Shodné zobrazení v rovině

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Shodné zobrazení v rovině"

Transkript

1 Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených ve zdroji na počítači v programech MS Word, Cabri a Malování. V Chebu dne 16.prosince Podpis řešitele 2

3 Anotace Ve své semární práci se budu zabývat matematickým tématem shodné zobrazení těles v rovině. Blíže se společně podíváme na čtyři nejčastější druhy shodných zobrazení: středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí a otáčení. 3

4 Obsah Úvod...5 Shodné zobrazení...6 Identita...7 Osová souměrnost...7 Středová souměrnost...9 Posunutí Otočení Řešené příklady s použitím shodného zobrazení: Skládání shodných zobrazení Posunutá souměrnost Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení Seznam použité literatury

5 Úvod Mezi nejdůležitější části matematiky patří nepochybně geometrie. Rozhodl jsem se zabývat ve své seminární práci jedním z témat geometrie, a to shodné zobrazení tělesa v rovině. Shodné zobrazení je také jedno z maturitních témat, proto se budu v této práci snažit výstižně, za to však přesně definovat a vysvětlit čtyři základní druhy shodného zobrazení: středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí a otáčení. U každého druhu jsem rozebral jeden příklad pro názornou ukázku. Pro lepší pochopení celého tématu jsem zpracoval několik příkladů na téma shodné zobrazení. Cíl práce: shrnout středoškolské učivo o shodném zobrazení v rovině 5

6 Shodné zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, kdy ke každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Symbolicky zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině nazýváme shodné zobrazení neboli shodnost právě tehdy, když obrazem každé úsečky AB je úsečka A B, pro kterou platí AB = A B. Jestliže body A, A splynou, pak se bod A=A nazývá samodružný bod daného zobrazení. Jinými slovy se dá říct, že shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí na sebe navzájem kryjí. Pro názornou představu a pro pochopení dalších pojmů použijeme jeden příklad z praktického života. Nakreslíme na papír útvar U. Tento útvar překreslíme na průsvitku. Průsvitku pak přemístíme tak, že ji buď ponecháme vzhledem k papíru lícem nahoru, nebo obrátíme lícem dolů. Tímto dostaneme nový útvar, který je shodný s původním útvarem U. Je-li potřeba při přemísťování obracet průsvitku, jde o nepřímou shodnost. V opačném případě se jedná o shodnost přímou. Jestliže obraz každého bodu útvaru U je opět bodem tohoto útvaru, pak obraz U útvaru U s ním splývá (přitom ovšem každý bod X útvaru U nemusí splývat se svým obrazem X ). V tomto případě říkáme, že útvar U =U je samodružný útvar daného zobrazení. V rovině existují několik druhů shodných zobrazení přímé shodnosti: identita posunutí (translace) otočení (rotace) středová souměrnost nepřímé shodnosti: osová souměrnost posunutá souměrnost 6

7 Základní vlastnosti shodných zobrazení vyjadřují následující věty: obrazem přímky AB je přímka A B ; obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky obrazem polopřímky AB je polopřímka A B ; obrazem opačných polopřímek jsou opačné polopřímky obrazem poloroviny pa je polorovina p A ; obrazem opačných polorovin jsou opačné poloroviny obrazem úhlu AVB je úhel A V B shodný s úhlem AVB obrazem útvaru U je útvar U shodný s útvarem U pro každé shodné zobrazení existuje inverzní zobrazení, která je opět shodné a složením shodného zobrazení a k němu inverzního zobrazení je identické zobrazení inverzní zobrazení ke shodnému zobrazení je stejného typu, jako původní zobrazení (například inverzním zobrazením k otočení je opět otočení atd.) Identita Definice: Identita, nebo také identické zobrazení, je zvláštním případem shodnosti, kdy každému bodu X dané roviny přiřazuje jako obraz týž bod X = X. Osová souměrnost Definice: Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení O(o), které přiřazuje: 1. každému bodu X o bod X tak, že přímka XX je kolmá k přímce o a střed úsečky XX lež na přímce o, 2. každému bodu Y o bod Y = Y 7

8 Přímka o se nazývá osa souměrnosti, o bodech X, X říkáme, že jsou souměrně sdružené podle osy souměrnosti. Osová souměrnost je nepřímá shodnost. Samodružnými body osové souměrnosti jsou právě jen všechny body osy o. Příklad s využitím osové souměrnosti: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7 cm, v a = 6,5cm, a + b = 12,5 cm Rozbor: Jako první najdeme bod A 0, který je průsečíkem kružnic k (S AB ; r = ½*c) a l (A; r = v a ). Následně najdeme bod X ležící na přímce A 0 ve vzdálenosti a+b od bodu B. Hledaný bod C bude ležet na ose úsečky AX (XCA tvoří rovnoramenný trojúhelník) v průsečíku s přímkou BX. Konstrukce: 1) AB; AB = c = 7cm; 2) k; k (S AB ; r = ½ *c), S AB... střed AB; 3) l; l (A; r = v a ); 4) A o ; A o k l; 5) m; m(b; r = a+b); 6) X; X m BAo; 7) o ; o... osa úsečky XA; 8) C; C o BA o ; 9) ABC; Úloha má jedno řešení v dané polorovině. 8

9 Středová souměrnost Definice: Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení S(S), který přiřazuje: 1. každému bodu X S bod X tak, že bod X leží na polopřímce opačné k polopřímce SX, 2. SX = SX, 3. bodu S bod S = S. Středová souměrnost je speciálním případem otočení o úhel velikost α = 180. Středová souměrnost je přímá shodnost. Jediným samodružným bodem je střed souměrnosti S. Příklad s využitím středové souměrnosti: Je dána úsečka AA 1 délky 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA 1 těžnicí a přitom platí, že velikost strany b je 6 cm a těžnice t b má velikost 6 cm. Řešení Rozbor: Bod B náleží na kružnici l se středem v těžišti a poloměrem 2/3 velikosti t b. Ve středové souměrnosti A 1 jsou hledané body B a C souměrné. Proto bod C bude ležet na průniku kružnice l, která je obrazem kružnice l ve středové souměrnosti se středem A 1, a kružnice k se středem v bodě A a velikostí b. Bod B najdeme jako obraz bodu C ve středové souměrnosti se středem A 1. 9

10 Konstrukce: 1) AA 1 ; AA 1 = 5cm; 2) T; TA 1 = 1/3 * AA 1 ; 3) l; l (T; r = 4 cm); 4) l ; S(A 1 ): l l ; 5) k; k (A; r = 6 cm); 6) C; C 2 l k; 7) B; S(A 1 ): C B; 8) ABC; Úloha má 2 řešení v dané polorovině, protože se kružnice l protla s kružnicí k ve dvou bodech. Posunutí Definice: Posunutí (translace) v rovině je shodné zobrazení, která každému bodu X roviny přiřazuje obraz X takový, že platí XX = s, kde s je daný vektor. Vektoru s se říká vektor posunutí, jeho velikost (délka) udává délku posunutí a jeho směr určuje směr posunutí. Příklad s využitím posunutí: Sestrojte lichoběžník ABCD (AB // CD), je-li dáno a = 6,5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm a d = 3 cm. 10

11 Řešení Rozbor: Bod D získáme sestrojením trojúhelníku AB 1 D podle věty sss, kde AB 1 = a-c, B 1 D = b. Bod C následně najdeme posunutím bodu D pomocí vektoru BB 1. Konstrukce: 1) AB 1 D; AB 1 = 3,5cm, B 1 D = 4cm; AD = 3cm; 2) B; B AB 1 k (A; r = 6,5cm); 3) T(B 1 B): D C; 4) lich. ABCD; Úloha má jedno řešení v dané polorovině. Otočení Definice: Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je φ, a bod S. Otočení neboli rotace je shodné zobrazení R(φ, S), které přiřazuje: 1. každému bodu X S bod X tak, že X S = XS a orientovaný úhel XSX má velikost φ, 2. bodu S bod S = S. 11

12 Otáčení je jednoznačně určeno středem otáčení S, velikostí úhlu otáčení φ a daným smyslem otáčení - kladný či záporný. Příklad s využitím otočení: Je dána kružnice k(s; 3 cm) a bod A ( SA = 1,5 cm). Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k o délce 5,5 cm, které procházejí bodem A. Sestrojte objekty podle zadání a vytvořte hypotézu o poloze hledaných bodů X, Y vzhledem k zadaným útvarům. Řešení: Rozbor: Tětivu XY získáme sestrojením libovolné tětivy X'Y', která má stejný rozměr, jako hledaná tětiva, ale nenáleží ji bod A. Poté sestrojíme množinu všech bodů, které mají vzdálenost od středu S shodnou s vzdáleností SA tj. kružnice l(s; r=1,5cm). Průnikem X'Y' s kružnicí l získáváme body A' a A''. Otočením A' a A'' získáváme i otočenou úsečku X'Y' která je hledanou tětivou. Konstrukce: 1) k; k(s;r=3cm); A; SA =1,5 cm; 2)X'Y'; X'Y' =5,5 cm X'Y'... tětiva k; 3) l; l(s;r=1,5cm); 4)A'; A' X'Y' l; 5) R( A'SA; S): A' A X'Y' XY; 6) XY; Úloha má 2 řešení. 12

13 Řešené příklady s použitím shodného zobrazení: Př.1 Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby Y BC, Z CD. Řešení: Rozbor Hledáme body Y, Z v rovnostranném trojúhelníku. Body Y, Z jsou osově souměrné podle osy AC, tedy bude stačit nalézt jeden z těchto dvou bodů. Osa souměrnosti AC je zároveň i osou úhlu při vrcholu A. V rovnostranném trojúhelníku platí, že každý vnitřní úhel trojúhelníka se rovná 60. V tomto případě osa úhlu bude svírat se stranou AZ, resp. AY úhel o velikosti 30. Bod Z bude tedy průsečíkem strany čtverce CD a přímky svírající s osou soměrnosti 30. Bod Y najdeme v osové souměrnosti zobrazením bodu Z podle osy AC. Konstrukce: 1) čtverec ABCD; 2) X; XAC = 30 ; 3) Z; Z AX CD; 4) Y; O(AC): Z Y; 5) AYZ; Úloha má jedno řešení v dané polorovině. 13

14 Př. 2: Jsou dány dvě soustředné kružnice k (S; 2 cm), l (S; 3 cm) a bod A tak, že SA = 2,3 cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí B k, C l. Řešení: Rozbor Hledáme body B, C. Bod C je obrazem bodu B v otočení R(A; +60 ). Jelikož bod B leží na kružnici k, musí bod C ležet na kružnici k, která je obrazem k v otočení R(A; +60 ). Bod C tedy náleží l a kružnice k. Bod B pak můžeme sestrojit pomocí inverzního zobrazení R(A; -60 ). Konstrukce 1) k, l, A; 2) k ; R(A; +60 ): k k ; 3) C; C l k ; 4) B; R(A; -60 ): C B; 5) ABC; Úloha má 2 řešení v dané polorovině. Pokud totiž zvolíme bod B jako na obrázku č.2, je bod C obrazem bodu B v otočení R(A; -60 ). Př. 3 Je dána úsečka AA 1, AA 1 = t a. Sestrojte všechny trojúhleníky ABC, v nichž AA 1 je těžnicí t a a jejichž další dvě těžnice mají délky t b a t c. Řešení Rozbor Hledáme body B, C. Sestrojíme úsečku AA 1 a těžnici T. Bod B leží na kružnici k 1 (T; 2/3*t b ) a bod C na k 2 (T; 2/3*t c ). Bod B je obrazem bodu C v souměrnosti podle středu A 1. Z toho vyplývá, že bod B leží na kružnici k 2, která je obrazem kružnice k 2 ve středové souměrnosti S(A 1 ). 14

15 Bod C pak sestrojíme jako obraz bodu B v S(A 1 ). Konstrukce 1) AA 1 ; AA 1 = t a 2) T; T AA 1 AT = 2/3*t a 3) k 1 ; k 1 (T; 2/3*t b ) 4) k 2 ; k 2 (T; 2/3*t c ) 5) k 2 ; S(A 1 ): k 2 k 2 6) B; B k 1 k 2 7) C; S(A 1 ): B C 8) ABC Diskuse Úloha má řešení právě tehdy, neleží-li bod B na přímce AA 1 a zároveň je průsečíkem kružnic k 1 (T; 2/3*t b ) a k 2 (T ; 2/3*t c ), kde T je obrazem bodu T v S(A 1 ). To platí v případě, že kružnice k 1 a k 2 mají právě dva společné body, tedy právě tehdy, když platí: ⅔tb - ⅔t c < ⅔t a < ⅔t b + ⅔t c ⅔t b - ⅔t c < TT < ⅔t b + ⅔t c t b - t c < t a < t b + t c Jsou-li tyto nerovnosti splněny, má úloha dvě řešení, jinak úloha nemá řešení. Př. 4 Kružnice k 1 (O1; r1) a k 2 (O2; r2) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely po řadě na kružnicích k 1, k 2 a úhlopříčka BD ( BD = 5 cm) na přímce p. Volte vzájemnou polohu kružnic k 1, k 2 a přímky p tak, aby úloha měla a) 2 řešení, b) 1 řešení, c) 0 řešení d) nekonečně mnoho řešení. 15

16 Řešení Rozbor Body A a C jsou souměrně sdružené podle osy souměrnosti p. Bod C leží na kružnici k 2 a bod A leží na kružnici k 1. Zobrazením kružnice k 1 do k 1 podle osové souměrnosti p dostaneme hledaný bod C jako průsečík kružnic k 1 a k 1. Následně bod A nalezneme jako obraz bodu C v inverzním zobrazení. Body B a D leží na přímce p. Z vlastnosti kosočtverce vyplývá, že úhlopříka BD je půlená úhlopříčkou AC a AC je na ni kolmá. Proto body B a D nalezneme jako průsečík přímky p s kružnicí k(p; ½* BD ), kde P je průsečík BD s AC. Konstrukce 1) k 1 ; k 2 ; p 2) O(p): k 1 k 1 3) C; C k 2 k 1 4) A; O(p): C A 5) P; P AC p 6) k; k(p; ½* BD ) 7) B, D; B D k p 8) kos. ABCD Diskuse Úloha nemá řešení, neprotnou-li se kružnice k 1 a k 2 ani v jednom bodě. Úloha má jedno řešení, mají-li k 1 a k 2 vnější nebo vnitřní dotyk. Úloha má dvě řešení, jestliže k 1 a k 2 se protínají. Úloha má nekonečně mnoho řešení, budou-li se splývat kružnice k 1 a k 2. 16

17 Př. 5 Je dána kružnice k(s; r) a bod A, který na této kružnici neleží. Určete množinu všech bodů X takových, že bod A je středem úsečky XY, přitom Y leží na kružnici k. Řešení Rozbor Hledáme množinu všech bodů X. Bude tvořit kružnici k (S ;r), která je obrazem k ve středové souměrnosti se středem A. Konstrukce 1) k, A 2) k ; S(A): k k Úloha má 1 řešení. Př. 6 Je dána přímka p a kružnice k(s; r), l(o; ρ), S O, r > ρ, Sp = d 1, Op = d 2. Sestrojte všechny přímky rovnoběžné s přímkou p, na nichž kružnice k, l vytínají stejně dlouhé tětivy. Řešení Rozbor Předpokládejme, že existuje hledaná přímka m. Tětivy, které mají požadovanou vlastnost označíme AB a CD, A,B k a C,D l. Platí AB = CD a zároven tyto body leží v jedné přímce. V posunutí T určené vektorem C - A se bod A zobrazí v bod C a bod B zobrazí v bod D. Jelikož A, B leží na kružnici k(s; r), musí body C, D ležet na kružnici k (S ; r), která je obrazem k v posunutí T a střed S je bod S v posunutí T. Poté najdeme body C, D jako průsečík k a 17

18 kružnice l. Pokusíme se tedy najít střed kružnice k bod S. Bude ležet na přímce q, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem S. Protože k prochází body C, D, leží S také na ose úsečky CD, tzn. na přímce n, která je kolmá na přímku p (p CD) a prochází bodem O (i kružnice l prochází body C, D). Úsečka CD leží na hledané přímce m. Kostrukce: 1) p, k, l 2) q; S q q p 3) n; O n n p 4) S ; S q n 5) k ; k (S ; r) 6) C, D; C, D l k 7) m; m = CD 8) A, B; A, B m k Diskuse: Úloha má řešení právě tehdy, existují-li dva různé body C, D, které jsou průsečíky kružnic k a l. Aby kružnice k a l měli dva společné body, musí platit: r - ρ < S O < r + ρ r - ρ < d 1 - d 2 < r + ρ Jsou-li splněny tyto rovnosti, má úloha jedno řešení, jinak nemá úloha řešení. Př.7 Je dána přímka a a bod A a, dále je dána přímka s a. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S s a stranou AB a. Řešení Rozbor 18

19 Máme danou přímku a, bod A a přímku s. Hledáme tedy bod S. Víme, že v šestiúhleníku platí SAB = 60. Při otočení přímky a o -60 se přímka a zobrazí jako přímka AS. Bod S tedy najdeme v průsečíku přímky AS a přímky s. Pomocí středu a jednoho vrcholu již snadno sestrojíme šestiúhelník. Konstrukce: 1) a, A, s 2) a ; R(A;-60 ): a a 3) S; S AS a 4) prav.šest. ABCDEF Úloha má dvě řešení. Př. 8: Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: a+b+c = o = 12 cm, α=45, β=75. Řešení: Rozbor Nejprve si musíme sestrojit pomocný trojúhelník XYC, kde XY = o, CXY = ½*α, CYX = ½*β. Hledané body A a B nalezneme v průsečíku XY s osami souměrnosti XZ a YZ. Konstrukce 1) XYC; XY = 12cm, CXY = 22,5, CYX = 37,5 ; 2) o 1 ; o 1...osa souměrnosti XC 3) o 2 ; o 2...osa souměrnosti YC 4) A; A o 1 XY 19

20 5) B; B o 2 XY 6) ABC Úlohá má jedno řešení v dané polorovině. Skládání shodných zobrazení Definice: Jsou dána dvě shodná zobrazení Z 1, Z 2 a X je libovolný bod (roviny); Z 1 : X X, Z 2 : X X. Zobrazení Z: X X se nazývá zobrazení složené ze zobrazení Z 1 Z 2 v tomto pořadí. Pro skládání shodných zobrazení se používá značka. Zobrazení Z složené ze zobrazení Z 1, Z 2 v tomto pořadí zapíšeme jako Z = Z 2 Z 1. Pro skládání shodných zobrazení platí následující věty: 1) Složením dvou přímých shodností získáme přímou shodnost, složením dvou nepřímých shodností získáme přímou shodnost a složením přímé a nepřímé shodnosti získáme nepřímou shodností. 2) Složením dvou osových souměrností vznikne jedno z následujících shodných zobrazení: identita, posunutí, otočení, středová souměrnost (zvláštní případ otočení). 3) Složením tří osových souměrností vznikne osová souměrnost nebo posunutá souměrnost. Důkaz věty 2 a 3: 20

21 Identita - získáme složením dvou osových souměrností se stejnou osou o. Nejdříve zobrazíme každý bod v osové souměrnosti s touto osou. Jeho obraz zobrazíme zpátky podle stejné osy. Otočení - vznikne složením dvou osových souměrností s osami různoběžnými. Jeho středem je průsečík daných os. Velikost úhlu otočení je rovna dvojnásobku velikosti úhlu os, smysl je určen pořadím os. Posunutí - vznikne složením dvou osových souměrností. Jeho délka je rovna dvojnásobku vzdálenosti os daných osových souměrností, jeho směr je kolmý k oběma osám a je dán jejich pořadím. Středová souměrnost - speciální případ otočení o 180. Posunutá souměrnost Definice Je dána přímka s a orientovaná úsečka RS, která leží na přímce s. Posunutá souměrnost je zobrazení, které vznikne složením posunutí o orientovanou úsečku a osové souměrnosti s osou s. 21

22 Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení Shodné zobrazení Čím je určeno? Středová souměrnost Osová souměrnost Posunutí (translace) Otočení (rotace) bodem přímkou vektorem středem otáčení, úhlem, smyslem Samodružné body přímá/nepřímá shodnost? střed osa souměrnosti žádné střed otočení přímá shodnost nepřímá shodnost přímá shodnost přímá shodnost 22

23 Seznam použité literatury [1] POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky, 7.vyd. Praha, ISBN [2] RNDr. POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia - Planimetrie, 4.vyd. Praha, ISBN

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Geometrické zobrazení v učivu základní školy

Geometrické zobrazení v učivu základní školy UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Pavla Jakubcová III. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání Společenské vědy se zaměřením na vzdělávání

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114 STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více