PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR"

Transkript

1 PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR PAVEL RŮŽIČKA. Soustavy lineárních rovnic Příklad.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(0, ), (,5)a(,). Řešení.Hledámečísla a, b, ctak,abydanétřibodyvyhovovalyrovnici ax + bx+c=y. Po dosazení dostaneme soustavu lineárních rovnic c =, a + b + c = 5, a b + c = Z první rovnice dostáváme, že c =. Dosadíme do zbývajících rovnic: a + b + = 5, a b + = a sečtením druhé a třetí rovnice dostaneme, že a+4=6, odkudplyne a=.dosadímedotřetírovnice: b+= adostaneme b=.danétřibodytedyležínagrafujedinékvadratické funkce y= x +x+. Cvičení.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(, 3), (, 5)a(, 5). Řešení. y= x + x 3. Příklad.. Určete souřadnice středu kružnice procházející body(0, ), (,)a(,0).

2 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Obecná rovnice kružnice je (.) (x a) +(y b) = c. Pokud bychom hledali rovnici kružnice procházející trojicí daných bodů (x,y ),(x,y ),(x 3,y 3 ),dostalibychompodosazenídorovnice(.) soustavu (x a) + (y b) = c, (x a) + (y b) = c, (x 3 a) + (y 3 b) = c. Tuto soustavu upravíme podobně jako v Úloze.. x x (x x )a + y y (y y )b =0, x x 3 (x x 3 )a + y y 3 (y y 3 )b =0, x 3 x 3 a + a + y 3 y 3 b + b = c. Pro naše konkrétní body mají první dvě rovnice výsledné soustavy tvar 0 ( ) (0 ( ))a + ( )b =0, ( ) (( ) )a + 0 ( 0)b =0, odkud a =0, 3 + 6a + b =0. Zprvnírovnicedostaneme,že a= /apodosazenídodruhéz rovnic b= 5/. Cvičení.. Určete rovnici kružnice, která prochází body ( 3, 0), (3,0)a(0,). Řešení. x +(y+4) =5. Cvičení.3. Určete rovnici kružnice, která prochází body (, 0), (, )a(3, ). Řešení. Body leží na přímce. Příklad.3. Nalezněte parametrické vyjádření roviny ρ určené rovnicí (.) x y+z=. Řešení.Položíme y= saz= t.podosazenídorovnice(.)dostaneme amámetedy x=+s t, y= s, z= t (x,y,z)=(,0,0)+(,,0)s+(,0,)t.

3 Parametrické vyjádření dané roviny je ρ={u+sv+tw s, t R}, kdeu=(,0,0),v=(,,0),w=(,0,). Cvičení.4. Nalezněte parametrické vyjádření přímky p určené rovnicí x y=. Řešení. p={u+vt t R},kdeu=(,0)av=(,). Cvičení.5. Nalezněte parametrické vyjádření rovin určených rovnicemi () ρ : x+y+ z=, () ρ : x y=, (3) ρ 3 : z=. Řešení. Hledaná parametrická vyjádření jsou: () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,,0), w=(,0,), () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,0,), w=(0,0,)a (3) ρ 3 = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(0,0, ),v=(,0,0), w=(0,,0).. Gaussova eliminace Příklad.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 3x + x x 3 + x 4 = 0, 4x + 3x + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici řešené soustavy, 3, a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru:

4 4 PAVEL RŮŽIČKA Soustava(.) je ekvivalentní soustavě (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 5x 4x 3 + 5x 4 = 0, jejíž řešení určíme zpětnou substitucí. Pivoty v matici soustavy(.), jsou označeny tučně, leží v prvním a druhémsloupci.protojsouneznámé x, x bázové.zbyléneznámé, x 3, x 4,jsouvolné.Položíme x 3 = a, x 4 = b. Ze druhé rovnice soustavy(.) dostaneme 5x 4a+5b=0,odkud x = b 4 5 a. Dosazením do první rovnice soustavy(.) dostaneme x +(b 4 5 a)+a b=0,odkud x = 3 5 a b. Obecné řešení soustavy(.) je možné zapsat také ve tvaru 3 x 5 x x 3 = 4 5 a+ 0 b, x 4 0 kde a, b R. Příklad.. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.3) x + x + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0, x x + x 3 + 3x 4 = 0, x + x x 3 + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici soustavy(.3), 0 3,

5 a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru: V tomto případě jsou všechny neznámé bázové a homogenní soustava májentriviálnířešení x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + 3x 3 = 0, x + x + x 3 = 0, x + 7x + x 3 = 0. Řešení.(x,x,x 3 ) T =(, 5,3) T a,kde a R. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + 4x 4 = 0, x + x + 3x 3 + x 4 = 0, 4x + x + x 3 + x 4 = 0. Řešení. x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.3. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + 4x 3 + x 4 = 0, x + x x 3 4x 4 = 0, x x 5x 3 = 0. Nejprvezvoltejakovolnouproměnnou x 3,pak x 4.Výsledkyporovnejte. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(/3,, /3,) T a,kde a R,pokudjevolíme x 4 jakovolnouproměnnou,a(x,x,x 3,x 4 ) T =(, 6,, 3) T a, kde a R,pokudvolíme x 3 volnouproměnnou.

6 6 PAVEL RŮŽIČKA Cvičení.4. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + x 3 x 4 = 0, x + 3x 3 + x 4 = 0, x + 6x 3x 3 5x 4 = 0, x + x + 4x 3 = 0. Postupnězvoltejakovolnéproměnné x 3, x 4,potom x a x 4 anakonec x a x 3.Zamysletesenadtím,jakspolusouvisízískanévýsledky. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+(,,0,) T b,kde a, b R,jsou-li x 3, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+ ( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T = (,,0, ) T a+( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 3 volnéproměnné. Příklad.3. Určete všechna řešení soustavy rovnic (.4) x + x x 3 + x 4 =, x + 3x 3 + x 4 =, x + x 3 + x 4 =. Řešení. Nejprve upravíme rozšířenou matici soustavy(.4) do řádkově odstupňovaného tvaru: Zvolíme x 3 volnouproměnouapoložíme x 3 = a.zpětnousubstitucí dopočítáme zbylé vázané neznámé. 6a+x 4 =, x 4 =+6a. x +3a+(6a 4)=, x +9a=6, x =6 9a. x +(6 9a) a+(6a 4)=, x +4 7a=, x =7a 3.

7 Řešení soustavy(.4) můžeme popsat také takto: x 3 7 x x 3 = a. x Problém.5.VPříkladě.3zvolte x 4 jakovolnouproměnnou(proměnné x, x a x 3 jsoubázové)aznovuproveďtezpětnousubstituci. Porovnejte oba výpočty. Příklad.4. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.5) x + x + x 3 + 4x 4 =, x x 4 = 4, x 3x + x 3 5x 4 =, x + x 4 = 5. Řešení. Podobně jako v Příkladu.3 upravíme rozšířenou matici soustavy(.5) do řádkově odstupňovaného tvaru Pivoty ve výsledné matici jsme označili tučně. Vidíme, že sloupec pravých stran matice soustavy(.5) je jejím bázovým sloupcem(v řádkově odstupňovaném tvaru je v tomto sloupci pivot) a tedy podle Věty.6 nemá soustava(.5) řešení. Cvičení.6. Určete všechna řešení soustavy rovnic x x + x 3 =, x + x 3 = 0, x + 3x + x 3 =. Řešení. x =5/8, x =/4, x 3 =/8. Cvičení.7. Určete všechna řešení soustavy rovnic x + x x 4 = 4, x + x 3 =, 3x x 3 x 4 = 4. 7

8 8 PAVEL RŮŽIČKA Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(,,,0) T +(0,,,) T a,kde a R. Cvičení.8. Určete všechna řešení soustavy rovnic Řešení. Soustava nemá řešení. x x 3 + x 4 = 3, x + x x 3 + 3x 4 = 3, x x 4 = 0. Příklad.5. Pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace vyřešte následující soustavu lineárních rovnic. (.6) x x + 5x 3 =, x + x + x 3 3x 4 =, x 6x 3 x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 5. Řešení. Symbolem A označíme rozšířenou matici soustavy(.6) a upravíme ji do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru(který označímee A ): A= =E A. TučnějsmevyznačilipivotymaticeE A.Bázovéproměnnésoustavy (.6)jsou x, x a x 4,jedinávolnáproměnnáje x 3.Položíme x 3 = a apřímozmaticee A určíme,že x =3 a, x =+3a, x 4 =. Podobně jako v předchozích příkladech zapíšeme řešení ve tvaru x x x 3 x 4 = a.

9 9 Příklad.6. Určete všechna řešní soustavy rovnic (.7) x + x + x x n =, x + x + x x n =, x + x + x x n =3, =., x + x + x x n = n. Řešení. Rozšířená matice soustavy(.7) je n K prvnímu řádku postupně přičteme druhý až n-tý řádek. Dostaneme (n+) (n+) (n+)... (n+) n(n+) n Prvnířádekvydělíme n+aodečtemejejodostatníchřádků.dostaneme matici... n n n n Nakonec odečteme od první řádku součet ostatních řádků: n n n n Řešenímsoustavy(.6)jeposloupnost x i = i n/,kde i=,...,n. Cvičení.9. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic. x + x + 3x (n )x n + nx n = n x + 3x (n )x n + nx n = n x + x (n )x n + nx n = n =. x + x + 3x (n )x n + =0.

10 0 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. x = x 3 = =x n =,x = (n )(n+). Cvičení.0. V závislosti na parametrech a, b řešte soustavu rovnic x x = a x + x x 3 = 0 x + x 3 x 4 = 0... x n + x n x n = 0 x n + x n = b.. Řešení. x k = a k a b n+, k=,...,n. Příklad 3.. K reálné matici určete matici inverzní. 3. Počítání s maticemi A= 3 0 Řešení.NašímúkolemjenajítmaticiXtakovou,žeAX=I 3.Pro j 3označmex j =X j j-týsloupcovývektorhledanématice X.SloupcematiceI 3 jsoutvořenyvektorye j standardníbázeprostoru R 3.Protojevektorx j řešenímsoustavyrovnic (3.) Ax j =e j. PřiGaussově-Jordanověeliminacipřevedemerozšířenoumatici(A e j ) namatici(i 3 x j ),kterájejižvredukovanémřádkověodstupňovaném tvaru. Takto můžeme postupně najít všechny sloupce matice X. Je však vidět,žeupravíme-lirozšířenoumatici(a I 3 )nařádkověodstupňovanýtvar,dostanemepřímomatici(i 3 X)(takvlastněvyřešíme rovnici(3.) pro všechna(j =,, 3) současně). (A I 3 )= =(I 3 X)

11 Výpočtemsesnadnopřesvědčíme,žeskutečněX=A. Cvičení 3.. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. A= A = Problém3..Dokažte,žeinverznímaticekmatici( a c d b)existujepráve když D=ad bc 0amátvar ( ) d/d b/d c/d a/d. Cvičení 3.3. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. B= B = Cvičení 3.4. Ke komplexní matici určete matici inverzní. Řešení. C = C= i i i i 0 i i 0 0 Problém3.5.Buď npřirozenéčíslo.symboleme i označme i-týsloupcovývektorjednotkovématicei n.rozmysletesi,žepro i,j nje e i e T j matice,kterámávšude0jennamíste i,jmájedničku,ažepro každoučtvercovoumaticia=(a ij )řádu nplatí ()e T ia=a i ;..

12 PAVEL RŮŽIČKA ()Ae j =A j ; (3)e T iae j = a ij. Problém 3.6. Tento problém najdete teké v přednáškách jako Cvičení 3.0.BuďA=(a ij )čtvercovámaticeřádu n.postupnědokažtenásledující tvrzení: Shermanova-Morrisonova Woodburyho formule: Nechť C, Djsoumaticeřádu n ktakové,žeexistujeinverznímaticek maticii k +D T A C.Potom (A+CD T ) =A A C(I k +D T A C) D T A. Shermanova-Morrisonova formule: Nechť c, d jsou sloupcové vektorydimenze ntakové,že+d T A c 0.Potom (A+cd T ) =A A cd T A +d T A c. Speciální případ Shermanovy-Morrisonovy formule: Nechť B=A+αe i e T j,tj.maticebselišíodmaticeapouzevmístě i,jvekterémjsmepřičetličíslo α.označmea =(a ij).potom,vpřípadě,že αa ji,platí B =A α [A ] i [A ] j. +αa ji Příklad 3.. Pomocí Shermanovy-Morrisonovy formule a výsledku Cvičení 3.4 určete inverzní matici ke komplexní matici i D= i i. i i Správnost výsledku ověřte přímým výpočtem. Řešení. Uvažme matici C= i i i i 0 ze Cvičení 3.4. Platí D = C ie 3 e T 3 a podle speciálního případu Shermanovy-Morrisonovy formule je (3.) D =C i [C ] 3 [C ] 3. +ic 33

13 kdec =(c ij).maticic jsmespočítalivecvičení3.4: i C = i 0. 0 Dosazením do formule(3.) dostaneme, že D = i i Výsledná matice je tedy 0 0 D = Příklad 3.3. Řešte rovnici +i i i i 0 i+ 0 i+ 0 i+ (3.3) AX+B=C, kde A= jsou reálné matice., B= ( ) 0 +i.( ). a C= Řešení. Rovnice(3.3) nemá obecně řešení, ale je řešitelná vždy, když je matice A regulární. V našem případě, jak lze snadno ověřit, tomu tak je. Nyní od obou stran rovnice(3.3) odečteme matici B. Dostaneme rovnici (3.4) AX=C B. PrvnímožnostíjakurčitmaticiXjevynásobitrovnici(3.4)maticíA zleva. Potom dostaneme X=A (C B). Druhýzpůsobřešeníspočívávúpravěrozšířenématice(A C B) pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovanéhotvaru.výsledkembudematice(i 3 X)(ověřilijsme,že je matice A regulární). 3

14 4 PAVEL RŮŽIČKA Úlohu vyřešíme druhým způsobem. Nejprve spočítáme matici C B: C B= 0 0 = Nyní upravíme rozšířenou matici(a C B) do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru: (A C B)= =(I 3 X) Odtud dostaneme, že X= Poznamenejme, že tímto druhým způsobem určíme řešení rovnice (3.3), pokud existuje, i v případě, že matice A není regulární. Cvičení 3.7. Nalezněte reálnou matici Y tak aby platilo, že 0 0 Y = Řešení. Y= Příklad3.4.Nechť0 i j n, d 0abjelibovolné.Ověřte,že potom ()E ij =E ij ; ()E i (d) =E i ( d ); (3)E ij (b) =E ij ( b).

15 Řešení.Připomeňme,žesymboleme i značíme i-tývektorjednotkové maticeapro i,j njee i e T j matice,kterámávšudenulykromě pozice i,j,kdemájedničku.podledefiniceje E ij =I n e i e T i e j e T j+e i e T j+e j e T i; n E i (d)= e j e T j+ de i e T i; j=,j i E ij (b)=i n + be i e T j. Důkaz dokončíme snadno přímým výpočtem s využitím vztahu (e i e T j)(e k e T e i e T l : j= k l)= 0 : j k, pro i,j,k,l n. Řešení.NásobenímaticíE ij zlevaodpovídáprohození i-téhoaj-tého řádku.vynásobenísoučineme ij E ij zlevatedyodpovídáprohození i- tého a j-tého řádku dvakrát za sebou, tím však získáme původní matici. TedyprokaždoumaticiAplatíE ij E ij A=A.Speciálnětoplatípro maticii n,aproto E ij E ij =E ij E ij I n =I n. NásobenímaticíE i (d)odpovídávynásobení i-téhořádkučíslem d. ProtoprokaždoumaticiAplatíE i (/d)e i (d)a=a.speciálně E i (/d)e i (d)=e i (/d)e i (d)i n =I n. VpřípaděmaticeE ij (b)postupojemepodobně.ověřeníjižponecháme čtenáři. Příklad 3.5. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. 0 Řešení. Pomocí elementárních úprav transformujeme matici A do řádkově odstupňovaného tvaru a souběžně sestrojíme posloupnost elementárních matic, které těmto úpravám odpovídají. Nejprve prohodíme první a druhý řádek. Této úpravě odpovídá násobení matice A elementárnímaticíe.dostamematici A = 0 5

16 6 PAVEL RŮŽIČKA aplatía =E A.Nynípřičtemeprvnířádekketřetímu.Tétoúpravě odpovídávynásobenímaticea maticíe 3 ()zleva.dostanemematici A = aplatí A =E 3 ()A =E 3 ()E A. V následujícím kroku odečteme dvojnásobek třetího řádku od prvního. Dostaneme matici 0 A 3 = aplatí A 3 =E 3 ( )A =E 3 ( )E 3 ()A =E 3 ( )E 3 ()E A. Takto budeme pokračovat až dostaneme jednotkovou matici. Při vhodné volbě posloupnosti elementárních řádkových úprav dostaneme I 3 =E ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E A. Inverzní matice k jednotlivým elementárním maticím v posloupnosti určíme podle Příkladu 3.4. Dostaneme A=E E 3 ( )E 3 ()E 3 ()E ()E ( ). Cvičení 3.8. Na základě výsledku předchozího příkladu(bez počítání) určete posloupnost elementárních sloupcových úprav, které převádějí matici A na jednotkovou matici. Řešení.I 3 =AE ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E. Cvičení 3.9. Rozložte matici A= v součin elementárních matic a ověřte správnost výsledku. Řešení.NapříkladA=E 3 ()E 3 E 3 ( )E 3 ( )E ( )E ( )(řešení není jednoznačné).

17 Cvičení 3.0. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. a b 0 c 0 0 Řešení.NapříkladA=E 3 (c)e 3 (b)e (a)(řešeníneníjednoznačné). Příklad 3.6. Určete bázové sloupce matice 0 3 A= Vyjádřete zbylé sloupce matice A jako lineární kombinaci bázových sloupců. Řešení. Matici A převedeme pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru. Dostaneme 0 0 E A = Bázové sloupce jsou sloupce ve kterých jsou pivoty, tedy jsou to první, třetíačtvrtýsloupec.podletvrzení3.6.platíprokaždé k=,...,5, že A k = c A + c 3 A 3 + c 4 A 4 právě když Proto platí, že a [E A ] k = c [E A ] + c 3 [E A ] 3 + c 4 [E A ] 4. A =A A 5 = A +A 3 +A 4. Cvičení 3.. Určete bázové sloupce matice 0 0 A= a vyjádřete ostatní její sloupce jako lineární kombinaci bázových. Řešení.Bázovésloupcejsouprvní,druhýačtvrtý.PlatíA 3 =A + A aa 5 =A A A 4. 7

18 8 PAVEL RŮŽIČKA 4. Tělesa Problém4..Ověřte,žeprokomplexníčíslo α=a+ibakaždénenulovékomplexníčíslo β= c+idplatí α = αα=a + b, Cvičení 4.. Zjednodušte 3+i +i, i3 3+i. Řešení. 5 i, i. β = β c id β = c + d. Cvičení 4.3. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic Řešení. x =+i, x =. (+i)x + (3 i)x = 3+i, ix + x = i. Cvičení 4.4. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic x + ( i)x + ix 3 = x + (4+4i)x x 3 = +i ( i)x + (3+i)x = i. Řešení. x = 3 4a 5 i +7a 5, x = a, x 3 = +a 5 + i 6a 7 5,kde a C. Příklad4..Nechť a, bjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.řekneme, že ajekongruentnísbmodulo npokud n a b.je-li akongruentní s bmodulo n,píšeme a b (mod n). Nechť a, a,b, b jsouceláčíslataková,že a a (mod n)azároveň b b (mod n).dokažte,žepotom () a + b a + b (mod n); () a b a b (mod n); (3) a a (mod n); (4) a k a k (mod n),prokaždé k N. Řešení. ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a + b ) (a + b ). ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a a )b + a (b b )=a b a b. (3) a a =( a ) ( a ). (4) a k a k =(a a )(a k + a a k + +a k a + a k ).

19 Problém4.5.Nechť a, b, cjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.jsouličísla nacnesoudělná,potomje a b (mod n) právěkdyž ac bc (mod n). Dokažte! V tomto problému tvrdíme, že při počítání s kongruencemi modulo n můžeme čísly nesoudělnými s číslem n násobit a dělit. Příklad4..Řeštekongruenci9x (mod7). Řešení.Hledámeřešení x Z 7 = {0,,...,6}.Kongruencibudeme upravovat podle pravidel popsaných v Příkladě 4. a v Problému 4.5: 9x (mod7) právěkdyž x 8 (mod7). Obě strany vydělíme číslem 6(to můžeme udělat neboť 6 je nesoudělné s prvočíslem 7). Dostaneme x 3 (mod7) odkud x 0 (mod7). Nakonec obě strany vydělíme dvěma: x 0 (mod7). Vidíme,žeřešenímjsouvšechnačísla xtvaru0+7t,kde t Z. Cvičení 4.6. Řešte kongruenci Řešení. x=6+9t, t Z. Cvičení 4.7. Řešte kongruenci Řešení. x=6+3t, t Z. 7x 5 (mod9). 4x 3 (mod3). Příklad4.3.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem3. Řešení. Opět budeme využívat pravidel popsaných v Příkladě 4. a Problému 4.5. azároveň ( 5) ( ) 0 (mod3) ( 3) (mod3). Protoje (mod3). Cvičení4.8.Určetezbytekpoděleníčísla5 0 číslem6. Řešení. 9

20 0 PAVEL RŮŽIČKA Problém4.9.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem7. Problém4.0.Dokažte,žeprolibovolnépřirozenéčíslo nje37 n+ + 6 n+ +3 n dělitelnésedmi. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 5 soustavurovnic x + x 3 + x 4 =0, x + x + x 3 + 4x 4 =0, x + x + 3x 3 + x 4 =0, 4x + x + x 3 + x 4 =0. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(4,4,,0)a+(3,3,0,)b,kde a, b Z 5. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 3 soustavurovnic: x + x + x 3 + x 4 =, x + x 4 =0, x + x + x 3 + x 4 =, x + x + x 3 =. Řešení. x =+a,x = x 4 =0, x 3 = a,kde a Z 3. Cvičení4.3.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevr soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x k = 4 i+ a i 3 a k. Cvičení4.4.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x = a + a 3 + a 4, x = a + a 3 + a 4, x 3 = a + a + a 4, x 4 = a + a + a 3. Cvičení4.5.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz 3 soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4.

21 Řešení.Soustavamářešeníprávěkdyž a + a + a 3 + a 4 =0.Vtom případěmámetřiřešení x k = a 4 +a k +j, k=,...,4,kde j=0,,. Cvičení 4.6. K matici A= nadtělesemz 7 určetematiciinverzní. Řešení. A = Cvičení4.7.NaleznětematiciYnadtělesemZ 3 takovou,žeplatí 0 0 Y = Řešení. Y= 0 0 Příklad4.4.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 skoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=3, f()=, f(3)=af(4)=. Řešení. Koeficienty polynomu f(x) jsou řešením soustavy rovnic jejížmaticejevandermondovamaticeurčenáprvky,,3,4tělesaz 5 rozšířená o pravou stranu danou předpisy definujícími polynom f. Vyřešíme tedy soustavu s rozšířenou maticí (4.) nadtělesemz 5.Matici(4.)upravímepomocíelementárníchúpravdo řádkově odstupňovaného tvaru ,

22 PAVEL RŮŽIČKA odkudzpětnousubstitucídostaneme a 0 =4, a = a = a 3 =3,tj. f(x)=3x 3 +3x +3x+4. Cvičení4.8.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 + a x + a x+a 0 skoeficientyztělesaz 7,kterýsplňuje f()=5, f()=0, f(3)=6a f(5)=5. Řešení. f(x)=x 3 +3x +. Cvičení4.9.Buď f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 polynomskoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=4, f()=, f(3)=af(4)=0. Určete f(0). Řešení. f(0)=. 5. Vektorové prostory Příklad 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,0,) T, v = (,,,0) T,v 3 =(0,,,) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 =(,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T. Řešení.OznačmesymbolemAmatici,jejížsloupcetvořívektoryu, u,u 3,u 4.Vektorv i ležívlineárnímobaluvektorůu,u,u 3,u 4 právě kdyžjehodnostmaticearovnahodnostirozšířenématice(a v i ). OznačmeBmatici,jejížsloupcejsouvektoryv,v,v 3 apravujme rozšířenou matici(a B) do řádkově odstupňovaného tvaru: Vidíme,že r(a)=r(a v )=3,ar(A v )=r(a v 3 )=4.Proto vlineárnímobaluvektorůu =(0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 = (,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T ležípouzevektorv =(,,0,) T. Cvičení 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,,0) T, v = (,5,, ) T,v 3 = (,4,4,3) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (,4,, ) T,u =(,,0, ) T,u 3 =(0,,,0) T,u 4 =(,,, ) T. Řešení.Vdanémlineárnímobaluležípouzevektorv.

23 Příklad5..Rozhodněte,zdajsoulineárníobalvektorů(,,,3,5) T, (0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T,(0,,0,,) T alineárníobalvektorů (,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T shodné. Řešení.Označme A={(,,,3,5) T,(0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T, (0,,0,,) T }ab = {(,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T } množiny vektorů ze zadání. Uvažme matice A= ,resp.B= jejichž nenulové řádky jsou tvořeny vektory z množiny A, resp. B. Lineárníobalymnožin AaB budoushodnéprávěkdyžbudemožné převést pomocí elementárních řádkových úprav matici A na matici B. Podle Tvrzení. je možné převést elementárními řádkovými úpravamimaticea,resp.bnajednoznačněurčenématicee A,resp.E B v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru. Odtud je patrné, že matici A je možné převést na matici B pomocí elementárních řádkových úpravprávěkdyžjsoumaticee A ae B shodné.upravmetedymaticea a B na redukovaný řádkově odstupňovaný tvar a výsledky porovnejme: A= B= =E B =E A; Vidíme,ženenulovéřádkymaticE A ae B jsoushodnéatedyjsou shodnéilineárníobalymnožin AaB.

24 4 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Uvažme opět matice A= 0 3 ab= 0 0 apoložme C=(A T B T )= Rozmyslete si, že lineární obaly množin A, B jsou shodné právě když platí r(a)=r(b)=r(c).(dokažtetaké,žezrovnosti r(a)=r(c) plyne, že L(B) L(A).) Hodnosti matic snadno spočítáme převedením na řádkově odstupňovaný tvar. Cvičení5..Rozhodněte,zdavektory(,0,,,) T,(,,0,,0) T,(0,,,0,) T generujístejnýpodprostorprostoru R 5 jakovektory(,,,,0) T, (,,,,0) T a(0,,,0,) T. Řešení. Ano, oba podprostory jsou shodné. Cvičení5.3.Rozhodněte,zdavektory(,,0,) T,(0,,0,) T,(0,,,0) T, (,,,0) T,(0,0,,) T generujícelýprostor R 4,resp. Z 4. Řešení.Danévektorygenerují R 4,alenegenerují Z 4. Cvičení5.4.Rozhodněte,zdavektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázi podprostoruvektorovéhoprostoru R 3 generovanéhotrojicívektorů(,,3) T, (5,8,7) T,(3,4,) T. Řešení.Ano,vektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázidanéhopodprostoru. 6. Lineární(ne)závislost Příklad6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(,,,0) T,(,5,,3) T, (4,, 3,3) T }lineárněnezávislá. Řešení. Uvažme matici A=

25 jejíž sloupce jsou prvky množiny A. Množina A je lineárně nezávislá právěkdyžjeprokaždýnenulovývektorxsoučinaxnenulový.toplatí právětehdykdyžjehodnostmaticearovnapočtuprvkůmnožiny A. Upravíme matici A na řádkově odstupňovaný tvar: A= Vidíme, že r(a) =. Proto je množina A lineárně závislá. Cvičení 6.. Rozhodněte, které z těchto množin reálných vektorů jsou lineárně závislé. A= { (,,,) T,(,4,0,0) T,(0,,,) T,(,,,0) T }, B= { (,,) T,(,,) T,(,,) T,(0,,) T }, C= { (,,0,,) T,(,0,,0,) T,(,,, 3,0) T,(,0,0,, ) T }. Řešení.Jsoutomnožiny Ba C. Cvičení6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(0,,,) T,(,0,,) T, (,,0,) T,(,,,0) T }reálnýchvektorůlineárnězávislá.rozhodněte, zdajemnožina Alineárnězávislájde-liovektorynadtělesemZ 3. Řešení. Množina A je lineárně nezávisla nad R a lineárně závislá nad Z 3. Příklad 6.. Určete báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) reálné matice 0 A= Řešení.Nejprveurčímebázepodprostorů R(A)aN(A).MaticiA převedemenařádkověodstupňovanýtvara : A= =A NenulovéřádkymaticeA tvoříbázipodprostoru R(A),tj. R(A)= L{(,,0,,) T, (0,0,,3,3) T }. Podle definice je N(A) podprostor všechřešení(x,x,x 3,x 4,x 5 ) T soustavylineárníchrovnic x +x +x 4 + x 5 =0 3x +6x + x 3 +9x 4 +6x 5 =0 x +4x + x 3 +7x 4 +5x 5 =0,. 5

26 6 PAVEL RŮŽIČKA kteráurčímezmaticea zpětnousubstitucí.zvolíme x, x 4 a x 5 volnýmiproměnnýmiapoložíme x = a, x 4 = b, x 5 = c.dostaneme x 3 = 3a 3cax = a b c,odkud N(A)={(,,0,0,0) T a+(,0, 3,,0) T b+(,0,3,0,) T c a, b, c, R}. Vektory(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0,3,0,) T tvoříbáziprostoru N(A). Báze prostorů S(A) a M(A) určíme obdobně, když si uvědomíme, že S(A)=R(A T )am(a)=n(a T ). A T = , odkudvidíme,žedvojicevektorů(,3,) T,(0,,) T tvoříbázipodprostoru S(A)azpětnousubstitucíspočítáme,že M(A)={(,,) T a a R},tj. M(A)=L{(,,) T }. Řešení. Budeme postupovat podobně jako v Úloze 6.6. Na rozdíl od prvního řešení spočítáme nejprve současně podprostory R(A) a M(A).Vezmemerozšířenoumatici(A I 3 )apomocíelementárních řádkovýchúpravjitransformujemetak,žematicevlevéčástijev řádkově odstupňovaném tvaru Vektory odpovídající nenulovým řádkům v levé části upravené rozšířené matice tvoří bázi podprostoru R(A). Řádek v pravé části upravené rozšířené matice, kterému odpovídá nulový řádek v levé části(vyznačen tučně) určuje, podle Tvrzení 6.5, vektor báze podprostoru M(A), tj. M(A)=L{(,,) T }.

27 Báze podprostorů S(A), N(A) určíme obdobně, když matici A nejdříve transponujeme , odkudvidíme,žemnožina {(,3,) T,(0,,) T }tvoříbázipodprostoru S(A)amnožina {(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0, 3,0,) T } tvoří bázi podprostoru N(A). Cvičení 6.3. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených reálnou maticí A= Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,0,,,) T,(0,, 3,4, 5) T }, S(A)=L{(,3,4,) T,(0,,,) T }, N(A)=L{(,3,,0,0) T,(, 4,0,,0) T,(,5,0,0,) T }, M(A)= L{(,,,0) T,(,,0,) T }. Cvičení 6.4. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených maticí A= nadtělesemz 5. Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,4,,3) T,(0,,4,4) T }, S(A)=L{(,3,3,3) T,(0,,4,0) T }, N(A)= L{(4,,,0) T,(3,,0,) T }, M(A)=L{(3,3,,0) T,(0,3,,) T }.. 7

28 8 PAVEL RŮŽIČKA Příklad 6.3. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostoryreálnýchmaticaab,jestliže A= a B= Řešení.Prostory R(A)aR(B)jsoushodnéprávěkdyžjemožnépomocí elementárních řádkových úprav převést matici A na matici B a tojemožnéprávěkdyžjsoushodnéprostory N(A)aN(B).Tedy, R(A)=R(B)právěkdyž N(A)=N(B).Podobněplatí S(A)= S(B) právě když M(A) = M(B). Stačí tedy porovnat řádkové a sloupcové prostory obou matic, což je úloha analogická Příkladu 5.. Podobně jako v prvním řešení tohoto příkladu porovnáme redukované řádkověodstupňovanétvarymaticaab,resp.a T ab T : A= =E A; B= =E B.

29 Vidíme,žeE A =E B,odkudplyne,že R(A)=R(B)aN(A)=N(B). ZbýváporovnatmaticeE A TaE B T A T = B T = =E A T; =E 6 B T VtomtopřípaděnejsoumaticeE A T ae B T shodnéaproto S(A) S(B)stejnějako M(A) M(B). Cvičení 6.5. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostorymaticaabnadtělesemz 3,jestliže A= 0 0, B= Řešení. R(A) R(B), N(A) N(B), S(A)=S(B)aM(A)= M(B). Problém6.6.BuďAreálnámaticetvaru m n.dokažte,že R(A) N(A)=0. Návod.Využijtetoho,žeprokaždýnenulovývektorv R n platí v T v 0.]

30 30 PAVEL RŮŽIČKA Problém6.7.Dokažte,žeprokaždoureálnoumaticiAtvaru m n platí (6.) r(aa T )=r(a). Návod. Návod: Využijte Problém 6.7 a Tvrzení 6.9. Problém 6.8. Dokažte, že rovnost(6.) neplatí pro matice nad tělesy konečné charakteristiky. Příklad6.4.Nechť X jelineárníobalvektorůx =(,0,,) T,x = (,,3,) T,x 3 =(0,,, ) T ax 4 =(3,,4,) T,nechť Yjelineární obalvektorůy =(,0,,) T,y =(,,0,3) T,y 3 =(,,3,) T a y 4 =(0,,,) T.Určetedimenzepodprostorů X, Ya X Yprostoru R 4. Řešení.Podprostory X,resp. YvektorovéhoprostoruR 4 jsourovny řádkovým prostorům matic X= 0,resp.Y= aprotodim X = r(x)adimy = r(y).hodnostimaticx,resp.y určímezjejichřádkověodstupňovanýchtvarů X,resp.Ỹ.Platí 0 0 X X= 0 a Y 0 0 Ỹ= atedydim X=dim Y=3.DálevyužijemeTvrzení6. (6.) dim(x+ Y)+dim(X Y)=dim(X)+dim(Y) Dimenzeprostoru X+ YjerovnahodnostimaticeZjejížsloupcejsou tvořenynenulovýmiřádkymatic X T aỹt atedy S(Z) = X+ Y. Hodnost matice Z určíme z opět jejího řádkově odstupňovaného tvaru. Z= Vidíme,že r(z)=4atedydim(x+y)=4.dosazenímdovztahu(6.) dostaneme,že4+dim(x Y)=6,odkudplyne,žedim(X Y)=..

31 Cvičení6.9.Nechť X= L{(,0,,0) T,(,,,) T,(,0,, ) T, (,,3,) T }ay= L{(,0,0,) T,(,,0,) T,(,3,,0) T,(4, 5,,3) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 4.Určetedimenze X, Yadimenziprůnikuprostorů X Y. Řešení.dim X=dim Y=3,dim(X Y)=. Cvičení6.0.Nechť X= L{(,0,,,3) T,(,,3,0,3) T,(0,,0, 3,3) T, (,3,8,4,6) T }ay= L{(,,0,0, 6) T,(0,,,4, ) T,(, 3,,4,4) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 5.Určetedimenzepodprostorů X, Y, X+ Ya X Y. Řešení.dim X=3,dim Y=,dim(X+ Y)=4,dim(X Y)=. Příklad6.5.Nechť X= {(,,0) T,(,,) T,(, 3, ) T }ay= {(,, ) T,(,,0) T,(0,4, ) T }jsoupodprostoryprostoru R 3.Nalezněte bázi podprodstoru X Y. Řešení.Platí X= R(X)aY= R(Y),kde 0 X= ay= Matice X a Y upravíme na řádkově odstupňovaný tvar. Dostaneme 0 X 0 a Y Položmex = (,,0) T,x = (0,,) T,y = (,, ) T ay = (0,4, ) T.Vektorzležívprůnikupodprostorů X a Y právěkdyž existujískaláry a, a, b a b Rtakové,že a x + a x = z = b y +b y.řešmehomogennísoustavulineárníchrovnic(sneznámými a, a, b, b ). (6.3) a x + a x b y b y = Zvolíme b volnouproměnnouapoložíme b = α.zpětnousubstitucí dostanemeřešení b = 4 5 α, b =α, a = 5 α, a = αsoustavy (6.3). Průnik podprostorů X a Y určíme z prvních dvou složek tohoto řešení. X Y= { α(,,0) T + α 5 (0,,)T α R}={β(5, 4,) β R}.. 3

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů Diplomová práce Brno 2006 Jiří Růžička Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a použil přitom pouze uvedené

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 006 MAACZMZ06DT MATEMATIKA didaktický test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Analytická geometrie II: Geometrické transformace Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková,

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více