Laboratorní úloha č. 3 Spřažená kyvadla. Max Šauer

Transkript

1 Laboratorní úloha č. 3 Spřažená kyvadla Max Šauer 17. prosince 2003

2 Obsah 1 Úkol měření 2 2 Seznam použitých přístrojů a pomůcek 2 3 Výsledky měření Stanovení tuhosti vazbové pružiny Vlastní kruhová frekvence kyvadel Kruhové frekvence Počáteční podmínky (a) Počáteční podmínky (b) Počáteční podmínky (c) Koeficient vazby κ Výpočet tuhosti vazbové pružiny k Výpočet kruhových freckvencí ω 1, ω 2, ω Výpočet momentu setrvačnosti J Závěr 9 1

3 1 Úkol měření 1. Změřte tuhost vazbové pružiny. 2. Změřte vlastní kruhovou frekvenci kyvadel. 3. Změřte kruhové frekvence kyvadel, koeficient vazby pro různé počáteční podmínky a různou polohu vazbové pružiny. 4. Proveďte porovnání mezi naměřenými a vypočtenými výsledky, viz postup měření. 5. Vypočtěte moment setrvačnosti kyvadel. 6. U všech naměřených a vypočtených veličin určete chybu měření. 2 Seznam použitých přístrojů a pomůcek Fyzická kyvadla, závěsy se snímačem, vazbová pružina, dva čítače kyvů se stopkami, stopky, pravítko, ocelové měřítko, přípravek k měření protažení pružiny se dvěma závažími, laboratorní váhy se sadou závaží. 3 Výsledky měření 3.1 Stanovení tuhosti vazbové pružiny Na přípravku změříme prodloužení pružiny nejdříve s jedním a pak se dvěma 30g závažími, a poté podle vztahu (1) podle [1] vypočteme tuhost k. k = (2M M)g y Výsledná tuhost: k = 0.03 g = N m kde g = ms 2 je tíhové zrychlení. Dále stanovíme chybu. Při použití pásového měřidla uvažujeme chybu 0.5 mm, pro zjišťování hmotnosti 2 (1)

4 Obrázek 1: Schema kyvadel na laboratorních vahách chybu 0.5 g. Chybu tuhosti stanovíme podle vztahu (2). ( k ) 2 ( ) 2 k k = y y 2 + M M 2 (2) k = 0.31 N m 1 k = (11.77 ± 0.31) N m 1 Hmotnost jednoho závaží[g] 30.0 ± 0.5 Prodloužení y [mm] 25.0 ± 0.5 Tuhost pružiny k[n m 1 ] ± Vlastní kruhová frekvence kyvadel Změříme dobu 100 kyvů obou kyvadel, abychom ověřili jejich identitu. Chyba zařízení měřícího kmity je s Charakteristiky kyvadel: Vzdálenost těžiště od osy otáčení L = (490.0 ± 0.5) mm 3

5 Hmotnost m = ( ± ) kg kyvadlo τ 0 [s] τ 0 = (0.773 ± 0.005) s τ jsme stanovili pomocí aritmetického průměru. Vlastní kruhovou frekvenci spočteme ze vztahu ω 0 = 2πf = 2π T = π τ 0. (3) Stanovíme chybu: ( π ω 0 = τ 2 0 ) 2 τ 2 0 (4) ω 0 = π = (4.064 ± 0.026) rad s Kruhové frekvence Počáteční podmínky (a) Při tomto měření vychýlýme kyvadla na stejnou stranu, takže ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ max. Kruhovou frekvenci spočítáme opět ze vztahu (3), její chybu z (4). Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. kyvadlo τ 0 [s] τ = (0.768 ± 0.005) s ω 0 = (4.091 ± 0.027) rad s 1 4

6 kyvadlo τ 0 [s] τ = (0.768 ± 0.005) s ω 0 = (4.091 ± 0.027) rad s Počáteční podmínky (b) Obě kyvadla vychýlíme o stejnou výchylku ϕ m na opačné strany. Kruhovou frakvenci opět pomocí vztahů (3), (4). Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. kyvadlo τ 1 [s] τ = (0.661 ± 0.005) s ω 1 = (4.753 ± 0.036) rad s 1 kyvadlo τ 1 [s] τ = (0.594 ± 0.005) s ω 1 = (5.289 ± 0.045) rad s Počáteční podmínky (c) Nyní kyvadlo č.2 vychýlíme o úhel ϕ m a kyvadlo č.1 podržíme v rovnovážné poloze. Dobu kyvu změříme pomocí čítače rázů u kyvadla č.2 (pomocí které ze vztahu (3) určíme ω 3 ), na prvním kyvadle změříme periodu rázů. Budeme měřit dobu po puštění kyvadel, za kterou kyvadlo dosáhne 6. maxima. Pro výpočet odpovídající kruhové frekvence upravíme proto vztah (3) takto: ω 2 = 6 2π T 6r = 6π τ 6r (5) 5

7 Chybu ω 2 stanovíme ze vztahu ( 6π ω 2 = τ 2 6r ) 2 τ 2 6r (6) Naměřené T 6r = (56, 8 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 t r [s] τ 0 [s] 9.5 ± ± ω 2 = (0.331 ± 0.012) rad s 1 Nyní doplníme ω 3 a její chybu podle (3), (4). Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. ω 3 = (4.251 ± 0.029) rad s 1 Naměřené T 6r = (31, 1 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 t r [s] τ 0 [s] 5.18 ± ± ω 2 = (0.606 ± 0.039) rad s 1 ω 3 = (4.431 ± 0.031) rad s Koeficient vazby κ Koeficient vazby κ stanovíme pomocí [1] (vztahy 3.39, 3.40). Chybu κ 1, κ 2 pomocí [1],(2.27) takto: 6

8 ( ) 4ω1 ω 2 2 ( ) 0 4ω 2 2 κ 1 = ω 2 (ω1 2 + ω0) ω 0 ω 2 (ω1 2 + ω0) (7) κ 2 = (2ω3 (ω3 2 ω2) 2 (ω2 2 + ω3) 2 2 ) 2 ω ( 2ω2 (ω 2 2 ω 2 3) (ω ω 2 3) 2 ) 2 ω 2 3 (8) κ 1 = (0.149 ± 0.010) rad s 1 κ 2 = (0.155 ± 0.009) rad s 1 Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. κ 1 = (0.251 ± 0.012) rad s 1 κ 2 = (0.269 ± 0.011) rad s Výpočet tuhosti vazbové pružiny k Ze vztahu (3.39) z [1] si vyjádříme tuhost k: k = κmgl l 2 (1 κ) (9) Pro výpočet použijeme vypočtené κ pro ω 0 a ω 1, protože odečet rázů není přesný. Charakteristiky kyvadla (viz obrázek): L = (490 ± 0.5) mm m = ( ± 0.5) g k = (11.28 ± 0.05) N m 1 7

9 Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. k = (11.34 ± 0.05) N m 1 Průměrnou tuhost stanovíme z aritemtického průměru: k = (11.31 ± 0.05) N m Výpočet kruhových freckvencí ω 1, ω 2, ω 3 Na základě (3.42) z [1] ověříme kruhové frekvence výpočtem. 2kω 2 ω 1 = 0l 2 mgl + ω2 0 ω 2 = kω 0l 2 2mgL ω 3 = kω 0l 2 2mgL + ω 0 ω 1 = rad s 1 ω 2 = rad s 1 ω 3 = rad s 1 Pro délku l 2 = ± 0.5 mm. ω 1 = rad s 1 ω 2 = rad s 1 ω 3 = rad s 1 8

10 3.7 Výpočet momentu setrvačnosti J Na základě (3.13) z [1] stanvíme vztah pro moment setrvačnosti J: J = mgl ω 2 0 (10) Chyba J: (gl ) 2 ( ) 2 ( ) 2 gm 2gLm J = m + L + ω0 2 (11) ω 2 0 ω 2 0 J = (0.358 ± 0.026) kg m 2 ω Závěr Vypočtená tuhost pružiny k se od naměřené liší o 3.908%. Hodnoty kruhových frekvencí změřené z doby kyvu a hodnoty vypočtené z naměřené vzdálenosti těžiště L a vzdálenosti vazebné pružiny l se výrazněji liší v případě ω 2, protože zde je měření nejvíce ovlivněno nepřesností při odečtu periody rázů, kdy se nedá přesně určit, kdy k rázu přesně došlo. Touto nepřesností je ovlivněno i měření tuhosti pružiny. Ověřili jsme, že pokud jsou kyvadla rozkývána se stejnou fází, nepřenáší se žádná enrgie a kruhová frekvence není nijak ovlivněna připojenou pružinou a je tedy stejná jako ω samotného kyvadla. Pokud rozkýváme kyvadla s opačnou fází, má kruhová frekvence ω 1 větší hodnotu než ω 0 a je úměrná vzdálenosti vazebné pružiny od osy otáčení. 9

11 Literatura [1] Bednařík, Koníček, Jiříček: FYZIKA I A II Fyzikální praktikum, ČVUT