je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

Transkript

1 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [ ; 6] o délku 1 1BN ose z njděte bod, který má stejnou vzdálenost od bodů A [ ;1; ] B [ ; ;1] 1 1BUrčete délku těžnic v trojúhelníku KLM, jsou-li dány body K [ ; ], L [ ; ], [ ; ] 1 1BV 1 M trojúhelníku ABC je délk strny AB rovn 1 vzdálenost bodu A od středu protilehlé strny je rovn 17, přičemž tento bod má souřdnice ; Bod B má souřdnice [ ; ] x-ová souřdnice bodu A je Určete zbývjící souřdnici bodu A, souřdnice bodu C, souřdnice zbývjících středů strn trojúhelník ABC délky zbývjících strn trojúhelník 1BUAnlytická geometrie - vektory (souřdnice, umístění, délk, lineární závislost nezávislost, odchylk) 1 1BZjistěte, zd vektor ( 1; ; 1) 1;1; B ; ; 16BUrčete velikost vektoru v AB v je roven vektoru AB, je-li dáno: A [ ] [ ], kde A [ 1; ; ] [ ; ; ] B 17BUrčete zbývjící souřdnici vektoru w ; wy ; tk, by vektor w byl jednotkový 18BZjistěte souřdnice součtu vektorů ( 1; ; ), b ( ; ; 1), c ( ; ; ) ( ;1; ) 19BJsou dány vektory ( ; ; ), b ( 1; ; 1), ( ; ; ) w d c Zjistěte souřdnice vektoru ) + b +,1 w,b c 1;1;1 v 1; ; w ( ;1; ) lineárně závislé či nezávislé ; ;1 v ;1;1 w ( 1;1;1 ) lineárně závislé či nezávislé u ; ; u ; ; 1 w 1; ; byly lineárně závislé +,b c, b) w ( ) c, c) ( ) 6 BZjistěte, zd vektory u ( ), ( ) 7 1BZjistěte, zd vektory u ( ), ( ) 8 BUrčete u R tk, by vektory ( ), v ( ), ( ) 9 BVypočtěte úhel vektorů u ( 1; ) v ( ;1) 1 BVrcholy trojúhelníku ABC jsou A [ ; ; 9], B [ 1; ; ] C [ 6; ; 6] trojúhelník ABC úhel při vrcholu C 11 BZjistěte, zd čtyřúhelník s vrcholy A [ ; ; 6], B [ 6; ; ], C [ ; ; ] [ ;1; ] Vypočtěte délky strn D je čtverec BUAnlytická geometrie - přímk v rovině (rovnice prmetrická, obecná, směrová, vzájemná poloh, odchylk) A 1; vektorem u ( ; ) s ní rovnoběžným 1 6BNpište prmetrické vyjádření přímky p dné bodem [ ] 7BNpište prmetrické vyjádření přímky procházející body A [ ; ] [ 7; ] 8BNpište prmetrické vyjádření přímky p, která prochází bodem [ ; 6] B [ ; 7] C [ ; 8] 9BRozhodněte, zd body [ ; ] ( ; ) u 1 M ; B A je rovnoběžná s přímku BC, kde N leží n přímce p dné bodem [ ; 7] BNpište rovnici přímky, která prochází bodem A [ ;1] je kolmá k vektoru ( 7; ) 6 1BNpište rovnici přímky, která prochází bodem A [ ; ] je rovnoběžná s osou y n A vektorem 7 BNpište obecnou rovnici přímky, jestliže přímk je dán prmetrickým vyjádřením x + t y 1 t; t R 8 BNpište obecnou rovnici přímky, je-li přímk dán body A [ ; 7] B [ ; ] 9 BNpište obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q : x y + prochází bodem [ ; 1] 1 BJsou dány body A [ ; 1] [ 6; 7] q byly vzájemně kolmé jejich průsečík P ležel n ose x A B Bodem A veďte přímku p bodem B přímku q tk, by přímky p, 11 6BUrčete souřdnice těžiště trojúhelník, který je dán body K [ ; ], L [ ; ] [ ; ] M 1 7BDo soustvy souřdnic zkreslete trojúhelník ODS, jehož strny OD, DS SO leží po řdě n přímkách x + y 1, x + y x + y + 6 Určete grficky i početně souřdnice jeho vrcholů

2 1 8BNpište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek x y 9 x + y 1 je rovnoběžná s přímkou x + y 1 9BNpište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek x + y + x y je kolmá k přímce x y 6 1 BNpište rovnice kolmic vedených k přímce x y 1 v jejím průsečíku s osou ) x, b) y 16 1BUrčete vzájemnou polohu dvou přímek p, q, které jsou dány: p: x y+ 19 p: 8x y+ 7 q: x y+ q: x + t, y 1, + t ; t p: x 1,t, y 1 1,t ; t q: x r, y 1 r ; r 17 BUrčete velikost vnitřních úhlů trojúhelník ABC, jehož strny leží n přímkách : x y + 1, b: y 1 c: x + y Určete souřdnice vrcholů tohoto trojúhelník 18 BSvětelný pprsek prochází bodem [ ; ] dopdá do bodu B [ ; ] A, odráží se od zrcdl, které leží n přímce x + y +1 Njděte rovnici přímky, n níž leží dopdjící održený pprsek 19 BSvětelný pprsek vychází z bodu K [ ; ], dopdá n osu x pod úhlem 6, odráží se od ní poté dopdá n osu y, od níž se tké odráží Určete rovnice přímek, n nichž leží všechny pprsky souřdnice bodů, v nichž se pprsek odráží od jednotlivých os BUrčete množinu bodů, které mjí od přímky 8x 6y+ vzdálenost rovnou 1 6BNpište rovnici přímky, která je ve vzdálenosti od bodu A [ ; ] je ) rovnoběžná, b) kolmá k přímce dné rovnicí x y+ 7BPřímk prochází bodem P [ ; ] má od bodu [ ; ] 8BNpište rovnici trjektorie pohybu bodu M [ x; y] větší než vzdálenost od přímky q: y x 9BV rovnici přímky p: x by 1 Q vzdálenost Npište její rovnici, jehož vzdálenost od přímky p: y x je třikrát + určete prmetr b tk, by: ) přímk procházel bodem [ ; ] přímk p byl rovnoběžná s osou y, c) směrový úhel přímky p měl velikost 6 π BNpište rovnice os úhlů, jejichž rmen leží n přímkách, které jsou dány rovnicemi: ) x y+ x y+ 1 b) 6x 8y+ 11 1x+ y+ 6 1BVypočtěte obsh trojúhelníku s vrcholy A [ ; ], B [ ; 1] [ ; ] C E, b) BUAnlytická geometrie - přímk v prostoru (prmetrické vyjádření, vzájemná poloh, odchylk) 1 BUrčete zbývjící souřdnice bodu L [ xl; ; zl ], který leží n přímce MN dné body M [ 1; 1; 1] N [ ; 9; ] BNpište prmetrické vyjádření strn trojúhelník OSN, kde O [ ; ; ], S [ ; ; ] N [ ; ; ] BUrčete vzájemnou polohu přímek p q Přímk p je dán body A [ ; ; ] B [ 1; ; ], přímk q je určen bodem C [ ; ; 1] vektorem v ( 1; ; 6), který je s přímkou q rovnoběžný BPřímk k prochází body E [ ; ; ] F [ ; 1; ] ; přímk l pk prochází body G [ 1; 6; ] H [ ; ; h ] h bodu H tk, by přímky k l byly: ) různoběžné, b) splývjící c) Určete souřdnici mimoběžné 6BZjistěte, zd mohou body A [ 1; ; ], B [ ; ; 1], C [ ; ; 1] D [ ; 1; ] tvořit vrcholy rovinného čtyřúhelníku 6 7BJe dán přímk p prmetrickým vyjádřením x m+ t, y t, z 6 t ; t přímk q s prmetrickým vyjádřením x + s, y 1 s, z + s; s Určete hodnotu reálného prmetru m tk, by přímky byly různoběžné poté určete jejich průsečík 7 8BUrčete vzájemnou polohu přímek p q, které jsou dány tkto: p: x 1+ t, y t, z 1+ t; t q: x + s, y + s, z s; s

3 BUAnlytická geometrie - rovin (prmetrické vyjádření, vzájemná poloh rovin, vzájemná poloh přímky roviny, vzdálenost bodu od přímky roviny) 1 9BRovin τ je určen body K [ 1; ; ], L [ ; ; ] M [ 1; ; ] Zjistěte, zd v této rovině leží body P [ 1; ; ], Q [ ; ; 6] R [ 11; ; 6] 6BRovin λ je dán body E [ 1; ; ], K [ ; ; ] [ ; 1; 7] [ ; ;1] tk, by ležel v rovině λ S x S G Určete zbývjící souřdnici bodu 61BRovin τ je dán bodem P [ 1; ; ] vektory ) u ( 1; ; 1) v ( ; ; ), b) u ( ; 6; ) v ( ; ; 1) Npište její obecnou rovnici 6BV rovině τ : x+ y z+ d leží bod A [ ; ; 1] Určete zbývjící souřdnici bodu B [ ; ; zb ] by v rovině τ ležel, zbývjící souřdnici bodu [ 1; ; ] tk, by v rovině τ neležel C y C 6BRovin ω je dán body A [ ; ; ], B [ ; ; 1] [ 1; ; ] 6 6BJsou dány body P [ ; 1; ] Q [ ; ; ] je kolmá k vektoru PQ tk, C Npište její obecnou rovnici Npište obecnou rovnici roviny τ, která prochází bodem Q 7 6BNpište obecnou rovnici roviny procházející bodem L [ ; 6; 1], který je ptou kolmice vedené počátkem soustvy souřdnic k této rovině 8 6BNpište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem [ 1; ; ] y 1+ t, z + t; t A je ) kolmá k přímce p: x t, 9 67BNpište obecnou rovnici roviny rovnoběžné s osou x procházející body M [ ; 1; ] N [ ; ; ] 1 68BNpište obecnou rovnici roviny procházející osou x bodem K [ ; ; ] 11 69BNpište obecnou rovnici roviny rovnoběžné s osou y protínjící osy x z v bodech A [ x A ;;] B [ ; ; zb ] 1 7BNpište rovnici roviny, která prochází bodem P [ ; 1; ] protíná kldné části os souřdnic ve stejných vzdálenostech od počátku 1 71BNjděte prvoúhlý průmět bodu [ ; 1; 1] Q do roviny x+ y+ z 1 7BZjistěte, jk dleko od počátku krtézského systému souřdnic leží rovin dná rovnicí 1x 1y 6z BVypočítejte souřdnice bodu, který je souměrný s počátkem soustvy souřdnic podle roviny σ : 6x+ y 9z BJsou dány body A [ 1; ; ], B [ ; 1; 1], C [ 1; 1; ] [ ; ; ] M Vypočítejte vzdálenost bodu M od roviny ABC njděte souřdnice bodu M v osové souměrnosti podle přímky AB 17 7Bodem [ ; ; 1] D veďte přímku kolmou k rovině τ : x y z BVypočítejte úhly, které svírá rovin σ : x y+ z 6 s osmi krtézského systému souřdnic 19 7BOsou z veďte rovinu τ, jejíž odchylk od roviny ρ : x+ y z je 6

4 [ 1 1, [ UŘEŠENÍ 1 BUAnlytická geometrie - bod 11 78Bnení prvoúhlý 1 79B ; ] B ; 9 1 B ; [ ] 11 X ; ; 6 1 8B 1 81B AC t k ; t l 1 ; t m A ;1], [ ; ] C, 7 S AC ;, 7 1 S AB ;, BC 1, 6BUAnlytická geometrie - vektory 1 v AB v 8 8Bnelze v ( 1; ; ) 8B) w (,; 1;1,) ; b) w (, ; 7,8;1,), c) w ( 18;1; ) 6 8Blineárně závislé 7 8Blineárně nezávislé 8 u 9 86Bvektory jsou kolmé 1 87B AB AC, BC, γ 11 8Bjedná se o čtverec 7BUAnlytická geometrie - přímk v rovině 1 89B 9B 91B 9B x t, y + t ; t x + t, y + t ; t x 7t, y 6 + t ; t M p, N p 7x+ y 16 6 x 7 x+ y x+ 8y 9 9 x+ y 16 96Brůznoběžné 19Bmimoběžné 1Bnemohou (přímky AC BD jsou mimoběžné 1 9Bp: x+ 7y, q: 7x y nebo p: x+ y+ 1, q: x+ y 1 11 T ; 1 O 8 1 9B ;, D 1 ;, 1 S ; 1 x+ y+ 1 1 x+ y+ 1 9B) P ; ; shodné; různoběžné P 7 ; x+ y 1, b) x+ y B A ; + 1, B ;, C ; 1 +, α, β 9, γ Bdopdjící: x y 7, održený: x y B x 1B 1 11B) 1B X + ;, Y ; 1, x y+ 1, x + y 1+, y+ 6 1 rovnoběžné přímky: 8x 6y+, 8x 6y x y+, x y, b) x+ y+, x+ y 1 x+ y 8 nebo x y+ 1 1Bpřímk x+ y nebo x+ y 8 1B) 1B) 6 16B b, b) b, c) b x+ y+ 7, x y+ 1, b) x+ 1y 1, 198x y čtverečních jednotek 8BUAnlytická geometrie - přímk v prostoru 1 17B 18BOS: x, z, L L x t, y + t, z t; t, ON: x r, y r, z ; r, SN: x + s, y s, z + s; s

5 1B) 1 h, b) nelze, c) h m 7 1Bmimoběžné 9BUAnlytická geometrie - rovin 1 1B P τ, Q τ, R τ x S 8 1B) 8x+ y z 1, b) vektory neurčují rovinu 1B x+ y z, x 9y+ 11z+ 6 6 x+ y+ z 7 x 6y+ z 6 8 x+ y+ z+ 9 y z+ 7 z B, yc 1 1 y+ z 11 zx+ xz xz B A A B 1 x+ y+ z 1 Q [ ; ; ] 1 16B1 1 O [ 1; ;18] 16 17B 17 18B 18 19B 19 1B ; M [ ; ; ] x + t, y t, z 1 t; t 1,81 ; 1,81 ; 19,7 x y nebo x+ y