická indukce. Mezi dvěma vodivými deskami A a B o ploše S nabitými nábojem +Q a -Q je homogenní pole. Vložíme-li do prostoru pole dvě navzájem přiléhající vodivé destičky o ploše S podle obr. a) a uvnitř pole je oddálíme viz obr. b) a poté je z prostoru pole vyjmeme, na destičkách bude indukovaný elektrický náboj; jeho velikost bude Q, kde Q Q S S a) b) Obr. - Elektrická indukce indukovaný náboj Pro podíl náboje a plochy zavádíme veličinu D - elektrická indukce: Q D ( m ;, m ) S Příklad 4: Jaká je hodnota el. indukce ve vzdálenosti mm od středu malé vodivé kuličky nabité el. nábojem -? Řešení: D Q S Q 4 5,97 ( m 6 4 r ( ) ) Vztah mezi intenzitou elektrického pole E a elektrickou indukcí D Elektrická indukce je veličina závisející na velikosti elektrického náboje a na ploše; neovlivňuje ji druh nevodivého prostředí. Na rozdíl od elektrické indukce je velikost intenzity elektrického pole závislá na prostředí dielektriku. Jejich vzájemný vztah je přímo úměrný čím je větší intenzita elektrického pole, tím je větší elektrická indukce. Například pro kulový náboj platí: D Q S Q 4 r Q E 4 r a

21 Tedy D E kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickém poli), r. D r E.6 Elektrické vlastnosti izolantů.6. Polarizace dielektrika Mohou-li se volné elektricky nabité částice v materiálu pohybovat, nemůže uvnitř vodiče vzniknout samostatné elektrické pole. Působením vnějšího elektrického pole protéká vodičem elektrický proud. nevodičů izolantů jsou nabité částice ve struktuře materiálu pevně vázány a nemohou se vlivem elektrického pole pohybovat proud neprotéká. zolant umístěný v elektrickém poli se nazývá dielektrikum (např. slída, sklo, papír). Pokud je atom dielektrika umístěn mimo elektrické pole, jsou náboje jednotlivých elektricky nabitých částic uspořádány symetricky. Vlivem vnějšího elektrického pole dochází k posunu částic v atomech vznikají tzv. dipóly. 9 a) 9 b) Obr. - Atom vodíku a) v neutrálním stavu b) polarizovaný (dipól) Atomy nebo molekuly, ze kterých se izolant skládá, se vlivem vnějšího elektrického pole polarizují. Tím se v materiálu vytvoří vnitřní elektrické pole působící proti původnímu vnějšímu elektrickému poli, které polarizaci dielektrika způsobilo. Tím je celkové elektrické pole (dané součtem vnějšího pole a vnitřního pole polarizovaného dielektrika) menší než původní pole. To je také důvodem, proč r je vždy větší než ( r = pouze pro vakuum). 9 a) 9 b) Obr. 4 - Polarizace dielektrika a) a vnitřní elektrické pole dielektrika b)

22 .6. Elektrická pevnost dielektrika Jak již bylo uvedeno, nabité částice izolantu jsou ve struktuře materiálu pevně vázány a nemohou se vlivem elektrického pole pohybovat proud neprotéká. Ale překročí-li intenzita elektrického pole určitou hodnotu, síla elektrické pole působící na nabité částice v materiálu je větší než síla vazby v atomu a pak dojde k porušení vazby a dochází k tzv. průrazu izolantu - proud začne izolantem protékat. Hodnota takové intenzity se nazývá elektrická pevnost dielektrika. Elektrická pevnost izolantů se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Tabulka elektrických vlastností některých izolantů Materiál r E p (kv/mm) vzduch,6 až minerální olej, až,4 až parafín,9 až, až kondenzátorový papír až 5 až 58 kabelový papír,5 až 4 7 až polyelylén, až, 45 až 6 slída 6 až 7 4 až 8 sklo,5 až 4 až 5 porcelán 5,5 až 6,5 až 45.7 Kondenzátor Kondenzátor je pasivní elektronická součástka sloužící k nahromadění a uchování elektrického náboje; je tvořená dvěma vodivými deskami (elektrodami), mezi nimiž je dielektrikum. Pokud na desky připojíme elektrické napětí, na deskách se nahromadí elektrické náboje opačných polarit. Obr. 5 - Kondenzátor Mezi dvěma vodivými deskami vzájemně oddělenými dielektrikem vznikne po připojení napětí homogenní elektrostatické pole. Na deskách kondenzátoru se nahromadí elektrický náboj + Q a -Q. Tento náboj je tím větší, čím je větší připojené napětí. Platí tedy: Q konst

23 Konstanta platí pro daný kondenzátor, nazývá se kapacita kondenzátoru a označuje se. Q Q Q Jednotkou kapacity je farad (F). a tedy rozměr jednotky farad je ( F ). V Jednotka farad (F) je velká, běžně se kapacita kondenzátorů měří v F, nf a pf. Schematická značka kondenzátoru je Obr. 6 Značka kondenzátoru Velikost kapacity je závislá na ploše desek S, jejich vzdálenosti l a materiálu dielektrika. Víme, že platí Dosazením získáme vztah Q D D r E S Q D S E l r E S E l E l Kapacita kondenzátoru je přímo úměrná velikosti desek na nepřímo úměrná jejich vzdálenosti. Kapacita se zvýší i použitím vhodného dielektrika o velké relativní permitivitě r. r S l Příklad 5: Jaká je velikost náboje na deskovém kondenzátoru ve svitkovém uspořádání, je-li rozměr elektrod cm x cm a jako dielektrikum je použit kondenzátorový papír o tloušťce, mm a r = 4. Napětí připojené ke kondenzátoru je 4 V. Řešení: Q S r kde l S l,47 r -9 S 4 (m ) 8,854 - ( F),47( nf) 4 4, 8, ( F).8 Spojování kondenzátorů Kondenzátory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo sériově (za sebou).

24 .8. Paralelní spojování kondenzátorů Schéma paralelního spojení tří kondenzátorů je na obr. 7 a). hceme-li určit výslednou kapacitu daného zapojení, nahradíme spojení všech kondenzátorů jediným kondenzátorem viz obr 7 b), jehož působení bude stejné jako působení všech tří propojených kondenzátorů, to znamená, že připojíme-li k náhradnímu kondenzátoru stejné napětí, musí se na něm objevit stejný náboj jako na původním zapojení. a) b) Obr. 7 - Paralelní spojení kondenzátorů Z obr. a) je patrné, že napětí na všech kondenzátorech je totožné a je rovno. elkový náboj na paralelním spojení kondenzátorů podle obr. a) je Náboje na jednotlivých kondenzátorech jsou Po dosazení Q Q Q Q Q Q Q Q Pro náhradní kondenzátor - viz b) platí: Q ( ) Protože se při náhradě musí při stejném napětí na náhradním kondenzátoru nahromadit stejný náboj jako v původním obvodu, musí být ( ) Při paralelním zapojení kondenzátorů se výsledná kapacita zapojení rovná součtu kapacit jednotlivých kondenzátorů. Tato náhrada platí pro libovolný počet sériově spojených kondenzátorů..8. Sériové spojování kondenzátorů Schéma sériového spojení tří kondenzátorů je na obr. 8 a). hceme-li určit výslednou kapacitu daného zapojení, nahradíme spojení všech kondenzátorů jediným kondenzátorem viz obr. 8 b), jehož působení bude stejné jako působení všech tří propojených kondenzátorů, to znamená, že připojíme-li k náhradnímu kondenzátoru stejné napětí, musí se na něm objevit stejný náboj jako na původním zapojení. 4

25 a) b) Obr. 8 - Sériové spojení kondenzátorů Z obr. 8 a) je patrné, že se náboje mezi vnitrními deskami jednotlivých kondenzátorů, které jsou spojeny vodičem, vyrovnávají. Náboje na jednotlivých kondenzátorech jsou tedy všechny stejné a i výsledný náboj je stejný jako náboje na jednotlivých kondenzátorech: Q Q Q Q elkové napětí je dáno součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech: Napětí na jednotlivých kondenzátorech jsou: Dosazením získáme výraz Q Q Pro náhradní kondenzátor viz 8 b) platí: Q Q Q Q Q Q ( ) Protože se při náhradě musí při stejném napětí na náhradním kondenzátoru nahromadit stejný náboj jako v původním obvodu, musí být Při sériovém zapojení kondenzátorů se převrácená hodnota výsledné kapacity zapojení rovná součtu převrácených hodnot kapacit jednotlivých kondenzátorů. Tato náhrada platí pro libovolný počet paralelně spojených kondenzátorů. Příklad 6: Máme 4 kondenzátory o stejných kapacitách = F. Tyto kondenzátory jsou spojeny do série. rčete výslednou kapacitu tohoto zapojení. 5

26 Řešení: 4 výsl, 5 F výsl 4 4 Obecně platí, že spojíme-li n kondenzátorů o stejných kapacitách, výsledná kapacita takového spojení je /n. Příklad 7: Jaká je celková kapacita a celkový el. náboj v obvodu podle obr. 9, je-li napětí 4 V a kapacity jednotlivých kondenzátorů jsou = F, =,5 F, =, F a 4 = 5 = nf? Řešení: Obr. 9 - Sérioparalelní zapojení kondenzátorů Kondenzátory 4 a 5 jsou zapojeny do série; nahradíme je kondenzátorem 4,5 : 4,5 4 5 z toho 4,5 (nf) =,F 4 5 Tím jsme získali náhradní zapojení dle obr. 4 5 Obr. - Náhradní zapojení kondenzátorů Nyní jsou všechny kondenzátory zapojeny paralelně, je tedy možno spočítat výslednou kapacitu : 4,5,5,, Výsledný elektrický náboj 6 6 Q,8 4 67,,8 F 6

27 Příklad 8: Pro správnou funkci elektrického obvodu je potřebná kapacita V =,5 F. K dispozici máme libovolný počet kondenzátorů o kapacitě = F. Navrhněte zapojení kondenzátorů tak, aby byl splněn daný požadavek. Řešení: Víme, že kapacity paralelně spojených kondenzátorů se sčítají a dále víme, že spojíme-li n kondenzátorů o stejných kapacitách, výsledná kapacita takového spojení je /n;,5 lze psát jako + +,5 a z toho plyne, že potřebné zapojení je sérioparalelní podle obr. : Obr. - Sérioparalelní zapojení kondenzátorů Příklad 9: Kondenzátor s kapacitou = 4 F je nabitý na napětí 4 V. K němu paralelně připojíme kondenzátor o kapacitě = F nabitý na napětí V. Jaké je výsledné napětí na propojených kondenzátorech? Řešení: Náboj na prvním kondenzátoru Q je Q Náboj na druhém kondenzátoru Q je Q () () Při paralelním spojení se náboje sčítají, tedy celkový náboj Q Q Q 96 4 Výsledná kapacita tohoto zapojení je 4 6 (F) Napětí na spojených kondenzátorech je 6 Q (V) 6 6 () 7

28 .9 Přechodový jev na kondenzátoru V následující kapitole platí, že veličiny, které jsou označeny malými písmeny, jsou okamžité hodnoty veličiny, tj. veličiny v konkrétním okamžiku daného fyzikálního děje. Na rozdíl od okamžitých hodnot se ustálené hodnoty veličiny, které jsou s časem konstantní, značí velkými písmeny. V ustáleném stavu je kondenzátor o kapacitě, který je připojen k elektrickému napětí, nabit nábojem Q = a napětí na něm se rovná připojenému napětí. Kondenzátor potřebuje určitou dobu t průchodu proudu, aby se na jeho deskách nahromadil el. náboj: t Q i dt. V okamžiku připojení kondenzátoru ke zdroji stejnosměrného napětí nastává tzv. přechodový děj na kondenzátoru: Obr. - Přechodový jev na kondenzátoru V obvodu platí v každém okamžiku. Kirchhoffův zákon: = u + u Při připojení zdroje napětí k obvodu s kondenzátorem v čase t = (tj. při sepnutí spínače S) není na kondenzátoru žádný náboj, tedy ani žádné napětí. t = : u = u = u c = = u i Proud v obvodu čase t je omezen jen odporem. Proud je v okamžiku připojení napětí maximální; jak s postupem času roste napětí na kondenzátoru, proud klesá a rychlost nabíjení se zpomaluje. Proud nabíjí kondenzátor až do okamžiku, kdy c je rovno napětí zdroje. Tehdy proud přestává protékat a nastává ustálený stav. V ustáleném stavu t (to je po dostatečné době po sepnutí spínače S - přechodové děje v elektrotechnice jsou velmi rychlé, čas, v němž obvod dosáhne ustáleného stavu je maximálně v řádu sekund), se veličiny v obvodu již nemění, jsou konstantní. Platí: t : i = u = i = a u = Průběh proudu a napětí je na obr.. 8

29 Obr. - Průběh proudu a napětí při přechodovém ději na kondenzátoru Nárůst napětí u se postupně zpomaluje, proud klesá, klesá i napětí na odporu u. Průběh je dán částí exponenciální křivky, tečna v jejím počátku vytne na ose času hodnotu tzv. časové konstanty. t uc e kde. Energie elektrostatického pole Nabijeme-li na kondenzátor nábojem Q, bude na něm napětí Q Pokud na tento kondenzátor chceme přivést další malý náboj dq, musíme vynaložit práci da. A Platí A = Q, tedy da bude Q Q da dq dq elková energie, která je potřebná k nabití kondenzátoru na náboj Q, je dána součtem všech dílčích prací da W da 9 Q Q dq tento výpočet se provádí pomocí integrálního počtu a výsledek je W Q Protože Q =, je energie elektrostatického pole kondenzátoru W nebo také W Q Nabitý kondenzátor je zdrojem elektrické energie. Spojíme-li elektrody nabitého kondenzátoru přes rezistor s odporem, začne rezistorem protékat elektrický proud, který se na rezistoru mění v tepelnou energii; tedy energie elektrostatického pole se mění v tepelnou energii a kondenzátor se vybíjí viz obr. 4.

30 Obr. 4 - Vybíjení kondenzátoru Z předchozích kapitol víme, že Q = DS, D = E a = El. Po dosazení těchto vztahů platí W Q D S E l E S E l E S l Z tohoto výrazu je patrné, že energie nabitého kondenzátoru je úměrná ploše desek S a jejich vzdálenosti l, tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzátoru. Energie nahromaděná v jednotce objemu je w W V E S l S l E D E Protože D a E jsou veličiny, které se vztahují ke konkrétnímu místu elektrostatického pole, platí tento vztah pro libovolný tvar pole. Příklad : Vzduchový kondenzátor má plochu desek cm, jejich vzdálenost je mm a napětí na kondenzátoru je V. Po odpojení kondenzátoru od zdroje posuneme desky do vzájemné vzdálenosti,5 mm. rčete, jak se změní napětí mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Kapacita kondenzátoru ve výchozím stavu 4 S - - r 8,854 8,854 7,78 l Náboj na kondenzátoru - - Q 7,78,496 Kapacita kondenzátoru po posunutí desek 4 S - - r 8,854 8,854,,85 l,5 Napětí po posunutí desek Q,496, V - F - F

31 Příklad : Jak velkou energii získáme při úplném vybití kondenzátoru o kapacitě 5 mf, je-li nabit na napětí V? Řešení: W ,5 59 5,5J. Složená dielektrika Složená dielektrika je možné uspořádat buď vedle sebe, nebo za sebou... Dielektrika vedle sebe Mějme dvě deskové elektrody oddělené dvěma dielektriky s relativními permitivitami r a r podle obr. 5 Obr. 5 - Dielektrika vedle sebe V obou dielektrikách je stejná intenzita elektrického pole E E E l Elektrická indukce bude v každém dielektriku jiná, a to Náboje Q a Q budou D r E a D r E Q D S a Q D S elkový náboj na deskách bude Q Q Q Dosadíme za Q a Q: S Q r r l S l

32 Z výsledku je patrné, že toto uspořádání dielektrik se chová jako dva kondenzátory o kapacitách l S r a l S r spojené paralelně. Pozor: elektrická pevnost uspořádání dielektrik vedle sebe má elektrickou pevnost danou dielektrikem s menší elektrickou pevností... Dielektrika za sebou Mějme dvě deskové elektrody oddělené dvěma dielektriky s relativními permitivitami r a r podle obr. 6 tzv. vrstvené dielektrikum. Obr. 6 - Dielektrika za sebou Náboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejné, to znamená, že elektrická indukce v obou materiálech je stejná S Q D D D ntenzita elektrického pole je pro první dielektrikum r D E a pro druhé r D E. elkové napětí mezi deskami = + kde l D l E r a l D l E r Pak po dosazení ) ( r r r r r r S l S l Q l S Q l S Q l D l D Protože platí l S r, je S l r a S l r

33 Tedy ) ( Q a protože Q, pak převrácená hodnota kapacity vrstveného dielektrika je rovna součtu převrácených hodnot kapacit dílčích dielektrik: Vrstvené dielektrikum se chová jako dva paralelně spojené kondenzátory. ntenzita elektrického pole v obou dielektrikách je r D E a r D E Poměr intenzit elektrického pole je r r r r D D E E ntenzity elektrického pole jsou tedy v opačném poměru než relativní permitivity jednotlivých dílčích dielektrik. ze tedy psát E E r r a dosazením získáme ) ( r r r r r r r l l E l l E l E l E l E l E Z toho l l E r r r Pozor: elektrická pevnost každého jednotlivého dielektrika musí být větší než vypočtená intenzita tohoto dielektrika E p > E. Příklad : Mezi dvěma kovovými deskami je napětí 6 V. Desky jsou navzájem izolovány papírem tloušťky, mm a slídou tloušťky, mm. Vypočítejte elektrické namáhání jednotlivých dielektrik a zkontrolujte, zda jejich elektrická pevnost vyhovuje pro dané napětí. Materiál r E p (kv/mm) kondenzátorový papír 4 4 slída 7 6

34 Řešení: ntenzita elektrického pole ve slídě je E , 4,,4, r r l r l r 7 E E 9,769 65,85 V/m 4 r 9,769 V/mm Obě hodnoty jsou menší než je E p propříslušný materiál, elektrická pevnost vyhovuje.. Kondenzátory s nehomogenním elektrickým polem Pro výpočet nehomogenních polí je nutná znalost vyšší matematiky, která není obsahem učiva středních škol; berte tedy některé dále uvedené vztahy jako platná fakta... Dvě soustředné kulové plochy Mezi dvěma soustřednými kulovými plochami je radiální elektrostatické pole. Obr. 7 - Elektrostatické pole dvou soustředných kulových ploch Elektrická indukce ve vzdálenosti r od středu kulových ploch je Q Q D S 4 r ntenzita elektrického pole na tomto poloměru je E D Q 4 r Na celém povrchu myšlené koule o poloměru r se středem ve středu kulových ploch je stejná velikost vektoru D i E; směr vektorů je vždy radiální. Napětí mezi dvěma body se vzájemnou vzdáleností dr podle obr. 7 je 4

35 5 dr E d kde E je intenzita pole v daném místě. elkové napětí mezi kulovými plochami je dáno součtem všech dílčích napětí d mezi kulovými plochami (vypočítá se pomocí integrálního počtu): 4 r r r r Q r Obr. 8 - Průběh napětí v dielektriku v prostoru mezi kulovými plochami Kapacita dvou soustředných kulových ploch je 4 r r r r Q r.. Osamocená koule Pro osamocenou kouli uvažujeme vnější poloměr r. Pak kapacita osamoceno koule je 4 lim 4 r r r r r r r r Elektrická indukce na povrchu koule je 4 r Q S Q D ntenzita elektrického pole na povrchu koule je 4 r Q D E r r kde r Q r 4 Po dosazení za Q dostaneme r r r r Q D E r r r r Elektrické namáhání je tím větší, čím je menší poloměr zaoblení elektrody; u elektrod o velmi malém poloměru nebo u zašpičatělých elektrod je velké riziko překročení dovolené elektrické pevnosti izolantu.

36 .. Dvě soustředné válcové plochy Mezi dvěma soustřednými válcovými plochami je radiální elektrostatické pole. Obr. 9 - Elektrostatické pole dvou soustředných válcových ploch Elektrická indukce ve vzdálenosti r od osy válcových ploch je Q Q D S r l ntenzita elektrického pole na tomto poloměru je D Q E r l Na celém povrchu myšleného válce o poloměru r s osou v ose válcových ploch je stejná velikost vektoru D i E; směr vektorů je vždy radiální. Napětí mezi dvěma body se vzájemnou vzdáleností dr podle obr. 9 je d E dr kde E je intenzita pole v daném místě. elkové napětí mezi válcovými plochami je dáno součtem všech dílčích napětí d mezi válcovými plochami (vypočítá se pomocí integrálního počtu): Q r ln r l r Kapacita dvou soustředných válcových ploch je r Q r l r ln r r l r, log r Příklad : Jaká je kapacita jednoho metru koaxiálního kabelu? Vodič má průměr mm, izolací je kabelový papír a plášť kabelu má průměr 5 mm. ( r = ) 6

37 Řešení: - r l 8,854 66,894 r,5, log5, log, log r,5 =,8 pf -,86 - F. Elektrostatické jevy v praxi V praxi se vyskytují objekty, které mají znaky kondenzátorů, to znamená dvě elektrody oddělené dielektrikem. Jednou elektrodou může být například kovová část technologického zařízení, která není uzemněná, druhou elektrodou je země. Tyto provozní kondenzátory se nabíjejí; náboj na nich vzniká zpravidla třením. Pokud náboj dosáhne určité hodnoty, může dojít k proražení dielektrika a přeskočí elektrický výboj, kterým se elektrický náboj vybije. Taková situace nastane například v okamžiku, kdy se osoba oblečená v oděvu z umělých vláken po delší době pohybu přiblíží rukou ke kovovému uzemněnému předmětu, například vodovodní baterii. Při přiblížení se zkrátí vzdálenost natolik, že intenzita elektrického pole překročí elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu izolantu přeskočí jiskra. Tím se nahromaděný náboj vybije. Tato situace samozřejmě není nebezpečná. Ale jsou případy, kdy nahromaděný elektrický náboj může způsobovat vážné problémy. Pokud přeskočí jiskra v prostorách s těkavými nebo výbušnými látkami, může dojít k výbuchu a důsledky mohou být fatální. Mimo to způsobuje elektrostatické pole přitahování, případně odpuzování lehkých objektů (například papír, vlákna, ) a tím komplikuje výrobní procesy. Dalšími nežádoucími důsledky působení nahromaděného elektrického náboje jsou například rušení radiosignálů, rušení elektronických měření nebo chemické rozrušování některých materiálů. Omezování nežádoucích účinků statických nábojů Nežádoucí elektrický náboj je nutno co nejrychleji odvést do země. To se realizuje uzemněním všech vodivých částí technologického zařízení. Vodivé části se pospojují a uzemní stačí i velmi tenký uzemňovací vodič. Pro omezení velikosti vzniklého náboje se také využívá polovodivých podlah, je-li to možné, omezují se rychlosti pohybu dopravníkových pásů, které jsou zdrojem tření a vzniku náboje, zvyšuje se vodivost okolního vzduchu zvětšením vlhkosti nebo ultrafialovým zářením. Využití elektrostatického náboje Účinků elektrostatického pole se využívá například k čištění plynů od drobných mechanických nečistot, kdy pevné nabité částečky jsou přitahovány k opačně nabité elektrodě, na níž se hromadí. Na tomto principu pracují například odpopílkovací filtry. Na podobném principu se provádí úspornější nanášení laků na předměty v lakovnách: stříkaný objekt je nabit opačným nábojem než nádoba s nanášenou barvou. Barva je pak přitahována k objektu a rozptyl při stříkání se omezí. 7

38 4 Stejnosměrný proud Připojíme-li vodič ke zdroji elektrické energie, na jehož svorkách je elektrické napětí, začne vodičem protékat elektrický proud. Směr proudu je dohodou stanoven od + k -. Elektrický zdroj zajišťuje napětí na svých svorkách tak, že udržuje trvalý přebytek záporného náboje elektronů na svém záporném pólu a na kladném pólu jeho nedostatek (například akumulátor, dynamo, solární článek ). Obr. Vodič připojený ke zdroji o napětí Elektrický proud je pohyb elektrického náboje ve vodiči a je definován jako množství elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času: Q ( A ;, s) t Jednotkou elektrického proudu je ampér (A). Jednotkou elektrického napětí je volt (V). S jeho definicí jsme se seznámili již při výkladu elektrostatického pole. ze také říct, že napětí o velikosti volt je takové napětí, které vykoná ve vodiči práci joule, projde-li vodičem množství elektrického náboje coulomb. Pokud vodičem protéká elektrický proud, vodič se zahřívá a v jeho okolí vzniká elektromagnetické pole, které se projevuje magnetickými účinky v okolí vodiče. 4. Proudová hustota Vlivem průchodu elektrického proudu se vodič zahřívá. Teplo, které se ve vodiči vyvine, se nazývá enc-jouleovo teplo. Jeho část se odvede povrchem vodiče do okolního prostoru. Aby se vodič příliš nezahříval, je nutné zajistit dostatečný odvod tepla do okolního prostředí. Odvod tepla bude tím větší, čím větší bude povrch vodiče, tedy oteplení bude tím nižší, čím bude průřez vodiče větší. V praxi se udává pro různé typy vodičů a jejich izolací tzv. proudová hustota, což je povolený proud na mm průřezu vodiče pro daný typ vodiče. Takové zatížení nedovolí vodiči ohřát se na větší teplotu než jaká je povolena pro daný typ izolace a pro bezpečnost provozu. Proudová hustota se značí J a je dána podílem proudu a plochy průřezu vodiče J ( A m ; A, m ) S V technické praxi se pro běžné typy vodičů používá jednotka A/mm. 8

39 4. ntenzita proudového pole ntenzita proudového pole E je poměr napětí na vodiči k délce l, na které je napětí měřeno. E ( V m ; A, m) l 4. Elektrický odpor vodičů a Ohmův zákon Elektrický proud v pevném vodiči je usměrněný pohyb volných elektronů. Proud bude tím větší, čím bude větší urychlování elektronů, tedy síla působící na elektrony, a tato síla je přímo úměrná připojenému napětí. Elektrony ve svém pohybu narážejí na iontovou mřížku materiálu vodiče a na různé nečistoty obsažené v materiálu. Tím se jejich pohyb brzdí a tudíž musí být znovu urychlovány. Říkáme, že vodič klade elektrickému proudu odpor. Odpor vodiče je závislý na materiálu, ze kterého je vodič vyroben, a na rozměrech vodiče. Připojíme-li k vodiči elektrické napětí, jehož velikost měníme, a měříme velikost proudu, zjistíme, že proud je přímo úměrný velikosti připojeného napětí. Obr. - Přímá úměrnost proudu a napětí Pozn.: Proud se měří ampérmetrem. Ampérmetr se zapojuje vždy do série se spotřebičem, jehož proud měříme pak proud spotřebičem je stejný jako proud ampérmetru. Napětí měříme voltmetrem, který se zapojuje paralelně se spotřebičem, na kterém měříme napětí pak napětí na spotřebiči je stejné jako napětí na voltmetru. Vztah pro přímou úměrnost lze zapsat jako kde konstantu označujeme G vodivost, tedy konst G jednotkou vodivosti G je siemens označení S - (S;A,V - ) Častěji než vodivost G se používá veličina elektrická odpor. Je to převrácená hodnota G 9

40 Pak lze psát jednotkou odporu je ohm označení - (;V,A - ) G Čím je větší napětí, tím je větší proud a čím je větší odpor, tím je menší proud. Tento vztah se nazývá Ohmův zákon. ezistory ezistory jsou pasivní elektrotechnické součástky, jejichž základní vlastností je elektrický odpor. Obr. Schematická značka rezistoru Příklad 4: rčete odpor žárovky, odebírá-li ze sítě o napětí V proud,5 A. Řešení: 46 (),5 4.. Velikost elektrického odporu Jak již bylo uvedeno, odpor vodiče je závislý na rozměrech vodiče a na materiálu, ze kterého je vodič vyroben. Vzhledem k tomu, že elektrony ve svém pohybu narážejí na iontovou mřížku materiálu vodiče a na různé příměsi a nečistoty, je patrné, že čím bude délka vodiče větší, tím bude větší i počet kolizí elektronů s překážkami a tím bude větší odpor vodiče. Naopak čím bude průřez vodiče větší, tím větší bude počet volných elektronů na průřezu vodiče a tím bude odpor menší. Počet volných elektronů a struktura mřížky jsou specifické pro různé materiály. Odpor vodiče tedy lze vyjádřit vztahem kde l je délka vodiče S je průřez vodiče l 6 ( ; m, m ) nebo ( ; m, mm ) S je konstanta platná pro konkrétní materiál vodiče a nazývá se rezistivita materiálu. Je to odpor vodiče z tohoto materiálu o délce m a průřezu mm při teplotě o. 4

41 ezistivita se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. ezistivita některých materiálů Materiál mm m - Měď,78 Hliník,85 Stříbro,6 Ocel, Konstantan,5 hromnikl, ekas, Součástky, jejichž charakteristickou veličinou je elektrický odpor, nazýváme rezistory. Materiály měď, hliník a stříbro jsou výborné vodiče, u a Al jsou nejpoužívanější materiály pro výrobu vodičů. Materiály konstantan, chromnikl a cekas jsou odporové materiály používané pro výrobu rezistorů. Příklad 5: rčete odpor měděného vodiče o kruhovém průřezu s průměrem mm a délce 5 m. Řešení: l () kde S r (,5),785 mm S l 5,78,4 () S,785 Příklad 6: rčete délku měděného vodiče o kruhovém průřezu s průměrem mm, je-li jeho odpor. Řešení: l S () z toho plyne l S S r (),4mm S,4 l 59 (m), Závislost elektrického odporu na teplotě S rostoucí teplotou se zvětšuje kmitání pevné iontové mřížky kovového materiálu. Volné elektrony realizující elektrický proud jsou tím vystaveny větší pravděpodobnosti srážky s mřížkou, čímž se jejich tok zpomalí odpor vodiče vzroste. 4

42 Odpor vodiče tedy se vzrůstající teplotou roste, a to lineárně v širokém pásmu teplot. Při zahřátí vodiče o o se odpor vodiče o velikosti změní právě o hodnotu ; konstanta se nazývá teplotní součinitel odporu a je dána druhem materiálu vodiče a uvádí se v tabulkách - (/ o K). Pokud se teplota vodiče zvýší z teploty na teplotu o = -, bude přírůstek odporu = - mít velikost Odpor vodiče po zahřátí tedy bude Tedy ( ) Teplotní součinitel odporu se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Teplotní součinitel odporu pro některé materiály Materiál Teplotní součinitel odporu (K - ) Měď,4 Hliník,4 Stříbro,4 Ocel,6 Konstantan -6 hromnikl,5-4 ekas 7-5 Příklad 7: Měděný vodič o teplotě o je připojen na napětí 4 V a protéká jím proud A. rčete odpor tohoto vodiče při provozní teplotě 6 o. Řešení: Při teplotě o má vodič odpor 4, () Přírůstek teploty je 6 4( o ) Odpor při teplotě 6 o ( ), (.44),46( ) 4

43 Příklad 8: Teplota venkovního měděného vedení se v průběhu roku mění v rozsahu od -5 o do +4 o. Kolikrát bude odpor při maximální teplotě větší než odpor při minimální teplotě? Řešení: Teplotní rozdíl: 4 ( 5) 65( o ) Odpor při -5 o : Odpor při -5 o : ( ) (.465), 7 Odpor bude právě,7 x větší. 4.4 Práce a výkon stejnosměrného elektrického proudu Protože napětí je vlastně práce při průchodu elektrického náboje coulomb průřezem vodiče, je tedy práce vykonaná průchodem elektrického náboje Q A Q (J; V, ) Q Protože proud je, lze dosadit t A Q t (J; V, A, s) Elektrická práce, kterou vykoná stejnosměrný proud při svém průtoku mezi dvěma místy elektrického obvodu, je tedy dána součinem napětí mezi těmito místy s protékajícím proudem a s časem, po který tento proud protéká. Protože platí Ohmův zákon A t t t a zároveň A t nebo Tato práce se ve vodiči mění v tepelnou energii teplo - W = A., dostaneme dosazením vztah A t t V praxi bylo zjištěno, že prochází-li vodičem elektrický proud, vodič se ohřívá. Elektrická práce potřebná k průchodu stejnosměrného elektrického proudu vodičem se všechna mění v teplo (tento fakt experimentálně ověřili fyzikové enc a Joule). Teplo vzniklé průtokem elektrického proudu vodičem se nazývá Joule-encovo teplo. Práce vykonaná za jednotku času je tzv. výkon P: A t P (W; V, A) t t Jednotkou výkonu je watt označení W (W=Js - ) Dosazením Ohmova zákona získáme výrazy pro výkon t 4

44 P nebo P Příklad 9: Topný rezistor o odporu = 5 je připojen na napájecí napětí V po dobu minut. Jaký je výkon a jaká je energie odebraná ze sítě během zapnutí topného tělesa? Řešení: Odebíraný proud 4,6( A) 5 Výkon P 4,6 58( W) Doba provozu t = minut, to je 6 = s Odebraná energie W A Pt (J),69(MJ) Jednotka energie (práce) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malá. Proto se běžně používá pro měření elektrické práce jednotka watt hodina (Wh = 6 J) a jednotka kilowatt hodina (kwh = 6 J =,6 6 J). Pokud je nějaký elektrický spotřebič připojen ke zdroji elektrického napětí, není veškerá energie W odebraná ze sítě přeměněna na práci odvedenou spotřebičem W, existují vždy ztráty, například zahřívání přívodních vodičů část energie se mění v teplo. ozdíl mezi vykonanou prací a přivedenou energií nazýváme ztráty W Z. Platí W W Poměr mezi energií využitou a přivedenou označujeme jako účinnost W W Účinnost se většinou vyjadřuje v procentech: W Z a je to vždy číslo Protože příkon je W (%; J, J) W W P t a výkon je W P, je možné vyjádřit účinnost t W P t P (%; W, W) W P t P 44

45 Příklad : ychlovarná konvice vykazuje odpor = a je připojena na napájecí napětí V po dobu 5 minut. Její účinnost je 8%. Vypočtěte velikost tepelné energie předané vodě v konvici. Řešení: Odebíraný proud,8( A) Příkon P,8 4,( ) W 8 Výkon P P 4, ( W ) 4.5 Kirchhoffovy zákony První Kirchhoffův zákon (proudový) a druhý Kirchhoffův zákon (napěťový) jsou základem nutným pro řešení elektrických obvodů. Nerozvětvený elektrický obvod Nerozvětvený elektrický obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr. - a lze jej snadno vyřešit pomocí Ohmova zákona. Obr. - Nerozvětvený elektrický obvod Je-li dáno napětí zdroje a velikost odporu zátěže, pak proud ozvětvený elektrický obvod ozvětvený elektrický obvod obsahuje několik větví a uzlů. ozvětvený elektrický obvod je na obr. 4. Obr. 4 - ozvětvený elektrický obvod 45

46 Místo, kde se vodič rozvětvuje (eventuálně spojuje), se nazývá uzel. A, B uzly. Nerozvětvená dráha mezi dvěma sousedními uzly se nazývá větev obvodu. Smyčka je uzavřená dráha v obvodu. Pro řešení rozvětvených obvodů využíváme kromě Ohmova zákona dva Kirchhoffovy zákony První Kirchhoffův zákon První Kirchhoffův zákon (proudový) je zákon o zachování elektrického náboje. Elektrický proud je dán množstvím elektrického náboje, který prochází vodičem. Náboj se ve vodiči nemůže hromadit ani ztrácet. Z toho plyne, že pokud se vodič rozvětví, rozdělí se i elektrický proud, a pokud se vodič opět spojí, sečte se i proud. Z toho vyplývá, že veškerý proud, který do uzlu přiteče, musí z něho zase odtéct. 4 5 Obr. 5 - První Kirchhoffův zákon Pokud pokládám proudy do uzlu přitékající za kladné a proudy z uzlu odtékající za záporné, lze psát n k k elkový součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule. Příklad : Obr. 6 - Proudy v uzlu rčete velikost proudu na obr. 6, jsou-li proudy = A, = 5 A a 4 = 6 A. Řešení: n k A k 46

47 4.5. Druhý Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon (napěťový) je zákon o zachování energie. Napětí na jednotlivých prvcích obvodu je práce na přenesení náboje z bodu A do bodu B. Pokud je obvod tvořen uzavřenou smyčkou, vracíme se do téhož bodu (A) a výsledná práce je nulová. To znamená, že součet všech napětí v uzavřené smyčce je roven nule. n k k Znaménka jednotlivých napětí: + orientace napětí souhlasí se směrem orientace smyčky - orientace napětí je proti směru orientace smyčky Tedy + =. Obr. 7 - Druhý Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon je možné formulovat i takto: Součet všech napětí na jednotlivých odporech v uzavřené smyčce je roven součtu napětí všech zdrojů v této smyčce. Příklad : rčete proud v obvodu a napětí na odporech = a =, jsou-li napětí zdrojů a = 6 V a b = 4 V. Obvod je zapojen podle obr. 8. Řešení: Obr. 8 - Napětí ve smyčce Podle druhého Kirchhoffova zákona b 47 a b a 4 6 5,4 A,4,8 V,4, V

48 4.6 Spojování rezistorů ezistory je možno spojovat do série nebo paralelně Sériové zapojení rezistorů Je znázorněno na obr. 9 Obr. 9 - Sériové zapojení rezistorů Na základě. Kirchhoffova zákona v tomto obvodu platí Dosazením podle Ohmova zákona získáme ( ) Výraz je velikost odporu, kterým je možno nahradit oba odpory a spojené do série, aniž by se změnily proudové a napěťové poměry v obvodu. Výsledná hodnota odporu je rovna součtu hodnot jednotlivých odporů zapojených do série. V Obr. 4 - Adekvátní náhrada sériově zapojených rezistorů Obdobným způsobem lze odvodit vztah pro n sériově zapojených rezistorů. Dostaneme výraz V i n Výsledná hodnota odporu n sériově zapojených rezistorů je rovna součtu hodnot odporů jednotlivých rezistorů zapojených do série. 48

49 4.6. Paralelní zapojení rezistorů Je znázorněno na obr. 4 Obr. 4 - Paralelní zapojení rezistorů Podle. Kirchhoffova zákona v tomto obvodu platí Podle. Kirchhoffova zákona je na obou rezistorech stejné napětí. Dosazením podle Ohmova zákona získáme kde ( ) Z toho plyne, že pro výsledný odpor paralelního spojení dvou rezistorů V platí V Převrácená hodnota výsledného odporu dvou paralelně zapojených rezistorů je rovna součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů. V Obr. 4 - Adekvátní náhrada sériově zapojených rezistorů Obdobným způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojených rezistorů. Dostaneme výraz V Převrácená hodnota výsledného odporu n paralelně zapojených rezistorů je rovna součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů. i n 49

50 Příklad : rčete proud v obvodu a napětí na odporech = a = 4, je-li napětí zdroje = V. Obvod je zapojen podle obr. 4. Řešení: Obr. 4 - Elektrický obvod sériový Výsledný odpor v obvodu je V 4 5 Proud odebíraný ze zdroje je Napětí na jednotlivých odporech je V,4A 5,4,4 V 4,4 9, 6 V Příklad 4: rčete proudy v obvodu a napětí na odporech = = 4 a = je-li napětí zdroje = V. Obvod je zapojen podle obr. 44. Řešení: Obr Elektrický obvod paralelní Výsledný odpor v obvodu určíme ze součtu převrácených hodnot jednotlivých odporů V V 4 57,

51 Proud odebíraný ze zdroje je V,85A 57,4 Napětí na všech jednotlivých odporech je stejné = V Proudy v jednotlivých větvích jsou, A, 55A, A 4 Pro ověření správnosti výpočtu můžeme použít. Kirchhoffův zákon. Musí platit:, 85A,,55,, 85A což potvrzuje správnost výpočtu. 4.7 Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s jedním zdrojem 4.7. Obvody se sérioparalelním zapojením rezistorů Obvody, ve kterých je více rezistorů, z nichž některé jsou zapojeny do série a jiné paralelně, řešíme postupným zjednodušováním tak dlouho, až dospějeme k jedinému výslednému odporu to je celkový odpor daného seskupení rezistorů. Aplikací Ohmova zákona určíme celkový proud odebíraný ze zdroje. Postupným převáděním zjednodušeného obvodu na původní topografii zapojení rezistorů určíme pomocí Ohmova zákona a Kirchhoffových zákonů proudy v jednotlivých větvích a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Postup řešení nejlépe vysvětlíme na typických řešených příkladech. Příklad 5: rčete proud odebíraný ze zdroje, napětí na jednotlivých rezistorech, a a proudy ve větvích pro obvod zapojený podle obrázku 45: Obr Schéma zapojení rezistorů pro příklad 5 5

52 Řešení: ezistory a jsou zapojeny paralelně, takže nahradíme-li je jediným rezistorem,, platí pro jeho odpor, tedy odpor Získáme zjednodušené zapojení, Obr Zjednodušené schéma Zde jsou rezistory a, zapojeny sériově, takže jejich výsledný odpor,, = +, Náhradní obvod pak je Obr Výsledný odpor kombinace rezistorů Proud odebíraný ze zdroje je,, Obvod opět převedeme na původní zapojení a postupně počítáme napětí na jednotlivých rezistorech a proudy v jednotlivých větvích obvodu: Obr Původní zapojení rezistorů pro výpočet jednotlivých napětí a proudů Aplikací Ohmova zákona dostaneme 5

53 Aplikací. Kirchhoffova zákona dostaneme AB Aplikací Ohmova zákona dostaneme AB a AB Pozn.: Podobné příklady mají více správných možností řešení pro jednotlivá napětí a proudy. Tento příklad vyřešíme (se stejnými správnými výsledky) též tímto postupem: Zjednodušení obvodu je stejné, i výpočet celkového proudu a napětí. Další postup může být následující: Aplikací Ohmova zákona dostaneme AB, Aplikací. Kirchhoffova zákona dostaneme Výsledky budou pro oba postupy totožné. AB Příklad 6: Vypočtěte proudy a napětí na všech prvcích obvodu zapojeného podle obrázku 49. Řešení: Obr Schema zapojení pro příklad 6 ezistory 4 a 5 jsou zapojeny paralelně, takže nahradíme-li je jediným rezistorem 45, platí pro jeho odpor tedy odpor

54 Získáme zjednodušené zapojení Obr. 5 - Schema zapojení pro příklad 6 první zjednodušení Zde rezistory a 45 jsou zapojeny do série lze tedy určit 45 = + 45 Dostaneme další zjednodušené schéma Obr. 5 - Schema zapojení pro příklad 6 druhé zjednodušení ezistory a 45 spojené paralelně nahradíme rezistorem 45, jehož velikost je dána vztahem Získáme náhradní obvod 45 Obr. 5 - Schema zapojení pro příklad 6 třetí zjednodušení 54

55 Odpory a 45 jsou spojeny sériově, výsledný celkový náhradní odpor pro tento obvod je 45 = + 45 což je celkový odpor původního zadaného obvodu - c. elkový proud odebíraný ze zdroje Napětí na rezistoru Napětí A mezi uzly A a je A Vypočteme proudy a A A 45 Pomocí proudu vypočteme napětí na rezistoru Nyní vypočteme napětí mezi uzly B a B B Z napětí B vypočteme proudy 4 a 5 v rezistorech 4 a B 4 B Obvod je kompletně vyřešen. 5 Pozn.: Pro kontrolu správnosti je možné ověřit proudy v uzlech a napětí ve smyčkách pomocí Kirchhofových zákonů. 55

56 Obr. 5 - Schema zapojení pro příklad 6 ověření správnosti výpočtů Pro uzel A musí platit podle. Kirchhofova zákona Pro uzel B musí platit Pro uzel Pro smyčku x platí podle. Kirchhofova zákona Pro smyčku y platí 4 Splnění těchto podmínek potvrdilo správnost výsledků Transfigurace V některých obvodech se může vyskytnout taková topografie zapojení, v níž rezistory nejsou zapojeny ani do série, ani paralelně - viz obr. 54, a tak tyto obvody nelze zjednodušit postupným nahrazováním paralelních a sériových úseků, jak bylo uvedeno v předchozích příkladech. Obr Můstkové zapojení 56

57 Jedná se většinou o zapojení rezistorů do trojúhelníka viz obr. 55 a): a) b) Obr Zapojení rezistorů do trojúhelníka a do hvězdy Zjednodušení obvodu se v takovém případu provádí přeměnou transfigurací trojúhelníka rezistorů na hvězdu rezistorů viz obr. 55 b) tak, aby výsledné působení hvězdy bylo stejné jako působení trojúhelníka. Zjednodušení obvodu se pak provádí podle obr. 56: Obr Transfigurace trojúhelníka na hvězdu Po této úpravě se již jedná o sérioparalelní obvod a lze postupovat jako v předchozích příkladech. Vztahy pro přepočet rezistorů trojúhelníka na rezistory hvězdy vychází z požadavku, že mezi stejnými svorkami zapojení musí být v obou případech stejný odpor; pak je náhrada správná. Pro celkový odpor mezi svorkami a v trojúhelníku platí elk ( Pro celkový odpor mezi svorkami a v zapojení do hvězdy platí elk Při splnění požadavku stejného odporu mezi týmiž svorkami po náhradě platí ( ) ) Stejně získáme vztahy i pro svorky a i pro svorky a 57

58 ( ) ( ) Z těchto tří rovnic lze vypočítat odpory rezistorů, a v zapojení do hvězdy pro adekvátní náhradu trojúhelníka hvězdou Obdobně lze vypočítat odpory rezistorů, a v zapojení do trojúhelníka pro adekvátní náhradu hvězdy trojúhelníkem Příklad 7: rčete výsledný odpor, celkový proud odebíraný ze zdroje a napětí na rezistoru 5, je-li napájecí napětí = 6 V. Velikosti odporů jednotlivých rezistorů jsou: =, =, =5, 4 =4, 5 =6 zapojení rezistorů je na obr. 57 Řešení: Obr Zapojení rezistorů pro příklad 7 Trojúhelník tvořený odpory =, =, =5 nahradíme hvězdou a dále zjednodušujeme podle obr

59 Obr Postupné zjednodušování obvodu Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory a, b, c a b c ezistory c a 4 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je c 4 c ezistory b a 5 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je b 5 b ezistory c4 a b5 jsou spojeny paralelně, jejich výsledný odpor je c4 b5 c4b5 c 4 b 5 ezistory a a c4b5 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je celk a c 4b5 6 6 elkový proud odebíraný ze zdroje je celk 6 6,67 A 6 59

60 Napětí na náhradním rezistoru c4b5 je 6 c4b5 c 4b5 5V Proud náhradním rezistorem b5 je c4b5 b5 b 5 Napětí rezistoru 5 je b5,667 A 4 V 4.8 Zdroje stejnosměrného napětí a proudu Zdroj stejnosměrného napětí a proudu je zařízení, které je schopné trvale dodávat do elektrického obvodu elektrickou energii. Napětí na výstupních svorkách zdroje se nazývá svorkové napětí. obvodů, které jsme až doposud řešili, jsme předpokládali, že zdroj napětí je ideální, tj. jeho svorkové napětí je konstantní, nezávislé na zatížení zdroje a jeho hodnota je eálný zdroj napětí Skutečné zdroje se vyznačují tím, že s rostoucím odebíraným proudem svorkové napětí poněkud klesá. Každý reálný zdroj totiž má určitý takzvaný vnitřní odpor, na kterém se vlivem odebíraného proudu vytvoří úbytek napětí; svorkové napětí je tedy o tento úbytek nižší. eálný zdroj se chová jako by byl sériově složený z ideálního zdroje s konstantním napětím a z rezistoru i (který charakterizuje vnitřní odpor zdroje). napětí naprázdno = napětí nezatíženého zdroje (ke zdroji není připojen žádný spotřebič, odebíraný proud je tedy nulový). Zapojíme-li zdroj do obvodu, je zatěžován proudem a na jeho svorkách naměříme napětí <, což je způsobeno úbytkem napětí na vnitřním odporu zdroje. Se zvětšujícím proudem se zmenšuje svorkové napětí zdroje. Obr. 5 - Obecná schematická značka ideálního zdroje napětí 6

61 Obr. 6 - eálný zdroj Je-li ke zdroji připojen zatěžovací rezistor o odporu, protéká obvodem proud Svorkové napětí zdroje při tomto zatížení je i Závislost svorkového napětí na odebíraném proudu se nazývá zatěžovací charakteristika zdroje. Ze vztahu je patrné, že se jedná o lineární závislost. i Obr. 6 - Zatěžovací charakteristika zdroje Podle zatěžovací charakteristiky dělíme zdroje na tvrdé a měkké. Výhodou tvrdého zdroje je malý pokles svorkového napětí s rostoucím zatížením zdroje, což je dáno malým vnitřním odporem zdroje i ; měkký zdroj vykazuje značný úbytek napětí, protože má značně velký vnitřní odpor i. Propojíme-li přímo výstupní svorky zdroje, bude obvodem protékat tzv. proud nakrátko k. Obr. 6 - Proud nakrátko 6

62 tvrdých zdrojů jsou proudy nakrátko velké a mohou způsobit technické problémy, případně zničení zdroje; u měkkých zdrojů je proud nakrátko výrazně nižší než u tvrdých zdrojů, měkké zdroje jsou lépe zkratuodolné. Příklad 8: rčete proud nakrátko zdroje napětí, je-li napětí naprázdno 6 V a svorkové napětí při odběru proudu, A je 5,8 V. Řešení: Proud nakrátko bude k i Svorkové napětí je 5,8 6, i i Odtud vypočítáme vnitřní odpor zdroje i 6 5,8 i, Proud nakrátko tedy je 6 k 6 A i 4.8. Spojování zdrojů napětí Spojování zdrojů do série Spojování zdrojů do série se používá pro získání většího celkového napětí. Zdroje se propojují podle obr. 6 a) pól dalšího zdroje se propojí vždy na opačný pól předchozího zdroje. Výsledné napětí se rovná součtu napětí všech jednotlivých sériově spojených zdrojů. elkový vnitřní odpor sériově spojených zdrojů se rovná součtu všech vnitřních odporů jednotlivých zdrojů. Napětí naprázdno sériově spojených zdrojů je. Vnitřní odpor sériově spojených zdrojů je i i i. Svorkové napětí sériově spojených zdrojů je. Aby byly všechny zdroje stejně vytížené, je vhodné zapojovat do série zdroje o stejně velkém napětí naprázdno a o stejných vnitřních odporech. Pro n zdrojů v sérii pak platí: n n i n i 6

63 Protože zatěžovací proud protéká všemi sériově spojenými zdroji, je nutné sledovat, zda jeho hodnota nepřekročí jmenovitou hodnotu proudu jednotlivého zdroje; v takovém případě by hrozilo poškození zdroje. Paralelní spojování zdrojů a) b) Obr. 6 - Spojování zdrojů a) do série a b) paralelně Paralelní spojení zdrojů se používá pro možnost odběru většího jmenovitého proudu než je jmenovitý proud jednotlivého zdroje. Zdroje se propojují podle obr. 6 b) propojí se všechny kladné a všechny záporné póly zdrojů. elkový proud, který je možné odebírat z paralelně spojených zdrojů, je dán součtem proudů odebíraných z jednotlivých zdrojů. Pro správné využití zdrojů je nutné, aby všechny paralelně spojené zdroje měly stejně velké napětí naprázdno a stejně velké vnitřní odpory; v opačném případě by mezi zdroji protékaly vyrovnávací proudy. Musí tedy platit a i i i Pak pro celkový proud protékající zátěží platí Pro n paralelně spojených zdrojů pak platí: z Z z z n z... n i i n Příklad 9: Mějme k dispozici libovolný počet stejnosměrných zdrojů napětí o napětí naprázdno =,5 V a vnitřním odporu i =. Jmenovitý proud zdroje je n =,5 A. Sestavte zdroj, jehož napětí naprázdno bude 4,5 V a jmenovitý proud bude, A. rčete proud nakrátko takto navrženého zdroje. 6

64 Řešení: Pro napětí naprázdno 4,5 V musí být tři takové zdroje v sérii; pro jmenovitý proud, A dva zdroje paralelně, schéma zapojení je na obr. 64. Obr Sérioparalelní spojení zdrojů elkový vnitřní odpor bude i í Proud nakrátko bude,5,5 k A i 4.9 Specifické způsoby využití rezistorů v praxi Mimo nejběžnější využití rezistorů jako topných těles a omezovačů proudu se rezistory využívají i v některých specifických případech. Nejčastější je využití pro děliče napětí, změny rozsahů měřících přístrojů a měření teploty Dělič napětí Na obr. 65 a) je nezatížený dělič napětí, na obr. 65 b) je zatížený dělič napětí. 64

65 65 a) b) Obr Dělič napětí Pro nezatížený dělič platí, tedy Pokud dělič napětí bude zatížený rezistorem s odporem z, bude pro výstupní napětí děliče platit z z a po dosazení z z z z z z z z z Příklad : Dělič napětí realizujte posuvným rezistorem o odporu k- viz obr 66. Vypočítejte a nakreslete graf závislosti výstupního napětí děliče na poloze jezdce a) pro dělič naprázdno, b) je-li dělič zatížen rezistorem o odporu 5 a c) je-li dělič zatížen rezistorem o odporu 5 Napájecí napětí je 4 V. Řešení: Obr Dělič napětí s posuvným rezistorem + =, tedy =

66 a) pro nezatížený dělič platí b) pro zatížený dělič platí c) 4 5 ( z z z ( ) ) ( ) 5 z z z ( ) 5 V tabulkovém kalkulátoru sestrojíme tabulku a graf pro závislost výstupního napětí na poloze jezdce posuvného rezistoru pro nezatížený i zatížený dělič. 4 4 Obr Závislost výstupního napětí děliče na poloze jezdce pro různé zatěžovací odpory 4.9. Změny rozsahů měřících přístrojů pomocí rezistorů Zvětšení měřicího rozsahu ampérmetru Zvětšení měřicího rozsahu ampérmetru docílíme paralelním připojením rezistoru k ampérmetru viz obr. 68. Tento rezistor se nazývá bočník. Obr Ampérmetr s připojeným bočníkem 66

67 Měřený proud m a pro vzájemný poměr proudů v obou větvích platí A A b a tedy A b b Měřený proud se v uzlu rozdělí do dvou větví do ampérmetru a do bočníku, a to v převráceném poměru vnitřního odporu ampérmetru a bočníku. Je-li měřicí rozsah ampérmetru právě A a proud, který potřebujeme změřit, bude n x větší, tedy n, pak pro splnění předchozích podmínek platí pro velikost odporu bočníku m A m A A b A n A A A b A A b b b A A ( n ) Tímto bočníkem jsme zvětšili měřící rozsah ampérmetru právě n-krát. Zvětšení měřicího rozsahu voltmetru Zvětšení měřicího rozsahu voltmetru docílíme sériovým připojením rezistoru k voltmetru viz obr. 69. Tento rezistor se nazývá předřadný rezistor. Obr Voltmetr s předřadným odporem Napětí na předřadném odporu a na voltmetru se dělí ve stejném poměru jako jsou odpory předřadného rezistoru a voltmetru. elkové měřené napětí je rovno součtu napětí na předřadném odporu a na voltmetru. m V p V Je-li měřicí rozsah voltmetru právě V a napětí, které potřebujeme změřit bude n x větší, tedy n, pak pro splnění předchozích podmínek platí pro velikost předřadného odporu m V p m V nv V V ( n ) a po dosazení Velikost předřadného odporu je tedy ( n ) p V p V V ( n ) Tímto předřadným odporem jsme zvětšili měřící rozsah voltmetru právě n-krát. p V V p Příklad : Navrhněte bočník k miliampérmetru o rozsahu ma s vnitřním odporem tak, aby bylo možné měřit proudy do velikosti ma. 67

68 Řešení: ozsah potřebujeme zvětšit n krát. Odpor bočníku bude A, 58 ( n ) ( ) b Příklad : Navrhněte předřadný odpor k voltmetru o rozsahu V, který má vnitřní odpor 5 tak, aby bylo možné měřit napětí do velikosti 6 V. Řešení: 6 ozsah potřebujeme zvětšit n 5 krát. Odpor předřadného rezistoru bude ( n ) 5(5 ) p V 4.9. rčení velikosti odporu pomocí měření napětí a proudu V mnoha případech je nutné přesně změřit velikost odporu rezistoru. K tomu se často využívá měření napětí na rezistoru, proudu rezistorem a aplikace Ohmova zákona. Často se používá zapojení podle schématu na obr. 7 tzv. Ohmovy metody měření odporu. Obr. 7 - Měření odporu Ohmovou metodou Napětí naměřené voltmetrem je totožné s napětím na neznámém odporu X. Proud A naměřený ampérmetrem se v uzlu dělí na proud rezistorem X a proud voltmetrem V, který je omezován vnitřním odporem voltmetru iv. Velikost odporu X je x x x V A V A V V iv Příklad : 68

69 rčete velikost neznámého odporu, je-li hodnota naměřená na voltmetru 6 V, proud ampérmetrem je ma a vnitřní odpor voltmetru je 5. Schéma zapojení podle obr. 7. V Řešení: x 95 V 6,,,,68 A 5 iv rčení teploty pomocí měření odporu rezistoru Z předchozích kapitol víme, že odpor vodičů je závislý na teplotě, a to lineárně v poměrně širokém pásmu teplot. Tepelná závislost odporu na teplotě je dána vztahem ( ) kde je počáteční odpor a je odpor po zahřátí rezistoru o přírůstek teploty. ezistory s velkým teplotním součinitelem odporu jsou vhodné pro elektrické měření teploty. Pokud má rezistor při teplotě o známý odpor, teplotu určíme z naměřené hodnoty odporu zahřátého rezistoru. ( ) Měřená teplota je tedy Příklad 4: rčete teplotu teplotně závislého rezistoru o teplotním součiniteli odporu, je-li hodnota jeho odporu při o rovna. Obvod je napájen tvrdým zdrojem napětí o velikosti 6 V, proud měříme miliampérmetrem s vnitřním odporem a naměřený proud je ma. Schéma zapojení podle obr. 7. Obr. 7 - Schéma zapojení při měření teploty Řešení: Odpor při o je =. Odpor při o je 69

70 6 5,4 54 A A A Měřená teplota je tedy 7 4 7,8 7,5 7 o 4. Nelineární prvky v obvodech Obvody, se kterými jsme až dosud pracovali, se skládaly z rezistorů, které vykazovaly v provozních podmínkách vždy konstantní velikost odporu. Tyto obvody se nazývaly lineární obvody. V některých obvodech se vyskytují pasivní prvky, jejichž charakteristika není lineární, ale vykazuje závislost odporu na připojeném napětí. Tyto prvky nazýváme nelineární. Obr. 7 - Obecné schematické zobrazení nelineárního prvku Příkladem nelineárního prvku je žárovka; při nižším připojeném napětí se vlákno nažhaví na nižší teplotu a odpor je tedy větší než při jmenovitém napětí, kdy je vlákno více nažhavené a odpor je tedy vyšší. Na obr. 7 je a) je pracovní charakteristika rezistoru, velikost odporu je konstantní a pracovní charakteristika je přímková lineární. Na obr. 7 b) je pracovní charakteristika nelineárního pasivního prvku. a) b) Obr. 7 - harakteristika lineárního a nelineárního pasivního prvku Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineární prvek, jeho řešení se liší od řešení lineárních obvodů. Používáme tzv. graficko-početní metodu řešení obvodu, která využívá grafické zobrazení voltampérových charakteristik nelineárního prvku. Pro použitý zdroj napětí nakreslíme jeho pracovní zatěžovací charakteristiku a hledáme pracovní bod pro daný nelineární prvek na tomto zdroji grafickým řešením. Pracovní bod je dán průsečíkem voltampérové charakteristiky nelineárního prvku se zatěžovací charakteristikou zdroje. 7

71 Postup řešení je podrobně vysvětlen na následujícím příkladu: Mějme reálný zdroj o napětí naprázdno a proudu nakrátko k. K němu je připojen nelineární odpor, jehož voltampérovou charakteristiku máme k dispozici. a) b) c) Obr a) obvod s nelineárním odporem b) VA charakteristika nelineárního odporu c) zatěžovací charakteristika zdroje Řešení je následující: do jednoho grafu zakreslíme pracovní charakteristiku zdroje a VA charakteristiku nelineárního prvku. Řešením je průsečík obou charakteristik na nelineárním prvku bude po připojení na daný zdroj pracovní napětí p a bude jím protékat proud p. Tyto hodnoty odečteme z grafu. Obr Grafické řešení nelineárního obvodu Příklad 5: rčete proud nelineárním prvkem N s VA charakteristikou podle obr. 76 b). Obvod je napájen tvrdým zdrojem napětí o velikosti 6 V, odpor rezistoru =. Schéma zapojení podle obr. 76 a). a) b) 7

72 Obr Schéma zapojení a VA charakteristika nelineárního prvku Řešení: ineární rezistor a nelineární prvek N jsou zapojeny v sérii, to znamená, že napětí a P se sčítají. Sestrojíme tedy VA charakteristiku rezistoru je to přímka odpovídající velikosti odporu rezistoru - a napětí lineárního a nelineárního prvku graficky sečteme. Zatěžovací charakteristika ideálního zdroje je přímka rovnoběžná s osou proudu a její hodnota je konstantně 6 V. Zakreslíme ji do grafu a průsečík křivky součtu s přímkou zatěžovací charakteristiky je pracovním bodem, z něhož odečteme velikost pracovního proudu P. VA charakteristika rezistoru je přímka daná dvěma body: =, = a = 5 V, = 5/ =,5 A Obr Grafické řešení příkladu 5 Grafickým řešením je graf na obr. 77, pracovní proud odečtený z grafu je p = 7 ma. Napětí na rezistoru je =,7 =,7 V. Téhož výsledku bychom dosáhli odečtením hodnoty napětí z grafu na průsečíku hodnoty pracovního proudu s VA charakteristikou rezistoru. Napětí p na nelineárním prvku je p = = 6,7 =, V. Téhož výsledku bychom dosáhli odečtením hodnoty napětí z grafu na průsečíku hodnoty pracovního proudu s VA charakteristikou nelineárního prvku N. Příklad 6: Ke zdroji o napětí naprázdno = 6 V a vnitřním odporu i = je připojena žárovka paralelně spojená s rezistorem = 4. VA charakteristika žárovky je dána naměřenými hodnotami závislosti proudu žárovky na připojeném napětí - viz tabulka. (V)

73 (A),,65,,5,8, Řešení: Obr Schéma zapojení pro příklad V tabulkovém kalkulátoru sestrojíme graf pro VA charakteristiku žárovky, rezistoru, součtu proudů paralelně spojených prvků a zakreslíme zatěžovací charakteristiku zdroje. Průsečík křivky součtu s přímkou zatěžovací charakteristiky je pracovním bodem, ze kterého odečteme výsledky. Pro VA charakteristiku rezistoru platí Ohmův zákon, = /. 6 Pro zatěžovací charakteristiku platí: k, A i Obr Grafické řešení příkladu 6 Z grafu odečteme požadované hodnoty: elkový proud odebíraný ze zdroje je,5 A. Proud žárovkou je,58 A a proud rezistorem je,47 A. Napětí na žárovce i na rezistoru je stejné a je rovno,88 V. 7

74 4. Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s více zdroji Obvody, které obsahují více zdrojů a několik smyček, se řeší buď aplikací Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona na daný obvod, nebo některou z dále uvedených metod, které řešení zjednoduší. Tyto metody ale také vychází z Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona. 4.. Řešení elektrických obvodů s více zdroji aplikací Kirchhoffových zákonů Při řešení postupujeme tak, že sestavíme soustavu rovnic aplikací. Kirchhoffova zákona na uzly v obvodu a aplikací. Kirchhoffova zákona na smyčky v obvodu. Soustava musí mít tolik rovnic, kolik neznámých se v daném obvodu vyskytuje, soustavu doplníme aplikací Ohmova zákona. Při řešení obvodu známe velikost a polaritu napětí zdrojů a velikost odporů použitých rezistorů. Směr proudu v jednotlivých větvích označíme šipkou ve směru, ve kterém předpokládáme, že jím proud poteče. Pro jednotlivé uzly sestavíme rovnici vyjadřující, že orientovaný součet všech proudů v uzlu je roven. Pokud bude skutečný výsledný proud mít opačný směr než byl původní předpoklad, vypočítaný výsledek bude mít zápornou hodnotu. Pro jednotlivé smyčky obvodu zvolíme orientaci smyčky a poté napíšeme rovnici vyjadřující, že součet orientovaných napětí v této uzavřené smyčce je roven. Napětí, která jsou orientována ve směru orientace smyčky, jsou kladná, napětí, která jsou orientována proti směru orientace smyčky, jsou záporná. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 8. Obr. 8 - Řešení obvodu pomocí Kirchhoffových zákonů V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí a a velikost odporů rezistorů, a. Neznámé, které potřebujeme vypočítat, jsou proudy, a a napětí, a. Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešení šesti neznámých. Nejdříve si zakreslíme předpokládaný směr proudů ve větvích a zvolíme si orientaci zvolených smyček x a y. Poté píšeme soustavu rovnic s využitím Kirchhoffových zákonů. Pro uzel A platí (podle. Kirchhoffova zákona) () 74

75 75 Pro smyčku x platí (podle. Kirchhoffova zákona) () Pro smyčku y platí (podle. Kirchhoffova zákona) () Tyto rovnice doplníme na požadovaných 6 rovnic aplikací Ohmova zákona, podle kterého platí (4) (5) (6) Tím je připravena soustava šesti rovnic. Jejím vypočítáním vyřešíme daný obvod. Do rovnic () a () dosadíme (4), (5) a (6): (a) (a) Do rovnice (a) dosadíme (): ) ( (b) pravíme (b): ) ( (c) a dosadíme do rovnice (a): (b) Dostali jsme jednu rovnici o jedné neznámé; tu upravíme a vypočítáme proud : ) ( ) ( Hodnotu proudu dosadíme do (c) a získáme proud.

76 a dosadíme do () a vypočítáme proud. Napětí, a na rezistorech,, vypočítáme dosazením,, do (4), (5) a (6). Tím je obvod kompletně vyřešen. Příklad 7: V obvodu na obr. 8 určete proudy ve všech větvích a napětí na všech rezistorech. Napětí zdrojů jsou = V a = V, Odpory rezistorů =, = a =. Obr. 8 - Schéma zapojení pro příklad 7 Řešení: Pro uzel A platí Pro smyčku x platí Pro smyčku y platí Dosadíme do rovnic: Z těchto rovnic získáme výrazy pro a : a Dosadíme do rovnice pro uzel A: 4 76 /

77 7 5 7,4 A 5 Zpětným dosazením získáme a :,4,8 A,4,6 A Záporné znaménko u proudu znamená, že skutečný proud teče v opačném směru, než byl původní předpoklad. Napětí na jednotlivých rezistorech jsou:,8 6 V,4 4 V -,6 6 V 4.. Řešení elektrických obvodů metodou smyčkových proudů Řešení obvodu Kirchhoffovými zákony je matematicky náročné na výpočet; proto se postupně vyvinuly metody, které výpočet zjednoduší. Metoda smyčkových proudů vychází z. Kirchhoffova zákona. Postup řešení je následující: Pro každou smyčku zavedeme tzv. smyčkový proud, smyčkové proudy budou neznámé veličiny, které budeme počítat. Poté pro každou smyčku napíšeme rovnici podle. Kirchhoffova zákona. Tím jsme získali dostatečný počet rovnic pro řešení soustavy rovnic, a to menší než tomu bylo při řešení Kirchhoffovými zákony. Je vhodné smyčkové proudy orientovat v jednom směru, např. ve směru hodinových ručiček. Pokud je některý s rezistorů v obvodu společný dvěma smyčkám, protékají skrz něj smyčkové proudy obou smyček. Skutečný proud tímto rezistorem je dán rozdílem obou smyčkových proudů. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 8. Obr. 8 - Řešení obvodu metodou smyčkových proudů 77

78 78 V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí a a velikost odporů rezistorů, a. Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkové proudy a a b. Pro každou smyčku napíšeme rovnici podle. Kirchhoffova zákona: Smyčka a: ) ( a b a Smyčka b: ) ( a b b Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznámé. Soustavu rovnic vyřešíme. a b a a b b a b b a b a a a jedna rovnice o jedné neznámé Vyřešíme jednu rovnici o jedné neznámé - vypočteme smyčkový proud a : a a a a a a a Hodnotu smyčkového proudu a dosadíme do a b a získáme smyčkový proud b. Skutečný proud je shodný se smyčkovým proudem a, skutečný proud je shodný se smyčkovým proudem b. Skutečný proud je roven rozdílu smyčkových proudů b a a : b a Napětí na jednotlivých rezistorech vyřešíme aplikací Ohmova zákona: Z postupu řešení je patrné, že výpočet je výrazně pohodlnější a rychlejší než při použití řešení Kirchhoffovými zákony. Příklad 8:

79 Metodou smyčkových proudů vyřešte obvod podle obr. 8 a). Napětí zdrojů jsou = V a = V, odpory rezistorů =, = a = 4 =. Řešení: a) b) Obr. 8 - Schéma zapojení pro příklad 8 ezistory a 4 jsou spojeny paralelně; můžeme tedy zadaný obvod zjednodušit na obvod podle obr. 8 b), kde 4 je: Zavedeme smyčkové proudy a a b a napíšeme rovnice pro smyčky: a: ) ( a b a ( ) a b b: ) b 4 ( b a a pravíme a dosadíme b ( ) a: a b a a b: ( a ) a b a b a Dosazením jsme získali jednu rovnici o jedné neznámé a, kterou vyřešíme. a a 6 56 a,57 A 56 a a Záporná hodnota udává, že orientace proudu je opačná než jsme předpokládali. Dosadíme do výrazu pro druhý smyčkový proud b : 79

80 b a -,57,8986 A Skutečný proud je shodný se smyčkovým proudem a, skutečný proud 4 je shodný se smyčkovým proudem b. Skutečný proud je roven rozdílu smyčkových proudů b a a : b,8986 (,57),9857 A a Napětí na rezistorech a 4 jsou stejné a jsou 4 4 4,8986,749 V Proudy rezistory a 4 jsou,749,749,574 A 4,557 A Napětí na rezistorech a :,57,7486 V,9857 9,857 V Správnost výpočtu je možné ověřit dosazením vypočtených hodnot proudů a napětí do rovnic daných Kirchhoffovými zákony: 9,857 -(-,7486) - 9,857,749-,9857 (-,57),8986 ovnost pravé a levé strany rovnic dokazuje správnost výsledku. Výhodnost této metody se projeví zejména u složitějších obvodů, v nichž by bylo řešení pomocí Kirchhoffových zákonů spojeno s řešením soustavy o mnoha rovnicích a tudíž by bylo matematicky obtížné. 4.. Řešení elektrických obvodů metodou uzlových napětí Metoda uzlových napětí vychází z. Kirchhoffova zákona. Postup řešení je následující: Jeden z uzlů v obvodu zvolíme jako tzv. referenční uzel. Výhodné je volit ten z uzlů, v němž je spojeno nejvíce větví obvodu. Napětí všech ostatních uzlů proti uzlu referenčnímu označujeme jako tzv. uzlová napětí. Pro každý uzel sestavíme rovnici podle. Kirchhoffova zákona, kde proudy tekoucí skrz jednotlivé větve obvodu vyjádříme pomocí uzlových napětí. Tím získáme soustavu rovnic neznámé v této soustavě jsou uzlová napětí. Řešením soustavy vypočítáme uzlová napětí a z nich pak proudy ve větvích obvodu. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr

81 8 Obr Řešení obvodu metodou uzlových napětí V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí a a velikost odporů rezistorů, a. Jako referenční uzel zvolíme uzel označený. zlové napětí v uzlu A k referenčnímu uzlu je A. Z. Kirchhoffova zákona pro uzel A platí Proudy vyjádříme pomocí. Kirchhoffova zákona a Ohmova zákona z uzlového napětí a dosadíme do výchozí rovnice A A A Vypočítáme A ) ( ) ( A A A A A A A A A A Z uzlového napětí A vypočítáme proudy ve větvích A A A Napětí na jednotlivých rezistorech vyřešíme aplikací Ohmova zákona: Příklad 9: Metodou uzlových napětí vyřešte obvod podle obr. 85 a). Napětí zdrojů jsou = V a = V, odpory rezistorů =, = a = 4 = 9.

82 Řešení: a) b) Obr Schéma zapojení pro příklad 9 ezistory a 4 jsou spojeny sériově; můžeme tedy zadaný obvod zjednodušit na obvod podle obr. 85 b), kde 4 je: Zvolíme referenční uzel a zapíšeme vztah proudů pro uzel A: Vypočítáme A : A A 8 A 4 A A A 6 ( ) ( ) A A A,749 V 8 Vypočítáme proudy ve větvích: A A,749 A A A -,57 A Záporná hodnota znamená, že proud protéká v opačném směru, než byl původní předpoklad.,749 A A,749 Napětí na jednotlivých rezistorech:,8986 A,98574 A

83 -,57 -,749 V, ,8574 V,8986,67857 V 4 4, ,574 V 4..4 Řešení elektrických obvodů metodou lineární superpozice Je-li v elektrickém obvodu zapojeno několik zdrojů, pak proud a napětí na jednotlivých prvcích obvodu je dán součtem všech proudů / napětí /, které by v obvodu byly, pokud by byl připojen vždy jen jeden ze zapojených zdrojů samostatně. Pozor tato metoda platí pouze tehdy, jsou-li všechny prvky v obvodu lineární! Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 86. Obr Řešení obvodu metodou lineární superpozice V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí a a velikost odporů rezistorů, a. Postupně vyřešíme všechny obvody, a to - pokaždé s jiným - jediným zdrojem; druhý zdroj jako by nebyl. Poté sečteme výsledky jednotlivých řešení a získáme tím řešení zadaného obvodu. a) b) Obr ozdělení obvodu při metodě lineární superpozice 8

84 Nejprve řešíme obvod se zapojeným zdrojem. Obvod, v němž získáme dílčí výsledky, je na obr. 87 a). = + / / / / / AB / / AB a / / AB Pak řešíme obvod se zapojeným zdrojem. Obvod, v němž získáme dílčí výsledky, je na obr. 87 b) = + // // // // // AB // // AB // a Pokud by v obvodu bylo více zdrojů, postupovali bychom stejně i pro případné další zdroje. elkové řešení proudů v zadaném obvodu získáme sečtením všech dílčích řešení: / // Napětí na jednotlivých rezistorech jsou // AB // / / // Příklad 4: Metodou lineární superpozice vyřešte obvod podle obr. 88. Napětí zdrojů jsou = V a = V, odpory rezistorů =, = a = 4 =, 5 = 4. 84

85 Obr 88 - Schéma zapojení pro příklad 4 Řešení: ezistory a 4 jsou spojeny sériově; můžeme je tedy nahradit odporem 4 : ezistory 4 a 5 jsou spojeny paralelně; můžeme je tedy nahradit odporem 45 : Tím jsme obvod zjednodušili viz obr. 89 a) a) b) c) Obr 89 - Zjednodušená schémata zapojení pro příklad 4 Nyní vyřešíme obvod pro napájení zdrojem, zdroj není viz obr. 89 b): , = + 45 = + 54,54545 =54,54545 /,986 A 54,54545 / 45 /,986 7,8574 V / AB / 7,8574,4857 V 85

86 / AB,4857,4857 A / / / AB, ,7857 A 45 Dále vyřešíme obvod pro napájení zdrojem, zdroj není viz obr. 89 c): = + 45 = + 75 =75 //,486 A 75 // 45 //,486,486 V // AB //,486 8,5749 V // // AB 8,5749,4857 A // // AB 8, ,749 A 45 Skutečné proudy v zadaném obvodu jsou: / //,986-,4857 // /,486,4857 / // Napětí na jednotlivých rezistorech jsou,8986 A -,57 -,749 V,9857 9,857 V -,57 A,9857 A AB 45 45,8986,74 V 5 AB,74 V, ,4464 A 86

87 AB,74 4,4464 A 4 4,4464 4,97 V 4,4464 5,859 V 87

88 5 Magnetické pole Magnetické pole se vyznačuje silovými účinky, je to tedy silové pole. Vzniká v okolí magnetických materiálů nebo v okolí vodičů, kterými protéká elektrický proud. ž ve starověku lidé zpozorovali, že některé materiály, zejména magnetovec (železná ruda, Fe O 4, která se nacházela u řeckého města Magnesie - odtud magnet), přitahují menší železné předměty; drobné železné piliny se na magnetu udržely. Pokud se takový předmět z okolí magnetu vyjmul, sám vykazoval magnetické účinky - zůstal zmagnetovaný. Mimo to lidé zpozorovali, že lehký zmagnetovaný předmět volně umístěný v prostoru (magnetka) ukazuje vždy k severu. Tyto magnety nazýváme permanentní (stálé) magnety. Později bylo pozorováno, že stejné magnetické pole vzniká v okolí vodičů, jimiž protéká elektrický proud, tedy v okolí pohybujícího se elektrického náboje. Magnetické pole se projevuje nejen silovými účinky na feromagnetické předměty, ale také silovými účinky na vodiče, kterými protéká proud. 5. Zobrazování magnetického pole Magnetické pole zobrazujeme pomocí magnetických indukčních čar (někdy se také nazývají magnetické siločáry). Magnetická indukční čára je uzavřená prostorová orientovaná křivka. Její průběh vně magnetu směřuje od severního pólu k jižnímu, její tečna v daném bodě má směr osy velmi malé magnetky umístěné v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetická indukční čára probíhá od jižního k severnímu pólu). Směr magnetky od jižního k severnímu pólu určuje orientaci indukční čáry. Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetických indukčních čarách. Velikost silového působení magnetického pole udává hustota magnetických indukčních čar. Čím jsou čáry hustší, tím je pole silnější. Silové účinky magnetu se nejvíce projevují na jeho dvou místech tzv. pólech magnetu - označujeme je jako pól severní (N north) a pól jižní (S south). a) b) Obr. 9 - Magnetka a) a magnetické pole tyčového magnetu b) Pokud bychom magnet rozdělili, každá z obou částí bude mít opět oba póly- severní a jižní. Póly není možné oddělit. Magnetická indukční čára je vždy uzavřená. 88

89 Obr. 9 - ozdělení tyčového magnetu a) b) c) Obr. 9 - Magnetické pole a) mezi nesouhlasnými póly magnetů b) mezi souhlasnými póly c) podkovovitého magnetu Jsou-li magnetické indukční čáry rovnoběžné a jsou od sebe stejně vzdálené, pak je silové působení tohoto pole ve všech jeho bodech stejné. Takové pole se nazývá homogenní. 5. Magnetické pole vybuzené elektrickým proudem Protéká-li vodičem elektrický proud, vzniká v okolí vodiče magnetické pole. To, jak již víme, silově působí jednak na předměty z feromagnetických materiálů (kam patří hlavně železo a jeho slitiny) a také na jiné vodiče, jimiž protéká elektrický proud. 5.. Magnetické pole vodiče V případě dlouhého přímého vodiče mají magnetické indukční čáry tvar soustředných kružnic, které leží v rovině kolmé k ose vodiče, se středem ve středu vodiče. Silové působení takového pole je tím větší, čím je daný bod pole blíž k povrchu vodiče; magnetické indukční čáry jsou tedy blíž k povrchu vodiče hustší a se zvětšující se vzdáleností od středu se zřeďují. V grafickém znázornění se proud, který vstupuje do průřezu vodiče, zakresluje jako křížek ve středu průřezu vodiče; proud, který z průřezu vystupuje, se značí tečkou viz obr. 9. Obr. 9 - Grafické znázornění orientace proudu ve vodiči 89

90 Obr Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem Smysl magnetického pole přímého vodiče je dán směrem protékajícího proudu a je zobrazen na obr. 94. Pro snadné určení smyslu pole používáme Ampérovo pravidlo pravé ruky, případně pravidlo pravotočivého šroubu. Ampérovo pravidlo pravé ruky: chopíme-li vodič do pravé ruky tak, aby palec ukazoval směr proudu, pak prsty obepínající vodič ukazují směr indukčních čar magnetického pole. Pravidlo pravotočivého šroubu: Obr Ampérovo pravidlo pravé ruky Pokud vodič nahradíme pravotočivým šroubem, kterým otáčíme tak, aby se posouval ve směru proudu, pak smysl otáčení udává orientaci indukčních čar. 9

91 5. Veličiny magnetického pole 5.. Magnetický tok Magnetický tok je vybuzen buď permanentním magnetem, nebo elektrickým proudem. Magnetický tok je možné znázornit celkovým počtem indukčních čar v daném magnetickém poli. Popisuje tedy pole jako celek. Magnetický tok označujeme, jeho jednotkou je weber (Wb). 5.. Magnetická indukce Magnetická indukce se označuje B, její jednotkou je tesla (T); je dána velikostí magnetického toku na jednotku plochy. B S Magnetickou indukci je možné znázornit počtem indukčních čar na jednotku plochy v daném magnetickém poli. Popisuje tedy pole v jeho konkrétním místě. Fyzikální význam magnetické indukce Magnetické pole, jak již bylo řečeno, silově působí na vodiče, jimiž protéká elektrický proud. Vložíme-li do homogenního magnetického pole (označené B ) vodič, kterým protéká proud, tak, aby jeho osa byla kolmá na indukční čáry daného pole, nastane situace podle obr.. Kolem vodiče se vlivem proudu vytvoří magnetické pole (označené B ) viz obr 96 a). To se sčítá s původním homogenním polem a výsledné pole bude polem vodiče deformováno viz obr 96 b). Výsledné magnetické pole bude silově působit na vodič tak, že síla F se snaží nastolit původní klidový stav; tedy vytlačuje vodič ze zhuštěného magnetického pole do zeslabeného pole. a) b) Obr Deformace homogenního magnetického pole vlivem proudu ve vodiči Velikost této síly je úměrná velikosti proudu a té délce vodiče l, která se nachází v magnetickém poli: F konst l Velikost konstanty závisí na původním magnetickém poli, nazýváme ji magnetická indukce a označujeme ji B. Její jednotkou je tesla (T). F B l (N; T, A, m) 9

92 Obr Silové působení magnetického pole na vodič protékaný proudem Magnetická indukce tedy popisuje silové účinky daného magnetického pole. F B (T; NA - m - ) l Magnetická indukce B je fyzikální veličina, která vyjadřuje silové účinky magnetického pole. Velikost magnetická indukce graficky znázorňuje hustota magnetických indukčních čar. Čím jsou čáry hustší, tím je pole silnější. Magnetická indukce je vektor, jeho směr a smysl je stejný jako směr a smysl vektoru intenzity magnetického pole. Pokud vložený vodič nebude kolmý ke směru indukčních čar, ale bude s nimi svírat úhel, pak síla působící na vodič bude F B l sin viz obr. 98 Obr Vodič v homogenním magnetickém poli 5.. Magnetomotorické napětí a magnetické napětí Příčinou vzniku magnetického pole je elektrický proud, případně souhrn všech proudů, které se podílejí na jeho vzniku. Tento souhrn proudů nazýváme magnetomotorické napětí a značíme ho F m (A). Magnetické pole vybuzené magnetomotorickým napětím je tím silnější, čím větší je magnetomotorické napětí, které toto pole vybudilo. 9

93 Pro přímý vodič je původcem magnetického pole proud, který vodičem protéká, magnetomotorické napětí je tedy F m = Na obr. 99 a) je svazek vodičů s proudy, a. Magnetomotorické napětí příslušného magnetického pole je F m = - + Obecně platí, že magnetomotorické napětí je rovno algebraickému součtu všech proudů, které daná indukční čára obepíná. n F m i i a) b) Obr Magnetomotorické napětí a) a magnetické napětí b) Mezi každými dvěma body na téže indukční čáře se definuje magnetické napětí m. Součet všech magnetických napětí na jedné indukční čáře je roven magnetomotorickému napětí pro tuto indukční čáru. Pro případ na obr. 99 b) platí n F m mi i F m = m + m + m 5..4 ntenzita magnetického pole ntenzita magnetického pole je magnetické napětí připadající na jednotku délky magnetické indukční čáry. Značí se H. Je to vektor. Jeho velikost je m H (Am - ; A, m) l kde l je délka té části magnetické indukční čáry, na kterou připadá dané m. Směr a smysl vektoru H je dán směrem indukčních čar, vektor H v daném bodě je tečný ke křivce magnetické indukční čáry. 9

94 Obr. - ntenzita magnetického pole pro přímý vodič V okolí dlouhého přímého vodiče je intenzita magnetického pole H l m r ntenzita je tedy tím větší, čím je větší budící proud a tím větší, čím je menší délka příslušné indukční čáry. Velikost intenzity je po celé délce indukční čáry stejná, směr se mění je vždy tečnou k příslušné indukční čáře v daném bodě zde ke kružnici se středem ve středu průřezu vodiče na rovině indukční čáry Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením je vlastně vztahem mezi intenzitou magnetického pole a magnetickou indukcí. Magnetické pole lze vybudit v každém prostředí. Jak již bylo uvedeno, původcem magnetického pole je elektrický proud tzv. budící proud; magnetické pole v konkrétním bodě pak popisuje intenzita magnetického pole H, která závisí na budícím proudu a na délce indukční čáry. ntenzita magnetického pole H není nijak závislá na prostředí, v němž se pole vybudilo. Silové účinky magnetického pole popisuje magnetická indukce B. Měřením bylo zjištěno, že oba tyto vektory H a B v každém bodě magnetického pole spolu souvisí. většiny materiálů (s výjimkou materiálů feromagnetických) je mezi nimi vztah přímé úměrnosti B konst H. Tato konstanta je závislá na materiálu, stejnou intenzitou magnetického pole docílíme v různých materiálech různé hodnoty magnetické indukce B. Konstantu označujeme a nazýváme ji permeabilita. Platí B Pro vakuum je = = permeabilita vakua, = 4-7 (Hm - ); (H) je jednotka henry její rozměr vysvětlíme později. Pro ostatní materiály platí B H kde r je relativní permeabilita; r udává, kolikrát je dané prostředí magneticky vodivější než vakuum. Pro většinu látek (mimo feromagnetika) je r přibližně. 94 H r

95 Příklad 4: rčete intenzitu magnetického pole na povrchu vodiče o průměru mm, protéká-li jím proud 8 A. Jaká bude intenzita magnetického pole ve vzdálenosti cm od povrchu vodiče? Řešení: ntenzita magnetického pole na povrchu vodiče 8 4 H 7,9545 (A/m) r ntenzita magnetického pole ve vzdálenosti cm od povrchu vodiče 8 4 H 5,7495 (A/m) r Příklad 4: rčete intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti cm od středu svazku vodičů podle obr.. Velikost proudů v jednotlivých vodičích je = A, = 7 A, = 5 A. Obr. - Svazek vodičů Řešení: ntenzita magnetického pole ve vzdálenosti cm od povrchu svazku F m 7 5 Fm H r 8 A 8 6,6698 (A/m) Příklad 4: rčete velikost a směr síly, která působí na vodič v homogenním magnetickém poli viz obr., a = mm, b = 5 mm, o magnetické indukci,6 T protéká-li vodičem proud = 5A. Obr. - Vodič v magnetickém poli 95

96 Řešení: Velikost síly působící na vodič je F B l,6 5,,8 N Síla bude kolmá k ose vodiče i k vektoru magnetické indukce B a bude směřovat do zředěného pole tedy do papíru. Příklad 44: Jaký je celkový magnetický tok mezi póly pro předchozí příklad? Řešení: B S,6 (,,5),8 Wb Příklad 45: Jaký je proud ve vodiči, je-li v bodě A na obr. magnetická indukce B =, T? = A, =4 A, r = 5 mm, okolní prostředí je vzduch. Obr. - Proudy ve svazku vodičů Řešení: B H = 4-7 (Hm - ), pro vzduch je r přibližně. r H n Fm a F m i r i Z toho plyne F m F m B r H r, 4 r 5 5A 7 4 r F m z toho Fm A 96

97 5.4 Hopkinsonův zákon Je vztah mezi magnetickým napětím jako zdrojem magnetického pole a magnetickým indukčním tokem. Víme, že B, z toho B S. S m Protože platí B H a H, získáme dosazením l m S B S H S S m l l S Výraz m se označuje Gm a nazývá se magnetická vodivost (permeance). Jednotkou je l henry (H). S Gm m (H) l Platí tedy G m m ozměr jednotky henry: Wb T m Gm ( H) ( ) ( ) m A A Převrácená hodnota magnetické vodivosti je magnetický odpor (reluktance) m. m, tedy G m m l S (H - ), kde r Magnetický odpor je odpor, který klade dané prostředí průchodu magnetického toku. Pro magnetický tok v každé části magnetického obvodu tedy platí vztah m - Hopkinsonův zákon m 5.5 Magnetické vlastnosti látek Z Hopkinsonova zákona je patrné, že celkový magnetický tok je přímo úměrný velikosti magnetického napětí a nepřímo úměrný magnetickému odporu dané cesty magnetického toku. Magnetický odpor konkrétní části magnetického obvodu je daný jednak jeho rozměry, tedy délkou a průřezem, a jednak velikostí permeability materiálu. m l S, kde r Pro většinu látek (mimo feromagnetika) je r přibližně. Pro feromagnetické materiály je hodnota r mnohonásobně vyšší. Pro tuto vlastnost jsou feromagnetické materiály využívány pro konstrukci magnetických obvodů. Jejich použitím docílíme výrazně silnějšího magnetického pole při stejném budícím proudu v obvodu. 97

98 Z hlediska magnetických vlastností dělíme materiály do tří skupin: átky diamagnetické, kde r. Tyto látky nepatrně zeslabují magnetické pole. Patří sem např. měď, zlato, stříbro, voda, zinek a další. átky paramagnetické, kde r. Tyto látky nepatrně zesilují magnetické pole. Patří sem např. hliník, platina, vzduch a další. átky feromagnetické, kde r (až 4 krát). Tyto látky výrazně zesilují magnetické pole. Patří sem železo, nikl, kobalt a jejich slitiny. Pro praktické výpočty se hodnota r pokládá za rovnu jedné. r pro všechny diamagnetické i paramagnetické látky 5.5. Magnetické vlastnosti feromagnetických materiálů Jak už bylo uvedeno, v okolí pohybujícího se elektrického náboje vzniká magnetické pole. Protože elektrony jsou nosiči elementárního elektrického náboje a pohybují se v rámci atomů po svých drahách okolo atomového jádra a mimo to se otáčejí kolem své osy (tzv. spin elektronu), vybuzuje se v jejich okolí elementární magnetické pole. Tyto magnetické účinky se navenek vzájemně většinou ruší a materiál se navenek jeví jako nemagnetický. feromagnetických materiálů nastává tzv. spontánní magnetizace; to je magnetické uspořádání atomů v určité oblasti nazývané doména, které nastává v krystalické struktuře materiálu při určitých teplotách při zpracování těchto kovů. Feromagnetický materiál se tedy skládá z takto vzniklých domén o velikosti řádově -4 m. Každá doména tedy je miniaturním magnetem a vytváří magnetické pole. V nezmagnetizovaném stavu jsou jednotlivé domény, a tedy i magnetická pole jednotlivých domén, různě orientována. Při zmagnetování materiálu vnějším magnetickým polem dochází k uspořádání domén do směru působícího magnetického pole. Po vyjmutí z magnetického pole zůstávají domény částečně uspořádány materiál vykazuje tzv. zbytkový magnetizmus. Při prvním zmagnetování se domény postupně orientují v materiálu. Z toho plyne skutečnost, že permeabilita feromagnetika není konstantní (jak je tomu u ostatních materiálů), ale je závislá na velikosti vnějšího magnetického pole. Závislost magnetické indukce na intenzitě magnetického pole B = f(h) vyjádřená grafem se nazývá magnetizační charakteristika. Obr. 4 - Magnetizační charakteristika 98

99 Při prvním zmagnetování materiálu se jedná o tzv. křivku prvotní magnetizace. Z magnetizační křivky je patrné, že až do bodu B tzv. kolena - roste magnetická indukce strmě, což znamená, že malým přírůstkem intenzity magnetického pole dosáhneme velkého přírůstku magnetické indukce. Nad bodem B je většina domén již natočena podle směru vnějšího magnetického pole; tato část magnetizační charakteristiky se nazývá oblast nasycení. Se stejným přírůstkem intenzity magnetického pole dosáhneme podstatně menšího přírůstku magnetické indukce. Proto se při navrhování magnetických obvodů snažíme pohybovat se v oblasti magnetizační křivky mezi body A a B, kde má permeabilita největší hodnotu. V této části křivky má magnetizační charakteristika téměř lineární průběh a je největší. Hystereze feromagnetických materiálů Při dalším zmagnetování je závislost magnetické indukce jako funkce intenzity magnetického pole B = f(h) již jiná než při prvotní magnetizaci materiál vykazuje magnetickou paměť. Po vyjmutí z magnetického pole zůstávají domény částečně uspořádány materiál vykazuje tzv. zbytkový magnetizmus. To znamená, že i když bude nulový budící proud (tedy nulová intenzita magnetického pole), bude materiál vykazovat magnetické účinky s určitou hodnotou magnetické indukce. Této hodnotě říkáme remanentní magnetická indukce (též remanence) a značíme ji B r. Abychom zbytkový magnetizmus odstranili, musí se materiál zmagnetovat v opačném smyslu to znamená změnit smysl budícího proudu a tím i smysl intenzity magnetického pole H. Pro dosažení nulové magnetické indukce musíme dosáhnout určité hodnoty intenzity magnetického pole označujeme ji jako H c a nazývá se koercitivní intenzita (koercitivita). Pokud bychom dál zvětšovali budící proud v tomto opačném smyslu, dosáhli bychom nasycení s opačnou orientací domén materiál by byl zmagnetován v opačném smyslu. Při snižování proudu na nulovou hodnotu by materiál opět zůstal zmagnetován zbytkovým magnetizmem s hodnotou remanentní magnetické indukce -B r. Pro její odstranění je třeba opět obrátit smysl proudu celý proces přemagnetování se bude opakovat. Graficky tento jev popisuje křivka nazývaná hysterezní smyčka. Obr. 5 - Hysterezní smyčka 99

100 Při změně polarity magnetického pole je nutné vynaložit určitou energii na přemagnetování feromagnetického materiálu. Tato energie se mění v teplo, představuje tedy ztráty ve feromagnetickém materiálu; nazývají se hysterezní ztráty a jsou úměrné ploše hysterezní smyčky. Obr. 6 - Hysterezní ztráty ůzné feromagnetické materiály mají různý průběh magnetizační charakteristiky a různý tvar hysterezní smyčky. Je to dáno jejich složením a vnitřní krystalickou strukturou konkrétního materiálu. Magnetizační a hysterezní křivky materiálu udává výrobce na základě měření na vzorku příslušného materiálu. Podle tvaru hysterezní smyčky se materiály dělí na magneticky tvrdé a magneticky měkké. Magneticky tvrdé materiály mají velkou remanentní magnetickou indukci a velkou koercitivní intenzitu, tedy hysterezní smyčka je široká a má velkou plochu. Na likvidaci remanence u takového materiálu by bylo nutné velmi silné vnější magnetické pole. Proto se tyto materiály používají k výrobě trvalých (permanentních) magnetů. Jednou zmagnetovaný materiál si svůj magnetismus udrží bez jakékoliv vnější podpory. Jedná se převážně o slitiny oceli a chromu, wolframu a molybdenu. Magneticky měkké materiály mají malou remanentní magnetickou indukci a malou koercitivní intenzitu, tedy hysterezní smyčka je úzká a má malou plochu. Proto se používají tam, kde dochází k častému přepólování magnetického pole, tedy v obvodech napájených střídavým proudem. Malá plocha hysterezní smyčky je zárukou malých hysterezních ztrát. Jedná se převážně o slitiny železa s křemíkem nebo niklem. a) b) Obr. 7 - Materiály magneticky a) tvrdé a b) měkké

101 Protože feromagnetické materiály mají tendenci vracet se k předchozímu magnetickému stavu, má i po dosažení hodnoty H c při rychlém odpojení budícího proudu materiál zachovánu určitou magnetickou indukci, k níž se vrací viz bod X na obr. 8 a). Pro úplné odmagnetování feromagnetického materiálu je nutné při každém cyklu přemagnetování snižovat budící proud, tedy i intenzitu magnetického pole, tak dlouho, až magnetizmus klesne k nule. Vrcholy takto vzniklých hysterezních smyček leží na křivce, která je téměř shodná s křivkou prvotní magnetizace a nazýváme ji komutační křivka viz obr 8 b). a) b) Obr. 8 - Odmagnetování feromagnetického materiálu a komutační křivka Příklady magnetizačních charakteristik některých feromagnetických materiálů Obr. 9 - Magnetizační charakteristika pro ocel H = 5 A/m

102 Obr. - Magnetizační charakteristika pro šedou litinu Obr. - Magnetizační charakteristika pro plechy pro elektrotechniku, W/kg

103 Obr. - Příklady výstupů při měření magnetizačních charakteristik

104 5.6 Řešení magnetických polí ndukční čáry každého magnetického pole jsou uzavřené křivky obepínající elektrický proud, který toto pole vyvolal. ntenzita magnetického pole H je podíl proudu a délky příslušné n Fm indukční čáry H, případně H, kde F m i, tedy součet všech proudů, které se l l i podílely na vygenerování příslušného magnetického pole. Pro komplikované tvary se pro výpočet intenzity magnetického pole používá Biot-Savartův zákon. Biot-Savartův zákon: Obr. - Biot-Savartův zákon ntenzita magnetického pole H v bodě A vygenerovaná proudem v části vodiče o délce l je l H sin 4 r kde je úhel mezi příslušnou částí vodiče l a spojnicí r mezi částí vodiče a bodem A. Pozn.: Tento vztah berte jako fakt; jeho odvození není možné bez znalosti vyšší matematiky, která není obsahem středoškolských osnov Magnetické pole přímého vodiče Magnetické indukční čáry magnetického pole přímého vodiče, kterým protéká proud, mají tvar soustředných kružnic, které leží v rovině kolmé k ose vodiče, se středem ve středu průřezu vodiče obr. 4 a). ntenzita magnetického pole má na téže indukční čáře všude stejnou velikost a její směr je tečný k magnetické indukční čáře. Smysl se určuje pravidlem pravotočivého šroubu (nebo pravidlem pravé ruky). ntenzita magnetického pole vně vodiče má velikost H x kde x je vzdálenost bodu, v němž určujeme intenzitu, od středu vodiče. Průběh H jako funkce vzdálenosti od středu x pro x > r je lomená funkce, průběh je tedy hyperbolický obr. b). Maximální intenzity dosáhne pole na povrchu vodiče: H r r Ve vzdálenosti b od středu vodiče je intenzita H b b 4

105 a) b) Obr. 4 - Magnetické pole přímého vodiče a) a průběh intenzity magnetického pole b) ntenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta část proudu, kterou obepíná příslušná indukční čára. Proudová hustota J ve vodiči je Budící proud pro poloměr a < r je a J S r a J S a r a a r ntenzita magnetického pole uvnitř vodiče ve vzdálenosti a < r od středu vodiče je tedy a r a H a a r Tato funkce H = f (x) je pro x < r lineární, průběh intenzity H v závislosti na vzdálenosti od středu vodiče je přímkový. Příklad 46: rčete maximální intenzitu magnetického pole a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 5 mm od povrchu vodiče o průměru mm, protéká-li jím proud 6 A. Řešení: Maximální intenzita je na povrchu vodiče a je 6 6 H max 59 A/m r 5 ntenzita ve vzdálenosti 5 mm od povrchu vodiče je H 5 7 A/m x (5 5) 4 5

106 5.6. Magnetické pole kruhového závitu a) b) Obr. 5 - Magnetické pole kruhového závitu a) pohled na závit b) řez A A Magnetické pole kruhového závitu je pole nehomogenní. ndukční čáry mají tvar nesoustředných kružnic viz obr. 5 b). Hodnota intenzity magnetického pole se určuje ve středu závitu aplikací Biot-Savartova zákona na kruhový závit: l H 4 r sin Úhel ve středu závitu je 9 o, pro kruhový závit tedy platí l H 4 r elková intenzita magnetického pole H bude dána součtem dílčích intenzit po celé délce závitu: r r l H l r 4 r 4 r 4 r r Tedy H, kde r je poloměr závitu. r 5.6. Magnetické pole tenké cívky Za tenkou cívku považujeme takovou cívku, pro jejíž rozměry platí: D l a D kde D je střední průměr cívky D D D D D Obr. 6 - Magnetické pole tenké cívky 6

107 Pole této cívky bude podobné poli kruhového závitu s tím rozdílem, že na jeho vyvolání se podílí proud v N závitech; F m tedy bude rovno N a intenzita magnetického pole ve středu cívky je N H r kde D r Příklad 47: rčete, kolik závitů musí mít tenká cívka o rozměrech podle obr. 7, protéká-li jí proud A, aby intenzita magnetického pole ve středu cívky byla A/m. Řešení: Obr. 7 - Tenká cívka pro příklad 47 ntenzita magnetického pole ve středu cívky je H N r kde D r a D D D D D D 5 5 mm a r D 5, 5mm Počet závitů v cívce je r H 5,5 N 5,5 ívka bude mít 5 závitů Magnetické pole válcové cívky Válcová cívka neboli solenoid viz obr. 8 - je taková cívka, pro jejíž rozměry platí podmínka D l. Obr. 8 - Válcová cívka 7

108 Obr. 9 - Magnetické pole válcové cívky vnitř solenoidu je homogenní magnetické pole viz obr. 9. ndukční čáry jsou uvnitř cívky rovnoběžné s osou cívky a uzavírají se vnějším prostorem. Tvar magnetického pole je totožný s tvarem pole tyčového magnetu cívka navenek vykazuje severní pól (na tom konci cívky, kde indukční čáry vystupují z cívky) a jižní pól (na tom konci cívky, kde indukční čáry vstupují do cívky) Protože prostor, jímž se vnější indukční čáry uzavírají, má veliký průřez, je možné magnetický odpor této části magnetického obvodu zanedbat a za délku magnetického obvodu lze pro praktický výpočet považovat délku cívky l. Má-li cívka N závitů, je magnetické napětí m N. ntenzita magnetického pole uvnitř cívky v její ose je H l m N l Příklad 48: Vypočítejte intenzitu magnetického pole a celkový magnetický tok ve středu válcové cívky, která má 5 závitů, průměr 5 mm, délku cm a feromagnetické jádro, jehož relativní permeabilita je 8. ívkou protéká proud,5 A. Řešení: ntenzita magnetického pole ve středu cívky je N 5,5 H 5,5 5 A/m l Magnetický tok vypočítáme ze vztahu B S kde B S -7-7 B r H ,8,57 T a 8

109 S r ( ) ( ) 76,746 m B S,57 76,746 6,444 4 Wb Magnetické pole prstencové cívky Prstencová cívka neboli toroid viz obr. má N závitů navinutých na prstenci o kruhovém průřezu. ndukční čáry se uzavírají uvnitř prstence a mají tvar soustředných kružnic. Magnetické pole je téměř homogenní. Obr. - Toroid a jeho magnetické pole Pro praktický výpočet pokládáme magnetické pole za homogenní; v takovém případě bude intenzita magnetického pole v celém průřezu prstence stejná. Délka indukční čáry pak je r, kde r = D/, D je střední průměr prstence. Tento předpoklad je tím přesnější, čím je D větší než d. Magnetické napětí m je m N ntenzita magnetického pole uvnitř cívky je H l m N r Příklad 49: Vypočítejte intenzitu magnetického pole a celkový magnetický tok v toroidu, která má 4 závitů, průměr průřezu jádra mm, střední průměr prstence cm a feromagnetické jádro vyrobené z oceli. ívkou protéká proud,8 A. Řešení: ntenzita magnetického pole je N 4,8 H 8,59, D A/m 9

110 Magnetický tok vypočítáme ze vztahu B S B S kde hodnotu magnetické indukce B zjistíme z magnetizační křivky pro materiál jádra viz obr. : Obr. - Odečtení magnetické indukce z magnetizační charakteristiky materiálu 6 6 S r ( ) 5 78,598 m B S,478,598 6,565 4 Wb 5.7 Řešení magnetických obvodů Jak již bylo uvedeno, magnetický obvod je dráha, po které se uzavírá magnetický tok. Magnetické obvody elektrických strojů a přístrojů jsou většinou sestaveny tak, aby byly tvořeny převážně z feromagnetických materiálů z toho důvodu, že i malým budícím proudem docílíme značné magnetické indukce potřebné k práci daného stroje nebo přístroje. a) b) Obr. - Magnetický obvod a) rozvětený b) nerozvětvený se dvěma cívkami

111 Pokud má magnetický obod více větví, magnetický tok se do nich rozdělí, a to tak, že čím menší bude magnetický odpor větve, tím větší část magnetického toku bude procházet touto větví. Na obrázku a) jsou průřezy obou krajních větví stejné, poloviční než průřez střední větve, takže tok se rozdělí na dvě stejné části. Téměř % toku se bude uzavírat po dráze dané feromagnetickým jádrem, protože magnetický odpor okolního prostředí (vzduchu) je mnohonásobně vyšší nez odpor feromagnetického obvodu. Nepatrná část magnetického toku, která se uzavírá vzduchem, s nazývá rozptylový tok. Pro každé místo, kde se magnetický tok dělí (tzv. uzel magnetického obvodu) obecně platí, že součet všech magnetických toků do uzlu vstupujících se rovná součtu všech magnetických toků z uzlu vystupujících. n k Pokud se na vygenerování magnetického toku podílí více magnetických napětí, celkové magnetomotorické napětí je součtem jednotlivých magnetických napětí. k n k F m mk Při řešení magnetických obvodů využíváme Hopkinsonův zákon kde m l S m m (H - ) r 5.7. Výpočet magnetických obvodů buzených elektrickým proudem zavřený toroidní kroužek o konstantním průřezu Je-li na uzavřeném toroidním kroužku (jádru) z feromagnetického materiálu o konstantním průřezu navinuta cívka s N závity, kterou protéká proud, vznikne magnetické pole, které se uzavírá převážně v jádru; rozptylový tok v okolním vzduchu je tak malý, že je možné jej v praktickém výpočtu zanedbat. Příklad 5: Vypočítejte velikost budícího proudu v cívce o závitech navinuté na toroidním kroužku z oceli s rozměry podle obr. tak, aby celkový magnetický tok 4-4 Wb. D = 8 mm, d = mm. Obr. - Toroidní jádro

112 Řešení: Magnetické indukce je B S kde 4 B S S r ( ) 4 m 4 6 4,7 T 4 Hodnotu intenzity magnetického pole H zjistíme z magnetizační křivky pro materiál jádra viz obr. : H = 5 A/m Magnetomotorické napětí je F m Budící proud bude F N H l H D 5 8 m 4,59,57796 A,5 8 4,59 A Příklad 5: Vypočítejte velikost magnetického odporu jádra z předchozího příkladu a relativní permeabilitu materiálu při daném budícím proudu. Řešení: Z Hopkinsonova zákona m je m m m kde m pro celé jádro je rovno F m F 4, 4 4, 4 4 m 4 m 78,54 H - 4 Magnetický odpor tohoto jádra je možné řešit také ze vztahu m l S B,7 kde,6 (Hm - ) H 5 l 8 8 6,787 m 6 S,6 4,6 4 H - Výsledek je téměř stejný, zanedbatelný rozdíl ve výsledku je důsledkem zaokrouhlování. elativní permeabilitu vypočteme ze vztahu B r H kde r a = 4-7 Hm -

113 B r H, , ,5 Toroidní kroužek o konstantním průřezu se vzduchovou mezerou Pokud je vzduchová mezera ve feromagnetickém jádru malá, magnetický tok se uzavírá v magnetickém obvodu po stejném průřezu S = r. Obr. 4 - Toroidní jádro se vzduchovou mezerou Magnetická indukce je B, je tedy po celé délce indukční čáry stejná. S B ntenzita magnetického pole H je dána vztahem H. Protože relativní permeabilita vzduchu je výrazně menší než relativní permeabilita feromagnetického materiálu, bude intenzita ve vzduchové mezeře podstatně větší než intenzita ve feromagnetickém materiálu. H B B >> r Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je B m H Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je elkové magnetomotorické napětí je mfe H Fe l H r Fe B l r B rfe Po dosazení F m m F m m mfe mfe B B l r

114 Příklad 5: rčete, jaký počet závitů musí mít toroidní cívka navinutá na toroidním kroužku z oceli se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr. tak, aby hodnota magnetické indukce ve vzduchové mezeře byla, T. D = 8 mm, d = mm, =,5 mm. Budící proud může mít hodnotu maximálně,8 A. Řešení: Magnetické indukce je, T a je stejná ve vzduchové mezeře i ve feromagnetickém jádru. ntenzita magnetického pole ve vzduchové mezeře je H B, ,9549 A/m ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části odečteme z magnetizační charakteristiky pro ocel H Fe = A/m. Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je 6 m,9549,5 45,95 A H Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je mfe H Fe l ( D ) ( 8,5 ), ( 8,5 ) 99,799 A elkové magnetomotorické napětí je F 45,95 99,799 75,88 A m m mfe Pro budící proud =,8 A musí mít cívka N F m 75,88 68,985 69,8 závitů Příklad 5: Vypočítejte celkový magnetický tok v magnetickém obvodu podle obr. 5. ívka má 5 závitů a protéká jí proud,6 A, cívka má závitů a protéká jí proud,9 A. Jádro je vyrobeno z plechů pro elektrotechniku, W/kg. 4

115 Řešení: Obr. 5 - Magnetický obvod pro příklad 5 Délka střední indukční čáry je l (7 9) mm elkové magnetomotorické napětí je F m Fm Fm N N 5,6,9 8 A ntenzita magnetického pole F H l m 75 A/m, Magnetickou indukci odečteme z magnetizační charakteristiky materiálu jádra B =, T elkový magnetický tok je 4 B S, (,,),,8 Wb Příklad 54: Vypočítejte magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu podle obr. 6 tak, aby magnetická indukce ve vzduchové mezeře byla,6 T. Jádro je vyrobeno z plechů pro elektrotechniku, W/kg. Navrhněte počet závitů cívky a velikost budícího proudu. Obr. 6 - Magnetický obvod pro příklad 54 5

116 Řešení: Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu je l (7 9) 8mm Magnetické indukce je,6 T a je stejná ve vzduchové mezeře i ve feromagnetickém jádru ntenzita magnetického pole ve vzduchové mezeře je H B, ,74 A/m ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku, W/kg H Fe = 5 A/m. Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je 6 m H,74, A Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je mfe H Fe l 58 elkové magnetomotorické napětí je A F 546,5 659,5 A m m mfe Protože Fm N b, navrhneme vhodný budící proud, dopočítáme počet závitů a provedeme korekci proudu pro celé číslo počtu závitů. Například je-li pro b možné použít maximálně 5 A; pak F 659,5 m N 7,9 - navrhneme tedy např. N = 8 závitů a 5 F 659,5 budící proud bude m b 4,57475 A N 8 Graficko-početní metoda řešení magnetických obvodů Pokud je magnetický obvod složen z více částí z různých feromagnetických materiálů a je známé magnetomotorické napětí, je problematické vypočítat magnetický tok. Platí, že např. pro dvě části obvodu m Hopkinsonův zákon m m Magnetický odpor u feromagnetických materiálů je ale závislý na velikosti magnetizace a proto ho není možné běžným způsobem spočítat hodnota není konstantní je dána magnetizační křivkou. Proto byla vyvinuta tzv. graficko-početní metoda, která spočívá ve vykreslení funkce f ( F m ), která je pro malé rozdíly toku přibližně lineární. Z průběhu této funkce je pak možné odečíst magnetický tok pro zadanou hodnotu magnetomotorického napětí F m. 6

117 Je-li zadána konkrétní hodnota F m, při řešení postupujeme tak, že zvolíme libovolný tok a pro něj vypočítáme příslušné magnetomotorické napětí F m. Tok volíme tak, aby F m < F m. Poté zvolíme libovolný tok a pro něj vypočítáme příslušné magnetomotorické napětí F m; tok volíme tak, aby F m > F m. Tím získáme dva body magnetizační křivky a nakreslíme průběh funkce f F ) : ( m Obr. 7 - Funkce f F ) ( m Při volbě hodnot a se snažíme, aby úsek mezi nimi byl co nejmenší; pak je lineární náhrada magnetizační křivky velmi přesná. Výsledný magnetický tok výsl. získáme odečtem jeho hodnoty pro zadané magnetomotorické napětí z grafu funkce f F ). ( m Příklad 55: Vypočítejte magnetický tok v magnetickém obvodu ze dvou různých feromagnetických materiálů, a to z plechů pro elektrotechniku s měrnými ztrátami, W/kg a z šedé litiny podle obr. 8. Budící proud je,5 A a cívka má 5 závitů. Obr. 8 - Magnetický obvod ze dvou různých feromagnetických materiálů 7

118 Řešení: Magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu F m N 5,5 75A Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu plechy - je l plechy mm Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu litina - je llitina mm Zvolíme magnetický tok = 5-4 Wb a vypočteme magnetomotorické napětí F m : Protože průřez v obou materiálech je stejný, bude i magnetická indukce B stejná pro oba materiály: B 6 kde S 9 m S 4 5 B, T 4 S 9 ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části plechy - odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku, W/kg H plechy = A/m. ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části litina - odečteme z magnetizační charakteristiky pro šedou litinu H litina = 4 A/m. Magnetomotorické napětí pro tok je F m F m mplechy 8 mitina H Plechy 44 l Plechy H itina l itina 6 6 7A Zvolíme magnetický tok = 7-4 Wb a vypočteme magnetomotorické napětí F m : B 6 kde S 9 m S 4 7 B, T 4 S 9 ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části plechy - odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku, W/kg H plechy = 4 A/m. ntenzitu magnetického pole ve feromagnetické části litina - odečteme z magnetizační charakteristiky pro šedou litinu H litina = 5 A/m. Magnetomotorické napětí pro tok je F m F m mplechy 48 mitina H Plechy 54 l Plechy H itina l itina A Z hodnot F m = 7 A, = 5-4 Wb a F m = 84 A, = 7-4 Wb sestrojíme v Excelu graf funkce f F ) : ( m 8

119 F m (A) 7 84 Wb,5,7 Obr. 9 - Graf funkce f F ) pro příklad 55 ( m Výsledný magnetický tok odečteme z grafu - výsl. =,67 Wb. 5.8 Elektromagnetická indukce 5.8. ndukční zákon Jak již bylo vysvětleno, prochází-li vodičem elektrický proud, vzniká v jeho okolí magnetické pole. Řadou pokusů bylo doloženo, že i magnetické pole způsobuje elektrické jevy. Pokud se bude měnit magnetický tok skrz vodivou smyčku, bude se ve smyčce indukovat elektrické napětí. Bude-li smyčka uzavřená, začne jí protékat elektrický proud. Tento jev je vyjádřen tzv. indukčním zákonem. ndukční zákon: Časovou změnou magnetického toku spřaženého s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje elektrické napětí u: d u dt kde d = změna (přírůstek nebo úbytek) magnetického toku dt = změna času, za který se magnetický tok změnil o d 9

120 Pozn.: Obr. - Magnetický tok spřažený se smyčkou a indukční zákon Malá písmena označující veličinu znamenají, že se jedná o okamžitou hodnotu veličiny, která se v průběhu času může měnit. Pokud bude smyčka, ve které se indukuje napětí, uzavřená, bude jí protékat proud i. Obr. - ndukované napětí a proud Smysl indukovaného napětí bude takový, aby proud v obvodu působil magnetickým polem, které vybudí, proti změně spřaženého magnetického toku (encův zákon). Vodivá smyčka, skrz kterou prochází měnící se magnetický tok, je základním principem získávání elektrické energie. ndukované napětí u a vnitřní (elektromotorické) napětí zdroje e jsou stejně velká a mají opačnou polaritu: u = -e Bude-li procházet magnetický tok cívkou o N závitech a bude se měnit v závislosti na čase viz obr., bude se v cívce indukovat napětí d u N (závity jsou spojeny do série napětí se sčítají) dt Obr. - Elektromagnetická indukce v cívce

121 Napětí v závitu (v cívce) se bude indukovat pouze tehdy, bude-li se měnit magnetický tok závitem (cívkou). Čím rychlejší bude změna toku, tím větší bude indukované napětí. Bude-li tok konstantní, indukované napětí je nulové. Příklad 56: Jaké je indukované napětí v cívce o 5 závitech, je-li v celém prostoru uvnitř cívky homogenní magnetické pole, jehož magnetická indukce se mění plynule za,5 s z na,8 T a za následující,5 s z,8 T na? Vnitřní průřez cívky je cm. Vypočítejte indukované napětí a nakreslete graf závislosti u = f(t). Řešení: Magnetický tok je BS Na začátku a na konci bude magnetický tok roven Po,5 s bude tok BS,8 Změna magnetického toku bude Změna času bude dt,5s 4,6 4 Wb 4 4 d,6,6 Wb Protože změna bude plynulá, indukované napětí bude konstantní, a to d,6 u N 5 dt, ,48V V průběhu prvních,5 s se magnetický tok plynule zvětšuje, indukované napětí je tedy konstantní a kladné; v průběhu dalších,5 s hodnota toku plynule klesá, indukované napětí bude záporné. Průběh indukovaného napětí v závislosti na čase je na obr.. Obr. - Průběh indukovaného napětí u = f(t) z příkladu 56

122 5.8. Pohybové napětí Mění-li se magnetický tok vodivou smyčkou, indukuje se ve smyčce elektrické napětí. Na obr. 4 jsou dva rovnoběžné vodiče, jejichž vzájemná vzdálenost je l, které jsou na jednom konci vodivě spojeny, a na druhém konci (v bodu X) na nich kolmo leží další vodič; vzájemný dotek vodičů je vodivý. Toto uspořádání vodičů tvoří smyčku. Kolmo k ploše této smyčky působí magnetické pole o magnetické indukci B. Velikost ani směr magnetického toku se nemění. Začne-li se příčný vodič pohybovat rychlostí v ve směru osy pevných podélných vodičů viz obr. 4 z bodu X do bodu Y, bude se ve smyčce indukovat napětí u tzv. pohybové napětí. Obr. 4 - Vznik pohybového napětí d Velikost indukovaného pohybového napětí vypočítáme z indukčního zákona u. dt Za čas t se příčný vodič posune o vzdálenost s vt. Magnetický tok smyčkou se tedy zmenší o hodnotu : BS Bsl Bvt l Velikost napětí indukovaného při pohybu vodiče bude d ( Bvt l) u Bl v dt t Začne-li se příčný vodič pohybovat rychlostí v zpět z bodu Y do bodu X, magnetický tok smyčkou se zvětší o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětí obrácené polarity: d Bvt l u Bl v dt t Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmé k indukčním čarám, objeví se na koncích vodiče elektrické napětí tzv. pohybové indukované napětí Smysl indukovaného napětí a proudu je dán enzovým zákonem. enzův zákon: ndukovaný elektrický proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického indukčního toku, která je jeho příčinou.

123 Obr. 5 - enzův zákon Pokud se magnetický tok zmenšuje, je směr proudu takový, aby jím vyvolané magnetické pole původní magnetický tok zesilovalo viz obr. 5, a naopak pokud se tok zvětšuje, směr proudu bude takový, aby jeho magnetické pole původní pole zeslabovalo. Příklad 57: Jaké je indukované napětí ve vodiči, který se pohybuje v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B =, T rychlostí,5 m/s, je-li délka, jíž vodič zasahuje do magnetického pole cm, osa vodiče je kolmá k magnetickým indukčním čarám a vektor rychlosti v svírá se směrem indukčních čar úhel a) 9 o b) o a c) 6 o? Řešení: a) Při úhlu 9 o bude indukované napětí největší, a to u Bl v,,,5,8v o b) Při úhlu bude indukované napětí nulové; pohyb probíhá ve směru indukčních čar, a tudíž magnetické pole neprotíná, změna toku ve smyčce je nulová. u = c) Při úlu 6 o se bude na elektromagnetické indukci podílet pouze ta složka rychlosti, která je kolmá k indukčním čarám; složka s indukčními čarami rovnoběžná neovlivní velikost indukovaného napětí. Vektor rychlosti rozložíme na dvě kolmé složky a vypočítáme složku kolmou k indukčním čarám: vkolmá,5 cos6,5,5,5m/s Obr. 6 - ozklad rychlosti na složky

124 ndukované napětí pak bude u Bl v kolmá,,,5,9 V 5.8. Vlastní indukčnost Bude-li cívkou o N závitech procházet elektrický proud, který se s časem mění, vznikne v ní magnetický tok, který se pochopitelně s časem také mění viz obr. 7, a v cívce se bude indukovat napětí d u N dt Protože platí Hopkinsonův zákon Obr. 7 - Vlastní indukčnost cívky m, kde m N, a tedy po dosazení N, m m můžeme vyjádřit vztah pro změnu magnetického toku v závislosti na změně budícího proudu za čas dt N di d V každém závitu cívky se bude indukovat napětí m u N di m dt ívka má N závitů (za sebou) a tak bude celkové indukované napětí d u N N dt N di m dt N m di dt Výraz N byl nazván vlastní indukčnost cívky a značí se. Pak lze psát m 4

125 di u kde je vlastní indukčnost cívky dt Jednotkou indukčnosti je henry (H). ozměr jednotky H je N m u dt di ( V ) ( s) ( H ) V s A ( A) Velikost vlastní indukčnosti závisí na konstrukčních a materiálových parametrech cívky. N m N kde S je průřez cívky, l je její délka, je permeabilita vakua a r je relativní permeabilita materiálu, ze kterého je vyrobeno jádro cívky. Pokud je jádro cívky z neferomagnetického materiálu, je indukčnost cívky konstantní, nezávislá na velikosti budícího proudu. ívka, která má jádro z feromagnetického materiálu, má indukčnost výrazně větší dík vyšší hodnotě r, ale její velikost není konstantní, závisí na velikosti budícího proudu. To se v praxi řeší přidáváním vzduchových mezer do magnetického obvodu jádra cívky, čímž se nelinearita indukčnosti omezí na minimum. Pro výpočet indukčností se v praxi využívají empirické vzorce. r S l Příklad 58: Jaké je indukčnost cívky s jádrem z elektrotechnické lepenky o průměru cm, má-li 5 závitů vinutých těsně v jediné vrstvě, průměr vodiče je,4 mm. Řešení: ndukčnost cívky je kde N m Obr. 8 - Jednovrstvá cívka N r S l l = N,4 = 5,4 = mm a S = r = 5 =78,598 mm N r S l ,54 6 5

126 78, ,9 H Příklad 59: Vypočítejte indukčnost toroidní cívky o 5 závitech navinuté na toroidním kroužku z oceli se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr. 9. D = 8 mm, d = mm, =,5 mm. elativní permeabilita materiálu jádra je 4. Obr. 9 - Magnetický obvod toroidní cívky Řešení: Magnetický odpor ve vzduchové mezeře m,5 m 7 S 4 ( ) 7 4 6,5,5 4 4 Magnetický odpor ve feromagnetickém jádru 6 H - m Fe l 8,5 7 r S 4 4 ( ) 7 8, , ,56 6 H - ndukčnost cívky je N m m N mfe 5 (,5,56) 6,5,549 H,5, Vzájemná indukčnost Pokud do blízkosti cívky (primární cívky), kterou protéká proud, umístíme další cívku (sekundární cívku), nastane následující situace: proud v primární cívce vybudí magnetický tok, jehož část se uzavírá i cívkou viz obr. 4. 6

127 Obr. 4 - Vzájemná indukčnost Bude-li se proud v cívce v průběhu času měnit, bude se měnit i magnetický tok a tím i jeho část cívkou. Víme, že pokud se mění magnetický tok cívkou, v cívce se indukuje elektrické napětí. Z uvedeného vyplývá, že změnou proudu v primární cívce se bude indukovat elektrické napětí v sekundární cívce. ze psát di u konst dt Konstantu v uvedeném vztahu nazýváme vzájemná indukčnost a označujeme ji M. Jednotkou vzájemné indukčnosti je henry (H). Velikost vzájemné indukčnosti pro dvě cívky určíme pomocí Hopkinsonova zákona. Magnetický tok a tím i jeho část sekundární cívkou byl vybuzen magnetomotorickým napětím primární cívky F m : F m N Je-li magnetický odpor magnetické cesty mezi primární a sekundární cívkou m, je velikost magnetického toku sekundární cívkou N m Napětí indukované v sekundární cívce změnou proudu v primární cívce tedy bude Velikost vzájemné indukčnosti je d N di N N di u N N M dt dt dt m N M N m Pokud budou obě cívky navinuty na společném feromagnetickém jádru - viz obr. 4, téměř všechen magnetický tok vygenerovaný primární cívkou se bude uzavírat i prostorem sekundární cívky. V ideálním případě bude =. m di dt 7

128 Obr. 4 - Vzájemná vazba mezi cívkami Vlastní indukčnost primární cívky a vlastní indukčnost sekundární cívky je N m N m Vzájemná indukčnost M je N N M m mocníme-li tento vztah na druhou, dostaneme a tedy M N N N N N N ( ) m m m m M Změní-li se proud v primární cívce o hodnotu di za čas dt, napětí indukované v primární cívce bude u a napětí indukované v sekundární cívce bude di dt N m di dt u di N N M dt m di dt Poměr napětí u je u u u N di m dt N N di dt m N N Tento poměr se nazývá transformační poměr. 8

129 Ve skutečnosti nebývá magnetický tok stoprocentně spřažen se sekundární cívkou, ale dochází k jistému magnetickému rozptylu, magnetický tok je oproti toku menší právě o tento rozptylový tok, který se uzavírá vzduchem nebo konstrukčními prvky v okolí cívek. Pak M ; M kde je činitel vazby obou cívek,. Příklad 6: Vypočítejte vlastní indukčnosti cívek a a jejich vzájemnou indukčnost M. Počet závitů primární cívky je, počet závitů sekundární cívky je 5, magnetický obvod je na obr. 4. Činitel vazby mezi cívkami je,9. elativní permeabilita feromagnetického materiálu je 8. Obr. 4 - Společný magnetický obvod cívek Řešení: Délka střední indukční čáry je l (7 9) mm Magnetický odpor mfe m Fe l S ndukčnost první cívky r ( ), H - N,874 H 6,5678,5678 mfe ndukčnost druhé cívky N 5,5,66 H 6,5678,5678 mfe Vzájemná indukčnost cívek M,9,8,66,874 H 9

130 Příklad 6: Vypočítejte, jaké napětí se bude indukovat v primární i sekundární cívce z předchozího příkladu, změní-li se proud v primární cívce z, na,6 A za, s. Řešení: Napětí indukované v primární cívce u di,6 -,,874 dt, Napětí indukované v sekundární cívce u di,6 -, M,8 dt, 7,7 V 9,54 V Pozn.: pokud by rozptylový tok byl nulový, pak by indukované napětí ve druhé cívce bylo u ideál. N N di 5,6 -,,5,5 uideál.,688 V 6 dt,5678,,5678, m Spočítáme-li poměr u / u ideál, dostaneme 7,7/,6 = 6,67 Spočítáme-li poměr N/N, dostaneme /5 = 6,67 Z rovnosti vyplývá, že pro ideální vazbu mezi cívkami platí u N transformační poměr. u N Spojování cívek Schematická značka cívky v elektrotechnických obvodech je. ívky se mohou spojovat sériově nebo paralelně. ívky spojené sériově Spojíme-li do série dvě cívky o indukčnostech a, můžeme je v obvodu nahradit jedinou cívkou o indukčnosti, která má stejné vnější účinky jako dané sériové spojení viz obr. 4, to znamená, že při stejných změnách proudu v obvodu se bude v obou případech indukovat stejné napětí. Obr. 4 - Náhrada sériově spojených cívek s nulovou vzájemnou indukčností

131 Pokud mezi oběma cívkami není žádná vazba, tedy vzájemná indukčnost M =, pro první obvod lze psát: u u u kde u di dt a di di di Po dosazení u ( ) dt dt dt Pro výslednou indukčnost platí u Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že di dt u elková indukčnost dvou cívek zapojených do série, mezi nimiž není vzájemná magnetická vazba (M = ), je rovna součtu indukčností jednotlivých cívek. Analogicky lze vyjádřit výslednou indukčnost n sériově zapojených cívek: Pokud je do série zapojeno několik cívek, mezi nimiž není vzájemná vazba, platí pro výslednou indukčnost tohoto zapojení vztah n k k Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná vazba viz obr. 44, tedy je nenulová vzájemná indukčnost M, pak pokud se jejich magnetická pole sčítají, lze psát: di dt Pro první obvod: Po dosazení Obr Náhrada sériově spojených cívek se vzájemnou indukčností M u u u kde Pro výslednou indukčnost platí Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že u di di M dt dt a u di dt M di di di di di u M M ( M ) dt dt dt dt dt u di dt M elková indukčnosti dvou cívek zapojených do série, mezi nimiž je vzájemná indukčnost M, je rovna součtu indukčností jednotlivých cívek a jejich vzájemných indukčností. Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny proti sobě viz obr. 45, pak se jejich magnetická pole odečítajíčítají a lze psát: di dt

132 Obr Náhrada sériově spojených cívek se vzájemnou indukčností M zapojených proti sobě Pro první obvod: Po dosazení u u u kde u di di M dt dt a u di dt M di di di di di u M M ( M ) dt dt dt dt dt di dt Pro výslednou indukčnost platí Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že u di dt M ívky spojené paralelně Spojíme-li paralelně dvě cívky o indukčnostech a, můžeme je v obvodu nahradit jedinou cívkou o indukčnosti, která má stejné vnější účinky jako dané paralelní spojení viz obr. 46, to znamená, že při stejných změnách proudu v obvodu se bude v obou případech indukovat stejné napětí. Obr Náhrada paralelně spojených cívek s nulovou vzájemnou indukčností Pokud mezi oběma cívkami není žádná vazba, tedy vzájemná indukčnost M =, pro první obvod lze psát: kde a tedy z toho u u u a i i i, tedy také di di di di a dt u di a dt u di u a dt di u dt di u dt di dt u

133 Po dosazení di di di di u u Pro výslednou indukčnost platí di u z toho dt Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že di dt u Převrácená hodnota celkové indukčnosti dvou cívek zapojených paralelně, mezi nimiž není vzájemná magnetická vazba (M = ), je rovna součtu převrácených hodnot indukčností jednotlivých cívek. Analogicky lze vyjádřit výslednou indukčnost n paralelně zapojených cívek: Pokud je paralelně zapojeno několik cívek, mezi nimiž není vzájemná vazba, platí pro výslednou indukčnost tohoto zapojení vztah n k k Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně viz obr. 47, pak jejich magnetická pole působí souhlasně a analogicky platí: M M Obr Výsledná indukčnost paralelně spojených cívek se vzájemnou indukčností M Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně viz obr. 48, pak jejich magnetická pole působí proti sobě a lze psát: M M Obr Výsledná indukčnost antiparalelně spojených cívek se vzájemnou indukčností M

134 Příklad 6: Jaká je vzájemná indukčnost dvou cívek spolených do série, je-li celková indukčnost sériového spojení cívek 8 mh, vlastní indukčnost první cívky je mh a vlastní indukčnost druhé cívky je 4 mh? Řešení: Výsledná indukčnost při sériovém spojení dvou cívek je Z toho M ( ) 8 ( 4) M mh Přechodový jev na indukčnosti Napětí v cívce se bude indukovat pouze tehdy, bude-li se měnit elektrický proud v cívce: u i di. dt Bude-li proud konstantní(di = ), indukované napětí je nulové. ívka připojená ke zdroji stejnosměrného napětí bude v ustáleném stavu vykazovat pouze ohmický odpor daný odporem drátu, z něhož je cívka navinuta (POZO - většinou se jedná o měděný drát, odpor bude tedy velmi malý a při větších napětích by velký proud během krátké doby cívku poškodil). V okamžiku připojení cívky ke zdroji stejnosměrného napětí nastává tzv. přechodový děj na indukčnosti: Obr Přechodový jev na indukčnosti V obvodu platí v každém okamžiku. Kirchhoffův zákon: V čase t = (tj. při sepnutí spínače S) musí být proud cívkou ; pokud by měl proud jakoukoliv jinou hodnotu, pak di by bylo di = i -, tedy nenulové a dt v čase t = by bylo ; di pak výraz u by se blížil k nekonečnu a to je v rozporu s. Kirchhoffovým zákonem. dt Pro t platí: t = : i = u = i = u = - u = = 4

135 V čase t = se celé napětí zdroje objeví na cívce, na cívce je tedy v tomto momentu největší napětí pro celý průběh přechodového děje. Je-li největší indukované napětí, znamená to, že v tomto momentě je největší změna proudu i průběh proudu je nejstrmější. V ustáleném stavu t (to je po dostatečné době po sepnutí spínače S - přechodové děje v elektrotechnice jsou velmi rychlé, čas, v němž obvod dosáhne ustáleného stavu je maximálně v řádu sekund), se veličiny v obvodu již nemění, jsou konstantní. Platí: di dt di u u = u = = dt t : i = konst. di = u i V ustáleném stavu se v cívce neindukuje napětí; celé napětí zdroje je na rezistoru a proud v obvodu je omezen jen odporem rezistoru. Průběh proudu a napětí je na obr. 5. Nárůst proudu se postupně zpomaluje, indukované napětí cívky klesá, proud roste a roste i napětí na odporu u. Průběh je dán částí exponenciální křivky, tečna v jejím počátku vytne na ose času hodnotu tzv. časové konstanty. u t e kde Obr. 5 - Průběh proudu a napětí při přechodovém ději na indukčnosti 5.9 Energie magnetického pole Víme, že v okolí vodiče, kterým protéká elektrický proud, vzniká magnetické pole, a to silově působí na feromafneticlé předměty nebo na jiné vodiče, jimiž protéká proud. Z toho je patrné, že na vytvoření magnetického pole je potřebná určitá energie, kterou dodá průchod elektrického proudu, a ta zůstává v magnetickém poli nahromaděna. Na její udržování již není třeba žádnou další energii (pokud neuvažujeme ztráty Jouleovým teplem). elková energie magnetického pole je dána vztahem W m m (J; Wb, A) Pro magnetická pole zavádíme pojem hustota energie, označení w m, což je množství energie nahromaděné v jednotce objemu V = Sl, kde S je průřez a l délka objemu: 5

136 w m W V m V m m S l B H Tento vztah platí obecně v kterémkoliv prostředí, protože veličiny B a H se vztahují ke konkrétnímu místu magnetického pole. elková energie magnetického pole pak je W m w m V B H V B H S l Příklad 6: Vypočtěte energii, která je nahromaděna v magnetickém poli cívky. Řešení: Energie magnetického pole je W m m kde m N a N m Po dosazení W m N N m N m m Protože N m dostaneme výraz W m 5. Ztráty ve feromagnetických materiálech Vířivé proudy a ztráty vířivými proudy Vířivé proudy (také nazývané Foucaultovy proudy) jsou proudy vzniklé ve vodivých materiálech vlivem proměnlivého magnetického pole. Změnou magnetického toku se ve vodivých součástech indukuje napětí, které v uzavřených vodivých obvodech vodivých materiálech vyvolává proudy. Tyto proudy se uzavírají ve vodivém materiálu cestou nejmenšího odporu. Podle enzova zákona působí tyto proudy proti příčině, která je vyvolala, a tak zeslabují původní magnetický tok, a to nejvíce ve střední části plného průřezu. 6

137 Obr. 5 - Vířivé proudy v spojitém feromagnetickém materiálu a v izolovaných plechách Mimo to vířivé proudy vyvolávají při svém průtoku materiálem teplo (vyvinutá tepelná energie W Pt t ). Tato energie je nežádoucí jednak proto, že se jedná o ztrátovou energii a jednak proto, že vede k nežádoucímu ohřívání materiálů. Čím bude větší frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času), tím budou větší jednak ztráty dané zeslabením toku, jednak tepelné ztráty vířivými proudy. elkové ztráty způsobené vířivými proudy budou úměrné druhé mocnině frekvence a magnetické indukce: P v f B. Vířivé proudy je možné omezit tím, že se magnetické obvody elektrických strojů sestavují z tenkých, navzájem izolovaných plechů (plechy pro elektrotechniku mají tloušťku,5 mm, transformátorové plechy,5 mm); tím se jádro rozdělí a omezí se výraznější zeslabování budícího toku ve středu jádra. Mimo to se do materiálu pro tyto plechy přidává malé množství křemíku, čímž se výrazně zvětší jejich elektrický odpor. Plechy se vyrábí válcováním za studena, čímž se zvýší jejich magnetická vodivost v jednom směru. V některých speciálních případech lze vířivé proudy využít, například při indukčním ohřevu. Hysterezní ztráty Při změně polarity magnetického pole je nutné vynaložit určitou energii na přemagnetování feromagnetického materiálu. Tato energie se mění v teplo, představuje tedy ztráty ve feromagnetickém materiálu, které se nazývají hysterezní ztráty a jsou úměrné ploše hysterezní smyčky. Obr. 5 - Plocha hysterezní smyčky 7

138 Čím četnější je počet přemagnetování za jednotku času, tím budou ztráty větší; hysterezní ztráty jsou tedy úměrné nejen ploše hysterezní smyčky, ale i frekvenci. P h f B. elkové ztráty ve feromagnetických materiálech elkové ztráty ve feromagnetických materiálech v magnetických obvodech s časově proměnným magnetickým polem jsou dány součtem hysterezních ztrát a ztrát vířivými proudy. P Fe = P h + P v. V praxi se pro výpočet ztrát vířivými proudy i pro výpočet hysterezních ztrát používají empirické vzorce. 5. Silové působení magnetického pole Při výkladu fyzikálního významu magnetické indukce bylo uvedeno, že magnetické pole silově působí na vodiče, jimiž protéká elektrický proud. Velikost této síly je úměrná velikosti magnetické indukce B, velikosti proudu a té délce vodiče l, která se nachází v magnetickém poli: F B l Tento vztah platí tehdy, je-li vodič kolmý k indukčním čarám magnetického pole. Pokud svírá vodič s vektorem magnetické indukce B úhel, bude na vodič silově působit pouze ta složka magnetického pole, která je na vodič kolmá. F B l sin viz obr. 5 Obr. 5 - Síla působící na vodič v homogenním magnetickém poli Směr síly je dán enzovým pravidlem: vodič bude silou F vytlačován ze zesíleného magnetického pole do pole zeslabeného. Prochází-li vodičem proud, vzniká v jeho okolí magnetické pole. Víme, že magnetické pole působí silou na vodiče, kterými prochází proud. Z uvedeného vyplývá, že na vodič, kterým protéká proud, působí v blízkosti jiného vodiče, kterým protéká proud, síla. 8

139 Obr Vzájemné silové působení dvou rovnoběžných vodičů Velikost síly F: F B l kde B r H = 4-7 (Hm - ), pro vzduch je r přibližně. kde H r Dosazením získáme vztah F B r r -7-7 l 4 l (N; A,A,m,m) Stejně velká síla působí i na druhý vodič: l Obr Vzájemné silové působení dvou rovnoběžných vodičů síla působící na druhý vodič F B r r l -7-7 l 4 l Smysl síly bude vždy ze zesíleného magnetického pole do zeslabeného. Je-li směr proudů v obou vodičích opačný, magnetické pole v prostoru mezi vodiči je zesílené a vodiče se tedy odpuzují. Je-li směr proudů v obou vodičích souhlasný, magnetické pole v prostoru mezi vodiči je zeslabené a vodiče se tedy přitahují. 9

140 Obr Smysl síly při vzájemném silovém působení dvou rovnoběžných vodičů Základní jednotka v soustavě S pro elektrotechniku je jeden ampér (A) a jeho definice zní: Stejnosměrný proud o velikosti A je takový proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči o nekonečně malém průřezu a vzájemné vzdálenosti m vyvolá ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou sílu -7 N na m délky vodičů. Příklad 64: Jakou silou na sebe působí při zkratu dva vodiče v rozváděči, jsou-li v délce cm rovnoběžné a jejich vzdálenost je 5 cm? Proudy tečou opačným směrem a velikost zkratového proudu v nich je 4 A. Řešení: Vodiče se odpuzují a velikost síly je F r l 4 4, ,9 N 5.. Elektromagnety Elektromagnety se obvykle skládají z pevného feromagnetického jádra, na kterém je navinuta cívka, a z pohyblivé kotvy viz obr. 57. Prochází-li cívkou proud, vytvoří se magnetické pole, jehož indukční čáry se uzavírají feromagnetickým jádrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou. Obr Elektromagnet 4

141 Víme, že magnetické pole přitahuje předměty z feromagnetických materiálů, takže na pohyblivou kotvu působí přitažlivá síla elektromagnetu a přitahuje kotvu k jádru. Přitažlivá síla magnetu Již bylo uvedeno, že silové účinky magnetického pole charakterizuje jeho magnetická indukce B. Přitažlivá síla magnetu, a to jak permanentního, tak elektromagnetu, je závislá na velikosti magnetické indukce B. Obr Výpočet přitažlivé síly magnetu V souladu se zákonem zachování energie platí, že pokud magnetické pole vykoná práci danou posunem kotvy o vzdálenost dl silou F, musí se o stejnou hodnotu snížit energie magnetického pole. Je-li magnetická indukce ve vzduchové mezeře B, pak změna energie magnetického pole W m B B B H S dl B S dl S dl a práce vykonaná posunutím o dl silou F A F dl Z rovnosti Wm = A plyne, že síla F B S Platí, že B a S N ; m kde m je magnetický odpor vzduchové mezery m >> mfe a proto se pro praktický výpočet hodnota mfe zanedbává. Pak vztah pro přitažlivou sílu magnetu bude po dosazení F S S N m S 4

142 Při pohybu kotvy se mění délka vzduchové mezery a tím i m a následně síla F. Při úplném přitažení kotvy k jádru dojde ke styku ploch feromagnetických materiálů, uplatní se pouze magnetický odpor feromagnetické cesty mfe a magnetická indukce se výrazně zvýší. Příklad 65: Vypočítejte nosnou sílu elektromagnetu z obr. 57, je-li vzdálenost kotvy od jádra mm, plocha průřezu jádra S je 9 cm, cívka má závitů a proud cívkou je A. Řešení: Magnetický odpor vzduchové mezery je l 6 v 6 m 5,565 H S Minimální nosná síla elektromagnetu je F S S N m S F (5,565 ) (5,565) F 4 8, ,4 5 8,4 5,658N 4

143 6 Střídavé proudy Střídavý proud je takový proud, který v průběhu času mění svoji velikost a svůj směr. Pokud se tyto změny ve stejných časových intervalech opakují, pak se jedná o takzvaný periodický střídavý proud. Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazývá perioda a značí se T. Střídavé proudy se graficky znázorňují svým časovým průběhem; na vodorovné ose se vynáší čas, na svislé ose okamžitá hodnota proudu. Okamžité hodnoty se značí malými písmeny označení příslušné veličiny. Speciálním případem periodických střídavých proudů je proud harmonický. Harmonický proud je střídavý proud, jehož časová závislost je sinusová. Proud ve spotřebitelské síti je právě proud harmonický. Střídavé proudy používané v elektrotechnice jsou převážně proudy harmonické. Babyčka. Obr Časový průběh harmonického proudu Počet period za jednu sekundu se nazývá kmitočet nebo také frekvence, označuje se f a její jednotkou je hertz, značka Hz. Doba jedné periody je T (s; Hz) f Průmyslová frekvence používaná v Evropě je 5 Hz, v SA a Japonsku se používá průmyslová frekvence 6 Hz. Frekvence používané v radiotechnice se pohybují v řádech khz až MHz. Příklad 66: Vypočítejte dobu jedné periody pro průmyslový kmitočet v Evropě. Řešení: T, s f 5 4

144 6. Časový průběh harmonických střídavých proudů Časový průběh harmonického proudu popisuje výraz i max sin Obr. 6 - Časový průběh jedné periody harmonického proudu Hodnota max je maximální hodnota harmonického průběhu, tedy amplituda sinusoidy. Úhel je úměrný času; úhel odpovídá době jedné periody T. Času t odpovídá úhel t t f t T f Protože za jednotku času proběhne f period a jedné periodě odpovídá úhel, je úhel za jednotku času právě f. Hodnota f je úhlová rychlost, značí se. Platí tedy f (rads - ) i max sin( t) Pokud sinusový průběh nezačíná nulovou hodnotou, ale je na časové ose posunutý o úhel, nazýváme úhel fázový posun. Fázově posunutý průběh sinusoidy je i max sin( t ) Tento průběh harmonického proudu se před základní sinusoidou předbíhá: Obr. 6 - Časový průběh předbíhajícího se proudu 44

145 Pokud je sinusový průběh na časové ose posunutý o úhel -, je fázově posunutý průběh sinusoidy i max sin( t ) Tento průběh harmonického proudu se za základní sinusoidou zpožďuje: Obr. 6 - Časový průběh zpožďujícího se proudu Příklad 67: rčete, za jaký čas dosáhne okamžitá hodnota proudu poprvé nulové hodnoty, a okamžitou hodnotu proudu v čase,5 s, je-li maximální hodnota proudu 5 ma a frekvence je 5 Hz a proud je fázově zpožděn o o. Řešení: Doba periody je T, s f 5 Úhel odpovídající času T je. Okamžitá hodnota proudu dosáhne poprvé nulové hodnoty za čas odpovídající zpoždění o : o je /6 radiánů t 6 T,,667 s Okamžitá hodnota proudu v čase,5 s je i (,5) max sin( t ) 5sin( f,5 ) 6 i (,5) 5sin( 5,5 ) 5sin(4,5 ) -,67 ma

146 6. Fázorové zobrazení střídavých harmonických veličin Časový průběh harmonického proudu i = f(t) má stejný tvar jako křivka, která vznikne průmětem rotujícího fázoru do svislé osy - viz obr. 6. Obr. 6 - otující fázor a jeho průmět Střídavé veličiny mají kromě velikosti i směr a rychlost rotace. Fázor znázorňující střídavou harmonickou veličinu plně určuje její vlastnosti. S fázory znázorňujícími střídavé veličiny lze počítat skládat je vektorově. 6. Efektivní a střední hodnota střídavých harmonických veličin Střídavé harmonické veličiny mají v každém okamžiku jinou velikost a tím je i jejich působení v každém okamžiku jiné. Pro praxi jsou podstatné účinky střídavých proudů ve větším časovém úseku, nejlépe v průběhu jedné periody nebo jedné půlperiody. Pro vyhodnocení účinků střídavého proudu je vhodné je porovnat se stejnými účinky stejnosměrného proudu za stejný časový interval. střídavých veličin (napětí, proud) rozlišujeme tyto pojmy: Okamžité hodnoty u, i průměty fázorů (malá písmena) Maximální hodnoty max, max délky fázorů. Efektivní hodnoty, (velká písmena) Střední hodnoty med, med (případně stř, stř) 6.. Efektivní hodnota střídavého proudu Efektivní hodnota proudu (napětí) je taková velikost stejnosměrného proudu (napětí), která v stejném odporu vyvolá za stejnou dobu působení stejnou tepelnou energii jako daný střídavý harmonický proud (napětí). Pro stejnosměrný proud platí, že výkon elektrického proudu je úměrný druhé mocnině proudu. Tepelná energie vyvinutá na odporu stejnosměrným proudem za dobu t je W t t 46

147 P W t Pro střídavý proud platí, že energie dw, která se vyvine na odporu za malý časový interval dt je dw i dt dw i dt sin ( t) dt max Obr. 64 Efektivní hodnota harmonického proudu Pokud sečteme všechny dílčí energie dw po dobu celé periody T, dostaneme hodnotu plocha pod křivkou i. Jsou-li si vyšrafované plochy nad a pod přímkou na obr. 64 rovny, pak plocha pod přímkou po dobu jedné periody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedné periody a tudíž stejnosměrný proud proudu daného průběhu. Platí je efektivní hodnota střídavého max max což je 77, max Efektivní hodnota je hodnota, se kterou je nutné počítat při vyhodnocování tepelných i silových účinků střídavého proudu. 6.. Střední hodnota střídavého proudu Pojem střední hodnota má význam u usměrněného střídavého proudu. Je to taková velikost stejnosměrného proudu, který přenese stejný náboj jako usměrněný daný střídavý proud. Víme, že elektrický proud je množství náboje, který proteče plochou průřezu vodiče za jednotku času. Q Q t t Vycházejme z grafu průběhu proudu na obr. 65: 47

148 Obr. 65 Střední hodnota harmonického proudu Jsou-li si vyšrafované plochy nad a pod přímkou med na obr. 65 rovny, pak plocha pod přímkou med po dobu jedné půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedné půlperiody a tudíž stejnosměrný proud med je střední hodnota střídavého proudu daného průběhu. Platí pro stejnosměrný proud: med T Q pro střídavý proud: plocha pod křivkou i po dobu T/ = Q Z rovnosti přeneseného náboje pro stejnosměrný a střídavý proud lze pomocí integrálního počtu dospět k výrazu a med max což je med,67 max Příklad 68: Jaká je maximální hodnota napětí v běžné domácí jednofázové zásuvce? Řešení: Napětí v zásuvce je V ~ 5 Hz, jedná se o harmonické napětí o efektivní hodnotě V. Maximální hodnota tohoto napětí je tedy max 5 V 6.4 Vznik střídavého harmonického napětí Z teorie magnetického pole víme, že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmé k indukčním čarám, objeví se na koncích vodiče elektrické napětí tzv. pohybové indukované napětí. Jeho velikost je B l v kde B je magnetická indukce magnetického pole, v němž se vodič pohybuje l je délka, kterou vodič zasahuje do magnetického pole v je rychlost pohybu vodiče 48

149 Tento vztah platí tehdy, je-li vektor magnetické indukce B kolmý k ose pohybujícího se vodiče a zároveň rychlost v je kolmá k ose vodiče i k vektoru magnetické indukce B magnetického pole viz obr. 66. Obr Vznik ss pohybového napětí Je-li rychlost v konstantní a velikost ani směr vektoru magnetické indukce B se nemění, je velikost indukovaného napětí konstantní, s časem se nemění. Obr. 67 Velikost indukovaného ss pohybového napětí Otáčí-li se v magnetickém poli s konstantní velikostí magnetické indukce B závit - viz obr. 68, jedná se také o pohyb vodiče v magnetickém poli, a proto se ve vodiči indukuje v každém okamžiku napětí u. Obr. 68 Závit v magnetickém poli Čela závitu (kóta a) leží mimo magnetické pole, oba boky závitu (kóta b) se otáčivým pohybem o úhlové rychlosti pohybují v magnetickém poli. ychlost jejich pohybu je jejich 49

150 obvodová rychlost v, v = r (kde r = a/, f, f =n/6, n je počet otáček za minutu). Je-li závit v poloze kolmé k magnetickému poli viz obr. 69 a), boky závitu v tomto okamžiku mají rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejném jako je směr indukčních čar magnetického pole. To znamená, že vodiče neprotínají magnetické pole a velikost indukovaného napětí je nulová: u i =. a) b) c) Obr. 69 ůzné polohy závitu při otáčení v magnetickém poli Je-li závit v poloze shodné se směrem magnetického pole viz obr. 69 b), boky závitu v tomto okamžiku mají rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmém na směr indukčních čar magnetického pole. To znamená, že vodič protíná magnetické pole rychlostí v a velikost indukovaného napětí je v něm v této poloze maximální možná a to u i Bl v kde: B je magnetická indukce magnetického pole l je aktivní délka závitu (tj. délka v magnetickém poli) v je rychlost otáčení závitu v = r r = a/ Protože magnetické pole protínají oba boky závitu, oba stejně velkou rychlostí se stejným směrem, ale s opačným smyslem pohybu, v každém boku se indukuje napětí u i Bl v a tato napětí jsou v sérii, tedy celkové napětí indukované v závitu v této poloze je u i Bl v Bl r max Je-li otáčející se závit v obecné poloze viz obr. 69 c), ve které normála k ploše závitu svírá s vektorem magnetické indukce magnetického pole úhel, pak rychlost, kterou boky závitu kolmě protínají magnetické pole, je složka v x rychlosti v; složka v y je s vektorem magnetické indukce rovnoběžná, proto se na indukování pohybového napětí nepodílí. ndukované napětí v závitu v obecné poloze je u Bl v Bl v sin max sin i x 5

151 Závit se otáčí úhlovou rychlostí, úhel je tedy t a po dosazení dostaneme vztah pro závislost napětí indukovaného v závitu otáčejícím se konstantní úhlovou rychlostí v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B na čase t: u i max sin( t) Z tohoto vztahu je patrné, že indukované napětí je harmonické. Pokud se bude v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B otáčet nikoliv jeden závit, ale N závitů spojených do série tedy cívka o N závitech, bude indukované napětí N- krát větší: u i N max sin( t) Příklad 69: Nakreslete průběh napětí v závislosti na čase, otáčí-li se závit podle obr. 68, kde a = 4 cm, b = 8 cm a pro t = je = o v magnetickém poli o konstantní hodnotě magnetické indukce B =,7 T rychlostí n = ot./min. Nakreslete fázorový diagram pro čas,5 s. Řešení: ndukované napětí bude harmonické, to znamená, že bude mít sinusový průběh. u i B l v sin( t) Frekvence otáčení a tím i průběhu napětí je f n 5 Hz 6 6 Úhlová rychlost je f 5,4 s - ychlost otáčení v 4 v r kde a v r,4,68 m/s Tedy B l v sin t,7 8 u i Doba jedné periody T je T, s f 5 r m,68sin,4 t 7,6 sin,4 t V tabulkovém kalkulátoru vytvoříme graf průběhu napětí viz obr. 7 a): 5

152 a) b) Obr. 7 Průběh indukovaného napětí a fázor napětí v čase t =,5 s pro příklad 69 V čase,5 s napětí u i dosáhlo své maximální hodnoty, tedy fázor napětí se pootočil právě o 9 o. Fázorový diagram pro tento čas je na obr. 7 b). 6.5 Typy zátěží v obvodech střídavého proudu V obvodech střídavého proudu jsou tři základní ideální typy zátěže: Odporová zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojen ideální rezistor, jehož charakteristickou vlastností je odpor. nduktivní zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojena ideální cívka, jejíž charakteristickou vlastností je indukčnost. Kapacitní zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojen ideální kondenzátor, jehož charakteristickou vlastností je kapacita Odporová zátěž Je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojen rezistor, který představuje čistě odporovou zátěž, pak proud procházející obvodem je ve fázi s napětím (vektor napětí a proudu svírají nulový úhel). Podle Ohmova zákona platí, že proud = /. Na odporu vzniká vlivem proudu teplo, veškerá energie v obvodu je tepelná energie. Obr. 7 - Odporová zátěž v obvodu střídavého proudu 5

153 Okamžitá hodnota proudu v obvodu je i max sin( t) max sin( t) max sin( t) Proud má také harmonický průběh a napětí a proud mají mezi sebou nulový posun jsou ve fázi. Pro maximální hodnoty platí Pro efektivní hodnoty platí max Výkon střídavého proudu při odporové zátěži Okamžitá hodnota výkonu p je p u i i Efektivní hodnota výkonu P je P Tento výkon dodá za čas t energii jednotkou je watt (W) nduktivní zátěž max W P t, což je Jouleovo teplo. Jedná se o činný výkon, O induktivní zátěž se jedná tehdy, je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojena cívka, která v ideálním případě představuje čistě induktivní zátěž viz obr. 7 a). Pak platí di u i dt a) b) Obr. 7 - nduktivní zátěž v obvodu střídavého proudu Z výše uvedeného je patrné, že při nárůstu proudu je di > a proto je napětí kladné; maximální velikost napětí se indukuje v momentě, kdy je v obvodu maximální změna proudu. Pokud proud klesá, je hodnota di záporná a napětí je záporné. V okamžiku, kdy se proud nemění, je di = a tedy i napětí je nulové. 5

154 Proud nejvíce roste při fázovém úhlu t = 9 o, tedy v čase T/4; v tomto okamžiku je napětí maximální, tedy max. Nulový přírůstek proudu di = je při fázovém úhlu t = 8 o, tj. v čase t = T/; v tomto okamžiku je napětí u =. Od tohoto okamžiku začíná proud klesat, di < a napětí u je záporné. Proud nejvíce klesá při fázovém úhlu t = 7 o, kterému odpovídá čas t = T/4; v tomto okamžiku je maximální záporné napětí, tedy - max. Z toho plyne, že pokud cívkou protéká střídavý harmonický proud, v cívce se jeho působením indukuje napětí, které se fázově předbíhá před proudem o 9 o. Platí-li pro průběh napětí vztah pak průběh proudu je u max sin( t) i max sin( t ) di Ze vztahu u i je patrné, že indukované napětí je tím větší, čím je větší jednak dt indukčnost cívky a jednak čím je větší změna proudu di za časový interval dt. Změna proudu di je tím větší, čím je větší maximální hodnota proudu max a čím je větší úhlová rychlost viz obr. 7. Obr. 7 Vliv max a na velikost di/dt Platí kde X je tzv. indukční reaktance max max X max () ndukční reaktance X je odpor, který klade indukčnost průchodu střídavého harmonického proudu. ndukční reaktance je závislá na frekvenci; při napájení cívky stejnosměrným proudem je nulová. ( reálné cívky je pak proud omezen jen činným odporem vodiče, ze kterého je cívka navinuta, a vzhledem k tomu, že se cívky vinou z výborných vodičů, je tento odpor minimální). Pro maximální a efektivní hodnoty platí vztah analogický Ohmovu zákonu X max max X a X Proud se fázově zpožďuje za napětím o 9 o viz obr. 7 b). Velikost proudu je přímo úměrná připojenému napětí a nepřímo úměrná indukční reaktanci X. 54

155 Obr. 74 Frekvenční závislost indukční reaktance a závislost proudu na frekvenci Okamžitý výkon střídavého proudu v cívce je p u i max sin( t) max sin( t ) Sestrojíme-li graf zobrazující tuto rovnici, vidíme, že okamžitý výkon má opět harmonický průběh a kmitá s dvojnásobnou frekvencí kolem časové osy. Obr Časové průběhy okamžitých veličin napětí, proudu a výkonu na ideální cívce Proud procházející obvodem s ideální cívkou vyvolává střídavé magnetické pole. V časovém intervalu T/4 až T/ je okamžitý výkon kladný viz obr. 75, ze zdroje se dodává do cívky energie na vytvoření magnetického pole. V časovém intervalu T/ až /T je okamžitý výkon záporný, energie z cívky se vrací do zdroje, magnetického pole zaniká. V další půlperiodě dochází k přemagnetování opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodává energie na vytvoření magnetického pole opačného směru, které v následující čtvrtperiodě opět zaniká a vrací energii do zdroje. Z průběhu veličin je patrné, že okamžitý výkon kmitá s dvojnásobnou frekvencí, což je dáno tím, že během jedné periody magnetické pole změní směr. V obvodu ideální cívky se nespotřebovává žádná energie dochází pouze k přelévání energie ze zdroje do cívky a nazpátek. Výměnný výkon nazýváme jalový výkon, značí se Q a jeho efektivní velikost je Q (VAr; V, A) kde Var je označení pro jednotku jalového výkonu nazývanou voltampér reaktanční. Proud, který je zpožděn za napětím o úhel 9 o, se nazývá jalový proud a nedodává žádný činný výkon. Jedná se o magnetizační proud Kapacitní zátěž O kapacitní zátěž se jedná tehdy, je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojen kondenzátor, který v ideálním případě představuje čistě kapacitní zátěž viz obr. 76 a). Kondenzátor se střídavě nabíjí v jednom směru, vybíjí, nabíjí na opačnou polaritu a opět 55

156 vybíjí během jedné periody změní polaritu náboje na svých deskách mění se polarita elektrického pole. a) b) Obr Kapacitní zátěž v obvodu střídavého proudu Kondenzátor se nabíjí a na jeho deskách se hromadí elektrický náboj, který vytváří elektrické pole mezi deskami kondenzátoru a tím napětí mezi deskami. Za čas dt se zvětší náboj na deskách kondenzátoru o dq Tím se zvětší napětí na kondenzátoru o du Z této rovnice vyjádříme i du dq i dt dq i dt du i dt Z výše uvedeného je patrné, že při nárůstu napětí je du > a proto je proud kladný; maximální velikost proudu v obvodu bude v momentě, kdy je změna napětí maximální. Pokud napětí klesá, je hodnota du záporná a proud je záporný. V okamžiku, kdy se proud nemění, je du = a tedy i proud je nulový. Napětí nejvíce roste při fázovém úhlu t = o, tedy v čase t = ; v tomto okamžiku je proud maximální, tedy max. Nulový přírůstek napětí du = je při fázovém úhlu t = 9 o, tj. v čase t = T/4; v tomto okamžiku je proud i =. Od tohoto okamžiku začíná napětí klesat, du < a proud i je záporný. Napětí nejvíce klesá při fázovém úhlu t = 8 o, kterému odpovídá čas t = T/; v tomto okamžiku je maximální záporný proud, tedy - max. Z toho plyne, že pokud je na kondenzátoru střídavé harmonické napětí, v obvodu protéká proud, který se fázově předbíhá před napětím o 9 o - viz obr. 76 b). Je-li napětí na kondenzátoru je u max sin( t), pak proud v obvodu kondenzátoru je i max sin( t ) du Ze vztahu i je patrné, že velikost maximální hodnoty proudu je tím větší, čím je větší dt jednak kapacita kondenzátoru a jednak čím je větší změna napětí du za časový interval dt. Změna napětí du je tím větší, čím je větší maximální hodnota napětí max a čím je větší úhlová rychlost. 56

157 max max Aby platila analogie s Ohmovým zákonem, zavádíme pojem kapacitní reaktance X, kde Pak lze psát X max max X a pro efektivní hodnoty X Kapacitní reaktance X je odpor, který klade kondenzátor průchodu střídavého harmonického proudu obvodem. Kapacitní reaktance je závislá na frekvenci viz obr. 77. X f Obr. 77 Frekvenční závislost kapacitní reaktance a závislost proudu na frekvenci Při napájení obvodu s ideálním kondenzátorem stejnosměrným proudem se X blíží k nekonečnu; ve stejnosměrných obvodech v ustáleném stavu po nabití kondenzátoru proud neprotéká. Proud se fázově předbíhá před napětím o 9 o, velikost proudu je přímo úměrná připojenému napětí a nepřímo úměrná kapacitní reaktanci X. Okamžitý výkon střídavého proudu na kondenzátoru je p u i max sin( t) max sin( t ) Sestrojíme-li graf zobrazující tuto rovnici, vidíme, že okamžitý výkon má opět harmonický průběh a kmitá s dvojnásobnou frekvencí kolem časové osy. Obr Časové průběhy okamžitých veličin napětí, proudu a výkonu na ideálním kondenzátoru 57

158 V časovém intervalu t = až T/4 je okamžitý výkon kladný viz obr. 78, ze zdroje se dodává do kondenzátoru energie na vytvoření elektrického pole, kondenzátor se nabíjí. V časovém intervalu T/4 až T/ je okamžitý výkon záporný, energie z kondenzátoru se vrací do zdroje, kondenzátor se vybíjí, elektrické pole zaniká. V další půlperiodě se kondenzátor nabíjí v opačné polaritě a opět se vybíjí opět se ze zdroje během třetí čtvrtperiody dodává energie na nabití kondenzátoru a během poslední čtvrtperiody se energii vrací do zdroje v důsledku vybíjení kondenzátoru. Z průběhu veličin je patrné, že okamžitý výkon kmitá s dvojnásobnou frekvencí, což je dáno tím, že během jedné periody se kondenzátor nabije nejprve s jednou a poté s opačnou polaritou náboje na deskách. V obvodu s ideálním kondenzátorem se nespotřebovává žádná energie dochází pouze k přelévání energie za zdroje do kondenzátoru při jeho nabíjení a nazpátek z kondenzátoru do zdroje při vybíjení jeho elektrického náboje. Výměnný výkon je jalový kapacitní výkon, značí se Q a jeho efektivní velikost je Q (VAr; V, A) Proud, který se předbíhá před napětím o úhel 9 o, se nazývá jalový kapacitní proud a nedodává žádný činný výkon. Jedná se o proud nabíjející a vybíjející kondenzátor. Příklad 7: Nakreslete graf frekvenční závislosti kapacitní reaktance pro kondenzátor s kapacitou F pro rozsah frekvencí Hz až 5 Hz. Řešení: V Excelu sestrojíme graf závislosti X f Obr. 79 frekvenční závislost kondenzátoru z příkladu 7 58

159 6.5.4 Vzájemná indukčnost v obvodech střídavého proudu Protéká-li střídavý harmonický proud i primární cívkou o indukčnosti s N závity, indukuje se v ní napětí u di jehož efektivní hodnota je dt u V sekundární cívce o indukčnosti s N závity se vlivem proudu v primární cívce indukuje napětí u di M jehož efektivní hodnota je M dt u kde M je vzájemná indukčnost mezi primární a sekundární cívkou. Obr. 8 Působení vzájemné indukčnosti v obvodech střídavých proudů Pokud by protékal střídavý harmonický proud i sekundární cívkou o indukčnosti s N závity, indukovalo by se v ní napětí u di jehož efektivní hodnota je dt u V primární cívce o indukčnosti s N závity by se vlivem proudu v sekundární cívce indukovalo napětí u di M jehož efektivní hodnota je M dt u Transformační poměr Pokud je vzájemná vazba obou cívek %, pak M, kde Z toho vyplývá, že N N M. m N a Pak při sinusovém průběhu primárního proudu se v primární cívce indukuje napětí N m m N. m a v sekundární cívce napětí M N N m 59

160 Poměr primárního a sekundárního napětí je Poměr N m N N N se nazývá transformační poměr. N m N N Schopnost měnit velikost napětí v závislosti na poměru počtu závitů primární cívky k počtu závitů sekundární cívky se využívá při transformaci napětí. Z hlediska ztrát při přenosu elektrické energie je výhodné přenášet výkon o co nejvyšším napětí P = a tím omezit přenosový proud, neboť ztráty jsou úměrné druhé mocnině proudu P =. Pro dálkové přenosy se napětí transformuje nahoru na hodnoty kv nebo 4 kv. Pro spotřebu se napětí se transformuje dolů na napětí distribuční sítě a dále na spotřebitelské napětí 4/ V. 6.6 Řešení obvodů střídavého harmonického proudu V praxi se téměř nevyskytují obvody tvořené pouze ideálními prvky, většina funkčních obvodů je složena z více prvků. Téměř vždy se i v obvodu jedné cívky projeví kromě indukčnosti, která je zde výrazně dominantní vlastností, i odpor. Proto je nutné ovládat kromě řešení obvodů stejnosměrného proudu i řešení obvodů střídavého proudu. Princip řešení obvodů střídavého proudu je podobný jako řešení obvodů stejnosměrného proudu, vycházíme z Ohmova zákona a z Kirchhoffových zákonů. Kromě toho je nutné respektovat fázový posun střídavých veličin daných typy prvků v obvodu a topologií obvodu Sériový obvod Sériovým obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru a kondenzátoru. Obr. 8 Sériový obvod a jeho fázorový diagram Při řešení obvodu je výhodné vycházet z veličiny, která je společná pro oba prvky. Protože je obvod tvořen jedinou smyčkou, oběma prvky obvodu protéká tentýž proud ; = =, a tedy společná veličina je proud. Proud zakreslíme do fázorového diagramu. 6

161 Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem a jeho velikost je Napětí na kondenzátoru se za proudem zpožďuje o / a jeho velikost je X kde kapacitní reaktance X f elkové napětí v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový viz obr. 8. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí ( X ) ( ) X Výraz X je zdánlivý odpor obvodu, nazývá se impedance a značí se Z. Pak Velikost proudu protékajícího obvodem je Z Z X () Z Fázový posun proudu před napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 8 je cos cos X Příklad 7: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je a kondenzátor o kapacitě,5 F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí = V, frekvence f = khz. Řešení: Velikost proudu je Z X kde velikost kapacitní reaktance je Proud X 59 6 f,5 X ,47 A = 47 ma

162 Napětí na rezistoru,47 9,9 V Napětí na kondenzátoru X 59,47 7,47 V Fázový úhel je 9,9 cos,78479 =,6759 rad = 8,5 o Obr. 8 Fázorový diagram pro příklad Sériový obvod Sériovým obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru a ideální cívky. Obr. 8 Sériový obvod a jeho fázorový diagram oběma prvky obvodu protéká tentýž proud, = =, společná veličina pro oba prvky je tedy proud. S ním ve fázi je napětí na rezistoru Napětí na cívce se před proudem předbíhá o / a jeho velikost je X kde induktivní reaktance f elkové napětí v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový viz obr. 8. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí X ( X ) ( ) X 6

163 mpedance obvodu je Pak Proud protékající obvodem je Z X () Z Z Fázové zpoždění proudu za napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 8 je cos cos X Příklad 7: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je 8 a cívka o indukčnosti 4mH. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí = V, frekvence f = 5 Hz. Řešení: Velikost proudu je Z X kde velikost induktivní reaktance je X f 5,4 5,7 Proud X 5,7 8,54 A Napětí na rezistoru 8,54 4 V Napětí na cívce X 5,7,54 94 V Fázový úhel je 4 cos,579 =,885 rad = 57, 5 o 6

164 Obr. 84 Fázorový diagram pro příklad Sériový obvod Sériovým obvodem se rozumí sériové spojení kondenzátoru a ideální cívky. Obr. 85 Sériový obvod a jeho fázorový diagram Kondenzátorem i cívkou prochází stejný proud. Napětí na cívce předbíhá proud o / a jeho velikost je X kde induktivní reaktance f X Napětí na kondenzátoru se za proudem zpožďuje o / a jeho velikost je X kde kapacitní reaktance X f elkové napětí v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou v protifázi viz obr. 85, platí X X ( X X ) Je-li Je-li X > X, proud se zpožďuje za napětím o /, obvod má induktivní charakter. X < X, proud se předbíhá před napětím o /, obvod má kapacitní charakter. 64

165 6.6.4 Sériový obvod Sériovým obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru, ideální cívky a kondenzátoru. Obr. 86 Sériový obvod a jeho fázorový diagram Všemi prvky obvodu protéká tentýž proud ; společná veličina pro všechny prvky je tedy proud. S ním ve fázi je napětí na rezistoru Napětí na cívce se před proudem předbíhá o / a jeho velikost je X kde induktivní reaktance f X Napětí na kondenzátoru se za proudem zpožďuje o / a jeho velikost je X kde kapacitní reaktance X f elkové napětí v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový viz obr. 86. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí mpedance obvodu je Pak ( ) ( X X ) ( ) ( X X ) Proud protékající obvodem je Z ( X X ) () Z Z ( X X ) Fázové zpoždění proudu za napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 86 je cos cos 65

166 Příklad 7: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je cívka o indukčnosti 8 mh a kondenzátor o kapacitě 4 F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí = V, frekvence f = 5 Hz. Řešení: Velikost proudu je Z ( X X ) kde velikost induktivní reaktance je X f 5,8 5,4 avelikost kapacitní reaktance je X f 5 4 Proud ( X X ) (5,4 79,6) , ,6,974 A Napětí na rezistoru, na cívce a na kondenzátoru jsou,974,7 V X 5,4,974 75,9 V X 79,6,974 87, V Fázový úhel je,7 cos,57579 =,9648 rad = 55, o Obr. 87 Fázorový diagram pro příklad 7 66

167 6.6.5 Paralelní obvod Paralelním obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru a kondenzátoru. Obr. 88 Paralelní obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí Do fázorového diagramu zakreslíme napětí. = = Proud rezistorem je ve fázi s napětím a jeho velikost je Proud kondenzátorem se před napětím předbíhá o / a jeho velikost je kde kapacitní reaktance X X f elkový proud v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový viz obr. 88. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí Fázový posun proudu před napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 88 je cos cos elková impedance paralelního obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu X X Z Z Z X X 67

168 6.6.6 Paralelní obvod Paralelním obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru a ideální cívky. Obr. 89 Paralelní obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí Do fázorového diagramu zakreslíme napětí. = = Proud rezistorem je ve fázi s napětím a jeho velikost je Proud cívkou se za napětím zpožďuje o / a jeho velikost je kde indukční reaktance X f X elkový proud v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový viz obr. 89. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí Fázový posun proudu za napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 89 je cos cos elková impedance paralelního obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu X X Z Z Z X X 68

169 6.6.8 Paralelní obvod Paralelním obvodem se rozumí paralelní spojení ideální cívky a kondenzátoru. Obr. 9 Paralelní obvod a jeho fázorový diagram Na obou paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí = = Do fázorového diagramu zakreslíme napětí. Proud cívkou se za napětím zpožďuje o / a jeho velikost je kde indukční reaktance X f X Proud kondenzátorem se před napětím předbíhá o / a jeho velikost je kde kapacitní reaktance X X f elkový proud v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu - viz obr. 9. Pak platí mpedance obvodu je Z X Při určité frekvenci nastane situace, kdy X X X X X pak celkový proud odebíraný ze zdroje =. Tento stav se nazývá paralelní rezonance. Obvodem prochází tzv. cirkulační proud, kterým se opakovaně vzájemně vyměňuje energii mezi kondenzátorem (energie elektrického pole) a cívkou (energie magnetického pole). Tato situace nastává tehdy, je-li což je při frekvenci f - takzvaná rezonanční frekvence: 69

170 f f f Paralelní obvod Paralelním obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru, ideální cívky a kondenzátoru. Obr. 9 Paralelní obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí Do fázorového diagramu zakreslíme napětí. = = = Proud rezistorem je ve fázi s napětím a jeho velikost je Proud cívkou se za napětím zpožďuje o / a jeho velikost je kde indukční reaktance X f X Proud kondenzátorem se před napětím předbíhá o / a jeho velikost je kde kapacitní reaktance X X f elkový proud v obvodu je podle. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový viz obr. 9. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí ( ) Fázový posun proudu za napětím udává úhel, kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 9 je cos cos elková impedance paralelního obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu 7

171 7 ) ( X X X X Z X X Z X X Z Příklad 74: Vypočítejte velikost všech proudů v obvodu, v němž je paralelně zapojen rezistor, jehož odpor je cívka o indukčnosti 8 mh a kondenzátor o kapacitě F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí = V, frekvence f = 5 Hz. rčete frekvenci, při níž by proud byl minimální. Řešení: Velikost proudu rezistorem je, A Velikost proudu cívkou je,954,8 5 f X A Velikost proudu kondenzátorem je,7566,, 5 6 f X elkový proud je,7948,767,7) (,95 ) ( A Fázový posun proudu za napětím,96987,795,767 cos = 4, o Proud bude minimální tehdy, bude-li =, velikost proudu pak bude = = =,767 A A to při X = X, tedy při rezonanční frekvenci f 56,6977 8,8 6 f Hz

172 Obr. 9 Fázorový diagram pro příklad 74 Příklad 75: rčete velikost proudu procházejícího cívkou, jejíž indukčnost je mh a odpor je která je připojena ke zdroji o napětí V ~ 5 Hz. Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t). rčete činný, jalový a zdánlivý výkon na cívce. Řešení: Skutečnou cívku si lze představit jako sériové zapojení rezistoru o odporu rovném odporu vodiče, z něhož je cívka navinuta a čistě induktivní zátěže o indukčnosti rovné indukčnosti reálné cívky (obr 9). Obr. 9 Náhradní schéma a fázorový diagram pro reálnou cívku ndukční reaktance cívky je Proud cívkou X 5 f 4 X 4 Činná složka napětí, která je ve fázi s proudem, je,7 7, V ,59,7 A 7

173 Jalová složka napětí, která se o / předbíhá před proudem, je X 4,7 9,88 V Fázový posun mezi napětím a proudem je cos 7,,8,5896 rad 88,7594 Zátěž cívkou je převážně induktivní. Z vypočtených hodnot je možné nakreslit graf průběhu napětí a proudu v závislosti na čase: u max sin( t) sin( 5t) přepis závislosti u = f(t) pro Excel, je-li čas vynášen v ms: =ODMONNA()**SN(*P()*5*A*,) i max sin( t ) 7sin( 5t,59) přepis závislosti i = f(t) pro Excel, je-li čas vynášen v ms a proud v ma: =ODMONNA()*7*SN(*P()*5*A*,-, ) o Obr. 94 Průběh napětí a proudu a fázorový diagram pro reálnou cívku pro příklad 75 Činný výkon je dán součinem proudu a činné složky napětí: P 7,,7 5,6 W Jalový výkon je dán součinem proudu a jalové složky napětí: Q 9,88,7 68, VAr Zdánlivý výkon je dán součinem proudu a napětí: S,7 68,4 VA 7

174 6.6. Sérioparalelní obvody Při řešení sérioparalelních obvodů střídavého harmonického proudu, kde se vyskytují fázové posuny mezi jednotlivými veličinami, které jsou různé od /, je vhodné rozložit vektory v obecné poloze na činné a jalové složky. Ty je pak možné řešit výše uvedenými postupy s využitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku. Řešení sérioparalelních obvodů si předvedeme na konkrétních příkladech. Příklad 76: rčete celkový proud a proudy v jednotlivých prvcích obvodu podle obrázku 95. ívka má indukčnost = mh, odpor rezistoru je = ka kapacita kondenzátoru =, F. Obvod je připojen ke zdroji o napětí 4 V ~ khz. Řešení: Obr. 95 Schéma a fázorový diagram pro příklad 76 Označíme proudy v jednotlivých větvích obvodu a napětí na všech prvcích. Nakreslíme fázorový diagram pro daný obvod: první zakreslíme proud. Napětí je s proudem ve fázi, napětí se před proudem předbíhá o 9 o. Vektorový součet napětí a je totožné s napětím, = =. Proud se o 9 o předbíhá před napětím. elkový proud je dán vektorovým součtem proudů a. ndukční reaktance cívky je X Proud je f X Napětí na a na prvcích a ve větvi je,5,5 V X 68,5,7679 V ,84,5 A

175 Úhel mezi napětím a proudem je,5 cos, = o,66 Proud kondenzátorem je X 6 kde X 59,549 6 f, 4,58 A 59,549 Proud rozložíme do dvou navzájem kolmých složek. Složka, která je ve fázi s napětím, je činná složka č a složka kolmá na fázor napětí jalová indukční složka j. a) b) Obr. 96 ozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určení výsledného proudu b) Činná složka č cos,5,846875,7 A č Jalová indukční složka j o sin,5 sin,66,5,7494,58 A j Výsledný proud je dán vektorovým součtem proudů v obou větvích obvodu a, tedy vektorovým součtem proudů č, j a, viz obr. 96 b), tedy ( j ) č (,58,58),7,7 A,7 cos č,99996 =,5 o,7 Z výsledku je patrné, že výsledný proud odebíraný ze zdroje je menší než proud ve větvi. 75

176 Příklad 77: rčete, jak velká by musela být kapacita kondenzátoru paralelně připojeného k cívce o indukčnosti mh a odporu je která je připojena ke zdroji o napětí 4 V ~,4 khz, aby byla induktivní složka proudu plně vykompenzována kapacitním proudem. Řešení: Obr. 97 Schéma pro příklad 77 nduktivní složka proudu bude plně vykompenzována tehdy, bude-li jalová složka proudu mít stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzátorem. Nejprve nakreslíme fázorový diagram; první vyneseme proud procházející cívkou - viz obr. 98 a) a) b) c) Proud ve větvi s cívkou Obr. 98 Řešení příkladu , ,5 A X 4, Složky napětí ve větvi s cívkou,5547,5547 V X 4,,5547,7966 V Fázový posun proudu za napětím ve větvi s cívkou,5547 cos,478 4 o,4897rad 8,445

177 Proud rozložíme do směru napětí (to bude činná složka proudu ) a do směru na něj kolmého (jalová složka proudu ) - viz obr. 98 b) cos,5547,478,4487 A č sin,5547,999,87 A j Kapacitní proud protékající kondenzátorem se předbíhá před napětím o 9 o, je tedy v protifázi k proudu j viz obr. 98 c). Má-li tento proud být plně kompenzován, pak platí j a tedy =,87 A Proud kondenzátorem je,87 A X a tedy kapacitní reaktance je 4 X 76,745,87 Kapacita kondenzátoru musí být X f f X , , ,745 F nduktivní složka proudu bude plně kompenzována, je-li připojen kondenzátor o kapacitě 5,86 F. Pak proud odebíraný ze zdroje je rovný činné složce proudu, což je,4487 A. Příklad 78: Nakreslete fázorový diagram a určete proudy a napětí na všech prvcích obvodu podle obr. 99. Řešte obecně. Obr. 99 Schéma a fázorový diagram pro příklad 78 Řešení: Nakreslíme proudy a napětí v obvodu. 77

178 78 Protože = = AB, začneme kreslit fázorový diagram od tohoto vektoru. se zpožďuje za napětím AB o 9 o, se před napětím AB o 9 o předbíhá. Vyneseme tedy tyto vektory. elkový proud je vektorovým součtem proudů a. Napětí je ve fázi s celkovým proudem. Vektorový součet a AB dává celkové napětí. AB c AB AB X X Po dosazení: AB c AB AB AB AB AB X X c AB AB c AB AB X X X X c c AB c c AB X X X X X X X X c c AB X X X X Nyní můžeme dosadit do vztahů pro výpočet a a určit celkový proud a napětí na odporu. Fázový posun φ pak vypočítáme z cosφ, cosφ = /. 6.6 Výkon v obvodech střídavého harmonického proudu Z kapitol 6.5. až 6.5. tohoto oddílu vyplývá, že činný výkon vzniká pouze na odporové zátěži; induktivní zátěž při vytváření magnetického pole pouze předává energii ze zdroje do magnetického pole a zpět z magnetického pole do zdroje, kapacitní zátěž při nabíjení kondenzátoru předává energii ze zdroje do elektrického pole a při vybíjení ji vrací do zdroje. Při konstantním napětí a proudu tedy ve stejnosměrných obvodech pro výkon platí: P V obvodech střídavého proudu je okamžitý výkon i u p

179 Vzhledem k tomu, že ve střídavých obvodech je obecně mezi napětím a proudem fázový posun, pak součin efektivních hodnot napětí a proudu není jen dodavatelem tepelné nebo mechanické pohybové energie, ale jeho část slouží k předávání energie do a z magnetického nebo elektrického pole. Tato veličina se nazývá zdánlivý výkon, značí se S a její jednotkou je voltampér. S (VA; V, A) Proud je proud odebíraný zátěží ze zdroje. Tímto proudem je zatěžován nejen zdroj, ale také přívodní vodiče k vlastní zátěži. Energie, která vykonává práci, je takzvaná činná energie. Ta se spotřebovává jako tepelná nebo pohybová energie v elektrických strojích a přístrojích. Jejím měřítkem je činný výkon P, který je dán součinem napětí a té složky proudu, která je s napětím ve fázi, tedy činné složky proudu. Je-li fázový posun mezi napětím a proudem, pak činná složka proudu je činný výkon je Č cos P cos (W, V, A) Č Hodnota cos se nazývá účiník. Při čistě odporové zátěži je cos =, při čistě kapacitní a induktivní zátěži je cos =. Součin napětí a jalové složky proudu (tj. proudu, který je před, případně za napětím posunut o 9 o ), nevykonává na zátěži žádnou práci, nespotřebovává energii, slouží pouze k přelévání energie do a ze zdroje. Tento součin se nazývá jalový výkon, značí se Q a jeho jednotkou je voltampér reaktanční. Q j sin (Var, V, A) Vztah mezi těmito třemi výkony P, Q, S určíme výpočtem: P cos Q sin S / P cos Q sin S Platí tedy, že P Q cos Q sin S což je vztah pro pravoúhlý trojúhelník podle obr. : P (cos sin ) Obr. Výkony ve střídavém obvodu 79

180 Na obr. je obecná zátěž napájená zdrojem střídavého harmonického napětí. Ampérmetr A měří celkový proud odebíraný ze zdroje. Wattmetr W měří činný výkon P, voltmetr V měří napětí. Z naměřených hodnot je možné vypočítat zdánlivý výkon S, jalový výkon Q a hodnotu cos, která se nazývá účiník. Obr. Měření účiníku Příklad 79: Na konkrétní cívce změřte její indukčnost a její činný odpor. Pro danou frekvenci f určete zdánlivý, činný a jalový výkon a účiník cos. Řešení:. Skutečnou cívku připojíme ke zdroji stejnosměrného napětí viz obr. a). ívkou prochází stejnosměrný proud, proto nedochází ke změně magnetického toku a tak se v cívce v ustáleném stavu neindukuje napětí. Proud procházející obvodem je omezen jen odporem cívky (f =, tedy X = ). Měříme napětí na cívce a proud obvodem, odpor určíme z Ohmova zákona = /. Pozor, protože je odpor cívky velmi malý, je nutno při měření omezit proud předřazeným odporem. a) b) Obr. Měření indukčnosti. ívku připojíme ke zdroji střídavého napětí o známém kmitočtu f viz obr. b). Proud procházející cívkou je omezen jednak jejím odporem, ale zejména její induktivní reaktancí X. Změříme opět proud a napětí na cívce a z naměřených hodnot, a z vypočtené hodnoty získané v měření se stejnosměrným napájením určíme výpočtem X (náhradní schéma cívky a příslušný fázorový diagram je zakreslen na obr. 9) a poté indukčnost cívky : 8

181 Z X X Z f cos Z Z S P cos Q sin 6.7 ezonance ezonanční obvody jsou obvody, a to buď sériové, nebo paralelní. Víme, že velikosti indukční reaktance X i kapacitní reaktance X jsou závislé na frekvenci napájecího napětí, tudíž i chování rezonančních obvodů je frekvenčně závislé. ezonance obvodu je stav, kdy se kapacitní a induktivní složky příslušných veličin rovnají. Tento stav nastává pří konkrétní frekvenci pro daný obvod; tuto frekvenci nazýváme rezonanční frekvence a značí se f Sériový rezonanční obvod Sériový rezonanční obvod je složen ze sériově spojené reálné cívky s kondenzátorem - viz obr.. Obr. Sériový rezonanční obvod, náhradní schéma a jeho fázorový diagram ezonance nastává tehdy, je-li =. Protože rezonanci X = X. mpedance Z pro sériový obvod (viz obr. 86) je X a X, je tedy pro Z ( X X ) Pro případ rezonance, kdy X = X, je tedy impedance obvodu je minimální, označujeme ji jako rezonanční impedanci s označením Z Z =. Proud, který protéká obvodem, bude v tomto případu maximální, a to 8

182 8 Frekvence, při které rezonance nastane, se nazývá rezonanční frekvence f a její velikost získáme z rovnosti reaktancí X = X : f f f f ezonanční křivka Je závislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f): ) ( ) ( f f X X Z Pro f = je impedance Z, = (kondenzátor nepropouští stejnosměrný proud). Fázový posun je také závislý na frekvenci, je-li X >X, proud se za napětím zpožďuje o úhel, je-li X <X, proud se před napětím předbíhá o úhel. Pro f = f je X >X, úhel =. Z fázorového diagramu pro sériový obvod (viz obr. 86) platí f f arctg Frekvenční závislost proudu je ) ( f f Z Obr. ezonanční křivky pro sériový rezonanční obvod Činitel jakosti pro sériový rezonanční obvod Skutečný kondenzátor v obvodu má téměř stejné vlastnosti a chování jako ideální kondenzátor. eálná cívka na rozdíl od cívky ideální má vždy kromě indukčnosti i ohmický odpor, protože je navinuta z vodiče konkrétní délky, průřezu a z konkrétního materiálu. Čím bude odpor cívky větší, tím bude větší hodnota rezonanční impedance Z, Z =. Napětí na indukčnosti je X

183 a napětí na kondenzátoru X Pro případ rezonance platí X = X a tedy Po dosazení je. kde Výraz označujeme Q a nazýváme ho činitel jakosti. Obr. 4 Sériový rezonanční obvod - rezonanční křivky s různým činitelem jakosti Pak X Q To znamená, že při rezonanční frekvenci f je napětí na kondenzátoru a induktivní složka napětí na cívce právě Q krát větší než napětí na zdroji. Tato napětí mohou být nebezpečná při náhodném dotyku Paralelní rezonanční obvod Paralelní rezonanční obvod je složen z reálné cívky paralelně spojené s kondenzátorem - viz obr. 5. Obr. 5 Paralelní rezonanční obvod, náhradní schéma a fázorový diagram 8

184 84 K paralelní rezonanci dochází, je-li velikost jalové složky proudu reálnou cívkou rovna velikosti proudu kondenzátorem. Platí tedy, že j =. Výsledný proud je pak roven činné složce proudu reálnou cívkou = č a obvod se chová jako by byl zatížený pouze odporem reálné cívky. Tento stav nastane při rezonanční frekvenci f. Pokud je frekvence f > f, je kapacitní reaktance menší než reaktance indukční, bude převládat kapacitní proud a obvod bude mít kapacitní charakter. Naopak pokud je frekvence f < f, je kapacitní reaktance větší než reaktance indukční, bude převládat induktivní proud a obvod bude mít induktivní charakter. Proud cívkou je f X Jalová složka proudu je j sin kde sin f f Z X Z X Po dosazení f f f f f j Činná složka proudu č je cos f f f č f f f č Proud kondenzátorem je f f X Pro rezonanci j f f f f ) ( f f

185 85 elkový proud při paralelním spojeni cívky a kondenzátoru je ) ( f f f f f f f f č j Při rezonanci bude výsledný proud rovný činné složce, tedy f č mpedance při rezonanci je f Z Při rezonanci protéká paralelním rezonančním obvodem nejmenší proud, impedance obvodu je maximální. Při všech frekvencích f f je proud vždy větší než. Při frekvenci f = (což platí pro stejnosměrný ustálený proud) je celková impedance rovna odporu cívky (X, X = ), proud protéká pouze větví s cívkou. ezonanční křivky ezonanční křivky jsou závislosti = f(f) a Z = f(f). Získáme je zakreslením grafu matematického vyjádření příslušných funkcí: f f f f a Z Obr. 6 ezonanční křivky paralelního rezonančního obvodu Činitel jakosti obvodu Činitel jakosti obvodu je Q Q

186 Platí Q Proud procházející kondenzátorem a proud procházející cívkou jsou Q krát větší než proud odebíraný ze zdroje. Příklad 8: ívka o odporu a indukčnosti mh a kondenzátor s kapacitou F jsou spojeny a) sériově a b) paralelně a připojeny na napětí 4 V. rčete rezonanční kmitočet, impedanci, proud při rezonanci a činitel jakosti. Pro sériový obvod stanovte napětí na kondenzátoru, pro paralelní obvod stanovte proud kondenzátorem. Řešení: Ad a) ezonanční frekvence f,55 6 ezonanční impedance Z = = Hz 6 Proud odebíraný ze zdroje při rezonanci 4,4A Napětí na kondenzátoru (a i na cívce) při rezonanci Činitel jakosti,55 Q 9,95 4 Ad b) ezonanční frekvence f,87,4 9,956 V 4 6 f Hz Proud odebíraný ze zdroje při rezonanci 86

187 4 č,985 ezonanční impedance Z 4,6 f ,6 A Proud kondenzátorem při rezonanci 6 f 985 4, A X f Činitel jakosti Q,5987,6,74657 Pozn.: Pro praktické výpočty se pro rezonanční kmitočet u paralelních obvodů používá vztah totožný se vztahem pro výpočet rezonanční frekvence pro sériový obvod. f Vzhledem k tomu, že u skutečné cívky je výrazně menší než X, je tento vztah dostatečně přesný (pro ideální paralelní obvod by byl přesně tentýž jako pro sériový). 6.8 Kompenzace účiníku Jak bylo uvedeno v kapitole 6.6, činná energie, která vykonává práci, buď ve formě tepla, nebo pohybové energie v elektrických strojích a přístrojích, je dána součinem času, napětí a té složky proudu, která je s napětím ve fázi, tedy činné složky proudu. Jejím měřítkem je činný výkon P, který je dán součinem napětí a činné složky proudu. Je-li fázový posun mezi napětím a proudem, pak činná složka proudu je Č cos činný výkon je P cos (W, V, A) Č Hodnota cos se nazývá účiník. V elektrických sítích se většinou vyskytuje situace, kdy je proud zpožděn za napětím. To je dáno převahou zátěže induktivního charakteru v síti, což způsobují magnetizační proudy v elektrických strojích. 87

188 a) b) Obr 7 Kompenzace účiníku: a) stav před kompenzací b) stav po kompenzaci nduktivní zátěž ve střídavých obvodech při vytváření magnetického pole pouze předává energii ze zdroje do magnetického pole a zpět z magnetického pole do zdroje. nduktivní jalové proudy tedy nedodávají žádnou činnou energii, nicméně jsou potřebné pro zajištění činnosti elektrických strojů, které většinou pracují na principu elektromagnetických jevů. Jalová induktivní složka proudu tedy musí být dodávána ze zdroje do spotřebiče, což vyžaduje, aby zdroj byl dimenzován na celkový proud, nikoliv jen na činný; zdroj bude tedy větší, těžší a cenově nákladnější. Přívodní vodiče jsou též zatěžovány celkovým proudem a tím se zvyšují tepelné ztráty P z na přívodních vodičích. Mimo to i vodiče musí být dimenzovány na zatížení celkovým proudem, musí tedy mít větší průřez a tím jejich cena roste. Pokud do obvodu induktivního charakteru paralelně připojíme kondenzátor, proud kondenzátorem bude fázově posunut o 8 o proti jalové induktivní složce proudu odebíraného původní zátěží. Tím se celkový výsledný proud sníží, ačkoliv magnetizační proud (= jalová složka původního odebíraného proudu) zůstává zachován a funkce elektrických strojů také zůstává zachována. Snížením celkového proudu dosáhneme odlehčení zdroje i přívodního vedení. Tento postup se nazývá kompenzace účiníku. Pozor: nikdy se nesmí vyskytnout stav úplného vykompenzování na cos =, což je stav paralelní rezonance. Účiník se kompenzuje na hodnotu přibližně cos =,95. Příklad 8: Jednofázový asynchronní motor o výkonu, kw připojený na napětí V má účiník,7. rčete, jaký kondenzátor je třeba připojit paralelně k motoru, aby byl účiník kompenzován na hodnotu,95. Řešení: Před připojením kompenzačního kondenzátoru: Činný výkon je 88

189 P Č cos Z toho plyne, že odebíraný proud je P,8654 A cos,7 Činná složka proudu je č P,448 A Jalová induktivní složka proudu je j č,8654,448 Po připojení kompenzačního kondenzátoru: cos komp =,95 Z toho plyne, že odebíraný proud je komp P cos komp Činná složka proudu je stejná, tedy č P,448 A Jalová induktivní složka proudu je,7998 A,95,7 A jkomp komp č,7998,448,4878 A Pro kapacitní proud kondenzátoru platí jkomp j Proud kondenzátorem tedy bude c j jkomp Pro proud kondenzátorem platí X c f Kapacita kondenzátoru je tedy f,7,4878,998 A,998,48 5-5,48-6 F =,48 F 89

190 7 Trojfázová soustava Převážná většina běžných menších domácích spotřebičů je konstruována na napájení jednofázovým střídavým proudem. Větší spotřebiče, ať už domácí, nebo většina průmyslových zařízení, jsou napájeny trojfázovým proudem. Stejně tak i výroba a rozvod elektrické energie v přenosových sítích je realizována trojfázově. Z jednotlivých fází jsou pak napájeny i běžné jednofázové spotřebiče. Výroba, rozvod a použití trojfázových proudů přináší řadu výhod. Největší z nich je dána využitím točivého magnetického pole, které vzniká právě v důsledku napájení vinutí trojfázových motorů trojfázovým proudem a bude popsáno v jedné z dalších kapitol. Další velkou výhodou je úspora materiálu při realizaci rozvodné sítě a menší ztráty při distribuci elektrické energie; podrobnější vysvětlení této problematiky bude v dalším textu. 7. Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí Z teorie střídavých proudů víme, že otáčí-li se v magnetickém poli s konstantní velikostí magnetické indukce B závit - viz obr. 8, ve vodiči se indukuje v každém okamžiku napětí u. kde Obr. 8 Vznik jednofázového střídavého harmonického napětí u Bl v Bl v sin max sin i x B je magnetická indukce magnetického pole l je aktivní délka závitu (tj. délka v magnetickém poli) v je rychlost otáčení závitu v = r r = a/ Závit se otáčí úhlovou rychlostí, úhel je tedy t 9

191 a po dosazení dostaneme vztah pro závislost napětí indukovaného v závitu otáčejícím se konstantní úhlovou rychlostí v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B na čase t: max sin( t) u i Obr. 9 Jednofázové střídavé harmonické napětí Budou-li se v tomtéž magnetickém poli otáčet tři závity, které budou navzájem prostorově pootočené o o - viz obr., bude se v každém z nich indukovat jednofázové střídavé harmonické napětí o shodné maximální hodnotě a o shodné frekvenci; lišit se budou úhlovým posunem jednotlivých napětí. Obr. Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí Tato tři napětí, jejichž průběhy jsou navzájem posunuty o o, a jejichž fázory jsou pochopitelně také navzájem pootočeny o o, se nazývají fázová napětí. Jednotlivé fáze se označují, a, nebo také, V, W viz obr.. Obr. Fázorový diagram a časový průběh trojfázového střídavého harmonického napětí 9

192 Matematický zápis časových průběhů jednotlivých fázových napětí je u u V u W max sin( t) max max sin( t ) 4 sin( t ) Z fázorového diagramu i z časového průběhu fázových napětí je patrné, že součet okamžitých hodnot všech tří fázových napětí je v každém okamžiku roven nule: u u V u W Obr. Součet jednotlivých fázových napětí Velikost všech tří fázových napětí je stejná = V = W = f. Platí x o f cos( 6 ) f y f f Velikost vektorového součtu V a W je rovna f a smysl je opačný než smysl fázoru. Součet všech tří fázorů je tedy : + V + W = 7. Výroba trojfázového proudu Trojfázový proud se vyrábí ve stroji nazývaném alternátor. Alternátor je točivý elektrický stroj, který přeměňuje pohybovou energii rotačního pohybu na energii elektrickou. Mechanická energie přiváděná na rotor se mění na elektrickou energii odebíranou ze statorového vinutí. Alternátor se skládá ze dvou hlavních částí: pevného statoru a otáčejícího se rotoru. otorem otáčí poháněcí stroj (většinou turbína). Stator je nepohyblivá část stroje. Je tvořen pevnou kostrou, ve které je umístěn magnetický obvod ve tvaru dutého válce složený z plechů pro elektrotechniku. Na vnitřní ploše válce jsou drážky, ve kterých je uloženo trojfázové měděné izolované vinutí. Vinutí jednotlivých fází je posunuto o o. Začátky i konce statorového vinutí jednotlivých fází jsou vyvedeny pevnými 9

193 průchodkami ze statoru. Jednotlivé fáze se označují písmeny, V, W, začátky se označují, V, W, konce, V, W. Obr. Trojfázový alternátor princip činnosti Obr. 5 Statorové vinutí Obr. 4 Skládání magnetického obvodu statoru Obr. 6 Kostra statoru s magnetickým obvodem a statorovým vinutím 9

194 otor je pohyblivá část alternátoru; je umístěn souose uvnitř statoru. Magnetický obvod rotoru ve tvaru válce je vykovaný z legované oceli jako jediná část spolu s hřídelem; na válcové ploše má podélné drážky, ve kterých je uloženo budící vinutí napájené přes kroužky stejnosměrným proudem. otor je poháněn turbínou a otáčí se jmenovitými otáčkami n (ot/min). Obr. 7 Vkládání cívek budícího vinutí do tělesa rotoru Obr. 8 Vkládání rotoru do statoru Stejnosměrný rotorový budící proud vybudí magnetické stejnosměrné pole. otor se otáčí jmenovitými otáčkami n (ot/min), tedy s frekvencí f = n/6, jeho úhlová rychlost je =f. Spolu s rotorem se otáčí i stejnosměrné magnetické pole. Jeho indukční čáry protínají stojící vodiče vinutí jednotlivých fází uložené ve statoru a tím se ve statorovém vinutí indukuje elektrické napětí. Princip vzniku trojfázového napětí je stejný jako v případě popsaném v kapitole 7., rozdíl je jen v tom, že se neotáčí vinutí, ale magnetické pole. Výhodou tohoto uspořádání je, že velké výkony vyrobené přeměnou mechanické energie rotačního pohybu na elektrickou energii vyvádíme pevnými průchodkami a výrazně menší výkon budícího proudu přivádíme do budícího vinutí přes pohyblivé kroužky. Vyvádění vyrobených velkých výkonů přes kroužky by bylo z provozního hlediska značně problematické. Toto provedení alternátoru se používá při výrobě elektrické energie v parních a jaderných elektrárnách, tj. tam, kde je alternátor poháněn parní turbínou tyto alternátory jsou

195 označovány jako turboalternátory. Jmenovité otáčky turboalternátorů jsou zpravidla ot/min. Pro hydroelektrárny je konstrukční provedení rotoru jiné; rotor má vyniklé póly, na kterých jsou umístěny cívky budícího vinutí. Princip výroby elektrické energie je ale shodný s předchozím provedením. Obr. 9 otor s vyniklými póly, na nichž jsou cívky budícího vinutí Pro alternátory malých výkonů může být rotor realizován permanentním magnetem. Zapojení statorového vinutí alternátorů Vzhledem k tomu, že součet všech tří fázových napětí v souměrné trojfázové soustavě je v každém okamžiku roven nule, je možné spojit konce jednotlivých fázových statorových vinutí do jediného uzlu, který má proti zemi nulové napětí. Tento uzel se nazývá nulový bod a označujeme ho N. Toto spojení se nazývá zapojení do hvězdy. Nulový bod může, ale nemusí být vyveden. ozvod elektrické energie se pak provádí třemi nebo čtyřmi vodiči. Jednotlivé fázové vodiče se označují,, (fáze), střední vodič se označuje N (nulový vodič, nulák ). a) b) Obr. Zapojení statorového vinutí alternátoru do hvězdy a) bez středního vodiče b) s vyvedeným středním vodičem Napětí na alternátoru při zapojení do hvězdy Mezi jednotlivými fázemi a nulovým vodičem je napětí, které se indukuje ve vinutí příslušné fáze takzvané fázové napětí f. 95

196 V W f Obr. Fázová a sdružená napětí na výstupu z alternátoru při zapojení do hvězdy Mezi dvěma fázemi je takzvané sdružené napětí S. V VW Velikost sdruženého napětí vypočteme z rovnoramenného trojúhelníku fázových a sdruženého napětí: S f cos o W S f Mezi jakýmkoliv fázovým vodičem a nulovým vodičem je fázové napětí f. Mezi libovolnými dvěma fázovými vodiči je sdružené napětí S. f S 7. Přenos energie v trojfázové elektrizační síti Elektrickou energii vyrobenou v alternátorech je nutno přenést rozvodnými sítěmi ke spotřebitelům. Protože vedení vykazuje ohmický odpor, vznikají na něm úbytky napětí a ztráty Jouleovým teplem ztrátový výkon je P. Úbytek napětí na vedení je Ztrátový výkon na vedení je kde je odpor vedení je přenášený proud P Z uvedeného je patrné, že ztrátový výkon a tedy i ztráty na vedení jsou úměrné druhé mocnině přenášeného proudu. 96

197 elkový přenášený výkon je úměrný součinu. Proto se snažíme přenášet elektrickou energii s co největším napětím; pak při stejném přenášeném výkonu bude proud menší a tím výrazněji bude menší jeho druhá mocnina, jíž jsou úměrné ztráty. Elektrická energie vyrobená v alternátorech má různá napětí podle typu alternátoru. Běžně se napětí alternátorů pohybují v řádech 6 až kv. Toto napětí je pro dálkový přenos relativně nízké, ztráty ve vedení by byly vzhledem k velikosti přenášeného výkonu značné. Proto se energie transformuje na vyšší napětí pomocí strojů nazývaných transformátory. Transformátory jsou netočivé elektrické stroje využívají vzájemnou indukčnost dvou cívek. Na společném feromagnetickém jádru složeném z transformátorových plechů jsou nasunuty dvě cívky: primární a sekundární. Tyto cívky mají různý počet závitů. Protéká-li první cívkou proud, vybudí magnetický tok, který se uzavírá i prostorem druhé cívky. Tok indukuje v každém jednotlivém závitu obou cívek stejné napětí; tedy napětí v první cívce je úměrné počtu závitů první (primární) cívky N a napětí ve druhé (sekundární) cívce je úměrné počtu závitů N druhé cívky. Z uvedeného je patrné, že Obr. Princip transformátoru N N (= transformační poměr) a tedy N N Má-li sekundární cívka větší počet závitů než cívka primární, energie se transformuje na vyšší napětí; naopak pokud má primární cívka větší počet závitů než cívka sekundární, energie se transformuje na nižší napětí Velké energetické transformátory mají velmi vysokou účinnost; lze tedy zjednodušeně říci, že vstupní výkon převáděné energie je roven výkonu výstupnímu P = P = P Je-li N > N, vstupní napětí a proud, pak N > N Sekundární napětí je větší než primární. Protože platí P a pak < proud v sekundárním vinutí je menší než proud v primárním vinutí. P 97

198 Vzájemný poměr proudů při transformaci je N N N N N N Pro N > N se napětí transformací zvyšuje, proud naopak snižuje ztráty při přenosu energie se sníží. Napětí pro dálkové přenosy elektrické energie (tzv. páteřní sítě) jsou kv a 4 kv. Distribuční síť pracující v rámci regionů má napětí kv. Velké energetické bloky mají výstup z alternátoru připojen k transformátoru, který zvýší výstupní napětí energie z alternátoru na vyšší hodnotu některou z uvedených hodnot pro dálkový nebo distribuční přenos energie. Pro rozvod v konkrétním místě spotřeby se energie transformuje zpět na menší napětí, zpravidla kv a následně přímo u spotřebitele na 4 V. G trojfázový alternátor T trojfázový transformátor Obr. Zjednodušené schéma rozvodné soustavy 7.4 Připojování spotřebičů k trojfázové síti Spotřebitelské sítě jsou dvojího druhu: sítě TN S a sítě TN. Každá síť obsahuje tři fázové vodiče označení, a.v síti TN je vyveden střední (nulový) vodič, který slouží jednak jako zpětný vodič pro jednofázové spotřebiče a současně jako ochranný vodič; jeho označení je PEN. V síti TN S je zvlášť vyveden střední vodič sloužící jako zpětný vodič pro jednofázové spotřebiče označuje se N, a zvlášť ochranný vodič označený PE. Aby bylo zatížení sítě co nejrovnoměrnější, zapojujeme jednotlivé jednofázové spotřebiče mezi různé fáze a nulový vodič. Nulový vodič PEN, případně ochranný vodič PE slouží jako ochranný vodič při ochraně před dotykem neživých částí elektrického zařízení nulováním. Neživá část elektrického zařízení je taková vodivá část zařízení, která za normálních provozních podmínek není pod napětím, ale vlivem poruchy se na ní může napětí objevit, například při poruše izolace. Pak na kovovém krytu nebo kostře může být napětí až V a dotyk osoby se zařízením pod napětím může být zdraví ohrožující. 98

199 Obr. 4 Spotřebitelská síť TN - Ochrana nulováním Obr. 5 Spotřebitelská síť TN - S Ochrana nulováním spočívá v automatickém odpojení zařízení od sítě, objeví-li se na neživé části zařízení elektrické napětí. Pokud elektrické zařízení na obr. 6 pracuje bezporuchově, protéká fázovým vodičem jmenovitý proud N daného zařízení N = f / N, kde N =. je jmenovitý odpor v dané fázi. Na tento proud je dimenzován jistící prvek F (zkratová spoušť jističe nebo tavná pojistka); proud může procházet zařízením po libovolnou dobu. 99

200 Dojde-li k poškození izolace a následnému doteku živé části elektrického zařízení (např. fázového přívodního vodiče) s vodivou neživou částí (například kostrou zařízení), objeví se na neživé části fázové elektrické napětí. Je-li zařízení izolované od země a není na něm aplikována žádná ochrana, proud se nemůže uzavírat jinou cestou než při normálním bezchybném provozu. Zařízení tedy funguje dál, ale na kostře je nebezpečné napětí. Dotkne-li se obsluha kostry, dojde přes odpor těla k uzavření obvodu zemí, přes tělo prochází elektrický proud a dochází k úrazu elektrickým proudem viz obr. 6 a). a) b) Obr. 6 Ochrana nulováním Pokud je nulovací svorka zařízení propojena s ochranným vodičem PE viz obr. 6 b), při poruše izolace začne obvodem procházet proud, který je omezen jen odporem kostry K, který je výrazně menší než provozní odpor N dané fáze elektrického zařízení. Procházející proud K = f / K tedy bude výrazně vyšší než jmenovitý fázový proud zařízení N a jeho působením se rozpojí jistící prvek F. (zkratová spoušť jističe nebo tavná pojistka). Tím se daná fáze zařízení odpojí od sítě a nebezpečí úrazu elektrickým proudem pomine. 7.4 Zapojení trojfázových spotřebičů ve trojfázové síti Trojfázové spotřebiče mají v převážné většině stejnou impedanci v každé jednotlivé fázi. Fázové impedance se vzájemně spojují jednak do hvězdy, jednak do trojúhelníka 7.4. Zapojení trojfázového spotřebiče do hvězdy Jednotlivé fázové impedance Z, Z V a Z W daného trojfázového spotřebiče mají vstupy připojeny k jednotlivým fázovým vodičům, a a jejich výstupy jsou spojeny do uzlu a připojeny ke střednímu vodiči N viz obr. 7. Souměrné zatížení Jsou-li impedance ve všech třech fázích stejně velké Z = Z V = Z W = Z f, pak velikosti proudů v jednotlivých fázích jsou také stejně velké a jejich hodnota je

201 f Z Proudy jsou vzájemně posunuty o o a jejich fázory svírají s fázory fázových napětí úhel daný typem impedance ve fázi spotřebiče. f f Obr. 7 Trojfázový spotřebič zapojený do hvězdy Obr. 8 Fázorový diagram při zapojení do hvězdy a souměrném zatížení fází Protože = V = W = f a proudy jsou pootočeny o o, jejich vektorový součet je roven nule viz obr. 8. Z toho plyne, že středním vodičem při souměrném zatížení fází neprotéká žádný proud: N = Nulový vodič se jeví být v takovém případě nadbytečný; je však třeba zohlednit, že může vlivem poruchy v některé fázi spotřebiče dojít k nesouměrnosti a pak se proud daný vektorovým součtem zbývajících dvou funkčních fází uzavírá právě středovým vodičem. Nesouměrné zatížení Nesouměrné zatížení nastává buď vlivem poruchy při souměrném zatížení, nebo připojením různých jednofázových spotřebičů na jednotlivé fáze - viz obr. 5. Trojfázové motory a další trojfázové spotřebiče budou v bezporuchovém stavu zatěžovat síť rovnoměrně, ale zásuvky, světelné obvody a další jednofázové spotřebiče rovnoměrné proudové zatížení mohou porušit; přestože je snaha připojovat v domovních rozvodech jednotlivé obvody na různé fáze pokud možno rovnoměrně, nikdy se nedosáhne stále stejné spotřeby všech odběratelů ve všech

202 obvodech. Pak prochází středním vodičem zpět do uzlu N napájecího transformátoru proud N, který je vektorovým součtem proudů ve všech třech fázích. Proudy v jednotlivých fázích jsou Z V Z V V W Z W W Velikosti jednotlivých fázových napětí jsou stejné V W f a fázory fázových napětí, V a W jsou vzájemně pootočeny o o. Obr. 9 Fázorový diagram při zapojení do hvězdy při nesouměrném zatížení fází Fázový posun mezi proudem a napětím v jednotlivých fázích, V, W je dán typem zátěže v jednotlivých fázích, V, W. Pozor: Ve spotřebitelských sítích nízkého napětí ( V / 4 V) se nesmí střední vodič nikde přerušit. Veškeré jistící a spínací přístroje musí být zapojeny mezi fázovým přívodem a spotřebičem! 7.4. Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka je zakresleno na obr.. Obr. Trojfázový spotřebič zapojený do trojúhelníka

203 Jednotlivé zátěže Z V, Z VW, Z W jsou připojeny na sdružená napětí V, VW, W, která jsou stejně velká a vzájemně posunutá o o : Proudy v jednotlivých zátěžích jsou V = VW = W = S kde S f V Z S V VW Z a fázový posun mezi proudy a napětími je dán typem zátěže. S VW W Z Proudy v přívodních fázových vodičích jsou podle. Kirchhoffova zákona Souměrné zatížení + W - V = = V - W V - VW + V = V = VW - V W + VW - W = W = W - VW Jsou-li impedance všech tří zátěží stejně velké Z V = Z VW = Z W = Z S, pak velikosti proudů v jednotlivých zátěžích jsou také stejně velké a jejich hodnota je S W S Z S S f Z S Proudy v zátěžích jsou vzájemně posunuty o o a jejich fázory svírají s fázory fázových napětí úhel daný typem impedance spotřebiče. Napájecí napětí Proudy v zátěžích Obr. Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka a souměrném zatížení Proudy ve všech třech přívodních fázových vodičích jsou stejně velké a navzájem pootočené o o. Jejich velikost vypočteme z rovnoramenného trojúhelníku viz obr. : f W cos o f W W

204 Obr. Proudy v přívodních vodičích při zapojení do trojúhelníka při souměrném zatížení Nesouměrné zatížení Nesouměrné zatížení nastává, mají-li impedance všech tří zátěží různé parametry. Pak je různá i velikost a fázový posun proudů v zátěžích a tím i proudů v přívodních vodičích viz obr.. Obr. Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka a nesouměrném zatížení Příklad 8: Trojfázový spotřebič připojený k síti /4 V 5 Hz je souměrně zatížený, zátěže mají činný odpor =, indukčnost =,4 H a jsou spojené do trojúhelníka - viz schéma na obr. 4. rčete proud v jednotlivých zátěžích a fázový proud, který tento spotřebič odebírá ze sítě. Nakreslete fázorový diagram pro napětí a proudy. 4

205 Obr. 4 Schéma zapojení pro příklad 8 Řešení: Vyjdeme z fázorového diagramu viz obr. 5 Obr. 5 Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka podle obr. 4 Napětí na všech třech zátěžích je V W WV S 4 V Proud v zátěžích bude mít stejnou velikost S V W WV Z Z S kde Z X ( f ) ( 5,4) 7,76 4 7,76,7 A 5

206 Proud ve všech fázových přívodech bude mít stejnou velikost V W f,7,987 A 7.5 Výkon trojfázového proudu Výkon trojfázového proudu je dán součtem výkonů v jednotlivých fázích. Činný výkon jedné fáze je Zdánlivý výkon jedné fáze je Jalový výkon jedné fáze je P cos (W, V, A) f S f f f f (VA, V, A) f Q sin (VAr, V, A) f f f Pokud je zátěž ve všech fázích stejná, platí: elkový trojfázový činný výkon P P cos (W, V, A) f f f elkový trojfázový zdánlivý výkon S S elkový trojfázový jalový výkon f f f (VA, V, A) Q Q sin (VAr, V, A) f f f Příklad 8: Trojfázový spotřebič připojený k síti /4 V 5 Hz obsahuje tři stejné rezistory o odporu = 8 spojené do hvězdy. rčete fázový proud, který tento spotřebič odebírá ze sítě, a celkový odebíraný výkon. Jak se změní výkon, zapojíme-li jednotlivé rezistory do trojúhelníku? Řešení: Každý z rezistorů je připojen na jedno z fázových napětí. Proud jednou fází bude f,875 8 f A Výkon jedné fáze je tedy P,875 66,5 W f f f 6

207 Výkon všech tří fází je P P,875 98,75 W f f f Zapojíme-li rezistory do trojúhelníka, bude na každém z rezistorů sdružené napětí S. Proud každým z rezistorů bude S S f f f 4 5A 8 Výkon na jednom rezistoru je tedy P P 45 W S Výkon všech tří fází je S S P P 6 W S f f Výkon při zapojení rezistorů do trojúhelníka je x větší než při zapojení do hvězdy. f 7.5. Svorkovnice trojfázového spotřebiče, přepojování hvězda - trojúhelník Začátky a konce zátěží jednotlivých fází v trojfázovém spotřebiči jsou většinou vyvedeny na svorkovnici. Ta je uspořádána tak, aby přepojení z hvězdy do trojúhelníku bylo co nejjednodušší. Připojení vinutí jednotlivých fází statoru trojfázového motoru ke svorkám svorkovnice je znázorněno na obr. 6. Přepojením spojek na svorkovnici jednoduše docílíme přepojení chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojúhelník. Při provozu v zapojení do trojúhelníka má motor trojnásobný výkon než při zapojení do hvězdy. a) b) c) Obr. 6 a) připojení vinutí ke svorkovnici b) spojení vinutí do hvězdy c) spojení vinutí do trojúhelníka 7.6 Točivé magnetické pole Pokud k cívkám statorového vinutí jenotlivých fází, které jsou zájemně pootočny o o, připojíme fáze, a trofázového zdroje viz obr. 7, vytvoří se v prostoru uvnitř statoru točivé magnetické pole. 7

208 Obr. 7 Připojení statorového trojfázového vinutí k trojfázové síti Vznik točivého magnetického pole je patrný z obr. 8. V okamžiku t bude cívkou fáze W protékat proud i W v kladném smyslu, tedy od počátku W cívky ke konci W, cívkou fáze V bude protékat proud i V v záporném smyslu, tedy od V do V, cívka fáze je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy i W a i V vybudí magnetická pole W a v úměrná proudům, které je vyvolaly; jejich součet je magnetický tok - obr. 8 a). V okamžiku t bude cívkou fáze protékat proud i v kladném smyslu, tedy od počátku cívky ke konci, cívkou fáze V bude protékat proud i V v záporném smyslu, tedy od V do V, cívka fáze W je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy i a i V vybudí magnetická pole, jejichž součtem je magnetický tok - obr. 8 b). Tok má stejnou velikost jako v případu a), ale jeho vektor bude pootočen o 6 o ve směru hodinových ručiček. a) b) c) 8

209 d) e) f) Obr. 8 Vznik točivého magnetického pole V okamžiku t bude cívkou fáze protékat proud i v kladném smyslu, tedy od počátku cívky ke konci, cívkou fáze W bude protékat proud i W v záporném smyslu, tedy od W do W, cívka fáze V je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy i a i W vybudí magnetická pole; jejich součet je magnetický tokem - obr. 8 c). Tok bude mít opět stejnou velikost jako v případu a) a b), ale jeho vektor bude pootočen o dalších 6 o. Situaci v časech t, t 4 a t 5 popisují obrázky 8 d), e) a f). Velikost magnetického toku je stále stejná, vektor magnetického toku se otáčí, a to stejnou úhlovou rychlostí jako je úhlová rychlost napájecího napětí. Magnetické pole charakterizované otáčejícím se magnetickým tokem nazýváme točivé magnetické pole. Velikost celkového magnetického toku točivého magnetického pole bude v každém okamžiku dána vektorovým součtem magnetických toků vybuzených jednotlivými fázovými vinutími. Ty jsou úměrné proudům v příslušných fázových vinutích. V okamžiku t = je velikost proudu i W 4 i w max sin( t ) Magnetický tok je úměrný proudu, platí tedy max 4 sin( ) w max kde max je maximální hodnota magnetického toku vybuzeného jednou fází Vektorový součet fázorů toků je viz obr. 9: max Obr. 9 Velikost magnetického toku točivého magnetického pole 9

210 W cos( ) max max elková velikost magnetického toku točivého magnetického pole je tedy Závěrem lze říci, že napájíme-li trojfázovým proudem tři statorová vinutí vzájemně pootočená o o, vznikne v prostoru uvnitř statoru točivé magnetické pole o otáčkách 6 f a velikosti max. Pokud do prostoru statoru vložíme otočný magnet umístěný na hřídeli o ose společné s osou statoru, točivé magnetické pole bude silově působit na magnet, magnet bude unášen točivým magnetickým polem a roztočí se stejnými otáčkami jako, jsou otáčky točivého magnetického pole (takzvané synchronní otáčky): n s 6 max f n s Obr. 4 Princip trojfázového elektromotoru Na principu točivého magnetického pole pracují všechny trojfázové elektromotory. Pokud by se navzájem prohodily dva ze tří fázových přívodů, smysl otáčení točivého magnetického pole by se změnil na opačný viz obr. 4. V okamžiku t bude fázor magnetického toku orientován podle znázornění na obr. 4 a). V okamžiku t bude fázor magnetického toku orientován podle znázornění na obr. 4 b); v dalších okamžicích podle časového průběhu proudů se fázor magnetického toku vždy pootočí proti směru hodinových ručiček.

211 a) b) Obr. 4 Změna smyslu otáčení točivého magnetického pole Této vlastnosti točivého magnetického pole se využívá při reverzaci chodu motoru viz obr. 4. Pozor: stykače S a S musí být vzájemně blokovány, aby nedošlo ke zkratu mezi přívodními fázemi. Obr. 4 everzace smyslu otáčení trojfázového motoru