Funkce rostoucí, funkce klesající I
|
|
- Denis Bureš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 .1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Následující příklad je dobrý na opakování. Můžete ho studentům zadat na čas a ten kdo ho nestihne nebo nedokáže vřešit, b měl dostat mínus. Slouží to k tomu, ab studenti alespoň trochu věděli, co probrali v minulých hodinách a udrželi se v obraze. Př. 1: Nakresli vedle sebe graf funkcí = - a = + 1. Porovnej, jak se s rostoucí hodnotou proměnné mění hodnot. 4 =- = větší hodnot mají větší hodnot čára jde nahoru funkce roste větší hodnot mají menší hodnot čára jde dolu funkce klesá Jak definovat zda je funkce rostoucí (klesající matematick, ted pomocí operací s čísl, jako je porovnávání, sčítání apod. rostoucí funkce klesající funkce f( 3 f( f( 1 f( 1 f( f( platí 1 < < 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 3, čára má stoupat bod ; f ( musí být výš hodnota 3 3 platí 1 < < 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 3, čára má klesat bod ; f ( musí být níž hodnota 3 3 1
2 f ( 3 > f ( máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 1, čára má stoupat bod ; f ( musí být níž hodnota f < f 1 1 ( 1 ( < musí být f ( < f ( Je-li f ( > f ( 3 máme nakreslenou hodnotu f (, chceme nakreslit hodnotu f ( 1, čára má klesat bod ; f ( musí být výš hodnota f > f 1 1 ( 1 ( < musí být f ( > f ( Je-li Definice: Funkce ( f se nazývá rostoucí právě, kdž pro všechna 1; z definičního oboru platí: je-li 1 < pak f ( f ( <. Př. : Zformuluj definici klesající funkce. Definice: Funkce ( f se nazývá klesající právě, kdž pro všechna 1; z definičního oboru platí: je-li 1 < pak f ( f ( >. Pedagogická poznámka: Při předchozím příkladu se třída rozdělí na dvě skupin (faktick možných řešení je víc, ale všechn je možné převést do jedné ze dvou skupin: jednoobraceči - je-li 1 < pak f ( 1 > f ( dvouobraceči - je-li 1 f 1 > f Nechávám student, ab nakreslili obrázek, který popisuje jejich definice (ted bod 1; f ( 1 a ( ; f a podle obrázku sami rozhodli, jestli je taková funkce klesající nebo ne. U většin dvou obracečů je však problém v tom, že i kdž do první nerovnosti napsali 1 > nakreslí 1 do obrázku nalevo od. Někteří se nad příkladem pořádně nezamsleli a zkusili napsat řešení automatick, u jiných však při další diskusi zjistíte, že pořádně nerozumí smslu funkce (přiřazování hodnot nebo se neorientují v grafech. > pak ( ( Př. 3: Rozhodni, které z funkcí na obrázcích jsou rostoucí, které klesající a které nemají ani jednu z těchto vlastností. a b c
3 d e f Rostoucí funkce: a b Klesající funkce: ani jedna Funkce nepatřící ani do jedné ze skupin: d, e, f Obrázek, který neobsahuje funkcí: c Pedagogická poznámka: Eistují i další příklad funkcí, u kterých je zajímavé diskutovat, zda jsou rostoucí nebo klesající, ale uvádím je později, až na ně dojde při výkladu řada. Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu jsem poprvé také zadával pouze druhou část, jenže se ukázalo, že studenti mají problém vřešit i zcela nematematický problém s řidičákem. Proto jsou tam oba. Př. 4: Rozhodni, zda eistuje vztah (jsou rovnocenné, jeden vplývá z druhého apod. mezi následujícími dvojicemi výroků: a Pavel je plnoletý. Pavel má řidičák na osobní auto. b Funkce je rostoucí (klesající. Funkce je prostá. a Pokud je Pavel plnoletý, může ale nemusí mít řidičák na osobní auto. Pokud Pavel má řidičák na osobní auto, musí být plnoletý (plnoletost je podmínkou udělení řidičského průkazu skupin B. Z faktu, že Pavel má řidičák na osobní auto, vplývá, že je plnoletý. Obrácená implikace neplatí. b Je-li funkce rostoucí, je prostá (pokud hodnota pro každé další musí být větší než všechn předešlé, nemůže se žádná hodnota dvakrát opakovat. Obrácená implikace neplatí. Prostá funkce může být klidně rostoucí i klesající. Je-li funkce klesající, je prostá (pokud hodnota pro každé další musí být menší než všechn předešlé, nemůže se žádná hodnota dvakrát opakovat. Obráceně to neplatí. Prostá funkce může být klidně rostoucí i klesající Pedagogická poznámka: Společně si oba pojm (rostoucí a klesající funkce nakreslíme do přehledu souvislostí z minulé hodin. Př. 5: Rozhodni, pro které hodnot parametrů a, b je lineární funkce rostoucí (klesající a prostá. Zda je lineární funkce rostoucí nebo klesající záleží na směru záleží pouze na a. Tři možnosti: 3
4 a > 0 a = 0 a < 0 rostoucí prostá konstantní není prostá klesající prostá Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu se třída rozdělí na dvě skupin. Ta první řekne správný výsledek s tím, že je to jasné, že to každý vidí. Druhá neví a to i v případě, že lineární funkci umí jak nakreslit, tak zjistit její předpis z grafu. Proto si ukazujeme následující objevovací postup. Pro matematickou budoucnost studentů mohou být podstatnější než definice rostoucí funkce. Eistují nějaké objevovací postup, které vedou k výsledku předchozího příkladu? Hledání společného rsu 1. nakreslíme (představíme si graf mnoha, co nejrůznějších lineárních funkcí:. vbereme graf funkcí, které jsou rostoucí, a píšeme si k nim hodnot parametrů a, b: 4
5 a>0,b=0 3. zhodnotíme situaci: zdá se, že pokud je kladná hodnota a, je lineární funkce rostoucí bez ohledu na b musíme si odhad ověřit (spousta možností, použijeme jen některé 4. nakreslíme další rostoucí funkci, co nejodlišnější od těch, které už máme a zkontrolujeme, zda odpovídá pravidlu a>0,b>0 a>0,b=0 lineární funkce = a + b je rostoucí pokud platí a > 0, na b nezáleží Dohánění do etrému Nakreslíme si správnou funkci a zkusíme ji dohnat etrému Například si nakreslíme funkci, která odpovídá našemu požadavku (je rostoucí, určíme jaké má parametr a pak budeme měnit oba parametr a sledovat, jak se mění graf, zda je pořád rostoucí nebo ne. 5
6 zvětšujeme a, funkce se stává strmější, je stále rostoucí zvětšujeme b, funkce se posunuje nahoru je stále rostoucí zmenšujeme a, funkce se stává pozvolnější pro a=0 bude vodorovná a nebude rostoucí parametr vhovující funkce: a>0,b>0 zmenšujeme b, funkce se posunuje dolů je stále rostoucí lineární funkce = a + b je rostoucí pokud platí a > 0, na b nezáleží Sledování významu srovnáme s požadavk na rostoucí funkci s významem konstant o tom zda je funkce rostoucí rozhoduje její sklon b nemění sklon funkce nemá vliv zda je rostoucí nebo ne a určuje sklon funkce rozhoduje, zda je funkce rostoucí nebo ne Předchozí úvah nejsou pro matematika dostatečné musím udělat důkaz, který bude vcházet z definice. Pedagogická poznámka: Následující dva příklad jsou podle mého názoru poměrně obtížně a hlavně pro studentské uvažování zbtečné (proč složitě odůvodňovat něco, co je jasné. Pokud studentům nedojde, o co vlastně jde, snažím se je uklidňovat tím, že to není pro středoškolskou matematiku to nejpodstatnější. Pokud se k nim vůbec nedostaneme nic se neděje. Dobře poslouží jako bonus pro jedničkáře. Př. 6: Dokaž z definice, že funkce = je rostoucí. < je f ( 1 < f (. <. Jak je to s ( ( Potřebujeme: kdž je 1 Víme: f 1 = 1 ; f =? Vjdeme: 1 <, od obou stran odečtu <, získali jsme f ( ; f ( Shrneme: < ( = < = ( f ( < f ( f f 1 Dokázáno. 6
7 Př. 7: Dokaž z definice, že funkce = + 1 je klesající. < je f ( 1 > f (. <. Jak je to s f ( 1 = 1 + 1; f ( = + 1? <, na obou stranách se snažíme vrobit f ( ; f ( Potřebujeme: kdž je 1 Víme: Vjdeme 1 > (vnásobeno, obracíme nerovnost + 1 > + 1, získali jsme f ( ; f ( Shrneme: < ( = + 1 > + 1 = ( f ( > f ( f f 1 Dokázáno. Shrnutí: Objevovat můžeme: hledáním společného rsu, doháněním do etrému nebo sledováním významu. 7
( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
Více2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
Více2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
Více2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem
.7. Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: K následujícím třem hodinám je možné přistoupit dvěma způsob. Já osobně doporučuji postupovat podle učebnice. V takovém případě
Více( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
VícePř. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3.
1..20 Dláždění III Předpoklady: 01019 Př. 1: Najdi n ( 84,96), ( 84,96) D. 84 = 4 21 = 2 2 7 96 = 2 = 4 8 = 2 2 2 2 2 D 84,96 = 2 2 = 12 (společné části rozkladů) ( ) n ( 84,96) = 2 2 2 2 2 7 = 672 (nejmenší
Více9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
Více( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
Více10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
Více{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
Více1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Více= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Více4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
VíceLokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
Více2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
Více1.2.26 Přepočet přes jednotku - podruhé II
1.2.26 Přepočet přes jednotku - podruhé II Předpoklady: 010225 Pedagogická poznámka: První příklad nechávám řešit žáky, pak diskutujeme důvodech dělení. Př. 1: Za 0,85 hodiny zalévání spotřebovalo zavlažovací
Více3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
VíceEXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
VíceUčební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Více1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105
.. Kruhový pohyb Předpoklady: 05 Předměty kolem nás se pohybují různými způsoby. Nejde pouze o přímočaré nebo křivočaré posuvné pohyby. Velmi často se předměty otáčí (a některé se přitom pohybují zároveň
Více2.8.10 Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem
.8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Více4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky
4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky Předpoklady: 4205 Pedagogická poznámka: Tuto hodinu učím jako běžnou jednohodinovku s celou třídou. Některé dvojice stihnou naměřit více odporů. Voltampérová
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceSTEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Více4.5.2 Magnetické pole vodiče s proudem
4.5.2 Magnetické pole vodiče s proudem Předpoklady: 4501 1820 H. Ch. Oersted objevil, že vodič s proudem působí na magnetku elektrický proud vytváří ve svém okolí magnetické pole (dříve nebyly k dispozici
VíceMONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
VíceE-ZAK. metody hodnocení nabídek. verze dokumentu: 1.1. 2011 QCM, s.r.o.
E-ZAK metody hodnocení nabídek verze dokumentu: 1.1 2011 QCM, s.r.o. Obsah Úvod... 3 Základní hodnotící kritérium... 3 Dílčí hodnotící kritéria... 3 Metody porovnání nabídek... 3 Indexace na nejlepší hodnotu...4
Více2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou
.6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody
VíceVztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
Vícederivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
Více3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí
DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,
VíceTvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Zlomky sčítání a odčítání. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce
METODICKÝ LIST DA2 Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky sčítání a odčítání Dušan Astaloš Matematika Ročník:. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný
VícePingpongový míček. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinancován
VícePostup práce s elektronickým podpisem
Obsah 1. Obecné informace o elektronickém podpisu... 2 2. Co je třeba nastavit, abyste mohli používat elektronický podpis v MS2014+... 2 2.1. Microsoft Silverlight... 2 2.2. Zvýšení práv pro MS Silverlight...
VíceNyní jste jedním z oněch kouzelníků CÍL: Cílem hry je zničit soupeřovy HERNÍ KOMPONENTY:
Vytvořili Odet L Homer a Roberto Fraga Velikonoční ostrov je tajemný ostrov v jižním Pacifiku. Jeho původní obyvatelé již před mnoha lety zmizeli a jediné, co po nich zůstalo, jsou obří sochy Moai. Tyto
VíceKapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
VíceDualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
VíceObsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
VíceVyužití EduBase ve výuce 2
B.I.B.S., a. s. Využití EduBase ve výuce 2 Projekt Vzdělávání pedagogů v prostředí cloudu reg. č. CZ.1.07/1.3.00/51.0011 Mgr. Jitka Kominácká, Ph.D. a kol. 2015 1 Obsah 1 Obsah... 2 2 Úvod... 3 3 Aktivita:
VíceV týmové spolupráci jsou komentáře nezbytností. V komentářích se může např. kolega vyjadřovat k textu, který jsme napsali atd.
Týmová spolupráce Word 2010 Kapitola užitečné nástroje popisuje užitečné dovednosti, bez kterých se v kancelářské práci neobejdeme. Naučíme se poznávat, kdo, kdy a jakou změnu provedl v dokumentu. Změny
VíceDůkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné
VíceDomácí úkol DU01_2p MAT 4AE, 4AC, 4AI
Příklad 1: Domácí úkol DU01_p MAT 4AE, 4AC, 4AI Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad : V dodávce
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
VíceDopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
VíceVšechny možné dvojice ze čtyř možností, nezáleží na uspořádání m (všechny výsledky jsou rovnocenné), 6 prvků. m - 5 prvků
9.2.2 Pravděpodobnost Předpoklady: 9201 Pedagogická poznámka: První příklad je opakovací, nemá cenu se s ním zabývat více než pět minut. Př. 1: Osudí obsahuje čtyři barevné koule: bílou, fialovou, zelenou,
VíceŘešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
Více2.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I
.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte můžete obětovat hodiny dvě a nechat
VíceŘešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).
Více( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více( ) ( ) 9.2.12 Podmíněné pravděpodobnosti I. Předpoklady: 9207
9.. Podmíněné pravděpodobnosti I Předpoklady: 907 Pedagogická poznámka: Podmíněné pravděpodobnosti se často vynechávají jako velmi těžké a nepochopitelné učivo. Moje zkušenosti ukazují, že situace není
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceDUM téma: KALK Výrobek sestavy
DUM téma: KALK Výrobek sestavy ze sady: 2 tematický okruh sady: Příprava výroby a ruční programování CNC ze šablony: 6 Příprava a zadání projektu Určeno pro : 3 a 4 ročník vzdělávací obor: 23-41-M/01 Strojírenství
VíceAUTORKA Barbora Sýkorová
ČÍSLO SADY III/2 AUTORKA Barbora Sýkorová NÁZEV SADY: Číslo a proměnná číselné označení DUM NÁZEV DATUM OVĚŘENÍ DUM TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY KLÍČOVÁ SLOVA FORMÁT (pdf,, ) 1 Pracovní list číselné výrazy
Vícehttp://www.zlinskedumy.cz
Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor Ročník 2, 3 Obor Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0514 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Elektronické obvody, vy_32_inovace_ma_42_06
VíceVýrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
VícePraktikum II Elektřina a magnetismus
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum II Elektřina a magnetismus Úloha č. VII Název: Měření indukčnosti a kapacity metodou přímou Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.:
Více1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
VíceDélky v metrech HARRY POTTER A KÁMEN MUDRCŮ
HARRY POTTER A KÁMEN MUDRCŮ Popis aktivity Řešení nestandardních úloh s tematikou známého literárního díla J. K. Rowlingové. Předpokládané znalosti Početní operace s přirozenými a desetinnými čísly, čtení
Více65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
VíceZákonitosti, vztahy a práce s daty
20mate matematika Jednotlivé kapitoly mají rozsah čtyř stran a každá kapitola je obohacena o rozšiřující učivo. sčítání a odčítání Zákonitosti, vztahy a práce s daty 1 Vyřeš úlohy. a) Součet všech čísel
VíceTeorie grafů. Bedřich Košata
Teorie grafů Bedřich Košata Co je to graf Možina bodů (uzlů) spojených "vazbami" Uzel = vrchol (vertex, pl. vertices) Vazba = hrana (edge) K čemu je to dobré Obecný model pro Sítě Telekomunikační Elektrické
VíceLineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
VíceNázev: VY_32_INOVACE_PG3309 Booleovské objekty ve 3DS Max - sčítání a odčítání objektů
Název: VY_32_INOVCE_PG3309 ooleovské objekty ve 3DS Max - sčítání a odčítání objektů utor: Mgr. Tomáš Javorský Datum vytvoření: 05 / 2012 Ročník: 3 Vzdělávací oblast / téma: 3D grafika, počítačová grafika,
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceTestování výškové přesnosti navigační GPS pro účely (cyklo)turistiky
Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Testování výškové přesnosti navigační GPS pro účely (cyklo)turistiky Kompletní grafické přílohy bakalářské práce Plzeň 2006 David Velhartický Seznam příloh Praktický
VíceFinanční gramotnost v ČR
Tisková konference MF a ČNB Praha 13. prosince 010 IV.Chování a zvyklosti ve světě financí Finančně gramotný občan ( mimo jiné ) platí své účty včas sleduje svoji finanční situaci dříve, než si něco koupí,
VíceDruhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány.
.8.5 Druhá odmocnina Předpoklady: 0080 V této hodině jsou kalkulačky zakázány. Druhá mocnina nám umožňuje určit z délky strany plochu čtverce. Druhá mocnina 1 1 9 11 81 11 délky stran čtverců obsahy čtverců
Více1 Typografie. 1.1 Rozpal verzálek. Typografie je organizace písma v ploše.
1 Typografie Typografie je organizace písma v ploše. 1.1 Rozpal verzálek vzájemné vyrovnání mezer mezi písmeny tak, aby vzdálenosti mezi písmeny byly opticky stejné, aby bylo slovo, řádek a celý text opticky
VíceKaždý jednotlivý záznam datového souboru (tzn. řádek) musí být ukončen koncovým znakem záznamu CR + LF.
Stránka 1 z 6 ABO formát Technický popis struktury formátu souboru pro načtení tuzemských platebních příkazů k úhradě v CZK do internetového bankovnictví. Přípona souboru je vždy *.KPC Soubor musí obsahovat
VíceIMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE
Nové formy výuky s podporou ICT ve školách Libereckého kraje IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE Podrobný návod Autor: Mgr. Michal Stehlík IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE 1 Úvodem Tento
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
VíceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Název projektu: Inovace a individualizace výuky
Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Název projektu: Inovace a individualizace výuky Autor: Mgr. Bc. Miloslav Holub Název materiálu: Omezení osobní svobody I. Označení materiálu: Datum vytvoření: 16.10.2013
VíceSoustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceSada 2 - MS Office, Excel
S třední škola stavební Jihlava Sada 2 - MS Office, Excel 20. Excel 2007. Kontingenční tabulka Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284
Více4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
Více2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem
.8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY PŘÍLOHA Č. 1 DOTAZNÍK DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS. prof. PhDr. HANA VYKOPALOVÁ, CSc.
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÚSTAV SOUDNÍHO INŽENÝRSTVÍ INSTITUTE OF FORENSIC ENGINEERING PŘÍLOHA Č. 1 DOTAZNÍK DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ
VíceČíselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana 1 (celkem 7) Číselné soustavy
Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana (celkem 7) Polyadické - zobrazené mnohočlenem desítková soustava 3 2 532 = 5 + 3 + 2 + Číselné soustavy Číslice tvořící zápis čísla jsou vlastně
VíceWindows 10 (6. třída)
Windows 10 (6. třída) Okno spuštěné aplikace: takto vypadá okno aplikace Malování - panel nástrojů Rychlý přístup Titulkový pruh se jménem souboru (Bez názvu) tlačka pro minimalizaci, obnovení z maxima
VíceTabulky Word 2007 - egon. Tabulky, jejich formátování, úprava, změna velikosti
Tabulky Word 2007 - egon Tabulky, jejich formátování, úprava, změna velikosti Jan Málek 26.7.2010 Tabulky Tabulky nám pomáhají v pochopení, jak mezi sebou souvisí určité informace, obohacují vzhled dokumentu
VíceÚpravy skříní a čelních ploch pro úchopovou lištou
Úpravy skříní a čelních ploch pro úchopovou lištou Úchopová lišta znamená hliníkovou lištu, která je součástí korpusu. Skříňky jsou připraveny pro osazení této lišty, lišta samotná se osazuje až na montáži.
Více16. února 2015, Brno Připravil: David Procházka
16. února 2015, Brno Připravil: David Procházka Skrývání implementace Základy objektového návrhu Připomenutí návrhu použitelných tříd Strana 2 / 17 Obsah přednášky 1 Připomenutí návrhu použitelných tříd
VíceMatematika IV (2015/2016) Program č. 1
Matematika IV (2015/2016) Program č. 1 Pokyny: Verzi programu, kterou budete vypracovávat, obdržíte na cvičení. Pokud se tak nestalo, aktivně si o ni řekněte. Program zpracujte samostatně, ovšem diskutovat
VíceJméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 5. 9. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_13_FY_A
Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 5. 9. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_13_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika
VíceHra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },
Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.
Vícečeském Úvod Obsah balení WWW.SWEEX.COM LC100040 USB adaptér Sweex pro bezdrátovou síť LAN
LC100040 USB adaptér Sweex pro bezdrátovou síť LAN Úvod Nejprve bychom vám rádi poděkovali za zakoupení USB adaptéru Sweex pro bezdrátovou síť LAN. USB adaptér umožňuje snadno a bleskově nastavit bezdrátovou
Vícea) Slovní úlohy o směsích b) Slovní úlohy o pohybu c) Slovní úlohy o společné práci
9. ročník a) Slovní úlohy o směsích b) Slovní úlohy o pohybu c) Slovní úlohy o společné práci d) Logické slovní úlohy Obecný postup řešení slovní úlohy: 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti
VíceSada 2 Microsoft Word 2007
S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Microsoft Word 2007 04. Text v záhlaví, zápatí, číslování stránek Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284
Více