Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11"

Transkript

1 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly: 15, 23, 11, 20, 18, 32, 30, 24, 26, 17 Ověřte, zda doba dojezdu sanitky byla delší než vyhláškou požadovaných 17 minut na hladině významnosti 0,05. Řešení 1 Zamyslíme-li se nad analyzovanou veličinou, dospějeme jednoznačně k závěru, že doba dojezdu musí být pravostranně vychýlená. Není tedy správné použít Z-test nebo t-test, protože náhodná veličina doby dojezdu sanitky nemá normální rozdělení. Obdobou jednovýběrového testu hypotézy o střední hodnotě je test znaménkový. Ten je vlastně binomickým testem, který předpokládá, že pravděpodobnost obou možných výsledků pozorování A a B (pod očekávanou hodnotou a nad očekávanou hodnotou) je stejná, tedy p(a) = p(b) = 0,5 Úlohu budeme řešit podle teorie. Máme náhodný výběr 15, 23, 11, 20, 18, 32, 30, 24, 26, 17 ze spojitého rozdělení s mediánem x (není nutné medián počítat). Tento náhodný výběr má počet prvků n = 10. Platí tedy P(X i < x ) = P(X i > x ) = 1 2, i = 1,, n Chceme testovat hypotézu H 0 : x = x 0 proti jednostranné alternativní hypotéze H 1 : x > x 0, kde x 0 = 17 je vyhláškou daná hodnota. Utvoříme rozdíly 15 17, 23 17, 11 17, 20 17, 18 17, 32 17, 30 17, 24 17, 26 17, Rozdíly vypočteme 2, +6, 6, +3, +1, +15, +13, +7, +9, 0 V tomto souboru rozdílů vynecháme nulové hodnoty a příslušně snížíme n. Dostaneme tak zkoumaný soubor Y a nyní je n = 9. 2, +6, 6, +3, +1, +15, +13, +7, +9 Počet prvků zkoumaného souboru (v této situaci 9) nelze považovat za velké číslo, proto nemůžeme Y~Bi (9, p = 1 2 ) To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota Y bude blízko své střední hodnoty 9 2. kritických hodnot pro znaménkový test přesný. V našem konkrétním případu dostáváme α = 0,05, n = 9, k 1 = 1, k 2 = 8 Protože náhodný jev Y nastal ve 2 případech (dvě kladná znaménka) a je tedy v intervalu (1, 8), nemůžeme podle teorie zamítnout nulovou hypotézu. Nepodařilo se tedy prokázat, že doba dojezdu z analyzovaných dat se statisticky významně liší od doby požadované vyhláškou. d b 1

2 Poznámka Tento příklad velmi dobře ukazuje na obecnou vlastnost neparametrických testů, kterou je skutečnost, že jsou k zjištění rozdílu méně citlivé. Síla neparametrických testů je obecně při stejném počtu pozorování menší, než je síla ekvivalentních testů parametrických (Z-test, t-test a podobně). Zvýšení síly testu dosáhneme zvýšením počtu pozorování. d b 2

3 Příklad 2 V tabulce jsou uvedena data doby řešení matematického příkladu skupinou 11 studentů před speciálním cvičením zaměřeným na daný typ úloh. V druhém řádku tabulky jsou doby potřebné k řešení obdobného příkladu po praktickém cvičení. Před cvičením 87, 61, 98, 90, 93, 74, 83, 72, 81, 75, 83 Po cvičení 50, 45, 79, 90, 88, 65, 52, 79, 84, 61, 52 Máme prokázat na hladině významnosti 0,05, že výsledky po cvičení jsou lepší než výsledky před cvičením. Řešení 2 Z psychologie víme, že doby řešení úloh po cvičení orientovaném na určitý typ úloh mají levostranně sešikmené rozdělení a použití párového t-testu není tedy teoreticky správné. Proto k nalezení odpovědi na otázku použijeme znaménkový test. Máme tedy n = 11 a sadu dvojic měření. Znaménkem plus označíme ty hodnoty, kdy se po cvičení doba k řešení příkladu zkrátila, znaménkem mínus ty případy, kdy naopak doba potřebná k řešení příkladu byla delší. Dostaneme situaci +37, +16, +19, 0, +5, +9, +31, 7, 3, +14, +31 Pokud je diference v dobách řešení nulová, jde o tzv. svázané hodnoty (ties) a o ně počet analyzovaných údajů snížíme (to nastalo v jednom případu). Dostaneme n = 10 a hodnoty náhodného jevu X +37, +16, +19, +5, +9, +31, 7, 3, +14, +31 Máme soubor hodnot, pro který musí platit P(X i < x ) = P(X i > x ) = 1, i = 1,,10 2 Chceme testovat hypotézu H 0 : x = 0 (schopnost vypočítat úlohu tohoto type se nezlepšila) proti jednostranné alternativní hypotéze H 1 : x > 0 (schopnost vypočítat úlohu tohoto typu se zlepšila). Počet prvků zkoumaného souboru (v této situaci 10) nelze považovat za velké číslo, proto nemůžeme Y~Bi (10, p = 1 2 ) To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota Y bude blízko své střední hodnoty kritických hodnot pro znaménkový test přesný. V našem konkrétním případu dostáváme α = 0,05, n = 10, k 1 = 1, k 2 = 9 Protože náhodný jev Y nastal v 8 případech (osm kladných znaménka) a je tedy v intervalu (1, 9), nemůžeme podle teorie zamítnout nulovou hypotézu. Nepodařilo se tedy prokázat, že dané cvičení vede ke zkrácení doby řešení tohoto druhu příkladů. d b 3

4 Příklad 3 Je třeba otestovat, jestli léčebný preparát nemění složení krve (počet leukocytů). Preparát byl zkoušen na 10 osobách. Výsledky (dané poměrem leukocytů k jejich počtu dle normy) jsou uvedeny v tabulce. Testujte na hladině významnosti 0,05. Testování bylo provedeno na zdravých jedincích, kteří měli před testováním množství leukocytů odpovídající normě. Výsledky testování byly: 1,06, 1,03, 1,10, 1,00, 1,02, 1,08, 1,06, 1,03, 1,05, 1,09 Řešení 3 O léčebném preparátu není známo, zda jeho užití má z hlediska počtu leukocytů nějaké známé rozdělení, či sešikmení. Proto použití t-testu není teoreticky správné. K nalezení odpovědi na otázku použijeme znaménkový test. Máme tedy n = 10 a sadu měření. Znaménkem plus označíme ty hodnoty, kdy se po aplikaci preparátu množství leukocytů zvýšilo (v tabulce uvedená hodnota je vyšší než 1), znaménkem mínus označíme ty případy, kdy naopak množství leukocytů kleslo. Konkrétně si vypočteme hodnoty x i 1. Dostaneme situaci +0,06, +0,03, +0,10, 0,00, +0,02, +0,08, +0,06, +0,03, +0,05, +0,09 Pokud je nějaká hodnota nulová, počet analyzovaných údajů o ni snížíme (to nastalo v jednom případu). Dostaneme n = 9 a hodnoty náhodného jevu X +0,06, +0,03, +0,10, +0,02, +0,08, +0,06, +0,03, +0,05, +0,09 Máme soubor hodnot, pro který musí platit P(X i < x ) = P(X i > x ) = 1, i = 1,,10 2 Chceme testovat hypotézu H 0 : x = 0 (množství leukocytů zůstalo zachováno) proti jednostranné alternativní hypotéze H 1 : x 0 (množství leukocytů se po aplikaci preparátu změnilo). Počet prvků zkoumaného souboru (v této situaci 9) nelze považovat za velké číslo, proto nemůžeme Y~Bi (9, p = 1 2 ) To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota Y bude blízko své střední hodnoty 9 2. kritických hodnot pro znaménkový test přesný oboustranný. V našem konkrétním případu dostáváme α = 0,05, n = 9, k 1 = 1, k 2 = 8 Protože náhodný jev Y nastal v 9 případech (devět kladných znaménka) a je tedy mimo interval (1, 8), můžeme podle teorie zamítnout nulovou hypotézu. Podařilo se tedy prokázat, že aplikace daného preparátu způsobí statisticky významnou změnu počtu leukocytů. d b 4

5 Příklad 4 Příklad 5.2 Jednou za semestr studenti pomocí bodů hodnotí přednášející. K dispozici jsou průměrné výsledky na jednoho studenta za dva roky pro deset náhodně vybraných přednášejících. Posuďte na hladině významnosti 0.05, zda přednášející získali v letošním roce od studentů stejný počet bodů jako v minulém roce. Body jsou uvedeny v tabulce. Body za minulý rok 2.5, 1.5, 3, 3, 1.5, 1.5, 2, 2, 1.5, 3 Body za letošní rok 2, 2, 2.5, 2.5, 2.5, 1, 1, 1.5, 1.5, 2 Řešení 4 Nevíme nic o rozdělení sledované veličiny, kterou je rozdíl v hodnocení v letošním a minulém roce. Víme jen, že hodnocení bylo prováděno jako v české základní škole (1 nejlepší a 5 nejhorší). Z toho důvodu použití t-testu není tedy teoreticky správné. Proto k nalezení odpovědi na otázku použijeme znaménkový test. Máme tedy n = 10 a sadu dvojic hodnocení. Znaménkem plus budou označeny ty hodnoty, kdy se po roce hodnocení zlepšilo, znaménkem mínus ty případy, kdy naopak po roce hodnocení zhoršilo. Nové hodnoty vypočteme tak, že od loňského hodnocení odečteme letošní. Dostaneme situaci +0.5, 0.5, +0.5, +0.5, 1, +0.5, +1, +0.5, 0, +1 Pokud je diference v hodnocení nulová, jde o tzv. svázané hodnoty (ties) a o ně počet analyzovaných údajů snížíme (to nastalo v jednom případu). Dostaneme n = 9 a hodnoty náhodného jevu X +0.5, 0.5, +0.5, +0.5, 1, +0.5, +1, +0.5, +1 Máme soubor hodnot, pro který musí platit P(X i < x ) = P(X i > x ) = 1, i = 1,,9 2 Chceme testovat hypotézu H 0 : x = 0 (hodnocení se nezměnilo) proti oboustranné alternativní hypotéze H 1 : x 0 (hodnocení se změnilo). Počet prvků zkoumaného souboru (v této situaci 9) nelze považovat za velké číslo, proto nemůžeme Y~Bi (9, p = 1 2 ) To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota Y bude blízko své střední hodnoty 9 2. kritických hodnot pro znaménkový test přesný. V našem konkrétním případu dostáváme α = 0,05, n = 9, k 1 = 1, k 2 = 8 Protože náhodný jev Y nastal v 7 případech (sedm kladných znaménka) a je tedy v intervalu (1, 8), nemůžeme podle teorie zamítnout nulovou hypotézu. Podařilo se tedy prokázat, že hodnocení pedagogů se po jednom roce statisticky významně nezměnilo. d b 5

6 Příklad 5 Prověřte účinnost nové tréninkové metody, neboli zda nová metoda je lepší než stará. Rozdíl maximálních výsledků skokanského družstva před zavedením nové metody a po třech měsících používání je dán tabulkou. číslo skokana rozdíl výkonů [cm] číslo skokana rozdíl výkonů [cm] Řešení 5a Máme n = 16 případů. V rámci nich došlo 5 krát ke zhoršení výkonu a 11 krát ke zlepšení. V případě, že nová metoda není lepší, měl by být počet zlepšení a zhoršení stejný. Pokud je lepší, počet zlepšení (kladných znamének) by měl být vyšší. Formulujeme tedy nulovou hypotézu pro nezlepšení a jednostrannou alternativní hypotézu pro zlepšení takto H 0 : x = 0 (nedošlo ke zlepšení) a H 1 : x > 0 (došlo ke zlepšení). Počet zlepšení (kladných znamének) je zřetelně vyšší. Otázkou je, zda rozdíl mezi počtem zlepšení a zhoršení je významný na hladině významnosti 5%? Počet prvků zkoumaného souboru (v této situaci 16) nelze považovat za velké číslo, proto nemůžeme Y~Bi (16, p = 1 2 ) To znamená, že očekáváme, že zjištěná hodnota Y bude blízko své střední hodnoty kritických hodnot pro znaménkový test přesný. V našem konkrétním případu dostáváme α = 0,05, n = 16, k 1 = 4, k 2 = 12 Protože náhodný jev Y nastal v 11 případech (jedenáct kladných znaménka) a je tedy v intervalu (4, 12), nemůžeme podle teorie zamítnout nulovou hypotézu. Nepodařilo se tedy prokázat, že nová tréninková metoda je statisticky účinnější, než metoda stará. Řešení 5b Stejný problém budeme řešit ještě jednou. Tentokrát tak, že budeme ignorovat fakt, že n = 16 není příliš velké číslo a k řešení použijeme znaménkový test asymptotický pro velké n. Stanovme si stejné hypotézy H 0 : x = 0 (nedošlo ke zlepšení) a H 1 : x > 0 (došlo ke zlepšení). Teorie praví, že podle Moivrovy-Laplaceovy věty pro velké n platí Y~N(n 2, n 4). Lze tedy konstatovat, že při platnosti H 0 je d b 6

7 U = Y n 2 2Y n n = n ~N(0,1) 4 Na hladině α zamítáme hypotézu H 0 : x = x 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1 : x x 0, pokud U Φ 1 (1 α 2 ) Dosadíme do posledního výrazu a dostaneme Φ 1 (1 0, ) Úpravou výrazu na levé straně a vyhledáním hodnoty pravé strany v tabulce kvantilů normovaného normálního rozdělení dostaneme = 6 = 1,5 1, Nerovnost vpravo není pravdivá. Nemůžeme tedy zamítnout nulovou hypotézu. Ve výsledku můžeme konstatovat, že na dané hladině významnosti není statisticky významný rozdíl výsledků skokanů mezi starou a novou metodou. d b 7

8 Příklad 6 Házeli jsme dvěma hracími kostkami a) První 120-krát a získali následující výsledky x i n i b) Druhou jsme házeli 180-krát a dostali jsme x i n i Ověřte na hladině významnosti 0,05, zda jsou kostky falešné. Řešení 6 Výsledky házení poctivou hrací kostkou mají rovnoměrné diskrétní rozdělení. Zda jsou kostky ze zadání falešné, budeme zjišťovat pomocí Pearsonova testu dobré shody. Princip testu spočívá v obou případech v tom, že pozorované (empirické, skutečné) četnosti v jednotlivých třídách se porovnávají s četnostmi očekávanými, stanovenými pro příslušné rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Budeme testovat hypotézu H 0 X~Ro(6), že výsledky házení touto kostkou odpovídají rovnoměrnému diskrétnímu rozdělení. Řešení a Sestavíme tabulku Třída n j p j np j (n j np j ) 2 np j Ω , Ω , ,2 Ω , ,45 Ω , ,2 Ω , ,05 Ω , ,8 Součet x ,7 První sloupec je pro identifikaci jednotlivých tříd. Druhý sloupec uvádí hozené hodnoty v příslušné třídě. Třetí sloupec je pro zadání četnosti výskytu výsledku v realizaci náhodného pokusu. Čtvrtý sloupec je teoretická četnost dle testovaného rozdělení (v tomto případě rovnoměrné diskrétní pro 6 hodnot). Pátý sloupec je součinem teoretické četnosti s celkovým počtem realizovaných pokusů. Poslední šestý sloupec je hodnotou Pearsonovy statistiky pro příslušnou třídu. Poslední řádek je určen pro součty (kontrolní a výsledné). Hodnota vpravo dole je realizací t testové statistiky 6 T = (n j np j ) 2 Konkrétně v našem případě máme j=1 np j d b 8

9 t = 1,7 Kritický obor W pro Pearsonův test dobré shody na hladině významnosti α = 0,05 je W = {t; t > χ 2 (k m 1; 1 α)} Zde k = 6 je počet tříd, m = 0 je počet neznámých parametrů. Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách. W = {t; t > χ 2 (6 0 1; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (5; 0,95)} = {t; t > 11,07} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu H 0 X~Ro(6). Můžeme tedy na hladině významnosti 0,05 konstatovat, že data nedávají dostatek argumentů pro závěr, že hrací kostka je falešná. Řešení b Sestavíme tabulku Třída n j p j np j (n j np j ) 2 np j Ω , , Ω , ,2 Ω , ,8 Ω , Ω , ,3 Ω , , Součet x ,06667 První sloupec je pro identifikaci jednotlivých tříd. Druhý sloupec uvádí hozené hodnoty v příslušné třídě. Třetí sloupec je pro zadání četnosti výskytu výsledku v realizaci náhodného pokusu. Čtvrtý sloupec je teoretická četnost dle testovaného rozdělení (v tomto případě rovnoměrné diskrétní pro 6 hodnot). Pátý sloupec je součinem teoretické četnosti s celkovým počtem realizovaných pokusů. Poslední šestý sloupec je hodnotou Pearsonovy statistiky pro příslušnou třídu. Poslední řádek je určen pro součty (kontrolní a výsledné). Hodnota vpravo dole je realizací t testové statistiky 6 T = (n j np j ) 2 j=1 Konkrétně v našem případě máme t = 12,06667 Kritický obor W pro Pearsonův test dobré shody na hladině významnosti α = 0,05 je W = {t; t > χ 2 (k m 1; 1 α)} Zde k = 6 je počet tříd, m = 0 je počet neznámých parametrů. Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách. W = {t; t > χ 2 (6 0 1; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (5; 0,95)} = {t; t > 11,07} Protože t W, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu H 0 X~Ro(6). Můžeme tedy na hladině významnosti 0,05 konstatovat, že data dávají dostatek argumentů pro závěr, že hrací kostka je falešná. np j d b 9

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by Birom

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Stručný úvod do testování statistických hypotéz

Stručný úvod do testování statistických hypotéz Stručný úvod do testování statistických hypotéz 1. Formulujeme hypotézu (předpokládáme, že pozorovaný jev je pouze náhodný). 2. Zvolíme hladinu významnosti testu a, tj. riziko, s nímž jsme ochotni se smířit.

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10.

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10. PARAMETRICKÉ TESTY Testujeme rovnost průměru - předpokladem normální rozdělení I) Jednovýběrový t-test 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Testy založené na χ 2 rozdělení V přehledu významných rozdělení jsme si uvedli, že Poissonovým rozdělením se modeluje počet událostí, které nastanou

Více

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Obecný postup 1. Určení statistické hypotézy 2. Určení hladiny chyby 3. Výpočet

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v.

Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v. Opakování Opakování: y o střední hodnotě normálního 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 výběrový t-test Šárka Hudecová Katedra a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9 Statistické testování hypotéz Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení hodnoty parametru =stanovení intervalu spolehlivosti na μ, σ, ρ,

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Cvičení 12: Binární logistická regrese

Cvičení 12: Binární logistická regrese Cvičení 12: Binární logistická regrese Příklad: V roce 2014 konalo státní závěrečné zkoušky bakalářského studia na jisté fakultě 167 studentů. U každého studenta bylo zaznamenáno jeho pohlaví (0 žena,

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33 1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více