Čebyševovy aproximace
|
|
- Andrea Ševčíková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu od funkce f x, tedy min h x max x a,b f x h x, kde h x jsou funkce z určité třídy funkcí Pokud je touto třídou množina polynomů určitého stupně, pak se funkci h x (tedy nejlepší stejnoměrné aproximaci) říká minimax Minimax existuje za velmi obecných podmínek, avšak jeho konstrukce je poměrně složitá (Remesův algoritmus) Obdobně je zaručena existence nejlepší stejnoměrné aproximace mezi racionálními lomenými funkcemi a ke konstrukci této aproximace se používá opět Remesův algoritmus Čebyševovy polynomy Aproximace pomocí Čebyševových polynomů se konstruuje lehce a je téměř stejně přesná jako nejlepší stejnoměrná aproximace Pro výpočet funkcí se používá často ejprve se interval a, b transformuje na interval 1,1 Každému t a, b tedy přiřadíme hodnotu x 1,1 podle vztahu x= 2t a b b a Čebyševův polynom se zapisuje ve tvaru T n x =cos narccos x Pro polynomy 0 a 1 stupně tedy platí T 0 x =cos 0 arccos x =1 a T 1 x =cos 1 arccos x =x Čebyševovy polynomy vyšších stupňů je možné konstruovat pomocí rekurentního vztahu T n 1 x =2 x T n x T n 1 x Ověřme na T x =cos 2arccos x Protože cos 2 x =cos x sin x =cos x 1 cos x =2cos x 1 T x =2 cos arccos x 2 1=2 x 2 1=2 x T 1 x T 0 x, pak T 0 x =1 T 1 x =x T x =2 x 2 1 T 3 x =4 x 3 3 x T 4 x =8 x 4 8 x 1 Vlastnosti Čebyševových polynomů (kořeny, extrémy a ortogonalita) V intervalu 1,1 má Čebyševův polynom T n x n kořenů v bodech x=cos k 1/2 n, k=1,,n n 1 extrémů v absolutní hodnotě rovných 1 v bodech x=cos k /n, k =0,, n
2 Čebyševovy polynomy jsou na intervalu 1,1 1 T i x x 1 1 x dx= ortogonální s vahou 0 i j i= j 0 2 i= j=0 1 1 x, tzn 0 i j n Diskrétní ortogonalita T i x k x k = m i= j 0 k=1 2 m i= j=0 jsou kořeny Čebyševova polynomu T m x pro všechna i, j m a x k,k=1,,n Aproximace pomocí Čebyševových polynomů (algoritmus) Funkci f x aproximujeme pomocí Čebyševových polynomů (až do stupně ) následovně: f x T x = c 0 c j x, c j = 2 k=1 [cos k 1 j f ] cos k 1 Pro ilustraci: =1, f x T x = 1 2 c 0,
3 c 0 =2 f [cos ] cos =2 f [ cos ] cos 0 =2 f 0, a tedy f x T x = f 0 =2, f x T x = 1 2 c 0 c 1 T 1 x = 1 2 c 0 c 1 x, c 0 = f [ cos 4 ] cos 0 f [ cos 3 4 ] cos 0 = f [ cos 4 ] f [ cos 4 ], c 1 = f [ cos 4 ] cos 4 f [ cos 3 4 ] cos 3 4 = = f [ cos 4 ] cos 4 f [ cos 4 ] cos 4, a tedy f x T x = 1 2 [ f 2 f 2 ] 2 2 [ f 2 f 2 ] x =3, T x = 1 3 [ f 3 f 0 f 3 ] 3 3 [ f 3 f 3 ] x 1 3 [ f 3 2 f 0 f 3 ] 2 x2 1 K výpočtu koeficientů c j tedy potřebujeme znát hodnoty funkce v přesně definovaných bodech Aproximace pomocí Čebyševových polynomů nelze tedy použít vždy Všimněte si, že hodnoty funkce T x jsou shodné s hodnotami funkce bodech polynomu T x f x ve všech nulových apř: =2, T 2 x =2 x 2 1 má nulové body 2 2 a 2 2, a tedy
4 f 2 =T 2 = 1 2 [ f 2 f 2 ] 2 2 [ f 2 f 2 ] 2 = = 1 2 [ f 2 f 2 ] 1 2 [ f 2 f 2 ] = f 2 Obdobně platí f 2 =T 2 Při výpočtu aproximace pomocí Čebyševových polynomů nejprve předpočítáme koeficienty c j, obvykle až do nějakého vysokého řádu Tyto koeficienty jdou většinou poměrně rychle k 0 Pokud chceme funkci f x aproximovat s přesností (tedy pro x 1,1 platí f x T x ) a z hodnot koeficientů c j pro nějaké m zjistíme, že c j, potom stačí pro výpočet hodnot funkce f x používat pouze prvních m koeficientů c j Pokud máme předpočítané koeficienty c j 1 vztahu T x = 1 2 c 0 1 c j x = j=0 j=m, můžeme počítat funkční hodnoty funkce T x podle c j x 1 2 c 0 s použitím rekurentního vztahu T n 1 x =2 x T n x T n 1 x a vztahů T 0 x =1, T 1 x =x V některých případech je ale jednodušší vyjádřit T x přímo jako kombinaci T 0 x a T 1 x - v obecném případě platí vztah, kterému se říká Clenshawova formule apř: =3, T x =c 0 T 0 x c 1 T 1 x c 2 T 2 x 1 2 c 0 T 0 x, T 2 x =2 x T 1 x T 0 x, T x = 1 2 c 0 T 0 x c 1 T 1 x 2 x c 2 T 1 x c 2 T 0 x = 1 2 c 2 T 0 x c 1 2 x c T 1 x Algoritmus je následující: y 2 =y 1 =0 y k =2 x y k 1 y k 2 c k, k=, 1,,1 T x = T 0 x y 2 T 1 x y 1 T 0 x c 0, tedy f x y 2 y 1 x c 0 Clenshawovy formule nemusí být vždy vhodné a mohou někdy (díky nestabilitě) vést ke katastrofálním ztrátám přesnosti Clenshawovy formule existují v obecnější podobě pro součet funkcí daných určitým rekurentním vztahem, detaily lze nalézt v umerical Recipies Příklady na Čebyševovu aproximaci v PASCALU DEMCHEBPAS, CHEBVYP2PAS, CHEBV3PAS
5 Pomocí Čebyševových polynomů se dá z funkce f x poměrně jednoduše počítat integrál a derivace Platí totiž f ' x T ' x = c 0 c j x '= c j ' x = c ' 0 c j ' x f x dx T x dx= c 0 Pro koeficienty c j ' a C j platí vztahy : c j x dx= C j x c '=c 1 '=0, c i 1 '=c i 1 ' 2 i c i, i= 1, 2,,1 C 0 libovolné (integrační konstanta), C i = c i 1 c i 1 2 i, i 0 apř: f ' x T ' x = 1 2 c 0 c 1 T 1 x c 2 T x c 3 T 3 x '= = 1 2 c 0 c 1 x c 2 x2 1 c 3 4 x 3 3 x '= =c 1 4 x c 2 12 x 2 3 c 3 c 4 '=c 3 '=0, c 2 '=6 c 3, c 1 '=4 c 2, c 0 '=6 c 3 2 c 1 T ' x = 1 2 c 0 ' c 1 'T 1 x c 2 'T x =c 1 3c 3 4 c 2 x 6 c 3 2 x2 1 Metoda nejmenších čtverců Vlastností metody nejmenších čtverců je, že aproximační funkce neprochází zadanými body Této metody se využívá například při aproximaci výledků měření s nezanedbatelnými chybami Diskrétní případ funkce f je zadána v diskrétních bodech x i, pak úloha spočívá v minimalizaci funkcionálu = w i [ f x i M x i ] 2 Spojitý případ funkce f je zadána na celém intervalu a, b, pak úloha spočívá v minimalizaci funkcionálu = a rovnou 1 b w x [ f x M x ] 2 dx, w x často klademe identicky
6 Označení M znamená, že aproximační funkce je zadána až na M neznámých parametrů c j Aproximace metodou nejmenších čtverců může být: lineární funkce M je lineární vzhledem k parametrům c j, jde tedy o zobecněný polymon M M x = c j g j x nelineární funkce M není lineární vzhledem k parametrům c j Diskrétní aproximace Úlohou (v numerické matematice) je nalézt hladké aproximace dat Jednou z možností (zřejmě používanou) jsou zvonové spliny (tzv B-spliny) Je dána síť bodů s krokem h a konstruujeme zvonový spline se středem v Označme p=h x, q=2 h x 0 q 0 Potom je B-spline dán vztahy B x = q 3 p 0 q 3 4 p 3 p 0 a následujícím obrázku je B-spline s =0 a h=1
7 B-spline je funkce třídy C 2 nenulová pouze v intervalu a, b Hledání koeficientů u těchto splinů vede na úlohu řešení systému lineárních rovnic s pásovou maticí Lineární aproximace Položíme M f x i = c j g j x i, kde M a získáme tak systém rovnic pro M neznámých koeficientů c j Vede tedy na řešení systému lineárních rovnic metodou SVD (singular value decomposition) Jiný přístup je hledání minima pomocí derivace l=1,, M [ f c l 2] M x i c j g j x i =0 pro Ukázka pro =M =2, l=1,2 c 1 [ 2] f x i c 1 g 1 x i c 2 g x i = = c 1 [ f x i c 2 1 g 2 1 x i c 2 2 g 2 x i 2c 1 f x i g 1 x i 2c 2 f x i g x i 2c 1 c 2 g 1 x i g x i ] = = 2c 1 g 2 1 x i 2 f x i g 1 x i 2c 2 g 1 x i g x i =0 tedy pro l=1 máme a pro l=2 máme g 1 x i c 1 g 1 x i c 2 g x i = g x i c 1 g 1 x i c 2 g x i = g 1 x i f x i g x i f x i
8 Pokud definujeme skalární součin f, g f x i g x i, můžeme tyto rovnice přepsat jako c j g j, g 1 = f, g 1 pro l=1 a Této soustavě rovnic pro c j říkáme normální rovnice Jako bázové funkce g x se nejčastěji volí: c j g j, g = f, g pro l=2 polynomy často pak polynomy 1, x, x 2,, x M 1, ty jsou vhodné zejména pro malá M, pro velká M soustava špatně podmíněná ortogonalizované polynomy nejsou problémy jako v předchozím případě trigonometrické polynomy základní funkce jsou 1,sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x, Spojitá aproximace Totéž jako v diskrétním případě, jen je zde skalární součin definován jako b f, g = a f x g x dx Jako bázové funkce g x se nejčastěji volí: ortogonální polynomy Čebyševovy polynomy Laguerrovy polynomy Hermiteovy polynomy trigonometrické polynomy Výpočet funkcí ěkolik poznámek o metodách používaných při výpočtu funkcí Výpočet hodnoty polynomu počet operací potřebných k výpočtu hodnoty polynomu P n x =a 0 a 1 x a 2 x a n x n lze snížit převedením polynomu na tvar P n ={ x a 1 }x a 0 Tento postup se nazývá Hornerovo schéma Kořeny kvadratické rovnice pro 4ac b 2 s použitím vztahu x 1,2 = b± b2 4ac 2a Proto vhodnější pro b 0 x 1 = b b2 4 ac a 2a ztráta přesnosti jednoho z kořenů x 2 = c a x 1,
9 pro b 0 x 1 = b b2 4 ac 2a a x 2 = c a x 1 Výpočet funkcí pomocí mocninných řad f x = a k x x 0 k, často se k výpočtu hodnot funkce nehodí, hodí se jen pro x blízká x 0 k=0 Jinak zpravidla ztráta přesnosti nebo pomalá konvergence ekonečné zlomky a rekurentní vztahy pro výpočet funkcí viz slidy k přednášce umerická derivace Zpravidla se provede aproximace nějakou jednoduchou snadno derivovatelnou funkcí a ta se derivuje Používá se : interpolační spline Čebyševovy polynomy interpolační polynomy Lagrangeův interpolační polynom pro n=1 (na dvou bodech x 0, x 1 ), vzorec pro ekvidistantní uzly s krokem h t= x x 0 t t 1 t t 1, L 1 x =L 1 x 0 th =y 0 y h t 1 t 1 =y 1 t y 0 1t (jedná se vlastně o přímku procházející body x 0, y 0 a x 1, y 1 ) d Derivujeme tedy podle x, dx = 1 d, L h dt 1 ' x = 1 h y y 0 1 a derivace je tedy na intervalu x 0, x 1 nahrazena konstantou rovnou směrnici tečny původní přímky ahrazení derivace pouze z hodnot ve dvou krajních bodech není moc přesné Chyba je řádu h Používají se výpočty derivace z interpolace zpravidla na 5 bodech, kde může být přesnost řádu h 4 Do zderivaného vzorce odvozeného z Lagrangeovy interpolace na uzlech x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 (tedy na x 0, x 0 h, x 0 2 h, x 0 3 h, x 0 4 h ) se dosadí prostřední bod x=x 0 2 h a tak dostaneme numerickou aproximaci derivace v tomto bodě ze znalosti okolních 4 bodů Vzorec je f ' x 0 2 h = 1 12 h [ y 8 y 8 y y ] Vzorec pro n=2 je f ' x 0 h = 1 2 h [ y 0 y 1 ] s chybou řádu h2
10 Řešení nelineárních rovnic umerické řešení nelineárních rovnic je vždy iterační Řešení se nějakým způsobem odhadne a pak se tento odhad zpřesňuje Řeší se jednotlivá rovnice - f x =0, řešení nazýváme kořen Ten nemusí existovat, nebo jich může existovat i více Je to relativně snadná úloha systém rovnic - f x = 0, tedy rovnic o neznámých f je zde vlastně - dimenzionální vektorová funkce, jejímiž složkami jsou jednotlivé rovnice Řešení nemusí existovat, může existovat více bodových řešení a v některých případech může být řešením i celá spojitá množina Ve více dimenzích není k dispozici žádná spolehlivá metoda, pokud není k dispozici dobrý odhad Spočívá ve dvou krocích: Řešení jedné rovnice f x =0 ohraničení kořene, určení intervalu, ve kterém se kořen nachází zpřesňování hodnoty kořene na požadovanou přesnost Pro polynomy existují speciální metody, které budeme probírat později V reálném oboru je hledání řešení v okolí dvojnásobného kořene úloha nekorektní V komplexním oboru je úloha korektní vždy Ohraničení kořene Pokud pro x 1 x 2 platí, že f x 1 f x 2 0, pak je v intervalu x 1, x 2 alespoň jeden kořen Algoritmus ohraničení kořene spočívá v rozšiřování, případně zkracování původně navrženého intervalu Hledání ohraničeného kořene Obvykle se používají metody, které nepotřebují znát derivaci funkce Pokud se používá metoda založená na derivaci funkce f x, pak je třeba moci tuto derivaci rychle numericky spočítat ejjednodušší a nejintuitivnější metoda Metoda půlení intervalu Kořen je ohraničen v intervalu a 0, b 0 tak, že f a 0 f b 0 0 Zvolíme bod x 1 = 1 a 0 b 0 Pokud f x 1 f b 0 0, zvolíme v dalším kroku a 1 =x 1, b 1 =b 0 a kořen máme ohraničený v intervalu a 1, b 1 poloviční délky V opačném případě f x 1 f b 0 0, zvolíme v dalším kroku a 1 =a 0, b 1 =x 1 a kořen máme
11 opět ohraničený v intervalu a 1, b 1 poloviční délky Takto postupujeme dál, až po n krocích je kořen v intervalu a n,b n a nepřesnost jeho určení je n = b n a n Obecně lze zapsat n 1 =C n m, kde m 1 Zde pak platí m=1 a C= 1 2 Počet kroků pro výpočet kořene s přesností je při chybě počátečního odhadu 0 roven n=log 2 0 Metoda půlení intervalu je spolehlivá, vždy konverguje, ale v blízkosti kořene je poměrně pomalá Vyzkoušejte si napsat v PASCALU metodu půlení intervalu pro řešení rovnice sin x 3 ln x cos x e x x 3 =0 Kořen se nachází v intervalu 0,1 Řešení rovnice je přibližně
Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VíceAproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...
Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VícePseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
Více5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VícePozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 12. přednáška 11MAG pondělí 15. prosince 2014 verze:2014-12-15 11:10 Obsah 1 Úlohy 2 1.1 Aproximace funkcí...................................
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceStrukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů
Strukturální regresní modely určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Jde zlepšit odhad k-nn? Odhad k-nn konverguje pro slušné k očekávané hodnotě. ALE POMALU! Jiné přístupy přidají předpoklad o funkci
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Více