PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR

Transkript

1 PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR PAVEL RŮŽIČKA. Soustavy lineárních rovnic Příklad.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(0, ), (,5)a(,). Řešení.Hledámečísla a, b, ctak,abydanétřibodyvyhovovalyrovnici ax + bx+c=y. Po dosazení dostaneme soustavu lineárních rovnic c =, a + b + c = 5, a b + c = Z první rovnice dostáváme, že c =. Dosadíme do zbývajících rovnic: a + b + = 5, a b + = a sečtením druhé a třetí rovnice dostaneme, že a+4=6, odkudplyne a=.dosadímedotřetírovnice: b+= adostaneme b=.danétřibodytedyležínagrafujedinékvadratické funkce y= x +x+. Cvičení.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(, 3), (, 5)a(, 5). Řešení. y= x + x 3. Příklad.. Určete souřadnice středu kružnice procházející body(0, ), (,)a(,0).

2 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Obecná rovnice kružnice je (.) (x a) +(y b) = c. Pokud bychom hledali rovnici kružnice procházející trojicí daných bodů (x,y ),(x,y ),(x 3,y 3 ),dostalibychompodosazenídorovnice(.) soustavu (x a) + (y b) = c, (x a) + (y b) = c, (x 3 a) + (y 3 b) = c. Tuto soustavu upravíme podobně jako v Úloze.. x x (x x )a + y y (y y )b =0, x x 3 (x x 3 )a + y y 3 (y y 3 )b =0, x 3 x 3 a + a + y 3 y 3 b + b = c. Pro naše konkrétní body mají první dvě rovnice výsledné soustavy tvar 0 ( ) (0 ( ))a + ( )b =0, ( ) (( ) )a + 0 ( 0)b =0, odkud a =0, 3 + 6a + b =0. Zprvnírovnicedostaneme,že a= /apodosazenídodruhéz rovnic b= 5/. Cvičení.. Určete rovnici kružnice, která prochází body ( 3, 0), (3,0)a(0,). Řešení. x +(y+4) =5. Cvičení.3. Určete rovnici kružnice, která prochází body (, 0), (, )a(3, ). Řešení. Body leží na přímce. Příklad.3. Nalezněte parametrické vyjádření roviny ρ určené rovnicí (.) x y+z=. Řešení.Položíme y= saz= t.podosazenídorovnice(.)dostaneme amámetedy x=+s t, y= s, z= t (x,y,z)=(,0,0)+(,,0)s+(,0,)t.

3 Parametrické vyjádření dané roviny je ρ={u+sv+tw s, t R}, kdeu=(,0,0),v=(,,0),w=(,0,). Cvičení.4. Nalezněte parametrické vyjádření přímky p určené rovnicí x y=. Řešení. p={u+vt t R},kdeu=(,0)av=(,). Cvičení.5. Nalezněte parametrické vyjádření rovin určených rovnicemi () ρ : x+y+ z=, () ρ : x y=, (3) ρ 3 : z=. Řešení. Hledaná parametrická vyjádření jsou: () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,,0), w=(,0,), () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,0,), w=(0,0,)a (3) ρ 3 = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(0,0, ),v=(,0,0), w=(0,,0).. Gaussova eliminace Příklad.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 3x + x x 3 + x 4 = 0, 4x + 3x + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici řešené soustavy, 3, a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru:

4 4 PAVEL RŮŽIČKA Soustava(.) je ekvivalentní soustavě (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 5x 4x 3 + 5x 4 = 0, jejíž řešení určíme zpětnou substitucí. Pivoty v matici soustavy(.), jsou označeny tučně, leží v prvním a druhémsloupci.protojsouneznámé x, x bázové.zbyléneznámé, x 3, x 4,jsouvolné.Položíme x 3 = a, x 4 = b. Ze druhé rovnice soustavy(.) dostaneme 5x 4a+5b=0,odkud x = b 4 5 a. Dosazením do první rovnice soustavy(.) dostaneme x +(b 4 5 a)+a b=0,odkud x = 3 5 a b. Obecné řešení soustavy(.) je možné zapsat také ve tvaru 3 x 5 x x 3 = 4 5 a+ 0 b, x 4 0 kde a, b R. Příklad.. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.3) x + x + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0, x x + x 3 + 3x 4 = 0, x + x x 3 + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici soustavy(.3), 0 3,

5 a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru: V tomto případě jsou všechny neznámé bázové a homogenní soustava májentriviálnířešení x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + 3x 3 = 0, x + x + x 3 = 0, x + 7x + x 3 = 0. Řešení.(x,x,x 3 ) T =(, 5,3) T a,kde a R. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + 4x 4 = 0, x + x + 3x 3 + x 4 = 0, 4x + x + x 3 + x 4 = 0. Řešení. x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.3. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + 4x 3 + x 4 = 0, x + x x 3 4x 4 = 0, x x 5x 3 = 0. Nejprvezvoltejakovolnouproměnnou x 3,pak x 4.Výsledkyporovnejte. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(/3,, /3,) T a,kde a R,pokudjevolíme x 4 jakovolnouproměnnou,a(x,x,x 3,x 4 ) T =(, 6,, 3) T a, kde a R,pokudvolíme x 3 volnouproměnnou.

6 6 PAVEL RŮŽIČKA Cvičení.4. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + x 3 x 4 = 0, x + 3x 3 + x 4 = 0, x + 6x 3x 3 5x 4 = 0, x + x + 4x 3 = 0. Postupnězvoltejakovolnéproměnné x 3, x 4,potom x a x 4 anakonec x a x 3.Zamysletesenadtím,jakspolusouvisízískanévýsledky. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+(,,0,) T b,kde a, b R,jsou-li x 3, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+ ( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T = (,,0, ) T a+( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 3 volnéproměnné. Příklad.3. Určete všechna řešení soustavy rovnic (.4) x + x x 3 + x 4 =, x + 3x 3 + x 4 =, x + x 3 + x 4 =. Řešení. Nejprve upravíme rozšířenou matici soustavy(.4) do řádkově odstupňovaného tvaru: Zvolíme x 3 volnouproměnouapoložíme x 3 = a.zpětnousubstitucí dopočítáme zbylé vázané neznámé. 6a+x 4 =, x 4 =+6a. x +3a+(6a 4)=, x +9a=6, x =6 9a. x +(6 9a) a+(6a 4)=, x +4 7a=, x =7a 3.

7 Řešení soustavy(.4) můžeme popsat také takto: x 3 7 x x 3 = a. x Problém.5.VPříkladě.3zvolte x 4 jakovolnouproměnnou(proměnné x, x a x 3 jsoubázové)aznovuproveďtezpětnousubstituci. Porovnejte oba výpočty. Příklad.4. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.5) x + x + x 3 + 4x 4 =, x x 4 = 4, x 3x + x 3 5x 4 =, x + x 4 = 5. Řešení. Podobně jako v Příkladu.3 upravíme rozšířenou matici soustavy(.5) do řádkově odstupňovaného tvaru Pivoty ve výsledné matici jsme označili tučně. Vidíme, že sloupec pravých stran matice soustavy(.5) je jejím bázovým sloupcem(v řádkově odstupňovaném tvaru je v tomto sloupci pivot) a tedy podle Věty.6 nemá soustava(.5) řešení. Cvičení.6. Určete všechna řešení soustavy rovnic x x + x 3 =, x + x 3 = 0, x + 3x + x 3 =. Řešení. x =5/8, x =/4, x 3 =/8. Cvičení.7. Určete všechna řešení soustavy rovnic x + x x 4 = 4, x + x 3 =, 3x x 3 x 4 = 4. 7

8 8 PAVEL RŮŽIČKA Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(,,,0) T +(0,,,) T a,kde a R. Cvičení.8. Určete všechna řešení soustavy rovnic Řešení. Soustava nemá řešení. x x 3 + x 4 = 3, x + x x 3 + 3x 4 = 3, x x 4 = 0. Příklad.5. Pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace vyřešte následující soustavu lineárních rovnic. (.6) x x + 5x 3 =, x + x + x 3 3x 4 =, x 6x 3 x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 5. Řešení. Symbolem A označíme rozšířenou matici soustavy(.6) a upravíme ji do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru(který označímee A ): A= =E A. TučnějsmevyznačilipivotymaticeE A.Bázovéproměnnésoustavy (.6)jsou x, x a x 4,jedinávolnáproměnnáje x 3.Položíme x 3 = a apřímozmaticee A určíme,že x =3 a, x =+3a, x 4 =. Podobně jako v předchozích příkladech zapíšeme řešení ve tvaru x x x 3 x 4 = a.

9 9 Příklad.6. Určete všechna řešní soustavy rovnic (.7) x + x + x x n =, x + x + x x n =, x + x + x x n =3, =., x + x + x x n = n. Řešení. Rozšířená matice soustavy(.7) je n K prvnímu řádku postupně přičteme druhý až n-tý řádek. Dostaneme (n+) (n+) (n+)... (n+) n(n+) n Prvnířádekvydělíme n+aodečtemejejodostatníchřádků.dostaneme matici... n n n n Nakonec odečteme od první řádku součet ostatních řádků: n n n n Řešenímsoustavy(.6)jeposloupnost x i = i n/,kde i=,...,n. Cvičení.9. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic. x + x + 3x (n )x n + nx n = n x + 3x (n )x n + nx n = n x + x (n )x n + nx n = n =. x + x + 3x (n )x n + =0.

10 0 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. x = x 3 = =x n =,x = (n )(n+). Cvičení.0. V závislosti na parametrech a, b řešte soustavu rovnic x x = a x + x x 3 = 0 x + x 3 x 4 = 0... x n + x n x n = 0 x n + x n = b.. Řešení. x k = a k a b n+, k=,...,n. Příklad 3.. K reálné matici určete matici inverzní. 3. Počítání s maticemi A= 3 0 Řešení.NašímúkolemjenajítmaticiXtakovou,žeAX=I 3.Pro j 3označmex j =X j j-týsloupcovývektorhledanématice X.SloupcematiceI 3 jsoutvořenyvektorye j standardníbázeprostoru R 3.Protojevektorx j řešenímsoustavyrovnic (3.) Ax j =e j. PřiGaussově-Jordanověeliminacipřevedemerozšířenoumatici(A e j ) namatici(i 3 x j ),kterájejižvredukovanémřádkověodstupňovaném tvaru. Takto můžeme postupně najít všechny sloupce matice X. Je však vidět,žeupravíme-lirozšířenoumatici(a I 3 )nařádkověodstupňovanýtvar,dostanemepřímomatici(i 3 X)(takvlastněvyřešíme rovnici(3.) pro všechna(j =,, 3) současně). (A I 3 )= =(I 3 X)

11 Výpočtemsesnadnopřesvědčíme,žeskutečněX=A. Cvičení 3.. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. A= A = Problém3..Dokažte,žeinverznímaticekmatici( a c d b)existujepráve když D=ad bc 0amátvar ( ) d/d b/d c/d a/d. Cvičení 3.3. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. B= B = Cvičení 3.4. Ke komplexní matici určete matici inverzní. Řešení. C = C= i i i i 0 i i 0 0 Problém3.5.Buď npřirozenéčíslo.symboleme i označme i-týsloupcovývektorjednotkovématicei n.rozmysletesi,žepro i,j nje e i e T j matice,kterámávšude0jennamíste i,jmájedničku,ažepro každoučtvercovoumaticia=(a ij )řádu nplatí ()e T ia=a i ;..

12 PAVEL RŮŽIČKA ()Ae j =A j ; (3)e T iae j = a ij. Problém 3.6. Tento problém najdete teké v přednáškách jako Cvičení 3.0.BuďA=(a ij )čtvercovámaticeřádu n.postupnědokažtenásledující tvrzení: Shermanova-Morrisonova Woodburyho formule: Nechť C, Djsoumaticeřádu n ktakové,žeexistujeinverznímaticek maticii k +D T A C.Potom (A+CD T ) =A A C(I k +D T A C) D T A. Shermanova-Morrisonova formule: Nechť c, d jsou sloupcové vektorydimenze ntakové,že+d T A c 0.Potom (A+cd T ) =A A cd T A +d T A c. Speciální případ Shermanovy-Morrisonovy formule: Nechť B=A+αe i e T j,tj.maticebselišíodmaticeapouzevmístě i,jvekterémjsmepřičetličíslo α.označmea =(a ij).potom,vpřípadě,že αa ji,platí B =A α [A ] i [A ] j. +αa ji Příklad 3.. Pomocí Shermanovy-Morrisonovy formule a výsledku Cvičení 3.4 určete inverzní matici ke komplexní matici i D= i i. i i Správnost výsledku ověřte přímým výpočtem. Řešení. Uvažme matici C= i i i i 0 ze Cvičení 3.4. Platí D = C ie 3 e T 3 a podle speciálního případu Shermanovy-Morrisonovy formule je (3.) D =C i [C ] 3 [C ] 3. +ic 33

13 kdec =(c ij).maticic jsmespočítalivecvičení3.4: i C = i 0. 0 Dosazením do formule(3.) dostaneme, že D = i i Výsledná matice je tedy 0 0 D = Příklad 3.3. Řešte rovnici +i i i i 0 i+ 0 i+ 0 i+ (3.3) AX+B=C, kde A= jsou reálné matice., B= ( ) 0 +i.( ). a C= Řešení. Rovnice(3.3) nemá obecně řešení, ale je řešitelná vždy, když je matice A regulární. V našem případě, jak lze snadno ověřit, tomu tak je. Nyní od obou stran rovnice(3.3) odečteme matici B. Dostaneme rovnici (3.4) AX=C B. PrvnímožnostíjakurčitmaticiXjevynásobitrovnici(3.4)maticíA zleva. Potom dostaneme X=A (C B). Druhýzpůsobřešeníspočívávúpravěrozšířenématice(A C B) pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovanéhotvaru.výsledkembudematice(i 3 X)(ověřilijsme,že je matice A regulární). 3

14 4 PAVEL RŮŽIČKA Úlohu vyřešíme druhým způsobem. Nejprve spočítáme matici C B: C B= 0 0 = Nyní upravíme rozšířenou matici(a C B) do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru: (A C B)= =(I 3 X) Odtud dostaneme, že X= Poznamenejme, že tímto druhým způsobem určíme řešení rovnice (3.3), pokud existuje, i v případě, že matice A není regulární. Cvičení 3.7. Nalezněte reálnou matici Y tak aby platilo, že 0 0 Y = Řešení. Y= Příklad3.4.Nechť0 i j n, d 0abjelibovolné.Ověřte,že potom ()E ij =E ij ; ()E i (d) =E i ( d ); (3)E ij (b) =E ij ( b).

15 Řešení.Připomeňme,žesymboleme i značíme i-tývektorjednotkové maticeapro i,j njee i e T j matice,kterámávšudenulykromě pozice i,j,kdemájedničku.podledefiniceje E ij =I n e i e T i e j e T j+e i e T j+e j e T i; n E i (d)= e j e T j+ de i e T i; j=,j i E ij (b)=i n + be i e T j. Důkaz dokončíme snadno přímým výpočtem s využitím vztahu (e i e T j)(e k e T e i e T l : j= k l)= 0 : j k, pro i,j,k,l n. Řešení.NásobenímaticíE ij zlevaodpovídáprohození i-téhoaj-tého řádku.vynásobenísoučineme ij E ij zlevatedyodpovídáprohození i- tého a j-tého řádku dvakrát za sebou, tím však získáme původní matici. TedyprokaždoumaticiAplatíE ij E ij A=A.Speciálnětoplatípro maticii n,aproto E ij E ij =E ij E ij I n =I n. NásobenímaticíE i (d)odpovídávynásobení i-téhořádkučíslem d. ProtoprokaždoumaticiAplatíE i (/d)e i (d)a=a.speciálně E i (/d)e i (d)=e i (/d)e i (d)i n =I n. VpřípaděmaticeE ij (b)postupojemepodobně.ověřeníjižponecháme čtenáři. Příklad 3.5. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. 0 Řešení. Pomocí elementárních úprav transformujeme matici A do řádkově odstupňovaného tvaru a souběžně sestrojíme posloupnost elementárních matic, které těmto úpravám odpovídají. Nejprve prohodíme první a druhý řádek. Této úpravě odpovídá násobení matice A elementárnímaticíe.dostamematici A = 0 5

16 6 PAVEL RŮŽIČKA aplatía =E A.Nynípřičtemeprvnířádekketřetímu.Tétoúpravě odpovídávynásobenímaticea maticíe 3 ()zleva.dostanemematici A = aplatí A =E 3 ()A =E 3 ()E A. V následujícím kroku odečteme dvojnásobek třetího řádku od prvního. Dostaneme matici 0 A 3 = aplatí A 3 =E 3 ( )A =E 3 ( )E 3 ()A =E 3 ( )E 3 ()E A. Takto budeme pokračovat až dostaneme jednotkovou matici. Při vhodné volbě posloupnosti elementárních řádkových úprav dostaneme I 3 =E ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E A. Inverzní matice k jednotlivým elementárním maticím v posloupnosti určíme podle Příkladu 3.4. Dostaneme A=E E 3 ( )E 3 ()E 3 ()E ()E ( ). Cvičení 3.8. Na základě výsledku předchozího příkladu(bez počítání) určete posloupnost elementárních sloupcových úprav, které převádějí matici A na jednotkovou matici. Řešení.I 3 =AE ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E. Cvičení 3.9. Rozložte matici A= v součin elementárních matic a ověřte správnost výsledku. Řešení.NapříkladA=E 3 ()E 3 E 3 ( )E 3 ( )E ( )E ( )(řešení není jednoznačné).

17 Cvičení 3.0. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. a b 0 c 0 0 Řešení.NapříkladA=E 3 (c)e 3 (b)e (a)(řešeníneníjednoznačné). Příklad 3.6. Určete bázové sloupce matice 0 3 A= Vyjádřete zbylé sloupce matice A jako lineární kombinaci bázových sloupců. Řešení. Matici A převedeme pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru. Dostaneme 0 0 E A = Bázové sloupce jsou sloupce ve kterých jsou pivoty, tedy jsou to první, třetíačtvrtýsloupec.podletvrzení3.6.platíprokaždé k=,...,5, že A k = c A + c 3 A 3 + c 4 A 4 právě když Proto platí, že a [E A ] k = c [E A ] + c 3 [E A ] 3 + c 4 [E A ] 4. A =A A 5 = A +A 3 +A 4. Cvičení 3.. Určete bázové sloupce matice 0 0 A= a vyjádřete ostatní její sloupce jako lineární kombinaci bázových. Řešení.Bázovésloupcejsouprvní,druhýačtvrtý.PlatíA 3 =A + A aa 5 =A A A 4. 7

18 8 PAVEL RŮŽIČKA 4. Tělesa Problém4..Ověřte,žeprokomplexníčíslo α=a+ibakaždénenulovékomplexníčíslo β= c+idplatí α = αα=a + b, Cvičení 4.. Zjednodušte 3+i +i, i3 3+i. Řešení. 5 i, i. β = β c id β = c + d. Cvičení 4.3. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic Řešení. x =+i, x =. (+i)x + (3 i)x = 3+i, ix + x = i. Cvičení 4.4. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic x + ( i)x + ix 3 = x + (4+4i)x x 3 = +i ( i)x + (3+i)x = i. Řešení. x = 3 4a 5 i +7a 5, x = a, x 3 = +a 5 + i 6a 7 5,kde a C. Příklad4..Nechť a, bjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.řekneme, že ajekongruentnísbmodulo npokud n a b.je-li akongruentní s bmodulo n,píšeme a b (mod n). Nechť a, a,b, b jsouceláčíslataková,že a a (mod n)azároveň b b (mod n).dokažte,žepotom () a + b a + b (mod n); () a b a b (mod n); (3) a a (mod n); (4) a k a k (mod n),prokaždé k N. Řešení. ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a + b ) (a + b ). ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a a )b + a (b b )=a b a b. (3) a a =( a ) ( a ). (4) a k a k =(a a )(a k + a a k + +a k a + a k ).

19 Problém4.5.Nechť a, b, cjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.jsouličísla nacnesoudělná,potomje a b (mod n) právěkdyž ac bc (mod n). Dokažte! V tomto problému tvrdíme, že při počítání s kongruencemi modulo n můžeme čísly nesoudělnými s číslem n násobit a dělit. Příklad4..Řeštekongruenci9x (mod7). Řešení.Hledámeřešení x Z 7 = {0,,...,6}.Kongruencibudeme upravovat podle pravidel popsaných v Příkladě 4. a v Problému 4.5: 9x (mod7) právěkdyž x 8 (mod7). Obě strany vydělíme číslem 6(to můžeme udělat neboť 6 je nesoudělné s prvočíslem 7). Dostaneme x 3 (mod7) odkud x 0 (mod7). Nakonec obě strany vydělíme dvěma: x 0 (mod7). Vidíme,žeřešenímjsouvšechnačísla xtvaru0+7t,kde t Z. Cvičení 4.6. Řešte kongruenci Řešení. x=6+9t, t Z. Cvičení 4.7. Řešte kongruenci Řešení. x=6+3t, t Z. 7x 5 (mod9). 4x 3 (mod3). Příklad4.3.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem3. Řešení. Opět budeme využívat pravidel popsaných v Příkladě 4. a Problému 4.5. azároveň ( 5) ( ) 0 (mod3) ( 3) (mod3). Protoje (mod3). Cvičení4.8.Určetezbytekpoděleníčísla5 0 číslem6. Řešení. 9

20 0 PAVEL RŮŽIČKA Problém4.9.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem7. Problém4.0.Dokažte,žeprolibovolnépřirozenéčíslo nje37 n+ + 6 n+ +3 n dělitelnésedmi. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 5 soustavurovnic x + x 3 + x 4 =0, x + x + x 3 + 4x 4 =0, x + x + 3x 3 + x 4 =0, 4x + x + x 3 + x 4 =0. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(4,4,,0)a+(3,3,0,)b,kde a, b Z 5. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 3 soustavurovnic: x + x + x 3 + x 4 =, x + x 4 =0, x + x + x 3 + x 4 =, x + x + x 3 =. Řešení. x =+a,x = x 4 =0, x 3 = a,kde a Z 3. Cvičení4.3.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevr soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x k = 4 i+ a i 3 a k. Cvičení4.4.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x = a + a 3 + a 4, x = a + a 3 + a 4, x 3 = a + a + a 4, x 4 = a + a + a 3. Cvičení4.5.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz 3 soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4.

21 Řešení.Soustavamářešeníprávěkdyž a + a + a 3 + a 4 =0.Vtom případěmámetřiřešení x k = a 4 +a k +j, k=,...,4,kde j=0,,. Cvičení 4.6. K matici A= nadtělesemz 7 určetematiciinverzní. Řešení. A = Cvičení4.7.NaleznětematiciYnadtělesemZ 3 takovou,žeplatí 0 0 Y = Řešení. Y= 0 0 Příklad4.4.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 skoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=3, f()=, f(3)=af(4)=. Řešení. Koeficienty polynomu f(x) jsou řešením soustavy rovnic jejížmaticejevandermondovamaticeurčenáprvky,,3,4tělesaz 5 rozšířená o pravou stranu danou předpisy definujícími polynom f. Vyřešíme tedy soustavu s rozšířenou maticí (4.) nadtělesemz 5.Matici(4.)upravímepomocíelementárníchúpravdo řádkově odstupňovaného tvaru ,

22 PAVEL RŮŽIČKA odkudzpětnousubstitucídostaneme a 0 =4, a = a = a 3 =3,tj. f(x)=3x 3 +3x +3x+4. Cvičení4.8.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 + a x + a x+a 0 skoeficientyztělesaz 7,kterýsplňuje f()=5, f()=0, f(3)=6a f(5)=5. Řešení. f(x)=x 3 +3x +. Cvičení4.9.Buď f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 polynomskoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=4, f()=, f(3)=af(4)=0. Určete f(0). Řešení. f(0)=. 5. Vektorové prostory Příklad 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,0,) T, v = (,,,0) T,v 3 =(0,,,) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 =(,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T. Řešení.OznačmesymbolemAmatici,jejížsloupcetvořívektoryu, u,u 3,u 4.Vektorv i ležívlineárnímobaluvektorůu,u,u 3,u 4 právě kdyžjehodnostmaticearovnahodnostirozšířenématice(a v i ). OznačmeBmatici,jejížsloupcejsouvektoryv,v,v 3 apravujme rozšířenou matici(a B) do řádkově odstupňovaného tvaru: Vidíme,že r(a)=r(a v )=3,ar(A v )=r(a v 3 )=4.Proto vlineárnímobaluvektorůu =(0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 = (,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T ležípouzevektorv =(,,0,) T. Cvičení 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,,0) T, v = (,5,, ) T,v 3 = (,4,4,3) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (,4,, ) T,u =(,,0, ) T,u 3 =(0,,,0) T,u 4 =(,,, ) T. Řešení.Vdanémlineárnímobaluležípouzevektorv.

23 Příklad5..Rozhodněte,zdajsoulineárníobalvektorů(,,,3,5) T, (0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T,(0,,0,,) T alineárníobalvektorů (,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T shodné. Řešení.Označme A={(,,,3,5) T,(0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T, (0,,0,,) T }ab = {(,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T } množiny vektorů ze zadání. Uvažme matice A= ,resp.B= jejichž nenulové řádky jsou tvořeny vektory z množiny A, resp. B. Lineárníobalymnožin AaB budoushodnéprávěkdyžbudemožné převést pomocí elementárních řádkových úprav matici A na matici B. Podle Tvrzení. je možné převést elementárními řádkovými úpravamimaticea,resp.bnajednoznačněurčenématicee A,resp.E B v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru. Odtud je patrné, že matici A je možné převést na matici B pomocí elementárních řádkových úpravprávěkdyžjsoumaticee A ae B shodné.upravmetedymaticea a B na redukovaný řádkově odstupňovaný tvar a výsledky porovnejme: A= B= =E B =E A; Vidíme,ženenulovéřádkymaticE A ae B jsoushodnéatedyjsou shodnéilineárníobalymnožin AaB.

24 4 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Uvažme opět matice A= 0 3 ab= 0 0 apoložme C=(A T B T )= Rozmyslete si, že lineární obaly množin A, B jsou shodné právě když platí r(a)=r(b)=r(c).(dokažtetaké,žezrovnosti r(a)=r(c) plyne, že L(B) L(A).) Hodnosti matic snadno spočítáme převedením na řádkově odstupňovaný tvar. Cvičení5..Rozhodněte,zdavektory(,0,,,) T,(,,0,,0) T,(0,,,0,) T generujístejnýpodprostorprostoru R 5 jakovektory(,,,,0) T, (,,,,0) T a(0,,,0,) T. Řešení. Ano, oba podprostory jsou shodné. Cvičení5.3.Rozhodněte,zdavektory(,,0,) T,(0,,0,) T,(0,,,0) T, (,,,0) T,(0,0,,) T generujícelýprostor R 4,resp. Z 4. Řešení.Danévektorygenerují R 4,alenegenerují Z 4. Cvičení5.4.Rozhodněte,zdavektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázi podprostoruvektorovéhoprostoru R 3 generovanéhotrojicívektorů(,,3) T, (5,8,7) T,(3,4,) T. Řešení.Ano,vektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázidanéhopodprostoru. 6. Lineární(ne)závislost Příklad6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(,,,0) T,(,5,,3) T, (4,, 3,3) T }lineárněnezávislá. Řešení. Uvažme matici A=

25 jejíž sloupce jsou prvky množiny A. Množina A je lineárně nezávislá právěkdyžjeprokaždýnenulovývektorxsoučinaxnenulový.toplatí právětehdykdyžjehodnostmaticearovnapočtuprvkůmnožiny A. Upravíme matici A na řádkově odstupňovaný tvar: A= Vidíme, že r(a) =. Proto je množina A lineárně závislá. Cvičení 6.. Rozhodněte, které z těchto množin reálných vektorů jsou lineárně závislé. A= { (,,,) T,(,4,0,0) T,(0,,,) T,(,,,0) T }, B= { (,,) T,(,,) T,(,,) T,(0,,) T }, C= { (,,0,,) T,(,0,,0,) T,(,,, 3,0) T,(,0,0,, ) T }. Řešení.Jsoutomnožiny Ba C. Cvičení6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(0,,,) T,(,0,,) T, (,,0,) T,(,,,0) T }reálnýchvektorůlineárnězávislá.rozhodněte, zdajemnožina Alineárnězávislájde-liovektorynadtělesemZ 3. Řešení. Množina A je lineárně nezávisla nad R a lineárně závislá nad Z 3. Příklad 6.. Určete báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) reálné matice 0 A= Řešení.Nejprveurčímebázepodprostorů R(A)aN(A).MaticiA převedemenařádkověodstupňovanýtvara : A= =A NenulovéřádkymaticeA tvoříbázipodprostoru R(A),tj. R(A)= L{(,,0,,) T, (0,0,,3,3) T }. Podle definice je N(A) podprostor všechřešení(x,x,x 3,x 4,x 5 ) T soustavylineárníchrovnic x +x +x 4 + x 5 =0 3x +6x + x 3 +9x 4 +6x 5 =0 x +4x + x 3 +7x 4 +5x 5 =0,. 5

26 6 PAVEL RŮŽIČKA kteráurčímezmaticea zpětnousubstitucí.zvolíme x, x 4 a x 5 volnýmiproměnnýmiapoložíme x = a, x 4 = b, x 5 = c.dostaneme x 3 = 3a 3cax = a b c,odkud N(A)={(,,0,0,0) T a+(,0, 3,,0) T b+(,0,3,0,) T c a, b, c, R}. Vektory(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0,3,0,) T tvoříbáziprostoru N(A). Báze prostorů S(A) a M(A) určíme obdobně, když si uvědomíme, že S(A)=R(A T )am(a)=n(a T ). A T = , odkudvidíme,žedvojicevektorů(,3,) T,(0,,) T tvoříbázipodprostoru S(A)azpětnousubstitucíspočítáme,že M(A)={(,,) T a a R},tj. M(A)=L{(,,) T }. Řešení. Budeme postupovat podobně jako v Úloze 6.6. Na rozdíl od prvního řešení spočítáme nejprve současně podprostory R(A) a M(A).Vezmemerozšířenoumatici(A I 3 )apomocíelementárních řádkovýchúpravjitransformujemetak,žematicevlevéčástijev řádkově odstupňovaném tvaru Vektory odpovídající nenulovým řádkům v levé části upravené rozšířené matice tvoří bázi podprostoru R(A). Řádek v pravé části upravené rozšířené matice, kterému odpovídá nulový řádek v levé části(vyznačen tučně) určuje, podle Tvrzení 6.5, vektor báze podprostoru M(A), tj. M(A)=L{(,,) T }.

27 Báze podprostorů S(A), N(A) určíme obdobně, když matici A nejdříve transponujeme , odkudvidíme,žemnožina {(,3,) T,(0,,) T }tvoříbázipodprostoru S(A)amnožina {(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0, 3,0,) T } tvoří bázi podprostoru N(A). Cvičení 6.3. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených reálnou maticí A= Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,0,,,) T,(0,, 3,4, 5) T }, S(A)=L{(,3,4,) T,(0,,,) T }, N(A)=L{(,3,,0,0) T,(, 4,0,,0) T,(,5,0,0,) T }, M(A)= L{(,,,0) T,(,,0,) T }. Cvičení 6.4. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených maticí A= nadtělesemz 5. Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,4,,3) T,(0,,4,4) T }, S(A)=L{(,3,3,3) T,(0,,4,0) T }, N(A)= L{(4,,,0) T,(3,,0,) T }, M(A)=L{(3,3,,0) T,(0,3,,) T }.. 7

28 8 PAVEL RŮŽIČKA Příklad 6.3. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostoryreálnýchmaticaab,jestliže A= a B= Řešení.Prostory R(A)aR(B)jsoushodnéprávěkdyžjemožnépomocí elementárních řádkových úprav převést matici A na matici B a tojemožnéprávěkdyžjsoushodnéprostory N(A)aN(B).Tedy, R(A)=R(B)právěkdyž N(A)=N(B).Podobněplatí S(A)= S(B) právě když M(A) = M(B). Stačí tedy porovnat řádkové a sloupcové prostory obou matic, což je úloha analogická Příkladu 5.. Podobně jako v prvním řešení tohoto příkladu porovnáme redukované řádkověodstupňovanétvarymaticaab,resp.a T ab T : A= =E A; B= =E B.

29 Vidíme,žeE A =E B,odkudplyne,že R(A)=R(B)aN(A)=N(B). ZbýváporovnatmaticeE A TaE B T A T = B T = =E A T; =E 6 B T VtomtopřípaděnejsoumaticeE A T ae B T shodnéaproto S(A) S(B)stejnějako M(A) M(B). Cvičení 6.5. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostorymaticaabnadtělesemz 3,jestliže A= 0 0, B= Řešení. R(A) R(B), N(A) N(B), S(A)=S(B)aM(A)= M(B). Problém6.6.BuďAreálnámaticetvaru m n.dokažte,že R(A) N(A)=0. Návod.Využijtetoho,žeprokaždýnenulovývektorv R n platí v T v 0.]

30 30 PAVEL RŮŽIČKA Problém6.7.Dokažte,žeprokaždoureálnoumaticiAtvaru m n platí (6.) r(aa T )=r(a). Návod. Návod: Využijte Problém 6.7 a Tvrzení 6.9. Problém 6.8. Dokažte, že rovnost(6.) neplatí pro matice nad tělesy konečné charakteristiky. Příklad6.4.Nechť X jelineárníobalvektorůx =(,0,,) T,x = (,,3,) T,x 3 =(0,,, ) T ax 4 =(3,,4,) T,nechť Yjelineární obalvektorůy =(,0,,) T,y =(,,0,3) T,y 3 =(,,3,) T a y 4 =(0,,,) T.Určetedimenzepodprostorů X, Ya X Yprostoru R 4. Řešení.Podprostory X,resp. YvektorovéhoprostoruR 4 jsourovny řádkovým prostorům matic X= 0,resp.Y= aprotodim X = r(x)adimy = r(y).hodnostimaticx,resp.y určímezjejichřádkověodstupňovanýchtvarů X,resp.Ỹ.Platí 0 0 X X= 0 a Y 0 0 Ỹ= atedydim X=dim Y=3.DálevyužijemeTvrzení6. (6.) dim(x+ Y)+dim(X Y)=dim(X)+dim(Y) Dimenzeprostoru X+ YjerovnahodnostimaticeZjejížsloupcejsou tvořenynenulovýmiřádkymatic X T aỹt atedy S(Z) = X+ Y. Hodnost matice Z určíme z opět jejího řádkově odstupňovaného tvaru. Z= Vidíme,že r(z)=4atedydim(x+y)=4.dosazenímdovztahu(6.) dostaneme,že4+dim(x Y)=6,odkudplyne,žedim(X Y)=..

31 Cvičení6.9.Nechť X= L{(,0,,0) T,(,,,) T,(,0,, ) T, (,,3,) T }ay= L{(,0,0,) T,(,,0,) T,(,3,,0) T,(4, 5,,3) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 4.Určetedimenze X, Yadimenziprůnikuprostorů X Y. Řešení.dim X=dim Y=3,dim(X Y)=. Cvičení6.0.Nechť X= L{(,0,,,3) T,(,,3,0,3) T,(0,,0, 3,3) T, (,3,8,4,6) T }ay= L{(,,0,0, 6) T,(0,,,4, ) T,(, 3,,4,4) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 5.Určetedimenzepodprostorů X, Y, X+ Ya X Y. Řešení.dim X=3,dim Y=,dim(X+ Y)=4,dim(X Y)=. Příklad6.5.Nechť X= {(,,0) T,(,,) T,(, 3, ) T }ay= {(,, ) T,(,,0) T,(0,4, ) T }jsoupodprostoryprostoru R 3.Nalezněte bázi podprodstoru X Y. Řešení.Platí X= R(X)aY= R(Y),kde 0 X= ay= Matice X a Y upravíme na řádkově odstupňovaný tvar. Dostaneme 0 X 0 a Y Položmex = (,,0) T,x = (0,,) T,y = (,, ) T ay = (0,4, ) T.Vektorzležívprůnikupodprostorů X a Y právěkdyž existujískaláry a, a, b a b Rtakové,že a x + a x = z = b y +b y.řešmehomogennísoustavulineárníchrovnic(sneznámými a, a, b, b ). (6.3) a x + a x b y b y = Zvolíme b volnouproměnnouapoložíme b = α.zpětnousubstitucí dostanemeřešení b = 4 5 α, b =α, a = 5 α, a = αsoustavy (6.3). Průnik podprostorů X a Y určíme z prvních dvou složek tohoto řešení. X Y= { α(,,0) T + α 5 (0,,)T α R}={β(5, 4,) β R}.. 3