Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

Transkript

1 Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

2 Motivace štíhlé pruty namáhané tlakem mohou vybočit ze svého původně přímého tvaru a může dojít ke ztrátě stability a zhroucení konstrukce dříve, než je dosaženo meze kluzu zhroucení dříve, než dosažení pevnosti namáhání přímých prutů tlakem se nazývá VZPĚR ke ztrátě stability dochází i při jiných způsobech namáhání (krut, vnitřní přetlak, ) 2

3 Motivace v případě, že známe skutečný zatěžovací a geometrický stav konstrukce (prut NENÍ ideálně elastický, homogenní, prizmatický, NENÍ uložen v ideálních vazbách, silové účinky NEJSOU ideálně osové, ), je možné tuto skutečnost matematicky modelovat (kombinované namáhání, ) většinou však tento skutečný stav neznáme modelujeme proto ideální osově tlačený prut s konstantním průřezem a bez imperfekcí ZTRÁTA STABILITY (v případě prutu nazýváme VZPĚR) toto řešení však není na straně bezpečnosti konstrukce, proto jsou tyto geometrické odchylky a materiálové nehomogenity zahrnuty do součinitele bezpečnosti 3

4 Motivace v případě vzpěru, kdy zatěžující tlaková síla působí v ose štíhlého prutu, nelze sestavit podmínky rovnováhy sil na nepřetvořeném tělese (prutu), jak je to obvyklé např. při odvození podmínek rovnováhy ohýbaných přímých prutů v tomto případě vyvolá osová síla při průhybu prutu přídavný ohybový moment, který zpětně ovlivní napětí i průhyb deformace již nejsou přímo úměrné velikosti osového zatížení a nemůžeme tak jejich vliv zanedbat - teorie 2. řádu - další předpoklady teorie 1. řádu (nedeformovaný prut) teorie 2. řádu (deformovaný prut) 4

5 Rovnovážná poloha tělesa F< stabilní přímý prut vybočíme příčnou silou a uvolníme vrátí se do přímé polohy indiferentní prut vybočíme příčnou silou, uvolníme zůstane v prohnutém stavu síla dosáhla kritické hodnoty labilní dalším zvýšením kritické síly dojde ke zhroucení prutu F= F> kritická síla je závislá na rozměrech a materiálu prutu, ale i na uložení prutů 4 základní případy stability 5

6 1. případ vzpěru Eulerovo řešení ohybový moment v řezu x: M x = (c v(x)) Bernoulliho rovnice: v x = M o x EJ z úpravou dostaneme obecný tvar řešení okrajové podmínky v x + α 2 v x = α 2 c rovnice průhybové čáry pro 1. případ vzpěru = (c v(x)) EJ z a) c=0 prut je přímý, prostý tlak (PP I) b) cos αl = 0 F =, αl = k π, k= 1, 3, 5, 2 α 2 v x = A sin αx + B cos αx + c homogenní v x = 0 = 0 B = c v x = 0 = 0 A = 0 v x = c 1 cos αx v l = c = c 1 cos αl c cos αl = 0 partikulární x v(x) c l c-v(x) 6

7 1. případ vzpěru Eulerovo řešení = α 2 EJ z = k2 l 2 π 2 2 EJ z, k = 1 I = π2 4 EJ min l 2 k = 3 k = 5 Fkr3 I = 9 π2 4 Fkr5 I = 25 π2 4 EJ min l 2 EJ min l 2 k=1 k=3 k=5 7

8 2. případ vzpěru Eulerovo řešení ohybový moment v řezu x: M x = v(x) Bernoulliho rovnice: v x = M o x EJ z úpravou dostaneme v x + α 2 v x = 0 = v(x) EJ z v(x) l obecný tvar řešení okrajové podmínky v x = A cos αx + B sin αx a) B=0 prut jepřímý v x = 0 = 0 A = 0 v x = l = 0 B sin αl = 0 b) sin αl = 0 F =, αl = kπ, k= 1, 2, 3, x k=1 k=2 II = π 2 EJ min l 2 2 II = 4π 2 EJ min l 2 k=1 k=2 8

9 3. případ vzpěru Eulerovo řešení ohybový moment v řezu x: M x = v x H(l x) Bernoulliho rovnice: v x = M o x EJ z úpravou dostaneme obecný tvar řešení partikulární řešení okrajové podmínky rovnice průhybové čáry = EJ z v x H (l x) v x + α 2 v x = α 2 H (l x) v x = A cos αx + B sin αx + v p homogenní partikulární v p = K l x, K = H v x = 0 = 0 A = H l v x = 0 = 0 B = 1 α H x H v(x) v x = H sin αx l cos αx + l x N kr α v x = l = H sin αl α l cos αl = 0 9 l

10 3. případ vzpěru Eulerovo řešení a) H N kr = 0 b) sin αl α prut je přímý l cos αl = 0 respektive tan αl = αl αl = 4,493 α 2 l 2 = 4, ,19 2π 2 III 2π 2 EJ min l 2 π 2 EJ min (0,7l) 2 k=1 k=2 10

11 4. případ vzpěru Eulerovo řešení ohybový moment v řezu x: M x = v x M Bernoulliho rovnice: v x = M o x = 1 EJ z EJ z úpravou dostaneme obecný tvar řešení partikulární řešení M v x v x + α 2 v x = α 2 M v x = A cos αx + B sin αx + v p homogenní partikulární v(x) x M l okrajové podmínky v p = M v x = 0 = 0 A = M v x = 0 = 0 B = 0 rovnice průhybové čáry v x = M 1 cos αx v x = l = 0 = 1 cos αl cos αl = 1 αl = k2π, k = 0, 1, 2, 3, k=1 k=2 IV = 4π 2 EJ min l 2 11

12 Shrnutí Eulerova řešení n I =¼ n II =1 n III 2 n IV = 4 i = n i π 2 EJ min l 2 12

13 Podmínka platnosti Eulerova řešení štíhlost prutu λ = l i min = l J min A σ kr σ u λ λ mez mezní štíhlost λ M = π n ie σ u Tetmajerovo řešení neplatí Hookeův zákon kritické napětí λ < λ mez σ kr > σ u σ kr = σ TET = σ k (σ k σ u ) λ λ mez 13

14 Podmínka platnosti Eulerova řešení σ u se nazývá mez úměrnosti, obtížně určitelná hodnota z tahové zkoušky (normy, konvence určování pro jednotlivé typy materiálu, ) 14

15 Kombinace vzpěru a ohybu

16 Motivace současné působení příčných a osových sil nosník je v celém procesu zatěžování v prohnutém stavu pevnostní, nikoliv stabilitní problém, F< od příčných sil vzniká ohybový moment M o (x) a průhyb v q (x) od osové síly vzniká průhyb v N (x) a ohybový moment Fv N x F F v x = v q x + v N x M o x = M o x + Fv N x σ max = σ omax + σ N = M omax W o + F A σ D 16

17 Výpočet ohybového momentu dvakrát derivujeme M o x = M o x + Fv N x M o x = M o x + Fv N x a dosadíme v x = M o x EJ M o x + α 2 M o x = M o x α 2 = F EJ M o x = A sin αx + B cos αx + M op 17

18 Výpočet průhybu diferenciální rovnice průhybové čáry ohybový moment M o x = M o x + Fv N x v x = M o x EJ v x + α 2 v x = α2 F M o x α 2 = F EJ v x = A cos αx + B sin αx + v p 18