Domácí úkol DU01_2p MAT 4AE, 4AC, 4AI

Transkript

1 Příklad 1: Domácí úkol DU01_p MAT 4AE, 4AC, 4AI Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad : V dodávce 10 osvětlovacích těles je 9 vadných. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané těleso je vadné? b) Jaká je pravděpodobnost, že ve vybrané skupině těles se nenalézá žádné vadné? Příklad 3 V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Urči, kolika způsoby lze koupit 0 gramů kávy, jestliže: a) balíčků každého druhu je dostatek b) od dvou druh ů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. Příklad 4: Příklad : Ve třídě je 9 žáků, z nichž 9 je nepřipraveno na hodinu. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že všichni vyvolaní žáci budou připraveni na vyučování. Počet stránek: 9 Stránka 1

2 Příklad 6: K ozdobení vánočního stromečku máme k dispozici na výběr ze tří špicí, šesti kolekcí čokoládových vánočních koulí a pěti kolekcí čokoládových figurek. Aby byl stromeček ozdoben, použijeme jednu špici, dvě kolekce čokoládových vánočních koulí a jednu kolekci čokoládových figurek. Kolika způsoby můžeme stromeček ozdobit za předpokladu, že než jste se dopočítali k tomuto příkladu, jednu kolekci jste snědli. Příklad 7: V osudí je 16 červených a 1 modrých lístků. Náhodně vybereme 4 lístky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny tažené lístky budou modré, b) dva lístky budou modré, c) aspoň jeden lístek bude modrý, d) aspoň dva lístky budou modré. Příklad 8: Krychle a = 7 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) je neobarvená. Příklad 9: Hodíme dvěma kostkami, černou a bílou. Určete pravděpodobnost, že padne na černé kostce větší číslo než na bílé: Příklad 10: Zkouška má 0 otázek, z nichž se losují. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět? Příklad 11: Určete pravděpodobnost, a) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 6. b) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 1. c) že součet bude menší než 17. d) že součet bude aspoň. e) že při dvou hodech kostkou padne aspoň jednou 6. Příklad 1: Ve třídě je 8 žáků, z nichž nevypracovalo domácí cvičení. V hodině budou kontrolováni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden žák bez domácího cvičení? Příklad 13: V krabici je 1 bílých a 17 zelených míčků. Náhodně vybereme 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny míčky budou zelené, b) dva míčky budou zelené, c) aspoň jeden míček bude zelený, d) aspoň dva míčky budou zelené. Počet stránek: 9 Stránka

3 Řešení př. 1 Řešení DU01_p Osm spolužáků se má seřadit, přičemž dva mají přesně udanou pozici. /přesouvat se tedy dá pouze šest dětí na 6 míst/. Jedná se o permutaci. P( n) n! P(6) 6! Řešení př. V dodávce 10 osvětlovacích těles je 9 vadných. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané těleso je vadné? b) Jaká je pravděpodobnost, že ve vybrané skupině těles se nenalézá žádné vadné? Ad a) n = 10 m = 9 m 9 3 PA ( ) 0,06 (6%) n 10 0 Ad b) n C(10) m C(141) m P( A) 0, % n Počet stránek: 9 Stránka 3

4 Řešení př. 3 V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Urči, kolika způsoby lze koupit 0 gramů kávy, jestliže: a) balíčků každého druhu je dostatek 4 druhy kávy = n 0 gramů tvoří balíčků po 0 gramech. balíčků se rovná k Jedná se o kombinaci s opakováním tj. ( ) n k 1 C k n k C (4) b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. Platí stejné řešení jako v případě a) s tím, že odečteme ty možnosti, kde jsme chtěli koupit balíčků stejného druhu a ty nejsou, tyto možnosti jsou. Celkem bude 4 možností tj C (4) Řešení př. 4: Řešení př. : Ve třídě je 9 žáků, z nichž 9 je nepřipraveno na hodinu. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že všichni vyvolaní žáci budou připraveni na vyučování. Počet všech možných dvojic: n C Počet dvojic, které jsou připraveni na vyučování m C m 190 P( A) 0,468 n Počet stránek: 9 Stránka 4

5 Řešení př. 6 Uvažujme nejprve ten případ, že jste snědli kolekci čokoládových figurek. Kolekce se neopakují, jedná se o kombinace bez opakování. Špici vybereme třemi způsoby Dvě ze šesti kolekcí vánočních koulí vybereme Jednu ze čtyř čokoládových kolekcí figurek vybereme: Celkem bude možností 1 1 Pokud byste snědli kolekci čokoládových vánočních koulí, bylo by možností: možností 1 1 Řešení př. 7 V osudí je 16 červených a 1 modrých lístků. Náhodně vybereme 4 lístky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny tažené lístky budou modré, b) dva lístky budou modré, c) aspoň jeden lístek bude modrý, d) aspoň dva lístky budou modré. Ad b) Celkem je = 31 lístků n Vypočet možností vyhovující zadání: lístky jsou modré, lístky jsou červené 16 1 m m 1600 PA ( ) 0,4004 n 3146 Ad a) Celkem je = 31 lístků n Vybrané 4 lístky jsou modré tj. počet možností výběru: m m 136 PA ( ) 0,0434 n 3146 Ad c) Celkem je = 31 lístků n Aspoň 1 modrý lístek znamená: 1 modrý + 3 červené: modré + červené: modré + 1 červený: modré + 0 červených: Počet stránek: 9 Stránka

6 Ad d) Celkem je = 31 lístků n Aspoň modré lístky znamená: - modré lístky + červené lístky: Celkem m = 964 možností m 964 PA ( ) 0,9 n modré lístky + 1 červený lístek: modré lístky + 0 červený lístek: Celkem m = 14 možností m 14 PA ( ) 0,67 n 3146 Řešení př. 8 Krychle a = 7 cm, která má všechny strany obarveny, je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) je neobarvená n = počet všech krychliček tj. Počet krychliček, které mají obarveny více stran je: x 4 = (rohové ve. až 6. řadě x 4 ) = 68 Počet krychliček, které mají obarvenou jednu stranu: m = 6 x = 10 Počet neobarvených krychliček: x = 1 Ad a) Ad b) m 10 PA ( ) 0,4373 n 343 Řešení př. 9 m 1 PA ( ) 0,3644 n 343 Hodíme dvěma kostkami, černou a bílou. Určete pravděpodobnost, že padne na černé kostce větší číslo než na bílé. Počet všech možností, které nám padnou na kostce: n 6 36 Černá kostka: Bílá kostka: , 4 1,,3 Celkem 1 možností = m 1,,3,4 6 1,,3,4, m 1 PA ( ) 0, n 36 P( A) 0,41667 Počet stránek: 9 Stránka 6

7 Řešení př. 10 Zkouška má 0 otázek, z nichž se losují. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět? n = počet všech možností vytažení otázek n m: Aspoň 1 otázku, bude Josef umět, znamená: Bude vytažena: 1 otázka, kterou bude Josef umět a 1 otázka, kterou nebude umět: 7 13 m Bude vytaženo: otázky, které bude Josef umět a 0 otázek, které nebude umět: m m m m 1 1 P A 0 1 n n Řešení př =0,89 Určete pravděpodobnost, a) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 6. b) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 1. c) že při třech hodech součet bude menší než 17. d) že při třech hodech součet bude aspoň. e) že při dvou hodech kostkou padne aspoň jednou 6. Případy a) i b) jsou stejné. Budeme řešit případ, že nepadne 6 ani na jedné kostce. 3 n 6 16 počet případů kdy padne jiné číslo než 6 (nebo v b) 1): Pravděpodobnost, že nepadne 6 (nebo v b) 1) je: m 1 P A 0,787 n 16 Opačný jev: (padne 6 (nebo v b) 1): , Ad c) Počet nepříznivých jevů (tj. padne součet větší nebo rovno 17): 17: ; ; : Celkem 4x tj. m 4 m 4 1 P A 0, 018 n P( A) 1 P ( A) 1 0, Úlohu lze i řešit tak, že si určíme m tak, m n m Pak 1 P( A) 1 P( A) 0, m 1 Počet stránek: 9 Stránka 7

8 Ad d) Je to opět podobný případ, jako byl případ Ad c) Mohou nastat případy, že v součet hodnot na 3 kostkách bude Určíme opět m tj.případy kdy padne v součtumax součet 4 : 3: : ; ; Celkem 4x tj. m 4 m 4 1 P A 0, 018 n P( A) 1 P ( A) 1 0, Ad e) Házíme pouze kostkami tj. n 6 36 Opět určíme počet případů, kdy nepadne 6, tj. bude padat pouze 1 až tj. m P A 0, 6944 n P( A) 1 P ( A) 1 0, Řešení př. 1 m Ve třídě je 8 žáků, z nichž nevypracovalo domácí cvičení. V hodině budou kontrolováni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden žák bez domácího cvičení? Určíme počet čtveřic, kterým budou kontrolovány domácí cvičení: n Jev A - alespoň jeden žák bez domácího cvičení. Jev A - žádný žák bez domácího cvičení. 8 Počet všech možností, jak vybrat 4 žáky z dvaceti osmi je: n = = m A P( A) 1 P ( A) 1 0, Počet stránek: 9 Stránka 8

9 Řešení př. 13 V krabici je 1 bílých a 17 zelených míčků. Náhodně vybereme 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny míčky budou zelené, b) dva míčky budou zelené, c) aspoň jeden míček bude zelený, d) aspoň dva míčky budou zelené. Ad a) 9 4 zelené míčky a žádný bílý míček: n P( A) 0, Ad b) 9 zelené míčky + bílé míčky: n P( A) 0, Ad c) Jev A - alespoň jeden zelený míček. Jev A žádný zelený míček. 9 n m P( A) 1 P ( A) 1 =0, Ad d) Aspoň dva míčky budou zelené znamená, že počet zelených míčků bude, 3, nebo 4 zelené míčky + bílé míčky: 1 17 m zelené míčky + 1 bílý míček: 1 17 m zelené míčky a žádný bílý míček: 1 17 m m m1 m m m 1916 PA ( ) 0,817 n 371 Počet stránek: 9 Stránka 9