METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ

Transkript

1 Smolenice METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ RŮŽENA BLAŽKOVÁ Katedra matematiky, Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně, Poříčí 31, Brno, Česká republika blazkova@ped.muni.cz Abstract: BLAŽKOVÁ, R.: The Methods of Work in the Primary school and in mathematical education of primary school teachers. Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, 005, pp School mathematics provides a lot of possibilities how to use inductive and deductive procedures in teaching. The concrete illustrations of some examples are mentioned in the report. Key Words: Mathematical education, inductive and deductive methods, education of primary school teachers. Úvod Matematika existuje již mnoho století jako deduktivní věda, která své nepřeberné množství geniálních vědeckých poznatků opírá o několik základních předpokladů, axiomů. Matematika jako školní předmět obsahuje určitou podmnožinu těchto poznatků, avšak v jisté didaktické transformaci. Co je nutné zajistit, je to, aby matematika vědecká i matematika školská vycházely z těchže základních pojmů a aby didaktická transformace nebyla v rozporu s matematikou vědeckou, tj. aby se jedenkrát naučené poznatky v určitém zjednodušení nemusely budoucnu učit znovu a jinak. Ve školské praxi učitelé řeší, mimo jiné, problém jakou část vyučovacího času je třeba věnovat nácviku pamětného počítání, algoritmů, řešení slovních úloh apod., kolik času věnovat aplikacím a praktickému používání matematiky a kolik času může učitel věnovat procesům, kdy může vést žáky cestou myšlení a poznání a může jim ukázat krásu matematiky a matematického uvažování. Zkušený a dobrý učitel hledá rovnováhu mezi těmito přístupy využívá každé příležitosti, jak učivo obohatit. V rámci vzdělávání učitelů prvního stupně základní školy, zejména části jejich didaktické přípravy, jsme přistoupili k postupům, kdy jsme vybrali několik příkladů, které v podstatě procvičují učivo matematiky zařazené do výuky matematiky 1. stupně základní školy a přitom mohou být pro studenty formulovány jako věty a také jako matematické věty dokazovány. Uvedené příklady lze najít v dalších publikacích, náš přínos spočíval snad v tom, že jsme je sestavili do skupin podle učiva, kterého se týkají a že jsme studentům na příkladech ilustrovali možnosti induktivních a deduktivních přístupů. Hlavní řešené otázky byly: Jak to je? Proč tomu tak je? Indukce a dedukce Nejprve se studenti seznámili s pojmy indukce a dedukce s jejich přesným významem uvedeným v některých publikacích. Např. Slovník školské matematiky (7) uvádí: Indukce je přechod od výroků o několika předmětech daného druhu k výroku o všech předmětech tohoto druhu. Taková indukce se považuje a úplnou, jestliže východiskem úvahy byly výroky o všech 0

2 Smolenice jednotlivých předmětech uvažovaného druhu. V ostatních případech hovoříme o neúplné indukci. Ta vede jen k hypotézám. Matematická indukce je postup, který se užívá k důkazům určitých typů matematických vět a výrazů. Zakládá se na IV. Peanově axiomu přirozených čísel. Dedukce je v širším smyslu vyvozování nových poznatků z daných, a to pomocí pravidel formální logiky pro úsudky a důkazy. V užším smyslu se v tradiční logice chápala dedukce jako vyvozování výroků o jednotlivých předmětech z dané třídy na základě známých vět o všech objektech dané třídy. Slovník cizích slov (5) uvádí: Indukce jeden z typů úsudků a metoda zkoumání, kdy se na základě pozorování jednotlivých případů vyvozují všeobecné závěry. Postup od zvláštního k obecnému. Dedukce logické vyvození, způsob logického myšlení postupujícího od obecného pravidla k jednotlivému. Úsudek, ve kterém nová myšlenka logicky vyplývá z jistých tezí vystupujících v roli obecného pravidla platného pro všechny jevy dané třídy. Ilustrovaný encyklopedický slovník (6): Indukce typ úsudků a metoda zkoumání, při níž se z jedinečných výroků usuzuje na obecný závěr. Úplná indukce enumerativní: úsudek, v němž obecný závěr plyne z premis shrnujících všechny jednotlivé případy, závěr je jistý. Neúplní indukce enumerativní: úsudek, v němž se vyvozuje obecný závěr z premis shrnujících některé jednotlivé případy, závěr je pouze pravděpodobný, je potvrzován premisami jen do určité míry. Dedukce typ úsudku a metoda zkoumání, při níž se z premis použitím určitých pravidel dospívá k novému tvrzení, tzv. závěru, důsledku. Je přechodem od obecného ke zvláštnímu. Deduktivní metoda způsob výstavby vědecké teorie založený pouze na dedukci. Uplatňuje se zpravidla v těch případech, kdy byl nahromaděn a teoreticky vyložen empirický materiál, který chceme uvést v systém, abychom mohli odvodit všechny důsledky plynoucí z přijatých předpokladů. Takto vybudovaná vědecká teorie je vědecká deduktivní soustava. Různé pokusy vést ostrou hranici mezi deduktivní metodou a induktivní se nezdařily, neboť obě metody jsou ve skutečnosti vnitřně spjaty. Pro studenty je však důležitý přechod od definic pojmů k praktickému uplatnění, tj. ilustrace induktivních a deduktivních postupů na konkrétních ukázkách, jak se v přímé výuce na základní škole mohou tyto přístupy uplatňovat. Chceme je připravit na situace, kdy se jich žáci zeptají proč to ak je?, jak je možné, že to tak vychází? a aby na ně byli schopni odpovědět. Uplatňování indukce a dedukce dále souvisí s pozorováním, vytvářením hypotéz, zkoumáním zákonitostí, zobecňováním. Ukázky příkladů A. Příklady, ve kterých se procvičují základní početní operace s přirozenými čísly. 1. Sčítejte postupně přirozená čísla od 1 do 10. Pozorujte součty a pozorujte další vyjádření čísel, která jsou součty: 1 + = 3 3 = (. 3) : 3 = = 6 6 = (3. 4) : 6 = 3.4 1

3 Smolenice = = (4. 5) : 10 = = = ( 5. 6) : 15 = = = (10. 11) : 55 = Úvaha čemu je roven součet n přirozených čísel Formulujeme větu : n( n +1) n = Dokážeme snadno matematickou indukcí Sčítejte postupně lichá přirozená čísla a pozorujte další zápisy: = 4 4 =. 4 = = 9 9 = = = = = = 5 5 = = 5 Formulujeme větu, kterou dokážeme matematickou indukcí: (n + 1) = n 3. Sčítejte postupně sudá přirozená čísla a pozorujte další zápisy: + 4 = 6 6 = = 1 1 = = 0 0 = = = 5. 6 Formulujeme větu: n = n(n+1) 4. a) Vypočítejte součet všech přirozených čísel od 1 do = b) Vypočítejte součet všech lichých přirozených čísel od do = 500 c) Vypočítejte součet všech sudých přirozených čísel od 1 do = 550 d) Ověřte, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí: a 1 + a a n = s n = n (a1 + a n ) 5. a) Zapište postupně základní spoje násobilek čísel: 3 a 7, 4 a 6, a 8, 1 a 9. Sledujte čísla zapsaná na místě jednotek a vzájemný vztah jednotlivých násobilek.

4 Smolenice b)počítejte součiny dvou sobě rovných činitelů sledujte číslo zapsané na místě jednotek 0. 0 = = 1. = = = = = = = = = 100 kdybychom v násobení sobě rovných činitelů pokračovali dále, zjistíme, že na místě jednotek jsou zapsána čísla: Dokažte, že druhá mocnina přirozeného čísla nemá na místě jednotek zapsáno číslo nebo Jestliže součet prvních deseti přirozených čísel je 55, odhadněte, jaký je součin těchto deseti čísel. Postupně násobte čísla 1., 1.. 3, ,... až Sleduje, jak rychle tato čísla rostou. Zjistěte, co znamená n!. 7. Počítejte součiny čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel a pozorujte další zápisy: = = = = = = = = = 360 Pokuste se formulovat větu, která vyjadřuje tyto rovnosti. 8. Násobte dvě po sobě jdoucí čísla a součin vynásobte čtyřmi. Ověřte, že platí následující rovnosti: = = = = = = = = 10 Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: 4n (n + 1) = (n + 1 ) - 1 B) Dělitelnost v oboru přirozených čísel 1. Ověřte,že platí (nejprve na konkrétních příkladech a potom dokažte): a) Součet dvou lichých čísel je číslo sudé. b) Součet dvou sudých čísel je číslo sudé. c) Součet sudého a lichého čísla je číslo liché. d) Součin dvou lichých čísel je číslo liché. e) Součin sudého a lichého čísla je číslo sudé. f) Součet dvou lichých po sobě jdoucích čísel je dělitelný čtyřmi.. Rozhodněte o pravdivosti vět: a) Součet dvou po sobě jdoucích mocnin čísla je vždy dělitelný třemi. b) Součet tří po sobě jdoucích mocnin čísla je vždy dělitelný sedmi. c) Jestliže je přirozené číslo dělitelné třemi a čtyřmi, pak je dělitelné dvanácti. d) Jestliže je přirozené číslo dělitelné dvěma a šesti, pak je dělitené dvanácti. 3. Zvolte si prvočíslo větší než tři, vynásobte je samo sebou a odečtěte 1. Ověřte, že toto číslo je dělitelné číslem = 4 4 = = = = =

5 Smolenice Formulujeme větu: Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak p 1 je vždy dělitelné číslem Zvolte si prvočíslo větší než 3, vynásobte je samo sebou, součin vynásobte dvěma a přičtěte 1. Ověřte, že toto číslo je dělitelné třemi = = = = = = Formulujeme větu: Nechť p je prvočíslo větší než 3. Pak p + 1 je vždy dělitelné třemi. 5. Zvolte si prvočíslo větší než, vynásobte je samo sebou, součin vynásobte třemi a přičtěte pět. Ověřte, že toto číslo je dělitelné čtyřmi = 3 3 = = = = = Nechť p je prvočíslo větší nebo rovno číslu 3. Pak 3p +5 je vždy dělitelné čtyřmi. C) Úlohy podporující numeraci v oboru přirozených čísel a přispívají k rozvoji kombinačního myšlení 1. Zvolte si tři různá jednociferná čísla a sečtěte je. Pomocí tři číslic (kterými jste zapsali jednociferná čísla) zapište všechna trojciferná čísla tak, aby se číslice v zápisu čísla neopakovaly. Trojciferná čísla sečtěte (šest čísel) a součet vydělte součtem tří jednociferných čísel. Pokud dobře počítáte, vyjde vám. Dokažte, že tento výsledek vyjde pro libovolně zvolenou trojici přirozených čísel.. Vyberte si jedno trojciferné číslo z úl. 1 takové, aby rozdíl počtu stovek a počtu jednotek byl alespň. Zapište číslo s obráceným pořadím číslic a odečtěte od většího čísla menší číslo. Rozdíl je opět trojciferné číslo. Z čísla vytvořeného rozdílem zapište znovu číslo s obráceným pořadím číslic a obě čísla sečtěte. Pokud jste dobře počítali, vyšlo vám Dokažte. 3. Vyberte si trojciferné číslo z úl. 1 a zapište je dvakrát za sebou. Dostanete šesticiferné číslo. Vydělteje sedmi, získaný podíl vydělte jedenácti a tento další podíl vydělte třinácti. Pokud jste dobře počítali, vyšlo vám původně zvolené trojciferné číslo. 4. Zapište dvojciferné číslo třikrát za sebou (např. svůj věk nebo svoji hmotnost pokud jsou to dvojciferná čísla). Takto získané šesticiferné číslo vydělte třinácti, získaný podíl vydělte číslem 1 a tento další podíl vydělte číslem 37. Vyšlo vám původně zvolené dvojciferné číslo. Dokažte. 5. Dokažte, že rozdíl a) dvojciferného čísla a čísla zapsaného obráceným pořadím číslic je vždy dělitelný devíti. b) trojciferného čísla a čísla zapaného obráceným pořadím číslic je vždy dělitelný devíti. c) trojciferného čísla, jehož počet stovek a počet jednotek se liší alespoň o dvě a čísla zapsaného obráceným pořadím číslic je vždy dělitelný devíti a jedenácti. D) Úlohy s geometrickými náměty 1. Kreslete postupně čtverce o straně a, a, 3a, 4a,.... Počítejte počet všech čtverců o straně a, a, 3a,... v každém obrázku (pokud lze). Získaná čísla budou: 1 4

6 Smolenice Zobecněte a vyjádřete pomocí mocnin přirozených čísel. 4. Představte si šachovnici čtverec rozdělený na 64 základních čtverců o straně a. Kolik různých čtverců můžeme na šachovnici najít? Využijte řešení úlohy Kreslete postupně rovnostranné trojúhelníky o straně a, a, 3a, 4a,... a počítejte počty všech rovnostranných trojúhelníků v každém obrázku. Získané počty budou: Zobecněte a vyjádřete obecným zápisem. 4. Kreslete postupně čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník a nakreslete všechny jejich úhlopříčky. Vyjádřete obecně počet úhlopříček konvexního n-úhelníku. Čtverec, pětiúhelník 5, šestiúhelník 15, sedmiúhelník 1, n( n 1) Dokažte, že počet úhlopříček konvexního n-úhelníku je. 5. Počítejte velikosti vnitřních úhlů pravidelných konvexních mnohoúhelníků z úl. 5. Vypočítejte součet vnitřních úhlů pavidelného n- úhelníku: Trojúhelník 180, čtyřúhelník 360, pětiúhelník 540, šestiúhelník 70, Zapiše obecným vyjádřením. Závěr Uvedené příklady jsou vesměs jednoduché a všechny vycházejí z učiva matematiky 1. stupně základní školy. Poskytují prostor k postupnému seznamování se s problematikou každého příkladu a dávají možnost hlouběji proniknout do zkoumaného problému. Postupy, ve kterých studenti vycházejí od konkrétních jednotlivých případů, sledují zákonitost, snaží se formulovat hypotézy, formulovat obecné závěry a ty jako matematické věty dokazovat, jsou vhodnou ukázkou induktivních a deduktivních postupů v matematickém vyučování. Literatura [1] HEJNÝ, M. a kol. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky.1. a. díl. UK, Praha 004. [] KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. UJEP, Ústí nad Labem, [3] KOPKA, J.: Výzkumný přístup při výuce matematiky. UJEP, Ústí nad Labem, 004. [4] KVĚTOŇ, P.: Kapitoly z didaktiky matematiky. Pedagogická fakulta, Ostrava, 198. [5] KLIMEŠ, L.: Slovník cizích slov. SPN, a.s., Praha, [6] Ilustrovaný encyklopedický slovník. Akademia, Praha, [7] Slovník školské matematiky.spn, Praha,