x udává hodnotu směrnice tečny grafu

Transkript

1 Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je dána funkce f : y f ( ) První derivace funkce ) y ( ) funkce : y f ( ) f ( funkce f v bodě f v jejím bodě y f ( ) T. ; udává hodnou směrnice ečny grafu Tao ečna má pak v bodě rovnici: y y f ( ) ( ) : SHRNUTO!!! f : y f ( ) f ( ). směrnice ečny grafu funkce y f () v jejím bodě. T y f ( ).. doykový bod ečny a grafu funkce y f (). ; : y y k ( ) rovnice ečny grafu funkce y f () v bodě : y f ( ) f ( ) ( ).lze zapsa i ako. Poznámka: Pomocí první derivace lze aké napsa rovnici normály grafu funkce f : y f ( ) v jejím bodě, Plaí: k. směrnice normály grafu funkce y f () v jejím bodě, přičemž plaí, že n k k n. vzájemný vzah mezi směrnicí ečny a směrnicí normály v bodě. n : y y k ( ) n. rovnice normály grafu funkce y f () v bodě T y f ( ) a jsou na sebe kolmé. Tečna i normála procházejí ýmž bodem j. ;.

2 Řešené příklady: Příklad Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y v jejím bodě ;? Řešení: ) Dopočeme druhou souřadnici doykového bodu T, dosazením zadané -ové souřadnice do funkčního předpisu. y ( ) 9 y f T y ; ) Vypočeme první derivaci funkce (obecně; v omo případě použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou funkcí). ; 9 y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Vypočeme hodnou derivace funkce v bodě dosazením éo číselné hodnoy do obecného výsledku derivace funkce (viz ), čímž získáme hodnou směrnice ečny grafu funkce f v jejím bodě ( ) ( ) 9 6 y ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 ) Napíšeme rovnici ečny grafu funkce dosazením vypočených hodno do předpisu rovnice ečny. : y y k ( ) 9 5 : y ( ( )) 6 9 f : y v jejím bodě ; y ; T, rovnici upravíme a převedeme do obecného varu rovnice přímky 9 5 : y ( ) / 6 6 : 6y : 5 6y 9 rovnice ečny grafu dané funkce v daném bodě

3 Příklad Napiše rovnici ečny ke grafu funkce : y Řešení: f v bodě T ;. ) Vypočeme druhou souřadnici doykového bodu T, dosazením zadané -ové souřadnice do funkčního předpisu. y T 6 y f T y ;6 ) Vypočeme první derivaci funkce (obecně). y y T ; ) Vypočeme hodnou derivace funkce v bodě dosazením éo číselné hodnoy do obecného výsledku derivace funkce (viz ), čímž získáme hodnou směrnice ečny grafu funkce f v jejím bodě y ( ) 7 ) Napíšeme rovnici ečny grafu funkce : y dosazením vypočených hodno do předpisu rovnice ečny. : y y k ( ) f v jejím bodě y ;6 T, ; : y 6 7 ( ) rovnici upravíme a převedeme do obecného varu rovnice : y přímky : 7 y rovnice ečny grafu dané funkce v daném bodě Příklad Ve kerém bodě grafu funkce : y 5 Řešení: ) Předpokládáme, že oo splňuje bod T ( ) j. f ( ) k y f má ečna směrnici ; y 5 ) Výsledek první derivace položíme roven ( ) k. y ( ) k.. Tzn., že výsledkem derivace funkce je číslo. Proo vypočeme nejprve první derivaci funkce obecně

4 ) Získanou lineární rovnici vyřešíme. y ( ). -ová souřadnice doykového bodu T ; y ) Dopočíáme y -ovou souřadnici doykového bodu T ; y do funkčního předpisu dané funkce : y 5 f. y 5 5 5) Zapíšeme výsledek. T y ; ;, dosazením vypočené hodnoy Příklad Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y, kerá s osou svírá úhel. Řešení: ) Z učiva o lineárních funkcích, keré jsme probírali v. ročníku, víme, že směrnice přímky je rovna funkci angens směrového úhlu přímky j.. Z oho plyne, že pro směrnici ečny bude plai ýž vzah, edy g k g svírá s kladným směrem osy, j. zadaný úhel. k g g. Připomínáme, že směrovým úhlem rozumíme úhel, kerý přímka ) Na základě nově získaných znalosí víme, že směrnici ečny vypočeme aké pomocí první derivace funkce (obecně; pomocí vzorce pro derivaci podílu dvou funkcí). y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 ) Z kroku ) a ) vyplývá, že směrnice ečny vypočena v kroku se musí rovna směrnici ečny vypočené v kroku. ( ) ( ) ( ) odsraníme zlomek levou sranu umocníme podle vzorce (a + b) vypočené kořeny rovnice (-ové souřadnice doykových bodů ečen); ečny budou dvě ) Dopočíáme y-ové souřadnice doykových bodů jednolivých ečen dosazením vypočených -ových souřadnic z kroku do funkčního předpisu dané funkce f. y y y ; y ; T ; T doykové body ; : y dosazením získaných hodno do předpisu rovnice ečny. 5) Napíšeme rovnice obou ečen grafu funkce úhel T ; : y y k ( ) f, keré s osou svírají požadovaný : y ( ) rovnici upravíme a převedeme do obecného varu rovnice : y přímky : y rovnice první ečny grafu dané funkce T ; y y k ( ) : 5

6 : y ( ( )) rovnici upravíme a převedeme do obecného varu rovnice : y přímky : y rovnice druhé ečny grafu dané funkce Úlohy k procvičování ) Napiše rovnici ečny ke grafu funkce f v jejím bodě T ; y a) f ( ) ; T ;? b) f ( ) ; T ;? c) f ( ) ; T ;? 5 d) f ( ) 5 ; T ;? e) f ( ) ; T ;? f) f ( ) ; T ;? g) h) ( ) ( ) ( ) f ; T ;? f ; T ;? f ; T ;? i) Výsledky: a) 5 + y + = b) y = c) 7 y 5 = d) y + = ) Napiše rovnici ečny grafu funkce f y sin Výsledek: y + = ) Napiše rovnici ečny ke křivce Výsledek: y =, jesliže plaí: : v bodě T ; y. f : y v jejím bodě ; y ) K parabole f : y veďe ečnu, kerá s osou svírá úhel její rovnici a určee souřadnice doykového bodu. Výsledek: + y = o 5. Napiše 6

7 5) Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y v bodě ;? Výsledek: A[-/;-] 6) Napiše rovnice ečen ke křivce f : y 6, jsou-li ečny rovnoběžné s přímkou y. Výsledek: y 5 =, 5 7y + = 7) Ve kerých bodech má graf funkce ečny rovnoběžné s osou, je-li f : y. 5 Výsledek: A[;-/], B[-;/] 8) Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y v bodě ; y Výsledek: 9y = 9) Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y v bodě ;? Výsledek: + y + = ) Napiše rovnici ečny grafu funkce : y f v bodě ;? Výsledek: 9y + = ) Určee rovnice ečen ke křivce f : y v průsečících křivky s osou. Výsledek: 6 y + =, + y =, y = ) Ve kerém bodě má parabola f : y ečnu: o a) se směrovým úhlem 5, b) rovnoběžnou s přímkou 5 y? Výsledek: a) A[-/;-] b) B[/;] ) Je dána parabola f : y a) Určee rovnici ečny paraboly v bodě ;? T, 7

8 b) Ve kerém bodě má parabola ečnu rovnoběžnou s přímkou 5 y? Výsledek: a) y = b) B[/;] ) Napiše rovnici ečny grafu funkce f : y ln Výsledek: y + = v bodě ;? Použiá lieraura: Výukové maeriály a úlohy a cvičení jsou auorsky vyvořeny pro učební maeriál. M. Dosálová, D. Pešaová: Maemaika 7. čás - učební maeriály SPŠ Osrava Víkovice D. Hrubý, J. Kubá: Maemaika pro gymnázia - Diferenciální a inegrální poče, Promeheus 997 I. Dušek: Řešené mauriní úlohy z maemaiky, SPN 988 8