PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. stud. skup. FMUZV (73) dne

Transkript

1 Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. Úloha č. VIII Název: Měření impedancí rezonanční metodou Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 Seznam použité literatury 0 Celkem max. 20 Posuzoval: dne

2 Zadání úlohy. Změřte indukčnosti L A, L B a vlastní kapacity C A, C B cívek A a B. 2. Z měření celkové indukčnosti L,2 cívek A a B určete jejich vzájemnou indukčnost M. Diskutujte platnost vztahu mezi vzájemnou indukčností M, indukčnostmi cívek L A, L B a celkovou indukčností L,2. 3. Pro jedno zapojení proměřte rezonanční křivku. Naměřený průběh porovnejte graficky s teoretickým a vyhodnoťte míru útlumu, činitel jakosti a náhradní sériový odpor obvodu. 4. Proveďte kalibraci otočného kondenzátoru diferenční metodou a výsledek vyneste do grafu. 2 Teoretický úvod měření V této úloze půjde o změření impedance dvou samostatných cívek a jejich sériové kombinace, resp. o zjištění jejich vlastní a vzájemné indukčnosti a parazitní kapacity. Ukážeme, že reálné cívky nejsou ideální indukčnosti, ale mají jistou kapacitu. Prověříme, zda-li lze parazitní kapacitu dvou cívek v sérii počítat jako kapacitu sériového zapojení dílčích parazitních kapacit. Pro jednu z cívek naměříme rezonanční křivku, z níž určíme rezonanční frekvenci, míru útlumu, činitel jakosti cívky a sériový odpor obvodu. [] Zavedení potřebných veličin a vztahů Rezonance sériového RLC obvodu Jsou-li prvky R, C, L řazeny v sérii, může dojít k proudové rezonanci. V takovém stavu je rezonanční úhlová frekvence dána Thomsonovým vztahem [] ω R = LC. () Uvažujeme-li reálnou cívku s parazitní kapacitou, tj. cívku nahradíme ideální indukčností s paralelní parazitní kapacitou C 0, Thomsonův vztah () nabude tvaru ω R = L(C + C0 ). (2) Vzájemná indukčnost dvou cívek Máme-li dvě cívky o vlastních indukčnostech L A a L B zapojeny v sérii, pak je jejich celková indukčnost [] L = L A + L B + 2M, (3) L 2 = L A + L B 2M, (4) kde L je indukčnost, jsou-li cívky v souhlasném zapojení, L 2 je indukčnost v zapojení nesouhlasném. Z rovnic (3), (4) pro vzájemnou indukčnost M vyplývá Redukovaná rezonanční křivka M = L L 2. (5) 4 Redukovanou rezonanční křivkou rozumíme křivku y = y(x), kde závisle proměnná y je pro sériový obvod (proudovou rezonanci) rovna poměru proudu a jeho maximální rezonanční hodnoty I I R a nezávisle proměnná x je rozladění, tj. poměr frekvence a rezonanční frekvence ω ω R []. Rezonanční křivka v zavedených proměnných lze pro sériový RLC obvod psát ve tvaru C kde d = R d 2 y 2 = d 2 + ( ) x 2, (6) x L. V případě reálné cívky zde vystupuje i její parazitní kapacita C 0, tj. C d = R L = R CN + C 0. (7) L 2

3 Veličinu d nazýváme míra útlumu. Činitelem jakosti cívky pak rozumíme [] kde R S je sériový náhradní odpor RLC obvodu. Diferenční metoda měření kapacity kondenzátoru Q = ω RL R S = d, (8) RLC obvod nejprve vyladíme do rezonance. Kapacitou obvodu je normálový proměnný kondenzátor s kapacitou C m. Poté k normálovému kondenzátoru paralelně připojíme měřený kondenzátor o neznámé kapacitě C x. Změnou kapacity normálového kondenzátoru na hodnotu C přivedeme obvod opět do rezonance. Z paralelní kombinace obou kondenzátoru pro neznámou kapacitu plyne 2. Použité přístroje, měřidla, pomůcky C x = C m C. (9) Normálový kondenzátor TESLA TM-330-C-Č032 rozsah do 00 pf, citlivý galvanometr M56, Generátor TESLA 0 Hz 0 MHz BM 492, čítač EZ FC-750U universal counter, soustava budící a měřící cívky s měřenými cívkami A, B a komutátorem, otočný kalibrovaný kondenzátor, přívodní vodiče. 2.2 Popis postupu vlastního měření Měření indukčnosti L A, L B, L, L 2 a kapacity C A, C B, C, C 2 Pro nalezení indukčností jednotlivých zapojení cívek a jejich parazitních kapacit zvolíme metodu proměření závislosti ω R = ω R (C N ) v intervalu možných kapacit normálového kondenzátoru. Tuto závislost proměříme pro samotnou cívku A (hodnoty L A a C A ), dále pro cívku B (hodnoty L B a C B ), pro sériové zapojení obou cívek v souhlasném a nesouhlasném směru (hodnoty L,2 a C,2 ). Lze očekávat závislosti předpovězené rovnicí (2). Závislost proměříme tak, že na normálovém kondenzátoru volíme kapacity a dále měníme frekvenci, až dosáhneme frekvence rezonanční. Rezonační frekvenci však určíme jako aritmetický průměr dvou frekvencí, odečtených ve strmé části rezonanční křivky symetricky vzhledem k maximu na obou stranách rezonanční křivky. Měření rezonanční křivky Na normálovém kondenzátoru nastavíme hodnotu 600 pf. Nalezneme rezonanční frekvenci. Na generátoru nastavíme takové výstupní napětí, aby byla výchylka galvanometru v rámci stupnice maximální a dosahovalo se tak díky maximu dílků co nejlepší přesnosti. Dále odečítáme hodnoty frekvence souměrně na pravé a levé straně rezonanční křivky, které odpovídají zvoleným počtům dílků galvanometru a postupně proměříme rezonanční křivku. Kalibrace otočného kondenzátoru diferenční metodou Na normálovém kondenzátoru nastavíme maximální hodnotu C m = 00 pf a obvod vyladíme do rezonance změnou frekvence. Dále ke kondenzátoru paralelně připojíme měřený kondenzátor, jehož kapacitu C x v aktuální pozici ξ hledáme. Obvod opět vyladíme do rezonance, tentokrát změnou kapacity normálového kondenzátoru, jehož hodnota v rezonanci bude C. Zaznamenáme hodnotu C m a dále odpovídající si stavy otočného kalibrovaného kondezátoru ξ a nastavené kapacity normálového kondenzátoru C. 3

4 Obrázek : Schéma měřící aparatury pro měření rezonanční metodu L V je budící cívka, L A, L B jsou měřené cívky, L AP je detekční cívka. Indukovaný proud je usměrněn a protéká citlivým galvanoměrem. 3 Výsledky měření 3. Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,4 C Atmosférický tlak: 000,5 hpa Vlhkost vzduchu: 34,4 % 3.2 Způsob zpracování dat Výpočet indukčnosti a parazitní kapacity zapojení cívek Z naměřených závislostí ω R = ω R (C n ) pro zapojení A, B, A+B, A-B získáme jejich indukčnosti a parazitní kapacity následovně. Do grafu vykreslíme linearizovanou závislost = f(c ωr 2 n ). Ze vztahu (2) pak vychází význam parametrů regresní přímky ω 2 R = L i C N + L i C i, (0) kde C i je hledaná parazitní kapacita a L i indukčnost i-tého zapojení. Závislost určuje přímku. Fitací jednotlivých závislostí křivkou y = Ax + B, () lze z nalezených regresních koeficientů vyjádřit hledané veličiny s pomocí vztahů L i = A i, kde A i, B i jsou regresní koefeficienty A, B příslušící i-tému zapojení. C i = B i L i, (2) Při měření je frekvence měřena v hertzích, zatímco ve vztahu vystupuje úhlová frekvence. Obě veličiny jsou vázány tradičně vztahem ω R = 2πf R. (3) 4

5 Určení vzájemné indukčnosti cívek Vzájemnou indukčnost určíme z naměřených hodnot celkových indukčností L,2 cívek v souhlasném i nesouhlasném zapojení dle vztahu (5). Dosazením do vztahů (3), (4) budeme diskutovat míru platnosti vztahů mezi celkovou, vlastní a vzájemnou idukčností cívek. Porovnáním parazitní kapacity sériového uspořádání cívek s výpočtem kapacity sériově řazených hypotetických kondenzátorů, odpovídajících dílčím parazitním kapacitám, můžeme diskutovat vyšší, nižší, či stejnou hodnotu parazitní kapacity soustavy cívek oproti vypočtené hodnotě. Hodnoty C A+B, C A B tedy porovnáme s kapacitou vypočítanou dle vztahu pro sériové řazení kapacit C A a C B Rezonanční křivka C A+B = C AC B C A + C B. (4) Nejprve určíme rezonanční frekvenci tak, že pro páry frekvencí odpovídající stejným výchylkám na galvanometru vypočítáme střední hodnoty odpovídající frekvenci rezonanční. Tento soubor pak podrobíme statistickému zpracování. Nejpravděpodobnější hodnotou rezonanční frekvence bude jejich aritmetický průměr. Dle 3s kritéria případně vyřadíme nevyhovující hodnoty, které lze očekávat v oblasti malých změn výchylek (nejnižší a nejvyšší frekvence). Chyba je dána statickou chybou a chybou měření jaké rozpětí měřené frekvence odpovídá nepostřehnutelné změně výchylky galvanoměru. Po nalezení rezonanční frekvence f R určíme pro jednotlivé frekvence f rozladění ϑ které budeme vynášet na osu x. ϑ = ω ω R = f f R, Na osou y nebudeme vynášet přímo poměr tekoucího proudu ku maximálnímu proudu ale veličinu tomuto proudu úměrnou a to kvadraticky. Tato úměrnost je způsobena charakteristikou diody, která proud usměrnuje, aby mohl být sledován na galvanometru. Budeme tedy vynášet poměr η příslušného počtu dílku a maximálního počtu dílku η = n ( ) 2 I N. I m Závislostí η = η(ϑ) budeme prokládat křivku na základě (6) s přihlédnutím ke kvadratické závislosti výchylky na proudu ve tvaru d 2 η = d 2 + ( ) ϑ 2, (5) ϑ kde máme pouze jeden regresní parametr d, který odpovídá míře útlumu. Z něj pak snadno vypočítáme činitel jakosti dle vztahu (8). Sériový náhradní odpor obvodu pak vypočítáme ze vztahu (7) pro případ cívky A ze znalosti míry útlumu d LA R S = d, (6) C A + C N užitím znalosti indukčnosti použité cívky, její parazitní kapacity a kapacity normálového kondenzátoru. Kalibrace otočného kondenzátoru Kapacitu při jednotlivých otočení ξ vypočítáme podle vztahu (9). Chyba je dána rozpětím určení C, při kterém nejsme schopni registrovat změnu maximální výchylky, případně nejsme schopni nastavit stejnou rezonanční frekvenci. 5

6 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty zachycují tabulky, 2 a 3. Tabulka : Naměřené frekvence a jejich střední hodnoty při různých kapacitách C N Cívka A Cívka B C N [pf] f [khz] f 2 [khz] f R [khz] C N [pf] f [khz] f 2 [khz] f R [khz] 00 86,3 895, 878, ,8 938,7 945, ,0 678,0 684, ,6 694,7 70, ,4 586,4 580, ,2 586,7 58, ,2 507,5 53, ,8 54,4 509, ,3 458,9 465, , 465, 457, ,8 434,7 428, ,8 42,7 49, ,9 495, 444, , 383,0 389, ,8 380,4 375, ,0 373,3 364, , 36,6 355, ,9 349, 344, , 342,5 338, ,3 323, 327, ,8 328,8 323, ,5 37,6 32, Cívky A,B v sérii poloha II. Cívky A,B v sérii poloha I. C N [pf] f [khz] f 2 [khz] f R [khz] C N [pf] f [khz] f 2 [khz] f R [khz] ,9 778,9 764, ,7 65,2 609, ,5 575,0 566, ,9 460,6 455, ,8 479,7 470, ,8 38,5 376, ,9 49,4 4, ,4 333,4 328, ,3 374,6 369, ,4 303,3 295, ,6 344,9 334, ,5 275,8 27, ,8 38,3 34, ,4 256, 25, ,9 287, 295, , 239,7 235, ,0 284,6 278, ,9 228,7 222, ,2 258,5 264, ,2 26, 2, ,4 257,8 252, 00 98,3 205,8 202, 6

7 Tabulka 2: Data pro vykreslení rezonanční křivky. n[] η[] f [khz] f 2 [khz] ϑ [] ϑ [] 0,02 388,66 460,75 0,903,07 3 0,06 409,67 447,63 0,952, ,2 46,28 442,99 0,968, ,8 49,44 440,42 0,975, ,24 420,84 439,05 0,978, ,30 422,23 438,06 0,98,08 8 0,36 423,33 437,7 0,984, ,40 423,99 436,65 0,985, ,44 424,30 436,23 0,986, ,48 424,87 435,93 0,987, ,52 425,33 435,47 0,989, ,56 425,73 435,0 0,989,0 30 0,60 426,5 434,70 0,990, ,64 426,49 434,39 0,99, ,68 426,85 434,0 0,992, ,72 427,23 433,72 0,993, ,76 427,57 433,39 0,994, ,80 427,88 433,09 0,994, ,84 428,3 432,74 0,995, ,88 428,65 432,42 0,996, ,92 429,09 432,3 0,997, ,96 429,72 43,65 0,999,003 50,00 430,66 430,66,00,00 Tabulka 3: Kalibrace kondenzátoru. Otočení ξ[] C [pf] C x [pf]

8 Změřené / odečtené hodnoty, hodnoty zadání Kalibrace kondenzátoru, rezonanční osamocená maximální kapacita C m = 00 pf, Hodnota kapacity normálového kondenzátoru při měření rezonanční křivky C N = 600 pf, Počet dílků galvanoměru odpovídající rezonanci při měření rezonanční křivky N = Zpracování dat, číselné a jiné výsledky Indukčnosti a paratizní kapacity Vykreslili jsme linearizované závislosti = f(c ωr 2 0 ) pro cívku A, B a pro souhlasné zapojení A+B a nesouhlasné A-B. Grafy jsme proložili regresní přímky. Program QtiPlot vypočítal regresní koeficienty A,B a z těchto regresních koeficientů a jejich chyb jsme určili indukčnosti a parazitní kapacity i s jejich nejistotami. Statistické chyby reg. koeficientů jsou přepočítány na chyby mezní. Chyby jsou zaokrouhleny na jednu platnou číslici. L A = (209,3 ± 0,4) µh, P, L B = (23,5 ± 0,4) µh, P, L = (553 ± 2) µh, P, L 2 = (355 ± 6) µh, P. Parazitní kapacity vypočítáme podělením koeficientů B i indukčnostmi L i na základě vztahu (2). Relativní chyba bude dána odmocninou ze součtu druhých mocnin relativních chyb jednotlivých koeficientů. Výsledná absolutní chyba je opět přepočítána na chybu mezní. C A = (58,2 ± 0,) pf, P, C B = (22,5 ± 0,) pf, P, C = (23,2 ± 0,) pf, P, C 2 = (23,6 ± 0,4) pf, P. Vypočítáme-li kapacitu sériového spojení hypotetických kondenzátorů o kapacitách rovných parazitním kapacitám cívek A a B dle (9), získáme hodnotu Určení vzájemné indukčnosti C A+B = (6,2 ± 0,), P. Dosazením vypočítaných indukčností L a L 2 do vztahu (5) získáme hodnotu vzájemné indukčnosti cívek A a B. Relativní chyba vzájemné indukčnosti je dána podílem součtu absolutních mezních chyb hodnot L a L 2 a hodnoty L + L 2. M = (49 ± 2) µh, P. Pro ověření vztahů (3) a (4) dosadíme do pravých stran a výsledné hodnoty porovnáme s experimentálně určenými hodnotami celkových indukčností na levé straně. L = (553 ± 2) µh L teor. = L A + L B + M = (490 ± 3) µh, L 2 = (355 ± 6) µh L teor. 2 = L A + L B M = (39 ± 3) µh. Hodnoty jsou cca o 0 % jiné a jejich rozdíly nejsou ospravedlněny nejistotami měření. 8

9 Rezonanční křivka Z odpovídajících si frekvencí jsme vytvořili střední hodnoty příslušící rezonanční frekvenci. Nalezli jsme jejich střední hodnotu a chybu aritmetického průměru, kterou jsme převedli na chybu mezní. Krajní hodnotu jsme vyloučili, neboť nevyhovala 3s kritériu. Rezonanční frekvence RLC obvodu byla určena jako f R = (430,3 ± 0,8) Hz, P. Fitací očekávané křivky s neznámým parametrem d jsme získali rovnici křivky, která rezonanční křivku nejlépe vystihuje η = d 2 d 2 + (ϑ ϑ )2, kde d = (24,4 ± 0,6) mv s, P. Parametr d je přímo hledanou mírou útlumu. Činitel jakosti cívky je pak Q = d = (4 ± ) s V, P. Náhradní sériový odpor obvodu pak určíme ze vztahu (6) LA R S = d = (4 ± ) Ω, P. C A + C N Kalibrace otočného kondenzátoru Fitací závislosti kapacity kondenzátoru na otočení C x = C x (ξ) programem QtiPlot mocninnou funkcí ve tvaru C x = e + fξ g jsme získali kalibrační vztah Chyby koeficientů program vypočítal takto C x = ( ξ 2,8 ) pf. δ e = 9 pf, δ f = pf, δ g = 0,2 P. 9

10 3.5 Grafické výsledky měření Sekce obsahuje graf s naznačeným prokládáním regresní přímek, dále závislost rezonančních frekvencí jednotlivých uspořádání na kapacitě v sériovém obvodu RLC, dále je zde naměřená rezonanční křivka a kalibrační graf otočného kondenzátoru. Označením Cívka A±B rozumíme zapojené cívky A a B v souhlasném nebo nesouhlasném sériovém uspořádání Graf : Lineární regrese závislostí = f(c ωr 2 N ) pro zapojení A,B,A+B,A-B Cívka A Cívka B Cívka A-B Cívka A+B Lineární fity y = A x + B 0 3 ω 2 R [s2 ] C N [pf] 6 Graf 2: Závislost rezonančních frekvencí na kapacitě ω R = ω R (C N ) ωr [0 3 s ] Cívka A Cívka B Cívka A-B Cívka A+B C N [pf] 0

11 Graf 3: Rezonanční křivka sériového RLC obvodu pro C N = 600 pf Experimentální body Fit η = η(ϑ) 0,8 η[] 0,6 0,4 0,2 0 0,9 0,95,05, ϑ[] Graf 4: Okalibrovaná závislost C x = C x (ξ) otočného kondenzátoru 000 Experimentální body Mocninný fit C x = e + f ξ g 800 Cx[pF] ξ[]

12 4 Diskuze výsledků Komentáře ke grafům Graf. Tento graf slouží pouze ke snadnému prokládání regresních křivek. Závislost je zde linearizována. Během zpracování jsem se pokoušel prokládat přímo závislost f R = f R (C N ) příslušnou křivkou, s tím si ale software QtiPlot nedokázal poradit, proto je volena tato zastaralejší metoda fitu přímek. Graf 2. Graf představuje závislost rezonanční úhlové frekvence na kapacitě řazené v sériovém RLC obvodu. Všiměme si, že pro danou kapacitu kondenzátoru nastane rezonance obvodu při nižší frekvenci při souhlasném zapojení cívek, než při zapojení nesouhlasném. Graf 3. Zde je zobrazení naměřené rezonanční křivky sériového RLC obvodu. Fitem křivky očekávaného typu jsme zjistili její šířku, odpovídající míře útlumu. Z grafu je patrno, že odečítání rezonanční frekvence v úlohách a 2 přímo v maximu by bylo velmi nepřesné experimentální bod odpovídající rezonanční frekvenci nesedí přesně v ose symetrie křivky. Stejně tak vidíme, že body zcela vlevo a vpravo nejsou symetricky rozloženy. Tento bod byl při výpočtu rezonanční frekvence 3s kritériem vyřazen. Chyba byla způsobena právě velmi malým růstem (resp. poklesem) η s frekvencí, kdy změna výchylka na galvanoměru nebyla i při větších změnách frekvence téměř postřehnutelná. Graf 4. Graf představuje výsledek kalibrace otočného kondenzátoru diferenční metodou. Bylo vyzkoušeno proložení závislosti různými křivkami. Nejlépe se experimentálním bodům přimykala mocninná křivka, jejíž rovnice je uvedena ve výsledcích měření. Zjistili jsme, že otočný kondenzátor má v nulové poloze nenulovou kapacitu. Další diskuze Závislosti rezonančních frekvencí na kapacitě odpovídají teoretickým závislostem s velkou přesností, neboť statické chyby regresních koeficientů jsou velmi malé < %. Větší nejistotu do měření vnáší velká nepřesnost v určování rezonančních frekvencí na jednotlivých stranách frekvenční charakteristiky. Při vlastním měření nepostřehnutelné změně výchylky galvanoměru odpovídala až % změně frekvence. Při zpracování však užíváme regresních metod a uvažujeme především statistické odchylky regresních koeficientů. Parazitní kapacita sériové kombinace cívek je vyšší, než kdybychom do série zapojili dva kondenzátory o kapacitách odpovídající parazitním kapacitám obou cívek. Teoretická hodnota představuje pouze 70 % naměřené hodnoty reálné parazitní kapacity. Soustava dvou cívek má tak zřejmě ještě jistou vzájemnou kapacitu související s polohou cívek. Měření parazitní kapacity v případě jiného geometrického uspořádání cívek by mohlo vést k určení původu této přidané kapacitní hodnoty. Rovnice vážící celkovou, vzájemnou a vlastní indukčnost vlastních cívek nejsou zcela splněny. Experimentální a teoretické hodnoty se líší až o 0 %. Zjistili jsme, že při souhlasném zapojení cívek je teoretická hodnota oproti experimentální nižší, zatímco v nesouhlasném zapojení je tomu naopak. Usuzuji, že by tato neshoda mohla mít souvislost s přítomností budící a detekční cívky. Další závěry by bylo nutné podložit experimentem. Obě naměřené cívky mají řádově stejnou indukčnost. Indukčnost cívky B je o něco vyšší, než indukčnost cívky A. Experimentálně jsme ověřili, že jsou-li cívky v sérii souhlasně, pak je jejich indukčnost vyšší, než když jsou zapojeny nesouhlasně. Ukázali jsme také, že celková indukčnost série cívek není dána pouze součtem vlastních indukčností, ale že zde hraje roli i vzájemná indukčnost, která se v případě souhlasně zapojených cívek přičítá, v případě nesouhlasném zapojení odečítá. Pro přesnější měření by bylo možné užít generátor s jemnějším volbou frekvence. Používaný citlivý regulační knob nebyl dostatečně jemný ke snadnému dosažení stejné výchylky galvanometru. Všechny určené chyby vycházejí ze statistických chyb. Předpokládám, že reálné chyby jsou o něco vyšší. Nejistotu určení indukčností odhaduji až na 5 %, chyby kapacit se o tohoto odhadu pak odvíjejí. 2

13 5 Závěr Zjistili jsme hodnoty indukčností a parazitních kapacit dvou cívek a jejich sériových kombinací L A = (209, 3 ± 0, 4) µh, P, L B = (23, 5 ± 0, 4) µh, P, L = (553 ± 2) µh, P, L 2 = (355 ± 6) µh, P, C A = (58, 2 ± 0, ) pf, P, C B = (22, 5 ± 0, ) pf, P, C = (23, 2 ± 0, ) pf, P, C 2 = (23, 6 ± 0, 4) pf, P. Vzájemnou indukčnost cívek A a B jsme určili s výsledkem M = (49 ± 2) µh, P. K detailnímu proměření jsme zvolili cívku A. Měření probíhalo při kapacitě C N = 600 pf. Míra útlumu je Činitel jakosti cívky je pak d = (24, 4 ± 0, 6) mv s, P. Náhradní sériový odpor obvodu je Q = (4 ± ) s V, P. R S = (4 ± ) Ω, P. Okalibrovali jsme otočný kondenzátor. Jeho kapacita při ξ dílcích je C x = ( ξ 2,8 ) pf. Kalibrační závislost je na grafu 4, rezonanční křivka je v grafu 3. Seznam použité literatury [] ZFP II MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (2..203). 3