Ekonomická statistika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ekonomická statistika"

Transkript

1 INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Ekonomická statistika RNDr. Radmila Sousedíková, Ph.D. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. ESF napomáhá rozvoji lidských zdrojů a podnikatelského ducha.

2 Úvod do popisné statistiky

3 Základní statistické pojmy Klíčové pojmy: Statistická jednotka, statistický znak, statistický soubor, kvantitativní a kvalitativní statistický znak, nespojité a spojité statistické znaky, statistické šetření, rozdělení četností, intervalové rozdělení četností, statistické grafy, polygon, histogram, kvantily.

4 Základní statistické pojmy Statistika zkoumá hromadné jevy a procesy, tedy jevy a procesy, které se vyskytují u velkého počtu prvků. Tyto prvky nazýváme statistickými jednotkami. Zajímají nás vlastnosti statistických jednotek, které vyjadřují statistické znaky. Alternativním termínem pro pojem statistický znak je statistická proměnná.

5 Příklady statistických jednotek a znaků Statistická jednotka Student Podnik Statistický znak absolvovaná střední škola (např. gymnázium, obchodní akademie, střední průmyslová škola apod.) věk, známka z určitého předmětu, vážený studijní průměr příslušná sekce, oddíl, skupina nebo třída klasifikace ekonomických činností CZ-NACE (např. sekce Těžba a dobývání, oddíl Těžba a úprava černého a hnědého uhlí, skupina Těžba a úprava černého uhlí, třídy Těžba černého uhlí, Úprava černého uhlí) počet zaměstnanců, tržby, hospodářský výsledek apod.

6 Třídění statistických znaků Statistické znaky kvalitativní kvantitativní alternativní množné měřitelné pořadové spojité nespojité

7 Kvalitativní znaky Varianty kvalitativních statistických znaků jsou vyjádřeny slovně (např. nejvyšší dosažené vzdělání pracovníka, místo narození). Kvalitativní znaky lze třídit na: alternativní nabývají pouze dvou variant množné nabývají více než dvou variant

8 Kvantitativní znaky Varianty kvantitativních statistických znaků jsou vyjádřeny číselně (počet pracovníků podniku, výše mzdy pracovníka. Kvantitativní znaky lze třídit na: měřitelné hodnoty znaku lze porovnávat rozdílem nebo podílem (měsíční mzda zaměstnance, objem produkce podniku) pořadové vyjadřují pořadí statistických jednotek

9 Kvantitativní znaky měřitelné Měřitelné kvantitativní znaky se dále třídí na: nespojité - nabývají některých číselných hodnot, jsou to nejčastěji přirozená nebo celá nezáporná čísla (počet zaměstnanců) spojité - nabývají libovolné hodnoty z určitého intervalu (spotřeba elektřiny)

10 Statistický soubor Množina všech statistických jednotek, u nichž zkoumáme statistické znaky, tvoří statistický soubor. Statistický soubor nazveme jednorozměrným, zkoumáme-li u každé statistické jednotky pouze jeden statistický znak. O dvourozměrném, resp. vícerozměrném statistickém souboru hovoříme tehdy, jestliže u každé statistické jednotky zjišťujeme dva, resp. více statistických znaků. Kromě popisu jednotlivých znaků nás zajímají i jejich vzájemné vztahy.

11 Základní a výběrový statistický soubor Základní soubor je tvořen všemi statistickými jednotkami, které jsou předmětem zkoumání. Obvykle je velmi rozsáhlý, může být konečný nebo nekonečný. Z úsporných důvodů (časových nebo ekonomických) se obvykle provádí výběrová šetření, kdy se pracuje s výběrovým souborem, který je vytvořen tak, že ze základního souboru se určitým způsobem vyberou pouze některé statistické jednotky. Z výsledků výběrového souboru se provádí úsudek o základním souboru.

12 Etapy statistického zkoumání Statistickou práci lze zpravidla rozdělit do několika etap: etapa statistického zjišťování (šetření) zjišťování potřebných dat etapa statistického zpracování zjištěných údajů (dat) tabelování, třídění, výpočet charakteristik, grafické znázornění etapa statistické analýzy rozbor dat pomocí vhodných metod, nejdůležitější fáze.

13 Statistické zjišťování - šetření Pomocí statistického šetření získáme statistické údaje, tj. číselné anebo slovní obměny statistických znaků. Při šetření se určuje zpravodajská jednotka, která poskytuje informace o statistické jednotce. Zpravodajská jednotka může nebo nemusí být totožná se zpravodajskou jednotkou. Např. průmyslové podniky (zpravodajské jednotky) sdělují informace o hrubé mzdě svých zaměstnanců (statistické jednotky) při šetření o průměrných mzdách v průmyslu.

14 Druhy zjištěných údajů Údaje zjištěné šetřením mohou být dvojího druhu: údaje zjištěné za určitý interval (objem produkce, údaje z výkazu zisku a ztráty), pro tento druh údajů je třeba stanovit rozhodnou dobu údaje zjištěné k určitému časovému okamžiku (počet pracovníků, údaje z rozvahy), pro tento druh údajů je třeba stanovit rozhodný okamžik

15 Doba a rozsah zjišťování Při statistickém zjišťování je třeba stanovit: dobu zjišťování - lhůtu, v níž musí být šetření provedeno rozsah zjišťování - vyčerpávající nebo výběrové šetření

16 Způsoby zjišťování statistických údajů Zjišťování statistický údajů lze provádět několika způsoby: přímé pozorování dotaz výkaznictví zvláštní statistická šetření

17 Přímé pozorování a dotaz Nejčastěji používanými metodami zjišťovaní statistických dat je přímé pozorování nebo dotaz: přímé pozorování přímo pozorujeme statistickou jednotku a hodnoty znaků získáme sčítáním, měřením, vážením apod. dotaz lze použít metodu expediční, kdy údaje zjišťují sčítací komisaři či tazatelé nebo metodu korespondenční, kdy zpravodajské jednotky samy sdělují požadované údaje na předem stanovených formulářích, např. dotaznících.

18 Výkaznictví Výkaznictví je základním zdrojem informací o stavu národního hospodářství. Výkaz - předem navržený a schválený formulář, který zpravodajská jednotka předkládá statistickým orgánům. V současné době roste význam elektronického výkaznictví.

19 Příklad výkazu Na následujících dvou snímcích je uveden Měsíční výkaz v průmyslu (Prům 1-12). Výkaz slouží pro statistická zjišťování prováděná Českým statistickým úřadem. Pomocí výkazu se získávají údaje o vývoji základních ukazatelů podle průmyslových odvětví. Zpravodajskou povinnost mají ekonomické subjekty s převažující průmyslovou činností podle CZ-NACE 05 až 39.

20

21

22 Zvláštní statistická šetření Zvláštní statistická šetření se provádějí v případě, kdy některé zjišťované jevy nejsou běžně evidovány nebo je třeba občas zjistit stav přímým měřením, sčítáním nebo zhodnocením. Jedná se o: soupisy (cenzy) znalecké odhady ankety

23 Soupis (cenzus) Při soupisu je sepisován zjištěný stav na místě samotném. Jedná se např. o soupis: zásob hotových výrobků hospodářského zvířectva

24 Znalecký odhad Znalecký odhad je prováděn osobou (znalcem), kterou k tomu pověří statistický orgán. Znalec subjektivně ohodnotí určitý jev. Vliv subjektivity lze zmírnit tím, že odhadem je pověřena osoba, která nemá zájem na zkreslení výsledků nebo se stanoví kritéria, podle nichž se odhad bude provádět.

25 Etapa statistické zpracování zjištěných údajů Výsledkem statistického šetření je velké množství údajů, které je třeba zpřehlednit, utřídit a shrnout tak, aby vynikly charakteristické rysy a zákonitosti. Součástí statistického zpracování je obvykle: kontrola statistických dat tabelování číselných výsledků třídění výpočet různých statistických charakteristik grafické znázornění výsledných údajů apod.

26 Kontrola statistických dat Zpracování statistických dat by mělo vždy začínat kontrolou došlého materiálu. Jedná se o kontrolu formální a logickou. Formální kontrola spočívá v prověření správnosti aritmetických operací (součtů, součinů, podílů apod.) Logická kontrola je náročnější a vyžaduje věcnou znalost jevů, které byly zjišťovány. Je nutno posoudit, zda se vykázané údaje pohybují v logicky možných mezích.

27 Třídění Třídění rozdělení jednotek souboru do takových skupin, aby co nejlépe vynikly charakteristické vlastnosti zkoumaných jevů. Rozlišujeme: jednostupňové třídění provádíme podle obměn jednoho statistického znaku vícestupňové třídění provádíme podle více statistických znaků najednou

28 Rozdělení četností Provádíme jednostupňové třídění, kdy u každé statistické jednotky sledujeme pouze jeden kvantitativní znak. Údaje o sledovaném znaku uspořádáme do rostoucí posloupnosti, ke každé variantě znaku přiřadíme počty příslušných statistických jednotek tzv. absolutní četnosti. Vznikne tabulka rozdělení četností. Rozdělení četností lze provést pro nespojité znaky, které nabývají jen několika různých variant.

29 Značení n k rozsah souboru, počet navzájem různých variant znaku, x i n i varianty znaku pro i = 1,, k, absolutní četnosti pro i = 1,, k, p i= n i n relativní četnosti pro i = 1,, k..

30 Tabulka rozdělení četností varianta znaku x i absolutní četnost n i relativní četnost p i kumulativní absolutní četnost kumulativní relativní četnost x 1 n 1 p 1 n 1 p 1 x 2 n 2 p 2 n 1 + n 2 p 1 + p 2 k k x k n k p k n i p i i=1 i=1 k k celkem n i = n p i = i=1 i=1

31 Rozdělení četností známky 40 studentů z matematiky varianta znaku absolutní četnost relativní četnost kumulativní absolutní četnost kumulativní relativní četnost , , , , , ,00 celkem 40 1,

32 Intervalové rozdělení četností Intervalové rozdělení četností lze provést pro nespojité znaky nabývající mnoha různých variant nebo pro spojité znaky. Variační rozpětí rozdělíme na určitý počet intervalů a pak zjistíme počty hodnot patřících do těchto intervalů. Variační rozpětí: R = x max x min, kde x max je největší hodnota znaku, x min je nejmenší hodnota znaku.

33 Intervalové rozdělení četností Při konstrukci intervalového rozdělení četností je nutné vyřešit dva problémy: určení počtu intervalů určení hranic intervalů Počet intervalů by měl být zvolen tak, aby bylo potlačeno náhodné kolísání četností a zůstaly zachovány charakteristické rysy rozdělení. Počet intervalů k lze odhadnout pomocí Sturgesova pravidla: k 1 + 3,3 log n, kde n je rozsah souboru.

34 Intervalové rozdělení četností - určení hranic intervalů Hranice intervalů je třeba určit tak, aby mohly být hodnoty jednotlivých znaků zařazeny do příslušných intervalů jednoznačně. V případě, že varianta znaku odpovídá hranici intervalu, doporučuje se: přiřadit tuto hodnotu do intervalu se sudým pořadovým číslem nebo absolutní četnost obou intervalů zvýšit o polovinu

35 Intervalové rozdělení četností měsíční příjem domácnosti Intervaly [Kč] na 1 osobu Abs. četnost Relat. četnost Kumul. absol. četnost Kumul. relat. četnost do , , , , , ,80 nad , ,00 celkem 100 1,

36 Statistické grafy Grafické zobrazení statistických údajů poskytuje názornou představu o tendencích a charakteristických rysech zkoumaných jevů. Nejčastěji se používají následující typy grafů: spojnicové sloupcové bodové výsečové krabičkové

37 Spojnicové grafy - polygon Polygon se užívá pro zobrazení rozdělení četností. Postup konstrukce polygonu: na vodorovnou osu vynášíme jednotlivé varianty znaku na svislou osu vynášíme příslušné absolutní četnosti spojíme úsečkami body o souřadnicích x i, n i

38 Polygon rozdělení četností x1 x2 x3 x4

39 Polygon Ke konstrukci polygonu lze použít i relativní četnosti, kumulativní absolutní nebo kumulativní relativní četnosti (vzniká tzv. součtová křivka, ogiva). U polygonu je důležitá poloha vrcholu modus, tedy hodnota znaku s největší četností. Podle tvaru polygonu lze rozlišit: jednovrcholová (unimodální) rozdělení vícevrcholová (multimodální) rozdělení

40 Jednovrcholová rozdělení Existují dva druhy jednovrcholového rozdělení: modus leží mezi minimální a maximální variantou znaku nejčastější typ největší četnost má minimální nebo maximální varianta znaku rozdělení J (má tvar písmenka J)

41 Příklad rozdělení J x1 x2 x3 x4 x5 1 modus v maximální variantě znaku modus v minimální variantě znaku

42 Vícevrcholová rozdělení Chápeme-li modus obecněji jako variantu znaku s největší četností vzhledem k nejbližšímu okolí, pak modem je každá varianta znaku, jejíž četnost je větší než četnost sousedních dvou variant. Vícevrcholové rozdělení má tedy více než jeden modus. Nejčastěji se vyskytuje rozdělení se dvěma mody bimodální.

43 Příklad bimodálního rozdělení x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

44 Rozdělení U Rozdělení U je zvláštním případem bimodálního rozdělení. Má vrcholy ve dvou krajních variantách znaku. Je důležitá varianta znaku s nejnižší četností antimodus. Větší počet vrcholů svědčí o nestejnorodosti souboru, který lze roztřídit na několik jednovrcholových rozdělení.

45 Příklad rozdělení U antimodus x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

46 Spojnicové grafy - histogram Histogram se užívá pro zobrazení intervalového rozdělení četností. Postup konstrukce histogramu: na vodorovnou osu vynášíme jednotlivé intervaly základny sloupců na svislou osu vynášíme absolutní četnosti výšky sloupců

47 absolutní četnosti Histogram x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 intervaly

48 Bodové grafy Bodové grafy slouží k znázornění závislostí mezi dvěma kvantitativními znaky resp. ke znázornění průběhu časové řady. Postup konstrukce bodového grafu: na vodorovnou osu znázorníme varianty znaku x i (nezávisle proměnné) resp. hodnotu časové proměnné t i na svislou osu znázorníme varianty znaku y i (závisle proměnné) resp. hodnotu ukazatele y t časové řady konstruujeme body o souřadnicích x i, y i, resp. t i, y t

49 Výsečové grafy Výsečové grafy slouží k vyjádření struktury variant statistického znaku. Relativní četnost p i jednotlivých variant znaku x i je vyjádřena výsečí kruhu.

50 Příklad výsečového grafu 13% 7% 33% x1 x2 x3 x4 47%

51 Krabičkový graf Krabičkový graf slouží k zobrazení extrémních hodnot souboru (minimální hodnoty x min a maximální hodnoty x max ) a kvartilů (dolního kvartilu x 25, mediánu x a horního kvantilu x 75 ). Často se vizuálně analyzuje více krabičkových grafů současně a porovnává se tak: jeden statistický znak u různých souborů nebo více statistických znaků u téhož souboru

52 Příklad krabičkového grafu x min x 25 x x 75 x max

53 Kvantil Kvantil je hodnota, která rozděluje statistický soubor na dvě části: jedna část obsahuje hodnoty, které jsou menší nebo rovny než tento kvantil druhá část obsahuje hodnoty, které jsou větší nebo rovny než tento kvantil Při hledání kvantilu je třeba soubor uspořádat podle velikosti.

54 Kvantil - upřesnění Kvantil je hodnota v souboru určená tak, že: hodnoty, které jsou menší nebo stejné tvoří určitou stanovenou část rozsahu souboru (např. 1%,15%, 50%, 90%) hodnoty, které jsou větší nebo stejné tvoří zbývající část rozsahu souboru (např. 99%,85%, 50%, 10%)

55 Kvantil - definice Kvantil proměnné x, který odděluje p % malých hodnot proměnné x od (1 p)% velkých hodnot proměnné x, označujeme x p a a nazýváme p% kvantilem proměnné x.

56 Medián medián je 50 % kvantil medián dělí soubor na dvě stejné části medián označujeme x má-li soubor lichý rozsah, je mediánem hodnota konkrétní prostřední statistické jednotky má-li soubor sudý rozsah, je mediánem průměr ze 2 prostředních statistických jednotek

57 Kvantilové soustavy kvartily hodnoty, které dělí uspořádaný statistický soubor na čtyři části, přičemž každá obsahuje 25% jednotek decily - hodnoty, které dělí uspořádaný statistický soubor na deset částí, přičemž každá obsahuje 10% jednotek percentily - hodnoty, které dělí uspořádaný statistický soubor na sto částí, přičemž každá obsahuje 1% jednotek

58 Kvartily dolní kvartil x 25, odděluje čtvrtinu nejnižších jednotek prostřední kvartil = medián x rozděluje soubor na dvě stejné části horní kvartil x 75, odděluje tři čtvrtiny nejnižších jednotek

59 Decily Decily dělí statistický soubor na deset částí a je jich devět. Značení x 10, x 20,, x 90 : x 10 odděluje 10% nejnižších hodnot souboru od zbývajících 90% hodnot souboru x 20 odděluje 20% nejnižších hodnot souboru od zbývajících 80% hodnot souboru x 90 odděluje 90% nejnižších hodnot souboru od zbývajících 10% hodnot souboru

60 Percentily Percentily dělí statistický soubor na sto částí a je jich devadesát devět. Značení x 1, x 2,, x 99 : x 1 odděluje 1% nejnižších hodnot souboru od zbývajících 99% hodnot souboru x 2 odděluje 2% nejnižších hodnot souboru od zbývajících 98% hodnot souboru x 99 odděluje 99% nejnižších hodnot souboru od zbývajícího 1% hodnot souboru

61 Výpočet kvantilů z intervalového x p = z p n 1 n 2 h p + a p, kde rozdělení četností z p = n p + 0,5 je pořadové číslo jednotky, jejíž 100 hodnota je hledaným kvantilem, n je rozsah souboru, n 1 je kumulativní četnost prvků ležících před kvantilovým intervalem (intervalem, v němž leží hledaný kvantil, n 2 je četnost kvantilového intervalu, h p je délka kvantilového intervalu, a p je dolní mez kvantilového intervalu.

62 Výpočet mediánu z intervalového rozdělení četností Z údajů uvedených v následující tabulce vypočtěte medián. Čistý peněžní příjem na osobu Počet domácností Kumulativní četnosti méně než až až až více než Celkem

63 n = 100 p = 50 z p = n p ,5 = ,5 = 50, kvantilový interval: až n 1 =26 n 2 =35 h p =2000 a p =8001 x p = z p n 1 n 2 h p + a p = 50, =

64 Charakteristiky statistického souboru Klíčové pojmy: Míry úrovně statistického souboru, aritmetický, harmonický a geometrický průměr, medián, modus, absolutní a relativní míry variability, variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka, kvantilové odchylky, variační koeficient

65 Charakteristiky statistického souboru Charakteristiky shrnují informaci obsaženou ve zjištěných údajích o statistickém znaku a vyjadřují ji v koncentrované formě. Rozlišujeme: charakteristiky úrovně (polohy) charakteristiky variability šikmost (asymetrie) špičatost (exces)

66 Charakteristiky úrovně (polohy) úroveň se měří pomocí různých středních hodnot střední hodnoty počítané ze všech jednotek statistického souboru průměry (aritmetický, harmonický, geometrický) střední hodnoty počítané pouze z některých jednotek statistického souboru modus, medián

67 Aritmetický průměr Aritmetický průměr je základní mírou úrovně statistického znaku, počítá se vždy. Vyskytují-li se v souboru extrémní hodnoty nebo je rozdělení zešikmené, je vhodné aritmetický průměr doplnit mediánem a modem. x = kde n i=1 n x i, n je rozsah souboru, x i jsou hodnoty statistického znaku pro i = 1, n.

68 Vážený aritmetický průměr Jsou-li hodnoty statistického znaku uspořádány do tabulky rozdělení četností, počítáme aritmetický průměr podle vztahu: x = kde k i=1 k i=1 n i x i n i n je rozsah souboru,, n i jsou četnosti variant znaku x i pro i = 1, k. Četnosti n i udávají váhu (důležitost) varianty znaku x i.

69 Příklad vážený aritmetický průměr Vypočítejte průměrnou známku z matematiky pro soubor 40 studentů, jsou-li známky jednotlivých studentů uspořádány do následující tabulky rozdělení četností: Známka x i Počet studentů n i celkem 40

70 Řešení: Tabulku doplníme o další sloupec: Známka x i Počet studentů n i x i n i celkem x = k i=1 k i=1 n i x i n i = = 2,375

71 Výpočet váženého aritmetického průměru z intervalového rozdělení jsou-li všechny intervaly ohraničené, nahradíme je jejich středy jsou-li krajní intervaly otevřené, považujeme je buď za stejně široké jako bezprostředně následující (předcházející) nebo je ohraničíme minimální, resp. maximální hodnotou souboru, výpočet provádíme podle vztahu pro vážený aritmetický průměr, kde středy intervalů považujeme za varianty znaku.

72 Harmonický průměr Harmonický průměr je definován jako podíl rozsahu souboru a součtu převrácených hodnot znaku: x H = n 1, n i=1 x i kde n je rozsah souboru, x i jsou hodnoty statistického znaku pro i = 1, n. Použití harmonického průměru je v praxi omezené.

73 Geometrický průměr Geometrický průměr je definován jako n-tá odmocnina ze součinu hodnot znaku: kde x G = n je rozsah souboru, n x 1 x 2 x n, x i jsou hodnoty statistického znaku pro i = 1, n. Aplikace geometrického průměru je v praxi omezené, používá se např. při výpočtu průměrného tempa růstu časové řady.

74 Míry variability měří proměnlivost statistického znaku mají význam při posuzování vypovídací schopnosti aritmetického průměru čím je variabilita větší, tím je vypovídací schopnost aritmetického průměru nižší Rozlišujeme: absolutní míry variability relativní míry variability

75 Absolutní míry variability charakterizují variabilitu statistického souboru v absolutní velikosti měří variabilitu ve stejných jednotkách, v nichž je vyjádřen statistický znak Mezi absolutní míry variability patří: variační rozpětí rozptyl směrodatná odchylka kvantilové odchylky

76 Variační rozpětí Variační rozpětí je definováno jako rozdíl největší a nejmenší hodnoty statistického znaku: R = x max x min, kde x max je největší hodnota znaku, x min je nejmenší hodnota znaku. Výhoda: snadný výpočet a jednoduchá interpretace. Nevýhoda: může být zkresleno extrémními hodnotami, nevypovídá nic o variabilitě hodnot uvnitř souboru.

77 Rozptyl Rozptyl je definován je definován jako průměr čtverců (druhých mocnin) odchylek jednotlivých hodnot znaku od jejich aritmetického průměru: kde s x 2 = n je rozsah souboru, n i=1 x i x 2 x i jsou hodnoty statistického znaku pro i = 1, n, x je aritmetický průměr. n

78 Výpočtový tvar rozptylu s x 2 = x i x 2 n = x i 2 2x x i + nx 2 n = x i 2 2x x i + x x i n = x i 2 x x i n = x 2 2 x = x i 2 n x i n 2

79 Rozptyl ve váženém tvaru Pro výpočet rozptylu z tabulky rozdělení četností používáme následující vztah: s x 2 = kde k i=1 x i x 2 n i k i=1 n i n je rozsah souboru, x je aritmetický průměr,, n i jsou četnosti variant znaku x i pro i = 1, k.

80 Příklad Vypočítejte rozptyl známek z matematiky pro soubor 40 studentů, jsou-li známky jednotlivých studentů uspořádány do následující tabulky rozdělení četností: Známka x i Počet studentů n i celkem 40

81 Řešení: x = 2,375 (viz předchozí příklad) s x 2 = k i=1 x i x 2 n i k i=1 n i = 1 2, , , = 1, , , = 1, , , = 9, , , = 19, = 0,

82 Výpočet rozptylu z dílčích rozptylů Předpokládejme, že statistický soubor o rozsahu n je rozdělen na k dílčích podsouborů, kde jsou známy dílčí rozptyly s ix 2, dílčí průměry x i a četnosti i-tého podsouboru n i. Schéma problému je uvedeno v následující tabulce:

83 Dílčí soubor č. Hodnoty znaku x ij Dílčí průměry x i Dílčí rozptyly s ix 2 Dílčí četnosti n i 1 x 11, x 12, x 1j,, x 1n1 x 1 s 1x 2 n 1 2 x 21, x 22, x 2j,, x 2n2 x 2 s 2x 2 n 2 i x i1, x i2, x ij,, x ini x i s ix 2 n i k x k1, x k2, x kj,, x knk x k s kx 2 n k Součet n

84 rozptyl celého souboru = rozptyl dílčích průměrů + průměr dílčích rozptylů s x 2 = s x 2 + s 2, kde s x 2 = s x 2 = k i=1 k i=1 n i j=1 k i=1 n i x ij x x i x 2 n i k i=1 n i 2 je celkový rozptyl, (měří meziskupinovou variabilitu), s 2 = k i=1 k i=1 n i s ix 2 n i je meziskupinový rozptyl je průměr dílčích rozptylů (měří vnitroskupinovou variabilitu).

85 Příklad Obchodní organizace odebírá určitý výrobek od dvou dodavatelů A a B. Cena výrobku v průběhu roku sezónně kolísá. Průměrná cena výrobku za celý rok od dodavatele A je 9 Kč, její směrodatná odchylka 2 Kč. Obchodní organizace nakoupila od dodavatele A 1000 kusů výrobku. Cena výrobku od dodavatele B je 10 Kč se směrodatnou odchylkou 1 Kč. Obchodní organizace nakoupila od dodavatele B 4000 kusů výrobku. Zjistěte, zda se na celkové variabilitě nákupní ceny více podílí sezónní kolísání cen výrobku u jednotlivých dodavatelů nebo jsou důležitější rozdíly mezi průměrnými cenami jednotlivých dodavatelů.

86 Řešení: x 1 = 9 x 2 = 10 s 2 1x = 2 2 = 4 s 2 2x = 1 2 = 1 n 1 = 1000 n 2 = x = 5000 = 9,8 s x 2 = s x 2 + s 2 s x 2 = 2 i=1 x i x 2 n i 2 i=1 n i = 9 9, , (meziskupinová variabilita) = = 0,16

87 s 2 = 2 i=1 2 i=1 n i s ix 2 n i = (vnitroskupinová variabilita) = 1,6 Závěr: Na celkové variabilitě se více podílí sezónní kolísání cen výrobku u jednotlivých dodavatelů.

88 Směrodatná odchylka Nevýhoda rozptylu: je vyjádřen ve čtvercích použité měrné jednotky obtížná interpretace. Proto je definována směrodatná odchylka: s x = s x 2 Výhoda: je vyjádřena ve stejných měrných jednotkách jako zkoumaný statistický znak. Interpretace směrodatné odchylky: většina hodnot souboru se nachází v intervalu x s x 2 ; x + s x 2.

89 Kvantilové odchylky Kvantilové odchylky počítáme jako aritmetický průměr kladných odchylek sousedních kvantilů. Kvartilová odchylka (kvartilové rozpětí) Q = x 75 x + x x 25 = x 75 x Decilová odchylka (decilové rozpětí) D = x 90 x 80 + x 80 x x 20 x 10 8 = x 90 x 10 8 Percentilová odchylka (percentilové rozpětí) P = x 99 x 98 + x 98 x x 2 x 1 98 = x 99 x 1 98

90 Relativní míry variability užívají se pro srovnání variability statistických znaků, které se liší úrovní znaků a jsou vyjádřeny v různých měrných jednotkách měří variabilitu v poměru k úrovni statistického znaku jsou to bezrozměrná čísla

91 Variační koeficient Variační koeficient je definován jako poměr směrodatné odchylky a aritmetického průměru: V x = s x, x kde s x je směrodatná odchylka, x je aritmetický průměr. Variační koeficient je bezrozměrné číslo. Jeho stonásobek udává variabilitu v %, variační koeficient vyšší než 50% svědčí o značné nestejnorodosti statistického souboru.

92 Zpracování dat z výběrových šetření

93 Odhady charakteristik základního souboru Klíčové pojmy: Bodový a intervalový odhad, spolehlivost odhadu, dvoustranný, pravostranný a levostranný interval spolehlivosti, bodový a intervalový odhad průměru základního souboru, bodový a intervalový odhad rozptylu základního souboru, bodový a intervalový odhad relativní četnosti určité varianty znaku v základním souboru,

94 Odhady charakteristik základního souboru k charakteristikám základního souboru existují ve výběrovém souboru příslušné protějšky - výběrové charakteristiky neboli statistiky, výběrové charakteristiky jsou náhodné veličiny, neznámou charakteristiku ZS odhadneme pouze jedním číslem (bodový odhad) nebo intervalem (intervalový odhad). intervalové odhady jsou více používané v praxi

95 Intervalové odhady Odhad charakteristiky základního souboru provádíme pomocí intervalu G d ; G h, který bude s danou pravděpodobností obsahovat skutečnou hodnotu odhadované charakteristiky G základního souboru. Tato pravděpodobnost se nazývá spolehlivost odhadu a značí se 1 α a interval nazveme α % intervalem spolehlivosti. Platí P G d < G < G h = 1 α

96 Interval spolehlivosti čím je spolehlivost odhadu vyšší, tím je daný odhad spolehlivější, ale tím větší (širší) je příslušný interval, a tedy odhad je méně přesný nejčastěji volíme α = 0,05 ( α = 0, 01 ) a konstruujeme 95% (99%) intervaly spolehlivosti konstruujeme jednostranné (pravostranné či levostranné) nebo dvoustranné intervaly spolehlivosti.

97 Dvoustranný interval spolehlivosti konstruujeme interval G d ; G h určujeme jej tak, aby platilo: P G d < G < G h = 1 α P G G d = P G G h = α 2

98 Pravostranný interval je dána pouze horní mez G h konstruujeme interval ; G h určujeme jej tak, aby platilo: P G < G h = 1 α P G G h =α

99 Levostranný interval je dána pouze dolní mez G d konstruujeme interval G h ; určujeme jej tak, aby platilo: P G > G d = 1 α P G G d =α

100 Statistické tabulky Pro konstrukci intervalů spolehlivosti a testování hypotéz jsou potřebné statistické tabulky: tabulka s hodnotami kvantilů normovaného normálního rozdělení u p tabulka s hodnotami kvantilů χ p 2 rozdělení χ 2 o ν stupních volnosti tabulka s hodnotami kvantilů t p rozdělení t o ν stupních volnosti

101 Kvantily normovaného normálního rozdělení u P P u P P u P P u P P u P 0,50 0,000 0,75 0,674 0,950 1,645 0,975 1,960 0,51 0,025 0,76 0,706 0,951 1,655 0,976 1,977 0,52 0,050 0,77 0,739 0,952 1,665 0,977 1,995 0,53 0,075 0,78 0,772 0,953 1,675 0,978 2,014 0,54 0,100 0,79 0,806 0,954 1,685 0,979 2,034 0,55 0,126 0,80 0,842 0,955 1,695 0,980 2,054 0,56 0,151 0,81 0,878 0,956 1,706 0,981 2,075 0,57 0,176 0,82 0,915 0,957 1,717 0,982 2,097 0,58 0,202 0,83 0,954 0,958 1,728 0,983 2,120 0,59 0,228 0,84 0,994 0,959 1,739 0,984 2,144 0,60 0,253 0,85 1,036 0,960 1,751 0,985 2,170 0,61 0,279 0,86 1,080 0,961 1,762 0,986 2,197 0,62 0,305 0,87 1,126 0,962 1,774 0,987 2,226 0,63 0,332 0,88 1,175 0,963 1,787 0,988 2,257 0,64 0,358 0,89 1,227 0,964 1,799 0,989 2,290 0,65 0,385 0,900 1,282 0,965 1,812 0,990 2,326 0,66 0,412 0,905 1,311 0,966 1,825 0,991 2,366 0,67 0,440 0,910 1,341 0,967 1,838 0,992 2,409 0,68 0,468 0,915 1,372 0,968 1,852 0,993 2,457 0,69 0,496 0,920 1,405 0,969 1,866 0,994 2,512 0,70 0,524 0,925 1,440 0,970 1,881 0,995 2,576 0,71 0,553 0,930 1,476 0,971 1,896 0,996 2,652 0,72 0,583 0,935 1,514 0,972 1,911 0,997 2,748 0,73 0,613 0,940 1,555 0,973 1,927 0,998 2,878 0,74 0,643 0,945 1,598 0,974 1,943 0,999 3,090 Pro P < 0,5 jsou hodnot dány vztahem u P = u 1 P

102 Hodnoty kvantilů normovaného normálního rozdělení Kvantily vyhledáváme v tabulce pro požadované α, hodnoty jsou tabelovány pro α 0, 5. Pro α < 0, 5 platí: u α = u 1 α Např. je-li α = 0,05, pak u 1 α = u 0,95 = 1,645 u α = u 0,05 = u 0,95 = 1,645 u α 1 = u 0,975 = 1, 96 uα 2 2 = u 0,975 = 1, 96

103 Hodnoty kvantilů normovaného Je-li α = 0,01, normálního rozdělení pak u 1 α = u 0,99 = 2,326 u α = u 0,01 = u 0,99 = 2,326 u α 1 = u 0,995 = 2,576 uα 2 2 = u 0,005 = 2,576

104 Kvantily χ P 2 rozdělení χ 2 o ν stupních volnosti 1. část ν P 0,0005 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 1 0, , , , , , , , , ,0100 0,0201 0,0506 0,103 0, ,0153 0,0243 0,0717 0,115 0,216 0,352 0, ,0639 0,0908 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 5 0,158 0,210 0,412 0,544 0,831 1,15 1,61 6 0,299 0,381 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 7 0,485 0,598 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 8 0,710 0,857 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 9 0,972 1,15 1,73 2,09 2,70 3,33 4, ,26 1,48 2,16 2,56 3,25 3,94 4, ,59 1,83 2,60 3,05 3,82 4,57 5, ,93 2,21 3,07 3,57 4,40 5,23 6, ,31 2,62 3,57 4,11 5,01 5,89 7, ,70 3,04 4,07 4,66 5,63 6,57 7, ,11 3,48 4,60 5,23 6,26 7,26 8, ,54 3,94 5,14 5,81 6,91 7,96 9, ,98 4,42 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 18 4,44 4,90 6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 19 4,91 5,41 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 20 5,40 5,92 7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 21 5,90 6,45 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 22 6,40 6,98 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 23 6,92 7,53 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 24 7,45 8,08 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 25 7,99 8,65 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 26 8,54 9,22 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 27 9,09 9,80 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 28 9,66 10,4 12,5 13,6 15,3 16,9 18, ,2 11,0 13,1 14,3 16,0 17,7 19, ,8 11,6 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6

105 Kvantily χ P 2 rozdělení χ 2 o ν stupních volnosti 2. část ν P 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0, ,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8 12,1 2 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8 15,2 3 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3 17,7 4 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5 20,0 5 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5 22,1 6 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5 24,1 7 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3 26,0 8 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1 27,9 9 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9 29, ,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6 31, ,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,3 33, ,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9 34, ,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5 36, ,1 23,7 27,1 29,1 31,3 36,1 38, ,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7 39, ,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3 41, ,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,8 42, ,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3 44, ,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,8 46, ,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3 47, ,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,8 49, ,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3 50, ,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,7 52, ,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2 53, ,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,6 54, ,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1 56, ,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,5 57, ,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9 59, ,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,3 60, ,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7 62,2

106 Hodnoty kvantilů χ 2 rozdělení Kvantily vyhledáváme v tabulce pro požadované α a příslušný počet stupňů volnosti ν. Hodnoty pro ν > 30 nejsou tabelovány, provádí se aproximace pomocí kvantilů normovaného normálního rozdělení: χ α 2 ν = 1 2 u α + 2ν 1 2 Např. χ 0, = 1 2 1, = 56,658 χ 0, = 9,59 χ 0, = 34,2

107 Kvantily t P rozdělení t o ν stupních volnosti ν P 0,90 0,95 0,975 0,99 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, ,886 2,920 4,303 6,965 9, ,638 2,353 3,182 4,541 5, ,533 2,132 2,776 3,747 4, ,476 2,015 2,571 3,365 4, ,440 1,943 2,447 3,143 3, ,415 1,895 2,365 2,998 3, ,397 1,860 2,306 2,896 3, ,383 1,833 2,262 2,821 3, ,372 1,812 2,228 2,764 3, ,363 1,796 2,201 2,718 3, ,356 1,782 2,179 2,681 3, ,350 1,771 2,160 2,650 3, ,345 1,716 2,145 2,624 2, ,341 1,753 2,131 2,602 2, ,337 1,746 2,120 2,583 2, ,333 1,740 2,110 2,567 2, ,330 1,734 2,101 2,552 2, ,328 1,729 2,093 2,539 2, ,325 1,725 2,086 2,528 2, ,323 1,721 2,080 2,518 2, ,321 1,717 2,074 2,508 2, ,319 1,714 2,069 2,500 2, ,318 1,711 2,064 2,492 2, ,316 1,708 2,060 2,485 2, ,315 1,706 2,056 2,479 2, ,314 1,703 2,052 2,473 2, ,313 1,701 2,048 2,467 2, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 Pro P < 0,5 jsou hodnoty dány vztahem t P = t 1 P

108 Hodnoty kvantilů t rozdělení Kvantily vyhledáváme v tabulce pro požadované α a příslušný počet stupňů volnosti ν, hodnoty jsou tabelovány pro ν 0, 5. Pro α < 0, 5 platí: t α ν = t 1 α ν Pro ν > 30 nejsou hodnoty kvantilů t α tabelovány, nahrazujeme je kvantily u α. t 0,95 20 = 1,725 t 0,05 20 = t 0,95 20 = 1,725

109 Bodový odhad průměru základního souboru Bodovým odhadem průměru základního souboru je výběrový průměr. Je-li n rozsah výběrového souboru a x i pro i = 1,, n hodnoty výběrového souboru, pak výběrový průměr vypočteme podle následujícího vztahu: x = n i=1 n x i,

110 Oboustranný interval spolehlivosti pro průměr základního souboru x u α 1 2 kde s x n ; x + u 1 α 2 s x n, x je výběrový průměr, je kvantil normovaného normálního u 1 α 2 rozdělení, s x = n i=1 n 1 x i x 2 je výběrová směrodatná odchylka, n je rozsah výběrového souboru.

111 Oboustranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu při výběru z x t 1 α 2 normálního rozdělení s x n ; x + t 1 α 2 s x n, kde x je výběrový průměr, n je rozsah výběrového souboru, t 1 α 2 volnosti, s x = je kvantil t rozdělení o n 1 stupních odchylka. n i=1 n 1 x i x 2 je výběrová směrodatná

112 Pravostranný interval spolehlivosti pro průměr základního souboru ; x + u 1 α s x n, kde x je výběrový průměr, u 1 α je kvantil normovaného normálního rozdělení, s x = n i=1 n 1 x i x 2 je výběrová směrodatná odchylka, n je rozsah výběrového souboru.

113 Levostranný interval spolehlivosti pro průměr základního souboru x u 1 α s x n ;, kde x je výběrový průměr, u 1 α je kvantil normovaného normálního rozdělení, s x = n i=1 n 1 x i x 2 je výběrová směrodatná odchylka, n je rozsah výběrového souboru.

114 Příklad Z velké zásilky součástek jsme náhodným výběrem vybrali 400 a zjistili jejich průměrnou délku 116 mm a směrodatnou odchylku 4,081 mm. a) Určete 95% dvoustranný interval spolehlivosti pro průměrnou délku přejímaných součástek v celé zásilce. b) Stanovte mez, kterou průměrná délka součástek nepřesáhne s 95% pravděpodobností. c) Určete 99% dvoustranný interval spolehlivosti pro průměrnou délku přejímaných součástek v celé zásilce.

115 Řešení a): základní soubor: celá zásilka, výběrový soubor má rozsah n = 400, výběrový průměr: x = 116, výběrová směrodatná odchylka: s x =4,081, pro 95% interval spolehlivosti je α = 0,05 a kvantil normovaného normálního rozdělení u 1 α 2 = u 0,975 =1,96. Výběrový soubor má dostatečně velký rozsah, proto pro odhad průměrné délky součástek v celé zásilce použijeme dvoustranný interval spolehlivosti: x u 1 α 2 s x n ; x + u 1 α 2 s x n

116 x u 1 α 2 = 116 1,96 4, s x n ; x + u 1 α 2 = 115,6; 116,4 s x n = ; ,96 4, = Se spolehlivostí 95% lze očekávat, že průměrná délka přejímaných součástek bude ležet v intervalu od 115,6 mm do 116,4 mm.

117 Řešení b): n = 400, x = 116, s x =4,081, α = 0,05, u 1 α = u 0,95 =1,645. Budeme konstruovat pravostranný 95% interval spolehlivosti: ; x + u 1 α s x n

118 s ; x + u x 1 α n = ; 116,336 = ; ,645 4, S pravděpodobností 95% nepřesáhne délka přejímaných součástek 116,336 mm. Řešení c): n = 400, x = 116, s x =4,081, α = 0,01, u 1 α 2 = u 0,995 =2,576.

119 Pro odhad průměrné délky přejímaných součástek použijeme dvoustranný interval spolehlivosti: x u 1 α 2 = 116 2,576 4, s x n ; x + u 1 α 2 = 115,47; 116,53 s x n = ; ,576 4, = Ve srovnání s 95% intervalem spolehlivosti je tento interval širší, což demonstruje už dříve zmíněnou skutečnost, že rostoucí spolehlivostí odhadu klesá přesnost odhadu.

120 Bodový odhad rozptylu základního souboru Bodovým odhadem rozptylu základního souboru je výběrový rozptyl. Je-li n rozsah výběrového souboru a x i pro i = 1,, n hodnoty výběrového souboru, x výběrový průměr, pak výběrový rozptyl vypočteme podle následujícího vztahu: s x 2 = n x i x 2 i=1 n 1

121 Oboustranný interval spolehlivosti pro rozptyl základního souboru n 1 s x 2 χ 2 1 α 2 ; n 1 s x 2 χ 2 α 2, kde n je rozsah výběrového souboru, s x 2 je výběrový rozptyl, χ 2 1 α 2, χ2 α 2 jsou kvantily χ 2 rozdělení o ν = n 1 stupních volnosti.

122 Pravostranný interval spolehlivosti pro rozptyl základního souboru ; n 1 s x 2 χ 2 α kde n je rozsah výběrového souboru, s x 2 je výběrový rozptyl, χ 2 α je kvantil χ2 rozdělení o ν = n 1 stupních volnosti.

123 Levostranný interval spolehlivosti pro rozptyl základního souboru n 1 s x 2 χ 2 1 α ;, kde n je rozsah výběrového souboru, s x 2 je výběrový rozptyl, χ 2 1 α je kvantil χ2 rozdělení o ν = n 1 stupních volnosti.

124 Příklad Při hodnocení přesnosti práce výrobního zařízení bylo provedeno 25 nezávislých měření délek vyrobených součástek a zjištěn rozptyl těchto délek 36. Zkonstruujte 95% interval spolehlivosti pro odhad rozptylů délek všech součástek vyrobených daným zařízením.

125 Řešení: základní soubor: všechny součástky vyrobené daným zařízením, výběrový soubor má rozsah n = 25, výběrový rozptyl : s 2 x =36, pro 95% interval spolehlivosti je α = 0,05 a kvantily χ 2 rozdělení o ν = n 1 = 24 stupních volnosti χ 2 1 α ν = χ2 2 0, =39,4, χ 2 α ν = χ 2 2 0, =12,4. Pro odhad rozptylu délek všech součástek vyrobených daným zařízením použijeme dvoustranný interval: n 1 s x 2 χ 2 1 α 2 ; n 1 s x 2 χ 2 α 2.

126 2 n 1 s x ; χ 2 1 α 2 = ,4 n 1 s x 2 χ 2 α 2 = ; ,4 = = 21,93; 69,68 Se spolehlivostí 95% se rozptyl délek všech součástek vyrobených daným zařízením pohybuje v intervalu od 21,93 do 69,68.

127 Bodový odhad relativní četnosti základního souboru Bodovým odhadem relativní četnosti určité varianty znaku v základního souboru je výběrová relativní četnost. Je-li n rozsah výběrového souboru a n i počet jednotek se sledovanou variantou znaku ve výběrovém souboru, pak výběrovou relativní četnost vypočteme podle následujícího vztahu: p = n i n

128 Oboustranný interval spolehlivosti pro relativní četnost základního souboru p u 1 α 2 p 1 p n ; p + u 1 α 2 p 1 p kde p je výběrová relativní četnost, je kvantil normovaného normálního u 1 α 2 rozdělení, n je rozsah výběrového souboru. n,

129 Pravostranný interval spolehlivosti pro relativní četnost základního souboru ; p + u 1 α p 1 p kde p je výběrová relativní četnost, u 1 α je kvantil normovaného normálního rozdělení, n je rozsah výběrového souboru. n,

130 Levostranný interval spolehlivosti pro relativní četnost základního souboru p u 1 α s x n ;, kde p je výběrová relativní četnost, u 1 α je kvantil normovaného normálního rozdělení, n je rozsah výběrového souboru.

131 Příklad Při kontrole záručních listů určitého druhu výrobku ve skladě bylo náhodně vybráno 320 výrobků a zjištěno, že 59 jich má prošlou záruční lhůtu. a) Stanovte 95% interval spolehlivosti pro odhad procenta výrobků s prošlou záruční lhůtou ve skladu daného podniku. b) Jaký je nejmenší podíl výrobků s prošlou záruční lhůtou, uvažujeme-li spolehlivost 95%.

132 Řešení a): základní soubor: všechny výrobky určitého druhu ve skladu, výběrový soubor má rozsah n = 320, počet výrobků s prošlou záruční lhůtou: n i =59, výběrová relativní četnost : p = 59 =0,184, 320 pro 95% interval spolehlivosti je α = 0,05 a kvantil normovaného normálního rozdělení u 1 α 2 = u 0,975 =1,96. Pro odhad procenta výrobků s prošlou záruční lhůtou ve skladu podniku použijeme dvoustranný interval spolehlivosti: p u 1 α 2 p 1 p n ; p + u 1 α 2 p 1 p n,

133 p u 1 α 2 p 1 p n ; p + u 1 α 2 p 1 p n = 0,184 1,96 = 0,142; 0,226 0, , ; 0, ,96 0, , Se spolehlivostí 95% se procento výrobků s prošlou záruční lhůtou ve skladu podniku pohybuje mezi 14,2% a 22,6%.

134 Řešení b): n = 320, n i =59, p = =0,184, pro 95% interval spolehlivosti je α = 0,05 a kvantil normovaného normálního rozdělení u 1 α = u 0,95 =1,645. Pro odhad nejmenšího podílu výrobků s prošlou záruční lhůtou ve skladu podniku použijeme levostranný interval spolehlivosti: p u 1 α s x n ;

135 p u 1 α s x n ; = 0,184 1,645 0, , ; = 0,1484 S 95% spolehlivostí lze očekávat, že podíl výrobků s prošlou záruční lhůtou nebude menší než 14,84%.

136 Testování statistických hypotéz

137 Testování statistických hypotéz Klíčové pojmy: Nulová a alternativní hypotéza, dvoustranná, pravostranná a levostranná hypotéza, chyby prvního a druhého druhu, hladina významnosti, testové kritérium, kritický obor, test hypotézy o průměru, test hypotézy o rozptylu, test hypotézy o relativní četnosti

138 Statistická hypotéza Statistickou hypotézou rozumíme určitý předpoklad o parametrech nebo tvaru rozdělení základního souboru. Na základě vyčerpávajícího šetření základního souboru bychom byli schopni rozhodnout o správnosti nebo nesprávnosti hypotézy. Většinou však máme k dispozici jen hodnoty výběrového souboru. Proces ověřování správnosti nebo nesprávnosti hypotézy pomocí výsledků získaných náhodným výběrem nazveme testováním hypotéz.

139 Nulová a alternativní hypotéza Předpoklad vyslovený o určité charakteristice základního souboru nazveme nulovou hypotézou a značíme ji H 0. Proti nulové hypotéze stavíme alternativní hypotézu, která popírá platnost nulové hypotézy, značíme H 1.

140 Formulace hypotéz Předpokládejme, že chceme testovat průměr základního souboru. Nulovou hypotézu definujeme následovně: H 0 : μ = μ 0 (průměr μ základního souboru se rovná konkrétní hodnotě μ 0 ). Proti nulové hypotéze vymezíme alternativní hypotézu H 1, která má jeden z následujících tvarů: H 0 : μ μ 0 dvoustranná hypotéza H 0 : μ > μ 0 pravostranná hypotéza H 0 : μ < μ 0 levostranná hypotéza

141 Chyby při testování Při testování vyvozujeme závěry z údajů získaných náhodným výběrem můžeme se dopustit chybného závěru: zamítneme-li nulovou hypotézu H 0 i když ve skutečnosti platí, dopustíme se chyby prvního druhu, pravděpodobnost této chyby označíme α, přijmeme-li hypotézu H 0, i když ve skutečnosti platí H 1, dopustíme se chyby druhého druhu, její pravděpodobnost označíme β a pravděpodobnost pravděpodobnost testu. 1 β se nazývá síla

142 Postup testování volba hladiny významnosti formulace hypotéz volba testového kritéria a výpočet jeho hodnoty sestrojení kritického oboru formulace výsledků testu

143 Volba hladiny významnosti Předem volíme pevnou pravděpodobnost chyby 1. druhu, tzv. hladinu významnosti, nejčastěji α = 0,05. Testovací potup je odvozen tak, aby při dané hladině významnosti zajišťoval minimální pravděpodobnost chyby druhého druhu, tedy maximální sílu testu.

144 Formulace hypotéz formulujeme dvojici hypotéz: nulovou hypotézu H 0 a alternativní hypotézu H 1 nulová hypotéza má nejčastěji tvar rovnice týkající se některého parametru rozdělení studovaného znaku to, co chceme testem prokázat, formulujeme jako alternativní hypotézu

145 Volba testového kritéria Popis standardního testu uvádí, jaké testové kritérium má být použito. Testové kritérium je statistika, tedy funkce náhodného výběru. Množinu hodnot, kterých může testové kritérium nabývat, nazveme výběrovým prostorem, výběrový prostor se skládá ze dvou podprostorů: podprostor obsahující hodnoty svědčící ve prospěch H 0 - tzv. obor přijetí podprostor obsahující hodnoty svědčící ve prospěch H 1 - tzv. kritický obor

146 Sestrojení kritického oboru Pro sestrojení kritického oboru potřebujeme znát rozdělení testového kritéria při platnosti hypotézy H 0. Kritickými hodnotami, které oddělují kritický obor, jsou kvantily rozdělení testového kritéria při platnosti H 0, které nalezneme ve statistických tabulkách.

147 Formulace výsledku testu leží-li hodnota testového kritéria v kritickém oboru, přijímáme hypotézu H 1, neseme 100α% riziko nesprávnosti tohoto výroku neleží-li hodnota testového kritéria v kritickém oboru, zamítáme hypotézu H 1

148 Test hypotézy o průměru Chceme ověřit předpoklad, že průměr základního souboru μ se rovná určité hodnotě μ 0. Formulujeme hypotézy: Nulová hypotéza: H 0 : μ = μ 0 Alternativní hypotéza: H 1 : μ μ 0 nebo H 1 : μ > μ 0 nebo H 1 : μ < μ 0

149 Testové kritérium výběr dostatečně velkého rozsahu Pro výběry dostatečně velkého rozsahu má testové kritérium tvar: U = x μ 0, sx n kde x je výběrový průměr, μ 0 je předpokládaná hodnota průměru, s x je výběrová směrodatná odchylka, n je rozsah výběrového souboru. Testové kritérium U má při platnosti H 0 normované normální rozdělení.

150 Kritické obory Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ μ 0, pak kritickým oborem je interval: ; uα 2 u 1 α 2 ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ > μ 0, pak kritickým oborem je interval: u 1 α ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ < μ 0, pak kritickým oborem je interval: ; u α

151 Testové kritérium výběr malého rozsahu Pro výběry malého rozsahu, kdy základní soubor má alespoň přibližně normální rozdělení, má testové kritérium tvar: t = x μ 0, sx n kde x je výběrový průměr, s x je výběrová směrodatná odchylka, n je rozsah výběrového souboru. Testové kritérium t má při platnosti H 0 t rozdělení o ν = n 1 stupních volnosti.

152 Kritické obory Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ μ 0, pak kritickým oborem je interval: ; tα 2 t 1 α 2 ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ > μ 0, pak kritickým oborem je interval: t 1 α ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : μ < μ 0, pak kritickým oborem je interval: ; t α

153 Příklad Výrobce garantuje, že jím vyrobené žárovky mají životnost 1000 hodin. Aby útvar kontroly zjistil, že tomuto konstatování odpovídá i v daném období vyrobená a expedovaná část produkce, vybral z připravené dodávky náhodně 50 žárovek a došel k závěru, že průměrná doba životnosti je 950 hodin a směrodatná odchylka doby životnosti pak 100 hodin. Je možné zjištěný rozdíl doby životnosti ve výběru připsat náhodě nebo je známkou nekvality produkce?

154 Řešení: základní soubor tvoří všechny vyrobené žárovky, výběrový soubor má rozsah n = 50, výběrový průměr: x = 950, výběrová směrodatná odchylka: s x =100, volíme hladinu významnosti α = 0,05. Formulace hypotéz: H 0 : μ = 1000 H 1 : μ < 1000 Testové kritérium (výběr má dostatečně velký rozsah): U = x μ 0, sx n

155 U = x μ 0 sx n = =-3,55 Kritický obor: ; u α = ; u 0,05 = ; 1,645 Hodnota testového kritéria se nachází v kritickém oboru, přijímáme tedy hypotézu H 1. Závěr: Na hladině významnosti 5 % jsme prokázali, že zjištěný rozdíl doby životnosti je známkou nekvality produkce.

156 Test hypotézy o rozptylu Chceme ověřit předpoklad, že rozptyl základního souboru σ 2 se rovná určité hodnotě σ 0 2. Formulujeme hypotézy: Nulová hypotéza: Alternativní hypotéza: H 0 : σ 2 = σ 0 2 H 1 : σ 2 σ 0 2 nebo H 1 : σ 2 > σ 0 2 nebo H 1 : σ 2 =< σ 0 2

157 Testové kritérium χ 2 = n 1 s x 2, σ 2 0 kde n je rozsah výběrového souboru, s 2 x je výběrový rozptyl, 2 σ 0 je předpokládaná hodnota rozptylu. Testové kritérium χ 2 má při platnosti H 0 χ 2 rozdělení o ν = n 1 stupních volnosti.

158 Kritické obory Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : σ 2 = σ 0 2, pak kritickým oborem je interval: ; χα 2 2 χ 1 α 2 2 ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : σ 2 > σ 0 2, pak kritickým oborem je interval: χ 1 α 2 ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : σ 2 < σ 0 2, pak kritickým oborem je interval: ; χ α 2

159 Příklad Automat vyrábí pístové kroužky o daném průměru. Výrobce udává že směrodatná odchylka průměru kroužků je 0,05 mm. K ověření této informace bylo náhodně vybráno 80 kroužků a vypočtena směrodatná odchylka jejich průměrů 0,04 mm. Lze tento rozdíl považovat za významný ve smyslu zlepšení kvality produkce? Volte hladinu významnosti 5%.

160 Řešení: základní soubor tvoří všechny vyrobené pístové kroužky, výběrový soubor má rozsah n = 80, výběrová směrodatná odchylka: s x =0,04, volíme hladinu významnosti α = 0,05. Formulace hypotéz: H 0 : σ 2 = 0,0025 H 1 : σ 2 < 0,0025 Testové kritérium: χ 2 = n 1 s x 2 σ 0 2,

161 χ 2 = n 1 s x 2 σ 0 2 = 79 0,0016 0,0025 =50,56 Kritický obor: ; χ 2 α n 1 = ; χ 2 0,05 79 Pro ν > 30 použijeme pro odhad kvantilu χ 2 0,05 79 aproximaci χ 2 α ν = 1 2 u α + 2ν 1 2 χ 0, = 1 2 u 0, χ 0, = 59,24 ; 59,24

162 Hodnota testového kritéria se nachází v kritickém oboru, přijímáme tedy na hladině významnosti α = 0,05 hypotézu H 1. Závěr: Na hladině významnosti 5 % jsme prokázali, že došlo ke zlepšení kvality produkce.

163 Test hypotézy o relativní četnosti Chceme ověřit předpoklad, že relativní četnost π určité varianty znaku v základním souboru se rovná určité hodnotě π 0. Formulujeme hypotézy: Nulová hypotéza: H 0 : π = π 0 Alternativní hypotéza: H 1 : π π 0 nebo H 1 : π > π 0 nebo H 1 : π < π 0

164 Testové kritérium Pro výběry dostatečně velkého rozsahu má testové kritérium tvar: U = p π 0 π0 1 π0 n kde, p je výběrová relativní četnost, π 0 je předpokládaná hodnota relativní četnosti základního souboru, n je rozsah výběrového souboru. Testové kritérium U má při platnosti H 0 normované normální rozdělení.

165 Kritické obory Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : π π 0, pak kritickým oborem je interval: ; uα 2 u 1 α 2 ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : π > π 0, pak kritickým oborem je interval: u 1 α ; Má-li alternativní hypotéza tvar H 0 : π < π 0, pak kritickým oborem je interval: ; u α

166 Příklad Zjistěte, zda se při zavádění nové technologie výroby nezvýšil podíl zmetků. Při dosavadním způsobu výroby byl tento podíl 8%. Pro testování bylo náhodně vybráno 200 výrobků, mezi nimi bylo zjištěno 23 zmetků. Volte hladinu významnosti 5%.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT 7. cvičení Teorie pravděpodobnosti x Statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje zákonitosti týkající se náhodných jevů, používá se k modelování náhodností a neurčitostí, které

Více

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka 2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky 2.1. Statistická terminologie Statistická jednotka Statistická jednotka = nositel statistické informace, elementární prvek hromadného jevu. Příklady:

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce Seminarni prace Popisná statistika, data nesmí být časovou řadou Zkoumat můžeme třeba mzdy, obraty atd. (takže možná QA?) Formát pdf, poslat nejpozději den před zkouškou. Podrobnější informace jsou na

Více

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Co je to statistika? teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat Jak získat data?

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU RADEK KRPEC CZ.1.07/2.2.00/29.0006 OSTRAVA, ČERVEN 2013 Studijní opora je jedním z výstupu projektu ESF OP VK. Číslo Prioritní osy: 7.2 Oblast podpory: 7.2.2

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Fakulta dopravní PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA. Doc. RNDr. Jana Novovičová, CSc. verze 12. dubna 2006. Vydavatelství ČVUT

Fakulta dopravní PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA. Doc. RNDr. Jana Novovičová, CSc. verze 12. dubna 2006. Vydavatelství ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Doc. RNDr. Jana Novovičová, CSc. verze 12. dubna 2006 Vydavatelství ČVUT Lektor : Doc. Ing. Miloslav Vošvrda,

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Statistická prezentace je umění vytvořit dobrou tabulku nebo graf, které přitáhnou oko k tomu, co je zajímavé. Mgr. Ing.

Statistická prezentace je umění vytvořit dobrou tabulku nebo graf, které přitáhnou oko k tomu, co je zajímavé. Mgr. Ing. 1.2 Prezentace statistických dat Statistická prezentace je umění vytvořit dobrou tabulku nebo graf, které přitáhnou oko k tomu, co je zajímavé. Mgr. Ing. Jan Spousta Co se dozvíte Statistické ukazatele.

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Při statistickém zkoumání se snažíme udělat nějaký závěr ohledně vlastností celého statistického souboru

Při statistickém zkoumání se snažíme udělat nějaký závěr ohledně vlastností celého statistického souboru 0.1 Základy statistického zpracování dat 1 0.1 Základy statistického zpracování dat Statistika se zabývá shromažďováním, tříděním a popisem velkých souborů dat. Někdy se pod pojmem statistika myslí přímo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Základní analýza dat. Úvod

Základní analýza dat. Úvod Základní analýza dat literatura: Hendl, J. 2006: Přehled statistických metod zpracování dat. Analýza a metaanalýza dat. Praha: Portál. Macháček, J. 2001: Studie k velkomoravské keramice. Metody, analýzy

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických STŘEDNÍ HODNOTY VÝZNAM Rozdělení četností poskytuje užitečnou informaci a přehled o zkoumaném statistickém souboru. Porovnávat několik souborů pomocí tabulek rozděleni četností by však bylo.a. Proto se

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních.

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních. Protokol č. 7 Jednotné objemové křivky Zadání: Pro zadané dřeviny stanovte zásobu pomocí JOK tabulek. Součástí protokolu bude tabulka obsahující střední Weisseho tloušťku, Weisseho procento, číslo JOK,

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.

Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita. Analýza výsledků testu - slovníček aktuálních pojmů. Úlohy zařazované do testů jsou různého typu. V uzavřených úlohách a uzavřených podúlohách svazku žák vybírá odpověď z několika nabízených alternativ.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Sbírka příkladů k procvičení VMZDP, VMZDH, VMZDK

Sbírka příkladů k procvičení VMZDP, VMZDH, VMZDK Sbírka příkladů k procvičení VMZDP, VMZDH, VMZDK 1. Na základě údajů uvedených v tabulce rozhodněte, zda existuje závislost mezi roky a počtem firem ve Šluknovském výběžku, které zaměstnávaly osoby zdravotně

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Průzkumová analýza jednorozměrných dat (Teorie)

Průzkumová analýza jednorozměrných dat (Teorie) Míra nezaměstnanosti *%+ 211 Průzkumová analýza jednorozměrných dat (Teorie) Míra nezaměstnanosti *%+ (okres Opava, červen 21) Rozsah 77 Průměr 11,5 Minimum 5,5 Dolní kvartil 8,4 5 1 15 2 Medián 9,9 Horní

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

Základy statistiky pro obor Kadeřník

Základy statistiky pro obor Kadeřník Variace 1 Základy statistiky pro obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Aritmetický průměr

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více