VLIV TVARU POČÁTEČNÍHO ZAKŘIVENÍ OSY OCELOVÉHO PRUTU NA JEHO ÚNOSNOST

Transkript

1 IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie až Dům techniky Ostrava ISBN VLIV TVARU POČÁTEČNÍHO ZAKŘIVENÍ OSY OCELOVÉHO PRUTU NA JEHO ÚNOSNOST Abstract Zdeněk Kala The axis of a real beam is often curved into the form which - more or less- is usually distant as an imperfect form of sinusoid considered. The great influence of the beam initial curvature on load carrying capacity can be expected in problems of a member under compression. When applying the Finite Element Method, the axial initial curvature of a real member can be modelled by using the so-called random fields. The paper is based on experimentally found geometrical and material beam characteristics. The numerical methods have been applied. 1. Úvod Osa skutečného prutu e obecně křivka, o zcela přímý prut se needná prakticky nikdy. Experimentální zištění přímosti osy prutů e uvedeno např. v [2, 6]. Vzhledem k tomu, že publikované výsledky těchto měření nesou dostatečně podrobné a nereflektuí dostatečně náhodnost tohoto evu, byly v naší studii realizace měření počátečního zakřivení osy simulovány náhodně s využitím tzv. náhodných polí. 2. K otázce zohlednění počátečních odchylek přímosti prutu Představme s že bychom počáteční zakřivení osy skutečného prutu měřili v předem zvolených místech, např. v desetinách eho délky. Příklad realizace náhodného pole e pro těchto 11 náhodných veličin znázorněn na obr. 1 ve zvětšeném měřítku. Tvar počátečního zakřivení osy prutu e nahrazen kubickým splinem procházeícím uzly 1 až 11. Uvažume výchylku y i každého i-tého uzlu ve směru osy y ako náhodnou veličinu s Gaussovým rozdělením, přičemž mezi výchylkami sousedních uzlů e zavedena předem zvolená kladná korelace, aby tak byly vyloučeny nereálné tvary. Poem statistická závislost můžeme definovat ako takovou kvantitativní závislost edné veličiny na druhé, kdy e danou hodnotou edné veličiny určen i dílčí (podmíněný) průběh odpovídaících hodnot druhé veličiny. Člen kovariační matice c lze určit např. dle gaussovské autokorelační funkce [8]: c ξi, 2 Lcor = S e 2, (1) kde L cor e tzv. korelační délka náhodného pole, S e směrodatná odchylka a ξ = x xi e vzdálenost mezi uzly x i a x. Korelační koeficient ρ korelační matice e možno určit ako: = c ρ. (2) c i c, Zdeněk Kala, Dr. Ing., Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky, Veveří 95, , tel: , fax: , Kala.Z@fce.vutbr.cz.

2 104 Budeme předpokládat, že při velkém počtu měření bychom u každé náhodné veličiny y i určili střední hodnotu m yi blízkou nule, t. předpokládáme, že záporné a kladné odchylky se vyskytuí se stenou četností a v průměru sou přibližně steně vzdálené od osy ideálně přímého prutu. U prutu namáhaného na vzpěr budeme dále předpokládat, že paprsek tlakové síly bude procházet prvním a posledním uzlem náhodného pole, viz obr. 2. Úhel α natočení lokálního souřadného systému s osami x, y e závislý na náhodné poloze prvního a počátečního uzlu prutu a e možno určit e dle vztahu: y y tan( ) 11 y α = = 1. (3) x x11 x1 Transformaci souřadnic x, y do lokálního souřadného systému x, y lze určit dle vztahů: yi = yi cos xi = yi sin ( α ) xi sin( α ), ( α ) + x cos( α ). i Pro y << x a yi<<1 přibližně platí xi x i, což zřemě bude v praxi častý případ. (4) Obr. 1: Náhodné pole zakřivení prutu Obr. 2: Lokální souřadný systém Lze ukázat (např. metodou Monte Carlo), že náhodná výchylka y i i-tého uzlu ve směru osy y má po vyhodnocení nulovou střední hodnotu m yi =0. Směrodatná odchylka S yi e díky okraovým podmínkám nulová v koncových uzlech, přičemž eí průběh po délce prutu e přibližně určen funkcí sinus, eíž maximální amplituda s rostoucí korelační délkou klesá. Protože úhel α e také náhodnou veličinou, e vzáemná korelace veličin y i nižší než korelace veličin y i. 3. Statistická analýza prutu s náhodným zakřivením Tvar náhodného zakřivení prutu e vzhledem k charakteru zatěžování prutu výhodné zavádět v lokálním souřadném systému s osami x, y, viz obr. 2. Budeme požadovat, aby náhodné veličiny y i byly vzáemně korelovány dle vztahu (2). Dále budeme požadovat, aby směrodatné odchylky veličin y i měly sinusový průběh (5). Toleranční norma [10] uvádí maximální dovolenou odchylku přímosti tyčí I a H v rozmezí 0,1 % až 0,3 % délky prutu L. V naší numerické studii budeme předpokládat, že při měření výchylky v polovině prutu (v očekávaném místě maximální směrodatné odchylky) bychom 95 % všech realizací obdrželi na intervalu L / 1000; L / Maximální výchylka přitom nemusí být vždy naměřena v polovině prutu, bude však nulová na eho začátku a konci. Maximální hodnotu směrodatné odchylky e pak možno odvodit podle pravidla 2S X hodnotou L/2000.

3 105 S yi L π x = sin 2000 L i Délka prutu L byla zavedena deterministicky L = 2m. Byly řešeny tři varianty: 1. Průřez IPE140; poměrná štíhlost λ = 1, Průřez IPE180, poměrná štíhlost λ = 1, Průřez IPE270; poměrná štíhlost λ = 0, 7. Tvar počátečního zakřivení e závislý na velikosti korelační délky L cor ve vztahu (1). Bylo uvažováno vždy pět variant: L cor =0,0 m; 0,5 m; 1,0 m; 2,0 m; 3,0 m. Generueme-li realizace vstupních veličin např. metodou Latin Hypercube Sampling (LHS), e hodnota korelace mezi ednotlivými vzorky určena pouze změnami pořadí vzorků, o čemž se můžeme přesvědčit pomocí Spearmanova koeficientu pořadové korelace. Je tedy možno realizaci náhodného pole generovat dle (1) (např. se směrodatnou odchylkou S=1,0) a následně zavést směrodatnou odchylku dle (5). Příklady realizace náhodného zakřivení prutu sou zobrazeny na obr. 3. (5) Obr. 3: Příklad počátečních zakřivení prutu v závislosti na korelační délce Další vstupní náhodné veličiny (t. mechanické a geometrické) byly uvažovány histogramy dle výsledků experimentů z 562 zkoušek válcovaných profilů IPE 160 až IPE 220 z ocelí S235, viz [7]. Statistické geometrické charakteristiky v tab. 1 sou uvažovány ako relativní a e třeba násobit e charakteristickými hodnotami. Byl uvažován dvouose symetrický průřez, t. u veličin b, t 2 byly uvažovány histogramy získané měřením geometrie pouze edné pásnice. Tab. 1: Model vstupních náhodných veličin Symbol Veličina Typ Střední Směrodatná Rozdělení hodnota odchylka Šikmost Špičatost f y Mez kluzu Histogram 297,3 MPa 16,8 MPa 0,3246 2,542 h Výška průřezu Histogram 1,001 0, ,4063 3,015 b Šířka pásnice Histogram 1,012 0, ,3939 4,239

4 106 t 1 Tloušťka stoiny Histogram 1,055 0, ,0545 7,473 t 2 Tloušťka pásnice Histogram 0,988 0, ,2991 2,663 E Modul pružnosti Gauss 210 GPa 12,6 GPa Použité metody a software U prutu, který vykazue počáteční geometrické odchylky, nedode při stlačování ke ztrátě klasické stability, nýbrž při zvyšování zatížení se toto počáteční zakřivení zvětšue až do vyčerpání únosnosti konstrukce. Únosnost imperfektního prutu byla řešena metodou konečných prvků počítačovým programem popsaným v [3]. Byl použit slabě zakřivený prutový prvek se střednicí ve tvaru paraboly 3 [1]. Počáteční zakřivení osy prutu e aproximováno kubickým splinem procházeícím uzly 1 až 11 (tvarově dle obr. 2). Paraboly třetího stupně sou rovněž použity i ako bázové funkce. Průběhy momentů sou tedy lineární, nemaí v uzlech společnou tečnu. Posouvaící síly maí průběh konstantní nespoitý v uzlech. Normálová síla má na oblouku slabě zakřiveného prutu obecně tvar paraboly 3. Byla použita Eulerova - Newton-Raphsonova metoda s automatickým řízením délky zatěžovacího kroku. Jako výchozí zatížení byla uvažována hodnota rovná přibližně dvonásobku předpokládané mezní únosnosti. Počáteční zatěžovací Eulerův krok byl zvolen ako 1/300 této síly. Zemnění zatěžovacího kroku se provádí automaticky podle rychlosti nárůstu napětí v nevíce namáhaném místě a podle rychlosti poklesu hodnoty determinantu, viz [3]. Únosnost byla určena s přesností 0,1 %. Únosnost byla opakovaně počítána počítačovým programem [3], a to geometricky nelineárním řešením MKP s dělením na 10 prvků. Předpokládá se, že ke ztrátě únosnosti dode pokud normálové napětí v nevíce namáhaném místě prutu dosáhne meze kluzu. V každém zatěžovacím kroku se toto kritérium automaticky vyhodnocue opakovaně prvek po prvku na celé konstrukci. Zároveň e nutno splnit i podmínku, že hodnota determinantu matice tečné tuhosti nesmí být záporná. To však nastává en zcela výimečně, a to pouze u značně štíhlých a rovných prutů. Realizace vstupních náhodných veličin byly simulovány metodou LHS pro 200 kroků této metody. Byl použit počítačový program LHS.exe (programovací azyk Delphi 5). Korelace mezi veličinami y i sou určeny změnami pořadí vzorků náhodného výběru. 5. Statistická analýza únosnosti V tab. 2 až 4 sou uvedeny statistické charakteristiky únosnosti. Statistické vyhodnocení bylo provedeno programem Statrel 3.1. Návrhová únosnost byla v souladu s [9] počítána ako 0,1% kvantil pro Gaussovo a lognormální rozdělení pravděpodobnosti. Ve sloupci nadepsaném nadpisem (sin) sou uvedeny statistické charakteristiky únosnosti prutu s prvotním zakřivením ve tvaru sinusovky (L cor = ) s proměnnou maximální amplitudou. V posledním sloupci v tab. 2-4 sou uvedeny maximální rozdíly mezi statistickými charakteristikami. Je nutno zdůraznit, že pro parametr L cor = 0,0 m sou výsledky ovlivněny též hustotou dělení prutu konečnými prvky. Tab. 2: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 0, 7 (IPE270) Korelační délka L cor [m] Maximální rozdíl [kn] 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 (sin) m R [kn] 1192, , , , , ,56 16,73

5 107 S R [kn] 87,63 95,82 101,51 107,12 105,96 109,15 21,52 921,79 893,73 880,68 871,43 875,30 869,25 52,54 Gaussovo r. (6 %) 948,07 925,07 915,62 909,98 913,04 909,10 38,97 lognormální r. (4 %) Tab. 3: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 1, 0 (IPE180) Korelační délka L cor [m] Maximální rozdíl [kn] 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 (sin) m R [kn] 493,52 472,48 466,60 468,04 466,17 463,69 29,83 S R [kn] 42,71 49,21 49,49 51,89 50,66 50,66 9,18 361,53 320,42 313,67 307,67 309,61 307,14 54,39 Gaussovo r. lognormální r. 376,49 340,91 334,64 330,58 331,57 329,20 (16 %) 47,29 (13 %) Tab. 4: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 1, 3 (IPE140) Korelační délka L cor [m] Maximální rozdíl [kn] 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 (sin) m R [kn] 233,50 225,63 223,39 222,57 222,60 220,81 12,69 S R [kn] 19,94 20,32 20,72 20,98 20,84 20,63 1,04 171,91 162,83 159,36 157,75 158,18 157,07 14,84 Gaussovo r. lognormální r. 178,79 170,22 167,10 165,71 166,04 164,84 (9 %) 13,95 (8 %) 6. Závěr Z výsledků v tab. 2-4 e patrno, že návrhová únosnost určená dle [9] ako 0,1% kvantil e na změnu tvaru střednice necitlivěší u prutu s relativní štíhlostí λ = 1, 0. Minimální návrhovou únosnost sme určili u prutů s prvotním zakřivením ve tvaru sinusovky (L cor = ). Přesněším modelováním počátečního tvaru střednice e možno obdržet vyšší hodnoty návrhových únosností, což se nevíce proeví u prutů s relativní štíhlostí přibližně λ 1, 0. Stochastické modely, ve nichž e uvažováno počáteční zakřivení ve tvaru funkce sinus, sou konzervativní. Obdobně sou konzervativní i stochastické modely prutů, v nichž není uvažována proměnlivost meze kluzu po průřezu. Zanedbáme-li u prutů tento vliv, můžeme v některých případech obdržet směrodatnou odchylku až o 10 % vyšší, než když tuto proměnlivost uvažueme. To se následně proeví i na hodnotách návrhových únosností, viz např. [4]. Zmíněný vliv se nevíce proeví u prutů s malou štíhlostí, eichž únosnost e limitována především pevností materiálu. V limitním případě, kdy e vybočení zcela

6 108 bráněno (prostý tah nebo tlak), e únosnost f y A závislá pouze na mezi kluzu f y a průřezové ploše A. S rostoucí štíhlostí se únosnost prutu limitně blíží Eulerově kritické síle π 2 EI/L 2, a e tedy více závislá na proměnlivosti momentu setrvačnosti I, modulu pružnosti E a případně i délce prutu L. Zakřivení prutu při ztrátě únosnosti má prakticky vždy tvar sinusovky bez ohledu na prvotní zakřivení před zatěžováním. Většina nosníků začleněných do systému e však namáhána opakovaným zatížením, které způsobue změnu napětí, ež nemusí vždy dosahovat mezních hodnot. Charakteristickým rysem působení takových systémů e vznik a šíření únavových trhlin, které se s růstem počtu zatěžovacích cyklů šíří, a to tak, že v konečné fázi způsobí kolaps nosníku. Lze očekávat, že tvar počátečního zakřivení střednice prutu bude mít velký vliv na spolehlivost zeména ocelových nosníků se střednicí dýchaící pod opakovaným zatížením. Oznámení Tato práce vznikla při řešení proektů č.103/03/0233 a č.103/01/d022 Grantové agentury České republiky a výzkumného záměru MSM Literatura [1] BITTNAR, Z., ŠEJNOHA, J. Numerické metody mechaniky 1 a 2, Praha: Vydavatelství ČVUT, 1992, ISBN X. [2] FUKUMOTO, Y., KAJITA, N., AOKI, T. Evaluation of Column Curves Based on Probabilistic Concept, In: Proc. of Int. Conference on Stability, Prelim. Rep., Publ. by Gakuutsu Bunken Fukyu Ka Tokyo, [3] KALA, Z. Nelineární odezva ocelových rámů na statické zatížení, disertační práce (Ph.D.), Brno: VUT-FAST, [4] KALA, Z. and KALA, J. The Statistical Correlation of Material Characteristics - Experimental and Theoretical Results of Hot-Rolled Steel Beam, In: Proc. International Conference on Metal Structures, Miskolc (Hungary), Edited by K. Jarmai & J. Farkas, Proceedings pp.23-26, 3-5. April 2003, Millpress Science Publishers, Rotterdam, ISBN [5] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T. Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida, [6] MELCHER, J. Tenkostěnný kovový prut v nosném konstrukčním systému, doktorská disertační práce (DrSc.), Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební,brno,1990. [7] MELCHER, J., KALA, Z., HOLICKÝ, M., FAJKUS, M. and ROZLÍVKA, L. Design Characteristics of Structural Steels Based on Statistical Analysis of Metallurgical Products, Journal of Constructional Steel Research. (in print) [8] NOVÁK, D., LAWANWISUT, W., BUCHER, C. Simulation of random fields based on orthogonal transformation of covariance matrix and Latin Hypercube Sampling. In: Proc. of Int. conference on Monte Carlo Simulation, Monte Carlo, June 2000, pp [9] EN 1990 Eurocode - Basis of Structural Design, [10] ČSN EN 10034: Tyče průřezu I a H z konstrukčních ocelí Mezní úchylky rozměrů a tolerance tvaru, září 1995.