Aplikace derivace a průběh funkce
|
|
- Naděžda Pešková
- před 2 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 1 / 41
2 Obsah 1 Použití derivací L Hospitalovo pravidlo Tečna a normála ke grafu funkce 2 Průběh funkce Monotonie a lokální extrémy Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Průběh funkce shrnutí 3 Příklady 4 Wolfram Alpha c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 2 / 41
3 Použití derivací L Hospitalovo pravidlo Věta (L Hospitalovo pravidlo) Necht α R a necht funkce f a g jsou definované v nějakém ryzím okoĺı bodu α a mají zde derivaci. Necht dále platí bud nebo Pak platí lim f (x) = lim g(x) = 0, x α x α lim g(x) =. x α f (x) lim x α g(x) = lim f (x) x α g (x), pokud limita na pravé straně existuje. Stejné tvrzení platí i pro obě jednostranné limity. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 4 / 41
4 Použití derivací L Hospitalovo pravidlo Poznámka L Hospitalovo pravidlo můžeme použít opakovaně. Lze ho použít přímo na limity typu 0 0 a. Vhodnou úpravou lze převést neurčité výrazy typu 0,, 1, 0 a 0 na jeden z typů 0 0,. POZOR! Při použití L Hospitalova pravidla nederivujeme výraz f (x) g(x) jako podíl, ale derivujeme zvlášt funkci v čitateli a zvlášt funkci ve jmenovateli. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 5 / 41
5 Použití derivací Tečna a normála ke grafu funkce Definice Necht je f (x) funkce spojitá a má derivaci v bodě x 0 D(f ). Potom přímku y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) nazýváme tečna ke grafu funkce f v bodě x 0 a přímku y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) nazýváme normála ke grafu funkce f v bodě x 0 (v případě, že f (x 0 ) 0). c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 7 / 41
6 Použití derivací Tečna a normála ke grafu funkce c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 8 / 41
7 Monotonie a lokální extrémy Věta Necht je funkce f spojitá na intervalu [a, b] a má derivaci na intervalu (a, b). Pak platí Funkce f je v [a, b] konstantní právě tehdy, když x (a, b) : f (x) = 0. Je-li f (x) > 0, x (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] rostoucí. Je-li f (x) < 0, x (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] klesající. Pozor! Obrácené tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 3 je na celém R rostoucí, ale v bodě x = 0 má nulovou derivaci. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 10 / 41
8 Monotonie a lokální extrémy Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 lokální maximum (minimum), jestliže pro každé x v nějakém okoĺı bodu x 0 platí f (x) f (x 0 ), ( f (x) f (x0 ) ). Pokud pro x x 0 platí předchozí nerovnosti ostře, mluvíme o ostrém lokálním maximu (minimu). Souhrnně nazýváme (ostré) lokální maximum a minimum (ostré) lokální extrémy. Věta Má-li funkce f v bodě x 0 lokální extrém, pak f (x 0 ) = 0, nebo f (x 0 ) neexistuje. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 11 / 41
9 Monotonie a lokální extrémy c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 12 / 41
10 Monotonie a lokální extrémy Definice Je-li f (x 0 ) = 0, pak bod x 0 nazýváme stacionární bod funkce f. Věta Necht je funkce f spojitá v bodě x 0 a necht existuje její derivace v nějakém prstencovém okoĺı tohoto bodu. Označme L levé prstencové okoĺı bodu x 0 a R pravé prstencové okoĺı bodu x 0. Jestliže platí f (x) > 0 pro x L a f (x) < 0 pro x R, pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum. Jestliže platí f (x) < 0 pro x L a f (x) > 0 pro x R, pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 13 / 41
11 Monotonie a lokální extrémy Věta Necht f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) 0. Pak má funkce f v bodě x 0 lokální extrém a to lokální maximum, jestliže f (x 0 ) < 0, lokální minimum, jestliže f (x 0 ) > 0. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 14 / 41
12 Monotonie a lokální extrémy Příklad Najděte lokální extrémy funkce f (x) = x 2 + 4x 3. Řešení: (i) f (x) = 2x + 4 = 0 x = 2. x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 15 / 41
13 Monotonie a lokální extrémy (ii) f (x) = 2x + 4 = 0 x = 2. f (x) = 2 f (2) = 2 < 0. Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 16 / 41
14 Konvexnost, konkávnost a inflexní body Definice Funkci nazveme konvexní (konkávní) v bodě x 0, jestliže její graf leží v prstencovém okoĺı bodu x 0 nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávní) na intervalu I, jestliže je konvexní (konkávní) v každém bodě tohoto intervalu. Věta Necht funkce f (x) má derivaci na intervalu (a, b). Pak platí jestliže x (a, b) platí f (x) > 0, pak je funkce f konvexní na intervalu (a, b), jestliže x (a, b) platí f (x) < 0, pak je funkce f konkávní na intervalu (a, b). c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 18 / 41
15 Konvexnost, konkávnost a inflexní body Poznámka Opačné tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 4 je konvexní na R, ale f (0) = 0. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 19 / 41
16 Konvexnost, konkávnost a inflexní body Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 inflexní bod, jestliže v bodě x 0 existuje tečna ke grafu funkce a f zde mění znaménko (tj. graf funkce se mění z konvexního na konkávní, nebo opačně). Poznámka Funkce f může mít inflexní bod v bodě x 0, ve kterém f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) neexistuje. Obr. : x 3 Obr. : 3 x c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 20 / 41
17 Konvexnost, konkávnost a inflexní body Věta Necht má funkce f v bodě x 0 spojitou první derivaci a necht existuje ryzí okoĺı bodu x 0, v němž existuje druhá derivace funkce f. Označme L levé ryzí okoĺı bodu x 0 a R pravé ryzí okoĺı bodu x 0. Pak jestliže f (x) > 0 x L a f (x) < 0 x R nebo naopak, pak má funkce f v bodě x 0 inflexní bod. Příklad Zjistěte, pro která x R je funkce f (x) = x 3 6x 2 + 6x 3 konkávní/konvexní a najděte její inflexní body. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 21 / 41
18 Konvexnost, konkávnost a inflexní body Řešení: f (x) = 3x 2 12x + 6, f (x) = 6x 12 = 0 x = 2. x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce je konkávní pro x (, 2) konvexní pro x (2, ) a v x = 2 má inflexní bod s hodnotou f (2) = 7. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 22 / 41
19 Konvexnost, konkávnost a inflexní body c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 23 / 41
20 Asymptoty Definice Přímku, která je tečnou ke grafu funkce f v některém nevlastním bodě, nazýváme asymptota funkce f. Věta Funkce má asymptotu bez směrnice x = x 0 právě tehdy, když má v bodě x 0 nevlastní limitu zleva nebo zprava, asymptotu se směrnicí y = ax + b pro x ± právě tehdy, když a = f (x) lim R a b = lim (f (x) ax) R. x ± x x ± c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 25 / 41
21 Asymptoty Poznámka Je-li limita lim x x + f (x) = ± nebo lim 0 x x f (x) = ±, pak je svislá 0 přímka x = x 0 asymptotou bez směrnice funkce f v bodě x 0. Tedy asymptoty bez směrnice hledáme v dírách nebo na okraji definičního oboru. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 26 / 41
22 Asymptoty c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 27 / 41
23 Asymptoty c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 28 / 41
24 Průběh funkce shrnutí Postup při vyšetřování průběhu funkce (i) Přímo z funkce: D(f ), sudost/lichost, periodičnost, průsečíky s osami, kladnost/zápornost, asymptoty (se směrnicí, bez směrnice). (ii) Z první derivace: rostoucí/klesající, lokální extrémy. (iii) Z druhé derivace: konvexní/konkávní, inflexní body. (iv) Načrtnutí grafu: ke všem výše zmíněným bodům dopočítáme funkční hodnoty a zkombinujeme zjištěné informace. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 30 / 41
25 Průběh funkce shrnutí Postupně tedy plníme následující body: a) definiční obor, b) sudost/lichost (periodičnost), c) asymptoty bez směrnice, d) asymptoty se směrnicí, e) průsečíky s osami, f) kladnost/zápornost, g) první derivaci, h) kde je f rostoucí/klesající, i) lokální extrémy, j) druhou derivaci, k) kde je f konvexní/konkávní, l) inflexní body, m) funkční hodnoty ve významných bodech, n) načrtneme graf. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 31 / 41
26 Příklady Příklad Vyšetřete průběh funkce f (x) = x 2 x + 1 Řešení: a) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x Proto máme D(f ) = R \ { 1}. b) O sudosti/lichosti funkce snadno rozhodneme dosazením x. Poněvadž platí f ( x) = x 2 ±f (x), x + 1 není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 33 / 41
27 Příklady c) Asymptoty bez směrnice popisují limitní chování funkce v bodech nespojitosti (nebo na okraji definičního oboru), proto přímým výpočtem ihned dostaneme lim x 2 x 1 + x + 1 = lim x 2 = (+ ) =, x 1 + x + 1 lim x 2 x 1 x + 1 = lim x 2 = ( ) =. x 1 x + 1 Funkce má jednu svislou asymptotu x = 1. d) Pomocí vzorců určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují). a = b = lim x 2 x ± x 2 + x = 1, lim x 2 x ± x x = lim x ± x x + 1 = 1. Funkce f (x) má tedy v + i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x + 1. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 34 / 41
28 Příklady e) Určíme průsečíky s osou x ( y = 0): tedy P x = [0, 0], a s osou y ( x = 0): tedy P y = [0, 0] = P x. f (x) = 0 x 2 = 0 x = 0, y = 02 = 0 y = 0, f) Nyní získáme intervaly, kde je funkce f (x) kladná a záporná: x (, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + f kladná záporná záporná c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 35 / 41
29 Příklady g) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = x 2 2x (x + 1) 2, D(f ) = R \ { 1}. h) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = 2. x (, 2) ( 2, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + + f i) Z tabulky vidíme, že funkce má v x = 2 lokální minimum a v x = 0 lokální maximum. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 36 / 41
30 Příklady j) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2x 2 (x + 1) 4 = 2 (x + 1) 3, D(f ) = R \ { 1}. k) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 2 = 0, což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj. v dírách jejího definičního oboru). x (, 1) ( 1, ) sgn f + f c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 37 / 41
31 Příklady l) Funkce nemá žádný inflexní bod ( 1 D(f )). m) Zrekapitulujme význačné body a spočtěme v nich funkční hodnoty. Průsečíky s osami P x = P y = [0, 0]. Lokální minimum v x = 2, f ( 2) = 4, tedy jde o bod [ 2, 4]. Lokální maximum v x = 0, f (0) = 0, tedy jde o bod [0, 0]. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 38 / 41
32 Příklady n) Nyní zkombinujeme všechny získané informace a obdržíme graf funkce c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 39 / 41
33 Wolfram Alpha Tečna. tangent to y=x^2 at 2 Normála. normal to y=x^(2/3) at 8 Limita. limit (ln^5(x))/(x-3) as x->infinity Lokální extrémy. local extrema of (x-1)/(x^2+1) Inflexní body. inflection points of (x-1)/(x^2+1) Asymptoty. asymptotes y=(x^2-1)/(5-x) Graf funkce. plot y=(x^2-3)/(x^2+9) plot y=(x-1)/(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 0.5 c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a průběh funkce Matematika MT 41 / 41
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.
MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci
Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4
Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Seminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Sbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?
Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,
MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8
LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Cvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
5. Kvadratická funkce
@063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a
M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.
Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární
MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce
Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce.
Přednáška č. 12 Vyšetřování průběhu funkce a užití extrémů funkcí Jiří Fišer 11. prosince 2009 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 12 11. prosince 2009 1 / 18 Průběh funkce O vyšetřování
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25
6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N
http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální
1 Zdroj napětí náhradní obvod
1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém
množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:
753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů
O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika
O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,
Asymptoty grafu funkce
Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 8. července 006 Obsah Najděteasymptotygrafufunkce y = 1 x.... 3 Asymptotybezsměrnicekegrafufunkce y = 1 x : D(f) = R {} x + = 0 + = x = 0 = Funkcemáasymptotubezsměrniceajejípřímka
Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy
Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.
@213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o
Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.
Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata
METODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
Zápočtová písemka Řešení
Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Spojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru
Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu
CVIČENÍ Z MATEMATIKY I
Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.
Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost
Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Funkce, funkční závislosti Lineární funkce
Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
předmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady
RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka
na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce
5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří
FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
Numerické řešení rovnice f(x) = 0
Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením
Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl
Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
4.2.15 Funkce kotangens
4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE. Anketavroce2008
INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE Anketavroce2008 Dne 11.12.2008 se obrátil člen katedry matematiky doc. RNDr. Jiří Henzler, CSc. na všechny učitele Vysoké školy ekonomické v Praze s následující výzvou:
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
Matematika II: Pracovní listy do cvičení
Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a
MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,
Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:
1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou
2.5.1 Kvadratická funkce
.5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Matematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE