VÝZKUMNÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ
|
|
- Josef Blažek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VÝZKUMNÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ JAN KOPKA Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, UJEP, České mládeže 8, Ústí nad Labem, Česká republika Abstract: KOPKA, J.: Investigative Strategies for Problem Solving. Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, 2005, pp Investigation is not only a method for a teacher to use in teaching mathematics, but also for a student to use in learning the subject. Thus, this book is for both teachers and students. The book has a practical character. We wish to demonstrate the method of investigation to teachers and to help them see school mathematics from this perspective. To this end, we present many investigated situations and also many problems solved in detail. We feel that the situations and problems we present can help the student to learn and appreciate the true nature of mathematics and indeed, begin investigations of his own. Key Words: investigative strategies, problem solving Kniha Výzkumný přístup při výuce matematiky, z níž budu uvádět příklady, je volným pokračováním knihy Hrozny problémů ve výuce matematiky. Nejprve jsou zde vysvětleny pojmy heuristické strategie, přičemž hlavní pozornost je věnovaná strategiím výzkumným. Dále je objaněno, co autor rozumí pod pojmem výzkumný přístup při výuce. Potom je uvedena řada problémů, při jejichž řešení je možné s výhodou tyto výzkumné strategie využít. V poslední kapitole jsou zkoumány různé matematické situace. Výsledkem tohoto zkoumání je obvykle hypotéza. Po provedení důkazu je tato hypotéza přejmenována na větu. Kniha je psána pro didaktiky, učitele, ale i studenty. Výzkumný přístup by jim měl pomocí dostatečného počtu konkrétních příkladů přejít do krve a měli by tak začít vidět školskou matematiku právě z tohoto hlediska. Zdůrazněme, že výzkumný přístup je jedna z metod, jak matematiku učit, ale je to také metoda, jak se matematiku učit. Náplní tohoto článku je ukázat výzkumné strategie a to na příkladech, které lze využít na prvním stupni ZŠ. Problém 1: Farmář pěstuje zelí vždy na čtvercovém záhonu. Tento rok obsahuje jeho čtvercový záhon o 23 hlávek zelí více než loňský rok. Kolik hlávek zelí pěstuje letos? Řešení: a) Strategie Systematické experimentování Počet hlávek zelí v každém roce je vyjádřen čtvercovým číslem, tj. některým z čísel 1, 4, 9, 16, (viz obr. 1).... Obr. 1 Tento rok farmář pěstuje o 23 hlávek zelí více, tzn. letošní počet odpovídá čtvercovému číslu o 23 většímu než vloni. Budeme tedy experimentovat. V letošním roce může být počet 145
2 = 24, = 27, = 32,.. Aby zkoumaná čísla byla přehledně zapsána, sestavíme z nich tabulku: vloni letos nejsou čtvercová je č. není č. Nyní budeme zkoumat druhý řádek tabulky. Protože 144 je čtvercové číslo, neboť 144 = 12 2, našli jsme jedno řešení. Další řešení neexistují, protože diference mezi čtvercovými čísly se stále zvětšuje, a tedy již nikdy nebude 23 (Lze ukázat opět pomocí zkoumání a následného důkazu, že diference tvoří posloupnost za sebou jdoucích lichých čísel 3, 5, 7, ). Odpověď: V letošním roce pěstuje farmář 144 hlávek zelí. b) Strategie Grafické znázornění neboli geometrická cesta. Řešení bude reprezetováno následujícími čtyřmi čtverci (viz obr. 2): Čtverec A Čtverec B Čtverec C Čtverec D Obr. 2 Čtverec A představuje záhon v loňském roce. Protože nevíme, kolik hlávek obsahoval, nevyplníme ho. Čtverec B představuje rozšířený záhon v letošním roce. Jako znázornění cílového stavu jej také nevyplníme. Další dva čtverce můžeme nazvat pracovní. Do rozšíření čtverce C doplníme vhodným způsobem hlávky zelí, které jsou navíc. Po všech možných pokusech (experimentování) zjistíme, že to lze jediným způsobem: 23 = (viz obr. 4). Nyní můžeme doplnit celý čtverec D a získáme tak odpověď na předloženou otázku (odpověď viz výše) C D Obr. 3 c) Strategie Algebraická cesta Označíme x 2 počet hlávek zelí tento rok a y 2 počet hlávek v minulém roce. Pak můžeme sestavit rovnici x 2 y 2 = 23. Levou stranu lze rozložit a tak dostaneme (x + y)(x y) =
3 Čísla x + y a x y jsou přirozená a číslo x + y je větší než x y. Číslo 23 je prvočíslo a má pouze dva dělitele: 1 a 23. Proto můžeme sestavit soustavu rovnic: x + y = 23 x y = 1 Řešením této soustavy dostaneme [x, y] = [12, 11]. (Odpověď viz výše.) Na závěr řešení problému 1: Uvedená tři řešení představují vlastně tři různé přístupy: a) experimentální (také bychom mohli říci numerický nebo aritmetický), b) geometrický a c) algebraický. Při řešení a) lze také využít kalkulátor. Každé z těchto řešení navíc ukazuje jinou heuristickou strategii. Řešení a) představuje systematické experimentování vedoucí k vytvoření tabulky, kterou následně zkoumáme. Řešení b) ukazuje využití grafického znázornění (i v průběhu tohoto řešení experimentujeme) a řešení c) modelování situace pomocí rovnice. Zatím co první dvě strategie představují velmi konkrétní nástroje, je poslední strategie mnohem abstraktnější nástroj. Zde již student musí znát příslušné partie z algebry. Pokud jsme vyřešili problém 1 říkejme mu základní, můžeme začít vytvářet další problémy, které s ním souvisejí. Tímto způsobem vznikne hrozen. Jak tyto problémy vytváříme? Např. takto: a) Změníme numerické zadání, tzn. změníme číslo, jímž se liší počet hlávek v letošním a v loňském roce. Tento rozdíl bude např. 7 nebo 40 nebo 11. Pokud zvolíme např. číslo 22, problém nebude mít řešení 6. b) Změníme tvar záhonů. Záhony budou tvořit např. rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky (jim odpovídají tzv. trojúhelníková čísla) nebo obdélníky určitého typu (jim odpovídají určitá obdélníková čísla) atd. c) Změníme počet záhonů. Zelí může být pěstováno na dvou nebo i více záhonech. Řekněme ještě, že každý problém má v sobě parametry, jejichž nahrazením jinou hodnotou dostáváme nové problémy tvořící náš hrozen. Je velmi cenné, když do tvorby těchto nových problémů vtáhneme i studenty. Je to však dlouhodobá záležitost. Ve školské praxi nemusí být vytvářený hrozen příliš velký. Ještě bychom měli zdůraznit, že při vytváření nových problémů určitého hroznu začínáme používat obecnou výzkumnou strategii neakceptování daného. Základní problém totiž začínáme měnit. Problém 2: Prasata a slepice Tentýž farmář jako v předchozím problému jednou vyhlédl z okna na dvorek. A protože jeho dcera potřebovala procvičování v matematice, povídá jí po chvilce: Na dvorku jsou pouze prasata a slepice. Napočítal jsem tam 23 hlav a 76 nohou. Můžeš mi říci, kolik je tam prasat a kolik slepic? Řešení: a) Strategie Pokus a omyl Řeší-li žák úlohu pomocí této strategie, může zápis jeho řešení vypadat následovně: 10.4 = = = = = = = = = = Žák volí zcela náhodně počet prasat a slepic, ale tak, aby jich bylo dohromady 23 (23 hlav). Pak počítá, kolik nohou jeho volbě odpovídá. Pokud se mu podaří dostat 76 nohou, získal jedno možné řešení. Odpověď: Na dvorku je 15 prasat a 8 slepic. Je to nejjednodušší možná metoda, ale nemusí vést rychle k nalezení řešení nebo nemusí vést k nalezení řešení vůbec. 6 Více o počtu řešení viz knížka [2]. 147
4 b) Strategie Odhad-ověření-oprava Při této strategii můžeme naše odhady zaznamenávat do tabulky (viz tab. 1). Tato tabulka nám pak může pomoci odhalit zákonitost, která povede k řešení. K tomu je vhodný právě poslední pracovní sloupec, který v našem případě ukazuje, jak se při změnách počtu jednotlivých druhů zvířat mění počty nohou. Součet čísel v prvních dvou sloupcích dává 23. Tyto počty zvířat měníme tak, aby se počty nohou ve třetím sloupci co nejrychleji dostaly na číslo 76. Tato strategie je v určitém smyslu zdokonalením strategie předchozí. Při experimentování se snažíme objevit zákonitost, která nám umožní dostat se co nejrychleji k řešení. Počet prasat Počet slepic Počet všech nohou Rozdíly První odhad Druhý odhad Třetí odhad Čtvrtý odhad Tab. 1 c) Strategie Vytvoření náčrtku neboli geometrická cesta Načrtnutí obrázku obvykle umožní vhled do problematiky a také může umožnit nalezení řešení. Můžeme postupovat např. tak, že si načrtneme 23 oválků odpovídajících počtu zvířat na dvoře a u každého zakreslíme 2 nohy. Pak dokreslujeme k zvířatům po dvou nohách (tím nahrazuje slepice prasaty) tak dlouho, až splníme požadavek, že nohou je 76. Získané řešení je znázorněno na obr. 4. Takovéto řešení vyhovuje především mladším dětem, zvláště, když zadaná čísla jsou malá. Obr. 4. Pokročilejší fáze tohoto přístupu by mohla vypadat následovně: 23.2 nohy je 46 nohou, zbývá 30, které v párech mohu přikreslit 15-ti zvířatům. Tady vycházíme z obrázkového řešení, ale obrázek si jen představujeme a při tom počítáme. d) Strategie Algebraická cesta Jestliže počet prasat označíme p a počet slepic s, pak můžeme sestavit následující soustavu rovnic p + s = 23 4p + 2s = 76. Vyřešením této soustavy dostaneme [p, s] = [15, 8]. Obě první metody představují výzkumný přístup k řešení problému. Grafické řešení může podstatně přispět k vytvoření dobrého vhledu do problému a také dokonce vede k vyřešení. Je to velmi názorný a konkrétní nástroj. I toto řešení v sobě zahrnuje experimentování dokonce systematické. Algebraické řešení je opět abstraktnější nástroj než řešení předchozí. Po vyřešení problému 2 je velmi vhodné žákům zadat problémy, které se dají řešit obdobně. Tyto problémy pak spolu se základním problémem tvoří hrozen problémů. Ukažme několik takovýchto problémů: Při jejich řešení vystoupí do popředí strategie, o nichž jsme právě hovořili. 148
5 Problém 3: Farmář se dívá z okna a vidí prasata a slepice. Říká dceři: Napočítal jsem 169 hlav a 398 nohou. Kolik je prasat a kolik slepic? (Nejjednodušší obměnou základního problému je pouhá změna numerického zadání, tzn. počtu hlav a nohou.) Problém 4: Marťanský farmář se dívá z okna a vidí na dvoře trojnožky a pětinožky. Povídá svému synovi: Napočítal jsem 97 hlav a 436 nohou. Kolik je trojnožek a kolik pětinožek? (Další obměna základního problému se týká i počtu nohou u jednotlivých druhů zvířat.) Problém 5: V prodejně jízdních kol mají kola a tříkolky. Dohromady mají 32 sedel a 72 kol (ráfků). Kolik je v prodejně jízdních kol a kolik tříkolek? (Podstatně jsme změnili obsah.) Problém 6: Na koncert bylo prodáno 600 lístků a utržilo se Kč. Lístky stály 20 a 50 korun. Kolik kterých prodali? (Opět jsme změnili obsah problému.) Problém 7: Na planetě Drakon žijí draci a drahouši. Drak má 7 hlav a 5 nohou a drahouš 3 hlavy a 6 nohou. Astronauti na planině napočítali 135 hlav a 155 nohou. Kolik draků a kolik drahoušů astronauti viděli? Problém 7 např. vytvořili žáci 9. třídy při jednom našem experimentu. Závěr Ukázali jsme, že exituje celá řada strategií, jak řešit problémy. Mezi nimi by měly zaujímat významné místo právě výzkumné strategie, a to i na 1. stupni ZŠ. Literatúra [1] KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice, Acta Universitatis UJEP Ústí nad Labem, 1999; [2] KOPKA, J.: Výzkumný přístup při výuce matematiky, Acta Universitatis UJEP Ústí nad Labem,
UKÁZKY HEURISTICKÝCH STRATEGIÍ Jan Kopka
UKÁZKY HEURISTICKÝCH STRATEGIÍ Jan Kopka ABSTRACT: This paper shows how to solve problems with the help of different heuristic strategie. In this way is presented here several basic strategie. Matematické
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY Petr Eisenmann, Jiří Přibyl PřF UJEP Ústí nad Labem Abstrakt: Náš příspěvek popisuje možnosti systematického experimentování pomocí počítače jako prostředku
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VYUŽITÍ EXPERIMENTOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ VE ŠKOLSKÉ MATEMATICE
DOI: 10.5507/tvv.2016.001 VYUŽITÍ EXPERIMENTOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ VE ŠKOLSKÉ MATEMATICE ANTOŠ Karel, CZ Resumé Článek Využití experimentování při řešení problémů ve školské matematice chce ukázat,
Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D., jana.prihonska@tul.cz, linka 2370 Rozdělení úloh Podle obsahu, zadání, požadavku Podle využité řešitelské strategie Podle poznávacích procesů Podle
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:
Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni
Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni Jarmila Novotná Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta 1 Úvod: Řešení úloh Všeobecně přijímáno: Základem úspěšného vyučování
Heuristiky ve výuce matematiky
Heuristiky ve výuce matematiky Petr Eisenmann Univerzita J. E. Purkyně Ústí nad Labem, Přírodovědecká fakulta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 1 / 60 Autoři Tato prezentace popisuje
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické
Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU
Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU blazkova@ped.muni.cz V úvodu si položme několik otázek: - Proč řešíme slovní úlohy? - Je řešení slovních úloh žáky oblíbené? - Jaká tématika slovních
Výuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání Závěrečná práce Výuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické Vypracoval:
56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší,
6 ročník Matematické olympiády Komentáře k domácímu kolu kategorie Z8 1 Z číslic 1,2,,9 jsme vytvořili tři smíšená čísla a b c Potom jsme tato tři čísla správně sečetli Jaký nejmenší součet jsme mohli
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
Úlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky
Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Analysis of Educational Needs and Competencies of Primary School Teachers
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Nestandardní aplikační úlohy a problémy Gradovaný řetězec úloh Téma: Výrazy s proměnnou / Obsah
Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 12 Diofantovské rovnice O čem budeme hovořit: Lineární neurčité rovnice a jejich řešení Diofantovské rovnice a jejich řešení Začněme
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE
3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Cvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
I. kolo kategorie Z7
60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Posloupnosti
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ ROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 :. dubna 07 D : 807 P P P : 30 M. M. : 30 : 9,0 M. : 7,9 % : -7,3 M. P : -,5 : 5,0 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Úlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.
Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.
Test Matematika Var: 101
Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D
NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Fakulta přírodovědněhumanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci Abstrakt: V
Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!
Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V
Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi
Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi Mathematics in Elementary School with Focus on Geometry Utilization in Practice Jitka Hodaňová MESC: D40 Abstract The article describes
MATEMATIKA HEJNÉHO. S jakými jste přišli otázkami?
MATEMATIKA HEJNÉHO S jakými jste přišli otázkami? Desatero pro rodiče Věřme tomu, že děti jsou chytré a že jsou schopny při dobrém vedení většinu matematických poznatků objevit samy. Raději nehodnoťte.
Slovní úlohy o směsích. směsi. Výkladová úloha. Řešené příklady. roztoky. Výkladová úloha. Řešené příklady
Slovní úloh o směsích směsi Výkladová úloha Řešené příklad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 roztok Výkladová úloha Řešené příklad 11 12 13 14 15 16 Slovní úloh (směsi) V masně vrábějí mletou masovou směs z vepřového
METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ
Smolenice 0. 4.-. 4. 005 METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ RŮŽENA BLAŽKOVÁ Katedra matematiky, Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně, Poříčí 31, 603
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
U Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda
@112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:
BADATELSKY ORIENTOVANÉ VYUČOVÁNÍ MATEMATIKY
BADATELSKY ORIENTOVANÉ VYUČOVÁNÍ MATEMATIKY Libuše Samková Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Abstrakt: Badatelsky orientovaná výuka je výuka inspirovaná bádáním a badatelskými
Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová
Tematický plán učiva Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová 1. Používá čtení a psaní v číselném oboru 0 1 000 000. 2. Rozumí lineárnímu uspořádání
SOUBOR OTÁZEK. ročník
2015 SOUBOR OTÁZEK 4. ročník Co je Pangea a jaká je její filozofie? V dávných dobách prvohor a druhohor, tedy přibližně před 300 miliony let, nebyly jednotlivé kontinenty na naší planetě ještě rozdělené,
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T BŘEZNA 07 D : 4 BŘEZNA 07 P P P : 964 : 0 M M : 0 : 8,8 M : 8,8 % S : -7,5 M P : -,5 :,8 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na
Fibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel
Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11
Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Přijímací zkouška z matematiky 2017
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2017 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 Příklad 1. (3b) Mějme dvě čísla zapsaná v pětkové soustavě: 4112 5 a 2443
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz
Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Tato aplikace je koncipována jako hra, může být použita k demonstraci důkazu. Může žáky učit, jak manipulovat s dynamickými objekty,
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet
Úlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3
1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Kód uchazeče ID:... Varianta:
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 01 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1. Mějme dvě čísla zapsaná v sedmičkové soustavě 3456 7 a 3310 7. Vyjádřete
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia
MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0
Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů
Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů 1) Kolika způsoby lze zaplatit částku 50 Kč, smíme-li použít pouze mince v hodnotě 1 Kč, 5 Kč a 10 Kč? ) Umocněte: 1 7 p3 q 3 r + 7pq r 3 = 3) Přeložíme-li
Úlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
GEOMETRICKÉ KONSTRUKCE V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ MATEMATIKY
GEOMETRICKÉ KONSTRUKCE V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ MATEMATIKY HODAŇOVÁ Jitka, CZ Resumé Studenti oboru Učitelství matematiky pro 2. stupeň základní školy budou u žáků základních škol rozvíjet prostorovou představivost
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět MATEMATIKA 1. OBDOBÍ Oblast:
Vzdělávací oblast: a její aplikace Vyučovací předmět MATEMATIKA 1. OBDOBÍ Období: 1. Číslo a početní operace Používá přirozená čísla k modelování reálných situací Počítá předměty v daném souboru Vytváří
Ma - 1. stupeň 1 / 5
1. ročník číst a zapisovat číslice 1-5 čtení a zápis číslic 1-5 OSV - osobnostní rozvoj - rozvoj schopností poznávání v oboru 1-5 porovnávání množství v oboru do 5 přečíst a zapisovat dle diktátu matematické
Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2
Vlastnosti posloupností 90000680 (level ): Je dána posloupnost (an + b), ve které platí, že a = a a 4 = 8. Potom: Posloupnosti a řady 900006807 (level ): Které z čísel 5, 5, 8, 47 není členem posloupnosti
Cvičná přijímací zkouška 16.1.2013. d) Kolikrát je součin čísel 163 a 48 větší než rozdíl čísel 385 a 377?
Cvičná přijímací zkouška 16.1.2013 1) Vypočítejte: a) 137 48 2769 = b) 36 2 11+ 36 2 16 + 55 2 30 + 56 2 15 = c) O kolik je rozdíl čísel 137 a 98 menší než jejich součet? d) Kolikrát je součin čísel 163
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE
MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE Číslo 8, ročník 5., vydané v decembri 2017 ISSN 1339-3189 Kontakt: info@mladaveda.sk, tel.: +421 908 546 716, www.mladaveda.sk Fotografia na obálke:
Diskrétní řešení vzpěru prutu
1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
Otázky z kapitoly Posloupnosti
Otázky z kapitoly Posloupnosti 8. září 08 Obsah Aritmetická posloupnost (8 otázek). Obtížnost (0 otázek)........................................ Obtížnost (0 otázek).......................................
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně
MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.
Klauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE
VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Miroslava Huclová Katedra výpočetní a didaktické techniky, Fakulta pedagogická, ZČU, Plzeň Abstrakt: Příspěvek demonstruje použití systému počítačové
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
Úlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
Úlohy krajského kola kategorie C
68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Každé pole tabulky 68 68 máme obarvit jednou ze tří barev (červená, modrá, bílá). Kolika způsoby to lze učinit tak, aby každá trojice
HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics
Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních