PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR"

Transkript

1 PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR PAVEL RŮŽIČKA. Soustavy lineárních rovnic Příklad.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(0, ), (,5)a(,). Řešení.Hledámečísla a, b, ctak,abydanétřibodyvyhovovalyrovnici ax + bx+c=y. Po dosazení dostaneme soustavu lineárních rovnic c =, a + b + c = 5, a b + c = Z první rovnice dostáváme, že c =. Dosadíme do zbývajících rovnic: a + b + = 5, a b + = a sečtením druhé a třetí rovnice dostaneme, že a+4=6, odkudplyne a=.dosadímedotřetírovnice: b+= adostaneme b=.danétřibodytedyležínagrafujedinékvadratické funkce y= x +x+. Cvičení.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(, 3), (, 5)a(, 5). Řešení. y= x + x 3. Příklad.. Určete souřadnice středu kružnice procházející body(0, ), (,)a(,0).

2 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Obecná rovnice kružnice je (.) (x a) +(y b) = c. Pokud bychom hledali rovnici kružnice procházející trojicí daných bodů (x,y ),(x,y ),(x 3,y 3 ),dostalibychompodosazenídorovnice(.) soustavu (x a) + (y b) = c, (x a) + (y b) = c, (x 3 a) + (y 3 b) = c. Tuto soustavu upravíme podobně jako v Úloze.. x x (x x )a + y y (y y )b =0, x x 3 (x x 3 )a + y y 3 (y y 3 )b =0, x 3 x 3 a + a + y 3 y 3 b + b = c. Pro naše konkrétní body mají první dvě rovnice výsledné soustavy tvar 0 ( ) (0 ( ))a + ( )b =0, ( ) (( ) )a + 0 ( 0)b =0, odkud a =0, 3 + 6a + b =0. Zprvnírovnicedostaneme,že a= /apodosazenídodruhéz rovnic b= 5/. Cvičení.. Určete rovnici kružnice, která prochází body ( 3, 0), (3,0)a(0,). Řešení. x +(y+4) =5. Cvičení.3. Určete rovnici kružnice, která prochází body (, 0), (, )a(3, ). Řešení. Body leží na přímce. Příklad.3. Nalezněte parametrické vyjádření roviny ρ určené rovnicí (.) x y+z=. Řešení.Položíme y= saz= t.podosazenídorovnice(.)dostaneme amámetedy x=+s t, y= s, z= t (x,y,z)=(,0,0)+(,,0)s+(,0,)t.

3 Parametrické vyjádření dané roviny je ρ={u+sv+tw s, t R}, kdeu=(,0,0),v=(,,0),w=(,0,). Cvičení.4. Nalezněte parametrické vyjádření přímky p určené rovnicí x y=. Řešení. p={u+vt t R},kdeu=(,0)av=(,). Cvičení.5. Nalezněte parametrické vyjádření rovin určených rovnicemi () ρ : x+y+ z=, () ρ : x y=, (3) ρ 3 : z=. Řešení. Hledaná parametrická vyjádření jsou: () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,,0), w=(,0,), () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,0,), w=(0,0,)a (3) ρ 3 = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(0,0, ),v=(,0,0), w=(0,,0).. Gaussova eliminace Příklad.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 3x + x x 3 + x 4 = 0, 4x + 3x + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici řešené soustavy, 3, a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru:

4 4 PAVEL RŮŽIČKA Soustava(.) je ekvivalentní soustavě (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 5x 4x 3 + 5x 4 = 0, jejíž řešení určíme zpětnou substitucí. Pivoty v matici soustavy(.), jsou označeny tučně, leží v prvním a druhémsloupci.protojsouneznámé x, x bázové.zbyléneznámé, x 3, x 4,jsouvolné.Položíme x 3 = a, x 4 = b. Ze druhé rovnice soustavy(.) dostaneme 5x 4a+5b=0,odkud x = b 4 5 a. Dosazením do první rovnice soustavy(.) dostaneme x +(b 4 5 a)+a b=0,odkud x = 3 5 a b. Obecné řešení soustavy(.) je možné zapsat také ve tvaru 3 x 5 x x 3 = 4 5 a+ 0 b, x 4 0 kde a, b R. Příklad.. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.3) x + x + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0, x x + x 3 + 3x 4 = 0, x + x x 3 + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici soustavy(.3), 0 3,

5 a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru: V tomto případě jsou všechny neznámé bázové a homogenní soustava májentriviálnířešení x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + 3x 3 = 0, x + x + x 3 = 0, x + 7x + x 3 = 0. Řešení.(x,x,x 3 ) T =(, 5,3) T a,kde a R. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + 4x 4 = 0, x + x + 3x 3 + x 4 = 0, 4x + x + x 3 + x 4 = 0. Řešení. x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.3. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + 4x 3 + x 4 = 0, x + x x 3 4x 4 = 0, x x 5x 3 = 0. Nejprvezvoltejakovolnouproměnnou x 3,pak x 4.Výsledkyporovnejte. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(/3,, /3,) T a,kde a R,pokudjevolíme x 4 jakovolnouproměnnou,a(x,x,x 3,x 4 ) T =(, 6,, 3) T a, kde a R,pokudvolíme x 3 volnouproměnnou.

6 6 PAVEL RŮŽIČKA Cvičení.4. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + x 3 x 4 = 0, x + 3x 3 + x 4 = 0, x + 6x 3x 3 5x 4 = 0, x + x + 4x 3 = 0. Postupnězvoltejakovolnéproměnné x 3, x 4,potom x a x 4 anakonec x a x 3.Zamysletesenadtím,jakspolusouvisízískanévýsledky. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+(,,0,) T b,kde a, b R,jsou-li x 3, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+ ( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T = (,,0, ) T a+( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 3 volnéproměnné. Příklad.3. Určete všechna řešení soustavy rovnic (.4) x + x x 3 + x 4 =, x + 3x 3 + x 4 =, x + x 3 + x 4 =. Řešení. Nejprve upravíme rozšířenou matici soustavy(.4) do řádkově odstupňovaného tvaru: Zvolíme x 3 volnouproměnouapoložíme x 3 = a.zpětnousubstitucí dopočítáme zbylé vázané neznámé. 6a+x 4 =, x 4 =+6a. x +3a+(6a 4)=, x +9a=6, x =6 9a. x +(6 9a) a+(6a 4)=, x +4 7a=, x =7a 3.

7 Řešení soustavy(.4) můžeme popsat také takto: x 3 7 x x 3 = a. x Problém.5.VPříkladě.3zvolte x 4 jakovolnouproměnnou(proměnné x, x a x 3 jsoubázové)aznovuproveďtezpětnousubstituci. Porovnejte oba výpočty. Příklad.4. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.5) x + x + x 3 + 4x 4 =, x x 4 = 4, x 3x + x 3 5x 4 =, x + x 4 = 5. Řešení. Podobně jako v Příkladu.3 upravíme rozšířenou matici soustavy(.5) do řádkově odstupňovaného tvaru Pivoty ve výsledné matici jsme označili tučně. Vidíme, že sloupec pravých stran matice soustavy(.5) je jejím bázovým sloupcem(v řádkově odstupňovaném tvaru je v tomto sloupci pivot) a tedy podle Věty.6 nemá soustava(.5) řešení. Cvičení.6. Určete všechna řešení soustavy rovnic x x + x 3 =, x + x 3 = 0, x + 3x + x 3 =. Řešení. x =5/8, x =/4, x 3 =/8. Cvičení.7. Určete všechna řešení soustavy rovnic x + x x 4 = 4, x + x 3 =, 3x x 3 x 4 = 4. 7

8 8 PAVEL RŮŽIČKA Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(,,,0) T +(0,,,) T a,kde a R. Cvičení.8. Určete všechna řešení soustavy rovnic Řešení. Soustava nemá řešení. x x 3 + x 4 = 3, x + x x 3 + 3x 4 = 3, x x 4 = 0. Příklad.5. Pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace vyřešte následující soustavu lineárních rovnic. (.6) x x + 5x 3 =, x + x + x 3 3x 4 =, x 6x 3 x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 5. Řešení. Symbolem A označíme rozšířenou matici soustavy(.6) a upravíme ji do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru(který označímee A ): A= =E A. TučnějsmevyznačilipivotymaticeE A.Bázovéproměnnésoustavy (.6)jsou x, x a x 4,jedinávolnáproměnnáje x 3.Položíme x 3 = a apřímozmaticee A určíme,že x =3 a, x =+3a, x 4 =. Podobně jako v předchozích příkladech zapíšeme řešení ve tvaru x x x 3 x 4 = a.

9 9 Příklad.6. Určete všechna řešní soustavy rovnic (.7) x + x + x x n =, x + x + x x n =, x + x + x x n =3, =., x + x + x x n = n. Řešení. Rozšířená matice soustavy(.7) je n K prvnímu řádku postupně přičteme druhý až n-tý řádek. Dostaneme (n+) (n+) (n+)... (n+) n(n+) n Prvnířádekvydělíme n+aodečtemejejodostatníchřádků.dostaneme matici... n n n n Nakonec odečteme od první řádku součet ostatních řádků: n n n n Řešenímsoustavy(.6)jeposloupnost x i = i n/,kde i=,...,n. Cvičení.9. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic. x + x + 3x (n )x n + nx n = n x + 3x (n )x n + nx n = n x + x (n )x n + nx n = n =. x + x + 3x (n )x n + =0.

10 0 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. x = x 3 = =x n =,x = (n )(n+). Cvičení.0. V závislosti na parametrech a, b řešte soustavu rovnic x x = a x + x x 3 = 0 x + x 3 x 4 = 0... x n + x n x n = 0 x n + x n = b.. Řešení. x k = a k a b n+, k=,...,n. Příklad 3.. K reálné matici určete matici inverzní. 3. Počítání s maticemi A= 3 0 Řešení.NašímúkolemjenajítmaticiXtakovou,žeAX=I 3.Pro j 3označmex j =X j j-týsloupcovývektorhledanématice X.SloupcematiceI 3 jsoutvořenyvektorye j standardníbázeprostoru R 3.Protojevektorx j řešenímsoustavyrovnic (3.) Ax j =e j. PřiGaussově-Jordanověeliminacipřevedemerozšířenoumatici(A e j ) namatici(i 3 x j ),kterájejižvredukovanémřádkověodstupňovaném tvaru. Takto můžeme postupně najít všechny sloupce matice X. Je však vidět,žeupravíme-lirozšířenoumatici(a I 3 )nařádkověodstupňovanýtvar,dostanemepřímomatici(i 3 X)(takvlastněvyřešíme rovnici(3.) pro všechna(j =,, 3) současně). (A I 3 )= =(I 3 X)

11 Výpočtemsesnadnopřesvědčíme,žeskutečněX=A. Cvičení 3.. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. A= A = Problém3..Dokažte,žeinverznímaticekmatici( a c d b)existujepráve když D=ad bc 0amátvar ( ) d/d b/d c/d a/d. Cvičení 3.3. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. B= B = Cvičení 3.4. Ke komplexní matici určete matici inverzní. Řešení. C = C= i i i i 0 i i 0 0 Problém3.5.Buď npřirozenéčíslo.symboleme i označme i-týsloupcovývektorjednotkovématicei n.rozmysletesi,žepro i,j nje e i e T j matice,kterámávšude0jennamíste i,jmájedničku,ažepro každoučtvercovoumaticia=(a ij )řádu nplatí ()e T ia=a i ;..

12 PAVEL RŮŽIČKA ()Ae j =A j ; (3)e T iae j = a ij. Problém 3.6. Tento problém najdete teké v přednáškách jako Cvičení 3.0.BuďA=(a ij )čtvercovámaticeřádu n.postupnědokažtenásledující tvrzení: Shermanova-Morrisonova Woodburyho formule: Nechť C, Djsoumaticeřádu n ktakové,žeexistujeinverznímaticek maticii k +D T A C.Potom (A+CD T ) =A A C(I k +D T A C) D T A. Shermanova-Morrisonova formule: Nechť c, d jsou sloupcové vektorydimenze ntakové,že+d T A c 0.Potom (A+cd T ) =A A cd T A +d T A c. Speciální případ Shermanovy-Morrisonovy formule: Nechť B=A+αe i e T j,tj.maticebselišíodmaticeapouzevmístě i,jvekterémjsmepřičetličíslo α.označmea =(a ij).potom,vpřípadě,že αa ji,platí B =A α [A ] i [A ] j. +αa ji Příklad 3.. Pomocí Shermanovy-Morrisonovy formule a výsledku Cvičení 3.4 určete inverzní matici ke komplexní matici i D= i i. i i Správnost výsledku ověřte přímým výpočtem. Řešení. Uvažme matici C= i i i i 0 ze Cvičení 3.4. Platí D = C ie 3 e T 3 a podle speciálního případu Shermanovy-Morrisonovy formule je (3.) D =C i [C ] 3 [C ] 3. +ic 33

13 kdec =(c ij).maticic jsmespočítalivecvičení3.4: i C = i 0. 0 Dosazením do formule(3.) dostaneme, že D = i i Výsledná matice je tedy 0 0 D = Příklad 3.3. Řešte rovnici +i i i i 0 i+ 0 i+ 0 i+ (3.3) AX+B=C, kde A= jsou reálné matice., B= ( ) 0 +i.( ). a C= Řešení. Rovnice(3.3) nemá obecně řešení, ale je řešitelná vždy, když je matice A regulární. V našem případě, jak lze snadno ověřit, tomu tak je. Nyní od obou stran rovnice(3.3) odečteme matici B. Dostaneme rovnici (3.4) AX=C B. PrvnímožnostíjakurčitmaticiXjevynásobitrovnici(3.4)maticíA zleva. Potom dostaneme X=A (C B). Druhýzpůsobřešeníspočívávúpravěrozšířenématice(A C B) pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovanéhotvaru.výsledkembudematice(i 3 X)(ověřilijsme,že je matice A regulární). 3

14 4 PAVEL RŮŽIČKA Úlohu vyřešíme druhým způsobem. Nejprve spočítáme matici C B: C B= 0 0 = Nyní upravíme rozšířenou matici(a C B) do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru: (A C B)= =(I 3 X) Odtud dostaneme, že X= Poznamenejme, že tímto druhým způsobem určíme řešení rovnice (3.3), pokud existuje, i v případě, že matice A není regulární. Cvičení 3.7. Nalezněte reálnou matici Y tak aby platilo, že 0 0 Y = Řešení. Y= Příklad3.4.Nechť0 i j n, d 0abjelibovolné.Ověřte,že potom ()E ij =E ij ; ()E i (d) =E i ( d ); (3)E ij (b) =E ij ( b).

15 Řešení.Připomeňme,žesymboleme i značíme i-tývektorjednotkové maticeapro i,j njee i e T j matice,kterámávšudenulykromě pozice i,j,kdemájedničku.podledefiniceje E ij =I n e i e T i e j e T j+e i e T j+e j e T i; n E i (d)= e j e T j+ de i e T i; j=,j i E ij (b)=i n + be i e T j. Důkaz dokončíme snadno přímým výpočtem s využitím vztahu (e i e T j)(e k e T e i e T l : j= k l)= 0 : j k, pro i,j,k,l n. Řešení.NásobenímaticíE ij zlevaodpovídáprohození i-téhoaj-tého řádku.vynásobenísoučineme ij E ij zlevatedyodpovídáprohození i- tého a j-tého řádku dvakrát za sebou, tím však získáme původní matici. TedyprokaždoumaticiAplatíE ij E ij A=A.Speciálnětoplatípro maticii n,aproto E ij E ij =E ij E ij I n =I n. NásobenímaticíE i (d)odpovídávynásobení i-téhořádkučíslem d. ProtoprokaždoumaticiAplatíE i (/d)e i (d)a=a.speciálně E i (/d)e i (d)=e i (/d)e i (d)i n =I n. VpřípaděmaticeE ij (b)postupojemepodobně.ověřeníjižponecháme čtenáři. Příklad 3.5. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. 0 Řešení. Pomocí elementárních úprav transformujeme matici A do řádkově odstupňovaného tvaru a souběžně sestrojíme posloupnost elementárních matic, které těmto úpravám odpovídají. Nejprve prohodíme první a druhý řádek. Této úpravě odpovídá násobení matice A elementárnímaticíe.dostamematici A = 0 5

16 6 PAVEL RŮŽIČKA aplatía =E A.Nynípřičtemeprvnířádekketřetímu.Tétoúpravě odpovídávynásobenímaticea maticíe 3 ()zleva.dostanemematici A = aplatí A =E 3 ()A =E 3 ()E A. V následujícím kroku odečteme dvojnásobek třetího řádku od prvního. Dostaneme matici 0 A 3 = aplatí A 3 =E 3 ( )A =E 3 ( )E 3 ()A =E 3 ( )E 3 ()E A. Takto budeme pokračovat až dostaneme jednotkovou matici. Při vhodné volbě posloupnosti elementárních řádkových úprav dostaneme I 3 =E ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E A. Inverzní matice k jednotlivým elementárním maticím v posloupnosti určíme podle Příkladu 3.4. Dostaneme A=E E 3 ( )E 3 ()E 3 ()E ()E ( ). Cvičení 3.8. Na základě výsledku předchozího příkladu(bez počítání) určete posloupnost elementárních sloupcových úprav, které převádějí matici A na jednotkovou matici. Řešení.I 3 =AE ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E. Cvičení 3.9. Rozložte matici A= v součin elementárních matic a ověřte správnost výsledku. Řešení.NapříkladA=E 3 ()E 3 E 3 ( )E 3 ( )E ( )E ( )(řešení není jednoznačné).

17 Cvičení 3.0. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. a b 0 c 0 0 Řešení.NapříkladA=E 3 (c)e 3 (b)e (a)(řešeníneníjednoznačné). Příklad 3.6. Určete bázové sloupce matice 0 3 A= Vyjádřete zbylé sloupce matice A jako lineární kombinaci bázových sloupců. Řešení. Matici A převedeme pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru. Dostaneme 0 0 E A = Bázové sloupce jsou sloupce ve kterých jsou pivoty, tedy jsou to první, třetíačtvrtýsloupec.podletvrzení3.6.platíprokaždé k=,...,5, že A k = c A + c 3 A 3 + c 4 A 4 právě když Proto platí, že a [E A ] k = c [E A ] + c 3 [E A ] 3 + c 4 [E A ] 4. A =A A 5 = A +A 3 +A 4. Cvičení 3.. Určete bázové sloupce matice 0 0 A= a vyjádřete ostatní její sloupce jako lineární kombinaci bázových. Řešení.Bázovésloupcejsouprvní,druhýačtvrtý.PlatíA 3 =A + A aa 5 =A A A 4. 7

18 8 PAVEL RŮŽIČKA 4. Tělesa Problém4..Ověřte,žeprokomplexníčíslo α=a+ibakaždénenulovékomplexníčíslo β= c+idplatí α = αα=a + b, Cvičení 4.. Zjednodušte 3+i +i, i3 3+i. Řešení. 5 i, i. β = β c id β = c + d. Cvičení 4.3. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic Řešení. x =+i, x =. (+i)x + (3 i)x = 3+i, ix + x = i. Cvičení 4.4. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic x + ( i)x + ix 3 = x + (4+4i)x x 3 = +i ( i)x + (3+i)x = i. Řešení. x = 3 4a 5 i +7a 5, x = a, x 3 = +a 5 + i 6a 7 5,kde a C. Příklad4..Nechť a, bjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.řekneme, že ajekongruentnísbmodulo npokud n a b.je-li akongruentní s bmodulo n,píšeme a b (mod n). Nechť a, a,b, b jsouceláčíslataková,že a a (mod n)azároveň b b (mod n).dokažte,žepotom () a + b a + b (mod n); () a b a b (mod n); (3) a a (mod n); (4) a k a k (mod n),prokaždé k N. Řešení. ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a + b ) (a + b ). ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a a )b + a (b b )=a b a b. (3) a a =( a ) ( a ). (4) a k a k =(a a )(a k + a a k + +a k a + a k ).

19 Problém4.5.Nechť a, b, cjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.jsouličísla nacnesoudělná,potomje a b (mod n) právěkdyž ac bc (mod n). Dokažte! V tomto problému tvrdíme, že při počítání s kongruencemi modulo n můžeme čísly nesoudělnými s číslem n násobit a dělit. Příklad4..Řeštekongruenci9x (mod7). Řešení.Hledámeřešení x Z 7 = {0,,...,6}.Kongruencibudeme upravovat podle pravidel popsaných v Příkladě 4. a v Problému 4.5: 9x (mod7) právěkdyž x 8 (mod7). Obě strany vydělíme číslem 6(to můžeme udělat neboť 6 je nesoudělné s prvočíslem 7). Dostaneme x 3 (mod7) odkud x 0 (mod7). Nakonec obě strany vydělíme dvěma: x 0 (mod7). Vidíme,žeřešenímjsouvšechnačísla xtvaru0+7t,kde t Z. Cvičení 4.6. Řešte kongruenci Řešení. x=6+9t, t Z. Cvičení 4.7. Řešte kongruenci Řešení. x=6+3t, t Z. 7x 5 (mod9). 4x 3 (mod3). Příklad4.3.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem3. Řešení. Opět budeme využívat pravidel popsaných v Příkladě 4. a Problému 4.5. azároveň ( 5) ( ) 0 (mod3) ( 3) (mod3). Protoje (mod3). Cvičení4.8.Určetezbytekpoděleníčísla5 0 číslem6. Řešení. 9

20 0 PAVEL RŮŽIČKA Problém4.9.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem7. Problém4.0.Dokažte,žeprolibovolnépřirozenéčíslo nje37 n+ + 6 n+ +3 n dělitelnésedmi. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 5 soustavurovnic x + x 3 + x 4 =0, x + x + x 3 + 4x 4 =0, x + x + 3x 3 + x 4 =0, 4x + x + x 3 + x 4 =0. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(4,4,,0)a+(3,3,0,)b,kde a, b Z 5. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 3 soustavurovnic: x + x + x 3 + x 4 =, x + x 4 =0, x + x + x 3 + x 4 =, x + x + x 3 =. Řešení. x =+a,x = x 4 =0, x 3 = a,kde a Z 3. Cvičení4.3.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevr soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x k = 4 i+ a i 3 a k. Cvičení4.4.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x = a + a 3 + a 4, x = a + a 3 + a 4, x 3 = a + a + a 4, x 4 = a + a + a 3. Cvičení4.5.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz 3 soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4.

21 Řešení.Soustavamářešeníprávěkdyž a + a + a 3 + a 4 =0.Vtom případěmámetřiřešení x k = a 4 +a k +j, k=,...,4,kde j=0,,. Cvičení 4.6. K matici A= nadtělesemz 7 určetematiciinverzní. Řešení. A = Cvičení4.7.NaleznětematiciYnadtělesemZ 3 takovou,žeplatí 0 0 Y = Řešení. Y= 0 0 Příklad4.4.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 skoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=3, f()=, f(3)=af(4)=. Řešení. Koeficienty polynomu f(x) jsou řešením soustavy rovnic jejížmaticejevandermondovamaticeurčenáprvky,,3,4tělesaz 5 rozšířená o pravou stranu danou předpisy definujícími polynom f. Vyřešíme tedy soustavu s rozšířenou maticí (4.) nadtělesemz 5.Matici(4.)upravímepomocíelementárníchúpravdo řádkově odstupňovaného tvaru ,

22 PAVEL RŮŽIČKA odkudzpětnousubstitucídostaneme a 0 =4, a = a = a 3 =3,tj. f(x)=3x 3 +3x +3x+4. Cvičení4.8.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 + a x + a x+a 0 skoeficientyztělesaz 7,kterýsplňuje f()=5, f()=0, f(3)=6a f(5)=5. Řešení. f(x)=x 3 +3x +. Cvičení4.9.Buď f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 polynomskoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=4, f()=, f(3)=af(4)=0. Určete f(0). Řešení. f(0)=. 5. Vektorové prostory Příklad 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,0,) T, v = (,,,0) T,v 3 =(0,,,) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 =(,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T. Řešení.OznačmesymbolemAmatici,jejížsloupcetvořívektoryu, u,u 3,u 4.Vektorv i ležívlineárnímobaluvektorůu,u,u 3,u 4 právě kdyžjehodnostmaticearovnahodnostirozšířenématice(a v i ). OznačmeBmatici,jejížsloupcejsouvektoryv,v,v 3 apravujme rozšířenou matici(a B) do řádkově odstupňovaného tvaru: Vidíme,že r(a)=r(a v )=3,ar(A v )=r(a v 3 )=4.Proto vlineárnímobaluvektorůu =(0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 = (,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T ležípouzevektorv =(,,0,) T. Cvičení 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,,0) T, v = (,5,, ) T,v 3 = (,4,4,3) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (,4,, ) T,u =(,,0, ) T,u 3 =(0,,,0) T,u 4 =(,,, ) T. Řešení.Vdanémlineárnímobaluležípouzevektorv.

23 Příklad5..Rozhodněte,zdajsoulineárníobalvektorů(,,,3,5) T, (0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T,(0,,0,,) T alineárníobalvektorů (,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T shodné. Řešení.Označme A={(,,,3,5) T,(0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T, (0,,0,,) T }ab = {(,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T } množiny vektorů ze zadání. Uvažme matice A= ,resp.B= jejichž nenulové řádky jsou tvořeny vektory z množiny A, resp. B. Lineárníobalymnožin AaB budoushodnéprávěkdyžbudemožné převést pomocí elementárních řádkových úprav matici A na matici B. Podle Tvrzení. je možné převést elementárními řádkovými úpravamimaticea,resp.bnajednoznačněurčenématicee A,resp.E B v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru. Odtud je patrné, že matici A je možné převést na matici B pomocí elementárních řádkových úpravprávěkdyžjsoumaticee A ae B shodné.upravmetedymaticea a B na redukovaný řádkově odstupňovaný tvar a výsledky porovnejme: A= B= =E B =E A; Vidíme,ženenulovéřádkymaticE A ae B jsoushodnéatedyjsou shodnéilineárníobalymnožin AaB.

24 4 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Uvažme opět matice A= 0 3 ab= 0 0 apoložme C=(A T B T )= Rozmyslete si, že lineární obaly množin A, B jsou shodné právě když platí r(a)=r(b)=r(c).(dokažtetaké,žezrovnosti r(a)=r(c) plyne, že L(B) L(A).) Hodnosti matic snadno spočítáme převedením na řádkově odstupňovaný tvar. Cvičení5..Rozhodněte,zdavektory(,0,,,) T,(,,0,,0) T,(0,,,0,) T generujístejnýpodprostorprostoru R 5 jakovektory(,,,,0) T, (,,,,0) T a(0,,,0,) T. Řešení. Ano, oba podprostory jsou shodné. Cvičení5.3.Rozhodněte,zdavektory(,,0,) T,(0,,0,) T,(0,,,0) T, (,,,0) T,(0,0,,) T generujícelýprostor R 4,resp. Z 4. Řešení.Danévektorygenerují R 4,alenegenerují Z 4. Cvičení5.4.Rozhodněte,zdavektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázi podprostoruvektorovéhoprostoru R 3 generovanéhotrojicívektorů(,,3) T, (5,8,7) T,(3,4,) T. Řešení.Ano,vektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázidanéhopodprostoru. 6. Lineární(ne)závislost Příklad6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(,,,0) T,(,5,,3) T, (4,, 3,3) T }lineárněnezávislá. Řešení. Uvažme matici A=

25 jejíž sloupce jsou prvky množiny A. Množina A je lineárně nezávislá právěkdyžjeprokaždýnenulovývektorxsoučinaxnenulový.toplatí právětehdykdyžjehodnostmaticearovnapočtuprvkůmnožiny A. Upravíme matici A na řádkově odstupňovaný tvar: A= Vidíme, že r(a) =. Proto je množina A lineárně závislá. Cvičení 6.. Rozhodněte, které z těchto množin reálných vektorů jsou lineárně závislé. A= { (,,,) T,(,4,0,0) T,(0,,,) T,(,,,0) T }, B= { (,,) T,(,,) T,(,,) T,(0,,) T }, C= { (,,0,,) T,(,0,,0,) T,(,,, 3,0) T,(,0,0,, ) T }. Řešení.Jsoutomnožiny Ba C. Cvičení6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(0,,,) T,(,0,,) T, (,,0,) T,(,,,0) T }reálnýchvektorůlineárnězávislá.rozhodněte, zdajemnožina Alineárnězávislájde-liovektorynadtělesemZ 3. Řešení. Množina A je lineárně nezávisla nad R a lineárně závislá nad Z 3. Příklad 6.. Určete báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) reálné matice 0 A= Řešení.Nejprveurčímebázepodprostorů R(A)aN(A).MaticiA převedemenařádkověodstupňovanýtvara : A= =A NenulovéřádkymaticeA tvoříbázipodprostoru R(A),tj. R(A)= L{(,,0,,) T, (0,0,,3,3) T }. Podle definice je N(A) podprostor všechřešení(x,x,x 3,x 4,x 5 ) T soustavylineárníchrovnic x +x +x 4 + x 5 =0 3x +6x + x 3 +9x 4 +6x 5 =0 x +4x + x 3 +7x 4 +5x 5 =0,. 5

26 6 PAVEL RŮŽIČKA kteráurčímezmaticea zpětnousubstitucí.zvolíme x, x 4 a x 5 volnýmiproměnnýmiapoložíme x = a, x 4 = b, x 5 = c.dostaneme x 3 = 3a 3cax = a b c,odkud N(A)={(,,0,0,0) T a+(,0, 3,,0) T b+(,0,3,0,) T c a, b, c, R}. Vektory(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0,3,0,) T tvoříbáziprostoru N(A). Báze prostorů S(A) a M(A) určíme obdobně, když si uvědomíme, že S(A)=R(A T )am(a)=n(a T ). A T = , odkudvidíme,žedvojicevektorů(,3,) T,(0,,) T tvoříbázipodprostoru S(A)azpětnousubstitucíspočítáme,že M(A)={(,,) T a a R},tj. M(A)=L{(,,) T }. Řešení. Budeme postupovat podobně jako v Úloze 6.6. Na rozdíl od prvního řešení spočítáme nejprve současně podprostory R(A) a M(A).Vezmemerozšířenoumatici(A I 3 )apomocíelementárních řádkovýchúpravjitransformujemetak,žematicevlevéčástijev řádkově odstupňovaném tvaru Vektory odpovídající nenulovým řádkům v levé části upravené rozšířené matice tvoří bázi podprostoru R(A). Řádek v pravé části upravené rozšířené matice, kterému odpovídá nulový řádek v levé části(vyznačen tučně) určuje, podle Tvrzení 6.5, vektor báze podprostoru M(A), tj. M(A)=L{(,,) T }.

27 Báze podprostorů S(A), N(A) určíme obdobně, když matici A nejdříve transponujeme , odkudvidíme,žemnožina {(,3,) T,(0,,) T }tvoříbázipodprostoru S(A)amnožina {(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0, 3,0,) T } tvoří bázi podprostoru N(A). Cvičení 6.3. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených reálnou maticí A= Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,0,,,) T,(0,, 3,4, 5) T }, S(A)=L{(,3,4,) T,(0,,,) T }, N(A)=L{(,3,,0,0) T,(, 4,0,,0) T,(,5,0,0,) T }, M(A)= L{(,,,0) T,(,,0,) T }. Cvičení 6.4. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených maticí A= nadtělesemz 5. Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,4,,3) T,(0,,4,4) T }, S(A)=L{(,3,3,3) T,(0,,4,0) T }, N(A)= L{(4,,,0) T,(3,,0,) T }, M(A)=L{(3,3,,0) T,(0,3,,) T }.. 7

28 8 PAVEL RŮŽIČKA Příklad 6.3. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostoryreálnýchmaticaab,jestliže A= a B= Řešení.Prostory R(A)aR(B)jsoushodnéprávěkdyžjemožnépomocí elementárních řádkových úprav převést matici A na matici B a tojemožnéprávěkdyžjsoushodnéprostory N(A)aN(B).Tedy, R(A)=R(B)právěkdyž N(A)=N(B).Podobněplatí S(A)= S(B) právě když M(A) = M(B). Stačí tedy porovnat řádkové a sloupcové prostory obou matic, což je úloha analogická Příkladu 5.. Podobně jako v prvním řešení tohoto příkladu porovnáme redukované řádkověodstupňovanétvarymaticaab,resp.a T ab T : A= =E A; B= =E B.

29 Vidíme,žeE A =E B,odkudplyne,že R(A)=R(B)aN(A)=N(B). ZbýváporovnatmaticeE A TaE B T A T = B T = =E A T; =E 6 B T VtomtopřípaděnejsoumaticeE A T ae B T shodnéaproto S(A) S(B)stejnějako M(A) M(B). Cvičení 6.5. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostorymaticaabnadtělesemz 3,jestliže A= 0 0, B= Řešení. R(A) R(B), N(A) N(B), S(A)=S(B)aM(A)= M(B). Problém6.6.BuďAreálnámaticetvaru m n.dokažte,že R(A) N(A)=0. Návod.Využijtetoho,žeprokaždýnenulovývektorv R n platí v T v 0.]

30 30 PAVEL RŮŽIČKA Problém6.7.Dokažte,žeprokaždoureálnoumaticiAtvaru m n platí (6.) r(aa T )=r(a). Návod. Návod: Využijte Problém 6.7 a Tvrzení 6.9. Problém 6.8. Dokažte, že rovnost(6.) neplatí pro matice nad tělesy konečné charakteristiky. Příklad6.4.Nechť X jelineárníobalvektorůx =(,0,,) T,x = (,,3,) T,x 3 =(0,,, ) T ax 4 =(3,,4,) T,nechť Yjelineární obalvektorůy =(,0,,) T,y =(,,0,3) T,y 3 =(,,3,) T a y 4 =(0,,,) T.Určetedimenzepodprostorů X, Ya X Yprostoru R 4. Řešení.Podprostory X,resp. YvektorovéhoprostoruR 4 jsourovny řádkovým prostorům matic X= 0,resp.Y= aprotodim X = r(x)adimy = r(y).hodnostimaticx,resp.y určímezjejichřádkověodstupňovanýchtvarů X,resp.Ỹ.Platí 0 0 X X= 0 a Y 0 0 Ỹ= atedydim X=dim Y=3.DálevyužijemeTvrzení6. (6.) dim(x+ Y)+dim(X Y)=dim(X)+dim(Y) Dimenzeprostoru X+ YjerovnahodnostimaticeZjejížsloupcejsou tvořenynenulovýmiřádkymatic X T aỹt atedy S(Z) = X+ Y. Hodnost matice Z určíme z opět jejího řádkově odstupňovaného tvaru. Z= Vidíme,že r(z)=4atedydim(x+y)=4.dosazenímdovztahu(6.) dostaneme,že4+dim(x Y)=6,odkudplyne,žedim(X Y)=..

31 Cvičení6.9.Nechť X= L{(,0,,0) T,(,,,) T,(,0,, ) T, (,,3,) T }ay= L{(,0,0,) T,(,,0,) T,(,3,,0) T,(4, 5,,3) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 4.Určetedimenze X, Yadimenziprůnikuprostorů X Y. Řešení.dim X=dim Y=3,dim(X Y)=. Cvičení6.0.Nechť X= L{(,0,,,3) T,(,,3,0,3) T,(0,,0, 3,3) T, (,3,8,4,6) T }ay= L{(,,0,0, 6) T,(0,,,4, ) T,(, 3,,4,4) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 5.Určetedimenzepodprostorů X, Y, X+ Ya X Y. Řešení.dim X=3,dim Y=,dim(X+ Y)=4,dim(X Y)=. Příklad6.5.Nechť X= {(,,0) T,(,,) T,(, 3, ) T }ay= {(,, ) T,(,,0) T,(0,4, ) T }jsoupodprostoryprostoru R 3.Nalezněte bázi podprodstoru X Y. Řešení.Platí X= R(X)aY= R(Y),kde 0 X= ay= Matice X a Y upravíme na řádkově odstupňovaný tvar. Dostaneme 0 X 0 a Y Položmex = (,,0) T,x = (0,,) T,y = (,, ) T ay = (0,4, ) T.Vektorzležívprůnikupodprostorů X a Y právěkdyž existujískaláry a, a, b a b Rtakové,že a x + a x = z = b y +b y.řešmehomogennísoustavulineárníchrovnic(sneznámými a, a, b, b ). (6.3) a x + a x b y b y = Zvolíme b volnouproměnnouapoložíme b = α.zpětnousubstitucí dostanemeřešení b = 4 5 α, b =α, a = 5 α, a = αsoustavy (6.3). Průnik podprostorů X a Y určíme z prvních dvou složek tohoto řešení. X Y= { α(,,0) T + α 5 (0,,)T α R}={β(5, 4,) β R}.. 3

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více