Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta. Didaktické využití stavebnice LEGO Mindstorms ve výuce matematiky se zaměřením na fraktály

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Didaktické využití stavebnice LEGO Mindstorms ve výuce matematiky se zaměřením na fraktály Autor: Bc. Jan Čadek Vedoucí práce: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. Praha 2016

2 PROHLÁŠENÍ: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Didaktické využití stavebnice LEGO Mindstorms ve výuce matematiky se zaměřením na fraktály vypracoval pod vedením doc. RNDr. Antonína Jančaříka, Ph.D. samostatně na základě vlastních zjištění a za použití pramenů uvedených v seznamu. Praha, 13. července 2016 Bc. Jan Čadek

3 PODĚKOVÁNÍ: Rád bych touto cestou poděkoval doc. RNDr. Antonínu Jančaříkovi, Ph.D. za jeho cenné rady a trpělivost při vedení mé práce. Rovněž bych chtěl poděkovat Mgr. Danielu Tocháčkovi za zprostředkování zápůjčky robotické stavebnice LEGO Mindstorms NXT z KITTV PedF UK. Velký dík patří ještě mé rodině, Milanovi, Kátě, Šárce, Evině, Ryanovi a Davidovi.

4 NÁZEV: Didaktické využití stavebnice LEGO Mindstorms ve výuce matematiky se zaměřením na fraktály ABSTRAKT: Cílem této diplomové práce je zjistit, zda má výuka fraktální geometrie podpořená počítačem a robotickou stavebnicí LEGO Mindstorms NXT své místo ve vzdělávání žáků základních a středních škol v České republice. Teoretická část práce se věnuje klíčovým tématům a osobnostem, které s touto problematikou úzce souvisí, obsahuje též stručný historický přehled vývoje fraktální geometrie a její možnosti využití ve výuce matematiky (s odkazem na turecké kurikulární dokumenty), a popis stavebnice LEGO Mindstorms NXT, který může dobře posloužit i jako manuál pro učitele či žáky. Praktická část obsahuje kromě návodu na stavbu robotické želvy také návrh výukového bloku, jehož cílem je u žáků podpořit algoritmické a geometrické myšlení, včetně klíčových kompetencí. Součástí experimentu je kromě kvantitativní komparace výsledků testu převzatého z turecké studie také zhodnocení projektu jak autorem, tak samotnými žáky. KLÍČOVÁ SLOVA: LEGO Mindstorms NXT, fraktál, programování, Logo, learning by doing, želva, Papert, L-systém, mikrosvěty

5 TITLE: LEGO Mindstorms: Didactic utilization in mathematics with a focus on fractals ABSTRACT: The objective of this thesis is to determine whether the teaching of fractal geometry supported by computer and robotic LEGO Mindstorms NXT has its place in the education of primary and secondary schools pupils in the Czech Republic. The theoretical part focuses on key topics and personalities closely connected to fractal geometry problematics. It provides a brief historical overview of the fractal geometry development, its potential use in teaching mathematics (with reference to Turkish curriculum documents), and a description of LEGO Mindstorms NXT which can well serve as a manual for teachers and pupils. The practical part contains instructions for building a robotic turtle as well as a proposal of teaching block aimed to support pupils' algorithmic and geometric thinking including key competencies. Quantitative comparison of the results taken from Turkish studies and evaluation of the project by the author and pupils are a part of the experiment as well. KEYWORDS: LEGO Mindstorms NXT, fractal, programming, Logo, learning by doing, turtle, Papert, L-system, microworlds

6 OBSAH 1 ÚVOD TEORETICKÁ VÝCHODISKA PRÁCE Seymour Papert, konstrukcionismus a mikrosvěty Vlastnosti jazyka Logo a jeho implementace Fraktály Definice fraktálu Historie Generování fraktálů Fraktály kolem nás Fraktály a jejich role v RVP ZV a RVP G. Využití ve výuce Popis robotické stavebnice LEGO Mindstorms NXT Stručná historie Hardwarové vybavení Softwarové vybavení PRAKTICKÁ ČÁST Stavba robota Fyzická konstrukce Programová výbava Návrh výukového bloku Přípravná část Hlavní část Závěrečná část Realizace a vyhodnocení experimentu ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÝCH INFORMAČNÍCH ZDROJŮ SEZNAM OBRÁZKŮ PŘÍLOHY

7 1 ÚVOD Současné trendy moderní pedagogiky kladou velký důraz na začleňování konstruktivisticky zaměřených aktivizujících výukových metod do vyučovacího procesu, a snaží se kromě klíčových kompetencí žáků rozvíjet též mezipředmětové vztahy. Díky rychlému rozvoji digitálních technologií a jejich snadné dostupnosti lze výuku ve školách nejen zatraktivnit, ale i přiblížit více žákům, kteří jsou technologiemi obklopeni už od narození. Za středobod, ve kterém se protínají jak počítače a technologie obecně, tak např. matematika, fyzika, astronomie, biologie, geologie, hydrologie, meteorologie, zeměpis, nebo také lingvistika, architektura, výtvarné umění, hudba či vývoj cen na burze, lze považovat fraktální geometrii. Tato velmi mladá matematická disciplína, která se vyvíjí posledních 40 let, prostupuje skrze celý svět. Její duchovní otec, Benoît Mandelbrot, dokázal propojit na první pohled někdy až nesouvisející vědní obory. Otázkou však je, proč takový nástroj, který dokáže relativně jednoduchou formou popisovat tak komplexní přírodní i umělé konstrukty, není součástí dnešního vzdělávání žáků. Tato diplomová práce si tedy klade za cíl zjistit, zda je téma fraktální geometrie ve zjednodušené podobně přijatelně pochopitelné a dostatečně zajímavé pro žáky českých základních a středních škol. K jejímu přiblížení jsou využity právě technologie a robotická stavebnice LEGO Mindstorms. Práce je rozdělena na dvě hlavní části. V kapitole Teoretická východiska jsou shrnuta klíčová témata a osobnosti, které s touto problematikou úzce souvisí, obsahuje též stručný přehled vývoje fraktální geometrie, její možnosti využití ve výuce matematiky, a popis stavebnice LEGO Mindstorms NXT, který může sloužit i jako manuál pro učitele či žáky. Praktická část obsahuje návod na stavbu želvy programovatelné jazykem Logo, a softwarové vybavení včetně appletu, který je následně využit v navrženém výukovém bloku. Součástí experimentu je kvantitativní porovnání výsledků testu převzatého z turecké studie, neboť v Turecku jsou fraktály zahrnuty v národních kurikulárních dokumentech pro druhý a třetí stupeň vzdělávání. 7

8 2 TEORETICKÁ VÝCHODISKA PRÁCE 2.1 Seymour Papert, konstrukcionismus a mikrosvěty Významný americký matematik, informatik a pedagog Seymour Papert, který se narodil roku 1928 v Pretorii v Jihoafrické republice, hraje dodnes klíčovou roli v konstruktivistickém pojetí moderní pedagogiky využívající digitální technologie. Poté, co vystudoval matematiku na univerzitě v Cambridge, se na pár let přesunul na pozvání samotného švýcarského odborníka na dětskou psychologii Jeana Piageta ( ) do Ženevy, kde s ním úzce spolupracoval. To ho ovlivnilo natolik, že svůj život zasvětil právě využití matematiky a informačních technologiích ve výuce dětí. V roce 1963 se přesunul do USA a připojil se k týmu v čele s Marvinem Minskym ( ), který vedl na MIT (Massachusetts Institute of Technology soukromá univerzita v USA) budoucí laboratoř umělé inteligence. Zde se začal zaměřovat spíše na obecné otázky spojené s umělou inteligencí, což vyústilo v jeho návrat k teorii Piagetova pedagogického konstruktivismu, a zkoumání možností využití výpočetních technologií ve vzdělávání [1]. Papertovy myšlenky v jeho době působily možná trochu naivně (např. představa toho, že by mělo mít každé dítě svůj počítač), přesto byly velmi nadčasové. Se zrychlujícím se vývojem počítačové techniky v ní začal vidět velký potenciál. V jeho pracích povýšil počítač z podpůrného prostředku výuky na hlavní nástroj moderního vzdělávání žáků. Je též známý tím, že často kritizoval nedostatečné využívání počítačů ve výuce: Počítač, jak se ho dnes užívá ve škole, je něco jako reaktivní motor zabudovaný do dvoukolého vozíku. Moderní a revoluční nástroj přizpůsobený starému a konzervativnímu systému. Ještě jsme nepochopili, že je třeba změnit nejen motor, ale rovněž sám pojem dopravy [2]. Snažil se tím poukázat, že takto revoluční nástroj, jakým počítač bezpochyby je, patří do rukou dětem, a že by se měl zastaralý systém vzdělávání přizpůsobit moderním technologiím. Bohužel příliš konzervativní školský systém v době rozmachu počítačů tuto technologii nepřijal za vlastní, raději jí vymezil speciální učebny, a tak vznikl vyučovací předmět Informatika a výpočetní technika. Už v době, kdy Papert pobýval v Ženevě, začal postupně formovat svou teorii konstrucionismu, který vychází s Piagetova konstruktivismu. Snažil se definovat, jak 8

9 by měla vypadat škola založená na moderních teoriích učení se, a jak se změní vyučovací proces a jeho cíle v závislosti na technologiích [3] (str. 25). Termín konstrukcionismus Papert zavedl údajně proto, že se o konstruktivistických teoriích napsalo již tolik, že se obával devalvace této problematiky ze strany teoretiků vzdělávání [4]. Konstrukcionismus je založen na myšlence, že nejefektivnější způsob učení vychází z aktivní činnosti lidí, tzv. learning by doing. Na rozdíl od Piagetova pedagogického konstruktivismu klade navíc důraz na osobní preference žáků, různé styly učení, a také na to, že konstruování vlastních poznatků žákem, které je spojeno s tvůrčí činností, jejímž výsledkem je nějaký produkt, je ještě efektivnější, neboť dochází k reálnému tvoření světa přímo kolem žáka samotného. Výsledný produkt však není tak důležitý, jako cesta k jeho vytvoření. U žáků pak dochází k učení, které si kolikrát sami ani neuvědomují. Ve druhé polovině 60. let Papert zkoumal možnost aplikace konstrukcionistické metody na výuku programování. Věřil tomu, že existuje paralela mezi programováním a učením se mateřskému jazyku, tedy že je možné naučit se programovat zcela přirozeně [1]. K tomu však bylo potřeba vyvinout nástroj, kterým by si tyto myšlenky potvrdil. Tak v roce 1967 vznikla ze spolupráce matematika Seymoura Paperta a společnosti profesorů z MIT BBN Technologies (Bolt, Beranek and Newman) historicky první verze Loga, která vycházela z jazyka LISP. Projekt si dal za cíl vytvořit adekvátní prostředí pro rozvoj kognitivních dovedností a schopností žáka založených na nových poznatcích vývojové psychologie (s odkazem na Jeana Piageta), výpočetní techniky a matematiky [5] (str. 4). Důraz byl kladen především na to, aby žáci začali používat počítač k řízení skutečných procesů, které mají možnost přímo vidět a slyšet, namísto pouhého přemílání čísel [6] (str. 99). Název programovacího jazyka pochází z řeckého slova logos (slovo, myšlenka). Odráží se zde tedy fakt, že zápis programů je velmi podobný přirozenému jazyku existují základní předem definovaná slova, pomocí nichž se dají tvořit složitější jazykové jednotky [7]. Je třeba říci, že Logo není jen programovacím jazykem, ale celým interaktivním vývojovým prostředím. Důležitou součástí prostředí Logo je želva koncept 9

10 vycházející ze zvířete pohybujícího se po pláži, které pomocí ocásku zanechává stopy v písku. Zpočátku šlo o pokusy s mechanickou želvou, která byla s počítačem propojena kabelovým komunikačním rozhraním, drátové připojení však robotovi překáželo při pohybu. V roce 1972 navrhl inženýr BBN Paul Wexelblat definitivní bezdrátové řešení. Vůbec první želvou v jazyce Logo byl jednoduchý bezdrátový robot jménem Irving, jehož skelet připomínal krunýř. Děti pak Irvinga řídily za pomoci jednoduchých příkazů dopředu, zpět, doleva, doprava a zazvonit. Želví Irving měl na sobě přidělané pero, a tak si děti mohly kreslit obrázky na papíru, na kterém se robot pohyboval. Později se Irving přenesl na obrazovky monitorů, kde kromě želvy může v mnoha implementacích nabýt rozličných tvarů. [8] Programování zde tedy vystupuje v roli učení želvy novým slovům nebo celým větám. Tím, že dítě učí želvu novým dovednostem, tj. přidává další příkazy do Loga, se samo učí a především formuje svoji osobnost. Tento způsob učení je někdy nazýván rozhovor se želvou. [7] Obrázek 1: Seymour Papert s mechanickou želvou [9] a fotografie dětí s Irvingem z jeho knihy [10] (str. 2) V roce 1980 byla založena společnost Logo Computer Systems, Inc. (LCSI), jejímž předsedou se stal právě Papert. Z dílny této firmy pochází pravděpodobně nejúspěšnější implementace pro počítače Apple II, která se stala základem dalších verzí (Atari Logo, Commodore Logo) [7]. Ve stejném roce vydal Papert svou knihu Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas, která jazyk Logo dokázala přiblížit tisícům učitelů z celého světa. 10

11 Důležitým pojmem, který je přímo spjat s osobností Seymoura Paperta, je mikrosvět. Opírá se o změnu rolí, kdy se žákem stává počítač a žák přebírá roli učitele [11]. Zároveň se sám tímto procesem učí. Dle [11] je mikrosvět virtuální svět vytvořený počítačem, který se řídí vlastními, pevně definovanými pravidly. Papert pak na otázku, co je to mikrosvět, odpovídá následovně: Mikrosvět je součástí reality, která je prostá, aby ji bylo možno do hloubky pochopit. Hra se stavebnicovými kostkami je jakýsi mikrosvět. Tím, že si děti hrají, získávají znalosti o rovnováze, zásady konstrukce, symetrie, atd. Takový mikrosvět hraje velkou úlohu při chápání složitosti velkého světa. Dítě má jakýsi instinkt zjednodušovat a rozkouskovat si svět na části, aby jej mohlo prozkoumat. [2] Klasickým příkladem mikrosvěta je právě prostředí Logo a želví grafika, případně robotická stavebnice LEGO Mindstorms NXT (rozvíjející jemnou motoriku i konstruktérské schopnosti, vhodná k názorné demonstraci mechanických převodů apod.), které je věnována kapitola 2.4. Přínos logovského mikrosvěta nespočívá jen v propedeutice programování a rozvoji algoritmického myšlení. Důležitou roli zde hraje želví geometrie, která žákům pomáhá rozvíjet hlavně geometrické myšlení. Protože zde želva zaujímá pozici a orientaci jako kterákoli lidská bytost, děti se s ní ztotožňují. Vzpomínají si na svou vlastní zkušenost, vlastní znalost pohybu, aby pochopily geometrii. [2] Aby žáci byli schopni želvu rozpohybovat, musí jí dát určitý směr. Nemusí přitom vůbec znát pojem úhel, přesto s ním mohou i mladší žáci pracovat intuitivně, a na základě experimentování konstruovat poznatky, že např. otočením doprava devětkrát o úhel 30 vznikne stejná situace jako otočením doleva o úhel 90 [6]. Dle [5] lze pomocí Loga eliminovat žákovské chyby v chápání pojmu úhel, kdy mají např. představu, že čím větší je trojúhelník, tím větší bude součet jeho vnitřních úhlů. Ne vždy si však děti spojí pojem úhlu s otáčením želvy, případně je nutné počítat s tím, že někteří žáci využívají při experimentování pouze násobky úhlu 30 či 45. Tato skripta [5] se dále věnují logovským mikrosvětům zaměřeným na planimetrii, konkrétně na pravidelné mnohoúhelníky, parketáže, symetrii geometrických útvarů a geometrické obrazce s konstantním obsahem. Součástí je vždy nejen popis, ale také série navazujících úloh. Skrytě v prostředí Logo žáci přistupují také např. k pojmu proměnných veličin, a lze se na něj dívat i z pohledu nástroje k propedeutice kartézské soustavy souřadnic. 11

12 Binterová [12] uvádí, že Papertův počítačem podporovaný mikrosvět ( místo, kde mohou růst a navyšovat se určité druhy matematického myšlení ) sám o sobě není dobrým výukovým prostředím, přestože žákům poskytuje dostatek prostoru pro testování a ověřování vlastních nápadů, hypotéz, či matematických tvrzení. Za dobrý mikrosvět považuje prostředí, ve kterém mají žáci příležitost pozorovat a chápat změny existujících pojmů, a také si budovat pojmy a postoje úplně nové. Takové prostředí by mělo být dynamické, a mělo by se didakticky opírat o zákonitosti pojmotvorných procesů. V souvislosti s mikrosvěty a výukovými prostředími je potřeba uvést ještě jedno důležité jméno, a tím je profesor Milan Hejný. Využívá totiž myšlenku obdobnou mikrosvětům, tentokrát ovšem bez potřeby počítačů [11]. Jak je uvedeno na oficiálním webu Hejného metody ( jeho matematická prostředí jsou charakteristická tím, že vycházejí ze životní zkušenosti žáků a z běžného života (např. jízda autobusem, chození po schodech atd., což je shodné i s pohybem želvy). Na rozdíl od Papertova Loga jsou Hejného prostředí přímo nositelem sérií gradovaných úloh, ve kterých se vyskytují různé matematické jevy. Přestože jsou jeho prostředí pro žáky různá, aby nedocházelo ke stereotypu při jejich užívání, dochází v prostředích ke vzájemnému prolínání matematických jevů, které mají společnou podstatu. Až později zkušenějším žákům dojde, že jsou si jednotlivá prostředí v lecčem podobná. Hejný v rozhovoru [13] shrnuje důležité vlastnosti jeho matematických prostředí: Prostředí má nabízet hluboké matematické myšlenky. Prostředí by mělo být ideálně dlouhodobě použitelné ( od 1. třídy až do maturity ) Prostředí má obsahovat nastavitelné úlohy, tedy přiměřeně obtížné úlohy jak pro nadané žáky, tak pro žáky nejslabší. Prostředí musí být napojeno na životní zkušenosti dítěte. Stejně jako je Papertovým cílem, aby se počítač pro dítě stal zcela banálním a familiárním předmětem [2] užívaným v jeho procesu učení se, tak i Hejný klade důraz na to, aby jeho prostředí byla dětem velmi důvěrně známá, jako např. stavění kostek [14] (které mj. zmiňuje i Papert). 12

13 Želví geometrie (pokud jí vhodně vybavíme sérií gradovaných úloh) má pak pravděpodobně nejblíže k matematickému prostředí Krokování (Schody). Zaměřímeli se na význam tohoto prostředí pro výuku matematiky [15], zjistíme, že podobnost s Papertovým Logem zde jistě existuje: Rozvoj orientace v prostoru u krokování se jedná o pohyb vpřed a vzad, Logo má ještě navíc možnost pohybu vpravo a vlevo Budování představ o čísle (operátor změny, číslo jako adresa) Propedeutika číselné osy v případě Loga může jít díky větším možnostem pohybu o propedeutiku celé kartézské soustavy souřadnic Tvorba jednoduchého jazyka v krokování později přichází nový příkaz čelem vzad, želva s žákem také komunikuje jednoduchým jazykem, a je schopná se učit nové příkazy Budování představ o záporném čísle krokování dozadu či pohyb želvy vzad Rozvoj zkušeností s náhodou a pravděpodobností ovlivňování krokování hrací kostkou, v případě želvy je zde možnost počítačem generovat náhodná čísla určující její pohyb či rotaci. Lze tedy říci, že Papertův koncept mikrosvěta je na rozdíl od matematických prostředí profesora Hejného mnohem komplexnější a univerzálnější. Může se tedy stát vhodnou platformou pro tvorbu interaktivních digitálních výukových prostředí, pokud se vhodně doplní o konkrétní obsah a série nastavitelných gradovaných úloh. 13

14 2.2 Vlastnosti jazyka Logo a jeho implementace Dle [5] lze jazyk Logo (popř. celé prostředí) charakterizovat několika vlastnostmi: Je procedurální jedná se o definované posloupnosti operací při provádění programu; příkazy jsou tvořeny základními slovy a operátory Loga, které lze spojovat do větších částí, mohou si předávat různé parametry. Výhodou je možnost sestavovat programy pomocí těchto stavebních bloků. Je interaktivní příkazy a procedury jsou vykonány bezprostředně po zadání do počítače, takže dochází k okamžité zpětné vazbě, která je navíc velmi srozumitelná. Pokud žák navíc využívá prostředí k tvorbě tzv. želví grafiky, ihned vidí, že želva vykreslila jiný objekt než bylo cílem programu, a může chybu rovnou odstranit. Je rekurzivní procedury mohou volat samy sebe struktura tak obsahuje několik úrovní, které jsou reprezentovány útvarem stejného typu. To umožňuje např. definovat některé nekonečné objekty konečným popisem, což lze dobře využít právě k tvorbě neobvyklých geometrických tvarů. Je motivující práce v prostředí je pro žáky vnitřně přitažlivá, neboť využívá motivační sílu počítačové grafiky. Obsahuje prvky přirozeného jazyka. Je široce použitelný pro mladší žáky je tento nástroj dostatečně jednoduchý, avšak je i velmi silný pro pokročilé programátory. Implementací programovacího jazyka Logo existuje v dnešní době nepřeberné množství, což dokazuje např. Logo Tree Project [16], jehož cílem je mapovat vývoj a aktuálnost realizovaných projektů pro veškeré počítačové platformy. V současnosti sdružuje do přehledného diagramu na 303 různých verzí dle jejich vzájemné příbuznosti. Mezi nejznámější volně šiřitelné varianty Loga patří především Berkeley Logo (UCBLogo) [17], které je k dispozici pro operační systém Windows, MacOS X, Linux, DOS, či pro laptopy XO z projektu One Laptop Per Child ( Výhodou tohoto prostředí je jeho hardwarová nenáročnost (cca 4MB RAM, procesor 200 MHz). Součástí instalace jsou i kompletní zdrojové kódy v jazyku C. Z této verze 14

15 vychází další projekt s názvem aucblogo, který nabízí vylepšené grafické uživatelské rozhraní, a možnost želvy pohybovat se v trojrozměrném prostoru. Existuje však jen pro počítače se systémem Windows, na kterých má občas potíže se stabilitou. Dalším známým prostředím je Microsoft Windows Logo (MSW Logo) od firmy Softronics. Jak název napovídá, jedná se o implementaci pro platformy Windows. Obsahuje podporu tvorby 3D objektů, podporu velkého množství na sobě nezávislých želv, a má možnost generovat animované obrázky formátu GIF. Na oficiálním webu ( jsou ke stažení rovněž zdrojové kódy v jazyku C++. Co se týče komerčních implementací, mezi nejznámější ve světě patří pravděpodobně Terrapin Logo a MicroWorlds EX. Terrapin Logo je k dispozici v tzv. free-to-try verzi, což znamená, že je aplikace plně funkční s vyjímkou ukládání vytvořených projektů. Tento software lze pořídit jak pro Windows, tak pro MacOS X, výrobce dokonce na oficiálních webových stránkách asi jako jediný nabízí i fyzického Bluetooth robota, kterého lze skrze Terrapin Logo ovládat. V nabídce je Blue-Bot, který umí jen základní příkazy (dopředu, zpět, vlevo, vpravo, čekej a opakuj), a Pro-Bot, do kterého lze vložit i fix a využít ho tak ke kreslení želví grafiky, obsahuje navíc světelný a zvukový senzor. MicroWorlds EX existuje stejně jako Terrapin Logo pro systémy Windows i MacOS X. Bohužel je ke stažení pouze 15 denní zkušební verze (u které nefunguje ukládání, tisk, ani export), k tomu je ještě potřeba se registrovat na oficiálním webu. Dříve byla nabízena i varianta MicroWorlds EX Robotics Edition pro stavebnici LEGO Mindstorms RCX, dnes však už dále vyvíjena není. V České republice a na Slovensku je nejvíce rozšířena lokalizovaná verze Loga nesoucí název Imagine. Historicky navazuje na projekt Comenius Logo (určený tehdy pro systém Windows 3.1) slovenských autorů Andreje Blaha, Ivana Kalaše a Petra Tomcsányiho. Tito vývojáři sepsali několik učebnic programování pro děti, jejichž součástí je i demoverze prostředí na CD-ROM to je opět plně funkční s výjimkou ukládání naprogramovaných projektů. Samotný programovací jazyk byl rozšířen o možnosti psát kód s využitím objektově orientovaného programování (OOP, není to však vyžadováno můžeme se držet i zaběhaného funkcionálního přístupu), také jsou dostupné 15

16 prostředky pro tvorbu paralelních procesů. [18] Velkou výhodou je kromě kompletní lokalizace prostředí i samotného jazyka Logo nenáročnost aplikace na výkon počítače, minimální požadavky na konfiguraci PC jsou procesor Pentium II o taktu 200 MHz, operační paměť 64 MB, 25 MB místa na harddisku, grafická karta s rozlišením 800 x 600 px, a operační systém Windows 98 či novější (bez problému běží i na Windows 8.1 či Windows 10). Imagine podporuje i další jazyky, kromě češtiny lze prostředí přepnout na slovenštinu, angličtinu, polštinu, maďarštinu a portugalštinu. Součástí Imagine je další aplikace nazvaná LogoMotion jedná se bitmapový grafický editor, který se dá využít nejen k tvorbě ikon či kurzorů pro systém Windows, ale také k návrhu animovaných obrázků. Ty pak mohou být použity jako nové tvary želv v Imagine, nebo je lze exportovat do formátu GIF. Samozřejmostí je podpora průhledného pozadí. 16

17 2.3 Fraktály Definice fraktálu Aby bylo možno fraktály definovat, je třeba nejprve zavést několik zásadních pojmů. Prvním takovým termínem je soběpodobnost tedy invariance vzhledem ke změně měřítka [19] (str. 87). Jde o speciální vlastnost, kdy část objektu vypadá podobně jako celek při pohledu v rozdílných měřítkách (v různém zvětšení). Mandelbrot zavedl soběpodobnost jako vnitřní homotetii zkoumaného objektu [20] (str. 28). Lze ji navíc rozdělit na tři druhy [19] (str. 88): Přesná soběpodobnost přesně soběpodobná množina vzniká opakováním stejného motivu pomocí změny měřítka, rotací či posunutím. Její části tedy vypadají vždy stejně při libovolném zvětšení či zmenšení, objekty vykazují pravidelnost. Jedná se např. o Sierpińského trojúhelník, Kochovu vločku apod. Statistická soběpodobnost odráží skutečnost, že přírodní fraktály (pobřežní linie, listy, sněhové vločky atd.) nikdy nejsou stoprocentně pravidelné, tedy ani přesně soběpodobné. Při jejich generování hraje určitou roli náhoda. Soběpříbuznost je vlastnost objektů, které jsou sice generovány deterministickými algoritmy nezahrnujícími náhodu, ale zároveň nejsou přesně soběpodobné. Příkladem jsou množiny Juliovy či Mandelbrotova množina. Dalším důležitým pojmem je topologická dimenze. Jedná se o přirozené číslo, které charakterizuje počet rozměrů daného útvaru [19] (str. 80), tedy počet parametrů, které jsou potřeba k popisu tělesa, resp. všech jeho bodů. Například všechny body X přímky p lze popsat parametrickou rovnicí p: X = A + t u, kde A je bod přímky, u je její směrový vektor, a t R je jediná nezávisle proměnná. Proto lze říci, že topologická dimenze přímky je rovna jedné. Obdobně lze určit topologickou dimenzi pro rovinu ρ, jejíž parametrické vyjádření je ρ: X = A + t u + s v; A ρ; t, s R, u, v jsou opět směrové vektory roviny. Rovnice obsahuje parametry dva a tudíž je její topologická dimenze rovna dvěma. Poslední potřebný pojem nutný k definování fraktálu je Hausdorffova- Besicovitchova dimenze (někdy označovaná jako fraktální dimenze, méně přesně jako dimenze zlomková). Zajímavé je, že tento matematický konstrukt byl představen roku 17

18 1919, tedy v době, kdy fraktály ještě nebyly definovány. Praktické využití Hausdorffovy-Besicovitchovi dimenze přinesl později opět Mandelbrot, který ji dal do souvislosti s empirickým vztahem Lewise Fry Richardsona ( ) určeným pro výpočet celkové délky pobřežní linie. Richardson si totiž jako první všiml, že délka pobřeží je závislá na délce měřidla, kterým bylo pobřeží měřeno. Poukázal na to, že se se zmenšováním měřidla délka hranic neustále zvětšuje (tzv. Richardsonův efekt). Ve světě eukleidovské geometrie hladkých objektů je to nezvyklé, neboť délka křivky je vždy stejné konečné číslo nezávislé na velikosti měřidla. Dimenze pobřežní linie má tedy hodnotu mezi čísly jedna (topologická dimenze křivky) a dva (topologická dimenze roviny), neboť v rovině zabírá více místa než hladká křivka. Mandelbrota to tedy vedlo k zamyšlení, že fraktály budou mít pravděpodobně neceločíselnou dimenzi. Rozdíl mezi Hausdorff-Besicovitchovou a topologickou dimenzí udává úroveň členitosti zkoumaného objektu čím větší rozdíl mezi nimi je, tím více je objekt členitý. Tohoto vztahu Mandelbrot využil a na jeho základě se pokusil definovat fraktál: Fraktál je množina či geometrický útvar, jehož Hausdorffova-Besicovitchova dimenze je (ostře) větší než dimenze topologická [19] (str. 81). Tato definice však nebere v potaz objekty, které se za fraktály považují, protože se jejich fraktální dimenze v různých částech liší, nebo není možné ji vypočítat. Proto ani dodnes neexistuje matematicky přesné vymezení pojmu fraktál. Jiná Mandelbrotova definice založená na soběpodobnosti zní: Fraktál je tvar tvořený částmi, které jsou podobné celku. Soběpodobnost však není dostačující podmínkou, neboť např. čtverec může být složen z menších čtverců, přesto však není fraktálem. Fraktály lze dle [19] (str. 88) popsat jejich charakteristickými vlastnostmi: mají detaily na každé úrovni, jsou soběpodobné nebo soběpříbuzné, jejich fraktální dimenze je (ostře) větší než topologická dimenze, někdy jsou popsatelné pomocí jednoduchých algoritmů. 18

19 2.3.2 Historie Fraktální geometrie (tedy geometrie zabývající se fraktály) je vcelku mladá matematická disciplína. Její kořeny sice sahají až do 19. století (potažmo až do 12. století, vezme-li se v úvahu výskyt fraktálů ve výzdobách některých architektonických památek), nicméně oficiální vznik je datován až k roku 1975, kdy bylo slovo fraktál poprvé použito francouzsko-americkým matematikem Benoît B. Mandelbrotem. Tento termín je odvozen od latinského slova fractus, což znamená rozlámaný, rozbitý. Než byla vymyšlena definice fraktálu, objevovaly se v průběhu dějin matematiky tyto objekty víceméně nahodile. Za předchůdce fraktálů lze považovat křivky funkcí, které jsou spojité, ale v žádném svém bodě nemají derivaci. Ve své době (tedy na konci 19. století) byly tyto objekty matematickou veřejností přijímány s odporem jako matematičtí strašáci a monstra [19] (str. 12), neboť se značně lišily od ideálních objektů eukleidovské geometrie. Prvním takovým monstrem byla pravděpodobně funkce českého německy hovořícího matematika Bernarda Bolzana ( ). Bolzanova funkce byla popsána v jeho rukopisu Functionenlehre, který vznikl mezi roky Bohužel byl tento spis detailně prozkoumán až o mnoho let později, takže k detailní publikaci jeho funkce (a důkazu spojitosti a nediferencovatelnosti) došlo až v roce 1930 díky českému matematikovi Karlu Rychlíkovi [21] (str. 242). Prvenství tak v podobě žalostné rány spojitým funkcím a jedna z nejdalekosáhlejších událostí v poznání matematickém [22] (str. 69) se připisuje až autorovi následujícímu. Obrázek 2: Bolzanova funkce [23] (str. 177) 19

20 Podobnou funkci totiž objevil německý matematik Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ), který ji v roce 1872 představil na přednášce v Královské akademii věd v Berlíně [23] (str. 135). Weierstrassova funkce je již definována funkčním předpisem, zatímco funkce Bolzanova byla definována geometricky jako limita posloupnosti spojitých funkcí. Obrázek 3: Weierstrassova funkce [23] (str. 135) - první tři aproximace Mezi nejjednodušší a pravděpodobně nejlépe prozkoumané fraktální objekty patří množina německého matematika Georga Ferdinanda Ludwiga Philippa Cantora ( ), která byla poprvé popsána v roce 1883, a která nese jeho jméno Cantorovo diskontinuum (Cantorův prach či Cantorovo mračno). Konstrukce této množiny je velmi triviální: Celá tato množina leží v intervalu [0, 1] a její konstrukce spočívá ve vynechání druhé třetiny tohoto intervalu a ze všech dalších, které tímto procesem vznikají. ( ) Cantorovu množinu reprezentují nikoli koncové body úseků vzniklých během iterací, ale množina bodů, která tu zůstane po nekonečně mnoha iteracích. [19] (str. 15) Obrázek 4: Cantorovo diskontinuum - prvních šest iterací [24] Zajímavou vlastností této množiny je, že její mohutnost je rovna mohutnosti celého původního intervalu 0, 1, tedy i mohutnosti celé množiny reálných čísel. 20

21 V roce 1890 známý italský matematik Giuseppe Peano ( ) objevil v návaznosti na Cantorovu práci vskutku zajímavý geometrický objekt. Podařilo se mu sestrojit speciální Peanovu křivku, která vyplní celý dvojrozměrný prostor jednotkového čtverce, přestože se jedná o čáru jednorozměrnou. Obrázek 5: Peanova křivka [23] (str. 136) Konstrukce je zřejmá z Obrázku 5 vychází z úhlopříčky jednotkového čtverce. V následujícím kroku je nahrazena lomenou čárou, která nad a pod prostřední třetinou původní úsečky vykreslí dva čtverce o délce hrany třetiny původní úhlopříčky. Dále je pak algoritmus aplikován na všechny nově vzniklé kratší úsečky, a tak stále donekonečna. Tato křivka pro změnu inspirovala německého matematika a vysokoškolského pedagoga Davida Hilberta ( ). Ten rok po objevu Peanovy křivky přišel s vlastní, o něco složitější, Hilbertovou křivkou. Ta opět dokáže vyplnit celý dvojrozměrný prostor daný její první iterací. Obrázek 6: Konstrukce Hilbertovy křivky [25] (str. 205) Díky této linearizaci dvourozměrného prostoru lze křivku využít např. k indexaci buněk vícerozměrných datových struktur. Velkou výhodou je, že zde dochází k zachování sousedství (sousední buňky v prostoru jsou sousední i na samotné křivce). [26] 21

22 Dalším neobvyklým monstrem se stal v roce 1904 útvar švédského matematika Nielse Fabiana Helge von Kocha ( ), který byl popsán v publikaci Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire (O spojité křivce bez tečen, sestrojené na základě elementární geometrie). Kochova vločka vzniká z rovnostranného trojúhelníku, u kterého je vždy prostřední třetina jeho strany nahrazena dalším rovnostranným trojúhelníkem s třetinovou délkou strany a jeho podstava je vynechána. Tento postup se opakuje opět pro všechny úsečky objektu nekonečněkrát. Obrázek 7: První čtyři iterace Kochovy vločky [27] Vločka má několik velice zajímavých vlastností. Kromě toho, že nemá derivaci v žádném bodě, nikdy sama sebe neprotne. Navíc je nekonečně dlouhá a přitom ohraničuje plochu s konečným obsahem. Pokud bude výchozím objektem pouze jedna úsečka místo trojúhelníku, vznikne Kochova křivka. Obrázek 8: Kochova křivka v prvních šesti fázích vzniku [19] (str. 18) Zobecněním Cantorova diskontinua do dvojrozměrného prostoru získal v roce 1916 významný polský matematik Waclaw Frantiszek Sierpiński ( ) objekt, jenž je dnes nazýván Sierpińského trojúhelníkem, případně Sierpińského kobercem. Konstrukce je opět velmi jednoduchá, vychází obvykle z rovnostranného trojúhelníku. Fraktál je generován pomocí středních příček, které výchozí tvar rozdělí na čtyři menší trojúhelníky, z nichž prostřední se odstraní. V nových třech trojúhelnících se tento postup opakuje nekonečněkrát. V případě koberce je výchozím tvarem čtverec, který 22

23 je rozdělen úsečkami na devět shodných čtverců (tedy úsečkami spojujícími protilehlé body v jednotlivých třetinách stran). Prostřední čtverec je opět odebrán a ve zbylých probíhá algoritmus až do nekonečna. Obrázek 9: Sierpińského trojúhelník [28] a Sierpińského koberec [29] Mezi Sierpińského trojúhelníkem a trojúhelníkem Pascalovým lze nalézt zajímavou podobnost. Stačí obarvit jednou barvou čísla sudá a druhou barvou čísla lichá (obr. 10). Obrázek 10: Obarvený Pascalův trojúhelník O deset let později rakouský matematik Karl Menger ( ) sestrojil podobný fraktál v prostoru trojrozměrném. Ve světě je známý jako Mengerova houba (či Sierpińského-Mengerova houba), vzniká z krychle. Krychle se rozdělí na 27 shodných menších krychlí (mají třetinovou délku hrany oproti původní), sedm z nich se odstraní vždy jedna ze středu stěny a jedna zprostřed výchozí krychle. Totéž se aplikuje na všechny zbylé krychličky, a tak dále do nekonečna. 23

24 Obrázek 11: Iterace Mengerovy houby [30] Mengerova houba je trojrozměrná mřížka, která má nekonečně malý objem a zároveň nekonečně velký povrch. Představuje tak universální objekt obsahující ekvivalenty všech myslitelných křivek v prostoru. To znamená, že každá křivka, vhodně deformována (jako by byla z gumy), je identická s nějakou částí houby. Tak představuje Mengerova houba superobjekt pro všechny křivky. [31] (str. 36) V průběhu a na konci 1. světové války se nezávisle na sobě zabývali francouzští matematici Gaston Maurice Julia ( ) a Pierre Joseph Louis Fatou ( ) studiem iterací racionálních funkcí v komplexní rovině. Julia již ve svých 25 letech publikoval text Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles (Pojednání o iteracích racionálních funkcí), který byl na dlouhá léta zapomenut, přestože byl pro vznik fraktální geometrie velmi důležitý. Opíral se mj. o dva články, které vydal v roce 1906 a 1917 Fatou, neboť ho zaujaly zajímavé výsledky jeho práce [32] (str. 5). Fatou však pracoval pouze se speciálními případy funkcí, proto se Julia pokusil o zobecnění. To se mu podařilo, a tak objevené množiny dnes nesou právě jeho jméno. Kvadratický polynom f c (z) = z 2 + c, c C, nejjednodušší nelineární racionální komplexní funkce, stál u vzniku již velmi známých fraktálních objektů. Juliova množina Jc této funkce je hranice množiny těch z, pro která je posloupnost {f c (z), f c (f c (z)) = f 2 c (z), }, vytvořená postupným iterováním této funkce, omezená. [33] (str. 273). Juliova množina je tedy definována jako množina všech komplexních čísel z 0, pro které posloupnost z n+1 = z 2 n + c nediverguje. V závislosti na komplexním parametru c lze získat řadu rozmanitých fraktálů, viz Obrázek 12. Některé z nich jsou souvislé (Jordanovy křivky, dendrity), jiné se naopak rozpadají na velice nesouvislé množiny (tzv. Cantorovy plošné obdoby Cantorova diskontinua). 24

25 Obrázek 12: Juliovy množiny (vygenerováno aplikací Slatcarf [34]) Julia ani Fatou však ve své době ještě neměli k dispozici počítač, kterým by objevené množiny dokázali zobrazit. To se povedlo až otci fraktální geometrie, francouzskoamerickému vědci a matematikovi Benoît B. Mandelbrotovi ( ) v 80. letech 20. století. Jelikož byl Mandelbrotův otec velkým obdivovatelem map, Benoît se kolem roku 1950 začal zajímat o možnosti generování nahodilých pobřežních linií na základě jediného matematického vzorce, později přemýšlel i o konstrukci celých nahodilých krajin [35] (str. 220). V roce 1958 začal pracovat ve společnosti IBM jako konzultant, přesto však počítače ještě nebyly na takové úrovni, aby byly schopné zpracovávat počítačovou grafiku. Během tří let působení v IBM se Mandelbrotovy zdařily dva významné objevy, které jej postupně posouvaly směrem k definování celé fraktální geometrie. Nejprve šlo o studium vývoje cen bavlny (kterým navázal na úkol od IBM, kdy měl zkoumat chování cen na finančních trzích, neboť v té době firma procházela velkou expanzí a reorganizací), poté o hledání řešení pro odstranění šumu při datových přenosech po telefonních linkách. Benoît byl velmi vnímavým člověkem se 25

26 smyslem pro detail, proto v těchto strukturách začal nacházet podobnosti s Cantorovým diskontinuem. První náčrtek fraktálního pobřeží umělých ostrovů Mandelbrot získal na konci 60. let pomocí dálnopisu a ručního vybarvování vnitřních částí ostrovů. IBM dlouho odmítala nakoupit technologii pro barevné vykreslování na CRT monitoru, neboť údajně nešlo o obor jejich zájmu, nicméně v roce 1976 pořídila do oddělení vývoje zařízení schopné zobrazovat barevnou grafiku. Během jediného víkendu připravil Mandelbortův kolega software pro vykreslování. Umělé ostrovy však nebyly jedinou jeho zálibou. Zasahoval do všech možných vědeckých oborů, které spolu na první pohled nesouvisely, častokrát byl ignorován pro své rebelství ve vědě a schopnost bourat zastaralé náhledy na danou problematiku. Dokázal však najít fraktální struktury v matematice, astronomii, hydrologii, lingvistice, či ve výtvarném umění a hudbě. V roce 1975 vydal publikaci Les objets fractals, forme, hasard et dimension (Fraktály: Tvar, náhoda a dimenze), kde poprvé zmínil pojem fraktál toto slovo si vybral pro jeho potřebu vyjádřit představu roztříštěnosti kamene, něčeho fragmentovaného a nepravidelného [35] (str. 271). Kniha mj. pojednává o problému měření délky pobřeží, popisu tvaru mračen, řek, hustotě galaxií ve vesmíru, a hlavně o fraktální dimenzi, či drsnosti (hrubosti) a soběpodobnosti. Mandelbrot tak poukázal na zásadní nedostatky eukleidovské geometrie neschopnost jednoduchou formou popisovat složité přírodní úkazy a objekty. Pomalu se blížila chvíle velkého objevu. Na popud svého strýce, uznávaného matematika Szolema Mandelbrojta, se seznámil už ve 40. letech s teorií Fatoua a Julia navrhl mu ji tehdy jako téma jeho disertační práce. S tématem však nedokázal pohnout, a tak ho vzdal a vydal se jinou cestou. Přes třicet let na něj tato velká výzva stále čekala. Nakonec se mu podařilo v letech 1979 a 1980 zobecnit teorii kolem komplexní paraboly, což vyústilo v objev vzorníku Juliových množin tzv. Mandelbrotovy množiny, pravděpodobně nejznámějšího matematického fraktálního útvaru na světě. Tato množina je na rozdíl od Juliových množin jediná, a každý její bod určuje jednu Juliovu množinu, která danému bodu náleží [36]. 26

27 Obrázek 13: Mandelbrotova množina (vygenerováno aplikací Slatcarf [34]) V roce 1982 vyšla další populární Mandelbrotova kniha nesoucí název The fractal geometry of nature (Fraktální geometrie přírody), ve které již byly zveřejněny prvotní náhledy na jeho množinu tehdy byla ještě označována jako množina lambda. Stejně jako Juliovy množiny Mandelbrotův objekt vychází z iterací funkce komplexní paraboly dané předpisem z n+1 = z 2 n + c, kde z n, c C. Rozdíl je však v nastavení vstupních podmínek zatímco Julia zavedl číslo c jako pevně zvolenou komplexní konstantu pro všechny posuzované body z 0, Mandelbrot počáteční hodnotu posloupnosti nastavil na z 0 = 0 a jako posuzovaný bod uvažoval komplexní číslo c. Zajímavostí je, Mandelbrotova množina obsahuje nekonečně mnoho svých přibližných kopií. Nacházejí se jak po jejím obvodu, tak i v jejím okolí, přesto jsou vždy s hlavní částí spojeny množina je totiž souvislá. Toto tvrzení dokázal v roce 1982 francouzský matematik Adrien Douady ve spolupráci s americkým matematikem Johnem Hamalem Hubbardem. Mandelbrot tedy zvládl najít vztahy mezi jednotlivými matematickými i přírodními monstry, která se v historii objevovala v různých oblastech. Proto je považován za zakladatele fraktální geometrie, neboť jeho snahou bylo tyto objekty blíže prozkoumat, definovat a sjednotit. 27

28 2.3.3 Generování fraktálů Přestože různých fraktálních objektů existuje mnoho, lze rozlišovat jednotlivé skupiny fraktálů, které mají shodné nejvýznamnější vlastnosti. To samozřejmě vede k určité systematičnosti fraktální geometrie. Každý typ fraktálů je specifický tím, že je vhodný pro řešení jen některých okruhů problémů, liší se i způsobem jejich generování. Pro tuto práci mají největší význam tzv. L-systémy (Lindenmayerovy systémy), pojmenované po maďarském biologovi Aristidovi Lindenmayerovi ( ), někdy též označované jako Logo-like systémy (s odkazem na želví grafiku) nebo paralelní přepisující se systémy. Lindenmayer zkoumal možnosti simulace vývoje biologických systémů na počítačích, neboť se pokusil na vývoj organismu pohlížet jako na vykonávání nějakého programu, který je uložen v oplodněném vajíčku [19] (str. 23). Využívají se tedy hlavně ke generování objektů, které připomínají rostliny, stromy, řeky, a další přírodní útvary. Každý deterministický bezkontextový L-systém je uspořádaná trojice, jež je tvořena konečnou abecedou symbolů (každý má svůj předem určený geometrický význam), konečnou množinou přepisovacích pravidel (která definuje přepis symbolu na slovo), a axiomem (určuje počáteční stav systému). Mezi typické fraktály generované L- systémy patří Kochova vločka, Peanova a Hilbertova křivka, či Pythagorův strom. Např. Kochovu křivku (část Kochovy vločky) lze pomocí L-systému získat pomocí následujícího předpisu: Abeceda: F + Axiom: F Přepisovací pravidla: F F + F F + F Úhel otočení: 60 K nakreslení fraktálu využijeme již zmíněnou želví grafiku. Abeceda používá pouze tři symboly: F značí posun želvy dopředu o určenou vzdálenost (vykreslení úsečky), + a určuje otočení želvy o daný úhel vlevo či vpravo. Přepisovací pravidlo říká, že v každém dalším kroku je symbol F přepsán na slovo F + F F + F. První tři kroky generování části Kochovy vločky lze vidět v Tabulce 1. 28

29 Iterace Předpis Výsledný objekt 0 F 1 F + F F + F 2 F + F F + F + F + F F + F F + F F + F + F + F F + F Tabulka 1: Ukázka generování Kochovy křivky pomocí L-systému Kromě deterministických L-systémů samozřejmě existují i stochastické (náhodné) L- systémy, které při generování objektů využívají určitý prvek náhody (např. randomizaci délky kroku nebo úhlu otočení), takže pokaždé je výsledný fraktál trochu rozdílný. Díky tomu lze vytvářet přirozeně vypadající porosty stromů atd. Obrázek 14: Traviny vymodelované pomocí L-systémů ve 3D [37] Fraktály je dále možné konstruovat pomocí afinních transformací (rotace, translace, změny měřítka, apod.). Takový postup se nazývá IFS (Iterated function system), česky též systém iterovaných funkcí, což znamená, že se dané afinní transformace, použité pro konstrukci daného fraktálu, stále opakují [19] (str. 31). Pomocí deterministického algoritmu se získávají fraktály soběpodobné (Kochova vločka, Sierpińského trojúhelník), v případě stochastického přístupu jsou výsledkem fraktály soběpříbuzné (Barnsleyho kapradí). Určitou formu IFS lze nalézt ve fraktální kompresi bitmapových obrázků. Pokud lze totiž fraktální geometrií popsat přirozeně vypadající obraz (převážně přírodní objekty 29

30 jako jsou hory, stromy, mraky), jistě by mohlo jít i takový obraz zpětně rozložit a zkomprimovat popis obrazu pomocí IFS spočívá v hledání inverzní úlohy [38]. Takto kódovaný obrázek v sobě nese pouze informace o použitých afinních transformacích, tudíž lze při jeho rekonstrukci vycházet z libovolného jiného obrazu (v praxi se nejvíce používá jednobarevná šedivá plocha, neboť se s ní dosahuje nejrychlejší dekomprese). Obrázek 15: Kochova křivka pomocí čtyř afinních transformací [19] (str. 32) a Barnsleyho kapradí [39] Další kategorií jsou dynamické systémy s fraktální strukturou. Dynamický systém je popsán pomocí dynamických podmínek, které popisují změnu tohoto systému v čase. Stav systému v libovolném časovém okamžiku je potom reprezentován vektorem, který leží ve stavovém prostoru dynamického systému - jde o tzv. stavový vektor. Dynamické podmínky jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového vektoru v čase. Změna stavu dynamického systému se děje provedením těchto diferenciálních rovnic a nahrazením starého stavového vektoru vektorem novým. [40] Typickými fraktály dynamických systémů jsou atraktory. Atraktor dynamického systému je množina stavů, do kterých systém směřuje. Jinými slovy se jedná o množinu hodnot, kterých může nabývat stavový vektor dynamického systému po dostatečně dlouhém časovém úseku od počátku. [41] Atraktorů existuje několik tříd, nejzajímavější je třída podivných atraktorů. Jejich charakteristickou vlastností je chaotičnost a zároveň určitá pravidelnost. První takový atraktor vytvořil americký matematik Edward Norton Lorenz ( ) v roce 1963 při studiu počasí. Sestavil velmi zjednodušený model pro simulaci vývoje počasí pomocí nelineární soustavy tří diferenciálních rovnic. Výsledkem byl tzv. Lorenzův atraktor, který je velice citlivý na změnu počátečních podmínek, přestože je deterministický. I minimální změna vstupních parametrů vede k velkým změnám konečného výsledku. K tomu se váže termín efekt motýlích křídel, který říká, že údajně i mávnutí křídly motýla nad Brazílií může způsobit tornádo v Texasu. 30

31 Obrázek 16: Lorenzův podivný atraktor [42] Mezi dynamické systémy patří i typ fraktálů označovaný jako TEA (Time Escape Algorithm), pro jejichž vykreslování se používá komplexní rovina. Tento algoritmus je iterační přičemž provádí dané iterace až do překročení zvolené hranice nebo do vyčerpání maximálního počtu iterací. Je založen na předpokladu úniku dané trajektorie ze zvolené oblasti, která je částí komplexní roviny. [19] (str. 54) Klasickým TEA fraktálem je Mandelbrotova množina a množiny Juliovy. Existuje však i obrovské množství fraktálních struktur, které nelze zařadit ani do jedné z těchto skupin. Říká se jim náhodné (stochastické) fraktály, a jsou používány opět hlavně pro popis přírodních jevů. Z názvu je patrné, že se do jejich výpočtů promítá určitý prvek náhody. Kromě již zmíněných stochastických L-systémů a stochastických IFS lze takový fraktál nalézt např. v Brownově pohybu jedná se o náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném či plynném prostředí. Obrázek 17: Brownův pohyb záznam trajektorií tří částic [43] 31

32 2.3.4 Fraktály kolem nás V této práci je pozornost věnována fraktálům hlavně proto, že se velké množství těchto objektů nachází všude kolem nás, ať již v přirozené přírodní formě, nebo v umělých konstrukcích. Většina lidí je nevnímá, nebo je ani nenapadne hledat podobné struktury v původně nesouvisejících předmětech a oblastech. Stačí se rozhlédnout kolem sebe a nebude trvat příliš dlouho, abychom fraktály v našem prostředí objevili. V přírodě na ně lze narazit takřka všude. Pravděpodobně nejznámějším přírodním objektem s fraktální strukturou je speciální odrůda květáku zvaná romanesco (brukev zelná). Nicméně mezi rostlinami není soběpodobnost (resp. soběpříbuznost) nic neobvyklého každá část keře či stromu je v určitém přiblížení podobná celku. Kupříkladu již zmíněné Barnsleyho kapradí je také inspirováno reálnou kapradinou sleziníkem netíkovitým. Obrázek 18: Romanesco [44] a sleziník netíkovitý [45] Některé mikroorganismy se občas shlukují do skupin, které mají fraktální vzhled. Může jít o kolonie sinic, řas, nebo bakterií (Obrázek 19). Fraktály lze nalézt samozřejmě i u živočichů, jen je většinou potřeba jít více pod povrch. Důkazem může být velmi rozvětvená cévní soustava člověka, jeho mozek a soustava nervová, nebo třeba plíce (jejichž povrch je oproti objemu značný). Neživá příroda je též plná objektů s fraktální strukturou. Kromě nekonečně dlouhých pobřežních linií se soběpříbuzné útvary nachází v horninách (část kamene 32

33 připomíná celou skálu), tvoří je krystaly různých prvků periodické tabulky (např. bismut), větvící se ramena říční delty, vodopády, krasové jevy, nebo jevy meteorologické: mraky, sněhové vločky, blesky, námraza (na okně) atd. Obrázek 19: Kolonie zelené řasy Pleodorina indica [46] a kolonie bakterie Paenibacillus vortex [47] Obrázek 20: Krystal bismutu [48] a delta řeky Leny [49] Fraktály vytvořené člověkem se objevovaly nahodile již v minulosti v umění, lidové tvorbě nebo architektuře, bez znalosti jakýchkoli zákonitostí fraktální geometrie. Zajímavou architektonickou památkou s fraktální strukturou je hinduistický chrám Kandariya Mahadeva v Indii, který byl postaven v první polovině 11. století. Hlavní věž měřící 31 metrů je obklopena 84 podobnými menšími vížkami. 33

34 Obrázek 21: Hinduistický chrám Kandariya Mahadeva v Indii [50] Také v některých evropských stavbách lze nalézt ornamentální mozaiky s fraktálním vzorem. Příkladem může být italská katedrála Duomo di Ravello z konce 11. století, která ve výzdobě nese náznaky Sierpińského trojúhelníku. Ten byl začátkem 12. století použit i v mozaikové dlažbě baziliky San Clemente v Římě. S velkou pravděpodobností šlo pouze o ztvárnění uměleckého cítění autorů, nikoli jejich matematických znalostí. Obrázek 22: Vzory v Duomo di Ravello [51] a dlažba v San Clemente [52] Za soběpříbuzný fraktál lze částečně považovat i velmi známou tradiční ruskou malovanou panenku matrjošku, jenž byla poprvé vyrobena roku

35 V roce 1940 namaloval španělský surrealistický malíř Salvador Dalí obraz nesoucí název La Cara de la Guerra (Tvář války), který má v sobě prvek nekonečných iterací. Obrázek 23: Obraz La Cara de la Guerra [53] Poslední ukázkou, kde všude lze fraktály najít, je strukturovaná africká vesnice Ba-ila v jižní Zambii (před rokem 1944). Stavba vesnice se řídí jednoduchými pravidly rodinné obydlí je tvořeno kruhovou (či spíše vejcovitou ) ohradou pro dobytek se vstupní branou, uvnitř ohrady jsou malé budovy (skladiště apod.) s tím, že velikost budovy odpovídá důležitosti uživatele, v tomto případě otce, stařešiny apod. Ta je umístěna naproti vstupní bráně. [19] (str. 16) Vesnici stejným stylem pak tvoří tato rodinná obydlí, v centru žije nejvýše postavený obyvatel se svou rodinou kolem sebe. Obrázek 24: Letecký snímek vesnice Ba-ila a její schematický náčrt [54] 35

36 2.3.5 Fraktály a jejich role v RVP ZV a RVP G. Využití ve výuce Přestože se v našem světě nachází útvary s fraktální strukturou téměř všude, v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV) [55] a v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia (RVP G) [56] o nich nelze nalézt ani zmínku. To ovšem neznamená, že by učitelé neměli toto téma kam zařadit. Existují totiž cíle jednotlivých vzdělávacích oblastí, př. konkrétněji specifikované vzdělávací obsahy těchto oblastí, ve kterých se dá mezi řádky vycítit možnost zařazení tématu týkající se fraktálů. Fraktální geometrie se tak stává důležitým prvkem pro budování mezipředmětových vztahů. RVP ZV V charakteristice vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace je v rámci popisu tematického okruhu Geometrie v rovině a v prostoru uvedeno, že žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás [55] (str. 30), což je věc, o kterou se mj. snaží fraktální geometrie. I když je pojem nekonečno velmi abstraktní a pro mladší žáky těžce uchopitelný, neznamená to, že by se o něj žáci neměli zajímat co nejdříve např. skrze problematiku měření délek (již zmíněné měření hranic pobřeží). Toho je možné využít k provázání se vzdělávací oblastí Člověk a příroda, konkrétně s oborem Zeměpis (Geografie). Konstruktivistickým přístupem tak lze poukázat na závislost mezi měřítkem mapy, délkou měřidla, a výslednou délkou pobřeží, což se dá zpětně promítnout do matematického okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty (jedním z výstupů je, že žák by měl být schopen matematizovat jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů), př. Číslo a proměnná (v očekávaných výstupech je dokonce uvedena přímo schopnost žáka pracovat s měřítky map). Cílové zaměření vzdělávací oblasti Informační a komunikační technologie zmiňuje vedení žáka k pochopení funkce výpočetní techniky jako prostředku simulace a modelování přírodních i sociálních jevů a procesů [55] (str. 38). Dosáhnout toho můžeme pomocí želví grafiky, kterou je možné zasadit do vzdělávacího obsahu Zpracování a využití informací, neboť se mezi očekávanými výstupy objevuje práce s grafickými editory. Prostředí programovacího jazyka Logo lze jistým způsobem považovat i za grafický editor, jen 36

37 grafika není vytvářena pomocí počítačové myši, ale pomocí jednoduchých příkazů a algoritmů. Mezi očekávanými výstupy jednotlivých vzdělávacích obsahů oboru Fyzika je také prostor pro zkoumání některých fraktálních jevů. Učivo bloku Látky a tělesa obsahuje kromě měření délek a dalších veličin též důležitý pojem difúze, který úzce souvisí s Brownových pohybem částic (ten generuje stochastické fraktály) ostatně v očekávaných výstupech je požadavek, aby měl žák představu o tom, že se částice látek neustále pohybují a vzájemně na sebe působí, a měl by znát konkrétní příklady jevů, kterými to lze dokázat. Zde je pro změnu přesah do vzdělávací oblasti Částicové složení látek a chemické prvky a Směsi (ve vztahu k difúzi jakožto jevu, při kterém dochází k rozptylování částic z prostředí s vyšší koncentrací do prostředí s nižší koncentrací, dokud se koncentrace v celém prostoru nevyrovnají) vzdělávacího oboru Chemie. I Přírodopis patří k oborům, ve kterých se fraktály (přírodní, zmíněné v kapitole 2.3.4) nepřímo objevují. Můžeme s nimi přijít do styku v bloku Obecná biologie a genetika (tvorba kolonií bakterií), Biologie rostlin (porovnávání anatomie a morfologie rostlin, poznávání kapraďorostů, kolonie sinic a řas apod.), Biologie živočichů a Biologie člověka (fraktální struktura oběhové či nervové soustavy, stavba plic), a Neživá příroda (vzhled nerostů, hornin a krystalů, problematika předpovědi počasí). V neposlední řadě se dají fraktály využít v oboru Výtvarná výchova, protože očekávané výstupy zahrnují mj. metody tvorby uplatňované v současném výtvarném umění a digitálních médiích s důrazem na počítačovou grafiku. RVP G V Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia se vyskytují takřka stejné možnosti zařazení problematiky fraktálů jako v RVP ZV, jen ne v takové míře, protože RVP G je na rozdíl od RVP ZV ještě o něco obecnější. Cílové zaměření vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace vede žáka opět k práci s matematickými modely, k vytváření zásoby algoritmů a metod řešení úloh, k užívání moderních technologií, k vědomí, že realita je složitější než její matematický model, k rozvíjení geometrického vidění a prostorové představivosti atd. 37

38 Oblast Člověk a příroda, která obsahuje obory Fyzika, Chemie, Biologie, Geografie a Geologie, klade důraz na potřebu zkoumat svět kolem nás komplexně, multidisciplinárně, bez zbytečných bariér mezi jednotlivými předměty. Také cílem těchto oborů je vést žáka k tvorbě modelů přírodních objektů, využívat prostředků technologie k poznání a bádání, předvídat průběh přírodních procesů. To vše se dá zastřešit v určitých případech (uvedených v podkapitole o RVP ZV) právě fraktální geometrií. Oblast Informatika a informační a komunikační technologie nabízí oproti oblasti z RVP ZV téma komprese dat (lze zmínit kompresi fraktální), algoritmizaci a úvod do programování (generování objektů s fraktální strukturou), nebo téma přenosu dat v počítačových sítích (výskyt šumu a chyb s fraktálním charakterem s odkazem na Cantorovo diskontinuum, vlastnosti fraktálních antén pro bezdrátovou komunikaci). V humanitně zaměřených vzdělávacích blocích jako je Dějepis nebo Výtvarný obor lze pracovat s projevy fraktální geometrie např. v architektuře (tvary staveb, jejich výzdoba) či obrazech. Fraktály v tureckém kurikulu pro druhý a třetí stupeň vzdělávání To, že fraktály mají své místo ve vzdělávání žáků, dokazuje např. turecký národní kurikulární dokument İlköğretim Matematik Dersi 6 8. Sınıflar: Öğretim Programi Ve Kilavuzu (Osnovy základního kurzu matematiky pro ročník) z roku 2009 [57] nebo dokument Ortaöğretim Matematik (9, 10, 11 Ve 12. Sınıflar) Dersi Öğretim Programi (Osnovy středoškolského kurzu matematiky pro ročník) z roku 2011 [58] a Ortaöğretim Geometri Dersi Sınıflar: Öğretim Programi (Osnovy středoškolského kurzu geometrie pro 9. a 10. ročník) z roku 2010 [59]. Problematika fraktální geometrie byla do systému vzdělávání poprvé zařazena v roce 2005, kdy došlo v Turecku ke kurikulární reformě. Vláda nebyla spokojená s výsledky výzkumu matematické gramotnosti TIMSS 1999 a následně PISA 2003, ve kterých se Turecko umístilo na spodních příčkách žebříčku (TIMSS 1999: 31. místo z 38 zemí [60] (str. 14), PISA 2003: 34. místo ze 41 zemí [61] (str. 4)) srovnávaných zemí OECD (Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj) a dalších zemí mimo OECD, a proto se rozhodla přepracovat školství. Současné vzdělávací programy vychází z trendů 38

39 moderní pedagogiky ve smyslu odklonu od instruktivismu ke konstruktivismu, podpory rozvoje kompetencí, zahrnují počítačem podporovanou výuku a vzdělávání, zohledňují přípravu na přijímací zkoušky na vysoké školy. Turecká kurikula jsou však na rozdíl od těch českých více konkrétní, dokonce k nim ministerstvo školství vydalo i učebnice. V tureckém vzdělávacím programu pro druhý stupeň se fraktály vyskytují v geometrii ve vzdělávací oblasti Vzory a teselace [57] (str. 316). Dle uvedených cílů by žáci měli být schopni vytvářet vzory z mnohoúhelníků (tzv. teselace mozaikování či parketování), a také kreslit pravidelně objekty, u kterých mají být schopni rozhodnout, zda se jedná o fraktální útvar či nikoli. V kurikulu pro třetí stupeň jsou fraktály kromě geometrie (žáci by měli umět vytvářet fraktální objekty, objasnit jejich konstrukci, vypočítat jejich délku či plochu v určitém stupni iterace [59] (str ) vyskytuje se zde např. Sierpińského trojúhelník, Kochova a dračí křivka, Pythagorův strom) zahrnuty také v algebře, konkrétně ve vzdělávací oblasti Komplexní čísla [58] (str. 188), kde je využita Mandelbrotova množina a množiny Juliovy k ukázce násobení a dělení komplexních čísel, a dále pak v oblasti Aritmetické posloupnosti a geometrické řady [58] (str. 241) s využitím např. pro výpočet plochy Sierpińského trojúhelníku. Změnami v tureckých středoškolských matematických osnovách se přímo zabývá disertační práce Perceptions of High School Mathematics Teachers Regarding the 2005 Turkish Curriculum Reform and Its Effects on Students Mathematical Proficiency and Their Success on National University Entrance Examinations [62] (Vnímání turecké kurikulární reformy z pohledu středoškolských učitelů matematiky, její vliv na matematické znalosti žáků a na jejich úspěch v přijímacích zkouškách vysokých škol), kterou sepsala Sıdıka Nihan Er na The Patton College of Education of Ohio University v roce Studie se zaměřuje na celkem 162 středoškolských učitelů matematiky [62] (str. 97), z nichž 50 vyučuje na všeobecných středních školách, 42 je z přírodovědně zaměřených středních škol, a 70 z tzv. anatolských středních škol. Anatolské školy jsou státní alternativou ke školám soukromým, jsou též přírodovědně zaměřené, a kladou za cíl připravit žáky na další studia s ohledem na jejich zájmy, 39

40 schopnosti a úspěchy. Pokud se sejde alespoň 12 zájemců, může probíhat výuka přírodních věd v jednom z cizích jazyků, které se primárně ve škole vyučují (angličtina, němčina a francouzština) [62] (str. 16). Tyto školy přijímají nové žáky na základě národních standardizovaných testů a jejich předchozích studijních výsledků. Součástí výzkumu je i přepis 18 rozhovorů s konkrétními učiteli (6 učitelů matematiky z každého druhu střední školy, délka praxe od 12 do 35 let, 10 mužů a 8 žen), kteří se měli vyjádřit k již zmíněným změnám v tureckém školství. Konkrétně pasáž Fractals and tesselations [62] (str. 135) shrnuje názory dotazovaných účastníků na problematiku fraktální geometrie a teselací. Ukázalo se, že všech šest učitelů všeobecných středních škol (G1 G6) a čtyři učitelé anatolských škol (A1 A4) shledávají toto téma jako zbytečné, přiznávají také, že jim chybí potřebné znalosti této problematiky, např. účastnice G1 prohlásila: Možná, že se pletu, ale nejprve bychom měli být v této věci řádně proškoleni, bez dostatečné přípravy to nelze. Na střední ani na vysoké škole jsem se o fraktálech nic nedozvěděla. Samozřejmě bych toto téma vyučovat mohla, pokud si bych se ho sama doučila takto by to ale být nemělo. To poukazuje na neochotu některých učitelů přijímat nová témata a věnovat se samostudiu. Učitelka G3 shledává, že tato témata mohou být přínosná pro žáky odborných středních škol zaměřených na design a návrhářství, jinak jí to přijde jako ztráta času. Učitelky G4 a A3 uvádí, že touto látkou byli žáci znuděni, neboť jim přišla příliš dětinská. Účastnice A1 také řekla, že fraktály a teselace patří podle ní spíše na první stupeň. Dva učitelé A5 a A6 naopak toto téma shledávají přínosným a A6 dodává, že fraktály mají své místo v osnovách, protože podporují představivost žáků. Naopak dotazovaní učitelé z přírodovědně zaměřených škol (S1 S6) nová geometrická témata vítají. Učitel S2 např. o fraktálech prohlásil: Studenti je budou milovat. Tyto aktivity žákům ukážou praktickou aplikaci geometrie. Učitelé S4 a S5 se shodují na tom, že je logické tato témata do výuky zařazovat, bohužel prý však realizace nepřinesla více než pouhý vizuální zážitek. S5 navíc řekl: Fraktály nejsou pro naše žáky nic nového. Pracovali s nimi už mnohokrát v rámci svých projektů. Inspiraci čerpám z knih, ale není dost času na to, aby se člověk soustředil jen na jedno téma. Nikdo nechce zanedbávat další oblasti matematiky. Účastník průzkumu S4 ještě dodal, že současný 40

41 systém nepřispívá ke zlepšení výuky těchto témat, a dále řekl: Moji studenti pracovali na úžasných projektech zaměřených na fraktály, ale když jsem jim dal na konci test, tak dopadl velmi špatně. Stále je co zlepšovat. Učitel S6 označil tato témata jako přínosná a hodiny geometrie se prý pro žáky staly mnohem více smysluplné. Ze zkušeností učitele S3 však vyplynulo, že nepozoroval žádný větší přínos, ačkoliv očekává nějaký přínos pro žáky v budoucnosti. Z těchto rozhovorů si lze odnést, že fraktální geometrii oceňují především mužští učitelé z přírodovědně zaměřených škol a ze škol anatolských. Jak si naopak turečtí žáci dokážou poradit s fraktály, zkoumá studie Fatiha Karakuse a Ilhana Karatase Secondary School Students Misconceptions about Fractals (Mylné představy středoškoláků o fraktálech), která vyšla v září 2014 v mezinárodním časopisu Journal of Education and Human Development [63]. Zaměřuje se na tři konkrétní oblasti: definici fraktálu, rozpoznání fraktálních objektů, a chyby při kreslení fraktálů. Samotný výzkum byl proveden na jaře 2010 a účastnilo se jej celkem 63 žáků: 34 žáků z 8. ročníku ve věku let (17 chlapců a 17 dívek) a 29 žáků 10. ročníku ve věku let (11 chlapců a 18 dívek). Sběr dat probíhal formou otevřeného testu, který obsahoval otázky k tématu vycházející ze státních matematických osnov. V první části měli žáci napsat formální definici fraktálu založené na soběpodobnosti a opakování, v druhé části dostali sérii devíti obrázků, u kterých měli rozhodnout, zda se jedná o fraktální útvar či nikoli. Ve třetí, poslední části testu, měli žáci za úkol nakreslit libovolný fraktální objekt. V Tabulce 2 je shrnuto vyhodnocení první části, tedy definování fraktálního útvaru. Nejčastější špatnou odpovědí bylo, že fraktál je pravidelný vzor, případně fraktály jsou opakované tvary. To poukazuje na nedostatečnou představu rozdílu mezi fraktálem a teselací, a také na nedostatečnou představu tvorby fraktálů. Autoři výzkumu usuzují, že lepší výsledky 8. ročníku souvisí s tím, že se v učebnicích pro tyto žáky definice přímo objevuje, na rozdíl od učebnic určených pro žáky 10. ročníku. Ročník Správná odpověď Špatná odpověď Neúplná odpověď 8 64,7 % 14,7 % 20,6 % 10 44,8 % 31 % 24,2 % Tabulka 2: Správnost odpovědí definice fraktálu [63] (str. 244) 41

42 Tabulka 3 ukazuje, jak byli žáci schopni v druhém úkolu roztřídit objekty na fraktální a nefraktální. Mezi obrázky byly zařazeny kromě matematických fraktálů i fraktály přírodní, jimž se ve státních učebnicích matematiky nevěnuje tolik pozornosti. Zajímavé je, že elipsu, obdélník a kapkovitý útvar velká část žáků (čtvrtina až téměř třetina) 8. ročníku zařadila mezi fraktály. Bylo to pravděpodobně způsobeno tím, že některé tyto tvary byly v učebnici použity jako generátory fraktálních útvarů. Obrázek Ročník Je fraktál Není fraktál Nevím ,6 % 96,6 % 29,4 % 3,4 % 0 % 0 % ,4 % 3,4 % 70,6 % 96,6 % 0 % 0 % ,5 % 58,6 % 23,5 % 41,4 % 0 % 0 % ,5 % 0 % 73,5 % 100 % 0 % 0 % % 100 % 0 % 0 % 0 % 0 % ,4 % 3,4 % 67,6 % 96,6 % 3 % 0 % ,5 % 72,5 % 26,5 % 24,1 % 0 % 3,4 % % 89,7 % 0 % 10,3 % 0 % 0 % ,9 % 79,3 % 44,1 % 20,7 % 0 % 0 % Tabulka 3: Klasifikace objektů barevně vyznačeny správné odpovědi [63] (str. 245) 42

43 Úspěšnost řešení poslední části testu, ve které měli žáci nakreslit nějaký fraktální objekt, se nachází v Tabulce 4. Ukázalo se, že někteří žáci mají problém s aplikováním iteračních pravidel na generátor fraktálu, což mělo za následek neúplné či nepřesné vykreslení objektů. Další chybou, která souvisí se špatným chápáním definice fraktálu, bylo opakované vykreslování pravidelných útvarů, ať už se jednalo o mozaiky, nebo vedle sebe naskládané geometrické tvary lišící se akorát velikostí. Ročník Správná odpověď Špatná odpověď Neúplná odpověď 8 70,6 % 29,4 % 0 % 10 51,7 % 44,8 % 3,5 % Tabulka 4: Správnost odpovědí kresba fraktálu [63] (str. 247) Studie tedy odhalila některá úskalí spojená s problematikou fraktální geometrie. Dle autorů je třeba lépe pracovat s definicí fraktálů, a se způsobem jejich generování. Dále uvádí, že by měly být více zasazeny do kontextu přírody a okolí, a měl by být kladen větší důraz na rozlišování pravidelných útvarů, teselací, a fraktálů [63] (str. 249). Další možnosti využití fraktálů ve výuce Zajímavým zdrojem inspirace pro využití fraktálů ve výuce je webová stránka americké neziskové organizace Fractal Foundation ( sídlící v Albuquerque v Novém Mexiku. Zakladatelem nadace je Jonathan Wolfe, Ph.D., vedoucí oddělení Informačních technologií projektu ECHO (Extension for Community Healthcare Outcomes program zabývající se zlepšením přístupu ke zdravotní péči v odlehlých oblastech) na University of New Mexico, velký obdivovatel fraktální geometrie. Poprvé přinesl fraktály do výuky v roce 2001 na základní škole Alameda Elementary School (Portland, stát Oregon), kde sklidil velký úspěch. Proto se roku 2003 rozhodl založit již zmíněnou nadaci Fractal Foundation. Kromě bezplatného on-line kurzu, který návštěvníka webu zasvětí do problematiky fraktálních struktur, obsahuje stránka i tzv. Fractivities aktivity pro žáky základních a středních škol využívající fraktály k objasnění různých matematických vztahů. Součástí každé aktivity je nejen její popis, zahrnující doporučenou úroveň dětí, seznam potřebných pomůcek, časovou náročnost, cíle lekce, vzorová řešení, a zařazení do studijních programů, ale také materiály pro žáky (převážně pracovní listy) i učitele. 43

44 Například se zde nachází výukový blok Fractals and Exponents (9 13 let) zaměřený na exponenciální funkce a práci s mocninami čísel 2, 3, 4 a 10. Součástí je pracovní list, ve kterém žáci samostatně hledají závislosti mezi složitostí fraktálu a počtem jeho iterací. Je zde využit plný binární strom (pro mocniny čísla 2), Sierpińského trojúhelník (mocniny čísla 3), křivka zvaná H-tree (pro mocniny čísla 4), a řádové velikosti přírodních fraktálů (neuron, ulita, dub, říční delta, hurikán, galaxie) pro mocniny čísla 10. Další činnost je nazvána Fibonacci Sequence and Fractal Spirals (8 17 let). Seznamuje žáky jednoduchou formou s generováním Fibonacciho posloupnosti a jejím využitím pro kresbu spirál. Následně propojuje tuto posloupnost s přírodními objekty, které mají spirální charakter (uspořádání slunečnicových semínek v květenství, spirály nacházející se na povrchu ananasu, ulitách, šiškách jehličnatých stromů, romanescu). Pro nejmladší žáky základních škol je určena aktivita Fractal Triangle (6 13 let), která se dá využít i ve výtvarné výchově. Každý ze žáků dostane k dispozici základní vzor tvořený rovnostranným trojúhelníkem s vyznačenými body ve středech jeho stran. Cílem je vytvořit první čtyři iterace Sierpińského trojúhelníku, vybarvit jednotlivé menší trojúhelníky shodnou barvou pro každou iteraci, celý tvar vystřihnout, a s ostatními spolužáky poskládat jeden velký Sierpińského trojúhelník. K této aktivitě jsou přiřazeny i další činnosti dle úrovně žáků (s odkazem na symetrie objektů, mocniny čísel, obsahy vybarvených ploch vzhledem k obsahu původního trojúhelníku apod.). V návaznosti lze uvést další výtvarně zaměřený projekt Fractal Cutout Card (8 13 let) využívající tzv. pop-up geometrii, která má využití mj. pro rozvoj prostorové představivosti. Pomocí překládání papíru a systematického nastřihávání a opětovného ohýbání je možné získat velice atraktivní např. narozeninové přání obsahující několik iterací Sierpińského trojúhelníku. Žáci se pak mohou pokusit o tvorbu podobných útvarů, a hledat vztahy mezi počtem stříhání a počtem vzniklých trojrozměrných částí. Aby žáci poznali, že fraktály nemusí existovat pouze v ploše, Fractal Foundation uvádí konstrukci 3D modelu v činnosti zvané Fractal Tetrahedrons (6 12 let). Pomocí 44

45 párátek a vyschlých malých bonbonů marshmallows (zajisté se dá použít i méně atraktivní a chutný materiál, např. plastelína) žáci ve skupině sestavují čtyři malé pravidelné čtyřstěny, ze kterých sestaví jeden větší Sierpińského čtyřstěn (tzv. tetrix). Přitom vyplňují tabulku v pracovním listu, ve které mají za úkol hledat vztahy mezi počty použitých párátek, bonbonů, a délek hran v každé iteraci. Ve výsledku všechny skupiny spojí své čtyřstěny do jednoho velkého (je tedy potřeba mít čtyři skupiny žáků). Obrázek 25: Fractal Triangle a Fractal Cutout Card (foto: Fraktály se dají použít i k procvičení zlomků, jak ukazuje aktivita Fraction Tree (8 13 let). Opět se zde vyskytuje symetrický binární strom (konkrétně jabloň), která má na konci každé své větve jablko. Cílem činnosti je procvičení sčítání, násobení a krácení zlomků, a hledání vztahů mezi celkem, jednou polovinou, čtvrtinou, osminou a šestnáctinou. I Kochova křivka a pobřežní linie se objevuje mezi projekty této nadace. Pracovní list s názvem Koch Curve and Coastlines (8 18 let) zkoumá, jak se prodlužuje délka Kochovy křivky a jak se zvětšuje počet segmentů křivky v závislosti na počtu iterací, žáci tyto vztahy odhalují a snaží se pro ně najít matematický předpis. Na tyto úlohy navazuje problematika měření délky pobřežní linie. Žáci mají k dispozici obrys Velké Británie a pravítko se třemi vyznačenými velikostmi (10 cm, 5 cm a 2,5 cm), kterým mají měřit obvod ostrova. Postupně tedy zjišťují, jak se mění obvod ostrova v závislosti na použitém měřidlu, naměřené údaje zapisují do tabulky a následně vynáší do grafu. 45

46 Iniciativa Fractal Foundation se nezaměřuje jen na činnosti vhodné do školních učeben. Počítá i s venkovními vycházkami za přírodními i uměle tvořenými objekty s fraktální strukturou, což se odráží např. v projektu Fractal Scavenger Hunt (6 17 let) výlet, jehož náplní je pozorovat okolí a hledat v něm takové útvary (kromě mraků a stromů třeba praskliny ve vyschlé půdě, kůra, mulč, kameny a skály), vytvořit fotodokumentaci a vzorník. S pohybem venku počítá i Fractal Bingo (5 17 let), tedy upravená verze jednoduché a známé hry. Každý z žáků obdrží tabulku s okénky, která jsou označena náhodně přeházenými čísly od 1 do 16, a své osobní číslo (dle počtu žáků ve skupině). Učitel následně losuje čísla žáků. Vylosovaný žák má jen chvíli na to, aby ve svém okolí našel nějaký fraktální vzor, který si všichni zúčastnění žáci nakreslí do okénka s číslem, které přísluší vylosovanému jedinci. Cílem hry je vyplnit tabulku jako první a zakřičet Bingo!. O dalším možném využití fraktální geometrie ve výuce na středních školách pojednává článek Fractals in High School: Exploring a New Geometry z roku 1999 ze sborníku Mathematics Teacher [64]. Autoři zmiňují potřebu zařazení fraktálů do matematického kurikula pro střední školy z toho důvodu, že tradiční eukleidovská geometrie prostě není schopná jednoduše popisovat přírodní útvary, kterých je kolem nás stále mnohem více než těch ideálních, uměle vytvořených. Jejich snahou je též integrace matematiky do dalších studijních oborů, k čemuž fraktály mohou pomoci. Snaží se žáky vést k tomu, aby porovnávali tradiční a moderní geometrické pojetí světa, aby pochopili, že matematika má skutečné využití minimálně v popisu reálných objektů či situací. Dále poukazují na komplexnost tématu, neboť pro popis generování těchto složitých geometrických obrazců je třeba znalost algebry, stejně jako pro objasnění toho, jak se mění obvod a obsah např. Kochovy vločky, případně počet částí Cantorova diskontinua nebo délky jeho částí, které se sice neustále zmenšují, ale nikdy nedosáhnou nulové hodnoty. Pro propojení geometrie a algebry komplexních čísel lze naopak využít Mandelbrotovy množiny. Uvádí, že potenciál fraktální geometrie spočívá ve velké volnosti experimentování, při kterém žáci mohou odhalit např. význam rekurzivního opakování, a zároveň v rozvoji intelektuálního myšlení, kdy žáci pracují s nekonečnem (paradoxy, kdy nekonečně dlouhá křivka ohraničuje plochu s konečným obsahem apod.). 46

47 První aktivita uvedená v článku je zaměřená na diskusi se žáky, jejichž úkolem je zkoumat předměty ve třídě i mimo učebnu, a snažit se je popsat pomocí základních tvarů eukleidovské geometrie (kmen stromu jako válec atd.). Cílem diskuze by mělo být zjištění, že je třeba nějaký nový geometrický přístup pro přírodní objekty, protože kmen stromu není úplně tak válcový jako např. lidmi postavený telefonní sloup, a že brokolici, květák, nebo větvení stromů jednoduše tradiční geometrií popsat nelze. Druhý návrh činnosti se týká pochopení iteračního procesu s využitím již zmíněného Cantorova diskontinua. Žáci mají za úkol načrtnout několik prvních iterací této množiny a zkoumat, jak se zkracují délky jednotlivých částí i celku, a kolik segmentů v každé další iteraci vzniká. Snadno odhalí, že počet částí se s každým dalším opakováním zdvojnásobuje, zatímco délka části je po každém opakování třetinová. K paradoxu dochází ve chvíli, kdy si žáci uvědomí, že počet částí Cantorova diskontinua roste do nekonečna, zatímco celková délka se přibližuje nule. Exploring the Growth of the Koch Snowflake ( Zkoumání růstu Kochovy vločky ) je název dalšího vyučovacího bloku, který je zaměřen na zkoumání vlivu počtu iterací Kochovy vločky na její obvod a obsah. Hlavním úkolem žáků je postupně vyplňovat tabulku, ve které mají pro každou iteraci zaznamenávat, o kolik se zvětší obvod (resp. obsah) Kochovy vločky, a jaký je její celkový obvod či obsah. Následně by žáci měli odhalit rekurzivní vzorec, který by popisoval, jak se tyto hodnoty mění, a jak budou vypadat při nekonečném opakování. To se odráží v poslední aktivitě The Strange Mathematics of the Koch Snowflake ( Podivné chování Kochovy vločky ), která již počítá s použitím grafických kalkulátorů nebo CAS systémy, které by měly žákům pomoci při hledání těchto vzorců. Cílem by mělo být zjištění, že Kochova vločka má nekonečný obvod, přitom ohraničuje plochu s konečnou velikostí. 47

48 2.4 Popis robotické stavebnice LEGO Mindstorms NXT Stručná historie Dánská společnost LEGO byla založena v roce 1932 Ole Kirk Kristiansenem. Původně šlo o malou tesařskou dílnu, ve které se vyráběly dřevěné hračky. Název firmy je odvozen od dvou dánských slov leg godt, což znamená Dobrou hru! nebo Hraj si dobře! [65]. Po druhé světové válce se k majiteli dostala britská stavebnice firmy Kiddicraft, která již pracovala s celuloidovými kostkami, a ty se daly dohromady spojovat pomocí výstupků umístěných na horní podstavě [66]. Jejich použití však bylo značně omezené, proto Ole s jeho synem Godfredem dali v roce 1958 vzniknout klasické LEGO kostce, kterou známe dnes. Obrázek 26: Původní patent kostky firmy Kiddicraft [67] a patent klasické kostky firmy LEGO [68] Od 80. let 20. století se společnost LEGO mj. začala zabývat vývojem robotických stavebnic. Na půdě laboratoří MIT (Massachusetts Institute of Technology soukromá univerzita v USA) ve spolupráci se Seymourem Papertem vznikla první chytrá kostka programovatelná jazykem Logo s možností připojení motorů a tlačítek, která 48

49 vyústila v komerčně úspěšný produkt LEGO Mindstorms Robotics Invention System (známější spíš pod názvem LEGO Mindstorms RCX) tato stavebnice se poprvé dostala na trh v roce 1998 [69]. Název stavebnice byl inspirován knihou samotného Seymoura Paperta Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas (1980), která pojednává o novém náhledu na využití počítačů při výuce dětí [70] [71]. V roce 2006 [72] LEGO vydává novou verzi této stavebnice, která nese název LEGO Mindstorms NXT (z angl. next ). O pár let později vychází její revidovaná verze LEGO Mindstorms NXT 2.0. V současnosti je na trhu k dispozici třetí generace, která je označena jako LEGO Mindstorms EV3 (představena byla roku 2013 [73]). Jelikož jde o velmi univerzální a silný nástroj, mezi uživateli stavebnice se kromě dětí a jejich tatínků vyskytují také vědci. Široká podpora všelijakých profesionálních čidel umožňuje roboty přizpůsobovat činnostem v různých výzkumných laboratořích (např. v rámci nově se rozjíždějících startupových projektech) kolikrát jde o levné a dostupné řešení [74]. Experiment v této diplomové práci je založen na speciální výukové verzi stavebnice LEGO Mindstorms Education NXT Základní souprava 9797, kterou v České republice výhradně distribuuje firma EDUXE ( a na rozšiřující sadě LEGO Mindstorms Sada doplňkových dílů Oproti klasické krabicové verzi se liší v pár detailech sada 9797 je určena pro skupiny čítající 2 3 žáky, obsahuje dobíjecí akumulátor, tři žárovky, neobsahuje barevný senzor (ten je nahrazen senzorem zvukovým a světelným) [75], vše je přehledně zabaleno do dvoupatrového plastového boxu. Software a nabíječka však není součástí balení, je nutné tyto doplňky koupit zvlášť. Sada 9797 resp je momentálně v doprodeji a postupně je nahrazována modernější verzí EV3 (edukační sada nese kódové označení resp ), která se však z důvodu chybějící softwarové podpory jazyka Logo pro účel diplomové práce nehodí. Navíc je tato verze stavebnice pravděpodobně nyní stále nejvíce rozšířena v různých kroužcích robotiky, na školách atd. 49

50 2.4.2 Hardwarové vybavení Základní sada 9797 obsahuje 408 konstrukčních dílu vycházejících z produktové řady LEGO Technic (kola s pneumatikami, spojky, osičky, ozubená kola, spojovníky, nosníky, dva plastové míčky atd.), dále pak samotnou řídicí jednotku NXT s akumulátorem, tři servomotory, jedno čidlo zvukové, jedno světelné, dvě dotyková čidla a jedno ultrazvukové. Kromě toho se v boxu nachází jeden USB propojovací kabel k PC (USB typu B), sedm kabelů k připojování zařízení ke kostce, a tři kabelové redukce umožňující připojení starších dílů žároviček, které pocházejí z první sady LEGO Mindstorms RCX. Obrázek 27: LEGO Mindstorms Education NXT Základní souprava 9797 a LEGO Mindstorms Sada doplňkových dílů 9695 (foto: Řídicí kostka NXT Nejdůležitější součástí stavebnice je bezpochyby řídicí jednotka NXT, nazývaná též NXT kostka. Jedná se o mozek a zároveň srdce všech robotických konstrukcí je to programovatelný mikropočítač, který se stará o chod programů, řídí pohyby servomotorů, zpracovává informace přicházející ze senzorů, a hlavně všechny připojené prvky také napájí. Hlavní výpočetní jednotkou kostky je mikroprocesor Atmel 32-bit ARM7 (AT91SAM7S256) [76] (celá specifikace: str. 3), který běží na taktu 48 MHz, obsahuje operační paměť RAM o velikosti 64 kb, a také 256 kb paměti FLASH pro ukládání programů a podpůrných souborů. Se správou čidel mu vypomáhá koprocesor 50

51 Atmel 8-bit AVR (ATmega48) kmitající na frekvenci 8 MHz, který má k dispozici 512 B RAM a 4 kb FLASH paměti. Uvnitř se dále nachází Bluetooth jednotka CSR BlueCore 4 v2.0, díky které je možné kostku připojit k počítači či mobilnímu zařízení bezdrátově. Tento modul se používá i pro vzájemnou komunikaci mezi více kostkami (max. tři, vždy však přenos dat probíhá jen s jednou z nich) [76] (str. 12). K propojení s počítačem je k dispozici ještě rozhraní USB verze 2.0 (konektor USB typu B). Obrázek 28: Programovatelná jednotka NXT [77] Na horní podstavě kostky se kromě portu USB nachází 3 výstupní porty s konektory RJ12 označené písmeny A, B a C, které jsou určeny k připojení servomotorů či RCX žárovek. Na dolní podstavě se nalézají 4 vstupní porty také s konektory RJ12 (označené čísly 1, 2, 3 a 4) sloužící k připojení senzorů. Největší plochu na přední straně zabírá monochromatický LCD display s rozlišením 100 x 64 pixelů, který je schopen vykreslovat kromě nabídek menu a textu i jednoduchou grafiku jedná se tedy o důležitý programovatelný zpětnovazební prvek. Pod ním se nachází 4 pogumovaná ovládací tlačítka, která jsou primárně určena pro ovládání menu. Hlavní oranžové tlačítko slouží k zapnutí jednotky a potvrzování místních nabídek, pod ním je naopak menší tmavě šedé tlačítko zpět, kterým se kostka mj. vypíná. Další dvě tlačítka světle šedé barvy a trojúhelníkového tvaru jsou určena pro navigaci v menu. Všechna lze přeprogramovat a tudíž využít k určeným funkcím během chodu programu. 51

52 Na pravé hraně lze spatřit ještě 4 štěrbiny, pod kterými se ukrývá systémový reproduktor (rozlišení 8 bitů, rozsah 2 16 khz). Napájení jednotky je realizováno pomocí šesti tužkových baterií AA (doporučené jsou alkalické), nebo pomocí dobíjecího lithium iontového akumulátoru (9 V, 1400 mah, součástí sady LEGO 9797). Dotykový senzor Dotykový senzor je nejjednodušším čidlem celé soupravy. Ve své podstatě se jedná o obyčejné tlačítko, které generuje pouze dva stavy stisknuto a uvolněno [78] (str. 23). Tím pádem lze pokrýt tři události: tlačítko bylo stisknuto ( Pressed, dlouhodobé sepnutí); tlačítko bylo uvolněno ( Released, uvolnění sepnutého tlačítka); a tlačítko bylo krátce stisknuto a následně uvolněno ( Bumped ). Obrázek 29: Dotykový senzor [77] Výchozí pozicí pro zapojení senzoru do NXT kostky je port číslo 1. Hlavní využití této součástky je např. ovládání robota či spouštění jeho specifických funkcí, jeho integrace do nárazníků robota s účelem detekce kolize, nebo slouží ke zjišťování dojezdu části robota do krajní polohy. Zvukový senzor Mezi další jednoduché senzory patří ten zvukový. Tentokrát se jedná o zařízení s mikrofonem, které je přizpůsobeno měření hluku až do 90 db [78] (str. 25). Úroveň hladiny intenzity zvuku je schopen měřit jak v jednotkách db (absolutní měřítko obsahující i zvuky mimo slyšitelnost člověka), tak v dba (jednotka přepočítaná dle charakteristik lidského ucha). Nevýhodou je, že naměřené hodnoty jsou vyjádřeny procentuálně vzhledem k rozlišovací schopnosti snímače. Výchozí pozicí pro zapojení senzoru do NXT kostky je port číslo 2. Tento senzor bývá nejčastěji používán k aktivaci funkcí robotů pomocí zvuku, problémy však mohou nastat v prostředích se zvýšeným hlukem. 52

53 Obrázek 30: Zvukový senzor [77] Světelný senzor Světelný snímač je o něco složitější skládá se z fototranzistoru a červené přisvětlovací diody LED. Bohužel nedokáže rozpoznávat barvy přímo, zaznamenává odražené světlo pouze v odstínech šedé, opět uváděné procentuálně (0 % - černá, 100 % - bílá). Umí však pracovat ve dvou režimech [78] (str. 27). Aktivní režim se vyznačuje rozsvícenou přisvětlovací LED diodou, která osvětluje snímaný povrch a odražené světlo od objektu putuje k fototranzistoru. Dokáže tedy rozlišit základní barvy, pokud jsou dostatečně kontrastní. Z důvodu sníženého zorného pole senzoru je potřeba, aby byl snímaný objekt blízko fototranzistoru. Naopak režim pasivní diodu LED nevyužívá, zorné pole má větší, a je určen hlavně k měření intenzity světla. Obrázek 31: Světelný senzor [77] Výchozí pozicí pro zapojení senzoru do NXT kostky je port číslo 3. Lze ho integrovat do klasických robotů sledující vodicí čáru na zemi (v aktivním režimu), nebo do robotů, kteří mají reagovat na změnu intenzity světla v místnosti (pasivní režim). Vždy je třeba zajistit co největší kontrasty mezi jednotlivými stavy. Ultrazvukový senzor Posledním snímačem základní sady LEGO 9797 je senzor ultrazvukový. Skládá se z ultrazvukového vysílače a přijímače, principiálně tedy kopíruje echolokaci (způsob zjišťování vzdálenosti překážek a objektů pomocí rozdílu času mezi vysláním a přijetím ultrazvukového signálu). Dle specifikací firmy LEGO dokáže čidlo měřit vzdálenost objektů v rozsahu 0 až 2,5 m s maximální odchylkou ±3 cm [78] (str. 29). 53

54 Problémy s použitím mohou nastat, pokud uživatel najednou využívá více než jedno toto čidlo dochází pak ke vzájemným interferencím, které zkreslují výsledky měření. Obrázek 32: Ultrazvukový senzor [77] Výchozí pozicí pro zapojení senzoru do NXT kostky je port číslo 4. Nejčastěji využívaným zapojením je integrace funkce vyhýbání se překážkám a orientace v prostoru, měření vzdálenosti robota od objektu (některé tvary objektů jsou hůře zjistitelné, např. nepravidelné, zakulacené, příliš malé atd.), využití možnosti vyhledávání objektů robotem, a také detekce pohybu. Servomotory Serva jsou nezbytnou součástí robotiky, neboť se jedná o elektromotory, u kterých se dá přesně nastavit poloha jejich rotoru. Interaktivní servomotory stavebnice LEGO Mindstorms NXT obsahují nejen rotační senzory, které mají rozlišení 360 na jednu otáčku, ale také převodovku zajišťující optimální převod energie motoru a možnost regulace rychlosti [78] (str. 31). Samozřejmostí je obousměrný chod motorů a funkce softwarové synchronizace. Tím lze zajistit vcelku přesné pohyby robota. Obrázek 33: Servomotor [77] Výchozí pozicí pro zapojení motorů do NXT kostky jsou porty A (motor pro speciální použití), B (levý motor) a C (pravý motor). Nikoho nepřekvapí, že serva slouží k pohybu modelu, ať už jde o pohyb na kolech nebo ovládání robotického ramena. 54

55 Alternativní senzory Vzhledem k univerzálním možnostem využití stavebnice začaly další firmy vyrábět profesionální snímače, které základní sada neobsahuje. Jedná se například o firmu HiTechnic ( která nabízí akcelerometry, barometry, gyroskopy, PIR čidla, kompasy nebo snímače magnetického pole. V nabídce má i multiplexor, který umožňuje připojení až 4 senzorů k jednomu portu. Preciznější díly nabízí firma Mindsensors ( Kromě výše zmíněných vyrábí kombinované prvky (gyroskop, akcelerometr a kompas v jednom těle), senzory otáček, tlaku, kamery, voltmetry, ampérmetry, numerické klávesnice, různé světelné vysoce citlivé snímače apod. Rozsáhlou nabídku produktů pro výuku přírodovědných oborů nabízí tradičně firma Vernier ( Většina jejich čidel se dá k NXT připojit pomocí nabízeného rozhraní LEGO Link. V internetovém obchodu lze narazit na nerezový teploměr s rozsahem měření 40 až C, který je vhodný pro použití i v kyselinách, hydroxidech, organických roztocích atd., několik druhů siloměrů, ph metrů, sondy měřící koncentrace amonných a vápenatých kationtů či chloridových a dusičnanových aniontů ve vodných roztocích, UVA a UVB senzory, různé měřiče srdečního tepu, čidla rychlosti toku či větru, detektory radiace, elektroskopy, spirometry, měřiče tlaku krve, půdní vlhkoměry, čítače kapek, goniometry (úhloměry) aj Softwarové vybavení Nejjednodušším způsobem programování robotické stavebnice vhodným pro úplné začátečníky je jazyk NXT-G, který pochází ze spolupráce firem LEGO a Native Instruments. Native Instruments vyvinulo před více než 25 lety vývojové prostředí LabVIEW využívající grafický programovací jazyk nesoucí název G (odtud NXT-G). NXT-G je tedy ikonický programovací jazyk pro kostku NXT založený na jednotlivých funkčních blocích, které se skládají a spojují dohromady bez nutnosti znalosti programování způsobem drag and drop ( táhni a pusť ), u většiny bloků lze nastavovat další vlastnosti. Je velmi uživatelsky přívětivý a intuitivní, takže ho zvládnou i žáci základních škol doporučený věk je podle firmy LEGO od 10 let. 55

56 Vývojové prostředí se jmenuje LEGO Mindstorms NXT Software a je součástí standardní krabicové verze. Edukační sada 9797 však software neobsahuje, a proto je nutné jej koupit samostatně (v současnosti je dispozici ve verzi Education 2.1, která obsahuje dvě aplikace NXT 2.1 Programming pro samotný vývoj programů a správu firmwaru a paměti kostky, a NXT 2.1 Data Logging pro sběr dat ze senzorů v reálném čase). Pro běh prostředí je vyžadován minimálně operační systém MS Windows XP SP2, bez problému funguje i ve vyšších verzích Windows 7 Professional, Windows 8.1 Professional i Windows 10 Professional. Další možností je software instalovat na počítače Apple s operačním systémem alespoň MacOS X verze Minimální požadavky na hardware počítače [78] (str. 44) jsou následující: Windows o Procesor Intel Pentium nebo kompatibilní, takt alespoň 800 MHz o 256 MB operační paměti RAM o 300 MB volného místa na pevném disku o Obrazovka s rozlišením 1024 x 768 pixelů (XGA) o Jeden volný port USB o CD-ROM optická mechanika o Volitelně kompatibilní Bluetooth adaptér Macintosh o Procesor PowerPC G3, G4 či G5, takt alespoň 600 MHz o 256 MB operační paměti RAM o 300 MB volného místa na pevném disku o Obrazovka s rozlišením 1024 x 768 pixelů (XGA) o Jeden volný port USB o CD-ROM optická mechanika o Volitelně kompatibilní Bluetooth adaptér Instalace na systémech Microsoft Windows probíhá jako jakákoli jiná instalace softwaru po spuštění instalátoru (pokud se nespustí sám, je třeba spustit soubor setup.exe) stačí sledovat pokyny na obrazovce, a klasickou sekvencí tlačítek Next, Next, Next, Next, Finish se instalace vývojového prostředí firmy LEGO dokončí. 56

57 Obrázek 34: Vývojové prostředí jazyka NXT-G Na Obrázku 9 je náhled prostředí NXT-G, které je rozděleno do následujících celků: Hlavní nabídka obsahuje funkce pro ukládání či otevírání projektů, nástroje pro správu proměnných a konstant, pro kalibraci senzorů, pro update firmwaru NXT jednotky, nápovědu apod. Panel funkčních bloků zde se nachází několik kategorií, do kterých jsou bloky rozděleny (Common běžné; Action akční; Sensor bloky čidel; Flow bloky průběhu; Data bloky pro matematickou práci s daty; Advanced pokročilé), více v Tabulce 5. Pracovní plocha místo pro sestavování programu robota. Panel řízení kostky tlačítka pro správu paměti NXT kostky (nahrávání souborů a programů, jejich spouštění či zastavování). Panel vlastností bloků zde se nastavují parametry jednotlivých funkčních bloků. Panel s tutoriály obsahuje průvodce pro začátečníky (návody k využití senzorů, stavbě robotů a jejich programování). Náhledový panel slouží k orientaci v celém vytvořeném programu. 57

58 Tabulka 5: Přehled funkčních bloků Kategorie Ikona Popis Common Move: slouží k uvedení více motorů do pohybu zároveň; při zapojení dvou motorů dochází k jejich synchronizaci; lze nastavit směry otáčení, křivost dráhy, výkon motoru, délku trvání otáčení Record/Play: umožňuje nahrát fyzické pohyby robota a následně je zopakovat Motor: uvádí do pohybu pouze jedno servo; nedochází k synchronizaci s ostatními motory; lze nastavit konstantní rychlost, její postupné zvyšování nebo snižování, směr, délku trvání otáčení Sound: přehrává zvuky z jednotky NXT (ze souboru nebo tón); lze nastavit výstupní hlasitost, přehrávání ve smyčce, pozastavení vykonávání programu při přehrávání Action Display: zobrazuje na displeji NXT kostky text, čísla nebo grafiku; lze nastavit pozici zobrazování obsahu popř. číslo řádku Send Message: odesílá textovou, číselnou nebo logickou zprávu pomocí Bluetooth modulu jiné kostce do daného Bluetooth mailboxu Color Lamp: rozsvěcuje či zhasíná jednotlivé LED diody barevného senzoru; lze navolit červenou, zelenou či modrou barvu Lamp: blok určený k řízení žároviček z RCX sady; lze nastavit zapnutí, vypnutí, a intenzitu svícení Sensor Touch Sensor: blok snímající tlačítko; lze mu nastavit 3 události; výstupem je logická hodnota 58

59 Sound Sensor: porovnává nastavenou hodnotu intenzitu zvuku s intenzitou zaznamenanou snímačem; výstupem je logická hodnota nebo hodnota intenzity zvuku Light Sensor: rozpoznává barvy ve stupních šedi; vrací logickou hodnotu v závislosti na nastavení porovnávání, nebo hodnotu intenzity světla dopadající na fototranzistor; lze aktivovat přisvětlovací diodu LED Ultrasonic Sensor: rozpoznává vzdálenost robota od okolních objektů; vrací logickou hodnotu v závislosti na nastavení porovnávání, nebo přímo vzdálenost od překážky NXT Buttons: má stejné vlastnosti jako Touch Sensor, jedná se ale o tlačítka NXT kostky; na výběr je ze tří tlačítek (vlevo, vpravo, Enter) Rotation Sensor: snímá počet otáček daného motoru; lze nastavit i reset snímače, případně porovnávání se zadanou hodnotou Timer: řídí dobu, po kterou je příkaz prováděn; slouží ke správnému navázání po sobě jdoucích událostí; NXT kostka obsahuje tři vestavěné časovače Receive Message: přijímá textovou, číselnou nebo logickou zprávu pomocí Bluetooth modulu od jiné kostky do daného Bluetooth mailboxu; může porovnávat obsah zprávy Temperature Sensor: zaznamenává údaje z teplotního čidla ve stupních Celsia nebo Fahrenheita; na výstup posílá buď naměřenou hodnotu, nebo logickou hodnotu v porovnání s nastavenou hranicí Color Sensor: rozpoznává barvy; vrací logickou hodnotu v závislosti na nastavení porovnávání, nebo barvu světla dopadající na snímací čip Flow Wait: způsobí pozastavení programu, dokud není splněna podmínka; lze nastavit čekání časové, závislé na nastavení vlastností a akcí senzorů, nebo např. čekání na Bluetooth zprávu 59

60 Loop: tvoří smyčku programu pro opakování daného kódu; opakování může probíhat donekonečna, po určitý čas, nebo je závislé na akci snímače či logického signálu, lze nastavit i pevný počet opakování Switch: představuje klasický rozhodovací blok (podmínku if/else); přepínání stavů je ovlivněno buď vstupní hodnotou (číslo, text, logická hodnota), nebo opět akcí snímače; v zobrazení Flat view lze nastavit více než dva stavy přepínače Stop: zastaví průběh programu Logic: blok určený k logickým operacím AND, OR, XOR a NOT mezi dvěma vstupními operandy Math: umí sčítat, odečítat, násobit, a dělit dvě čísla; určovat absolutní hodnotu či druhou odmocninu daného čísla Compare: porovnává dvě čísla, zda je jedno větší či menší než druhé, nebo se rovnají Data Range: zjišťuje, zda dané číslo patří do určitého intervalu (nastavitelný kdekoli v rozsahu 0 100) Random: generátor náhodných přirozených čísel; lze nastavit v rozsahu Variable: slouží k zápisu a čtení proměnné; může být datového typu logic, number, nebo text Constant: blok pro definování místní konstanty; lze nastavit datový typ logic, number, nebo text 60

61 Number To Text: převádí číslo na textový řetězec, který lze zobrazit na obrazovce NXT kostky Text: slouží k práci s textovými řetězci; umožňuje jejich skládání a zobrazování na displeji jednotky NXT Keep Alive: zabraňuje vypnutí řídicí jednotky NXT File Access: blok přístupu k textovým souborům uložených v paměti NXT; lze do souborů psát texty nebo čísla, číst z nich, zavírat je a mazat Advanced Calibrate: slouží ke kalibraci světelného a zvukového snímače Reset Motor: resetuje funkci automatické korekce chodu motorů Start Datalog: slouží ke spuštění záznamu hodnot do souboru z až čtyř senzorů naráz; lze nastavit dobu trvání měření a také frekvenci měření (max snímků/s) Stop Datalog: zastavuje záznam dat Bluetooth Connection: iniciuje bezdrátové spojení mezi více NXT jednotkami, spouští a ukončuje BT komunikaci Mezi nesporné výhody patří především již zmíněná jednoduchá manipulace s funkčními moduly, díky nimž uživatel nemusí mít žádnou zkušenost s programováním. Ikony bloků jsou názorné a konfigurace vlastností jednotlivých prvků je také velice intuitivní. V prostředí lze tak naprogramovat základní algoritmické konstrukce jako je např. sekvence, větvení, cyklus s podmínkou na začátku nebo na konci, cyklus se známým počtem průchodů, vícenásobné větvení atd. 61

62 Jazyk NXT-G umožňuje též paralelní zpracování procesů, proto robot může dělat několik činností naráz. Obrázek 35: Ukázka jednoduchého programu v jazyku NXT-G (robot, který se dokáže vyhýbat překážkám pomocí ultrazvukového čidla) Pro předávání hodnot a výsledků mezi jednotlivými bloky existují tzv. data hubs, neboli datové rozbočovače, které má většina programovacích modulů. Jejich nabídka se aktivuje kliknutím levého tlačítka myši na spodní hranu ikony bloku. Následně lze kliknutím a tažením myši propojovat vzájemně kompatibilní rozbočovače. Propojky jsou reprezentovány pomocí barevných čar, kdy žlutá představuje data ve formátu čísla, oranžová data textová, a zelená reprezentuje přenos logických hodnot. Pokud je spojení znázorněno šedou přerušovanou čarou, jedná se o chybné propojení. Obrázek 36: Data hubs ukázka programu, který načte číslo z proměnné Number 1, předá ho bloku Number To Text, a z něj textový řetězec putuje na obrazovku NXT kostky Prostředí NXT 2.1 Programming má však i několik nevýhod. Uživatelské rozhraní není lokalizováno do českého jazyka, což může zezačátku některým uživatelům (hlavně dětem) způsobovat problémy ikonický jazyk je sice jasný, ale nabídky menu, tutoriály či nápovědy jsou k dispozici pouze v angličtině. 62

63 Nepohodlná je také práce s konstantami a proměnnými, které je pro globální použití v programu nutné definovat skrze hlavní nabídku. Skládání rozsáhlejších projektů je poměrně zdlouhavé, neboť je kolikrát potřeba hledat alternativní cesty k programování některých algoritmických konstrukcí. Není zde také možnost programovat robota v reálném čase. Chybí tu mj. i často používaná datová struktura typu pole, dá se však doprogramovat pomocí ukládání do textových souborů [79]. Prostředí nepodporuje ani rekurzivní volání procedur, a občas má i problémy se stabilitou běhu. Další způsoby programování řídicí jednotky NXT Pro prvotní vyzkoušení základních pohybů a funkcí robota může sloužit i samotný firmware kostky, takže není potřeba hned zařízení připojovat k počítači. V menu jednotky se nachází volba NXT Program, která umožňuje sestavit jednoduchý program z pěti předdefinovaných událostí. Ten lze následně i uložit do paměti. Jelikož je tato stavebnice na trhu už deset let, vzniklo mnoho projektů (ať již fanouškovských, nebo profesionálních) umožňujících provázání NXT hardwaru s existujícími vývojářskými softwary. Velký dík patří samozřejmě firmě LEGO, která uvolnila zdrojový kód firmwaru kostky a dala k dispozici podrobnou dokumentaci a vývojovou sadu. Aplikace je možné rozdělit podle přístupu k programování jako grafická vývojová prostředí a textová. Mezi první zmíněné patří prostředí LabVIEW od Native Instrumensts (ze kterého vznikl jazyk NXT-G). Ve světě se používá především pro ovládání vědeckých přístrojů, průmyslovou automatizaci a sběr dat. Velkou výhodou je podpora běhu na různých systémových platformách (Windows, Mac OS X, Linux). Původní stavebnice LEGO Mindstorms RCX (resp. její vzdělávací verze) byla dodávána se softwarem ROBOLAB, který taktéž vycházel z prostředí LabVIEW. Podobně lze NXT kostku programovat pomocí nástroje z dílny Microsoftu Robotics Developer Studio, který je založen na platformě.net. Oproti LabVIEW je ke stažení zdarma, bohužel však existuje pouze pro počítače se systémem Windows. Poslední aplikací pro ikonické programování je Enchanting, odvozenina edukačního prostředí Scratch zaměřená na NXT. Velkým plusem je, že se jedná o software 63

64 s otevřeným zdrojovým kódem, je volně šiřitelný, má české rozhraní, a existuje jak pro systém Windows, tak pro Mac OS X (a experimentálně pro Linux). Stejně jako Scratch využívá vizuální programovací jazyk, díky němuž lze vytvářet programy pouhou manipulací s grafickými programovými bloky. Nevýhodou je však nutnost instalovat do NXT kostky alternativní verzi firmwaru (LeJOS NXT). Způsobů jak řídit jednotku NXT tradičními programovacími jazyky existuje nepřeberné množství. Mezi nejoblíbenější a nejrozšířenější (díky dobře zpracované uživatelské podpoře, integrované nápovědě a velkému množství vzorových programů) patří pravděpodobně prostředí RobotC, které využívá jazyka C. Bohužel se jedná o placený software pro Windows vyžadující navíc instalaci svého firmwaru do NXT. Dalším jazykem vycházejícím z C je NXC (Not exactly C), který je implementován ve freewarovém projektu BricxCC. Pracuje se standardním firmwarem kostky a podporuje též programováním jazykem NBC (Next Byte Codes), syntakticky podobným assembleru. Vývojáři BricxCC na webu nabízejí ke stažení i několik užitečných utilit pro správu paměti NXT, konverzi zvukových souborů, zobrazování obsahu displeje jednotky na obrazovce počítače atd. Pro vývoj aplikací lze použít i jazyk C#, resp..net knihovnu nesoucí název NXT.NET nebo knihovnu projektu MindSqualls, díky které je možné robota ovládat skrze prostředí Microsoft Visual Studio. Jeho verze MS Visual Studio Express a MS Visual Studio Community je dokonce k dispozici zdarma. Je dobré se zmínit i o možnosti programování jazykem Java, neboť jde o jeden z nejpoužívanějších programovacích jazyků na světě. V roce 2000 vznikl projekt nesoucí název LeJOS, jehož součástí jsou knihovny sloužící ke komunikaci a ovládání robota pomocí Javy, a firmware pro NXT kostku obsahující interpret jazyka Java. Tento produkt je k dispozici zdarma, a je určen pro operační systémy Windows, Linux i Mac OS X. Neobsahuje však IDE (Integrated Development Environment), takže je nutné využít některé z tradičních vývojových prostředí Javy, např. multiplatformní Eclipse či NetBeans. Samozřejmě existuje možnost programovat NXT i pomocí Pythonu, Ruby, či Loga. 64

65 3 PRAKTICKÁ ČÁST 3.1 Stavba robota Myšlenka sestrojit fyzickou obdobu logovské želvy vznikla v rámci magisterského semináře Robotizace a řízení procesů na Katedře informačních technologií a technické výchovy PedF UK v Praze. Cílem bylo vytvořit projekt z oblasti edukační robotiky s využitím již zmíněné stavebnice LEGO Mindstorms NXT. Výběr padl právě na robotickou želvu, neboť atraktivita řízení reálného modelu ve výuce je jistě větší, než sledování virtuální želvy na monitoru počítače Fyzická konstrukce Stavba želvy byla časově náročná především z důvodu hledání ideální podoby fyzické konstrukce s ohledem na stabilitu a přesnost. Bylo třeba se více sžít se stavebnicí a oživit si základní principy mechanických převodů a fungování systému LEGO Technic. Teoretický popis daného problému pochází z knihy Building Robots with LEGO Mindstorms NXT [80] (str. 350). V této publikaci se však nenachází konkrétní návod, ale pouze pár černobílých fotografií, které posloužily jako inspirace k postavení první verze. Byla specifická tím, že využívala dva diferenciály pro řízení kol. To vycházelo z předpokladu, že pohyby robota budou přesnější, když pohyb vpřed a zpět bude ovládat jeden motor, zatímco otáčení želvy vpravo a vlevo bude řídit motor druhý. Vzhledem k vůli mezi jednotlivými převody ozubených kol, která způsobovala rozdílné otáčení obou kol, bylo od této podoby upuštěno. Obrázek 37: První verze želvy s dvěma diferenciály a spouštěcí mechanismus pera 65

66 Druhá a třetí verze vycházely z konstrukcí nalezených na YouTube [81] [82]. Slabinou druhé želvy však byla opěrná volná pomocná kola a vysoce posazené těžiště robot se tedy značně kýval. Třetí model měl již celkem sofistikovaný spouštěcí mechanismus pera, který byl později modifikován a použit ve finální verzi robotické želvy. Neduhy ve formě tření statického opěrného bodu v zadní části pod motorem, který ovládal pohyb fixu, a opět příliš vysoko umístěné těžiště, vyvolaly nutnost hledat jiné řešení. Velikost a hmotnost interaktivních motorů a samotné NXT kostky je navíc pro jejich umístění značně limitující. Obrázek 38: Druhá a třetí verze robota Samotnou kapitolou byl ovšem i výběr pera pro kreslení a způsob jeho uchycení, neboť usadit nekompatibilní součástku do systému LEGO Technic tak, aby splňovala určité požadavky, nebylo vůbec snadné. Hrot pera musí být umístěn přesně uprostřed mezi koly, aby nedocházelo k vykreslování křivek při otáčení robota na místě. Byly testovány různé přístupy, založené buď na sklápění pera, nebo jeho spouštění. Sklápěcí mechanismy nebyly dostatečně pevné, aby mohl fix zároveň působit jako opěrný bod otáčení, takže byl nakonec integrován upravený spouštěcí systém třetí želvy založený na ozubených kolech a ozubnici připevněné k fixu. V praxi se nejvíce osvědčil obyčejný fix s kulatým hrotem určený na whiteboardy či flipcharty vyráběný firmou Centropen, protože jeho tělo není kónické, je hladké, a je snadno dostupný v každém papírnictví. Výslednou podobu robota lze vidět na Obrázku 39. Kompletní návod na stavbu, který byl generován aplikací LEGO Digital Designer, se nachází v přílohách na CD-ROM. 66

67 Obrázek 39: Finální verze robotické želvy Programová výbava Testovací verze softwaru želvy byla původně naprogramována čistě v prostředí NXT 2.1 Programming, a k řízení pohybu využívala zjednodušený zdrojový kód psaný jazykem Logo ukládaným do textového souboru, který byl načítán do NXT-G programu. To však bylo značně neergonomické a neefektivní, neboť kód v Logu musel být psán do externího souboru, který bylo následovně potřeba ručně nahrát do paměti NXT kostky. Navíc tento systém neumožňoval algoritmické konstrukce typu podmínka či cyklus, nepodporoval definování procedur ani rekurzivní volání. Po zdlouhavém hledání v síti Internet a zkoušení různých alternativ byla objevena možnost, jak snadno ovládat NXT kostku pomocí jazyku Logo. Jedná se o slovenský projekt z roku 2007 nesoucí název Logo for NXT ( z dílny pedagoga Katedry aplikované informatiky (Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislavě) Mgr. Pavla Petroviče, PhD. Jeho cílem bylo vytvořit nástroj, který bude na rozdíl od prostředí NXT Programming komunikovat se stavebnicí v reálném čase, takže místo přístupu naprogramuj a spusť, kdy robot následně autonomně vykonává předem sestavený program, lze do činnosti NXT interaktivně zasahovat skrze prostředí Imagine Logo, získávat ihned přímou zpětnou vazbu prostřednictvím např. vykreslováním údajů do grafu atd. [83] Petrovič využil toho, že firma LEGO uvolnila zdrojové kódy firmwaru kostky a doplnila je o podrobnou dokumentaci a vývojovou sadu pro Bluetooth (zahrnuje popis komunikačního protokolu Direct Commands, který je určen k přímému 67

68 ovládání NXT jiným zařízením), takže NXT jednotka je schopná bezdrátové obousměrné komunikace s počítačem (resp. s Imagine Logo) pomocí radiového rozhraní Bluetooth. Největším problémem protokolu Direct Commands je, že příkazy do NXT kostky posílá postupně za sebou. Nelze tedy nijak využít schopnost synchronizace otáčení interaktivních motorů, což má za následek jejich opožděné spouštění, a tedy velmi nepřesné pohyby celého robota. Bylo tedy třeba vymyslet alternativní řešení spouštění servomotorů naráz. Synchronizaci motorů však umožňuje jazyk NXT-G, proto výsledný firmware robota vychází z kombinace prostředí Logo for NXT a NXT 2.1 Programming. Finální program využívá možnost knihovny nxt.imp (součást Logo for NXT) odesílat do mailboxu kostky tzv. Bluetooth messages, které kostka přijímá pomocí bloku Receive Message. Tuto funkci se ovšem nepodařilo zprovoznit pro odesílání číselných hodnot (což je důležité pro předávání parametrů pohybu vpřed a rotace), přestože autor projektu tuto možnost uvádí. Překážka byla odstraněna pomocí převodu textu na číslo v NXT-G kódu s využitím malého odkládacího textového souboru umístěného v paměti NXT jednotky. Vzhledem k tomu, jak fungují paměti flash (každá paměťová buňka má omezený počet zápisů), hrozí určité riziko postupné likvidace vnitřní paměti jednotky. Nikde se nepodařilo dohledat, jakou životnost má právě interní paměť flash kostky NXT. Výsledkem ale bylo zpřesnění kreslení robota, i když malé odchylky se v jednotlivých pohybech neustále vyskytují jde pravděpodobně o negativní vlastnost interaktivních servomotorů a schopnost NXT-G provádět výpočty s omezeným počtem desetinných míst, přece jen je stavebnice LEGO Mindstorms NXT chytrá hračka, nikoli profesionální robotický hardware. Další snahy o vylepšení přesnosti kreslení želvy pomocí senzorů společnosti HiTechnic (konkrétně pomocí kompasu, gyroskopu a akcelerometru) nevedly ke zdárnému konci. Želva tedy není úplně vhodná pro vykreslování složitých uzavřených křivek (např. Kochovy vločky), neboť ve většině případů nedochází k úspěšnému spojení koncových bodů těchto křivek (kvůli postupnému nasčítávání malých odchylek při kreslení). Výsledný program LOGObot v3.0 kostky NXT je umístěn v přílohách na CD-ROM. 68

69 Prostředí L-systems NXT Generator Pro potřeby experimentu bylo v Imagine Logo naprogramováno prostředí L-systems NXT Generator. Jedná se ve své podstatě o jednoduchý applet, který žákům poskytuje určitou volnost tvoření fraktálních útvarů, zároveň je však nerozptyluje zbytečně velkými možnostmi, které poskytuje Imagine Logo. Je postaveno na již zmíněném projektu Logo for NXT, aby zůstala zachována možnost odesílání instrukcí bezdrátově přímo do robotické želvy bez nutnosti spouštět nějaký jiný ovládací software (pro komunikaci s robotem je třeba spustit již jen komunikační program nxtnet.exe, který Logo for NXT propojuje s jednotkou NXT pomocí Bluetooth rozhraní). Výhodou je také fakt, že Imagine Logo umožňuje export projektů do spustitelného souboru s příponou *.exe, takže není nutné na všechny počítače Imagine Logo instalovat. Na Obrázku 40 je znázorněno grafické uživatelské rozhraní programu. Zdrojový kód, spustitelná aplikace i komunikační program nxtnet.exe je součástí příloh na CD-ROM. Obrázek 40: Grafické uživatelské rozhraní appletu L-systems NXT Generator Samotný applet tedy obsahuje textová pole (Axiom, Pravidlo 1, 2 a 3), do kterých lze zadávat potřebné příkazy pro generování L-systémů (povolená abeceda je shrnuta 69

70 v levém dolním rohu v nápovědě). Využívá se víceméně standardních příkazů L- systémů. Pomocí čtyř posuvníků lze nastavovat výchozí či pomocný úhel (ten je zařazen z důvodu větších možností při tvorbě žákovských tvarů s fraktální strukturou) v rozmezí 0 360, dále pak délku kroku v pixelech (jeden pixel zde odpovídá jednomu centimetru reálného posunu fyzického robota), a počet iterací (udává, kolikrát se má dané pravidlo zopakovat). Pod posuvníky se nachází tři tlačítka, z nichž první Vyčistit plochu je určeno k vyčištění plochy od předchozích obrazců, druhé tlačítko Zastavit je zde umístěno pro případ, že vykreslování trvá příliš dlouho z důvodu nastavení vysokého počtu opakování pravidel, třetí tlačítko Vykresli! slouží k finálnímu vykreslení generovaného L-systému. Největší prostor v programu samozřejmě zabírá prázdná plocha pro zobrazení fraktálů s želvou, kterou je možné libovolně pomocí myši přesouvat v případě, pokud se generovaný objekt nevejde na obrazovku. Kromě toho je v pravém dolním rohu panel sloužící k propojení robota s appletem (je nutné nastavit dvojitým kliknutím správný virtuální port, ke kterému je skrze Bluetooth modul počítače robot připojen, následně zmáčknout tlačítko Connect to NXT). Tlačítko Pípni má zde pouze kontrolní funkci, zda je robot skutečně správně připojen, po jeho stisknutí želva vydá krátké pípnutí. Poslední tlačítko Pošli do NXT odesílá instrukce do robotické želvy, která ihned začne jednotlivé kroky zpracovávat a vykonávat (v želvě musí být nejprve spuštěn program LOGObot v3.0). 3.2 Návrh výukového bloku Cílem praktické části této práce je zjistit, nakolik se dá využít téma fraktální geometrie s podporou robotické stavebnice LEGO Mindstorms NXT a počítačů ve výuce matematiky na českých ZŠ či SŠ. Kromě toho se klade důraz na rozvoj algoritmického myšlení a geometrickou představivost, dále pak samozřejmě cílí i na rozvoj klíčových kompetencí žáků ať už jde o kompetenci k řešení problémů (hledání vhodné strategie řešení, předvídání situací), kompetenci komunikační (potřeba správně vyjadřovat své myšlenky a názory nejen slovně, ale také písemně či graficky, schopnost naslouchat druhým a debatovat s nimi), nebo kompetenci sociální 70

71 a personální (spolupráce ve skupině, schopnost si vzájemně pomáhat a společně bádat). Součástí experimentu je také test, který je převzat ze zmíněné turecké studie Secondary School Students Misconceptions about Fractals (kapitola 2.3.5). Má ukázat, jak jsou na tom čeští žáci, kteří fraktály v RVP nemají a poznají je jen v rámci tohoto projektu, ve srovnání s žáky z Turecka, kde je již tato problematika přímo zařazena v národních kurikulárních dokumentech pro 2. a 3. stupeň. Celý projekt je složen ze tří částí, které se ještě dělí na menší bloky, celkem trvá 9 vyučovacích hodin: Část Přípravná Aktivita Hodinová dotace Algoritmická hra Lightbot 2 Prostředí L-systems NXT Generator 1 Hledání pravidel generujících fraktály 2 Hlavní Diskuse a přednáška 1 Kreativní tvorba fraktálů 1 Závěrečná Test zaměřený na teorii a algoritmické úlohy 1 Rozpoznávání fraktálů, hodnocení projektu 1 Tabulka 6: Přehled částí výukového bloku Přípravná část Smyslem přípravné fáze experimentu je sjednotit algoritmické myšlení jednotlivých žáků na základní úroveň a seznámit je s prostředím L-systems NXT Generator, které bylo po potřeby projektu naprogramováno. Pro získání základních představ o algoritmických konstrukcích byl vybrán on-line applet ( který se jmenuje Lightbot Hour of Code. Existuje i jako aplikace pro mobilní operační systém Android a ios, verze zdarma obsahuje stejně jako webová stránka úvodní hodinový kurz programování. Jedná se o zajímavou algoritmickou hru, která učí žáky programovat bez potřeby znalostí jakéhokoli programovacího jazyku. Hlavní postavou je robot, který má za úkol rozsvítit určitá pole, po kterých se pohybuje. Protože je kurz navržen na přibližně 60 minut, je třeba si vymezit dvě vyučovací hodiny k průchodu touto činností. 71

72 Nespornou výhodou je lokalizace appletu do českého jazyka (k dispozici je celkem 28 překladů do různých jazyků). Motivačním faktorem je nejen příjemná jednoduchá grafika a přehledné rozhraní, ale také možnost získání certifikátu po úspěšném zakončení tohoto kurzu. Obrázek 41: Applet Lightbot a získaný certifikát Aktivita je rozdělena do tří bloků. První, tzv. Základy, je určen hlavně k seznámení se s ovládáním robota. Žáci se v šesti kolech hry naučí příkazy vpřed, rozsviť pole, otoč se vpravo či vlevo, a skoč (robot vyskočí na vyvýšené pole, nebo seskočí naopak dolů). Příkazy se zadávají pomocí ikon, které symbolizují jednotlivé instrukce. Druhý blok Procedury, obsahuje též šest kol, v nichž je potřeba již vytvářet menší podprogramy, které se následně volají z programu hlavního. Jelikož mají hlavní program i procedury omezenou kapacitu příkazů, které je do nich možné vkládat, jsou žáci nuceni svůj kód optimalizovat. Poslední blok nese název Cykly, které jsou zde ve skutečnosti reprezentovány rekurzivním voláním jednotlivých procedur. Žáci se tak mohou seznámit s rekurzí, kterou poté využijí při sestavování pravidel pro generování L-systémů. Další vyučovací hodina je věnována prostředí L-systems NXT Generator. Jejím cílem je seznámit žáky s funkcemi a používáním této aplikace, a také s ovládáním robotické želvy. Nejprve je třeba žákům popsat rozhraní, vysvětlit příkazy pro generování objektů, a způsob vykreslování jednoduchých geometrických tvarů pomocí textového pole Axiom a posuvníku Výchozí úhel (čtverec, rovnostranný trojúhelník atd.). Následuje ukázka tvorby prvních fraktálů, na kterých se žákům vysvětlí funkce celé 72

73 abecedy L-systémů, axiomu, úhlu, a počtu iterací, např. objekty, které byly pracovně nazvány suchý les, vlna či řetízek viz Tabulku 7. Fraktál Axiom Pravidlo Úhel Obrázek 3. iterace Suchý les F F = FF + F + + F + F 90 Vlna F F = F F + F + FF F F + F 90 Řetízek F F = FF F F F F F + F 90 Tabulka 7: Ukázky L-systémů Je vhodné vysvětlit také iterační proces ideálně pomocí barevných fixů na whiteboardu nebo barevných kříd na tabuli, kdy budou např. první tři iterace nakresleny v jednom obrázku. Obrázek 42: První tři iterace "vlny" v jednom obrázku 73

74 3.2.2 Hlavní část Hlavní část je tvořena celkem čtyřmi vyučovacími hodinami. Zde se uskuteční samostatná práce žáků ve skupinách. Třída se tedy rozdělí na skupiny čítající tři až čtyři žáky. Ty jsou určeny náhodným losem, aby byli žáci nuceni komunikovat a spolupracovat i se spolužáky, se kterými se jinak moc ve škole nebaví. Pro tuto činnost byly navrženy dva pracovní listy a prezentace o fraktálech. První dvě hodiny (ideálně se jeví spíše dvouhodinový výukový blok) jsou věnovány prvnímu pracovnímu listu Generování L-systémů, nachází se v přílohách na konci této práce. Obsahuje čtyři úlohy, ve kterých mají žáci experimentálním způsobem najít pravidla pro vykreslení základních matematických fraktálů: Kochovy křivky, C- křivky, Cantorova diskontinua a Sierpińského trojúhelníku, který je tvořen jednou lomenou čarou. Pro každý objekt žáci vymyslí i název, neboť zatím netuší, jak se oficiálně nazývají (to se dozvědí až v další části v prezentaci), a mají za úkol vyřešit pár dílčích úkolů, které se většinou týkají hledání nastavení systému pro určité speciální případy. První dvě úlohy využívají pouze jedno jednoduché pravidlo, následující dvě jsou již obtížnější, protože je třeba odhalit pravidla dvě. V případě, že některá skupina zvládne najít způsob generování daného útvaru, se na chvíli přesune k učitelskému počítači, který obsahuje Bluetooth modul pro komunikaci s robotem. Mohou si zvolit počet iterací a nechat fraktál vykreslit ve velkém měřítku na balicí papír umístěný na zemi (nutné si dát pozor na to, aby byla podlaha hladká a čistá, jinak se může robot hrotem fixy zaseknout na místě), nebo na velkém stole (v tomto případě je vhodné na robota dohlížet, aby nespadl na zem). Pokud je k dispozici mobilní whiteboard, který lze sklopit do horizontální polohy, a v robotu je použita fixa pro whiteboardy, je možné želvu nechat kreslit i na něj. Ideálním stavem by samozřejmě bylo, kdyby měli všichni žáci možnost si ve skupinách robota podle návodu sestavit a oživit, záleží však na počtu stavebnic LEGO Mindstorms NXT, které má učitel k dispozici. Třetí hodina hlavní části má charakter výkladu s diskusí. V přílohách na CD-ROM se nachází powerpointová prezentace, která obsahuje podklady k této výukové hodině. Na úvod jsou žáci seznámeni s obsahem a cílem prezentace, následuje diskuse 74

75 inspirovaná aktivitou z časopisu Mathematics Teacher, o které se píše v kapitole Jejím smyslem je, aby si žáci uvědomili omezení eukleidovské geometrie při popisu přírodních objektů, a shodli se na tom, že je nutné hledat silnější nástroj, který komplikované útvary kolem nás dokáže definovat jednodušším způsobem. Prezentace postupně obsahuje téma týkající se soběpodobnosti, vzniku slova fraktál, jeho zjednodušenou formální definici založenou na soběpodobnosti, věnuje se B. B. Mandelbrotovi ve vztahu k fraktální geometrii. Obsahuje též obrázky z kapitoly s důrazem na přírodní fraktály, uměle vytvořené objekty, a nakonec historický chronologicky poskládaný přehled nejdůležitějších matematických fraktálů (Bolzanova funkce, Cantorovo diskontinuum, Peanova křivka s odkazem na křivky vyplňující prostor, Kochova vločka a křivka, Sierpińského trojúhelník a čtverec, Mengerova houba, Juliovy množiny a Mandelbrotova množina). Prezentace je zakončena animací průletu Mandelbrotovou množinou, která názorně ukazuje, že tato množina obsahuje nekonečně mnoho svých podobných kopií. Zde tedy žáci získají hlavní povědomí o tom, co fraktální geometrie obnáší, jaké má využití, jak se postupně vyvíjela, kde na ni lze narazit, a které osobnosti hráli důležitou roli v jejím vývoji. Poslední blok hlavní části trvající jednu vyučovací hodinu se opírá o druhý pracovní list Fraktální písmena a pravidelné mnohoúhelníky (opět je přiložen na konci práce). Jde víceméně o osvojení si a shrnutí předchozích aktivit do tvůrčího celku, ve kterém žáci aplikují dosud nabité zkušenosti s fraktály. Protože jsou fraktály přitažlivé po své vizuální stránce, lze je využít k tvorbě méně obvyklých objektů, jimiž se dá např. vyzdobit školní třída či chodba. Pracovní list obsahuje dva úkoly. První se věnuje návrhu ozdobného písmena G (jako gymnázium), jehož jednotlivé části nahrazují libovolné fraktály. Žáci nejprve zakreslí do čtvercové sítě pomocí mřížových bodů tvar písmena G a popíšou jej příkazy, které zadají do pole Axiom. Zde přichází na řadu posuvník Pomocný úhel, který je oddělen od pravidel z důvodu neměnnosti základního tvaru písmena výchozí úhel lze tedy nadále používat v pravidlech L-systémů nahrazující jeho části. Žáci mají vymyslet tři různá písmena G, které si mohou nechat vykreslit robotem. 75

76 Druhý úkol je obdobný, jen místo písmena se jako výchozí tvar použije libovolný pravidelný mnohoúhelník (čtverec, šestiúhelník, osmiúhelník atd.). Žáci navrhnou dva takové mnohoúhelníky. I ty je možné vykreslit želvou na papír, zde však dochází k problému s nepřesností, kdy se tyto křivky robotovi nepodaří přesně uzavřít Závěrečná část Finální část projektu se skládá z testu a hodnocení celé výuky fraktální geometrie z pohledu žáků. Zadání testu se také nachází v přílohách této diplomové práce. Třicetiminutový test v sobě kombinuje otevřené otázky z tureckého výzkumu (kapitola 2.3.5) se třemi algoritmickými úlohami. Úkolem žáků je napsat definici a vlastnosti fraktálu, uvést alespoň tři příklady přírodních fraktálů, nakreslit libovolný fraktál, a vymyslet pravidlo pro generování jednoduchého L-systému. Již zmíněné tři úlohy (jedna otevřená a dvě uzavřené) byly převzaty z posledních třech ročníků soutěže Bobřík informatiky ( kategorie Kadet (8. 9. ročník), které byly označeny jako algoritmické s nejvyšší obtížností. Jejich výběr probíhal s ohledem na zaměření celého projektu, konkrétně se jedná o úlohy Kreslicí robot (2013), Robotická včela (2014) a Dva kreslicí roboti (2015). Celorepublikové výsledky úspěšnosti řešení těchto úloh, které byly pro potřeby tohoto výzkumu poskytnuty přímo ředitelem soutěže Jiřím Vaníčkem (neboť v současnosti dochází k úpravám rozhraní statistického modulu webu), jsou shrnuty v Tabulce 8. Ročník Obtížnost Úloha Výsledky Správně Bez odpovědi Nesprávně 2013 těžká Kreslicí robot 72,28 % 8,82 % 18,9 % 2014 těžká Robotická včela 46,71 % 13,07 % 40,22 % 2015 těžká Dva kreslicí roboti 39,65 % 42,32 % 18,03 % Tabulka 8: Výsledky soutěže Bobřík informatiky kategorie KADET Výsledky byly vyžádány z důvodu komparace žáků, kteří se zúčastní tohoto výukového bloku, s celorepublikovým průměrem. Náplní poslední vyučovací hodiny je kvíz a dotazník týkající se hodnocení projektu, používání technologií ve výuce apod. Obě dvě aktivity využívají prostředí Kahoot! 76

77 ( které je obdobou různých fyzických zpětnovazebních hlasovacích zařízení. Mezi hlavní výhody aplikace Kahoot! patří především to, že k jejímu provozu není potřeba žádný speciální hardware ani software. Bohatě stačí počítač nebo libovolné mobilní zařízení s připojením k síti Internet. Jelikož dnes většina žáků vlastní chytrý telefon nebo tablet, a na více než polovině škol (dle průzkumu firmy Cisco ze 4. ledna 2016 [84]) již mají bezdrátové Wi-Fi připojení k Internetu, tato možnost hlasování se přímo nabízí. Navíc existuje nativní volně dostupná aplikace pro platformu Android, kterou stačí nainstalovat a spustit, není tedy nutné zadávat adresu webu do prohlížeče. Kvíz je spuštěn učitelem (lze nastavit např. náhodné pořadí otázek, příp. odpovědí), současně je vygenerován kód PIN kvízu, který žáci zadají v mobilní aplikaci nebo na webu Jsou vyzváni, aby zadali své jméno, a pak již jen čekají, až učitel odstartuje hlasování. Žákovská zařízení se promění v hlasovací zařízení, kdy se na displeji zobrazí pouze tlačítka pro volbu odpovědí. Otázky jsou promítány na plátno z učitelské stanice. Žáci tedy musí sledovat projekci a zároveň pohotově reagovat, protože je modul kvízu postaven na kompetici za správnou odpověď nejrychlejší žák získává body navíc. Po každé otázce se zobrazí správná odpověď, graf úspěšnosti odpovědí otázky, a aktuální pořadí žáků (5 nejlepších výsledků). Další výhodou prostředí Kahoot! je, že si na závěr aplikace automaticky vyžádá zpětnou vazbu od žáků (jak se jim připravený kvíz líbil, jak se při něm cítili, zda by ho doporučili dalším žákům atd.). Nabídne též ke stažení kompletní přehlednou excelovou tabulku s výsledky jednotlivých žáků, ze které lze mj. vyčíst, u které otázky se žákům dařilo nejméně, tedy které téma je třeba zopakovat a znovu vysvětlit. První kvíz obsahuje celkem 21 uzavřených otázek s výběrem z 2 4 odpovědí: 1. Co je soběpodobnost? 2. Co znamená slovo ITERACE? 3. Co je to fraktál? 4. Ve kterém století se objevil první matematický fraktál (Bolzanova funkce)? 5. Kdo je dnes považován za otce fraktální geometrie? 6. Jak přibližně dlouho oficiálně existuje obor fraktální geometrie? 77

78 7. K čemu nejlépe slouží fraktální geometrie? Je na obrázku fraktál? Který fraktál je na obrázku? Otázka č obsahuje obrázky z turecké studie o žákovských obtížích v chápání fraktálů z kapitoly (Tabulka 3). Otázka č je poznávačkou klasických matematických fraktálů (Cantorovo disontinuum, Kochova vločka, Sierpińského trojúhelník, Mengerova houba, Mandelbrotova množina). Druhý kvíz, resp. dotazník, se zaměřuje na to, jak byli žáci s projektem spokojeni, co je bavilo nejvíce, která část jim přišla nejobtížnější, zda využívají technologie ve výuce matematiky, a jak často pracují ve skupinách. 3.3 Realizace a vyhodnocení experimentu Experiment byl realizován v průběhu června 2016 v jednom pražském víceletém gymnáziu se všeobecným zaměřením, konkrétně na nižším stupni v kvartě (ekvivalent 9. ročníku ZŠ) v hodinách matematiky a informatiky. Třída je složena z celkem 22 žáků, z nichž je 9 chlapců (41 %) a 13 dívek (59 %) ve věku let. Jedna z dívek je však dlouhodobě hospitalizována, proto se výzkumu vůbec nezúčastnila. Jeden z chlapců má diagnostikované specifické poruchy učení dyslexii a dysgrafii. Matematika je v této třídě vyučována v časové dotaci 4 hodiny týdně, průměrná známka z matematiky na vysvědčení byla 3,2. Žáci této třídy jsou vesměs šikovní, někdy živější (což je v období puberty běžné), ale část z nich je dosti lenivá nechce se jim moc přemýšlet a buď čekají, až jim potřebné informace někdo sdělí (jsou zvyklí spíš na pasivní příjem informací pomocí klasické transmise), nebo se snaží práci ošidit a hledají řešení raději na Internetu nebo u ostatních spolužáků. Lightbot Úvodní hodina byla zaměřena na algoritmickou hru Lightbot. Zúčastnilo se jí celkem 20 žáků (jedna dívka chyběla), pracovali samostatně každý na svém počítači v učebně Informatiky. Přestože během dvou vyučovacích hodin nakonec všichni zvládli projít tímto kurzem, v průběhu žáci naráželi na různé překážky. Tou hlavní byl především jejich přístup splnit úkol jakkoli, hlavně co nejrychleji, což způsobilo, že si někteří žáci vůbec nečetli instrukce, které jim applet na začátku každé úrovně nabízel, a to se 78

79 odrazilo v obtížnějších kolech této hry. Pouze tři žáci zvládli dokončit hru během jedné vyučovací hodiny. Blok Základy nikomu nečinil obtíže, problém nastal až v bloku Procedury. Ti žáci, kteří nevěnovali příliš pozornosti návodu (někteří žáci si ani nepřepnuli rozhraní do českého jazyka s tím, že to nepotřebují), nejprve vůbec nepochopili manipulaci s procedurami, a všechny příkazy se snažili neustále vkládat do pole Main hlavního programu. Místo hledání řešení se pár žáků začalo rozčilovat, že trasu nelze projít, neboť se jim nevejde dostatek příkazů do omezeného pole Main. Po vysvětlení, jak pracovat s procedurou P1 pokračovali dál, přesto došlo k dalšímu zmatení, když se do hry zapojila i druhá procedura P2. Méně pozorným žákům nedošlo, že P2 mohou volat nejen z hlavního programu, ale také z procedury P1 a naopak. Když se ukázalo, že jejich program běží dobře, ale nemají v poli Main dostatek místa na jeho dokončení, někteří vše kompletně vymazali a začali znovu místo toho, aby sestavený kód jen optimalizovali a přesunuli jeho část do jednotlivých procedur. Nejvíce obtížná pak přišla žákům poslední úroveň 2-6 (Obrázek 43). Většina žáků se úlohu snažila řešit postupným rozsvěcením celých čtverců složených ze 4 polí, protože nebyli schopni se od těchto tvarů vizuálně oprostit. Naopak dyslektický žák radostně vykřikoval, že je to snadné. Nenechal se ovlivnit tvarem zadání a trasou prošel po řádcích, tedy nejjednodušším možným způsobem. Obrázek 43: Lightbot úroveň 2-6, dvě strategie žákovských řešení Blok Cykly žákům přišel jednodušší než Procedury, i tak někteří ale narazili opět u poslední úlohy 3-6 (Obrázek 44). Jako malá nápověda jim byl na tabuli načrtnut možný tvar průchodu trasou, pomocí kterého poslední kolo hry dokončili. 79

80 Obrázek 44: Lightbot úroveň 3-6, nápověda, a další možná strategie řešení Žáci, kteří celou Hour of Code dokončili rychleji, sami nabídli pomoc žákům pomalejším. Dva chlapci se snažili najít nápovědu ve formě YouTubových videí na Internetu, nakonec byl z těchto důvodů do počítačové učebny instalován software pro správu žákovských stanic PC Control 2 ( který umožňuje spustit pouze určenou aplikaci či webovou stránku (výhodné to bylo nejvíce pro hlavní část experimentu), aby se žáci nejen nerozptylovali, ale také aby více zapojovali svou hlavu a nikoli jen schopnost hledat informace kolem sebe. Každý z žáků nakonec obdržel vytištěný barevný certifikát o absolvování hodiny programování se svým jménem, takže i ti pomalejší zažili pocit úspěchu a odcházeli motivováni. Tato aktivita v nich rozproudila zvědavost, co se bude dít v následujících částech projektu. První setkání s L-systems NXT Generator Ve druhé části přípravného bloku si žáci vyzkoušeli manipulaci s prostředím L- systems NXT Generator. Jelikož byl v danou chvíli již instalován PC Control 2, žáci museli svou pozornost věnovat této aplikaci. Hodina byla volnější, nejprve jim byl applet představen, předveden, žáci si vyzkoušeli kreslit první fraktály, a po zbytek hodiny zkoumali jeho možnosti samostatně. Zde se ukázala přitažlivá síla želví grafiky, protože i lenivější žáci se zájmem tvořili různé geometrické obrazce, mandaly atd. Lákadlem se stal samozřejmě také robot, jehož ovládání žáci mohli otestovat. Především chlapci obdivovali jeho konstrukci a natáčeli si ho mobilními telefony při vykreslování tvarů na papír. Byli překvapeni, že existuje robotická LEGO stavebnice, a co všechno se z ní dá postavit. Žáci v dnešní době jsou totiž spíše zvyklí na manipulaci s objekty ve virtuálním světě počítačových her, příp. na moderní robotické 80

81 hračky, které se dodávají většinou již kompletně složené (drony a jiné RC modely). LEGO je však pomůcka reálná, hmatatelná, rozvíjející jemnou motoriku i konstruktérské schopnosti, a lze s její podporou názorně demonstrovat např. mechanické převody apod. Pracovní list Generování L-systémů Tato činnost opět probíhala v počítačové učebně, konkrétně v půlených dvouhodinových blocích. Žáci byli náhodným losem rozděleni do celkem šesti skupin, kdy každá obdržela pracovní list Generování L-systémů, a usadila se k počítači, na kterém byl spuštěn zmíněný program Generátor L-systémů. Zde opět skvěle zafungoval PC Control 2, neboť první věc, kterou na PC žáci zkoušeli, bylo zapnutí webového prohlížeče. Aplikace však běžela v chráněném režimu, takže při pokusu ji zavřít došlo k jejímu opětovnému načtení. Pracovní list obsahoval jak zadání, tak i různé tipy a rady, přesto se stále někteří žáci ptali, co mají dělat. Z rozhovorů bylo zjištěno, že nejsou moc zvyklí samostatně pracovat, což je opět odrazem instruktivistického přístupu jejich učitelů k výuce. První úloha zaměřená na pravidla tvorby Kochovy křivky byla pro většinu žáků snadná. Paradoxně neobtížnější se jevilo určení úhlu otáčení želvy tak, aby vykreslila část rovnostranného trojúhelníku. Žáci si museli uvědomit, že když chtějí vykreslit tupý úhel 120, je nutné želvu otočit pouze o 60 a nikoli o 120, a naopak pokud chtějí vykreslit ostrý úhel 60, musí želvu nechat otočit o 2 x 60 = 120. Čtyři skupiny tento úkol zvládly bez potřeby dalších náčrtků, zbývající dvě zvolily vhodnou strategii použitelnou i v dalších úlohách. Nad obrázky jednotlivých iterací si zapisovaly postupně kroky želvy, které musí udělat, aby objekt nakreslila. Z těchto zápisů pak bylo možné odhalit pravidla generování (Obrázek 45). Obrázek 45: Žákovská strategie odhalování pravidel L-systémů 81

82 Zajímavým zjištěním pro mě bylo, že pár žáků používalo místo slova iterace slovo aliterace, které znají z hodin českého jazyka. Pustili jsme se do diskuse, jak spolu tyto dva odborné termíny souvisí. Aliterace je dle Slovníku spisovného jazyka českého opakování stejných hlásek na začátku slov ve verších apod. [85] V obou případech jde tedy o opakování v určitém kontextu. Jak je vidět, fraktály opravdu podporují mezipředmětové vztahy. U druhé úlohy měli žáci přijít opět na jediné pravidlo vykreslující C-křivku. Obtížnost tohoto úkolu byla vyšší z toho důvodu, že pravidlo musí končit instrukcí pro otočení, aby došlo ke správnému vygenerování druhé a všech dalších iterací. Všechny skupiny nejprve navrhly pravidlo F = F F, ale po nastavení druhého opakování se jim však vykreslil čtverec. Postupně žáci přišli na řešení, že musí želvu po první iteraci otočit tak, aby se ve druhé iteraci úhel vyrušil a křivka se vykreslila tak, jak měli na obrázku (F = F F +). Součástí úkolu bylo najít výchozí úhel, při kterém se systém zbortí do úsečky tak, že všechny iterace budou vypadat shodně. Jakmile žáci pochopili způsob generování C-křivky, neměli žádný problém s odpovědí. Experimentálně prověřili i krajní hodnoty (0, 360 ), aby odhalili případně vícenásobná řešení. Správně poznamenali, že hledaný úhel má velikost 180, protože se želva po každém kroku otočí zpět. Třetí úloha (generování Cantorova diskontinua) vyžadovala nalezení dvou pravidel a použití malých písmen abecedy pro posun želvy bez kreslení. Opět se ukázalo, jak žáci pozorně nečtou zadání. Přestože v něm bylo uvedeno, že se v objektu vynechává prostřední třetina úsečky, žáci se ptali, jak dlouhá má být ta mezera. První pravidlo odhalili (F = FfF), to druhé byl pro všechny trochu problém. Neustále se snažili experimentálně přijít na to, jak by mělo vypadat. Když skupina měla první pravidlo správně, poradil jsem, aby svou pozornost věnovali přechodu od první iterace k druhé. Nejrychleji úkol vyřešily skupiny, které použily k řešení svou strategii zapisování jednotlivých kroků nad části objektů z první úlohy. Z obrázku pak byli žáci schopni rekonstruovat druhé pravidlo f = fff (Obrázek 46). Tři skupiny do nastavení systému uvedly, že výchozí úhel v tomto případě může být libovolný, neboť se vůbec nepoužívá. Zbylé tři nastavily výchozí úhel na 0, protože 82

83 si neuvědomily, že na úhlu nezáleží, a vycházely z toho, že se má želva pohybovat rovně bez otáčení. Obrázek 46: Odhalení dvou pravidel pro generování Cantorova diskontinua Poslední úloha byla nejobtížnější. Žáci hledali pravidla pro Sierpińského trojúhelník vykreslovaný jednou lomenou čarou. S tímto úkolem si žádná ze skupin nebyla bez pomoci schopná poradit, protože najít dvě pravidla tohoto komplikovaného útvaru nebylo úplně v jejich silách. Základní pravidlo F = + F F F + plynoucí z první iterace bylo jediné, s čím žáci přišli. Otázkou bylo, jak vykreslit iteraci druhou a třetí. Vysvětlil jsem každé skupině, že druhá iterace útvaru je složena z tvarů iterace první, jen jsou poněkud natočeny či převráceny, a proto je bude potřeba přeznačit. Žáci tedy upravili první pravidlo do tvaru F = +A F A +, a začali hledat druhé pravidlo pro písmeno A. Ovšem také bez úspěchu. Klíčovou radou pro ně bylo, že pravidlo bude vypadat obdobně, neboť části křivky opět jen nějakým způsobem rotují, že jsou tak trochu naruby. Odtud byl jen krok k experimentálnímu zjištění pravidla A = F + A + F. Obrázek 47: Strategie řešení poslední úlohy 83

84 V doplňujícím úkolu k této úloze žáci zjišťovali, jak musí nastavit výchozí úhel systému, aby se stal z obrazce ve čtvrté iteraci pravidelný šestiúhelník. Pouze jedna skupina ze šesti našla řešení dvě (120 a 240 ), zbytek se spokojil s první nalezenou hodnotou 120. Obrázek 48: Fotografie žáků s robotickou želvou Žáci měli jednotlivé fraktály i pojmenovávat podle toho, co jim připomínají. Kochovu křivku nazvali mrakem, armádou sněhuláků, korunkou, javorovým listem, a dvě skupiny se shodly, že jim tvar připomíná sněhovou vločku, čímž se nejvíce přiblížily skutečnému názvu objektu. V případě C-křivky zde padly návrhy jako preclík, chapadla, nakorbený Grznár (pozn. autora: jedná se o českého kulturistu) seshora, znak eura, a nakonec písmeno C. Cantorovo diskontinuum si ve většině případů vysloužilo název morseovka, dále pak šlápoty, či označení pro oddělení části papíru ustřihni zde. Poslední fraktál, Sierpińského trojúhelník, ve všech žácích evokoval Ilumináty a iluminátský trojúhelník. Po dotazu, co je na Iluminátech tak fascinuje, se mi dostalo odpovědi, že je přitahuje ono tajemství, kterým je iluminátství tak opředeno. Skupinová práce se zde osvědčila, přestože se nejprve někteří žáci netvářili na náhodné rozdělení. Například skupina, jejímž členem byl dyslektický chlapec, který bývá občas terčem hloupých poznámek, zvládla list vypracovat jako první, neboť se ukázalo, že právě tento chlapec je schopen tvořit pravidla celkem snadno. Stal se tak 84

85 vůdčí postavou celé aktivity, což ostatní velice překvapilo. Jedna dívka a jeden chlapec, kteří jsou spíše nenápadní a tiší, naopak ze skupinové práce radost neměli, dle jejich slov raději pracují samostatně. Zde však byli postaveni před výzvu, se kterou si také nakonec poradili. Přednáška na téma Fraktály Samotnou hodinu asi není třeba nějak rozebírat. Zkoumaná třída je očividně velmi dobře adaptována na výklad ve výuce, neboť byli klidní a poslouchali, někteří si dělali poznámky ( powerpointovou prezentaci dostali po hodině k dispozici). Na začátku došlo k diskusi, která vedla k poznání, že je třeba zavést jiný druh geometrie, která by byla vhodná pro popis komplikovaných přírodních útvarů jednoduchou cestou. Žáci se snažili popisovat přírodní objekty (stromy, rostliny, mraky atd.) pomocí plošných tvarů či prostorových těles eukleidovské geometrie, nicméně sami zjistili, že to není dost dobře možné. Nejvíce ocenili závěrečné video znázorňující průlet Mandelbrotovou množinou, neboť bylo plné překrásných nekonečně komplikovaných fraktálních objektů, a končilo opět u další vnořené Mandelbrotovy množiny. Pracovní list Fraktální písmena a pravidelné mnohoúhelníky V poslední hodině hlavní části experimentu žáci tvořili ozdobná písmena G a pravidelné mnohoúhelníky. Činnost opět probíhala ve skupinách. Jelikož šlo o práci shrnující předchozí nabyté zkušenosti, nebyla zaznamenána žádná komplikace. Na následujících ilustracích jsou zobrazeny vybrané žákovské výtvory. Obrázek 49: Fraktální písmena G (screenshoty z appletu L-systems NXT Generator) 85

86 Obrázek 50: Upravené mnohoúhelníky (screenshoty z appletu L-systems NXT Generator) Závěrečná část Náplní předposlední hodiny celého výukového bloku byl závěrečný test, kterého se zúčastnilo celkem 18 žáků. Test trval 30 minut a žáci jej zpracovávali bez použití počítačů. Výsledky celého testu jsou shrnuty v Tabulce 9. První otázku týkající se definice fraktálu zodpovědělo správně 16 žáků. Za správnou odpověď byla považována definice založená na soběpodobnosti, stejně jako v případě tureckého výzkumu [63] (kapitola 2.3.5). Mezi špatnými odpověďmi se vyskytly nedostatečné definice Fraktál je objekt, který se neustále opakuje. a Fraktál je složitý útvar, při zvětšení nebo zmenšení nemění svůj tvar. Ve druhé otázce žáci uváděli příklady přírodních fraktálů. Mezi nejčastější zmiňovaný objekt patřil květák (případně brokolice), list kapradiny, sněhová vločka, pobřežní linie a mraky. Několik žáků si zadání nepřečetlo pozorně, a tak uvedlo i fraktály matematické (převážně šlo o Sierpińského trojúhelník či Mandelbrotovu množinu). Třetí úloha byla orientována na nákres libovolného fraktálního útvaru. Zde se ukázalo, že většina žáků stále ještě nedokáže správně aplikovat iterační pravidla při jejich generování. Do budoucna je tedy potřeba využít více separovaných modelů, a věnovat více času způsobu jejich generování. Správně úlohu vyřešilo 7 žáků (kritérium: žáci vykreslili správný objekt či jeho jednotlivé iterace; pět z nich si vybralo Sierpińského 86

87 trojúhelník a dva Kochovu křivku), neúplně odpovědělo 5 žáků (kritérium: žáci vykreslili irelevantní tvar nebo neodpověděli vůbec), a špatnou odpověď (kritérium: žáci nesprávně aplikovali iterační pravidla definovaná v prvním kroku) uvedlo 6 žáků. Kritéria byla opět převzata z tureckého výzkumu [63]. Obrázek 51: Příklady chybné aplikace iteračních pravidel Ve čtvrté úloze žáci sestavovali pravidla L-systému, který se objevil i v doplňujícím úkolu v pracovním listu Generování L-systémů (upravená verze Kochovy křivky, ve které je prostřední třetina nahrazena čtvercem nikoli rovnostranným trojúhelníkem). Správná pravidla systému zvládlo najít celkem 9 žáků, neúplně (nebo vůbec) úlohu vyřešilo 5 žáků, a 4 žáci úlohu vyřešili špatně. Nejčastější chybou (tři případy z pěti) v neúplných odpovědích bylo vynechání levé strany pravidla, takže žáci psali rovnou pravidlo A + A A A + A, ale správně mělo být A = A + A A A + A. Obrázek 52: Ukázka chybně navržených pravidel L-systémů Následující úloha nazvaná Kreslicí robot (převzatá ze soutěže Bobřík informatiky) byla poslední otevřenou úlohou testu. Cílem bylo sestavit program, který měl provést robota po předem dané trase. Jelikož šlo o úlohu, která byla v principu shodná s aktivitou Lightbot, žáci ji vyřešili se 100% úspěšností. Žákovská řešení této úlohy se dají rozdělit na tři způsoby zapsání programu: úsporné, částečně optimalizované a sekvenční. Úsporně, tedy s použitím cyklu 5(2J 2V) 1J, ji naprogramovalo 14 žáků. Částečně optimalizovaný kód obsahoval též cyklus, ze kterého byl však jeden průchod vyjmut: 2J 2V 4(2J 2V) 1J, 2J 4(2V 2J) 2V 1J, nebo 4(2J 2V) 2J 2V 1J, takové řešení napsali 87

88 celkem 3 žáci. Sekvenci dlouhou 22 znaků (2J 2V 2J 2V 2J 2V 2J 2V 2J 2V 1J) uvedl jako řešení jediný žák. Délka programu nesměla překročit 25 znaků (bez mezer). Poslední dvě úlohy byly uzavřené s výběrem jedné správné odpovědi, taktéž převzaté ze soutěže Bobřík informatiky. Přestože se jednalo o nejobtížnější algoritmické úlohy kategorie Kadet, žáci s těmito úkoly neměli žádné problémy. V obou případech mělo správnou odpověď 17 žáků. Číslo úlohy Správná odpověď Špatná odpověď Neúplná/žádná odpověď 1 88,89 % 11,11 % 0 % 2 77,78 % 0 % 22,22 % 3 38,89 % 33,33 % 27,78 % 4 50 % 22,22 % 27,78 % % 0 % 0 % 6 94,44 % 5,56 % 0 % 7 94,44 % 5,56 % 0 % Tabulka 9: Výsledky závěrečného testu Poslední hodina projektu byla věnována kvízu a dotazníku. Obou hlasování v softwarovém prostředí Kahoot! se zúčastnilo celkem 20 žáků. Aktivita žáky velice bavila, ocenili jak možnost svobodně se vyjádřit k proběhlému projektu, tak její kompetitivní orientaci. To se bohužel promítlo v některých výsledcích kvízu, neboť byl spuštěn v módu náhodného řazení odpovědí, což mělo za následek, že drobná nepozornost žáka v zápalu soutěžení způsobila zvolení špatné odpovědi, přestože znal odpověď správnou. Prostě se jednoduše uklikl a neměl možnost se opravit, což by se v písemném zpracování nestalo. Další 5% odchylka odpovídá vědomému ovlivňování výsledků kvízu jedním občas trochu problematickým žákem. Puberta se u něj projevuje více než u ostatních, zároveň těžce nese vynikající studijní výsledky svého o dva roky staršího bratra, který studuje na stejné škole. Je to sice inteligentní chlapec, ale momentálně se navenek projevuje pózou, která má všechny přesvědčit o tom, že je v pořádku všechno zanedbávat a propadat z několika předmětů. Jeho největší zálibou je hraní počítačových her 88

89 a sezení u Internetu, kde se rád prezentuje jako jeden z klasických internetových trollů, a toto své chování přenáší i do výuky. V následujících grafech jsou ilustrovány výsledky jednotlivých kvízových otázek. 89

90 Jak je z grafů patrné, největší potíže žákům činila otázka týkající se časového zařazení vzniku prvního matematicky popsaného fraktálu (otázka č. 4), kde správnou odpověď uvedlo pouze 20 % žáků, a délky existence oboru fraktální geometrie (otázka č. 6), na níž odpovědělo správně 45 % žáků. Dvacet procent žáků si v otázce č. 7 mylně spojilo generování fraktálních obrazců s tvorbou pravidelných mnohoúhelníků. Otázky č se věnovaly určování, zda zobrazený útvar je či není fraktálem. Jelikož šlo o další část tureckého testu, výsledky jsou shrnuty v Tabulce 12 v podkapitole Závěrečné vyhodnocení. Otázky č měly za cíl zjistit, nakolik žáci fraktální útvary dokážou přiřadit ke jménům jejich objevitelů. Kompletní přehled hlasování se nachází v tomto grafu: Rozpoznávání fraktálů 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Cantorovo diskontinuum Kochova vločka Sierpińského trojúhelník Mengerova houba Mandelbrotova množina Koch Cantor Sierpiński Mandelbrot Menger Julia 90

91 Z pozorování v průběhu projektu vyplynulo, že nejoblíbenějším žákovským fraktálem se stal Sierpińského trojúhelník, který poznalo celkem 75 % žáků (25 % ho označilo za Mandelbrotův trojúhelník). O něco hůře dopadla identifikace Kochovy vločky a Mandelbrotovy množiny (65 % žáků tyto objekty správně pojmenovalo), 55 % jich poznalo Mengerovu houbu, a Cantorovo diskontinuum zvládlo určit jen 45 % žáků. Nejčastěji přiřazované jméno bylo Mandelbrot a Koch, tato dvě jména žákům pravděpodobně nejvíce utkvěla v paměti. Na konci tohoto kvízu si aplikace Kahoot! vyžádala zpětnou vazbu od žáků. Účastníci měli posoudit, jak moc je aktivita bavila (známkování 1 5 bodů), zda se naučili v tomto kvízu něco nového (možnosti ano či ne), zda by jej dále doporučili (ano či ne), a jak se v průběhu kvízu cítili (dobře, neutrálně, špatně). Co se týče zábavy, kvíz získal známku 4,75 z maximálních 5 bodů, což svědčí o atraktivitě hlasování v platformě Kahoot!. 85 % žáků uvedlo, že se v průběhu kvízu přiučili novým znalostem, a 90 % účastníků by tento kvíz doporučilo dalším žákům. Z výsledků také vyplynulo, že 80 % žáků se v průběhu hlasování cítilo dobře, 10 % neutrálně, a 10 % špatně. Poslední aktivitou byl již zmíněný dotazník, ve kterém se žáci vyjadřovali jak k projektu, tak k jejich výuce obecně. Ukázalo se, že navržený výukový blok byl pro žáky přínosný a naučili se v něm nové věci. Z průzkumu nadále vyšlo najevo, že nejzábavnější část pro žáky byla aktivita Lightbot, pouze čtvrtina z nich ocenila možnost ovládání robota, přestože většina uvedla, že jeho použití ve výuce bylo spíše motivující (celkem 85 %). Závěrečný test určilo 60 % žáků jako nejobtížnější část celého projektu, 30 % získala skupinová tvorba L-systémů. Čtyři pětiny žáků by uvítaly zahrnutí problematiky fraktálů do výuky matematiky, neboť toto téma shledávají dostatečně přitažlivým. Zajímavým zjištěním pro mě bylo, že žáci téměř vůbec nevyužívají v matematice žádné technologie, přestože by o tuto možnost měli zájem. Jejich výuka matematiky je zaměřená pouze na učení se konkrétních postupů, což se pochopitelně odráží v průměrné známce z matematiky. I když by 85 % účastníků spíše chtělo v hodinách častěji pracovat ve skupinách, v žádné jejich výuce se tak moc neděje. V matematice skupinově nepracují vůbec, v ostatních předmětech zřídkakdy (55 %) či občas (45%). Následující stránky shrnují veškeré výsledky dotazníku v jednotlivých grafech. 91

92 92

93 93

94 Závěrečné vyhodnocení Přestože se výukového bloku zúčastnilo méně žáků (18 v případě testu, 20 v případě klasifikace fraktálů) než výzkumu tureckého (34 žáků 8. ročníku a 29 žáků 10. ročníku), rozhodl jsem se porovnat jejich výsledky. Tabulka 10 ukazuje, jak si testovaní žáci vedli při definování fraktálu. Téměř 90 % českých žáků do testu napsalo definici založenou na soběpodobnosti bezchybně. Tento výsledek byl způsoben s největší pravděpodobností tím, že žáci obdrželi test jen necelý týden poté, co se definici dozvěděli při přednášce. Může to však znamenat, že se ji naučili jen nazpaměť bez hlubšího porozumění. Ročník Správná odpověď Špatná odpověď Neúplná odpověď 8 TUR 64,7 % 14,7 % 20,6 % 9 CZE 88,89 % 11,11 % 0 % 10 TUR 44,8 % 31 % 24,2 % Tabulka 10: Definice fraktálu porovnání českých a tureckých žáků To se ostatně odrazilo ve výsledcích kresby fraktálního útvaru (Tabulka 11). Zde čeští žáci dopadli nejhůře, neboť měli značné potíže s aplikováním iteračních pravidel. Bylo by tedy vhodné příště věnovat více času návrhu fraktálů a principu iterování. Ročník Správná odpověď Špatná odpověď Neúplná odpověď 8 TUR 70,6 % 29,4 % 0 % 9 CZE 38,89 % 33,33 % 27,78 % 10 TUR 51,7 % 44,8 % 3,5 % Tabulka 11: Kresba fraktálu porovnání českých a tureckých žáků V Tabulce 12 jsou uvedeny výsledky hlasování, ve kterém žáci rozhodovali, zda daný objekt je či není fraktálem. I přes zmíněnou 5% odchylku a chyby způsobené nepozornostmi ( ukliknutím se ) v rámci soutěživosti si čeští žáci v porovnání s Turky nevedli vůbec špatně, i když jsem očekával výsledky ještě lepší, obzvláště např. u stromu, rostliny aloe, elipsy a obdélníku. Ve dvou případech (dendrit a Kochova vločka) si dokonce vedli znatelně lépe než oba turecké ročníky. Zde si již žáci dávali větší pozor na označování odpovědí a přistupovali k němu s rozmyslem, protože 94

95 pochopili, že rychle odpovědět nemusí vždy znamenat správně odpovědět. Pro účely tohoto výzkumu nebylo použití prostředí Kahoot! příliš šťastné, minimálně proto, že žáci nemohli ve stanoveném časovém limitu měnit své odpovědi. Obrázek Ročník Je fraktál Není fraktál Nevím 8 TUR 9 CZE 10 TUR 70,6 % 70 % 96,6 % 29,4 % 25 % 3,4 % 0 % 5 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 29,4 % 0 % 3,4 % 70,6 % 90 % 96,6 % 0 % 10 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 76,5 % 55 % 58,6 % 23,5 % 40 % 41,4 % 0 % 5 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 26,5 % 20 % 0 % 73,5 % 80 % 100 % 0 % 0 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 100 % 95 % 100 % 0 % 0 % 0 % 0 % 5 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 29,4 % 5 % 3,4 % 67,6 % 85 % 96,6 % 3 % 10 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 73,5 % 90 % 72,5 % 26,5 % 10 % 24,1 % 0 % 0 % 3,4 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 100 % 85 % 89,7 % 0 % 10 % 10,3 % 0 % 0 % 0 % 8 TUR 9 CZE 10 TUR 55,9 % 95 % 79,3 % 44,1 % 0 % 20,7 % 0 % 5 % 0 % Tabulka 12: Klasifikace objektů porovnání českých a tureckých žáků 95

96 Poslední Tabulka 13 porovnává výsledky (řešení algoritmických úloh ze soutěže Bobřík informatiky) testované třídy s průměrnými výsledky soutěžících z celé České republiky. V těchto úlohách naopak testovaní žáci dopadli překvapivě výborně, takže by se dalo říci, že jejich algoritmické myšlení bylo navrženým výukovým blokem posíleno. Úlohy však byly vybírány s ohledem na zaměření projektu, jejich úspěšné řešení možná tedy způsobila právě ona podobnost s aktivitami, které si žáci v jednotlivých hodinách vyzkoušeli. Existence takových úloh v matematických či informatických soutěžích však poukazuje na relevantnost tohoto projektu zaměřeného na fraktály. Úloha Účastníci Výsledky Správně Bez odpovědi Nesprávně Kreslicí robot Robotická včela Dva kreslicí roboti ČR - průměr 72,28 % 8,82 % 18,9 % Testovaná třída 100 % 0 % 0 % ČR - průměr 46,71 % 13,07 % 40,22 % Testovaná třída 94,44 % 0 % 5,56 % ČR - průměr 39,65 % 42,32 % 18,03 % Testovaná třída 94,44 % 0 % 5,56 % Tabulka 13: Výsledky úloh z Bobříka informatiky porovnání testované třídy s průměrem ČR 96

97 4 ZÁVĚR Cílem této práce bylo zjistit, zda celkem mladá matematická disciplína zvaná fraktální geometrie najde uplatnění ve výuce žáků základních a středních škol, a navrhnout výukový projekt zaměřený na fraktály, který by byl vhodně didakticky podpořen současnými technologiemi s důrazem na robotickou stavebnici LEGO Mindstorms NXT a počítač. Hlavním důvodem výběru tématu byla moje fascinovanost fraktálními útvary, které prostupují celý svět, a zároveň dětská láska ke stavebnicím firmy LEGO. Spojením těchto myšlenek pak mohl vzniknout tento text, který se zaměřuje mj. na podporu rozvoje algoritmického a geometrického myšlení, a volbou aktivizujících výukových metod také na rozvoj klíčových kompetencí (schopnost řešit problémy, spolupracovat a komunikovat). Teoretická část, která se věnuje převážně historickému pozadí vzniku fraktální geometrie, možnostem jejího uplatnění ve výuce, a detailnímu popisu hardwaru a programové výbavy stavebnice LEGO Mindstorms NXT, může čtenářům posloužit jako vhodný výchozí bod pro návrh zajímavé a podnětné výuky. Součástí je také komparace Papertova konceptu mikrosvěta s matematickými výukovými prostředími prof. Hejného, stručný rozbor národních tureckých kurikulárních dokumentů, do kterých jsou od roku 2005 fraktály zařazeny, a rozbor turecké studie, jejímž cílem bylo zhodnotit mylné představy školáků o fraktálech. Praktická část obsahuje kromě naprogramovaného appletu pro generování L-systémů a návodu na stavbu robotické želvy, jenž byla inspirována Papertovým mikrosvětem známým pod názvem Logo, také experiment, který využívá robota a další technologie (počítače, hlasovací zařízení, prezentace) pro zatraktivnění a zpřístupnění výuky fraktálů žákům. V rámci devítihodinového bloku, který je podrobně rozebrán v kapitole 3.2, byl žákům kvarty jednoho pražského všeobecného gymnázia předložen mj. test vycházející ze zmíněné turecké studie, abych zjistil, jak si tito žáci povedou. Přestože si v některých úlohách vedli hůře než turečtí žáci, není na místě fraktální geometrii zcela zavrhnout. Na základě pozorování v průběhu jednotlivých aktivit a zpětné vazby od žáků se lze domnívat, že fraktály jsou pro žáky dostatečně lákavé, 97

98 zajímavé a motivující. Zajisté z toho nelze vyvodit, že by se měla fraktální geometrie ihned zavádět do Rámcových vzdělávacích programů a povinně vyučovat, nicméně tento experiment může sloužit jako dobrý nástin toho, jak jsou čeští žáci schopni tuto problematiku pochopit. Návrh projektu se samozřejmě neobešel bez komplikací. Tou největší bylo selhání displeje řídicí jednotky NXT, které je pro určité série těchto stavebnic bohužel specifické (dochází k postupnému vzniku studeného spoje mezi displejem a základní deskou, takže displej po čase přestane vykreslovat veškeré údaje). Tento problém byl vyřešen výměnou vadného kusu za náhradní kostku ze zdrojů KITTV PedF UK v Praze. Další překážka se opět týkala NXT jednotky, tentokrát však akumulátoru, který se při jednom nabíjecím cyklu nafoukl, a jeho kapacita klesla téměř k nule. Naštěstí je možné kostku napájet i klasickými šesti tužkovými bateriemi, které jsem z důvodu spotřeby robota nahradil nabíjecími akumulátory s dostatečnou kapacitou. Manipulace s nimi však nebyla zcela ergonomická, neboť pro každé nabíjení bylo třeba z robota celou řídicí jednotku vyjmout. Mnoho času bylo věnováno i snaze co nejvíce zpřesnit pohyby robota, kvůli malým odchylkám však není schopen vykreslit uzavřené křivky tak, aby byly opravdu uzavřené. Velké pozitivum práce shledávám také v její snaze upevňovat mezipředmětové vztahy, neboť díky fraktálům žáci mohli poznat, že je možné přesunout matematiku z teoretické roviny do roviny praktické aplikace. Nechť se tedy moje diplomová práce stane inspirací k zavádění technologií do výuky matematiky, a také textem sloužícím k rozšiřování povědomí o fraktální geometrii. 98

99 5 SEZNAM POUŽITÝCH INFORMAČNÍCH ZDROJŮ 1. KAPOUN, J. Průkopníci informačního věku (27.) - Seymour Papert. In: CIO Businessworld [online] [cit ]. Dostupné z: businessworld.cz/cio-bw-special/prukopnici-informacniho-veku-27-seymour- Papert PAPERT, S. Počítače ve škole. In: Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, sv. XXIX. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1984, s [cit ]. ISSN: Dostupné z: /PokrokyMFA_ _3.pdf 3. KABÁTOVÁ, M. Konštrukcionistický prístup vo vyučovaní robotiky v príprave budúcich učiteľov. Bratislava: Dizertační práce. Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky [cit ]. Dostupné z: 4. NEUMAJER, O. Nelehká cesta ICT do škol. In: Ondřej Neumajer [online] [cit ]. Dostupné z: 5. TRŽILOVÁ, D. LOGO a matematika: učební text pro studenty výběrového semináře. České Budějovice: Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích, Dostupné také z: LOGO_skripta.pdf 6. ŠTĚPÁNEK, P. Co je LOGO? Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1981, 26 (2), ISSN: Dostupné také z: PokrokyMFA_ _8.pdf 7. TIŠNOVSKÝ, P. Logo dětská hračka nebo programovací jazyk? In: Root.cz [online] [cit ]. Dostupné z: logo-ndash-detska-hracka-nebo-programovaci-jazyk/#k02 99

100 8. FALTÝNEK, L. Logo. In: Linuxexpres [online] [cit ]. Dostupné z: 9. BALESTRINI, M. Lo dijo Papert. Sobre aprender haciendo [obrázek]. In: Transmedia [online] [cit ]. Dostupné z: transmedial.wordpress.com/2011/10/10/lo-dijo-papert-sobre-aprenderhaciendo/ 10. PAPERT, S. Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. New York: Basic Books, ISBN: JANČAŘÍK, A. Vybrané teorie učení a jejich projekce do využívání ICT ve výuce matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, ISBN: BINTEROVÁ, H. Výukové prostředí v kontextu potřeb dnešní školy. In: Užití počítačů ve výuce matematiky. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2011 [cit ]. ISBN: Dostupné z: home.pf.jcu.cz/~upvvm/2011/sbornik/clanky/02_upvm11_binterova.pdf 13. HEJNÝ, M. Rozhovor s prof. Milanem Hejným [video] [cit ]. Dostupné z: Práce v prostředích: učíme se opakovanou návštěvou. Hejného metoda [online] [cit ]. Dostupné z: HEJNÝ, M. Prostředí krokování a schody. In: Metodický portál RVP [online] [cit ]. Dostupné z: PROSTREDI-KROKOVANI-A-SCHODY.html/ 16. BOYTCHEV, P. Logo Tree Project [cit ]. Dostupné z: elica.net/download/papers/logotreeproject.pdf 17. TIŠNOVSKÝ, P. Volně šiřitelné implementace programovacího jazyka Logo. In: Root.cz [online] [cit ]. Dostupné z: clanky/volne-siritelne-implementace-programovaciho-jazyka-logo/ 100

101 18. TIŠNOVSKÝ, P. Komerční implementace Loga. In: Root.cz [online] [cit ]. Dostupné z: ZELINKA, I. Fraktální geometrie: Principy a aplikace. Praha: BEN, ISBN: MANDELBROT, B. Fraktály: Tvar, náhoda a dimenze. Překlad Jiří FIALA. Praha: Mladá fronta, ISBN: JARNÍK, V. Bolzanova "Functionenlehre". Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. Praha: Jednota česko-slovenských matematiků a fysiků, 1931, 60 (4), ISSN: X. Dostupné také z: dmlcz/123934/CasPestMatFys_ _5.pdf 22. JAŠEK, M. Funkce Bolzanova. In: Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, sv. LI. Praha: Jednota česko-slovenských matematiků a fysiků, 1922, s ISSN: X. Dostupné také z: CasPestMatFys_ _2.pdf 23. HYKŠOVÁ, M. Karel Rychlík ( ). Praha: Prometheus, ISBN: Dostupné také z: "RECT", 1. Cantor set in seven iterations [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Cantor_set_in_seven_iterations.svg 25. LOMTATIDZE, L. Historický vývoj pojmu křivka. Brno: Akademické nakladatelství CERM, ISBN: Dostupné také z: dmlcz/ JANEČKA, K. Prostorové datové struktury a jejich použití k indexaci prostorových objektů. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2011 [cit ]. Dostupné z: 101

102 27. YOURMATHS. Two algorithms for generatong Von Koch snowflakes [obrázek]. In: Yourmaths [online] [cit ]. Dostupné z: yourmaths.wordpress.com/2014/07/02/two-algorithms-for-generating-vonkoch-snowflakes/ 28. P3D0. Sierpinski8 [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: RÖSSEL, J. Sierpinski carpet 6, white on black [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Sierpinski_carpet_6,_white_on_black.svg 30. WOLFE, J. Fractal Dimension of the Menger Sponge [obrázek]. In: Fractal Foundation [online] [cit ]. Dostupné z: fractalfoundation.org/ofc/ofc-10-3.html 31. PUNČOCHÁŘ, M. Nedaleko nekonečna. Praha: Academia, ISBN: Dostupné také z: worldfract/index.htm 32. JULIA, G. M. Mémoire sur l itération des fonctions rationnelles.. Brindisi: Alessandro Rosa, 15. května 2001 [cit ]. Dostupné z: POHLOVÁ, V. Fraktální geometrie. In: Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, sv. XXXIV. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1989, s ISSN: Dostupné také z: PokrokyMFA_ _3.pdf 34. COUFAL, J. Vizualizace fraktálů v komplexní rovině. Brno: Masarykova univerzita, 2010 [cit ]. Dostupné z: Fraktaly_v_komplexni_rovine.pdf 102

103 35. MANDELBROT, B. Fraktalista: Rebelem ve vědě. Překlad Petr HOLČÁK. Praha: Argo, ISBN: HINNER, M. Mandelbrotova množina. In: Jemný úvod do fraktálů [online] [cit ]. Dostupné z: mandelbrot.php 37. SOLKOLL. Fractal weeds [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Fractal_weeds.jpg 38. PŘIKRYL, M. Fraktální komprese. In: Prikryl.cz [online] [cit ]. Dostupné z: DSP-USER. Barnsley fern plotted with VisSim [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Barnsley_fern_plotted_with_VisSim.PNG 40. TIŠNOVSKÝ, P. Dynamické systémy v komplexní rovině. In: Elektrorevue.cz [online] [cit ]. Dostupné z: clanky/01040/kap2.htm 41. ŠARBORT, M. Fraktály a chaos. In: Masarykova univerzita [online] [cit ]. Dostupné z: fraktaly_chaos-msarbort.pdf 42. DSCHWEN. Lorenz attractor [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: D1MA5AD. PerrinPlot2 [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: 103

104 44. MONNIAUX, D. Fractal Broccoli [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: GOMES, P. M. D. C. T. Asplenium adiantum-nigrum [obrázek]. In: Flora da Cerca do Mosteiro de Tibães: contributo para a valorização e divulgação do seu património [online] [cit ]. Dostupné z: handle/10316/ ZNACHOR, P. Pleodorina indica [obrázek]. In: Fytoplankton.cz [online] [cit ]. Dostupné z: fytofoto.php?fyto_foto= BEN-JACOB, E. The Social Behavior Of Bacteria, Trippily Explored In Art [obrázek]. In: Fastcodesign [online] [cit ]. Dostupné z: / 48. BEEBLEBROXZ, S. Bismuth Crystal [obrázek]. In: Deviantart [online] [cit ]. Dostupné z: NASA. Lena River Delta - Landsat 2000 [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Lena_River_Delta_-_Landsat_2000.jpg 50. AGNIHOTRI, P. Kandariya mahadev [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: File:Kandariya_mahadev.jpg 51. HUBERT, C. Fractals [obrázek]. In: Christian Hubert Studio [online] [cit ]. Dostupné z: fractals.html 104

105 52. TAIT, S. L. Representations of the Sierpiński triangle fractal pattern [obrázek]. In: Nature Chemistry [online] [cit ]. Dostupné z: DALÍ, S. The Face of War [obrázek]. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, 1940 [cit ]. Dostupné z: /en.wikipedia.org/wiki/file:the_face_of_war.jpg 54. EGLASH, R. The fractals at the heart of African designs [obrázek]. In: TED [online] [cit ]. Dostupné z: ron_eglash_on_african_fractals 55. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: MŠMT, 2016 [cit ]. Dostupné z: Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Praha: VÚP v Praze, 2007 [cit ]. ISBN: Dostupné z: İlköğretim Matematik Dersi 6 8. Sınıflar: Öğretim Programi Ve Kilavuzu. Ankara: MEB, 2009 [cit ]. Dostupné z: Ortaöğretim Matematik (9, 10, 11 Ve 12. Sınıflar) Dersi Öğretim Programi. Ankara: MEB, 2011 [cit ]. Dostupné z: Ortaöğretim Geometri Dersi Sınıflar: Öğretim Programi. Ankara: MEB, 2010 [cit ]. Dostupné z: PALEČKOVÁ, J. Posun ve znalostech čtrnáctiletých žáků v matematice a přírodních vědách: Zpráva o výsledcích. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání, 2001 [cit ]. ISBN: x. Dostupné z: getattachment/cz/o-nas/mezinarodni-setreni-archiv/timss/timss-1999/ narodni-zprava.pdf 61. KOUCKÝ, J. a J. PALEČKOVÁ. Učení pro život: Výsledky výzkumu OECD PISA Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání, 2004 [cit ]. Dostupné 105

106 z: PISA/PISA-2003/uceni-pro-zivot-publikace.pdf 62. NIHAN, S. Perceptions of High School Mathematics Teachers Regarding the 2005 Turkish Curriculum Reform and. Athens: The Patton College of Education of Ohio University, 2012 [cit ]. Dostupné z: rws_etd/document/get/ohiou /inline 63. KARAKUS, F. a I. KARATAS. Secondary School Students' Misconceptions about Fractals. In: Journal of Education and Human Development. Madison: American Research Institute for Policy Development, 2014, s [cit ]. ISSN: X. Dostupné z: Vol_3_No_3_September_2014/19.pdf 64. LORNELL, R. a J. WESTERBERG. Fractals in High School: Exploring a New Geometry. In: Mathematics Teacher, sv. XCII. The National Council of Teachers of Mathematics, 1999, s ISSN: MORTENSEN, T. F. Historie LEGO. In: The LEGO Group [online] [cit ]. Dostupné z: the_lego_history 66. Lego: Historie firmy. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikipedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: cs.wikipedia.org/wiki/lego#historie_firmy 67. FISCHER, H. Improvements in toy building blocks [obrázek]. In: Patent UK [online] [cit ]. Dostupné z: history/patents/529580_uk.gif 68. CHRISTIANSEN, G. K. Toy building brick [obrázek]. In: Patent US [online] [cit ]. Dostupné z: wp-content/uploads/2011/10/patentbricks.jpg 106

107 69. MORTENSEN, T. F. The LEGO Group History: 1990's. In: The LEGO Group [online] [cit ]. Dostupné z: aboutus/lego-group/the_lego_history/ Mindstorms RCX. In: Brickipedia [online] [cit ]. Dostupné z: BUMGARDNER, J. The origins of Mindstorms. In: Wired [online] [cit ]. Dostupné z: MORTENSEN, T. F. The LEGO Group History: 2000's. In: The LEGO Group [online] [cit ]. Dostupné z: aboutus/lego-group/the_lego_history/ MORTENSEN, T. F. The LEGO Group History: 2010's. In: The LEGO Group [online] [cit ]. Dostupné z: aboutus/lego-group/the_lego_history/ How robots aid scientific research LEGO. Google Science Fair, 12. března 2013 [cit ]. Dostupné z: BLACKMORE, C. NXT 1.0, 2.0, and Education Inventory Comparison. In: Southern Alberta Robotics Enthusiasts [online]. Edmonton: [cit ]. Dostupné z: InventoryComparison/nxt_1_vs_2_vs_edu.html 76. LEGO Mindstorms NXT: Hardware Developer Kit. The LEGO Group, 2006 [cit ]. Dostupné z: franchises/mindstorms 2014/downloads/firmware and software/nxt software/ hdk_download1.zip 77. LEGO Shop. The LEGO Group [online] [cit ]. Dostupné z: shop.lego.com/en-us/ 78. NXT User Guide. The LEGO Group, 2006 [cit ]. Dostupné z: cache.lego.com/downloads/education/9797_lme_userguide_us_low.pdf 107

108 79. DAVIS, B. An Array of Solutions. In: The NXT Step [online] [cit ]. Dostupné z: ASTOLFO, D. Building Robots with LEGO Mindstorms NXT. Burlington: Syngress, ISBN: MADSCISTUFF. Testing Mindstorms NXT Logo turtle using mobile remote. 30. prosince 2012 [cit ]. Dostupné z: watch?v=pcjhlcldkvw 82. CRUIZCORE. Draw a square wave curve using the XG1300L(Experiencing). 26. srpna 2011 [cit ]. Dostupné z: watch?v=l6gpwtxg0ts 83. PETROVIČ, P. Riadenie modelov a spracovanie údajov v systéme NXT Logo. Bratislava: FMPH, 2008 [cit ]. Dostupné z: didinfo_2008_petrovic_nxt_logo_full.pdf 84. LODL, J. Wi-fi se stává v českých školách standardem. Má ho již 56 procent z nich, zjistil výzkum Cisco. In: CISCO [online] [cit ]. Dostupné z: html 85. HAVRÁNEK, B. Aliterace. In: Slovník spisovného jazyka českého [online] [cit ]. Dostupné z: search.php?hledej=hledat&heslo=aliterace&sti=empty&where=hesla&hsubstr =no 108

109 6 SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 1: Seymour Papert s mechanickou želvou [9] a fotografie dětí s Irvingem z jeho knihy [10] (str. 2) Obrázek 2: Bolzanova funkce [23] (str. 177) Obrázek 3: Weierstrassova funkce [23] (str. 135) - první tři aproximace Obrázek 4: Cantorovo diskontinuum - prvních šest iterací [24] Obrázek 5: Peanova křivka [23] (str. 136) Obrázek 6: Konstrukce Hilbertovy křivky [25] (str. 205) Obrázek 7: První čtyři iterace Kochovy vločky [27] Obrázek 8: Kochova křivka v prvních šesti fázích vzniku [19] (str. 18) Obrázek 9: Sierpińského trojúhelník [28] a Sierpińského koberec [29] Obrázek 10: Obarvený Pascalův trojúhelník Obrázek 11: Iterace Mengerovy houby [30] Obrázek 12: Juliovy množiny (vygenerováno aplikací Slatcarf [34]) Obrázek 13: Mandelbrotova množina (vygenerováno aplikací Slatcarf [34]) Obrázek 14: Traviny vymodelované pomocí L-systémů ve 3D [37] Obrázek 15: Kochova křivka pomocí čtyř afinních transformací [19] (str. 32) a Barnsleyho kapradí [39] Obrázek 16: Lorenzův podivný atraktor [42] Obrázek 17: Brownův pohyb záznam trajektorií tří částic [43] Obrázek 18: Romanesco [44] a sleziník netíkovitý [45] Obrázek 19: Kolonie zelené řasy Pleodorina indica [46] a kolonie bakterie Paenibacillus vortex [47] Obrázek 20: Krystal bismutu [48] a delta řeky Leny [49] Obrázek 21: Hinduistický chrám Kandariya Mahadeva v Indii [50] Obrázek 22: Vzory v Duomo di Ravello [51] a dlažba v San Clemente [52] Obrázek 23: Obraz La Cara de la Guerra [53] Obrázek 24: Letecký snímek vesnice Ba-ila a její schematický náčrt [54] Obrázek 25: Fractal Triangle a Fractal Cutout Card (foto: 45 Obrázek 26: Původní patent kostky firmy Kiddicraft [67] a patent klasické kostky firmy LEGO [68].. 48 Obrázek 27: LEGO Mindstorms Education NXT Základní souprava 9797 a LEGO Mindstorms Sada doplňkových dílů 9695 (foto:

110 Obrázek 28: Programovatelná jednotka NXT [77] Obrázek 29: Dotykový senzor [77] Obrázek 30: Zvukový senzor [77] Obrázek 31: Světelný senzor [77] Obrázek 32: Ultrazvukový senzor [77] Obrázek 33: Servomotor [77] Obrázek 34: Vývojové prostředí jazyka NXT-G Obrázek 35: Ukázka jednoduchého programu v jazyku NXT-G (robot, který se dokáže vyhýbat překážkám pomocí ultrazvukového čidla) Obrázek 36: Data hubs ukázka programu, který načte číslo z proměnné Number 1, předá ho bloku Number To Text, a z něj textový řetězec putuje na obrazovku NXT kostky Obrázek 37: První verze želvy s dvěma diferenciály a spouštěcí mechanismus pera Obrázek 38: Druhá a třetí verze robota Obrázek 39: Finální verze robotické želvy Obrázek 40: Grafické uživatelské rozhraní appletu L-systems NXT Generator Obrázek 41: Applet Lightbot a získaný certifikát Obrázek 42: První tři iterace "vlny" v jednom obrázku Obrázek 43: Lightbot úroveň 2-6, dvě strategie žákovských řešení Obrázek 44: Lightbot úroveň 3-6, nápověda, a další možná strategie řešení Obrázek 45: Žákovská strategie odhalování pravidel L-systémů Obrázek 46: Odhalení dvou pravidel pro generování Cantorova diskontinua Obrázek 47: Strategie řešení poslední úlohy Obrázek 48: Fotografie žáků s robotickou želvou Obrázek 49: Fraktální písmena G (screenshoty z appletu L-systems NXT Generator) Obrázek 50: Upravené mnohoúhelníky (screenshoty z appletu L-systems NXT Generator) Obrázek 51: Příklady chybné aplikace iteračních pravidel Obrázek 52: Ukázka chybně navržených pravidel L-systémů

111 7 PŘÍLOHY Pracovní list: Generování L-systémů 111

112 112

113 113

114 Pracovní list: Fraktální písmena a pravidelné mnohoúhelníky 114

115 115

116 Závěrečný test 116

117 117