PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR"

Transkript

1 PŘÍKLADY Z LA I. SEMESTR PAVEL RŮŽIČKA. Soustavy lineárních rovnic Příklad.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(0, ), (,5)a(,). Řešení.Hledámečísla a, b, ctak,abydanétřibodyvyhovovalyrovnici ax + bx+c=y. Po dosazení dostaneme soustavu lineárních rovnic c =, a + b + c = 5, a b + c = Z první rovnice dostáváme, že c =. Dosadíme do zbývajících rovnic: a + b + = 5, a b + = a sečtením druhé a třetí rovnice dostaneme, že a+4=6, odkudplyne a=.dosadímedotřetírovnice: b+= adostaneme b=.danétřibodytedyležínagrafujedinékvadratické funkce y= x +x+. Cvičení.. Určete kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body(, 3), (, 5)a(, 5). Řešení. y= x + x 3. Příklad.. Určete souřadnice středu kružnice procházející body(0, ), (,)a(,0).

2 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Obecná rovnice kružnice je (.) (x a) +(y b) = c. Pokud bychom hledali rovnici kružnice procházející trojicí daných bodů (x,y ),(x,y ),(x 3,y 3 ),dostalibychompodosazenídorovnice(.) soustavu (x a) + (y b) = c, (x a) + (y b) = c, (x 3 a) + (y 3 b) = c. Tuto soustavu upravíme podobně jako v Úloze.. x x (x x )a + y y (y y )b =0, x x 3 (x x 3 )a + y y 3 (y y 3 )b =0, x 3 x 3 a + a + y 3 y 3 b + b = c. Pro naše konkrétní body mají první dvě rovnice výsledné soustavy tvar 0 ( ) (0 ( ))a + ( )b =0, ( ) (( ) )a + 0 ( 0)b =0, odkud a =0, 3 + 6a + b =0. Zprvnírovnicedostaneme,že a= /apodosazenídodruhéz rovnic b= 5/. Cvičení.. Určete rovnici kružnice, která prochází body ( 3, 0), (3,0)a(0,). Řešení. x +(y+4) =5. Cvičení.3. Určete rovnici kružnice, která prochází body (, 0), (, )a(3, ). Řešení. Body leží na přímce. Příklad.3. Nalezněte parametrické vyjádření roviny ρ určené rovnicí (.) x y+z=. Řešení.Položíme y= saz= t.podosazenídorovnice(.)dostaneme amámetedy x=+s t, y= s, z= t (x,y,z)=(,0,0)+(,,0)s+(,0,)t.

3 Parametrické vyjádření dané roviny je ρ={u+sv+tw s, t R}, kdeu=(,0,0),v=(,,0),w=(,0,). Cvičení.4. Nalezněte parametrické vyjádření přímky p určené rovnicí x y=. Řešení. p={u+vt t R},kdeu=(,0)av=(,). Cvičení.5. Nalezněte parametrické vyjádření rovin určených rovnicemi () ρ : x+y+ z=, () ρ : x y=, (3) ρ 3 : z=. Řešení. Hledaná parametrická vyjádření jsou: () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,,0), w=(,0,), () ρ = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(,0,0),v=(,0,), w=(0,0,)a (3) ρ 3 = {u+vs+wt s, t R},kdeu=(0,0, ),v=(,0,0), w=(0,,0).. Gaussova eliminace Příklad.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 3x + x x 3 + x 4 = 0, 4x + 3x + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici řešené soustavy, 3, a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru:

4 4 PAVEL RŮŽIČKA Soustava(.) je ekvivalentní soustavě (.) x + x + x 3 x 4 = 0, 5x 4x 3 + 5x 4 = 0, jejíž řešení určíme zpětnou substitucí. Pivoty v matici soustavy(.), jsou označeny tučně, leží v prvním a druhémsloupci.protojsouneznámé x, x bázové.zbyléneznámé, x 3, x 4,jsouvolné.Položíme x 3 = a, x 4 = b. Ze druhé rovnice soustavy(.) dostaneme 5x 4a+5b=0,odkud x = b 4 5 a. Dosazením do první rovnice soustavy(.) dostaneme x +(b 4 5 a)+a b=0,odkud x = 3 5 a b. Obecné řešení soustavy(.) je možné zapsat také ve tvaru 3 x 5 x x 3 = 4 5 a+ 0 b, x 4 0 kde a, b R. Příklad.. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.3) x + x + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0, x x + x 3 + 3x 4 = 0, x + x x 3 + x 4 = 0. Řešení. Zapíšeme matici soustavy(.3), 0 3,

5 a upravíme ji pomocí elementárních řádkových úprav do řádkově odstupňovaného tvaru: V tomto případě jsou všechny neznámé bázové a homogenní soustava májentriviálnířešení x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + 3x 3 = 0, x + x + x 3 = 0, x + 7x + x 3 = 0. Řešení.(x,x,x 3 ) T =(, 5,3) T a,kde a R. Cvičení.. Určete všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + 4x 4 = 0, x + x + 3x 3 + x 4 = 0, 4x + x + x 3 + x 4 = 0. Řešení. x = x = x 3 = x 4 =0. Cvičení.3. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + 4x 3 + x 4 = 0, x + x x 3 4x 4 = 0, x x 5x 3 = 0. Nejprvezvoltejakovolnouproměnnou x 3,pak x 4.Výsledkyporovnejte. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(/3,, /3,) T a,kde a R,pokudjevolíme x 4 jakovolnouproměnnou,a(x,x,x 3,x 4 ) T =(, 6,, 3) T a, kde a R,pokudvolíme x 3 volnouproměnnou.

6 6 PAVEL RŮŽIČKA Cvičení.4. Najděte všechna řešení homogenní soustavy lineárních rovnic x + x + x 3 x 4 = 0, x + 3x 3 + x 4 = 0, x + 6x 3x 3 5x 4 = 0, x + x + 4x 3 = 0. Postupnězvoltejakovolnéproměnné x 3, x 4,potom x a x 4 anakonec x a x 3.Zamysletesenadtím,jakspolusouvisízískanévýsledky. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+(,,0,) T b,kde a, b R,jsou-li x 3, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T =( 3,,,0) T a+ ( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 4 volnéproměnné,(x,x,x 3,x 4 ) T = (,,0, ) T a+( 4,0,,) T b,kde a, b R,jsou-li x, x 3 volnéproměnné. Příklad.3. Určete všechna řešení soustavy rovnic (.4) x + x x 3 + x 4 =, x + 3x 3 + x 4 =, x + x 3 + x 4 =. Řešení. Nejprve upravíme rozšířenou matici soustavy(.4) do řádkově odstupňovaného tvaru: Zvolíme x 3 volnouproměnouapoložíme x 3 = a.zpětnousubstitucí dopočítáme zbylé vázané neznámé. 6a+x 4 =, x 4 =+6a. x +3a+(6a 4)=, x +9a=6, x =6 9a. x +(6 9a) a+(6a 4)=, x +4 7a=, x =7a 3.

7 Řešení soustavy(.4) můžeme popsat také takto: x 3 7 x x 3 = a. x Problém.5.VPříkladě.3zvolte x 4 jakovolnouproměnnou(proměnné x, x a x 3 jsoubázové)aznovuproveďtezpětnousubstituci. Porovnejte oba výpočty. Příklad.4. Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic (.5) x + x + x 3 + 4x 4 =, x x 4 = 4, x 3x + x 3 5x 4 =, x + x 4 = 5. Řešení. Podobně jako v Příkladu.3 upravíme rozšířenou matici soustavy(.5) do řádkově odstupňovaného tvaru Pivoty ve výsledné matici jsme označili tučně. Vidíme, že sloupec pravých stran matice soustavy(.5) je jejím bázovým sloupcem(v řádkově odstupňovaném tvaru je v tomto sloupci pivot) a tedy podle Věty.6 nemá soustava(.5) řešení. Cvičení.6. Určete všechna řešení soustavy rovnic x x + x 3 =, x + x 3 = 0, x + 3x + x 3 =. Řešení. x =5/8, x =/4, x 3 =/8. Cvičení.7. Určete všechna řešení soustavy rovnic x + x x 4 = 4, x + x 3 =, 3x x 3 x 4 = 4. 7

8 8 PAVEL RŮŽIČKA Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(,,,0) T +(0,,,) T a,kde a R. Cvičení.8. Určete všechna řešení soustavy rovnic Řešení. Soustava nemá řešení. x x 3 + x 4 = 3, x + x x 3 + 3x 4 = 3, x x 4 = 0. Příklad.5. Pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace vyřešte následující soustavu lineárních rovnic. (.6) x x + 5x 3 =, x + x + x 3 3x 4 =, x 6x 3 x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 5. Řešení. Symbolem A označíme rozšířenou matici soustavy(.6) a upravíme ji do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru(který označímee A ): A= =E A. TučnějsmevyznačilipivotymaticeE A.Bázovéproměnnésoustavy (.6)jsou x, x a x 4,jedinávolnáproměnnáje x 3.Položíme x 3 = a apřímozmaticee A určíme,že x =3 a, x =+3a, x 4 =. Podobně jako v předchozích příkladech zapíšeme řešení ve tvaru x x x 3 x 4 = a.

9 9 Příklad.6. Určete všechna řešní soustavy rovnic (.7) x + x + x x n =, x + x + x x n =, x + x + x x n =3, =., x + x + x x n = n. Řešení. Rozšířená matice soustavy(.7) je n K prvnímu řádku postupně přičteme druhý až n-tý řádek. Dostaneme (n+) (n+) (n+)... (n+) n(n+) n Prvnířádekvydělíme n+aodečtemejejodostatníchřádků.dostaneme matici... n n n n Nakonec odečteme od první řádku součet ostatních řádků: n n n n Řešenímsoustavy(.6)jeposloupnost x i = i n/,kde i=,...,n. Cvičení.9. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic. x + x + 3x (n )x n + nx n = n x + 3x (n )x n + nx n = n x + x (n )x n + nx n = n =. x + x + 3x (n )x n + =0.

10 0 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. x = x 3 = =x n =,x = (n )(n+). Cvičení.0. V závislosti na parametrech a, b řešte soustavu rovnic x x = a x + x x 3 = 0 x + x 3 x 4 = 0... x n + x n x n = 0 x n + x n = b.. Řešení. x k = a k a b n+, k=,...,n. Příklad 3.. K reálné matici určete matici inverzní. 3. Počítání s maticemi A= 3 0 Řešení.NašímúkolemjenajítmaticiXtakovou,žeAX=I 3.Pro j 3označmex j =X j j-týsloupcovývektorhledanématice X.SloupcematiceI 3 jsoutvořenyvektorye j standardníbázeprostoru R 3.Protojevektorx j řešenímsoustavyrovnic (3.) Ax j =e j. PřiGaussově-Jordanověeliminacipřevedemerozšířenoumatici(A e j ) namatici(i 3 x j ),kterájejižvredukovanémřádkověodstupňovaném tvaru. Takto můžeme postupně najít všechny sloupce matice X. Je však vidět,žeupravíme-lirozšířenoumatici(a I 3 )nařádkověodstupňovanýtvar,dostanemepřímomatici(i 3 X)(takvlastněvyřešíme rovnici(3.) pro všechna(j =,, 3) současně). (A I 3 )= =(I 3 X)

11 Výpočtemsesnadnopřesvědčíme,žeskutečněX=A. Cvičení 3.. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. A= A = Problém3..Dokažte,žeinverznímaticekmatici( a c d b)existujepráve když D=ad bc 0amátvar ( ) d/d b/d c/d a/d. Cvičení 3.3. K reálné matici určete matici inverzní. Řešení. B= B = Cvičení 3.4. Ke komplexní matici určete matici inverzní. Řešení. C = C= i i i i 0 i i 0 0 Problém3.5.Buď npřirozenéčíslo.symboleme i označme i-týsloupcovývektorjednotkovématicei n.rozmysletesi,žepro i,j nje e i e T j matice,kterámávšude0jennamíste i,jmájedničku,ažepro každoučtvercovoumaticia=(a ij )řádu nplatí ()e T ia=a i ;..

12 PAVEL RŮŽIČKA ()Ae j =A j ; (3)e T iae j = a ij. Problém 3.6. Tento problém najdete teké v přednáškách jako Cvičení 3.0.BuďA=(a ij )čtvercovámaticeřádu n.postupnědokažtenásledující tvrzení: Shermanova-Morrisonova Woodburyho formule: Nechť C, Djsoumaticeřádu n ktakové,žeexistujeinverznímaticek maticii k +D T A C.Potom (A+CD T ) =A A C(I k +D T A C) D T A. Shermanova-Morrisonova formule: Nechť c, d jsou sloupcové vektorydimenze ntakové,že+d T A c 0.Potom (A+cd T ) =A A cd T A +d T A c. Speciální případ Shermanovy-Morrisonovy formule: Nechť B=A+αe i e T j,tj.maticebselišíodmaticeapouzevmístě i,jvekterémjsmepřičetličíslo α.označmea =(a ij).potom,vpřípadě,že αa ji,platí B =A α [A ] i [A ] j. +αa ji Příklad 3.. Pomocí Shermanovy-Morrisonovy formule a výsledku Cvičení 3.4 určete inverzní matici ke komplexní matici i D= i i. i i Správnost výsledku ověřte přímým výpočtem. Řešení. Uvažme matici C= i i i i 0 ze Cvičení 3.4. Platí D = C ie 3 e T 3 a podle speciálního případu Shermanovy-Morrisonovy formule je (3.) D =C i [C ] 3 [C ] 3. +ic 33

13 kdec =(c ij).maticic jsmespočítalivecvičení3.4: i C = i 0. 0 Dosazením do formule(3.) dostaneme, že D = i i Výsledná matice je tedy 0 0 D = Příklad 3.3. Řešte rovnici +i i i i 0 i+ 0 i+ 0 i+ (3.3) AX+B=C, kde A= jsou reálné matice., B= ( ) 0 +i.( ). a C= Řešení. Rovnice(3.3) nemá obecně řešení, ale je řešitelná vždy, když je matice A regulární. V našem případě, jak lze snadno ověřit, tomu tak je. Nyní od obou stran rovnice(3.3) odečteme matici B. Dostaneme rovnici (3.4) AX=C B. PrvnímožnostíjakurčitmaticiXjevynásobitrovnici(3.4)maticíA zleva. Potom dostaneme X=A (C B). Druhýzpůsobřešeníspočívávúpravěrozšířenématice(A C B) pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovanéhotvaru.výsledkembudematice(i 3 X)(ověřilijsme,že je matice A regulární). 3

14 4 PAVEL RŮŽIČKA Úlohu vyřešíme druhým způsobem. Nejprve spočítáme matici C B: C B= 0 0 = Nyní upravíme rozšířenou matici(a C B) do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru: (A C B)= =(I 3 X) Odtud dostaneme, že X= Poznamenejme, že tímto druhým způsobem určíme řešení rovnice (3.3), pokud existuje, i v případě, že matice A není regulární. Cvičení 3.7. Nalezněte reálnou matici Y tak aby platilo, že 0 0 Y = Řešení. Y= Příklad3.4.Nechť0 i j n, d 0abjelibovolné.Ověřte,že potom ()E ij =E ij ; ()E i (d) =E i ( d ); (3)E ij (b) =E ij ( b).

15 Řešení.Připomeňme,žesymboleme i značíme i-tývektorjednotkové maticeapro i,j njee i e T j matice,kterámávšudenulykromě pozice i,j,kdemájedničku.podledefiniceje E ij =I n e i e T i e j e T j+e i e T j+e j e T i; n E i (d)= e j e T j+ de i e T i; j=,j i E ij (b)=i n + be i e T j. Důkaz dokončíme snadno přímým výpočtem s využitím vztahu (e i e T j)(e k e T e i e T l : j= k l)= 0 : j k, pro i,j,k,l n. Řešení.NásobenímaticíE ij zlevaodpovídáprohození i-téhoaj-tého řádku.vynásobenísoučineme ij E ij zlevatedyodpovídáprohození i- tého a j-tého řádku dvakrát za sebou, tím však získáme původní matici. TedyprokaždoumaticiAplatíE ij E ij A=A.Speciálnětoplatípro maticii n,aproto E ij E ij =E ij E ij I n =I n. NásobenímaticíE i (d)odpovídávynásobení i-téhořádkučíslem d. ProtoprokaždoumaticiAplatíE i (/d)e i (d)a=a.speciálně E i (/d)e i (d)=e i (/d)e i (d)i n =I n. VpřípaděmaticeE ij (b)postupojemepodobně.ověřeníjižponecháme čtenáři. Příklad 3.5. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. 0 Řešení. Pomocí elementárních úprav transformujeme matici A do řádkově odstupňovaného tvaru a souběžně sestrojíme posloupnost elementárních matic, které těmto úpravám odpovídají. Nejprve prohodíme první a druhý řádek. Této úpravě odpovídá násobení matice A elementárnímaticíe.dostamematici A = 0 5

16 6 PAVEL RŮŽIČKA aplatía =E A.Nynípřičtemeprvnířádekketřetímu.Tétoúpravě odpovídávynásobenímaticea maticíe 3 ()zleva.dostanemematici A = aplatí A =E 3 ()A =E 3 ()E A. V následujícím kroku odečteme dvojnásobek třetího řádku od prvního. Dostaneme matici 0 A 3 = aplatí A 3 =E 3 ( )A =E 3 ( )E 3 ()A =E 3 ( )E 3 ()E A. Takto budeme pokračovat až dostaneme jednotkovou matici. Při vhodné volbě posloupnosti elementárních řádkových úprav dostaneme I 3 =E ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E A. Inverzní matice k jednotlivým elementárním maticím v posloupnosti určíme podle Příkladu 3.4. Dostaneme A=E E 3 ( )E 3 ()E 3 ()E ()E ( ). Cvičení 3.8. Na základě výsledku předchozího příkladu(bez počítání) určete posloupnost elementárních sloupcových úprav, které převádějí matici A na jednotkovou matici. Řešení.I 3 =AE ()E (/)E 3 ( )E 3 ( )E 3 ()E. Cvičení 3.9. Rozložte matici A= v součin elementárních matic a ověřte správnost výsledku. Řešení.NapříkladA=E 3 ()E 3 E 3 ( )E 3 ( )E ( )E ( )(řešení není jednoznačné).

17 Cvičení 3.0. Rozložte matici A= v součin elementárních matic. a b 0 c 0 0 Řešení.NapříkladA=E 3 (c)e 3 (b)e (a)(řešeníneníjednoznačné). Příklad 3.6. Určete bázové sloupce matice 0 3 A= Vyjádřete zbylé sloupce matice A jako lineární kombinaci bázových sloupců. Řešení. Matici A převedeme pomocí elementárních řádkových úprav do redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru. Dostaneme 0 0 E A = Bázové sloupce jsou sloupce ve kterých jsou pivoty, tedy jsou to první, třetíačtvrtýsloupec.podletvrzení3.6.platíprokaždé k=,...,5, že A k = c A + c 3 A 3 + c 4 A 4 právě když Proto platí, že a [E A ] k = c [E A ] + c 3 [E A ] 3 + c 4 [E A ] 4. A =A A 5 = A +A 3 +A 4. Cvičení 3.. Určete bázové sloupce matice 0 0 A= a vyjádřete ostatní její sloupce jako lineární kombinaci bázových. Řešení.Bázovésloupcejsouprvní,druhýačtvrtý.PlatíA 3 =A + A aa 5 =A A A 4. 7

18 8 PAVEL RŮŽIČKA 4. Tělesa Problém4..Ověřte,žeprokomplexníčíslo α=a+ibakaždénenulovékomplexníčíslo β= c+idplatí α = αα=a + b, Cvičení 4.. Zjednodušte 3+i +i, i3 3+i. Řešení. 5 i, i. β = β c id β = c + d. Cvičení 4.3. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic Řešení. x =+i, x =. (+i)x + (3 i)x = 3+i, ix + x = i. Cvičení 4.4. Nad tělesem komplexních čísel řešte soustavu rovnic x + ( i)x + ix 3 = x + (4+4i)x x 3 = +i ( i)x + (3+i)x = i. Řešení. x = 3 4a 5 i +7a 5, x = a, x 3 = +a 5 + i 6a 7 5,kde a C. Příklad4..Nechť a, bjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.řekneme, že ajekongruentnísbmodulo npokud n a b.je-li akongruentní s bmodulo n,píšeme a b (mod n). Nechť a, a,b, b jsouceláčíslataková,že a a (mod n)azároveň b b (mod n).dokažte,žepotom () a + b a + b (mod n); () a b a b (mod n); (3) a a (mod n); (4) a k a k (mod n),prokaždé k N. Řešení. ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a + b ) (a + b ). ()Protože n a a azároveň n b b,platí,že n (a a )b + a (b b )=a b a b. (3) a a =( a ) ( a ). (4) a k a k =(a a )(a k + a a k + +a k a + a k ).

19 Problém4.5.Nechť a, b, cjsouceláčíslaanjepřirozenéčíslo.jsouličísla nacnesoudělná,potomje a b (mod n) právěkdyž ac bc (mod n). Dokažte! V tomto problému tvrdíme, že při počítání s kongruencemi modulo n můžeme čísly nesoudělnými s číslem n násobit a dělit. Příklad4..Řeštekongruenci9x (mod7). Řešení.Hledámeřešení x Z 7 = {0,,...,6}.Kongruencibudeme upravovat podle pravidel popsaných v Příkladě 4. a v Problému 4.5: 9x (mod7) právěkdyž x 8 (mod7). Obě strany vydělíme číslem 6(to můžeme udělat neboť 6 je nesoudělné s prvočíslem 7). Dostaneme x 3 (mod7) odkud x 0 (mod7). Nakonec obě strany vydělíme dvěma: x 0 (mod7). Vidíme,žeřešenímjsouvšechnačísla xtvaru0+7t,kde t Z. Cvičení 4.6. Řešte kongruenci Řešení. x=6+9t, t Z. Cvičení 4.7. Řešte kongruenci Řešení. x=6+3t, t Z. 7x 5 (mod9). 4x 3 (mod3). Příklad4.3.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem3. Řešení. Opět budeme využívat pravidel popsaných v Příkladě 4. a Problému 4.5. azároveň ( 5) ( ) 0 (mod3) ( 3) (mod3). Protoje (mod3). Cvičení4.8.Určetezbytekpoděleníčísla5 0 číslem6. Řešení. 9

20 0 PAVEL RŮŽIČKA Problém4.9.Dokažte,žečíslo jedělitelnéčíslem7. Problém4.0.Dokažte,žeprolibovolnépřirozenéčíslo nje37 n+ + 6 n+ +3 n dělitelnésedmi. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 5 soustavurovnic x + x 3 + x 4 =0, x + x + x 3 + 4x 4 =0, x + x + 3x 3 + x 4 =0, 4x + x + x 3 + x 4 =0. Řešení.(x,x,x 3,x 4 ) T =(4,4,,0)a+(3,3,0,)b,kde a, b Z 5. Cvičení4..ŘeštenadtělesemZ 3 soustavurovnic: x + x + x 3 + x 4 =, x + x 4 =0, x + x + x 3 + x 4 =, x + x + x 3 =. Řešení. x =+a,x = x 4 =0, x 3 = a,kde a Z 3. Cvičení4.3.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevr soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x k = 4 i+ a i 3 a k. Cvičení4.4.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4. Řešení. x = a + a 3 + a 4, x = a + a 3 + a 4, x 3 = a + a + a 4, x 4 = a + a + a 3. Cvičení4.5.Vzávislostinaparametrech a, a, a 3, a 4 řeštevz 3 soustavu rovnic x + x 3 + x 4 = a, x + x 3 + x 4 = a, x + x + x 4 = a 3, x + x + x 3 = a 4.

21 Řešení.Soustavamářešeníprávěkdyž a + a + a 3 + a 4 =0.Vtom případěmámetřiřešení x k = a 4 +a k +j, k=,...,4,kde j=0,,. Cvičení 4.6. K matici A= nadtělesemz 7 určetematiciinverzní. Řešení. A = Cvičení4.7.NaleznětematiciYnadtělesemZ 3 takovou,žeplatí 0 0 Y = Řešení. Y= 0 0 Příklad4.4.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 skoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=3, f()=, f(3)=af(4)=. Řešení. Koeficienty polynomu f(x) jsou řešením soustavy rovnic jejížmaticejevandermondovamaticeurčenáprvky,,3,4tělesaz 5 rozšířená o pravou stranu danou předpisy definujícími polynom f. Vyřešíme tedy soustavu s rozšířenou maticí (4.) nadtělesemz 5.Matici(4.)upravímepomocíelementárníchúpravdo řádkově odstupňovaného tvaru ,

22 PAVEL RŮŽIČKA odkudzpětnousubstitucídostaneme a 0 =4, a = a = a 3 =3,tj. f(x)=3x 3 +3x +3x+4. Cvičení4.8.Určetepolynom f(x)=a 3 x 3 + a x + a x+a 0 skoeficientyztělesaz 7,kterýsplňuje f()=5, f()=0, f(3)=6a f(5)=5. Řešení. f(x)=x 3 +3x +. Cvičení4.9.Buď f(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 polynomskoeficienty ztělesaz 5,kterýsplňuje f()=4, f()=, f(3)=af(4)=0. Určete f(0). Řešení. f(0)=. 5. Vektorové prostory Příklad 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,0,) T, v = (,,,0) T,v 3 =(0,,,) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 =(,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T. Řešení.OznačmesymbolemAmatici,jejížsloupcetvořívektoryu, u,u 3,u 4.Vektorv i ležívlineárnímobaluvektorůu,u,u 3,u 4 právě kdyžjehodnostmaticearovnahodnostirozšířenématice(a v i ). OznačmeBmatici,jejížsloupcejsouvektoryv,v,v 3 apravujme rozšířenou matici(a B) do řádkově odstupňovaného tvaru: Vidíme,že r(a)=r(a v )=3,ar(A v )=r(a v 3 )=4.Proto vlineárnímobaluvektorůu =(0,,,0) T,u =(,0,,) T,u 3 = (,0,,0) T,u 4 =(0,4,,) T ležípouzevektorv =(,,0,) T. Cvičení 5.. Rozhodněte, které z vektorů v = (,,,0) T, v = (,5,, ) T,v 3 = (,4,4,3) T ležívlineárnímobaluvektorůu = (,4,, ) T,u =(,,0, ) T,u 3 =(0,,,0) T,u 4 =(,,, ) T. Řešení.Vdanémlineárnímobaluležípouzevektorv.

23 Příklad5..Rozhodněte,zdajsoulineárníobalvektorů(,,,3,5) T, (0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T,(0,,0,,) T alineárníobalvektorů (,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T shodné. Řešení.Označme A={(,,,3,5) T,(0,,0,, 3) T,(,0,,,3) T, (0,,0,,) T }ab = {(,,,0, ) T,(0,,0,,3) T,(,,,0,0) T } množiny vektorů ze zadání. Uvažme matice A= ,resp.B= jejichž nenulové řádky jsou tvořeny vektory z množiny A, resp. B. Lineárníobalymnožin AaB budoushodnéprávěkdyžbudemožné převést pomocí elementárních řádkových úprav matici A na matici B. Podle Tvrzení. je možné převést elementárními řádkovými úpravamimaticea,resp.bnajednoznačněurčenématicee A,resp.E B v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru. Odtud je patrné, že matici A je možné převést na matici B pomocí elementárních řádkových úpravprávěkdyžjsoumaticee A ae B shodné.upravmetedymaticea a B na redukovaný řádkově odstupňovaný tvar a výsledky porovnejme: A= B= =E B =E A; Vidíme,ženenulovéřádkymaticE A ae B jsoushodnéatedyjsou shodnéilineárníobalymnožin AaB.

24 4 PAVEL RŮŽIČKA Řešení. Uvažme opět matice A= 0 3 ab= 0 0 apoložme C=(A T B T )= Rozmyslete si, že lineární obaly množin A, B jsou shodné právě když platí r(a)=r(b)=r(c).(dokažtetaké,žezrovnosti r(a)=r(c) plyne, že L(B) L(A).) Hodnosti matic snadno spočítáme převedením na řádkově odstupňovaný tvar. Cvičení5..Rozhodněte,zdavektory(,0,,,) T,(,,0,,0) T,(0,,,0,) T generujístejnýpodprostorprostoru R 5 jakovektory(,,,,0) T, (,,,,0) T a(0,,,0,) T. Řešení. Ano, oba podprostory jsou shodné. Cvičení5.3.Rozhodněte,zdavektory(,,0,) T,(0,,0,) T,(0,,,0) T, (,,,0) T,(0,0,,) T generujícelýprostor R 4,resp. Z 4. Řešení.Danévektorygenerují R 4,alenegenerují Z 4. Cvičení5.4.Rozhodněte,zdavektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázi podprostoruvektorovéhoprostoru R 3 generovanéhotrojicívektorů(,,3) T, (5,8,7) T,(3,4,) T. Řešení.Ano,vektory(,3,) T,(,, ) T tvoříbázidanéhopodprostoru. 6. Lineární(ne)závislost Příklad6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(,,,0) T,(,5,,3) T, (4,, 3,3) T }lineárněnezávislá. Řešení. Uvažme matici A=

25 jejíž sloupce jsou prvky množiny A. Množina A je lineárně nezávislá právěkdyžjeprokaždýnenulovývektorxsoučinaxnenulový.toplatí právětehdykdyžjehodnostmaticearovnapočtuprvkůmnožiny A. Upravíme matici A na řádkově odstupňovaný tvar: A= Vidíme, že r(a) =. Proto je množina A lineárně závislá. Cvičení 6.. Rozhodněte, které z těchto množin reálných vektorů jsou lineárně závislé. A= { (,,,) T,(,4,0,0) T,(0,,,) T,(,,,0) T }, B= { (,,) T,(,,) T,(,,) T,(0,,) T }, C= { (,,0,,) T,(,0,,0,) T,(,,, 3,0) T,(,0,0,, ) T }. Řešení.Jsoutomnožiny Ba C. Cvičení6..Rozhodněte,zdajemnožina A={(0,,,) T,(,0,,) T, (,,0,) T,(,,,0) T }reálnýchvektorůlineárnězávislá.rozhodněte, zdajemnožina Alineárnězávislájde-liovektorynadtělesemZ 3. Řešení. Množina A je lineárně nezávisla nad R a lineárně závislá nad Z 3. Příklad 6.. Určete báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) reálné matice 0 A= Řešení.Nejprveurčímebázepodprostorů R(A)aN(A).MaticiA převedemenařádkověodstupňovanýtvara : A= =A NenulovéřádkymaticeA tvoříbázipodprostoru R(A),tj. R(A)= L{(,,0,,) T, (0,0,,3,3) T }. Podle definice je N(A) podprostor všechřešení(x,x,x 3,x 4,x 5 ) T soustavylineárníchrovnic x +x +x 4 + x 5 =0 3x +6x + x 3 +9x 4 +6x 5 =0 x +4x + x 3 +7x 4 +5x 5 =0,. 5

26 6 PAVEL RŮŽIČKA kteráurčímezmaticea zpětnousubstitucí.zvolíme x, x 4 a x 5 volnýmiproměnnýmiapoložíme x = a, x 4 = b, x 5 = c.dostaneme x 3 = 3a 3cax = a b c,odkud N(A)={(,,0,0,0) T a+(,0, 3,,0) T b+(,0,3,0,) T c a, b, c, R}. Vektory(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0,3,0,) T tvoříbáziprostoru N(A). Báze prostorů S(A) a M(A) určíme obdobně, když si uvědomíme, že S(A)=R(A T )am(a)=n(a T ). A T = , odkudvidíme,žedvojicevektorů(,3,) T,(0,,) T tvoříbázipodprostoru S(A)azpětnousubstitucíspočítáme,že M(A)={(,,) T a a R},tj. M(A)=L{(,,) T }. Řešení. Budeme postupovat podobně jako v Úloze 6.6. Na rozdíl od prvního řešení spočítáme nejprve současně podprostory R(A) a M(A).Vezmemerozšířenoumatici(A I 3 )apomocíelementárních řádkovýchúpravjitransformujemetak,žematicevlevéčástijev řádkově odstupňovaném tvaru Vektory odpovídající nenulovým řádkům v levé části upravené rozšířené matice tvoří bázi podprostoru R(A). Řádek v pravé části upravené rozšířené matice, kterému odpovídá nulový řádek v levé části(vyznačen tučně) určuje, podle Tvrzení 6.5, vektor báze podprostoru M(A), tj. M(A)=L{(,,) T }.

27 Báze podprostorů S(A), N(A) určíme obdobně, když matici A nejdříve transponujeme , odkudvidíme,žemnožina {(,3,) T,(0,,) T }tvoříbázipodprostoru S(A)amnožina {(,,0,0,0) T,(,0, 3,,0) T,(,0, 3,0,) T } tvoří bázi podprostoru N(A). Cvičení 6.3. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených reálnou maticí A= Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,0,,,) T,(0,, 3,4, 5) T }, S(A)=L{(,3,4,) T,(0,,,) T }, N(A)=L{(,3,,0,0) T,(, 4,0,,0) T,(,5,0,0,) T }, M(A)= L{(,,,0) T,(,,0,) T }. Cvičení 6.4. Najděte báze prostorů R(A), S(A), N(A), M(A) určených maticí A= nadtělesemz 5. Řešení. Například(řešení samozřejmě není určeno jednoznačně) R(A) = L{(,4,,3) T,(0,,4,4) T }, S(A)=L{(,3,3,3) T,(0,,4,0) T }, N(A)= L{(4,,,0) T,(3,,0,) T }, M(A)=L{(3,3,,0) T,(0,3,,) T }.. 7

28 8 PAVEL RŮŽIČKA Příklad 6.3. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostoryreálnýchmaticaab,jestliže A= a B= Řešení.Prostory R(A)aR(B)jsoushodnéprávěkdyžjemožnépomocí elementárních řádkových úprav převést matici A na matici B a tojemožnéprávěkdyžjsoushodnéprostory N(A)aN(B).Tedy, R(A)=R(B)právěkdyž N(A)=N(B).Podobněplatí S(A)= S(B) právě když M(A) = M(B). Stačí tedy porovnat řádkové a sloupcové prostory obou matic, což je úloha analogická Příkladu 5.. Podobně jako v prvním řešení tohoto příkladu porovnáme redukované řádkověodstupňovanétvarymaticaab,resp.a T ab T : A= =E A; B= =E B.

29 Vidíme,žeE A =E B,odkudplyne,že R(A)=R(B)aN(A)=N(B). ZbýváporovnatmaticeE A TaE B T A T = B T = =E A T; =E 6 B T VtomtopřípaděnejsoumaticeE A T ae B T shodnéaproto S(A) S(B)stejnějako M(A) M(B). Cvičení 6.5. Porovnejte řádkové, sloupcové, pravé a levé nulové prostorymaticaabnadtělesemz 3,jestliže A= 0 0, B= Řešení. R(A) R(B), N(A) N(B), S(A)=S(B)aM(A)= M(B). Problém6.6.BuďAreálnámaticetvaru m n.dokažte,že R(A) N(A)=0. Návod.Využijtetoho,žeprokaždýnenulovývektorv R n platí v T v 0.]

30 30 PAVEL RŮŽIČKA Problém6.7.Dokažte,žeprokaždoureálnoumaticiAtvaru m n platí (6.) r(aa T )=r(a). Návod. Návod: Využijte Problém 6.7 a Tvrzení 6.9. Problém 6.8. Dokažte, že rovnost(6.) neplatí pro matice nad tělesy konečné charakteristiky. Příklad6.4.Nechť X jelineárníobalvektorůx =(,0,,) T,x = (,,3,) T,x 3 =(0,,, ) T ax 4 =(3,,4,) T,nechť Yjelineární obalvektorůy =(,0,,) T,y =(,,0,3) T,y 3 =(,,3,) T a y 4 =(0,,,) T.Určetedimenzepodprostorů X, Ya X Yprostoru R 4. Řešení.Podprostory X,resp. YvektorovéhoprostoruR 4 jsourovny řádkovým prostorům matic X= 0,resp.Y= aprotodim X = r(x)adimy = r(y).hodnostimaticx,resp.y určímezjejichřádkověodstupňovanýchtvarů X,resp.Ỹ.Platí 0 0 X X= 0 a Y 0 0 Ỹ= atedydim X=dim Y=3.DálevyužijemeTvrzení6. (6.) dim(x+ Y)+dim(X Y)=dim(X)+dim(Y) Dimenzeprostoru X+ YjerovnahodnostimaticeZjejížsloupcejsou tvořenynenulovýmiřádkymatic X T aỹt atedy S(Z) = X+ Y. Hodnost matice Z určíme z opět jejího řádkově odstupňovaného tvaru. Z= Vidíme,že r(z)=4atedydim(x+y)=4.dosazenímdovztahu(6.) dostaneme,že4+dim(x Y)=6,odkudplyne,žedim(X Y)=..

31 Cvičení6.9.Nechť X= L{(,0,,0) T,(,,,) T,(,0,, ) T, (,,3,) T }ay= L{(,0,0,) T,(,,0,) T,(,3,,0) T,(4, 5,,3) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 4.Určetedimenze X, Yadimenziprůnikuprostorů X Y. Řešení.dim X=dim Y=3,dim(X Y)=. Cvičení6.0.Nechť X= L{(,0,,,3) T,(,,3,0,3) T,(0,,0, 3,3) T, (,3,8,4,6) T }ay= L{(,,0,0, 6) T,(0,,,4, ) T,(, 3,,4,4) T } jsoupodprostoryvektorovéhoprostoru R 5.Určetedimenzepodprostorů X, Y, X+ Ya X Y. Řešení.dim X=3,dim Y=,dim(X+ Y)=4,dim(X Y)=. Příklad6.5.Nechť X= {(,,0) T,(,,) T,(, 3, ) T }ay= {(,, ) T,(,,0) T,(0,4, ) T }jsoupodprostoryprostoru R 3.Nalezněte bázi podprodstoru X Y. Řešení.Platí X= R(X)aY= R(Y),kde 0 X= ay= Matice X a Y upravíme na řádkově odstupňovaný tvar. Dostaneme 0 X 0 a Y Položmex = (,,0) T,x = (0,,) T,y = (,, ) T ay = (0,4, ) T.Vektorzležívprůnikupodprostorů X a Y právěkdyž existujískaláry a, a, b a b Rtakové,že a x + a x = z = b y +b y.řešmehomogennísoustavulineárníchrovnic(sneznámými a, a, b, b ). (6.3) a x + a x b y b y = Zvolíme b volnouproměnnouapoložíme b = α.zpětnousubstitucí dostanemeřešení b = 4 5 α, b =α, a = 5 α, a = αsoustavy (6.3). Průnik podprostorů X a Y určíme z prvních dvou složek tohoto řešení. X Y= { α(,,0) T + α 5 (0,,)T α R}={β(5, 4,) β R}.. 3

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lineární (ne)závislost

Lineární (ne)závislost Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:

pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků: Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více