Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Transkript

1 ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015

2 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ σ dov α = arctane ε = l l Pracovní diagram materiálu zobrazuje závislost napětí σ na poměrné deformaci ε. Ideálně pružný (elastický) pracovní diagram je vyjádřen Hookeovým zákonem σ = Eε. N l l N Teorie dovolených namáhání předpokládá lineární materiálový model a omezuje napětí hodnotou σ dov.

3 Pracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu ocelových ε pl σ f + pl f pl α = arctane ε + pl ε = l l Pracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu se řídí Hookeovým zákonem do velikosti napětí σ = f pl. Při dosažení σ = f pl dále roste jen poměrné přetvoření ε a napětí zůstává konstatní. Plastická hodnota normálového napětí v tahu f + pl nemusí být stejná s hodnotou v tlaku f pl.

4 Pracovní diagram oceli s vyznačenou mezí kluzu F l l f y σ = F A zpevnění α = arctane f y... mez kluzu (yield value) je způsobená přeskupením atomů v krystalické mřížce. ocelových F ε = l l α-fe (Ferrit) Pracovní diagram oceli si nejčastěji idealizujeme jako ideální pružno-plastický pracovní diagram. Předpokládáme stejnou hodnotu meze kluzu v tlaku i tahu, tj. f y = f pl = f + pl.

5 Pracovní diagram oceli s vyznačenou mezí kluzu Záznam reálné zkoušky pevnosti oceli v tahu 70 ocelových F [kn] u [mm]

6 Předpokládejme průřezy symetrické k ose z y Průběh ε je lineární. Normálové napětí σ se určí podle pracovního diagramu. t z M M + ε plně zplastizovaný průřez σ f y + σ f y ocelových V únosnosti ohýbaného jsou plastické rezervy, které můžeme v některých případech využít. ε

7 Závislost ohybového momentu M a křivosti φ = 1 M plastický ohyb M pl ocelových φ = 1 M el pružno-plastický ohyb σ x,extr = f y M l = 1 M pružný ohyb 1 = M EI φ = 1 M el... v je dosažena mez kluzu f y M pl... plně zplastizovaný průřez

8 M(φ) diagram s omezenou a plnou rotační kapacitou ocelových Průřez s omezenou rotační kapacitou M φ max φ = 1 Hodnota φ max je malá a brzy dojde k porušení. Průřez s plnou rotační kapacitou M φ max φ = 1 Hodnota φ max je velká a plně zplastizovaný průřez je schopen utvořit plastický kloub.

9 Neutrální osa při pružno-plastickém ohybu ocelových σ σ σ f y y t z f y f y M pl M el pružno-plastický ohyb f y pružný ohyb plastický ohyb N.O. při pružno-plastickém ohybu neprochází těžištěm jako v pružném stavu. Poloha N.O. se stanoví z podmínky ekvivalence pro N.

10 Poloha N.O. y A + A t F A + = f y A + σ f y r z F A = f y A ocelových z f y Neutrální osa se určí z podmínky ekvivalence N = σ x da = 0: A : F A + F A = 0 f y A + f y A = 0 A + = A

11 Plastický průřezový modul W pl y A + A t z F A + = f y A + ový moment M pl 1. Známe těžiště : f y M pl = f y S y (A + )+f y S y (A ) M pl = f y [S y (A + )+S y (A )] M pl = f y W pl Plastický průřezový modul W y,pl : σ f y r z F A = f y A 2. Známe těžiště ploch A + a A, potom lze určit rameno vnitřních sil r z : M pl = r z F A + = r z F A M pl = 1 2 f ya r z ocelových W pl = S y (A + )+S y (A ) = 1 2 A r z Kde S y (A + ), resp. S y (A ), je statický moment plochy A +, resp. A, k těžišt ové ose y.

12 Plastický průřezový modul W pl obdélníkového σ f y F A ocelových h y t N.O. F A + r z z b f y N.O. prochází těžištěm. A + = A = 1 2 bh r z = 1 2 h M pl = f y A + r z = 1 4 f ybh 2 W y,pl = 1 4 bh2 = 1,5 W y,el

13 Plastický průřezový modul některých ocelových h y t z b W y,pl = 1 4 bh2 y y r t z z W y,pl = 1 6 πd 3 d

14 Plastický průřezový modul některých ocelových y y c t d y t z z W y,pl = 1 6 [1 πd ( ) 3 1 2t 3 ] d z W y,pl = 1,14 W y až 1,17 W y Je tabelováno v ocelářských tabulkách.

15 Příklad prut vetknutí-vetknutí Stanovte zatížitelnost prutu vetknutí-vetknutí, připustíme-li plné zplastizování. Předpokládejme, že je znám plastický ohybový moment M pl. M q 1 l 1 12 q 1l q 1l q 1l 2 Nejprve se určí průběh M podle teorie pružnosti. K plnému zplastizovní dojde ve vetknutích, jestliže 1 12 q 1l 2 = M pl q 1 Pokud je dostatečná rotační kapacita, vznikne ve vetknutí plastický kloub. Dojde ke změně statického systému a konstrukci lze dále přitížit. ocelových

16 Příklad prut vetknutí-vetknutí (pokračování) Uvažujme předchozí průběh M, změnu statického systému (klouby ve vetknutích) a přitížení q 2. M M pl q 2 l q 1l 2 M pl q 2l 2 M pl q 1 Únosnost konstrukce bude vyčerpána, jestliže pro přitížení q 2 bude platit M pl = 1 24 q 1l q 2l 2. Potom vznikne plastický kloub i uprostřed rozpětí prutu a tím vznikne kinematický mechanizmus. K porušení konstrukce dojde při zatížení q pl = q 1 + q 2. ocelových

17 Příklad prut vetknutí-vetknutí (pokračování) ocelových M q pl l M pl = 1 16 q pll 2 M pl M pl = 1 16 q pll q pll 2 M pl = 1 16 q pll 2 q pl = 16 M pl l 2 Lze stanovit plastický průběh ohybových momentů M od q pl. Staticky neurčité konstrukce mají v únosnosti plastické rezervy. Při dosažení M pl v jediném dojde za předpokladu dostatečné rotační kapacity plastického kloubu ke změně statického systému a konstrukci lze dále zatížit.

18 ocelových Jedná se zejména o průřezy tvarované za studena. Štíhlosti částí jsou velké, a proto dochází k lokálnímu boulení. Lokální boulení je stabilitní problém podobný k vybočení tlačeného prutu.

19 Efektivní průřez b ef b ef Tenkostěnný průřez Efektivní průřez ohyb Efektivní průřez tlak ε ε N.O. + Oblasti, které v tlačené části lokálně boulí, se nezapočítávají do plochy. V normě jsou uvedeny pravidla pro stanovení b ef a sestavení efektivního. Efektivní průřez závisí na způsobu namáhání. Rozdělení napětí σ v efektivním se uvažuje pružně (plasticitu je možné využít pouze v některých případech a jen omezeně). ocelových

20 dle ČSN EN Navrhování ocelových konstrukcí Norma rozlišuje 4 třídy : 1. Průřezy schopné vytvářet plastické klouby s plnou rotační kapacitou. 2. V může vzniknout plastický kloub s omezenou rotační kapacitou. 3. Průřez lze využít pružně. 4. Tenkostěnné průřezy dochází k lokálnímu boulení v tlačených částech. O zatřídění rozhoduje způsobu namáhání a štíhlost tlačených částí. ocelových Zatřídění válcovaných je uvedeno v ocelářských tabulkách.

21 dle ČSN EN Navrhování ocelových konstrukcí Způsob výpočtu konstrukce v mezním stavu únosnosti: ocelových Třída Stanovení průběhu ohybových momentů M Napětí σ x v 1 plastické plastické 2 pružné plastické 3 pružné pružné 4 pružné s efektivním průřezem

22 Pracovní diagram betonu σ f c ηf c λx x ε cu ε Pracovní diagram betonu v tlaku je nelineární. V tahu beton nepůsobí a nepřanáší žádné tahové napětí. Pro plastický výpočet únosnosti se pracovní diagram nahrazuje obdélníkovým průběhem. Pro běžné třídy betonu je η = 1 a λ = 0,8. ocelových

23 ový moment d A s 1. Tlačená oblast betonu b : F s F c = 0 A s f y 0,8xbf c = 0 x = Asfy 0,8bf c tlačená plocha betonu 0,8x N.O. F s = A s f y σ F c = 0,8xbf c 2. ový moment M pl = F s ( r = F c r ) M pl = A s f y d 0,8x 2 ( ) M pl = 0,8xbf c d 0,8x r 2 ocelových

24 za vyloučeného tahu Plastické rozdělení napětí A ef f pl F h 2e h e 2e σ b Předpokládá se rovnoměrné rozdělení napětí f pl na efektivní ploše A ef. Síla F musí mít působiště v těžišti A ef. Maximální velikost síly F pro danou excentricitu je dána F A ef f pl = b(h 2e)f pl. Může být omezena velikost excentricity, např. podmínkou e 1 3 h. ocelových

25 za vyloučeného tahu Interakční diagram ocelových Pro každou hodnotu síly F bhf pl lze určit maximální excentricitu e a ohybový moment M = Fe. Výsledkem je interakční diagram. Lze také zakreslit lineární podmínku e 1 3 h. F interakční diagram Stav uvnitř diagramu je přípustný, stav vně diagramu je nepřípustný. F h 3 M

26 plastický výpočet a plastické rezervy v konstrukci Dnes navrhujeme podle teorie dílčích součinitelů, která bývá v praxi nazývána jako teorie mezních stavů. Rozlišujeme 2 mezní stavy: 1. Mezní stav únosnosti Stav, kdy dochází ke ztrátě únosnosti porušením konstrukce. V mezním stavu únosnosti se uvažuje extrémně vysoké zatížení a extrémně nízké pevnosti materiálu návrhové hodnoty. Lze za konkrétních podmínek využít plasticitu a plastické rezervy. 2. Mezní stav použitelnosti Stav, kdy dojde ke ztížení podmínek používání konstrukce z důvodů nadměrných přetvoření, průhybů, sedání, nadměrného kmitání, nadměrného rozevření trhlin... Používají se charakteristické hodnoty zatížení. Je třeba prokázat, že se konstrukce chová pružně. Proto se používá pružný výpočet. ocelových

27 Konec přednášky ocelových Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému Å Ì ÈÇËÌ.