Obyčejné diferenciální rovnice (ODE)
|
|
- Erik Zeman
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1, y ''=z 2,..., y N 1 =z N 1 a máme tedy soustavu rovnic y ' = z 1 z 1 ' = z 2 z 2 ' = z 3 = f x, y, z 1, z 2,, z N 1, z' N 1 = g x, poslední rovnici obvykle lze psát ve tvaru z ' N 1 = gx, y, z 1, z 2,, z N 1 lze celkově zapsat jako a soustavu y = z 0 z 0 ' = z 1 z 1 ' = z 2 z 2 ' = z 3 = z N 1 ' = gx,z 0, z 1, z 2,,z N 1. K jednoznačnému řešení musí být známo jsou zadány se řešení ODE dělí na: N podmínek. Podle toho, ve kterých bodech Počáteční problém všech N podmínek je zadáno v jednom bodu, sleduje se přímo řešení vycházející z tohoto bodu, příkladem může být rovnice harmonického oscilátoru a k ní zadané počáteční podmínky v čase t=0, d 2 yt d t 2 =yt, y0=0, y'0=1 Okrajový problém ne všechny podmínky jsou zadány v jednom bodě, často jsou podmínky zadány na dvou koncích intervalu, na kterém řešíme, například rovnice popisující pohyb hmotného bodu v gravitačním poli a podmínky y x 0 =0, yx n =0 a v0=v 0 popisující úlohu, kterou řeší střelec z děla, když hledá elevační úhel takový, aby se z bodu x 0 trefil střelou s počáteční rychlostí v 0 do bodu x n v 0 x 0 x N
2 Runge-Kuttovy medoty pro řešení počátečního problému Budeme se zabývat odvozeními pouze pro 1 diferenciální rovnici 1. řádu (vzorce zobecněné na systém diferenciálních rovnic 1. řádu budou uvedeny na konci kapitol). Eulerova metoda d y Řešíme tedy rovnici d x = f x, y s počáteční podmínkou y x =y 0 0. Přibližné řešení v bodě x n1 nalezneme pomocí rozvoje funkce y x do Taylorovy řady v bodě x n yx n1 =yx n h yx n h y 'x n =yx n hfx n Nejnižší zanedbaný člen určuje odhad chyby metody, chyba v každém kroku je tedy úměrná h 2, a protože počet kroků na daném intervalu je nepřímo úměrný h, je celková chyba metody úměrná h. Eulerova metoda je tedy 1. řádu přesnosti, tedy poměrně málo přesná, a proto se v praxi nepoužívá (k dobré přesnosti je třeba velkého množství kroků). Postup při použití Eulerovy metody je znázorněn na následujících obrázcích.
3 lim yx K Eulerově metodě lze dospět i ze vztahu d y n h y x n d x = h 0 = f x, y. h Informace o konvergenci metody ve slidech, postačující podmínka konvergence je, aby funkce f měla na oblasti, kde hledáme řešení omezenou parciální derivaci podle y. Metody vyššího řádu, které by využívaly Taylorova rozvoje se v praxi nepoužívají, protože by byly potřeba vyšší derivace y a tedy parciální derivace f podle x a y. Taylorův rozvoj je ale důležitý i pro odvození dalších metod. Princip Runge-Kuttových metod Jsou v praxi často používané, a protože pro výpočet y n1 využívají pouze předchozí bod x n a nevyužívají body x k, y k, kde kn, říká se jim metody jednokrokové. Runge Kuttovy metody jsou založené na postupném zpřesňování hodnot ležících mezi x n a x n1. Obecný výpočetní vzorec metody má tvar y n1 h RK x n,h, kde x n,h= p 1 k 1 h p 2 k 2 h p r k r h. Vzorec je v podstatě hodně podobný Eulerově metodě, pouze místo f x n používáme funkci RK x n,h, která je defakto lineární kombinací funkčních hodnot funkce f. Pro k 1 h,, k r h totiž platí vztahy k 1 h = f x n k 2 h = f x n 2 h 21 h k 1. = k r h = f [ x n r h h r1 k 1 r2 k 2 rr 1 k r 1 ] Volbou r=1 dostaneme přímo Eulerovu metodu. Pro r 4 se řád metody může rovnat r. Pro konstrukci medoty 5. řádu je už třeba r=6. Konstrukce RK metody 2. řád u Vyjdeme opět jako u Eulerovy metody z Taylorova rozvoje funkce y x y x n1 = y x n h= y x n h y ' x n h2 2 y ' ' x n= y n h f x n h2 2 = = y n h f x n h2 2 f x x n f y y x x n hfx n h2 2 f x f f y x n d f d x x n =
4 Tentokrát jsme použili o jeden člen rozvoje více, abychom byli schopni dopočítat konstanty p 1, p 2, 2, 21 používané v RK metodě. V Taylorově rozvoji je tedy y n1 h f x n h2 f 2 x f f y x n y n1 h RK x n,h= v RK metodě h p 1 f x n p 2 f x n 2 h 21 h f x n. Abychom dostali v RK metodě rovněž členy s h 2, provedeme také Taylorův rozvoj funkce RK x n, h= RK x n,0h RK ' x n,0. Vyjádřením tohoto rozvoje dostaneme p 1 f x n p 2 f x n h p 2 2 f x 21 f f y x n. Porovnáním s Taylorovým rozvojem funkce y pro jednotlivé mocniny h pak dostaneme soustavu rovnic pro neznámé koeficienty RK metody: y n h f h2 2 f x f f y y n h p 1 p 2 f h 2 p 2 2 f x 21 f f y h : p 1 p 2 =1 h 2 f x : p 2 2 = 1 2 h 2 f y : p 2 21 = 1 2 Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, v RK metodách se však používají jen dvě z nich: 2 =1, 21 =1, p 1 = p 2 =, je analogická lichoběžníkové metodě integrace k 1 = f x n, k 2 = f x n h h f x n 1 h 2 k 1 k 2 2 = 21 = 1 2, p =0, p 1 2 =, je analogická obdélníkové metodě integrace k 2 = f x n h 2 h 2 f x n 1 h k Runge Kuttova metoda 4. řádu Nejčastěji se při výpočtech používá RK metoda 4. řádu, v jednom kroku se používá k 1 = f x n k 2 = f x h n 2, y h n 2 k 3 = f x h n 2, y h n 2 k 2 k 4 = f x n h h k
5 y n1 h 6 k 1 2 k 2 2 k 3 k. Chyba v jednom kroku je řádu h 5, chyba metody v zadaném intervalu se zvětšuje lineárně s počtem kroků, který je nepřímo úměrný h, a tedy celková chyba na intervalu je řádu h 4. Odhad chyby a automatická volba kroku Existují 2 metody pro odhad chyby, který se používá při automatické volbě kroku. Srovnání výsledků 2 kroků o délce h s výsledkem jednoho kroku o délce 2 h Srovnání výsledků 2 RK metod různého řádu Různá délka kroku Odhad chyby je =y h y 2 h. Postup při automatické volbě kroku je následující: požadovaná maximální lokální chyba je 0 je li 0, krok přijmeme a v následujícím kroku zvětšíme h, h'=s h 5 0, kde S 0.9, h ' obvykle omezíme např. h' 4 h je li 0, krok nepřijmeme, ale opakujeme ho s h'=s h 4 0 při přijetí výsledku je možné ho zpřesnit použitím vztahu yx2 h= y 1 h x2 h 15 y 2 hx2 h, tím získáme metodu 5. řádu přesnosti, tedy o řád vyšší Srovnání výsledků dvou RK metod (tzv. Embedded RK metody) Někdy se jim také říká Runge Kutta Fehlbergovy. Pro metodu 5. řádu přesnosti např. máme vztah y n1 c 1 k 1 c 2 k 2 c 3 k 3 c 4 k 4 c 5 k 5 c 6. Jednotlivá c lze volit i tak, že dostaneme metodu 4. řádu y ' n1 a 1 k 1 a 2 k 2 a 3 k 3 a 4 k 4 a 5 k 5 a 6. 6 Pak je odhad chyby dán jako 1 y ' n1 = c i a i k i. i=1 Spojité RK metody se používají pokud potřebujeme poměrně přesně znát hodnoty y i v bodech mezi y n a y n1 a nepostačuje nám obyčejná interpolace (více informací ve slidech a v Numerical recipies). Věty o lokálních a globálních chybách RK metod viz. slidy.
6 Vlastnosti RK metod samostartující robustní a odolné dostupné v numerických knihovnách mnoho vyčíslení funkce f (někdy pomalé) nehodí se pro stiff rovnice Pokud je funkce f nespojitá, můžeme nespojitost ignorovat a spolehnout se na automatickou volbu kroku, nebo nespojitost nalézt, výpočet v tomto bodě ukončit a začít opět za ním. O konzistentnosti, regulárnosti a konvergenci obecně viz. slidy. Zaokrouhlovací chyby jsou větší při volbě menšího h, a proto existuje pro volbu h optimum. Pokud použijeme příliš malé h může se i stát, že y n y n1 y n, ačkoliv to ve skutečnosti neplatí. Příklady v PASCALU ODE1.PAS, ODE2.PAS Bulirsch-Stoerova metoda Je obdobná Rombergově integraci a hodí se pokud je funkce f dostatečně hladká a zadaná rovnice nemá singulární bod. Postup je následující: provede se výpočet pro několik h, používá se sudá metoda (chyba je úměrná sudé mocnině h ) výsledek se interpoluje racionální lomenou funkcí proměnné h 2 a provede se extrapolace na h=0 výpočet se provádí postupně s počtem kroků n=2,4,6,8,12,16,24,32,48,64,96, více kroků než 96 se nepoužívá pro interpolaci se používá maximálně 7 z vypočtených hodnot pro různá n Pro jednotlivé výpočty se zadaným h se používá zpravidla nějaká jednoduchá metoda, např. metoda středního bodu uvedená ve slidech. Opět je snaha o co nejméně nutných vyčíslení funkce f. S Bulirsch Stoerovou metodou lze dosáhnout přesnosti 14. řádu, metoda se opět nehodí pro řešení stiff rovnic. Příklady v PASCALU BS41.PAS. Vícekrokové metody Používají se v jednom kroku hodnoty funkce y a f ve více bodech (ne pouze
7 k k x n ). Obecně pro ně platí vzorec y n1 = a j y n1 j h b j f i1 j. j=1 j=0 Pokud platí b 0 =0 nazýváme metody obecně explicitní, v opačném případě implicitní. Vícekrokové metody nejsou samostartující. Adamsovy metody explicitní metoda 4. řádu Adams Bashforthova y n1 h f x, y 59 f x, y 37 f x, y 9 f x n n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 n implicitní metoda 4. řádu Adams Moultonova y n1 h 24 9 f x, y 19 f x, y 5 f x, y f x 1 n1 n n n 1 n 1 n 2 n 2 pokud je f lineární funkce y dají se všechny y n1 převést na jednu stranu rovnice a rovnice se dá jednoduše vyřešit. V opačném případě by bylo třeba řešit nelineární rovnici gy h 24 9 f x, y19 f x, y 5 f x, y f x, y y= n1 n n n 1 n 1 n 2 n 2 Postup je následující: Metody prediktor korektor prediktor odhad y n1 explicitní metodou (např. Adams Bashforthovou) výpočet y ' n1 = f x n1, y n1 korektor implicitní metodou s použitím y ' n1 určíme y n1 výpočet y ' n1 = f x n1 1 Je složitější automatická volba kroku, ale v knihovnách implementována je. Výhodou metody je rychlost, nevýhodou je, že není samostartující, je citlivá na vlastnosti funkce f a nehodí se pro stiff rovnice. Stabilita, konvergence a konzistence viz. slidy.
8 Špatně podmíněné úlohy Přík lad: Řešení diferenciální rovnice y ' ' = y S počátečními podmínkami y 0=1 a y ' 0= 1 je analytické řešení y=e x. S počátečními podmínkami y0=1 a y ' 0= 1 je analytické řešení y=e x e x. Pro libovolně malé existuje x takové, že složka řešení e x bude převažovat nad složkou e x. A protože se chybě při numerickém řešení prostě nevyhneme, objeví se v řešení parazitní složka, která poroste a po určité době převáží řešení. Takovým úlohám se říká špatně podmíněné. Příklad v PASCALU ODE3.PAS. Stiff rovnice (rovnice se silným tlumením) Obsahují v sobě útlum s charakteristickým časem mnohem menším, než jsou zbylé charakteristické časy úlohy. V čase větším než je rychle se tlumící složka zanedbatelně malá, proto je u dosud popsaných metod nutné volit krok h. (Nemusí se samozřejmě jednat jen o čas, ale ve fyzice se takové rovnice často vyskytují a jsou většinou v nich jako proměnná vystupuje právě čas.) Přík lad 1. stiff rovnice y ' ' 101 y ' 100 y=0 má řešení y=c 1 exp 100 xc 2 exp x Na následujícím obrázku je řešení rovnice s konstantami c 1 =c 2 =1 a je vidět, že první složka řešení pro větší x úplně vymizí, naopak pro malá x je mnohem důležitější, než složka druhá.
9 Ještě názornější je příklad řešení rovnice y ' = 100 y100 s počáteční podmínkou y 0= y 0. Analytické řešení je y= y 0 1exp 100 x1 tedy pro veklá x v podstatě 1. Řeší li se rovnice Eulerovou metodou y n1 = y n h 100 y n 100, z čehož lze vyjádřit y n = y h n 1. Je vidět, že pokud se použije krok h0.02, první člen v absolutní hodnotě roste a řešení je zcela chybné. Pro stiff problémy jsou tedy mnohem vhodnější implicitní metody, protože dovolují podstatně delší krok h. Příklad v PASCALU ODE41.PAS. Implicitní Eulerova metoda má tvar y n1 = y n h f x n1 1, a pokud ji aplikujeme na předchozí rovnici dostaneme y n =1 y 0 1, tedy řešení konvergující k 1 pro libovolné h h n Metody, které dovolují u stiff rovnic použít delší krok se nazývají stiff stabilní a zabýval se jimi C.W.Gear. Stabilita s konečným krokem viz. slidy. Příklad v PASCALU IME41.PAS. Semiimplicitní Eulerova metoda Implicitní metody jsou vhodné pro lineární diferenciální rovnice, kde se při výpočtu
10 y n1 řeší lineární rovnice. Řešení nelineárních rovnic je obtížnější a u systémů rovnic se to ještě víc komplikuje. Proto se implicitní rovnice předělá tak, aby byla lineární v y n1 a takové metodě se říká semiimplicitní. Linearizace se provádí rozvojem funkce f do Taylorovy řady f x n1 1 = f x n1 y n1 y n f y x n1. Dosazením do implicitní Eulerovy metody dostaneme y n1 = y n h[ 1 h f 1 y x n1 ] f x n1. Pro řešení stiff problémů se používají: Rosenbrockovy metody (semiimplicitní zobecnění Runge Kuttových metod) Semiimplicitní zobecnění Bulirsch Stoerovy metody Vícekrokové Gearovy metody (semiimplicitní zobecnění metod prediktorkorektor) Okrajová úloha
Numerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceNumerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceObyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek
Občejné diferenciální rovnice počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ) Základní pojm Tp rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro občejné diferenciální rovnice Řád metod a počet kroků
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálníc rovnic Mirko Navara ttp://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojovéo vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a ttp://mat.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.tml
VíceODR metody Runge-Kutta
ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
Vícemetody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.
7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme najít vzorce popisující analytickéřešení,
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceModerní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceNumerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou
Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceŘešení diferenciálních rovnic I.
co byste měli umět po dnešní lekci: vyřešit dif.rovnici Eulerovou metodou vyřešit dif.rovnici metodou prediktor-korektor vyřešit dif.rovnici metodou Runge-Kutta vyřešit soustavu diferenciálních rovnic
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Aproximace dat = náhrada nearitmetické veličiny (resp. složité funkce) pomocí aritmetických veličin. Nejčastěji jde o náhradu hodnot složité funkce g(x) nebo funkce zadané pouze
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela řešení nelineárních obvodů
Jiří Petržela vlastnosti lineárních obvodů přechodný děj obvodu je vždy tlumený, trvá omezenou dobu a je dán jeho vlastnostmi, počátečními podmínkami a buzením ustálený stav nezávisí na počátečních podmínkách
Vícemetody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.
7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VíceUvod k pocatecnimu problemu pro obycejne diferencialni
Uvod k pocatecnimu problemu pro obycejne diferencialni rovnice Budeme resit ulohu mnozeni bakterii. Na zacatku mame jedinou bakterii a vime, ze za urcity cas se takova bakterii rozmnozi na 2. Zajima nas
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceANALÝZA STIFF SOUSTAV DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS ANALÝZA STIFF
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
Víceenvironmentálních distribučních modelů
Užití moderních ICT při řešení problémů environmentálních distribučních modelů Jaroslav Urbánek Masarykova univerzita, RECETOX, Kamenice 126/3, 625 00 Brno e-mail: urbanek@iba.muni.cz Abstrakt Při předpovídání
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více2. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
1 2. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic y = f(x,y) spočátečnípodmínkou y(x )=y, (1) Platí: : Nechť f je spojitá v uzavřeném dvojrozměrném intervalu Ω= x a,x + a y b,y + b, a, b >.Anechť
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceZákony hromadění chyb.
Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceLINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
Více13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
Víceekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura
a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceOdhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceČas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny
Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost
VíceŘešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou
ENumerická analýza transportních procesů - NTP2 Přednáška č. 9 Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou konečných objemů Metoda sítí (metoda konečných diferencí - MKD) Metoda sítí Základní myšlenka
Více