= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

Transkript

1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0 :0 1, :=,=,=1 Řešení 1a Sice to není v tomto konkrétním příkladu nutné, ale je docela vhodné si i v takto jednoduchém případě vytvořit představu o oblasti (udělat si její obrázek), nad kterou integrujeme. V tomto případě je zřejmé, že omezovací podmínky jsou 4, Množinu určenou danými podmínkami představuje následující obrázek. 1

2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST V této situaci vypočteme nejprve vnitřní integrál podle proměnné stejně, jako jsme integrovali v analýze jedné proměnné. S proměnnou v tomto případě zacházíme jako s konstantou. V tomto jednoduchém příkladu integrujeme přímo podle vzorce, takže dostaneme Dále pokračujeme výpočtem přírůstku nalezené primitivní funkce na intervalu,. Dostaneme Postupně upravíme 4 3 Výpočet dokončíme standardním způsobem nacvičeným v rámci analýzy v jedné proměnné Po snadných úpravách dostáváme přímo výsledek Bez vysvětlujících pasáží lze celý výpočet napsat přímočaře takto V dalších řešeních této úlohy budeme takto přímočaře postupovat vždy. Výjimkou budou situace, kdy si výpočetní postup zaslouží nějaké detailnější vysvětlení.

3 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 1b, 0,1 1,3 V tomto případě omezovací podmínky pro oblast jsou 01, 13 Množinu určenou danými podmínkami představuje následující obrázek. Dále postupujeme podle Fubiniovy věty. Dvojný integrál přepíšeme na dva integrály do sebe vložené a ihned pokračujeme ve výpočtu například takto ln 1 1 ln4lnln 4 ln Poznámka Kdybychom na začátku výpočtu vybrali druhou možnost přepisu integrálu, dostaneme se k výpočtu, se kterým si nebudeme vědět rady. Viz ln ln Tohle totiž analyticky dále vypočítat nejde. Je tedy patrné, že správná volba pořadí integrování může být velmi důležitá. ln ln 1 3

4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 1c, je oblast ohraničená přímkami,,0 Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami,, 0 Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně Kdybychom v tomto příkladu změnili pořadí integrování, byl by výpočet prakticky stejný. Viz následující postup. Je třeba si uvědomit, že změna pořadí integrování vede ke změně integračních mezí

5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 1d 1, :0,1,1, Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami 0, 1, 1, Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně arctg Řešení 1e 3, :0,,0,1 Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami 0,, 0, 1 5

6 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně ln 3 1 ln 5 1 ln 5 1 ln 3 1 ln ln ln ln ln 5 1 ln 3 1 ln 50 1 ln 30 1 ln 3 1 ln 1 1 ln 5 1 ln 3 1 ln31 ln11 ln51 ln3 1 ln31 ln11 ln51 ln31 ln3ln1ln5ln3 1 ln30ln5ln31 ln3ln51 ln3 ln5 1 ln3 5 6

7 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 1f sin, :0,, Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami 0,, Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně. sin sin sin cos coscos coscos sin 1 sin sin 1 sinsin01 sin 0 sin 1 sinsinsin Řešení 1g 3, : 4 Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená kružnicí se středem v počátku a o poloměru 7

8 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně arcsin arcsin 4 4 arcsin 61 44arcsin11 44arcsin1 61 0arcsin11 0arcsin16arcsin1arcsin1 1arcsin1arcsin11 1 Poznámka Stejný příklad je řešen transformací do polárních souřadnic jako příklad a o něco dále. Je velmi vhodné obě řešení porovnat. 8

9 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 1h, : 4,30 Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená ležatou parabolou a přímkou 4, 30 Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. V tomto případě již nejsou tak zřejmé jednotlivé body pro určení integračních mezí. Parabola má zcela zřejmě nos v bodu (-4;). Zjistíme to dosazením nuly za y-novu souřadnici do rovnice paraboly. Průsečíky paraboly s přímkou získáme vyřešením soustavy rovnic, kterou tvoří zadané omezující podmínky. 4, 30 Vypočteme z druhé rovnice Dosadíme do první rovnice Upravíme Převedeme na standardní tvar kvadratické rovnice 9360 Tato rovnice má řešení Odtud, , ,57,5 9

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Je tedy již z tohoto výpočtu a výše uvedených obrázků jasné, jaké meze máme volit pro integrování. V intervalu (-4; -3) budeme integrovat od dolní poloviny paraboly (neboli 4) k horní polovině paraboly (neboli 4). V Intervalu (-3; 1) budeme integrovat od dolní poloviny paraboly (neboli 4) k přímce (neboli. Výpočet tedy povedeme jako součet dvou integrálů. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně Řešení 1i, :0 1, 10

11 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami a polovinou paraboly 0, =1, =, = Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto jednoduchém případě veden již méně detailně. = = = = Řešení 1j, :,,1 Nejprve si ujasníme, jak vypadá oblast, přes kterou integrujeme. Jde o oblast, která je ohraničená přímkami a hyperbolou,, 1 Omezující přímky a integrační oblast jsou zobrazeny na obrázku. Je zřetelné, že hyperbola a osa prvního kvadrantu se protínají v bodu (1; 1). Příslušná x-ová souřadnice bude dolní mezí integrace. Horní mez je dána. 11

12 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Nyní můžeme podle Fubiniovy věty převést výpočet plošného integrálu na výpočet integrálů vložených do sebe. Hned poté následuje výpočet, který je v tomto případě pro ilustraci veden až přehnaně detailně

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Vypočtěte integrály převodem do polárních souřadnic a) b) c) d) e) sin ,,,,, : 4, : 4 je čtvrtina kruhu 1 v prvním kvadrantu je čtvrtina kruhu 1 v prvním kvadrantu, : Řešení a Tento příklad byl již jednou řešen jako příklad 1g. Toto řešení vycházelo přímo ze zadání úlohy a byly při něm využity kartézské souřadnice. Nyní si ukážeme, jak se změní řešení úlohy po jejím převodu do polárních souřadnic. 3, : 4 Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: cos, sin Integrační oblastí je kruh o poloměru, proto pro meze v polárních souřadnicích platí 0, 0 Zobrazíme si integrační oblast (phi v obrázku označuje úhel ) 13

14 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) 3 3sin 3 sin 3 cos cos cos Poznámka Je zřejmé, že řešení této úlohy pomocí transformace do polárních souřadnic je kratší a přehlednější. Mohli jsme použít pro integraci i jednodušší vzorce. Tam, kde to má smysl (integrační oblast má něco společného s kruhem), je velmi vhodné tuto transformaci využít. Řešení b sin,, : 4 Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: cos, sin Integrační oblastí je kruh o poloměru, proto pro meze v polárních souřadnicích platí, 0 Zobrazíme si integrační oblast (phi v obrázku označuje úhel ). Jedná se o mezikruží s vnitřním poloměrem a vnějším poloměrem. 14

15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) a postupně upravujeme sin sincos sin sin cos sin sin cos sin Nyní využijeme znalosti o hodnotě součtu druhých mocnin sinu a kosinu téhož úhlu a dostaneme sin cos sin sin 1= sin Vzhledem k podmínce kladené na (musí být kladné) můžeme psát Nyní je již možné začít integrovat sin sin sinsin sin0 sin sin Nyní jsme v typické situaci pro integraci per partes (velmi podobnou úlohu jsme řešili v M1a-9-a). Položíme, sin, 1, cos Nyní budeme hledat primitivní funkci k sin, abychom mohli integraci dokončit. sincos1 coscoscoscossin Teď je možné se vrátit a dokončit výpočet hodnoty zadaného integrálu sincossin cossincossin = 6 Řešení c 4, je čtvrtina kruhu + 1 v prvním kvadrantu Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: =cos, =sin Integrační oblastí je čtvrtkruh v prvním kvadrantu o poloměru 1, proto pro meze v polárních souřadnicích platí 15

16 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 01, 0 Zobrazíme si integrační oblast (phi v obrázku označuje úhel ). Jedná se o mezikruží s vnitřním poloměrem a vnějším poloměrem. Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) 4 =4 cos sin =4 cos sin =4 cos +sin =4 1 =4 =4 =4 0 4 = 4 Primitivní funkci k poslednímu výrazu budeme hledat substitucí. Položíme =4, = Dosadíme do posledního výrazu, integrujeme a provedeme zpětnou substituci ~ ~ Nyní se vrátíme k dokončení výpočtu původního integrálu 16

17 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST = = = Řešení d 1 1, je čtvrtina kruhu 1 v prvním kvadrantu Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: cos, sin Integrační oblastí je čtvrtkruh v prvním kvadrantu o poloměru 1, proto pro meze v polárních souřadnicích platí 01, 0 Zobrazíme si integrační oblast (phi v obrázku označuje úhel ). Jedná se o mezikruží s vnitřním poloměrem a vnějším poloměrem. Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) 1 1 cos sin 1 1cos sin cos sin 1 1 cos sin Nyní využijeme vlastnost součtu druhých mocnin sinu a kosinu. Dostaneme 17

18 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST cos sin 1 1 cos sin cos sin cos sin V tuto chvíli se musíme rozhodnou, jak dál. Přestože myšlenka na per partes vypadá slibně, s odmocninou bychom se dále nedostali. Zavedeme tedy substituci.,, Primitivní funkci budeme hledat jako neurčitý integrál 1 1 ~ To už vypadá docela pěkně, ale na tuto situaci nemáme vzorec. Volíme další substituci tak, abychom se zbavili odmocniny. Postupnými úpravami odtud vyjádříme Derivujeme , Pokračujeme v hledání primitivní funkce dosazením do posledního tvaru ~ Tyto situace řešíme rozkladem integrovaného výrazu na parciální zlomky takto Koeficienty u stejných mocnin proměnné na obou stranách rovnice se musí rovnat. Odtud 0, 4, 0, 0 Soustavu vyřešíme a dostaneme 0, 4, 0,

19 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Můžeme tedy psát Dosadíme do naposledy hledaného neurčitého integrálu První z integrálů v závorce nalezneme přímo podle vzorce arctg 1 +1 Vzorec pro druhý integrál můžeme najít nejméně ve dvou různých formách v lepších sbírkách vzorců nebo cvičení z matematické analýzy jako rekurentní vztah pro obecné celočíselné kladné mocniny dvojčlenu ve jmenovateli. Jeden z možných uvažovaných vztahů je 1 1 = ; 1 +1 Tento vztah využijeme a dostaneme 1 arctg +1 1 =arctg =arctg =arctg =arctg =arctg arctg = 1 arctg 1 +1 =1 arctg 1 +1 = 1 arctg 1 =arctg Primitivní funkci jsme konečně nalezli. Můžeme se vrátit k naší druhé substituci a provést její zpětný krok. Dostaneme arctg +1 ~arctg =arctg =arctg =arctg Nyní můžeme provést zpětný krok naší první substituce. Dostaneme arctg ~arctg Teprve nyní se můžeme vrátit k našemu výpočtu integrálu. Máme

20 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 1+ = 1 arctg Ani tady ovšem potíže ještě nekončí. Povšimněme si, že po dosazení horní meze se hodnoty jmenovatelů v obou odmocninách nulují. Musíme tedy hledanou hodnotu vypočíst nikoli přímým dosazením, ale pomocí limity zleva pro horní mez. Dolní mez nepůsobí problémy. Tam je možné využít přímého dosazení. arctg = lim arctg arctg = lim arctg arctg = lim arctg arctg = lim arctg lim 1 arctg1 1 1 = lim arctg lim V první limitě zjistíme hodnotu takto 1, 1+, 1 0, , , arctg 1+ 1 V první limitě zjistíme hodnotu takto 1, 1+, 1 0, Až teď můžeme náš výpočet dokončit lim arctg lim = 0 +1 =1 Řešení e, Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: =, : + <

21 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST cos, =sin Integrační oblastí je čtvrtkruh o poloměru v prvním kvadrantu, proto pro meze v polárních souřadnicích platí 0 <, 0 Zobrazíme si integrační oblast (phi v obrázku označuje úhel ). Jedná se o mezikruží s vnitřním poloměrem a vnějším poloměrem. Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) cos sin cos sin cos sin cos sin 1 0 = =

22 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 3 Vypočtěte velikost plochy ohraničené grafy funkcí a),,, b),, 4 c) 44, 0 d) Poznámka V těchto úlohách máme vypočítat velikost plochy ohraničené grafy funkci. Jde tedy o nepravidelnou plochu. Její velikost vypočítáme jako integrál nad touto plochou z jednotkové funkce. Jedná se o jednu z nejjednodušších aplikací integrování ve D. Řešení 3a velikost plochy ohraničené grafy funkcí,,, Nejprve si zobrazíme grafy daných funkcí a pomocí obrázku určíme integrační oblast. Prozkoumáme průsečíky všech grafů funkcí na hranicích integrační oblasti. Pak už můžeme určit, že integrační oblast je pro ;1 omezena zdola přímkou a shora parabolou. Pro 1; omezena zdola parabolou a shora přímkou. Obě části máme pro jasný vizuální vjem odlišeny barevně a odděleny černou úsečkou Budeme tedy počítat velikost hledané plochy jako součet dvou integrálů takto

23 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení 3b velikost plochy ohraničené grafy funkcí,, 4 Nejprve si zobrazíme grafy daných funkcí a pomocí obrázku určíme integrační oblast. Prozkoumáme průsečíky všech grafů funkcí na hranicích integrační oblasti. Pak už můžeme určit, že integrační oblast je pro ;0 omezena zdola křivkou a shora přímkou 4. Pro 0; omezena zdola křivkou a shora přímkou 4. Obě části máme pro jasný vizuální vjem odlišeny 3

24 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST barevně a odděleny černou úsečkou Budeme tedy počítat velikost hledané plochy jako součet dvou integrálů takto 1 = = 4 4 = ln 4 ln ln ln ln ln 0 1 ln 8+ 4 ln 8 4 ln 0 1 ln 0 1 ln 8 4 ln 8 4 ln 0 1 ln 16 6 ln Jiné řešení Tuto úlohu lze řešit i bez rozdělení na dvě oblasti. Je to možné s využitím Fubiniovy věty a změny pořadí integrování. Přepočteme nejprve omezující funkce. log =, log =, =4 Nyní můžeme již integrovat takto 1 = 1 = =log log =log +log =log =log Na integrování logaritmů nemáme žádný základní vzorec. V tuto chvíli tedy využijeme jednu ze základních vlastností logaritmů. Obecně platí log = log,, 0< 1 log Můžeme tedy psát log = log = ln log ln = ln ln Na poslední integrál z přirozeného logaritmu sice stále nemáme k dispozici základní vzorec, ale příslušnou primitivní funkci nalezneme snadno metodou per partes. Položíme =ln, =1, =, = 1 Odtud již snadno nalezneme příslušnou primitivní funkci ln =ln 1 =ln 1 =ln 1=ln Nyní se můžeme vrátit k výpočtu integrálu ln ln = ln ln = ln 4ln4 4 1ln1 1 = ln 4ln = ln 4ln4 4+1= ln 4ln 3 = ln 8ln 3= 8ln 3 ln ln =16 6 ln

25 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Výsledek je samozřejmě dle očekávání stejný. Výpočet nebyl nijak zvlášť obtížný. Dá se ovšem předpokládat, že vzhledem ke znatelně klesající popularitě logaritmů mezi příslušníky mladé generace je tato cesta pro většinu laskavých čtenářů méně lákavá. Řešení 3c velikost plochy ohraničené grafy funkcí =44, 0 Nejprve si zobrazíme grafy daných funkcí a pomocí obrázku určíme integrační oblast. Prozkoumáme průsečíky grafů funkcí na hranicích integrační oblasti. 44, Dosadíme a řešíme rovnici Dále potřebujeme vypočítat polohu nosu paraboly. Položíme 0 a dosadíme do rovnice paraboly. Dostaneme 04 Nyní už je jasné, že integrační oblast je pro ;0 omezena zdola dolní polovinou a shora horní polovinou paraboly 44. Pro 0;8 je integrační oblast omezena zdola parabolou 44 a shora přímkou. Obě části máme pro jasný vizuální vjem na obrázku odlišeny barevně a odděleny černou úsečkou Budeme tedy počítat velikost hledané plochy jako součet dvou integrálů. 5

26 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 1 = = + = = Pro hledání stejné primitivní funkce v prvním a posledním integrálu zavedeme substituci, Potom už můžeme integrovat podle vzorce ~ = = = 3 3 ~ Nyní můžeme pokračovat v integrování = = =

27 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST = = = = = = 64 3 Jiné řešení Tuto úlohu lze řešit i bez rozdělení na dvě oblasti. Je to možné s využitím Fubiniovy věty a změny pořadí integrování. Přepočteme nejprve omezující funkce. = 4, Tím máme dolní a horní omezení pro proměnnou. Proměnná se bude pohybovat v intervalu 6;, jak lze snadno zjistit dosazením do podmínek. Pak můžeme psát Je zřejmé, že v tomto případě vedla záměna pořadí integrování k podstatně kratšímu a jednoduššímu výpočtu. Vždy tedy stojí za to zamyslet se nad tím, jaké pořadí je vhodné volit. V případě, kdy počítáme plochu a integrovaný výraz již nemůže být jednodušší, je celé tajemství volby integračního postupu v nalezení mezí. Volíme ten postup, který má meze pro další výpočet příjemnější. Řešení 3d velikost plochy ohraničené grafem funkce + = Nejprve si zobrazíme integrační oblast. 7

28 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Křivka omezující integrační oblast je podobná Bernoulliově lemniskátě či některým z Cassiniových křivek. To nám ovšem v řešení příkladu nijak nepomůže. Ze zadání je jasné, že výpočet v kartézských souřadnicích by byl problematický, protože z rovnice křivky není snadné odvodit integrační meze. Je důležité si povšimnout, že integrační oblast je symetrická nejen podle os kvadrantů, ale především podle počátku. Integrační oblast tvoří dva stejně velké listy. Stačí tedy počítat plochu jen jednoho z nich a výslednou plochu vynásobit dvěma. Pro výpočet si vybereme list ležící v prvním kvadrantu. Problém s výpočtem integračních mezí obejdeme v tomto případě snadno tak, že úlohu budeme transformovat do polárních souřadnic. 1,, : Úlohu transformujeme do polárních souřadnic takto: cos, sin Dosadíme a upravíme cos sin cossin cos sin cossin Odtud dostáváme cos sin cossin 1 cossin cossin cossin cossin Polovina integrační oblasti, nad kterou budeme integrovat, je list v prvním kvadrantu, proto pro meze v polárních souřadnicích platí 0, Zvolený postup integrování naznačíme obrázkem. 0cossin Nyní můžeme zahájit vlastní výpočet 8

29 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 1 1 cossin 0 cossin 1cossin cossin Pokračujeme velmi jednoduchou a příjemnou substitucí sin, cos, cossin ~ = +~sin Nyní můžeme pokračovat ve výpočtu 1 cossin sin sin sin