Fraktály. Kristina Bártová. Univerzita Karlova v Praze 9.prosince

Transkript

1 Fraktály Kristina Bártová Univerzita Karlova v Praze 9.prosince 2008 kristinka.b@tiscali.cz

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 Úvodní informace Fraktální geometrie je samostatná a dnes již poměrně rozsáhlá vědní disciplína zasahující do mnoha dalších oborů, která je intenzivně rozvíjena zhruba od šedesátých let minulého století. Za jejího zakladatele je dnes považován vědec polského původu a objevitel fraktálů Benoît B. Mandelbrot, který jako první matematicky definoval pojem fraktál (fractal). O definici fraktálu se sice vědci a umělci do jisté míry pokoušeli i před B. B. Mandelbrotem (fraktály jsou ostatně odnedávna patrné prakticky na každém kroku v okolní živé i neživé přírodě), jejich popis však byl velmi vágní a neúplný, proto je B. B. Mandelbrotovi právem připisováno prvenství.

12 Benoît B. Mandelbrot Benoît B. Mandelbrot (*20. listopadu 1924, Polsko), francouzský matematik a zakladatel fraktální geometrie. Působí jako profesor matematických věd na Yaleské univerzitě a pracuje pro IBM ve vývojovém středisku Thomase J. Watsona.

13 Mandelbrotova množina Benoit B. Mandelbrot je v dnešní době známý i mimo oblast matematiky. Byl po něm totiž pojmenován jeden z nejznámějších fraktálů - Mandelbrotova množina. Tímto jménem byl dynamický fraktál ležící v komplexní rovině (poprvé prezentovaný v roce 1979) pojmenován na počátku osmdesátých let minulého století Johnem Hubbardem. Ve skutečnosti však Mandelbrot nebyl první, kdo tento fraktál pomocí počítače vykreslil, jako první ho však publikoval.

14

15 Fraktální geometrie jako vědecký obor I před zavedením pojmu fraktál a fraktální geometrie se vědci a umělci zabývali geometrickými útvary, které dnes nazýváme fraktály (např. sněhová Kochova vločka (Kochův ostrov) nebo Sierpinského trojúhelník). Nikdo z nich však fraktál matematicky obecně nedefinoval, takže prvenství je po právu připisováno Benoitu B. Mandelbrotovi. Fraktály lze nejlépe popsat jako geometrické objekty a nejjednodušší definicí je nekonečně členitý útvar. Pro vysvětlení pojmu nekonečně členitý útvar musíme definovat pojem geometricky hladký útvar, který je jistým způsobem pravým opakem útvaru nekonečně členitého.

16 Geometricky hladké útvary = běžná tělesa a především umělé útvary v našem okolí, které se dají popsat nebo zobrazit jako jistý konečný počet parametrů, které tato tělesa z hlediska jejich tvaru plně charakterizují (krychle, koule, válec, prstenec, úsečka, přímka či rovina...) Společnou vlastností uvedených útvarů je schopnost přiřadit jim jisté celé číslo, které nazýváme počet rozměrů neboli dimenze.

17 Dimenze D Úsečka, přímka, křivka (parabola, sinusida či Bézierova křivka)... D = 1 (pro křivky, které mají dimenzi jedna, je definována jejich délka (která může být i nekonečná), ale jejich plocha je nulová (jsou nekonečně tenké)) Hladké plochy (kruh, trojúhelník, n-úhelník)... D = 2 (Takto definované plochy mají určitý obsah, ale jejich objem je nulový, protože mají nulovou tloušťku. ) Krychle, koule, válec nebo celý běžný prostor kolem nás... D = 3 Bod je speciálním případem... D = 0 samém není třeba určovat žádnou souřadnicí) (polohu bodu v něm Dimenze specifikována celým číslem se nazývá dimenze topologická.

18 Nekonečně členité útvary Kolik měří pobřeží Korsiky? Obvod ostrova Korsiky měřil Richardson, který také jako první zjistil, že obvod ostrova je závislý na délce tyče, kterou se měří. Richardson také empiricky odvodil následující vztah: K = N(e)eD K... délka celkového počtu N(e) úseček nutných k aproximaci (pokrytí) dané křivky

19 Hausdorffova dimenze (fraktální dimenze) Skutečná dimenze pobřeží je větší než dimenze křivky (=1) a současně je menší než dimenze roviny (=2) dimenze pobřeží není celočíselná. Toto neceločíselné číslo se nazývá Hausdorffovou dimenzí. Hodnota Hausdorffovy dimenze udává, s jakou rychlostí délka těchto útvarů (či odpovídající veličina při větším počtu rozměrů) roste do nekonečna.

20 Měření Hausdorffovy dimenze Pro Hausdorffovu dimenzi obecně platí následující podmínka: N * sd = 1 N... počet dílů, na které se těleso rozdělí s... měřítko Hausdorffova dimenze se pro dané dělení N a dané měřítko s vypočítá:

21 Měření Hausdorffovy dimenze - úsečka S=1/2 N=2 Přímka tedy není fraktál.

22 Měření Hausdorffovy dimenze - čtverec S=1/2 N=4 Čtverec tedy není fraktál.

23 Měření Hausdorffovy dimenze - krychle S=1/2 N=8 Krychle tedy není fraktál.

24 Měření Hausdorffovy dimenze Kochova přímka S=1/3 N=4 Kochova přímka je fraktál.

25 Hausdorffova dimenze přírodních útvarů Pobřeží 1,26 Povrch mozku člověka 2,76 Neerodované skály 2,2-2,3 Obvod 2D průmětu mraku 1,33

26 Definice pojmu fraktál Fraktál je množina, jejíž Hausdorffova dimenze je ostře větší než dimenze topologická.

27 Soběpodobnost = taková vlastnost objektu, že objekt vypadá podobně, ať se na něj díváme v jakémkoliv zvětšení. Jedná se o hlavní znak fraktálů a většinou je považován za jejich definici. Vlastnosti soběpodobné množiny: Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe sama při určité transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení). Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při libovolném zvětšení, či zmenšení vypadají podobně. Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe, respektive vzniká opakováním téhož motivu.

28 Klasický příklad soběpodobnosti: kapradina

29 Soběpodobný systém IFS

30 Typy fraktálů Dynamické systémy s fraktální strukturou L-systémy Systémy iterovaných funkcí - IFS Nepravidelné fraktály (statisticky soběpodobné)

31 Dynamické systémy s fraktální strukturou V praxi mají nejširší uplatnění. Dynamický systém je matematický model, jehož stav je závislý na nějaké nezávislé veličině, většinou to bývá na čase. Dynamický systém je popsán pomocí dynamických podmínek. Ty jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového vektoru v čase. Nejznámější příklady z komplexní roviny jsou Juliovy množiny a Mandelbrotova množina.

32 Juliova množina

33 Juliova množina v čtyřrozměrném prostoru

34 Mandelbrotova množina

35 Mandelbrotova množina Jeden z nejznámějších fraktálů. Je definován rekurzivním předpisem x0 = 0 x i+1 = xi2 + c c je komplexní Bod c tedy patří do mandelbrotovy množiny právě tehdy, když je tato fce omezená. Množina sestává z nekonečného množství podobjektů.

36 L-systémy = skupina fraktálů definovaná pomocí přepisovacích gramatik Podstatou tvorby L-systémů je přepisování řetězců podle určitých pravidel (gramatik) Příklad: Hilbertova křivka, Sierpinského trojúhelník

37 pátá iterace Hilbertovy křivky

38 Sierpinského trojúhelník

39 Sierpinského trojúhelník Popsán v roce 1915 polským matematikem Waclawem Sierpinskim. Jedná se o fraktální útvar vytvořený rekurzivním vykreslováním rovnostranných trojúhelníků. D = 1,585

40

41 Systémy iterovaných funkcí - IFS = generativní metoda tvoření fraktálů Tato metoda je vhodná jak pro generování fraktálů, tak i pro kompresi bitmapových obrazů

42

43

44 Fractal flames Tento typ fraktálů vznikl několikerou generalizací klasických systémů iterovaných funkcí (IFS). Algoritmus "Fractal Flame" byl vytvořen přímo s ohledem na estetickou kvalitu vytvářených obrázků, bez ohledu na matematickou korektnost, jako je tomu u původních IFS systémů.

45

46

47

48 Stochastické fraktály (nepravidelné fraktály) Nepravidelné fraktály vnášejí při generování fraktálu do algoritmu náhodu. Náhodné fraktály můžeme vytvářet více způsoby. např. simulací Brownova pohybu.

49 Stachastický fraktál nazývaný plasma

50 Literatura a zdroje informací (Root.cz Fraktály v počítačové grafice) Benoit Mandelbrot: Fraktály, Praha 2003, Mladá Fronta (TechRepublic - Amazing flame fractals take your breath away) (Fractal gallery) (Wikipedia Sierpiński Triangle, Mandelbrot Set, Koch Snowflake...)

51 KONEC