Využití metod operačního výzkumu při řízení distribuce v potravinářském podniku

Transkript

1 Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Využití metod operačního výzkumu při řízení distribuce v potravinářském podniku Diplomová práce Vedoucí práce: Doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Bc. Barbora Kadlčková Brno 2013

2 Na tomto místě bych chtěla poděkovat vedoucímu diplomové práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc. za odborné vedení, rady a připomínky, které mi poskytl.

3 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci na téma Využití metod operačního výzkumu při řízení distribuce v potravinářském podniku vypracovala samostatně s využitím pramenů, které uvádím v seznamu literatury. V Brně dne 24. května 2013

4 Abstract KADLČKOVÁ, B. Application of operations research in distribution management in food processing company. Diploma thesis. Brno: Mendel University in Brno, This diploma thesis deals with application of operation research methods, especially linear programming, in distribution management in food processing company. There is a solution of atypical travelling salesman problem, where the first section of the circuit is fixed. The aim of this thesis is to project optimal distribution routes using Mayer s method, Little s method and specialized optimization program STORM. The results are in the end compared with the original solution. Keywords Travelling salesman problem, Mayer s method, Little s method, STORM. Abstrakt KADLČKOVÁ, B. Využití metod operačního výzkumu při řízení distribuce v potravinářském podniku. Diplomová práce. Brno: Mendelova univerzita v Brně, Diplomová práce se zabývá využitím metod operačního výzkumu, zvláště pak lineárního programování, při řešení distribuce v potravinářském podniku. Je zde řešen atypický dopravní okružní problém, kdy první úsek okruhu je pevně stanoven. Náplní práce je navrhnout nové řešení distribučních tras s využitím Mayerovy metody, Littlovy metody a specializovaného optimalizačního programu STORM. Výsledky jsou v závěru porovnány s původním řešením. Klíčová slova Problém obchodního cestujícího, Mayerova metoda, Littlova metoda, STORM.

5 Obsah 5 Obsah 1 Úvod 10 2 Cíl a metodika práce 11 3 Literární rešerše Logistika Distribuční logistika a doprava Operační výzkum a využití modelů Lineární programování Distribuční úlohy Formulace dopravního problému Okružní dopravní problém Mayerova metoda Metoda nejbližšího souseda Habrova metoda absolutních výhodností Metoda větví a mezí Littlova metoda Řešení optimalizačních úloh pomocí počítače Program STORM Program LINGO Vlastní řešení problému Charakteristika získaných dat Původní distribuční trasy před optimalizací Návrh distribučních okruhů Návrh distribučních okružních linek Řešení pomocí Littlovy metody Řešení pomocí programu STORM Sestavení okružních linek Vyčíslení úspory nákladů... 60

6 Obsah 6 5 Diskuse 63 6 Závěr 66 7 Literatura 67 Přílohy 70

7 Seznam obrázků 7 Seznam obrázků Obr. 1 Schéma podnikové logistiky 14 Obr. 2 Tvorba matice vzdáleností v programu STORM 54 Obr. 3 Řešení okružního problému v programu STORM 55

8 Seznam tabulek 8 Seznam tabulek Tab. 1 Vývoj vnitrostátní silniční nákladní dopravy v letech 2003 až Tab. 2 Formulace ekonomického modelu dopravního problému 22 Tab. 3 Linka S1 35 Tab. 4 Linka S2 36 Tab. 5 Linka S3 36 Tab. 6 Linka S4 37 Tab. 7 Linka S5 37 Tab. 8 Linka P1 38 Tab. 9 Linka P2 38 Tab. 10 Linka P3 39 Tab. 11 Linka P4 39 Tab. 12 Linka P5 40 Tab. 13 Postup řešení Mayerovou metodou 42 Tab. 14 Návrh distribučních okruhů varianta DC Brno 43 Tab. 15 Návrh distribučních okruhů varianta Slavkov u Brna 44 Tab. 16 Návrh distribučních okruhů varianta Pohořelice 45 Tab. 17 První krok Littlovy metody 47 Tab. 18 Druhý krok Littlovy metody (1. část) 48 Tab. 19 Druhý krok Littlovy metody (2. část) 48 Tab. 20 Třetí krok Littlovy metody 50 Tab. 21 Čtvrtý krok Littlovy metody 51 Tab. 22 Pátý krok Littlovy metody 52

9 Seznam tabulek 9 Tab. 23 Optimalizace distribučních linek varianta DC Brno 56 Tab. 24 Optimalizace distribučních linek varianta Slavkov u Brna 57 Tab. 25 Optimalizace distribučních linek varianta Pohořelice 58 Tab. 26 Výsledný návrh distribučních linek 60 Tab. 27 Zoptimalizované distribuční linky bez místa bydliště řidičů 64 Tab. 28 Matice vzdáleností seřazení podle DC Brno 70 Tab. 29 Matice vzdáleností seřazení podle Slavkova u Brna 70 Tab. 30 Matice vzdáleností seřazení podle Pohořelic 70 Tab. 31 Časová náročnost navržených tras 70

10 Úvod 10 1 Úvod Distribuce zboží odběratelům a pravidelné zásobování se řadí mezi často nabízené služby, které podniky uskutečňují v souvislosti s prodejem. Hlavním cílem je dodat výrobky na správné místo ve správném čase, množství a kvalitě. V posledních letech je kladen čím dál větší důraz na spokojenost zákazníků. Podniky tuší, že úspěch na trhu nezávisí pouze na kvalitě nabízených produktů, ale ve velké míře také na sortimentu nabízených služeb a poskytovaném zákaznickém servisu. Dobré dodavatelsko-odběratelské vztahy jsou klíčem k vybudování lepší pozice na trhu a snášení tlaku ze strany konkurenčních firem. Poskytování přepravy zboží však znamená pro podnik jednu z nákladových položek, kterou není dobré zanedbávat. Zejména v současnosti, kdy vysoké ceny pohonných hmot a jejich nepředvídatelný vývoj znamenají zvýšení nákladů na distribuci. Podnikatelské subjekty by proto měly klást důraz na efektivní sestavení distribučních sítí a nezanedbávat jejich údržbu a aktualizaci. Význam dopravy také narůstá s rozmáhající se globalizací, kdy se přeprava již neuskutečňuje pouze v rámci malých regionálních oblastí, ale mezi státy a kontinenty. Při plánování distribuční sítě by se podniky neměly spokojit pouze s využíváním praktických zkušeností na základě vlastního uvážení, ale je vhodné využít možnosti rozličných metod a modelování za podpory moderní výpočetní techniky. Významnou podporou podnikatelských subjektů při rozhodování v oblasti organizace přepravy zboží může být oblast operačního výzkumu. Do operačního výzkumu spadá mimo jiné i matematické programování. To poskytuje mnoho metod, které se dají využít při optimalizaci přepravy. Jejich algoritmus je často jednoduchý a snadný na pochopení, nicméně v případě obsáhlejších distribučních sítí by bylo řešení ručním výpočtem značně časově náročné a v některých případech téměř nereálné. Proto je využití metod matematického programování v rámci ručního výpočtu vhodné spíše pro řešení distribučních problémů s menším počtem odběratelských míst. V případě rozsáhlejších úloh je vhodnější využít nabídku specializovaných optimalizačních softwarů, jejichž nespornou výhodou je značné urychlení řešení a eliminace případného vzniku numerických chyb. Podobné plánovací metody by rozhodně neměly chybět v podnicích, kde si distribuci výrobků zajišťují sami bez pomoci externí dopravní firmy. Jedná se o účinný nástroj k zefektivnění fungování podniku a úspoře nákladů. Řízení dopravy je náročný úkol, kde se klade důraz na minimalizaci nákladů společně se snahou o co nejvyšší přepravními výkony. Tyto faktory vytváří z logistiky oblast, která má klíčový význam pro dobrou konkurenceschopnost podniku.

11 Cíl a metodika práce 11 2 Cíl a metodika práce Tato diplomová práce se zabývá využitím metod operačního výzkumu, konkrétně lineárního programování, při řízení distribuce v potravinářském podniku. V rámci vybraného podniku je řešen problém obchodního cestujícího při sestavování pravidelných okružních distribučních tras. Hned v úvodu je však třeba zmínit, že nejde o zcela typický okružní problém. V rámci pravidelných linek je třeba dodržet pevně dané úseky z jednoho místa do druhého. Úkolem tedy bude najít vhodné metody řešení pro tento případ. Hlavním cílem této diplomové práce je návrh optimálních distribučních tras a s tím související snížení nákladů na distribuci zboží. Měly by vzniknout co nejkratší distribuční trasy hlavním kritériem optimalizace tedy bude počet ujetých kilometrů. K dosažení hlavního cíle je třeba splnění několika dílčích cílů, které si nyní stanovíme: 1. Zpracování vstupních údajů Pro názorné řešení okružního problému budou získána data od vedení distribučního centra potravinářského podniku, které se nachází v Brně. Tento podnik si nepřeje být v práci uváděn z důvodu možného zneužití citlivých údajů. Podnik poskytne základní informace o tom, jak je v současnosti řešena distribuce, jaké nákladní automobily jsou využívány a také informace týkající se odběratelů (jejich přesnou polohu a množství objednaného zboží). Především budou využity údaje o odběratelích k sestavení vzdálenostních matic mezi jednotlivými místy. 2. Nalezení vhodných metod k řešení problému V rámci literární rešerše bude uveden přehled některých metod, které se zabývají řešením okružního problému. Jelikož v tomto konkrétním řešeném případě je nutné dodržet na trasách pevně stanovený úsek z místa bydliště řidiče do distribučního centra, vybereme vhodnou metodu, která bude problém schopna řešit. Předpokládá se využití Mayerovy metody, díky které rozdělíme odběratele do skupin a následně Littlovy metody, která upraví pořadí odběratelů na trasách. Pro výslednou optimalizaci bude využit kromě ručních metod výpočtu i specializovaný program STORM. 3. Vlastní řešení okružního problému Optimalizace bude řešena ve dvou na sebe navazujících krocích. Nejprve budou vytvořeny distribuční skupiny, do kterých budou odběratelé zařazeni s přihlédnutím ke vzdálenosti k distribučnímu centru, místu bydliště řidičů a dle objednaného množství zboží. Poté budou jednotlivá místa seřazena na trasách tak, aby výsledná délka okružních linek byla minimální. Jelikož řešení všech distribučních tras pomocí ručních metod by bylo obsáhlé a zdlouhavé, využijeme kromě nich k optimalizaci i specializovaný program STORM. Bude vyhodnocena i časová náročnost jednotlivých tras.

12 Cíl a metodika práce Srovnání současného a navrhovaného řešení V závěru zhodnotíme dosažené výsledky řešení problému, které porovnáme s původním řešením distribučních linek. Bude navrženo i alternativní možné řešení bez pevně daného úseku v rámci tras. V teoretické části práce budou shromážděny poznatky od obecného ke konkrétnímu. V rámci ní bude vysvětlena problematika od rozsáhlého pojmu logistika, přes význam operačního výzkumu a tvorby ekonomických a matematických modelů, lineární programování a distribuční úlohy až po možnosti řešení okružního problému, kterým se zabývá praktická část práce. Teoretické poznatky získané studiem literatury jsou aplikovány na konkrétní zkoumaný problém. V praktické části práce je uvedena stručná charakteristika podniku a dosavadní řešení distribuce. Je zde uveden výčet odběratelů, kteří budou rozděleni do distribučních skupin, ze kterých pak optimalizací vzniknou nové distribuční okružní linky. K tomu, abychom mohli zahájit samotný proces řešení, je třeba vytvořit čtvercové matice vzdáleností mezi všemi místy. Jednoduše řečeno musíme zjistit vzdálenosti mezi všemi odběrateli navzájem. K tomu lze využít tištěné mapy, GPS navigátory nebo plánovače tras. V našem případě bude využit plánovač tras Maps.google.cz, který je zdarma dostupný na internetu. Práce s maticemi vzdáleností bude prováděna v programu Microsoft Office Excel. K řešení budou využity jak ruční metody výpočtu konkrétně se předpokládá využití Mayerovy a Littlovy metody tak specializovaný optimalizační program STORM. V závěru praktické části práce bude uvedeno výsledné navrhované řešení distribuce včetně srovnání se současným stavem. Závěr bude obsahovat zhodnocení, nakolik se podařilo dosáhnout vytyčených cílů.

13 Literární rešerše 13 3 Literární rešerše 3.1 Logistika Mnoho lidí staví na stejnou úroveň logistiku a dopravu, doprava je však pouze součást obsáhlejších logistických systémů 1. Svoboda (2006, s. 8) uvádí tři definice logistiky, které byly uznány mezinárodními institucemi pro logistiku: Logistika je soubor všech činností sloužících k poskytování potřebného množství prostředků s nejmenšími náklady tam a tehdy, kde a kdy je po nich poptávka. Zabývá se všemi operacemi, určujícími pohyb zboží (alokace výroby a skladů, zásob, řízení pohybu zboží ve výrobě, balení, skladování, dodávání odběratelům). International Institut Applied Systems Analyses (IIASA) 1986 Logistika je organizace, plánování, řízení a uskutečňování toku zboží, počínaje vývojem a nákupem a konče výrobou a distribucí podle objednávky finálního zákazníka tak, aby byly splněny všechny požadavky trhu při minimálních nákladech a minimálních kapitálových výdajích. European Logistic Association (ELA) 1991 Logistika uvádí do vztahů zboží, lidi, výrobní kapacity a informace, aby byly na správném místě ve správném čase, ve správném množství, ve správné kvalitě, za správnou cenu. Institute of Logistics, Cambridge 1995 Sám Svoboda (2006, s. 8-9) pak logistiku charakterizuje následovně: Logistika je souhrn činností, systematicky zaměřených na získání materiálů z primárních zdrojů, a všechny mezipostupy před dodáním konečnému uživateli, s výjimkou vlastních výrobních procesů. Z toho vyplývá, že posláním logistiky není vytvářet hmotné statky, ale díky souboru logistických činností je umožněna jejich výroba, směna a spotřeba, neboť logistika dokáže řešit rozpor, který vzniká mezi místy přebytku určitého zboží (v místě výroby) a místy jeho nedostatku, tedy místy poptávky. Jak uvádí Preclík (2006, s. 8), logistiku můžeme rozdělit na makrologistiku, která se uplatňuje ve sféře národního hospodářství, a mikrologistiku. Ta se dělí na logistiku armádní, nemocniční, dopravní a podnikovou. 1 Logistický systém představuje účelně uspořádanou množinu technických prostředků, zařízení, budov, cest a pracovníků, podílejících se na uskutečňování logistických řetězců. Cílem logistického systému podniku je upevnění a posílení pozice ekonomického subjektu na trhu. Logistický řetězec se skládá z dílčích hmotných, informačních, peněžních a jiných toků, které probíhají mezi subsystémy v oblasti výroby, dopravy, zasílatelství a v obchodě (Získal a Havlíček, 2000, s. 59)

14 Literární rešerše 14 Podniková logistika je disciplína, která zahrnuje plánování, řízení a kontrolu toku materiálu, personálu, energií a informací ve firmě. Rozdělení podnikové logistiky ukazuje následující schéma (Preclík, 2006, s. 10): Obr. 1 Schéma podnikové logistiky Zdroj: Preclík, 2006, s. 8 Preclík (2006, s. 10) dále uvádí, že logistický integrovaný systém obsahuje tři základní výkonové oblasti: 1. Nákupní logistika řídí vstupy materiálu, surovin a nakupovaných dílů. 2. Výrobní logistika, v rámci které probíhá transformace vstupů na výstupy. 3. Distribuční logistika zajišťuje dodání zboží finálnímu zákazníkovi včetně s tím spojených služeb. Každý podnik však nemusí vykazovat všechny tyto oblasti. U ryze obchodních firem odpadá výrobní logistika, externě může být řešena i logistika distribuční (Preclík, 2006, s. 10). Ve výrobních firmách (např. obuvnický a technický průmysl) je hlavním těžištěm výrobní logistika. Zásobovací logistika se dostává do popředí zejména v chemickém a ocelářském průmyslu, kdy je nižší výrobní a vyšší kapitálová náročnost. Naopak v potravinářském a kosmetickém průmyslu je nízká výrobní i kapitálová náročnost a těžiště zde spočívá zejména v distribuční logistice (Preclík, 2006, s. 13) Distribuční logistika a doprava Úkolem distribuční logistiky je propojení prodeje (odbytové složky firmy) s poptávajícími zákazníky. Jako dílčí oblast marketingu by měla být distribuční logistika napojena na celkový systém podniku a přispívat k jeho rozvoji. Zahrnuje zejména plánování, řízení a kontrolu fyzických toků výrobků a s tím spojených informačních toků mezi výrobními (obchodními) firmami a zákazníky (Preclík, 2006, s. 13). Preclík (2006, s. 206) charakterizuje distribuční řetězec jako část logistického řetězce od okamžiku, kdy zboží opustí výrobní firmu až do jeho použití u konečného zákazníka. Všechny činnosti s tím související jsou označovány jako distribuce.

15 Literární rešerše 15 Podle počtu distribučních stupňů můžeme hovořit o distribuci přímé a nepřímé. O přímou distribuci se jedná v případě, kdy výrobní firma hned dodává zboží konečnému zákazníkovi. Při nepřímé distribuci se zboží od výrobní firmy dostává k zákazníkovi zprostředkovaně vystupují zde centrální a regionální sklady, velkoobchodní a maloobchodní sítě. Hlavními okruhy problematiky distribuční logistiky jsou zejména volba stanovišť skladů, obalové hospodářství, expedice zboží, zajištění nakládky a doprava. Cílem je dodat správné zboží ve správném množství, kvalitě a době na správné místo, ale též vytvořit optimální relaci mezi souborem dodacích služeb a vznikajícími náklady (Preclík, 2006, s. 206). Hlavními prvky distribučních logistických služeb, které mohou sloužit i jako míra dosažených výkonů, jsou podle Preclíka (2006, s. 17) tyto: Dodací čas (lhůty, termíny) Dodací spolehlivost ve srovnání s konkurencí Dodací pružnost flexibilita Dodací kvalita dodací přesnost množství a stavu dodávky Doba přepravy patří spolu s expediční činností a rychlostí vyřizování zakázek do ukazatelů produktivity distribuční logistiky (Preclík, 2006, s. 219). Jak uvádí Svoboda (2006, s. 13), samotná doprava slouží k přemisťování lidí a hmotných statků. Preclík (2006, s. 22) upřesňuje, že toto přemístění je uskutečněno předem určeným způsobem z jednoho místa na druhé nebo postupně na více míst logistického systému, zpravidla s použitím dopravního prostředku. Při přemisťování statků pak můžeme dopravu rozčlenit do tří fází (Svoboda, 2006, s. 13): Doprava ve sféře výroby uspokojuje potřeby vyvolané užitou technologií výroby, dělbou práce a kooperací a specializací výroby v jejích jednotlivých fázích až do finálního výrobku. Doprava ve sféře oběhu umožňuje přemísťování k realizaci ekonomického oběhu procesu zbožních směn. Doprava ve sféře spotřeby uspokojuje přemisťování výrobků, které již do spotřeby vstoupily (např. spotřebitel mění místo spotřeby). Jak zmiňuje Preclík (2006, s. 22), optimalizace dopravy může představovat rozhodující úsporu logistických nákladů firmy. Podle zaměření na pořizovací, výrobní nebo distribuční logistiku může být optimalizována doprava externí (vnější, oběhová), meziobjektová, vnitroobjektová, mezioperační nebo operační. Doprava externí představuje transport materiálu mimo pozemek firmy. Pokud místa zdrojů, nakládky a vykládky nejsou ještě pevně určena, lze využít řadu optimalizačních metod lokačně alokačních k vzájemnému uspořádání míst. Pokud tyto místa jsou již určena, je vhodné pro řešení použít okružní dopravní problém. Doprava meziobjektová je doprava mezi jednotlivými objekty v rámci firmy. Doprava mezioperační pak řeší transport uvnitř objektu mezi

16 Literární rešerše 16 jednotlivými pracovními místy. V případě operační dopravy se jedná zpravidla o manipulaci s materiálem v rámci pracovního místa (Preclík, 2006, s. 22). Dopravu můžeme dle druhu zvoleného prostředku rozdělit na silniční, železniční, leteckou, vodní a potrubní. Z hlediska tématu této práce bude přiblížena doprava silniční. V následující tabulce jsou uvedeny údaje o vnitrostátní nákladní silniční dopravě v České republice za posledních deset let. Tato data uvádí Český statistický úřad ( Tab. 1 Vývoj vnitrostátní silniční nákladní dopravy v letech 2003 až 2012 rok přepravené množství (tis. tun) přepravní výkony (mil. tkm) průměrná vzdálenost (km) , , , , , , , , , ,2 Zdroj: Zpracováno dle údajů Českého statistického úřadu ( Je patrné, že objem přepraveného množství vykazuje v průběhu minulého desetiletí klesající trend, stejně tak jako přepravní výkon, který je uveden v tunokilometrech, což je součin přepravené hmotnosti a absolvované vzdálenosti. Naopak se v posledních třech letech výrazněji zvýšila průměrná vzdálenost tras. Co se týká přepravy dle komodit, konkrétně pak potravin, na českých silnicích se v rámci vnitrostátní dopravy přepravilo v roce 2011 přes 26 milionů tun výrobků, což odpovídá 9 % z celkového přepravovaného množství. V roce 2012 přeprava potravin zaznamenala oproti předchozímu roku pokles bylo převezeno necelých 21 milionů tun potravin, což odpovídá 7 % z celkového přepraveného množství v rámci vnitrostátní dopravy ( 3.2 Operační výzkum a využití modelů Operační výzkum je vědní disciplína, která se začala rozvíjet během 2. světové války. V té době vznikaly v USA a ve Velké Británii speciální týmy pracovníků pro analýzu složitých strategických a taktických vojenských problémů a operací. K dalšímu vývoji dochází v 50. letech minulého století, kdy ve světě nastal poválečný ekonomický rozkvět (Jablonský, 1998, s. 7).

17 Literární rešerše 17 Podle Jablonského (1998, s. 7) je možné operační výzkum charakterizovat jako vědní disciplínu nebo spíše soubor relativně samostatných disciplín, které jsou zaměřeny na analýzu různých typů rozhodovacích problémů. Rais (2005, s. 18) doplňuje, že díky operačnímu výzkumu získáváme kvantitativní podklady pro rozhodování výkonných orgánů o operacích, které mají řídit. Pomocí metod operačního výzkumu může být řešena řada různých problémů, v mnoha případech jde o problémy ekonomické. V průběhu času se vytvořily relativně samostatné disciplíny operačního výzkumu, které se zabývají rozdílnými oblastmi ekonomického života. Zde je podle Jablonského (1998, s ) stručný výčet těch nejpoužívanějších: 1. Matematické programování zabývá se řešením optimalizačních úloh, ve kterých je hledán extrém daného kritéria na množině variant určených pomocí soustavy omezení ve formě lineárních či nelineárních rovnic a nerovnic. 2. Vícekriteriální rozhodování je disciplína, která předpokládá posuzování rozhodovacích variant podle několika kritérií zároveň. 3. Teorie grafů se zabývá analýzou rozhodovacích problémů, jejichž model je vyjádřen pomocí grafu. Nejčastěji se užívá při řízení projektů a cílem je nákladový nebo časový harmonogram realizace projektu. 4. Teorie zásob řídí zásobovací procesy a optimalizaci skladových zásob s ohledem na minimalizaci skladovacích nákladů. 5. Teorie hromadné obsluhy zkoumá systémy, do kterých vcházejí požadavky, které vyžadují obsluhu obslužných linek. Analýza pak řeší konflikt mezi stupněm využití obslužných linek a dobou čekání požadavků ve frontě na obsluhu. 6. Markovské rozhodovací procesy jejichž cílem je předpověď budoucího chování systému, jehož změna podléhá náhodnému chování. 7. Simulace představuje důležitý nástroj pro řešení složitých systémů. Nejedná se zcela o samostatnou disciplínu, ale slouží jako prostředek analýzy pro různé typy modelů. Jedná se o napodobení chování sledovaného systému pomocí počítače. Operační výzkum slouží podle Raise (2005, s. 18) k navrhování optimálních systémů z hlediska navrženého matematického modelu. Lze tedy odvodit, že hlavním nástrojem operačního výzkumu je matematické a grafické modelování. Obecně lze model charakterizovat jako zjednodušené zobrazení reality, na kterém se dají studovat vlastnosti, které jsou z hlediska studovaného jevu významné (Rais, 2005, s. 19). Samotný model musíme z toho důvodu považovat pouze za určité napodobení skutečnosti. Autoři Plevný a Žižka (2005, s. 13) správně konstatují, že pokud by model do všech detailů vystihoval reálný systém, stává se jeho kopií. Čím více reálných vlastností model vystihuje, tím je řešení složitější, případně se model stává neřešitelným pomocí dostupných prostředků. Naopak jestliže jsou v modelu opomenuty některé důležité vlastnosti

18 Literární rešerše 18 reálného systému, mohou být výsledky řešení značně nepřesné. Podle očekávaného použití modelů můžeme mluvit o (Gros, 2003, s. 19): Popisných modelech, které vyjadřují základní vztahy v reálném objektu a vytvářejí podklady pro jeho zhodnocení. Prognostických modelech, které se používají pro odhad budoucího vývoje. Z toho důvodu, že jsou založeny na statistické analýze vývoje časových řad, bývají označovány jako modely statické. Optimalizačních modelech, jejichž cílem je hledání nejlepší varianty řešení problému. Jablonský (1998, s. 8-9) uvádí jednotlivé fáze při řešení problému pomocí metod operačního výzkumu. Nejprve je zapotřebí samotné rozpoznání existence problému v rámci fungování reálného systému a nastalá potřeba jeho řešení. Po správném definování problému následuje formulace jeho ekonomického modelu. Jablonský ho charakterizuje jako zjednodušený popis reálného systému, který obsahuje s ohledem na analyzovaný problém pouze nejpodstatnější prvky a vazby mezi nimi. Ekonomický model je však pouze slovním a numerickým popisem problému. Aby bylo možné ho řešit, je třeba určitého formalizování, tedy převedení ekonomického modelu na model matematický, který je dále řešitelný standardizovanými postupy. Po sestavení ekonomického a matematického modelu přichází na řadu řešení pomocí metod, které spadají pod jednotlivé disciplíny operačního výzkumu. Tyto postupy jsou podpořeny kvalitními počítačovými programy, bez kterých by bylo řešení často nereálné pro časovou náročnost výpočtů. V závěru je nutná interpretace výsledků a jejich verifikace. Po úspěšném ověření výsledků pak může být řešení implementováno do praxe a přispět tak ke zlepšení fungování daného systému (Jablonský, 1998, s ). Získal a Havlíček (1998, s. 24) shrnují výhody matematického modelování do tzv. Sedmi S matematického modelu : 1. Simulace úspora času. Operace, které běžně probíhají léta, mohou být simulovány pomocí modelu během několika minut. 2. Simplicita jednodušší manipulace s modelem než s realitou. 3. Spolehlivost cena za chybné rozhodnutí při práci s modelem je nepatrná ve srovnání s chybou v reálném systému. 4. Stabilita je zde možná kalkulace rizika spojeného s přijetím rozhodnutí. 5. Spořivost cena za analýzu chování pomocí modelu je mnohem nižší než cena za analýzu reálného systému. 6. Sebevzdělávání uživatel se modelováním učí. 7. Selektivita možnost posouzení velkého množství alternativ řešení.

19 Literární rešerše Lineární programování V praxi se často setkáváme s problémem výběru jedné z více variant. Tyto varianty většinou nejsou z hlediska výběru rovnocenné. Vzniká tak problém výběru nejlepší varianty. V této souvislosti se hovoří o optimalizačním rozhodování. Problémy optimalizačního rozhodování můžeme charakterizovat tím, že jsou známé podmínky, které je třeba respektovat při rozhodování a je známý cíl rozhodování, který popisuje, podle kterého kritéria je možné hodnotit výhodnost nebo nevýhodnost jednotlivých variant z hlediska rozhodujícího se subjektu (Laščiak, 1983, s. 15). Lineární programování je disciplínou operačního výzkumu, která se zabývá řešením manažerských rozhodovacích problémů. Tyto problémy obecně charakterizují Získal a Havlíček (1998, s. 34) jako situace, kdy je možné v různých kombinacích realizovat větší počet činností (procesů) a je třeba stanovit jejich optimální kombinaci za předpokladu, že jejich realizace je omezena určitým množstvím výrobních zdrojů, kapacit nebo požadavky, které jsou na tyto činnosti kladeny. Při sestavování matematického modelu, který je řešen v rámci lineárního programování je třeba dodržovat určitou strukturu. Cíl analýzy je vyjádřen pomocí lineární funkce, jejíž extrém (maximum nebo minimum) je třeba nalézt. Tato funkce se nazývá účelová nebo kriteriální. Každému procesu je přiřazena strukturní proměnná. Hodnoty těchto proměnných pak lze vysvětlit jako úrovně jednotlivých procesů. Činitelům, kteří ovlivňují realizaci procesů, odpovídají lineární rovnice a nerovnice. Ty jsou vyjádřením určitého omezení (Jablonský, 1998, s. 19). Obecně lze říci, že prvním krokem při formulování úlohy je správná definice proměnných včetně jednoznačného a srozumitelného slovního popisu. Na základě těchto proměnných je sestavena účelová funkce a zápis jednotlivých omezujících podmínek ve formě rovnic a nerovnic. Konstrukce modelu je tvůrčí proces. Pokud je zjištěno, že pro jeho řešení je třeba přidání dalších proměnných nebo omezujících podmínek, je možné je dodefinovat a pokračovat v sestavování modelu (Plevný a Žižka, 2005, s. 30). Obecný tvar lineárního matematického modelu formou sumačního zápisu lze podle Holoubka (2010, s. 12) vyjádřit následovně:

20 Literární rešerše 20 Z extr n j 1 c j x j (1) n j 1 a ij x j b i ( i 1,..., m) (2) x j 0 ( j 1,..., n) (3) Vztah (1) znázorňuje lineární mnohočlen, nazývaný účelová funkce. Vztah (2) značí vlastní omezující podmínky, které mohou mít formu rovnic či nerovnic. Vztah (3) určuje podmínky nezápornosti. Použité symboly jsou označovány těmito názvy: cj koeficient účelové funkce vztahující se k j-té proměnné xj strukturní proměnná aij strukturní (technicko-ekonomický) koeficient, který vyjadřuje vztah mezi i-tou omezující podmínkou a j-tou proměnnou bi pravá strana i-té omezující podmínky m počet omezujících podmínek n počet strukturních proměnných Jak již bylo řečeno, cílem úlohy lineárního programování je nalézt takové hodnoty strukturních proměnných, aby účelová funkce dosáhla extrému, v závislosti na omezujících podmínkách a podmínkách nezápornosti. Pokud je hledané řešení s nejvyšší hodnotou účelové funkce, úlohu značíme jako maximalizační, v opačném případě se jedná o úlohu minimalizační (Holoubek, 2010, s. 12). Řešení optimalizačních problémů je součástí celé řady řídících, rozhodovacích a organizačních činností. Podle Laščiaka (1983, s. 15) sem spadá například problematika komplexního plánování výroby na úrovni odvětví, oboru, podniku, dále organizace dopravy, rozmísťování výrobních sil, projektování technologických procesů a výrobních linek, optimalizace zásob a skladového hospodářství, organizace stavební práce, rozvrhování výroby a jiné. Typické optimalizační problémy řešitelné metodou lineárního programování uvádí také Jablonský (2007, s ): Úlohy výrobního plánování (problém alokování zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Plánování reklamy Nutriční problém Směšovací problém

21 Literární rešerše 21 Úloha o dělení materiálu Rozvrhování pracovníků Distribuční úlohy lineárního programování 3.4 Distribuční úlohy Podle Laščiaka (1983, s. 270) patří distribuční úlohy mezi nejdůležitější aplikace lineárního programování. Gros (2003, s. 171) se zmiňuje, že distribuční úlohy byly jednou z prvních aplikací exaktních metod v řízení, jejich řešení je relativně snadné a aplikace přinášejí výrazné úspory nákladů. Oblast aplikace distribučních úloh je velice široká. Můžeme se setkat s několika různými typy problémů, vyžadujících řešení. Jak uvádí Holoubek (2010, s. 80), řadí se mezi ně dopravní problém, přiřazovací problém, kontejnerový dopravní problém a okružní problém, nazývaný také problémem obchodního cestujícího, kterému bude věnována praktická část této práce Formulace dopravního problému Neustálé nároky na zvyšování kvality přepravy, rostoucí přepravní výkony a snaha minimalizovat náklady na přepravu způsobují, že řízení dopravy se stává velmi náročným úkolem. V současné době již nedosáhneme zefektivnění dopravy pouhým využitím praktických zkušeností, ale je vhodné aplikovat progresivní metody řízení s využitím výpočetní techniky (Rais, 2005, s. 52). Základním úkolem při řešení typických dopravních úloh je rozvést mezi několik různých odběratelů homogenní 2 výrobky, které jsou vyráběny nebo skladovány na různých místech. Při přepravě by mělo být zajištěno plné uspokojení odběratelských potřeb a celkové přepravní náklady by přitom měly být minimální (Rais, 2005, s. 52). V rámci ekonomického modelu je v dopravním problému definováno m zdrojů (dodavatelů) D1, D2,, Dm s omezenými kapacitami a1, a2,, am (množství, které je každý z dodavatelů schopen dodat) a n cílových míst (odběratelů) O1, O2,, On se stanovenými požadavky b1, b2,, bn (množství, které je požadováno odběrateli). Vztah každé dvojice dodavatel odběratel je určitým způsobem ohodnocen. Může se jednat například o vykalkulované náklady na přepravu jednotky zboží nebo o kilometrovou vzdálenost mezi dodavatelem a odběratelem. Toto kvantifikované ohodnocení značíme cij, kde i=1,2,,m, j=1,2,,n. Cílem řešení dopravního problému je stanovit objem přepravy mezi dodavateli a odběrateli tak, aby nebyly překročeny kapacity dodavatelů a zároveň došlo k uspokojení potřeb odběratelů. Z hlediska matematického modelu je proto nutné stanovit hodnoty proměnných xij, kde i=1,2,,m, j=1,2,,n, 2 Rais (2005, s. 52) zdůrazňuje homogenitu výrobků, která v některých praktických případech limituje použití metod řešení dopravní úlohy. Jde například o strojírenské firmy, které přepravují obvykle rozdílné komponenty. Naopak široké uplatnění nachází tyto metody řešení v podmínkách takových firem, jako jsou pekárny, mlékárny, pivovary atd.

22 Literární rešerše 22 které vyjadřují objem přepravy mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem (Jablonský, 2007, s ). Tuto formulaci ekonomického modelu lze vyjádřit ve formě přehledné tabulky, která se u dopravních úloh běžně využívá (viz. Tab. 2). Tab. 2 Formulace ekonomického modelu dopravního problému Dodavatelé Odběratelé O1 O2 On Kapacita dodavatelů c11 c12 D1 x11 x12 x1n c1n a1 c21 c22 c2n D2 x21 x22 x2n cm1 cm2 Dm xm1 xm2 xmn Požadavky odběratelů b1 b2 bn cmn b j j j 1 a2 am a i i i 1 Zdroj: Jablonský (2007, s. 92) n m Každé z polí tabulky představuje přepravní trasu mezi jednotlivými dodavateli a odběrateli. Například pole D1O1 označuje cestu mezi dodavatelem D1 a odběratelem O1. Těchto cest je celkem m x n. V každé z nich jsou uvedeny hodnoty cij (koeficient účelové funkce, vyjadřující náročnost dopravy jednotky zboží od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli, tím může být například kilometrová vzdálenost nebo náklady na přepravu) a xij (hledané optimální množství zboží, které je přepravováno mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem). Zápis matematického modelu dopravního problému, zahrnující účelovou funkci, soustavu vlastních omezujících podmínek a podmínek nezápornosti, uvádí Získal a Havlíček (1998, s. 150):

23 Literární rešerše 23 m i 1 n j 1 c ij x ij Z min (4) n j 1 x ij a i ( i 1,2,..., m) (5) m i 1 x ij b j ( j 1,2,..., n) (6) x 0 (7) ij Tento zápis dopravní úlohy se skládá ze tří částí. Účelová funkce (4) se zapisuje v lineárním tvaru a zajišťuje minimalizaci dopravní náročnosti. Dopravní úloha je často řešena v minimalizačním tvaru. Výsledkem takovéto úlohy je minimalizace nákladů souvisejících s přepravou. V tomto případě je náročnost dopravy vyjádřena pomocí nákladů na přepravu jednotky nebo jako vzdálenost mezi dodavatelem a odběratelem. Plevný a Žižka (2005, s. 131) však může být dopravní úloha formulována i v maximalizačním tvaru. Je tomu tak tehdy, když vztah mezi dodavatelem a odběratelem je vyjádřen ve velikosti zisku na jednu přepravenou jednotku po dané trase. Získal a Havlíček (1998, s. 150) uvádí, že omezující podmínky (5), (6) jsou dány jako soustava m + n rovnic o m x n proměnných. Prvních m rovnic (5) popisuje, že každý z dodavatelů dodá odběratelům právě tolik zboží, kolik činí jeho kapacita. Dalších n rovnic (6) znázorňuje, že každý ze spotřebitelů dostane od dodavatelů právě tolik zboží, kolik požaduje. Jestliže nastane situace, kdy dodavatelé mají více zboží, než požadují odběratelé, musíme omezující podmínku (5) formulovat jako nerovnici: n j 1 x ij a i ( i 1,2,..., m) (8) Plevný a Žižka (2005, s. 132) tento případ označují jako nevybilancovanou dopravní úlohu. Při řešení se postupuje tak, že vzniklou nerovnost vyrovnáme doplňkovými proměnnými. K tabulce dopravní úlohy se v tom případě přidá jeden sloupec navíc, který značí tzv. fiktivního odběratele. Ten převezme přebytečné zboží. V účelové funkci se k fiktivním dodávkám přiřadí nulové sazby, jelikož dodávka se ve skutečnosti nebude realizovat (Získal a Havlíček, 1998, s. 150). Podobně se postupuje v případě, kdy spotřebitelé požadují více, než je celková kapacita dodavatelů. K tabulce tentokrát přidáme nový řádek, který značí tzv. fiktivního dodavatele, který doplní požadavky spotřebitelů. Příslušnou část

24 Literární rešerše 24 omezujících podmínek (6) budeme opět formulovat jako nerovnice (Získal a Havlíček, 1998, s. 151): m i 1 x ij b j ( j 1,2,..., n) Úlohu lze však tímto způsobem řešit pouze v případě, že zadání připouští plné uspokojení jen některých zákazníků nebo vyžaduje uspokojení zákazníků pouze v určité maximální možné míře. Jestliže je požadováno zcela plné uspokojení všech zákazníků, je úloha pro toto zadání neřešitelná, jelikož požadavky odběratelů nemohou být naplněny (Plevný a Žižka, 2005, s. 133). Vztah (7) značí podmínky nezápornosti, které požadují nezápornost všech proměnných xij. Není přípustné, aby hledané optimální množství převáženého zboží mělo zápornou hodnotu (Získal a Havlíček, 1998, s. 150). Pokud porovnáme tento matematický model, který zde byl popsán, s modelem ekonomickým, tedy tabulkou č. 2 uvedenou výše, tak součet hodnot proměnných v každém řádku tabulky odpovídá v matematickém modelu dopravní úlohy vztahu (5) a udává maximální možnosti jednotlivých dodavatelů. Součet hodnot ve sloupcích tabulky odpovídá vztahu (6) a udává požadavky jednotlivých odběratelů. Sečteme-li součiny c x ve všech vnitřních políčkách tabulky, získáme hodnotu účelové funkce, která je v matematickém modelu charakterizována vztahem (4). Postup řešení distribučních úloh závisí na typu konkrétní úlohy. Existuje mnoho různých algoritmů řešení, pozornost však bude zaměřena na řešení dalšího z typů distribučních úloh a tím je okružní dopravní problém. Jeho řešení bude využito i v praktické části této práce Okružní dopravní problém Rais (2005, s. 62) popisuje okružní dopravní problém jako jeden z nejznámějších problémů optimálního pořadí, označovaných také jako sekvenční problémy. Jedná se o speciální případ distribuční úlohy lineárního programování. V literatuře se můžeme setkat s názvy okružní dopravní problém, problém obchodního cestujícího nebo travelling salesman problem. Jak říká Cook (2012, s. 19), lidé se setkali s problémem obchodního cestujícího již dávno předtím, než se stal předmětem studia mnoha matematiků. Už jeskyní lovci museli řešit, jak zvolit vhodnou cestu při lovu nebo sběru lesních plodů. V posledních staletích však otázka okružního problému získala na důležitosti, protože pro určité profese dobře naplánovaná trasa byla a je hlavním faktorem úspěchu. Podle Jablonského (2007, s. 112) má okružní dopravní problém velké množství reálných aplikací v podstatě všude tam, kde se jedná o pravidelný rozvoz případně svoz jakýchkoliv produktů (pekárny, mlékárny, svoz domovního odpadu, zásobování prodejen ze skladů atd.) ij ij (9)

25 Literární rešerše 25 Model klasického dopravního problému, který byl zmíněn v předchozí podkapitole, vychází z předpokladu, že dopravní prostředky se u dodavatele naloží a dopraví zboží přímo k určenému zákazníkovi. V praxi se však velice často vyskytuje případ, kdy musí vozidlo absolvovat trasu, v rámci které zásobuje více zákazníků, a poté se vrátí zpět do výchozího místa. Daná trasa pak tvoří uzavřený okruh (Gros, 2003, s. 118). Okružní dopravní problém můžeme tedy charakterizovat následovně: Obchodní cestující má navštívit určitý počet míst tak, aby každé místo navštívil jenom jednou a aby se domů vrátil až po absolvování všech míst. Je třeba určit takové pořadí míst, aby délka okruhu byla minimální (Rais, 2005, s. 62). Holoubek (2010, s. 106) doplňuje, že cílem je dosáhnout minimální dopravní náročnosti. Minimalizovat je možné například délku okruhu, spotřebu pohonných hmot nebo časovou náročnost. Z jistého úhlu pohledu se problém jeví jako jednoduchý, počet cest mezi jednotlivými místy je vždy konečný. Je tu však jeden problém. Počet všech možných cest bývá až příliš velký na to, aby je bylo možné jednu po druhé zkontrolovat. V roce 1954 se podařilo třem matematikům vyřešit problém obchodního cestujícího zahrnující 48 měst. Byli to George Dantzig, Ray Fulkerson a Selmer Johnson a k optimálnímu výsledku došli pomocí aplikace lineárního programování (Cook, 2012, s. 2-5). Hledání optimálních tras většinou vychází z určité komunikační sítě, může se jednat o silniční síť se zadanými kilometrovými vzdálenostmi. Ve většině případů je hledána nejkratší cesta nebo okruh, kritériem optimalizace se ale mohou stát i náklady, do kterých se kromě kilometrové vzdálenosti promítá také spotřeba pohonných hmot, pronájem vozidla nebo náklady na prostoje vozidla. V některých případech je omezujícím faktorem i čas, zejména pokud jde o časově limitované služby, kde okružní trasy musí být navrženy tak, aby rozvoz zboží byl splněn do daného termínu. Základním omezujícím faktorem tvorby tras je množství převáženého materiálu. Je tedy vhodné znát požadavky odběratelů, které mohou být udávány váhově, objemově nebo například rozsahem nosné plochy vozidla, které toto zboží zabírá. Současně musíme znát i kapacitu vozidel, které jsou k dispozici. Kapacita pak musí být udána ve stejných jednotkách jako požadavky odběratelů (Pelikán, 1992, s. 33). I v tomto případě můžeme sestrojit matematický model okružního problému (Rašovský a Šišláková, 1999, s ): Nechť máme: n návštěvních míst, přičemž vyjíždíme z i-tého místa a míříme do j-tého místa; n kroků trasy (k = 1, 2,, n); cij je vzdálenost mezi i-tým a j-tým návštěvním místem;

26 Literární rešerše 26 xijk je uskutečněná (xijk = 1) nebo neuskutečněná (xijk = 0) cesta mezi i-tým a j-tým návštěvním místem v k-tém kroku. Při daném značení můžeme zformulovat matematický model okružního problému. Máme nalézt takové hodnoty xijk, aby: při těchto omezeních: n i 1 n j 1 n Zmin cij xijk (10) k 1 n i 1 n j 1 x ijk 1 ( k 1,2,..., n) (11) n j 1 n k 1 x ijk 1 ( i 1,2,..., n) (12) n i 1 n k 1 x ijk 1 ( j 1,2,..., n) (13) n i 1 x ijk n x j 1 ijk 1 ( i, j, k 1,2,..., n) (14) při k = n je k + 1 = 1 x ijk 1 ( i, j, k 1,2,..., ) 0 n (15) Gros (2003, s. 119) však upozorňuje na to, že takto formulovaný model má v praxi jen omezené použití, protože je třeba respektovat mnoho dalších omezujících podmínek. Jedná se například o: Skutečnost, že v daném časovém období je nutné vzhledem k omezené kapacitě dopravních prostředků plánovat více přepravních tras pro větší počet vozidel, Respektovat mnohdy striktní požadavky odběratelů na časové intervaly příjezdu vozidel, Brát v úvahu omezenou pracovní dobu jak na straně zákazníků, tak na straně dodavatele, Dodržovat omezený vjezd jednotlivých typů vozidel k některým zákazníkům, např. zákaz používat velkokapacitní vozidla v centrech měst apod.

27 Literární rešerše 27 Získal a Havlíček (2000, s. 67) uvádí, že okružní problémy se objevují v různých modifikacích jako jednookruhové, víceokruhové, s různými kapacitními, časovými a jinými omezeními. Aktuální jsou zejména v zemědělství, potravinářském průmyslu a v distribuci (obchodu). Tito autoři (2000, s. 67) dále zmiňují, že pro řešení okružního dopravního problému existuje více metod, jejichž princip je založen na vytvoření a zpracování posloupnosti sledovaných míst, ve které se musí každé místo objevit právě jednou. V následujícím textu budou některé z těchto metod popsány Mayerova metoda Metoda sestavení okružních jízd výběrem minimálních prvků, neboli Mayerova metoda, je podle Získala a Havlíčka (2000, s. 68) vhodná pro víceokruhové úlohy s úplnou sítí cest a s omezenou kapacitou. Jedná se o přibližnou metodu, která je vhodná pro sestavení svozných nebo rozvozních plánů. Postup řešení vychází ze symetrické matice vzdáleností uvedených v kilometrech mezi místy, která jsou zahrnuta do řešení. Stevenson (1992, s. 346) přibližuje pojem symetrické matice vzdáleností. Uvádí, že existují dvě verze problému obchodního cestujícího. O symetrický problém obchodního cestujícího se jedná v případě, že vzdálenost z místa 1 do místa 2 je stejná jako vzdálenost z místa 2 do místa 1. Pokud tyto vzdálenosti nejsou stejné, jedná se o nesymetrický problém obchodního cestujícího. Při řešení problému pomocí Mayerovy metody musíme tedy sestavit symetrické matice vzdáleností. V matici jsou jednotlivá místa sestavena v posloupnosti podle vzdálenosti od centrálního místa (například sklad). Nejvzdálenější místo je v matici uvedeno jako první, tedy na prvním řádku a v prvním sloupci, centrální místo jako poslední. V prvním kroku se provede výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel. Ve druhém kroku se provádí řešení v rámci okružních tras pro každé vozidlo zvlášť (Získal a Havlíček, 2000, s. 68). Zmiňovaní autoři (2000, s. 68) dále uvádí, že v rámci prvního kroku, kdy vybíráme místa pro jednotlivé okružní trasy, se v matici začíná od nejvzdálenějšího místa, které je v matici uvedeno jako první. Toto místo je zařazeno do první okružní trasy. K již vybranému místu se pak přiřazuje další tím způsobem, že se najde v příslušném sloupci místo s nejmenší vzdáleností k prvně přidanému místu. Po přiřazení tohoto místa je nutné provést součet požadavků vybraných míst a porovnat je s kapacitou vozidla. Pokud není kapacita naplněna, pokračuje se hledáním dalšího místa s minimální vzdáleností vůči dvěma místům již přidaným. Stejným způsobem se pokračuje až do naplnění kapacity vozidla. Výběr míst pro další okružní trasu začíná opět nejvzdálenějším místem od centrálního místa, které ještě nebylo do předchozího okruhu zařazeno. Po rozdělení všech míst do distribučních skupin probíhá ve druhém kroku Mayerovy metody řazení míst v rámci jednotlivých tras. Místa vybraná do jednotlivých okružních tras jsou seřazena podle minimální délky jednotlivých spojení a tras celkem. Trasy mohou být upravovány na základě intuitivního rozhodování a znalostí. Pro řazení míst v rámci linek však mohou být využity i jiné optimalizační

28 Literární rešerše 28 metody, kterých existuje velká řada. Některé z nich budou uvedeny v následujícím textu (Získal a Havlíček, 2000, s. 68) Metoda nejbližšího souseda Základem je vytvořená matice vzdáleností jednotlivých míst. Algoritmus této metody spočívá v tom, že je zvoleno výchozí místo, první uzel na trase, ke kterému hledáme v matici vzdáleností nejbližší místo, které zařadíme do vytvořené trasy za předchozí přidané místo. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nejsou do okružní trasy zařazena všechna místa. Výpočet dále provádíme znovu pro další místo, které určíme jako výchozí. Postupně zvolíme všechna místa jako výchozí uzly a ze všech těchto tras vybereme tu nejkratší (Pelikán, 1992, s. 40). Gutin a Punnen (2002, s. 2) však poukazují na to, že metoda nejbližšího souseda nemusí zaručit optimální řešení. Pravidlo, kdy se obchodní cestující přesune vždy do nejbližšího místa vzhledem k předchozímu místu, nemusí v konečném důsledku znamenat nejkratší okruh Habrova metoda absolutních výhodností Získal a Havlíček (2000, s. 70) uvádí, že Habrova přibližná metoda řešení okružního dopravního problému vytváří okruh tak, že ze všech možných spojení mezi místy vybírá a do okruhu přidává taková spojení, která jsou co nejvýhodnější z hlediska celé dopravní sítě. Postupuje se tak, že se vypočtou tzv. Habrovy frekvence a ze všech možných spojení se do okruhu zařadí to, které odpovídá nejvýhodnější frekvenci. Poté se hledá nejvýhodnější frekvence pro navazující spojení a příslušný úsek se zařadí do okruhu. Takto se pokračuje, dokud se okruh neuzavře. Vzájemné výhodnosti jednotlivých políček lze vyjádřit pomocí rozdílů sazeb mezi jednotlivými řádky nebo sloupci tabulky. Algoritmus je následující: Z matice vzdáleností sestavíme analytické dílčí tabulky řádkových rozdílů sazeb. V těchto tabulkách se zjistí řádková minima, která se pro přehlednost zakroužkují. Pro tvorbu okruhu se vyberou spojení, pro něž se řádková minima koncentrují do některého sloupce dílčích tabulek. Jestliže neexistují absolutně výhodná spojení, zjistí se spojení absolutně nevýhodná. Spojení s největším počtem minim ve sloupci tabulky se porovná s absolutně nevýhodnými spojeními. Jestliže některé z těchto spojení je nevýhodné jen ve vztahu je spojení, které je absolutně nevýhodné, dále se uvažuje, jako by bylo absolutně výhodné. Z absolutně výhodných spojení, která jsou na sobě nezávislá, se tvoří první úseky okružní cesty. Když do okruhu zařadíme určité spojení, zredukujeme všechny původní tabulky tak, že hodnoty odpovídající tomuto spojení se vyškrtnou. Zároveň se vyškrtnou i spojení, která by znamenala předčasné uzavření okruhu. Ve zbývajících tabulkách se hledají absolutně výhodná, případně nevýhodná spojení tak dlouho, dokud se okruh neuzavře (Získal a Havlíček, 2000, 71-72).

29 Literární rešerše Metoda větví a mezí Dle Raise (2005, s. 63) jde o exaktní metodu řešení okružního dopravního problému, která slouží k nalezení bodu absolutního minima dané účelové funkce na dané konečné množině přípustných řešení. Podstatou metody je postupný rozklad množiny přípustných řešení na vzájemné disjunktní podmnožiny. Na těchto podmnožinách jsou pak stanoveny dolní meze účelové funkce. Po prvním rozkladu se dále rozkládá vždy ta podmnožina, která vykazuje nejnižší hodnotu dolní meze účelové funkce. Postup končí v bodě, kdy postupným rozkladem vznikne jednoprvková množina, která obsahuje jediné přípustné řešení. Pokud hodnota účelové funkce není větší než dolní meze účelové funkce na ostatních podmnožinách, je toto nalezené řešení optimální. V opačném případě pokračujeme v rozkladu podmnožiny s nejnižší hodnotou dolní meze účelové funkce. Při ručním výpočtu se postup řešení znázorňuje graficky ve tvaru stromu, jehož uzly odpovídají vytvářeným podmnožinám (Rais, 2005, s. 63) Littlova metoda Získal a Havlíček (2000, s. 67) uvádí, že tato metoda je založena na metodě větvení a mezí. Holoubek (2010, s. 106) charakterizuje Littlovu metodu jako metodu, při níž se množina přípustných řešení systematicky zmenšuje až do okamžiku nalezení optimálního řešení. Pro přehlednost si lze zapsat úlohu do symetrické nebo asymetrické čtvercové matice, kdy jednotlivá políčka charakterizují například vzdálenosti mezi odběrateli, což představuje koeficienty účelové funkce. Jak již bylo řečeno, čtvercová matice vzdáleností může být symetrická nebo asymetrická. O symetrickou matici se jedná v případě, kdy předpokládáme zcela shodnou vzdálenost mezi i-tým a j-tým místem v obou směrech. Asymetrická matice může vzniknout v případě, kdy vzdálenost mezi dvěma místy je v jednom směru jiná než v druhém. Tato situace může být zapříčiněna například dopravními omezeními či jednosměrnými ulicemi. V matici vzdáleností je třeba vyloučit dva druhy tras: trasu z místa i zpět rovnou do místa i tzn. všechna políčka na hlavní diagonále výchozí matice. Tyto zakázané trasy v matici při řešení Littlovou metodou značíme symbolem - ; trasy, díky kterým by byl okruh předčasně uzavřen, tedy ještě před zařazením všech plánovaných míst. Cesty zakázané z tohoto důvodu značíme symbolem (Holoubek, 2010, s. 106). Podle Rašovského a Šišlákové (1999, s ) lze postup řešení okružního problému pomocí Littlovy metody popsat následovně: 1. Nejprve zredukujeme výchozí matici vzdáleností tím způsobem, že od každého řádku a každého sloupce matice odečteme nejnižší sazbu (tzv. transformační konstantu) nacházející se v příslušném řádku a sloupci.

30 Literární rešerše 30 Touto redukcí získáme v každém řádku a sloupci alespoň jednu nulovou sazbu. Řešení úlohy s takto redukovanou maticí je ekvivalentní s řešením původní úlohy. 2. Následně vypočítáme hodnotu Z0, o kterou se sníží hodnoty účelové funkce libovolného přípustného řešení při odečtu příslušných transformačních konstant. Z n i 1 n a i b 0 j (16) j 1 ai transformační konstanta odpovídající i-tému řádku (i = 1, 2,, n) bj transformační konstanta odpovídající j-tému sloupci (j = 1, 2,, n) 3. Pro všechny redukované vzdálenosti rovné nule (cij = 0) stanovíme hodnoty: c i min c j min ij c i c (17), min j, min, nejmenší redukovaná vzdálenost v i-tém řádku, nejmenší redukovaná vzdálenost v j-tém sloupci 4. Vyhledáme max ij max, které určuje zařazení cesty z i-tého do j-tého i, j max, pak je lhostejné, které cestě dáme před- místa do okruhu. Je-li více nost. při nezařazení cesty z i-tého mís- 5. Vypočteme hodnotu účelové funkce Z ij ta do j-tého místa do okruhu Z ij Z 0 max (18) 6. Vynecháme i-tý řádek a j-tý sloupec redukované matice vzdáleností a současně vyloučíme vratnou cestu (tj. jízdu z j-tého místa do i-tého místa) tím, že příslušné pole v matici označíme symbolem. 7. V případě, že v každém řádku a každém sloupci redukované matice vzdáleností po provedení bodu 6 není ani jedno c 0, pak provedeme další redukci vzdáleností pomocí nových transformačních konstant (jako v bodě 1). 8. Byla-li do okruhu správně zařazena cesta z i-tého místa do j-tého místa, pak musí platit: ij

31 Literární rešerše 31 je rovna hodnotě předcházející účelové funkce po přičtení n i 1 kde Z ij a i b n j 1 j Z Z ij ij (19). Transformační konstanty ai, bj odpovídají bodu Získáme-li redukovanou matici vzdáleností (viz bod 6 a 7) typu 2 x 2, přičemž dvě ze čtyř cest jsou zakázané, pak uvažujeme okruh po zbývajících cestách a výpočet je u konce. V opačném případě celý postup od bodu 3 opakujeme. Všechny tyto popsané metody jsou vhodné pro řešení jednodušších úloh prováděné ručním výpočtem. Další možností, jak řešit problém obchodního cestujícího, je využití specializovaných optimalizačních programů, které jsou při složitějších a rozsáhlých úlohách téměř nezbytné. 3.5 Řešení optimalizačních úloh pomocí počítače Řešení složitějších optimalizačních problémů vyžaduje použití pokročilejších prostředků. Existují speciální programové prostředky, které usnadňují řešení úlohy, zkracují dobu výpočtu a eliminují rizika spojená s ručním výpočtem. Holoubek (2010, s. 145) uvádí: Řešení praktických problémů, které mohou obsahovat stovky až tisíce proměnných i vlastních omezení, na základě ručního výpočtu nepřichází v úvahu kvůli velké pracnosti, časové náročnosti a nebezpečí vzniku numerických chyb. Uživatel si může vybrat z poměrně široké nabídky počítačových programů. K dostání jsou jednoduché levnější programy, zpravidla určené pro výuku, které jsou ovšem limitovány možností řešit úlohy s maximálně několika málo desítkami proměnných a omezujících podmínek. Dále jsou k dostání profesionální vysoce výkonné systémy, které umožňují řešit úlohy obsahující desítky tisíc proměnných a několik tisíc omezujících podmínek. Tomu ale samozřejmě odpovídá jejich cena, která se pohybuje v tisících amerických dolarů. V následujícím textu budou popsány programy STORM a LINGO, které umožňují řešení okružního dopravního problému (Jablonský, 2007, s. 135) Program STORM Rais (2005, s. 47) charakterizuje STORM jako systém, který obsahuje programy se základními metodami kvantitativního modelování, jež jsou určeny pro řešení ekonomických a technických problémů. Matematické modely, které jsou obsažené v systému STORM, vychází z oblasti operačního a systémového výzkumu, základů řízení technologických procesů a statistiky. Na univerzitě je k dispozici verze programu STORM 3.0, která pochází z roku 1991 a je dílem americké firmy Storm Software, Inc. Jak říká Holoubek (2010, s. 145): tato verze je provozována pod operačním systémem DOS, bez

32 Literární rešerše 32 zvláštních nároků na hardware. Tomu odpovídá i jednoduché pracovní prostředí a ovládání pomocí klávesnice. STORM nabízí uživateli velmi snadné ovládání. Hlavní nabídka obsahuje osmnáct modulů, mezi které se řadí například lineární a celočíselné programování, přiřazovací problém, dopravní problém, typické grafické optimalizační úlohy, teorie zásob, teorie front, plánování výroby, analýza investic, a další (Holoubek, 2010, s ). Práce v programu je založena na systému nabídek menu. Uživatel se v nabídce pohybuje buďto pomocí směrových kláves nebo zadáním čísla volby na numerické klávesnici. Výběr je potvrzen klávesou Enter (Lauber a Jablonský, 1997 a, s. 27). Po zvolení požadovaného modulu z nabídky hlavního menu se spustí režim INPUT, který nabízí dva způsoby získání vstupních údajů. Data mohou být v programu buďto nově vytvořena nebo načtena z předem připraveného souboru. Vytváření nového datového souboru probíhá v režimu EDIT, kde je také možné data kdykoli upravovat. Jakmile jsou konkrétní data načtena, spustí se uživateli režim PROCESS, v rámci kterého je možné data dále upravovat, uložit, vytisknout nebo zahájit proces řešení (Holoubek, 2010, s. 146) Program LINGO Program LINGO je produktem firmy Lindo Systems, Inc. Ve své profesionální verzi umožňuje řešit úkoly, ve kterých je až sto tisíc proměnných a třicet dva tisíc omezujících podmínek. LINGO umožňuje řešení lineárních i nelineárních optimalizačních úloh a řešení soustavy lineárních i nelineárních simultánních rovnic. LINGO využívá tři zabudované řešitele (solvery), které se automaticky volí dle charakteru konkrétní úlohy. Jedná se o řešitele určené pro lineární úlohy, nelineární úlohy a úlohy s podmínkami celočíselnosti (Lauber a Jablonský, 1997 b, s. 71). Jednou z hlavních charakteristik systému LINGO je podle Laubera a Jablonského (1997 b, s. 72) skutečnost, že systém obsahuje speciální jazyk pro matematické modelovaní. Tím se odlišuje od jiných optimalizačních programů. Nejprve je třeba zapsat navržený model pomocí speciálního jazyka. Tuto obecnou podobu matematického modelu poté stačí spojit s předem připraveným datovým souborem. Model připravený k řešení tak vzniká spojením obecné části modelu s konkrétním souborem dat. Nabízí se zde tedy opakované využití obecné části modelu pro úlohy stejného typu. Rychlost řešení je závislá na charakteru řešeného problému. Řešení složitých a rozsáhlých úloh bývá časově náročnější. Jak uvádí Lauber a Jablonský (1997 b, s. 72), v profesionálních verzích systému LINGO lze v rozumném čase řešit úlohy lineárního programování, které obsahují několik tisíc proměnných a omezujících podmínek.

33 Vlastní řešení problému 33 4 Vlastní řešení problému 4.1 Charakteristika získaných dat V této části diplomové práce budou získané teoretické poznatky aplikovány na konkrétní distribuční problém problém obchodního cestujícího. Optimalizace distribučních tras byla provedena v potravinářském podniku. Vedení tohoto podniku si však nepřeje uveřejňovat jeho název z toho důvodu, že se jedná o citlivá interní data, která představují jistou konkurenční výhodu, a mohlo by dojít k jejich zneužití. Tento potravinářský podnik se zabývá výrobou a distribucí balených potravinových produktů, které nepodléhají rychlé zkáze, jejich distribuce tedy nemusí být striktně časově omezená. Výrobní závod se nachází v Čechách. Po celé České republice je pak rozmístěno pět distribučních center skladů, díky kterým jsou zásobováni odběratelé v dané oblasti. Mezi ty patří především maloobchodní prodejny, velkoobchodní prodejci, restaurace, kiosky, školní jídelny a další. V rámci této diplomové práce byla navázána spolupráce s distribučním centrem, které se nachází v Brně a obhospodařuje zákazníky převážně Jihomoravského kraje a kraje Vysočina. Důležité podklady pro zpracování problematiky optimalizace dopravních tras byly poskytnuty vedením Distribučního centra Brno (dále DC Brno). Podnik zaměstnává sedm řidičů. Distribuce probíhá každý den od pondělí do pátku. Každý z řidičů má na starost minimálně pět tras v rámci pracovního týdne každý den tak absolvuje jednu trasu a obslouží dané odběratele, kteří se na trase vyskytují. Někteří řidiči absolvují během dne i dvě trasy. DC Brno tak dohromady obhospodařuje zhruba čtyřicet pravidelných linek. Odběratelé dopředu objednávají poptávané množství zboží, to však ve většině případů zůstává téměř neměnné. Každý řidič dostane na začátku trasy přepravní list, kde jsou uvedeny adresy jednotlivých odběratelů a množství objednaného zboží. Odběratelé jsou zde uspořádáni v takovém pořadí, jak je má řidič navštívit. Zároveň je zde uveden předpokládaný počet ujetých kilometrů. Nicméně dle vyjádření řidičů tato kilometrová vzdálenost občas neodpovídá skutečnosti. Distribuční trasy jsou ve většině případů pravidelné, jen někdy se stane, že některý z odběratelů v daném týdnu nepožaduje dodání zboží. Řidiči absolvují pravidelné okružní trasy, jedná se tedy o problém obchodního cestujícího. Je tu však jedna skutečnost, které musíme věnovat pozornost. Každý z řidičů začíná cestu již v místě svého bydliště, poté jede do DC Brno, kde proběhne nakládka zboží. Až rozveze zboží odběratelům, vrací se zpátky do místa svého bydliště, nikoli už do DC Brno. Proto se nejedná o typický okružní problém, v tomto případě je totiž první úsek trasy (z bydliště do DC Brno) pevně dán a nemůže být optimalizací změněn. Jak již bylo řečeno, DC Brno dohromady obhospodařuje zhruba čtyřicet pravidelných linek. V rámci této diplomové práce byla podnikem poskytnuta

34 Vlastní řešení problému 34 data od dvou řidičů. Jeden z nich bydlí ve Slavkově u Brna, druhý dojíždí z Pohořelic. Co se týče počtu odběratelů, dohromady se jedná o 48 odběratelských míst, která musí být navštívena v rámci jednoho týdne těmito dvěma řidiči. Cílem této práce bude nejprve rozdělit tato místa do tras pro každého řidiče tak, aby bylo přihlédnuto k místu bydliště řidiče. Následně budou místa na všech trasách seřazena za sebe tak, aby bylo dosaženo co nejmenšího počtu ujetých kilometrů. Bude tak zoptimalizována část distribuční sítě, to znamená, že bude navrženo nové rozdělení odběratelů pro tyto dva řidiče v rámci jednoho týdne. Pokud bychom se rozhodli zoptimalizovat celou distribuční síť v rámci jednoho řešení, vznikla by velmi obsáhlá dopravní úloha, která by byla pro použití ručních výpočtů velice náročná a složitá. Pro aplikaci ručních výpočtů je tedy vhodnější rozdělit síť na menší celky jako v našem případě, kdy budeme optimalizovat trasy dvou řidičů. V rámci optimalizace tras ostatních řidičů by pak byl postup obdobný. Oba tito řidiči mají k dispozici nákladní automobily značky RENAULT, které spadají do kategorie pod 3,5 tuny, s ložným prostorem o maximální kapacitě šesti palet. Tento typ vozu nemá nakládací plošinu, proto nakládka a vykládka probíhá buďto ručně nebo pomocí zdvižného vozíku a zabere tak více času. Podle informací vychystávání a nakládka trvají přibližně dvě hodiny, obsloužení jednoho odběratele se pohybuje v rozmezí od dvaceti do čtyřiceti minut podle velikosti konkrétní objednávky (při výpočtech budeme počítat pro vykládku zboží průměrně třicet minut). Objednané zboží je uloženo na palety, ty ale nemusí být zcela zaplněny. Na jednu paletu však není ukládáno zboží pro více odběratelů dohromady. Východiskem pro práci při rozdělování odběratelů do jednotlivých tras je čtvercová matice, která obsahuje vzdálenosti mezi všemi odběrateli. V našem případě se jedná o 49 míst, která zahrnují odběratele i distribuční centrum. Vznikne tak matice o velikosti 49 x 49 prvků, což znamená 2352 hodnot. Kdybychom zamýšleli takovouto optimalizaci celé distribuční sítě, která čítá přes dvě stě pravidelných odběratelů, vznikla by matice s více než prvky, což by velice zkomplikovalo práci při výpočtech a také by se zvýšila možnost vzniku chyb. Z tohoto hlediska je tedy lepší rozdělit distribuční síť do menších částí, tak jako v našem případě. Než přistoupíme k samotné optimalizaci, uvedeme v části původních deset tras před optimalizací. Řidiče ze Slavkova u Brna budeme dále značit písmenem S a řidiče z Pohořelic písmenem P. V příslušných tabulkách je uvedeno i množství objednaného zboží v paletách. Oba řidiči využívají nákladní automobil RENAULT s ložným prostorem o maximální kapacitě šesti palet.

35 Vlastní řešení problému Původní distribuční trasy před optimalizací V této části je uvedeno deset původních distribučních tras dvou řidičů. Název trasy obsahuje písmeno S nebo P podle toho, jestli trasa náleží řidiči ze Slavkova (S) nebo Pohořelic (P). Následuje číslice, která udává den v týdnu. Číslice 1 patří pondělí a číslice 5 pátku. U každého z odběratelských míst je uvedeno množství objednaného zboží v paletách. Kapacita nákladního automobilu je šest paletových míst, jak je vidět, u několika tras není kapacita zcela využita. Celková absolvovaná kilometrová vzdálenost byla získána pomocí plánovače tras Maps.google.cz, kam byly zahrnuty i vzdálenosti z místa bydliště do DC Brno a následně i od posledního odběratele zpět do místa bydliště. Celková vzdálenost, kterou řidiči během týdne absolvují na všech těchto trasách, je km. Linka S1 Tato linka obsahuje čtyři odběratelská místa. Jejich výčet je uveden v tabulce 3. Okruh začíná ve Slavkově u Brna, odkud řidič míří do DC Brno, kde se uskuteční nakládka palet. Poté navštíví v daném pořadí všechny odběratele a vrací se do Slavkova. První úsek trasy ze Slavkova do Brna je vždy shodný u všech linek s označením S a měří 17, 6 km. Celková délka této trasy je 300 km. Na této lince leží města západně od Brna, která jsou součástí kraje Vysočina. Kapacita vozidla je bezezbytku naplněna. Tab. 3 Linka S1 Linka S1 (300 km) Množství zboží (palety) Slavkov u Brna - DC Brno - Zbýšov 1 Velká Bíteš 1 Jihlava 3 Pelhřimov 1 Slavkov u Brna - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka S2 Tato linka obsahuje šest odběratelských míst. Výčet je uveden v tabulce 4. Celková ujetá vzdálenost je 214 km. I v tomto případě je kapacita vozidla naplněna šesti paletami.

36 Vlastní řešení problému 36 Tab. 4 Linka S2 Linka S2 (214 km) Množství zboží (palety) Slavkov u Brna - DC Brno - Bavory 1 Valtice 1 Břeclav 1 Rohatec 1 Kyjov 1 Křepice 1 Slavkov u Brna - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka S3 Zde jsou obslouženi čtyři odběratelé, uvedeni v tabulce 5. Celková vzdálenost okruhu je 229 km. V tomto případě kapacita vozidla naplněna není, vozidlo převáží pouze pět palet. Tab. 5 Linka S3 Linka S3 (229 km) Množství zboží (palety) Slavkov u Brna - DC Brno - Bystřice 1 Strání 1 Velká nad Veličkou 1 Milotice 2 Slavkov u Brna - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka S4 Struktura této linky je podobná lince S3. Opět jsou obslouženi čtyři odběratelé a kapacita vozidla není naplněna, je naloženo jen pět palet. Délka trasy je 240 km. Podrobnosti jsou uvedeny v tabulce 6.

37 Vlastní řešení problému 37 Tab. 6 Linka S4 Linka S4 (240 km) Množství zboží (palety) Slavkov u Brna - DC Brno - Otrokovice 2 Uherský Brod 1 Uherské Hradiště 1 Klobouky u Brna 1 Slavkov u Brna - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka S5 Na této poslední lince řidiče ze Slavkova je obslouženo pět odběratelů. Celková ujetá vzdálenost je 200 km. Vozidlo je plně naloženo šesti paletami. Výčet odběratelů ukazuje tabulka 7. Tab. 7 Linka S5 Linka S5 (200 km) Množství zboží (palety) Slavkov u Brna - DC Brno - Brno, Heršpická 2 Brněnské Ivanovice 1 Zerzavice 1 Veselí nad Moravou 1 Hodonín, Velkomoravská 1 Slavkov u Brna - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka P1 Nyní následuje výčet pěti tras, které má na starost řidič z Pohořelic. Jako první je pondělní linka P1. Na této lince je obslouženo šest odběratelů, kteří jsou uvedeni v tabulce 8. Kapacita vozidla je plně vytížena. Řidič absolvuje okruh o délce 184 km.

38 Vlastní řešení problému 38 Tab. 8 Linka P1 Linka P1 (184 km) Množství zboží (palety) Pohořelice - DC Brno - Bzenec 1 Strážnice 1 Petrov 1 Hodonín, Brněnská 1 Moravská Nová Ves 1 Hustopeče, Žižkova 1 Pohořelice - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka P2 Na této lince je prováděna distribuce zboží k pěti odběratelům uvedeným v tabulce 9. Kapacita vozidla je opět naplněna šesti paletami. Celková ujetá vzdálenost je 178 km. Tab. 9 Linka P2 Linka P2 (178 km) Množství zboží (palety) Pohořelice - DC Brno - Novosedly 1 Hevlín 1 Dyjákovice 1 Chvalovice 1 Znojmo 2 Pohořelice - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka P3 Řidič na této lince absolvuje okruh se šesti odběrateli. Celková vzdálenost je 209 km. Kapacita vozidla je i v tomto případě plně využita. Výčet odběratelů včetně jejich požadavků je uveden v tabulce 10.

39 Vlastní řešení problému 39 Tab. 10 Linka P3 Linka P3 (209 km) Množství zboží (palety) Pohořelice - DC Brno - Vyškov, Brněnská 1 Vyškov, Komenského 1 Žeravice 1 Buchlovice 1 Svatobořice 1 Hustopeče, Janáčkova 1 Pohořelice - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka P4 Tato linka obsahuje čtyři odběratelská místa uvedená v tabulce 11. Okruh je dlouhý 180 km. Kapacita vozidla v tomto případě vyčerpána není, vůz převáží pouze pět palet. Tab. 11 Linka P4 Linka P4 (180 km) Množství zboží (palety) Pohořelice - DC Brno - Žarošice 1 Koryčany 1 Čejkovice 1 Lednice 2 Pohořelice - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Linka P5 Na poslední lince řidiče z Pohořelic jsou obslouženi čtyři odběratelé, kteří se nachází západně od Brna. Jejich výčet uvádí tabulka 12. Kapacita vozidla je plně využita šesti paletami. Celková ujetá vzdálenost je 253 km.

40 Vlastní řešení problému 40 Tab. 12 Linka P5 Linka P5 (253 km) Množství zboží (palety) Pohořelice - DC Brno - Třebíč 2 Telč 1 Dačice 1 Moravské Budějovice 2 Pohořelice - Zdroj: Vlastní práce dle podkladů DC Brno Jak je zřejmé z výčtu odběratelských míst v předchozím textu, současné řešení distribuce vykazuje určité nedostatky. Jedním z nedostatků se jeví nevyužitá kapacita vozidla na některých trasách, kdy řidiči přepravují pět místo maximálních šesti palet. Nicméně už nyní můžeme říci, že tato nevyužitá kapacita není natolik velká, aby se nám podařilo zcela ušetřit jedno vozidlo/ trasu. Dále zde jsou některá města, která bývají navštívena v rámci dvou tras. Konkrétně se jedná o Hodonín, který je zařazen do linky S5 a další odběratel z Hodonína do linky P1. Dále také Hustopeče (linka P1 a P3). Přitom by mohli být oba odběratelé z jednoho města navštíveni v jeden den jedním řidičem. Zde však může nastat situace, že při tvorbě nové trasy díky kapacitnímu omezení nebude již možné přidat obě místa do stejné trasy. Při tvorbě linek DC Brno nezohledňovalo místo bydliště řidičů, přestože jim umožňuje využití vozidla pro cestu do Brna a po rozvozu zboží i cestu zpátky domů. V následující části práce se proto pokusíme o návrh takového řešení okružních linek, které by místo bydliště řidičů v rámci tvorby nových tras zohlednilo. 4.2 Návrh distribučních okruhů Máme zde 48 odběratelských míst, která v prvním kroku musíme rozdělit do distribučních skupin (okruhů) s ohledem na maximální kapacitu vozidla. Poté je třeba místa na trase seskládat do takového pořadí, aby to bylo co nejvýhodnější z hlediska ujeté vzdálenosti. Pro řešení tohoto problému se jako ideální jeví Mayerova metoda sestavení okružních jízd výběrem minimálních prvků, která byla popsána v teoretické části práce. Postup řešení vychází ze symetrické matice vzdáleností, uvedených v kilometrech, mezi všemi odběratelskými místy navzájem a distribučním skladem. Odběratelská místa jsou v matici seskládána podle vzdálenosti k distribučnímu centru. Nejvzdálenější místo je uvedeno první (v prvním řádku a sloupci matice), distribuční centrum jako poslední (v posled-

41 Vlastní řešení problému 41 ním řádku a sloupci matice). Zde však nastává otázka, jak do tohoto řešení zakomponovat místo bydliště řidičů. Potřebujeme tedy zohlednit vzdálenost míst nejen k distribučnímu centru, ale i k místům bydliště a vytvořit distribuční linky tak, aby to bylo výhodné i z tohoto hlediska. V rámci prvního kroku Mayerovy metody, kdy se vybírají místa pro jednotlivé okružní trasy, byly vytvořeny tři rozdílné matice vzdáleností. Přesněji řečeno byla vytvořena první matice, ve které byli odběratelé řazeni podle vzdálenosti k distribučnímu centru. Následně bylo pořadí odběratelů změněno tentokrát podle vzdálenosti ke Slavkovu u Brna a do třetice byla stejná změna provedena vůči Pohořelicím. Tyto tři matice jsou uvedeny v tabulkách 28, 29 a 30 a jsou součástí volné přílohy práce. Matice byly tvořeny v programu Microsoft Excel, z toho důvodu bylo provedeno přeskládání míst v matici jednoduše díky funkci Seřadit. Stačilo nastavit seřazení hodnot od největší po nejmenší dle sloupce a řádku konkrétního místa, tedy podle Slavkova a následně Pohořelic. Vytvořili jsme tedy tři varianty pro výpočet Mayerovou metodou. Nejprve si vezmeme matici vzdáleností, kde je hlavním místem distribuční centrum Brno, z toho vyplývá, že tentokrát zanedbáme vzdálenosti odběratelů k místům bydliště řidičů. Na této matici si ukážeme konkrétní postup řešení Mayerovou metodou. Tabulka 13 ukazuje začátek postupu řešení. Jde o část tabulky vzdáleností uvedené v příloze, ale k prezentaci řešení nám v tomto případě postačí. Začínáme nejvzdálenějším místem od distribučního centra, kterým je Telč. V posledním řádku a sloupci tabulky 13 je vidět, že vzdálenost Telč DC Brno je 127 km. Telč tedy bude prvním místem zařazeným do prvního rozvozového okruhu. Musíme zkontrolovat i objednané množství zboží a porovnat ho s kapacitou vozidla. Do Telče má být dopravena jedna paleta, kapacita tedy naplněna není a můžeme do okruhu přidat další místo. Nalezneme ho tak, že ve sloupci Telč hledáme nejnižší hodnotu nejmenší vzdálenost. Tou je hodnota 12,6 km, která přísluší Dačicím. Opět zkontrolujeme objem zboží. I do Dačic má být dopravena pouze jedna paleta, kapacita tedy stále není naplněna. Nyní hledáme nejnižší hodnotu ve sloupcích Dačice a Telč. Ve sloupci Dačice je to hodnota 12,6 km, která ale náleží místu Telč a to už je v okruhu zařazeno. Další minimální hodnotou je proto 30,8 km ve sloupci Dačice, což je vzdálenost do Moravských Budějovic. Ty budou dalším místem přidaným do okruhu. Moravské Budějovice poptávají dvě palety, kapacita vozidla tak stále ještě není zcela naplněna. Další minimální hodnotu tedy hledáme ve sloupcích Telč, Dačice a Moravské Budějovice. Ve sloupci Moravské Budějovice je to hodnota 23,3 km, která náleží Třebíči. Třebíč poptává také dvě palety. Tím pádem je součet množství šest palet, kapacita vozidla je zcela naplněna a končí tak výběr míst pro první okružní trasu.

42 Vlastní řešení problému 42 Tab. 13 Postup řešení Mayerovou metodou Telč Pelhřimov Dačice Strání Moravské Budějovice Třebíč DC Brno Telč 0 38,2 12, ,5 34,8 127 Pelhřimov 38,2 0 49, , Dačice 12,6 49, ,8 41,6 121 Strání ,9 Moravské Budějovice 35,5 69,6 30, ,3 Třebíč 34, , ,3 0 79,7 DC Brno ,9 81,4 79,7 0 81,4 Zdroj: Vlastní práce Prvním místem vybraným do další okružní trasy bude Pelhřimov, který je druhým nejvzdálenějším místem vzhledem k distribučnímu centru. Následný postup je totožný jako v případě prvního okruhu, je třeba však dávat pozor na místa, která už jsou v okruzích zařazena, proto je dobré pro lepší přehlednost příslušné řádky a sloupce po umístění do okruhu z matice vyškrtnout. Výsledkem jsou odběratelská místa rozřazená do deseti okružních tras. Zatím však nebereme ohled na místa bydliště řidičů. Jednotlivé okruhy jsou uvedeny v následující tabulce 14.

43 Vlastní řešení problému 43 Tab. 14 Návrh distribučních okruhů varianta DC Brno Distribuční okruh Místa zařazená do okruhu Počet palet 1B Telč - Dačice - Moravské Budějovice - Třebíč 6 2B Pelhřimov - Jihlava - Velká Bíteš - Zbýšov 6 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B Strání - Bystřice pod Lopeníkem - Uherský Brod - Uherské Hradiště - Zerzavice - Buchlovice Velká nad Veličkou - Veselí nad Moravou - Strážnice - Petrov - Rohatec - Hodonín, Brněnská Otrokovice - Bzenec - Žeravice - Kyjov - Svatobořice Chvalovice - Znojmo - Dyjákovice - Hevlín - Novosedly Hodonín, Velkomoravská - Moravská Nová Ves - Břeclav - Lednice - Valtice Čejkovice - Klobouky u Brna - Žarošice - Křepice - Hustopeče, Žižkova - Hustopeče, Janáčkova Milotice - Koryčany - Vyškov, Komenského - Vyškov, Brněnská - Brněnské Ivanovice B Bavory - Brno, Heršpická 3 Zdroj: Vlastní práce Odběratele jsme rozdělili do deseti tras. Mějme však na paměti, že tento první krok Mayerovy metody pouze rozdělí místa do skupin, konkrétní pořadí na trase musíme provést až v druhém kroku. Devětkrát bude nákladní automobil plně naložený šesti paletami, poslední okruh se sestává ze dvou míst, jejichž požadavky zaplní pouze polovinu ložného prostoru. Distribuční okruhy jsou označeny písmenem B, které značí variantu matice vzdáleností, kde hlavním místem je DC Brno. Nyní celý postup zopakujeme pro matici, kde hlavním místem bude

44 Vlastní řešení problému 44 Slavkov u Brna, jako bydliště jednoho z řidičů. Okruhy označíme písmenem S. Výsledek ukazuje tabulka 15: Tab. 15 Návrh distribučních okruhů varianta Slavkov u Brna Distribuční okruh Místa zařazená do okruhu Počet palet 1S Telč - Dačice - Moravské Budějovice - Třebíč 6 2S Pelhřimov - Jihlava - Velká Bíteš - Zbýšov 6 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S Strání - Bystřice pod Lopeníkem - Uherský Brod - Uherské Hradiště - Zerzavice - Buchlovice Velká nad Veličkou - Veselí nad Moravou - Strážnice - Petrov - Rohatec - Hodonín, Brněnská Otrokovice - Bzenec - Žeravice - Kyjov - Svatobořice Chvalovice - Znojmo - Dyjákovice - Hevlín - Novosedly Bavory - Lednice - Valtice - Břeclav - Moravská Nová Ves Hodonín, Velkomoravská - Milotice - Čejkovice - Klobouky u Brna - Žarošice Hustopeče, Žižkova - Hustopeče, Janáčkova - Křepice - Brněnské Ivanovice - Brno, Heršpická Koryčany - Vyškov, Komenského - Vyškov, Brněnská Zdroj: Vlastní práce Pokud tyto distribuční okruhy srovnáme s předchozí variantou, zjistíme, že jich je šest zcela stejných a další čtyři okruhy se liší. V tabulce 15 jsou odlišné skupiny naznačeny kurzívou. Rozdílné složení se dalo očekávat z toho důvodu, že pořadí odběratelských míst podle vzdálenosti k distribučnímu centru v Brně a ke Slavkovu je odlišné. Pokud tedy postupujeme při Mayerově metodě od nejvzdálenějšího místa, bude toto pořadí rozdílné a tím pádem vzniknou i jiná počáteční místa pro tvořené okruhy.

45 Vlastní řešení problému 45 Totožný postup zopakujeme i u třetí varianty vzdálenostní matice, kdy je tentokrát zvoleno místo distribučního centra v Brně hlavním místem bydliště řidiče v Pohořelicích. Výsledek ukazuje tabulka 16, kde okruhy jsou značeny písmenem P. Tab. 16 Návrh distribučních okruhů varianta Pohořelice Distribuční okruh Místa zařazená do okruhu Počet palet 1P Telč - Dačice - Moravské Budějovice - Třebíč 6 2P Pelhřimov - Jihlava - Velká Bíteš - Zbýšov 6 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P Strání - Bystřice pod Lopeníkem - Uherský Brod - Uherské Hradiště - Zerzavice - Buchlovice Velká nad Veličkou - Veselí nad Moravou - Strážnice - Petrov - Rohatec - Hodonín, Brněnská Otrokovice - Bzenec - Žeravice - Kyjov - Svatobořice Chvalovice - Znojmo - Dyjákovice - Hevlín - Novosedly Koryčany - Milotice - Hodonín, Velkomoravská - Moravská Nová Ves - Břeclav Vyškov, Komenského - Vyškov, Brněnská - Brno, Heršpická, Brněnské Ivanovice - Křepice Čejkovice - Klobouky u Brna - Žarošice - Hustopeče, Janáčkova - Hustopeče, Žižkova - Bavory P Lednice - Valtice 3 Zdroj: Vlastní práce I v tomto případě vzniklo šest okruhů totožných se dvěma předchozími variantami. Zbývající čtyři distribuční okruhy se liší. I zde je v devíti případech auto plně naloženo šesti paletami, v posledním případě je využita pouze polovina ložného prostoru. Už nyní lze říct, že vznikne deset distribučních linek, tedy stejný počet jako v původním řešení.

46 Vlastní řešení problému 46 Máme tedy tři varianty řešení distribučních okruhů. Předem však nelze říct, která varianta by byla lepší. To zjistíme až zařazením distribučního centra a hlavně také bydliště řidičů. 4.3 Návrh distribučních okružních linek Ve druhém kroku Mayerovy metody tedy budeme postupovat tak, že všechny trasy zoptimalizujeme pro oba řidiče, jak pro Slavkov, tak pro Pohořelice. Následně vyhodnotíme, která z variant bude lepší z hlediska celkového součtu najetých kilometrů. Pořadí na každé z tras tedy budeme sestavovat dvakrát jednou zařadíme do trasy Slavkov, podruhé Pohořelice a budeme srovnávat, ve kterém případě bude celková délka trasy kratší. Dostáváme se tak k řešení okružního problému. K řešení klasického okružního dopravního problému máme k dispozici několik optimalizačních metod, které byly zmíněny v literární rešerši (Metoda nejbližšího souseda, Habrova metoda absolutních výhodností, Metoda větví a mezí, Littlova metoda). V našem případě však potřebujeme při optimalizaci respektovat pevně daný úsek z místa bydliště řidiče do Brna. Ze všech zmíněných metod lze k tomuto účelu nejlépe využít Littlovu metodu, jejíž algoritmus bez problémů a s dobrým výsledkem umožňuje do distribučního okruhu vložit pevně daný úsek Řešení pomocí Littlovy metody Přesný postup si nyní ukážeme na prvním distribučním okruhu Telč Dačice Moravské Budějovice Třebíč. Tento okruh je pro všechny tři varianty matic totožný. Východiskem k řešení okružního problému Littlovou metodou je třeba sestavit matici vzdáleností. K odběratelům přidáme jednak brněnské distribuční centrum a dále také bydliště prvního z řidičů, kterým jsou Pohořelice. Před samotným výpočtem si však musíme matici vzdáleností náležitě upravit tak, abychom zaručili cestu z Pohořelic do DC Brno. Toho docílíme tak, že v matici vynecháme první řádek a druhý sloupec, čímž zařadíme bez jakéhokoli výpočtu do okruhu cestu z bodu 1 do bodu 2. Vzdálenost z Pohořelic do Brna je 31 kilometrů. Příslušné políčko je v následující tabulce 17 vyznačeno šedou barvou. První řádek a druhý sloupec matice jsou označeny šipkou a vyškrtnuty. V druhém kroku výpočtu budou z matice vynechány. Na diagonále jsou pole přeškrtnutá, protože jeden úsek cesty nemůže začínat a končit ve stejném místě. Čísla v popisu řádků a sloupců zastupují jednotlivá místa na trase: 1. Pohořelice, 4. Dačice, 2. DC Brno, 3. Telč, 5. Moravské Budějovice, 6. Třebíč.

47 Vlastní řešení problému 47 Tab. 17 První krok Littlovy metody ,0 103,0 98,7 63,7 62,2 2 31,0 127,0 121,0 81,4 79, ,0 127,0 12,6 35,5 34,8 4 98,7 121,0 12,6 30,8 41,6 5 63,7 81,4 35,5 30,8 23,3 6 62,2 79,7 34,8 41,6 23,3 Zdroj: Vlastní práce Po vyškrtnutí prvního řádku a sloupce nám zůstane redukovaná matice vzdáleností. Nyní už pokračujeme podle klasického algoritmu Littlovy metody. V tabulce 18 vidíme druhý krok výpočtu. V každém řádku i sloupci matice se musí objevit minimálně jedna nulová sazba. Toho dosáhneme tím, že od každého řádku odečteme nejnižší řádkovou sazbu, která se nazývá transformační konstanta. V tabulce jsou řádkové transformační konstanty v posledním sloupci označeném symbolem ai. V případě, že se po tomto kroku v některém sloupci nenachází ani jedna nulová sazba, stejným způsobem odečteme sloupcové transformační konstanty. V tabulce 18 se nachází sloupcové transformační konstanty v řádku označeném symbolem bi. Sloupcovou transformační konstantu musíme dodatečně odečíst pouze od prvního sloupce. Dále je nutné označit tzv. zakázanou cestu, která by předčasně uzavřela okružní jízdu. V tomto případě se jedná o cestu z místa 2 do místa 1. Zakázané cesty budeme při výpočtu značit symbolem.

48 Vlastní řešení problému 48 Tab. 18 Druhý krok Littlovy metody (1. část) ai 2 127,0 121,0 81,4 79,7 79, ,0 12,6 35,5 34,8 12,6 4 98,7 12,6 30,8 41,6 12,6 5 63,7 35,5 30,8 23,3 23,3 6 62,2 34,8 41,6 23,3 23,3 bi 38,9 Zdroj: Vlastní práce Součtem všech řádkových a sloupcových konstant vypočteme hodnotu Z0, o kterou klesne hodnota účelové funkce libovolného přípustného řešení při odečtení transformačních konstant. Suma všech řádkových transformačních konstant je v tomto případě rovna 151,5 a suma sloupcových konstant je 38,9. Hodnotu Z0 získáme jejich prostým součtem: Z 151,5 38,9 190,4 (20) 0 Tab. 19 Druhý krok Littlovy metody (2. část) ,3 41,3 1,7 1, ,5 29,7 0 22,9 22, ,2 29,7 0 1,5 12,2 7,5 18,2 29 1, ,5 0 11,5 18,3 1,7 0 Zdroj: Vlastní práce

49 Vlastní řešení problému 49 Další krok výpočtu ukazuje tabulka 19. Matice je zredukovaná po odečtení všech transformačních konstant. Nyní pro všechna pole s nulovou sazbou stanovíme hodnoty. Ty vypočteme jako součet nejmenší hodnoty v i-tém řádku ij a nejmenší hodnoty v j-tém sloupci. Hodnoty jsou v příslušných polích zvýrazněny pomocí většího písma. Konkrétně například pro pole značící vzdálenost z místa 2 do místa 6 postupujeme tak, že v řádku č. 2 vybereme minimální hodnotu 1,7 (pole 2 5). Ze sloupce č. 6 pak hodnotu 0 (pole 5 6). Tyto dvě hodnoty sečteme a výsledek 1,7 zapíšeme do políčka s nulovou sazbou na pozici 2 6. Ze všech vypočtených hodnot zvolíme maximální hodnotu. Toto ij maximum má v tabulce 19 hodnotu 29,7 a vyskytuje se zde dokonce dvakrát. Dle algoritmu Littlovy metody je jedno, které z polí s maximální hodnotou si zvolíme. Vybereme tedy pole, které udává cestu z místa 3 do místa 4. Znamená to, že další etapa okružní linky povede z Telče do Dačic: 3 4 Poté vypočítáme hodnotu účelové funkce Z při nezařazení cesty 3 4 do 3 ; 4 okruhu. Hodnotu účelové funkce získáme součtem hodnot a Z0 max. ij Z 190,4 29,7 220,1 3;4 (21) Díky tomuto výpočtu můžeme v dalším kroku Littlovy metody ověřit, zda jsme provedli správně zařazení konkrétního úseku do okruhu. Pokud bude hodnota větší nebo rovna hodnotě 3 Z, pak byl postup zařazení úseku do okružní 3 ; 4 Z ; 4 trasy správný. Hodnota Z zde reprezentuje hodnotu předchozí účelové funkce, tedy, zvětšenou o součet všech dalších nových transformačních konstant, 3 ; 4 Z0 které se budou odečítat ve třetím kroku algoritmu Littlovy metody. Ukažme si nyní další krok pomocí tabulky 20. Matici jsme zredukovali vyškrtnutím řádku č. 3 a sloupce č. 4, jelikož cesta z místa 3 do místa 4 byla zařazena do okruhu. Označíme všechny zakázané cesty, které by předčasně uzavřely okruh. V řádku č. 4 a sloupci č. 3 chyběla nulová sazba, proto musely být odečteny transformační konstanty, které jsou opět uvedeny ve sloupci ai a řádku bi. Pokud tyto konstanty sečteme, získáme číslo 29,7. Nyní můžeme vypočítat hodnotu Z : 3 ; 4 max

50 Vlastní řešení problému 50 Z Z 3;4 220,1 220,1 3;4 190,4 29,7 220,1 Z 3;4 (22) Hodnoty se rovnají, z toho vyplývá, že jsme cestu z bodu 3 do bodu 4 zařadili do okruhu správně. Tab. 20 Třetí krok Littlovy metody ai 2 35,8 1,7 1, ,8 0 10,8 18,2 5 1,5 0,7 0, ,5 0 0, bi 11,5 Zdroj: Vlastní práce Pro všechna pole s nulovou sazbou opět vypočteme hodnoty ij a zvolíme maximální hodnotu max. Toto maximum má v tabulce 20 hodnotu 10,8 a udává cestu z místa 4 do místa 5. Další etapa okružní linky proto povede z Telče přes Dačice do Moravských Budějovic: 3 4 Vypočítáme hodnotu účelové funkce Z při nezařazení cesty 4 5 do okruhu. 4 ; 5 Hodnotu účelové funkce získáme součtem hodnot Z a 3; 4 max. 5 Z 220,1 10,8 230,9 4;5 (23) Pokračujeme čtvrtým krokem, který je uveden v tabulce 21. Matice byla zredukována o řádek č. 4 a sloupec č. 5. Zakázaná cesta je nyní z místa 5 do místa 3, jelikož zařazením tohoto úseku by se okruh předčasně uzavřel.

51 Vlastní řešení problému 51 Tab. 21 Čtvrtý krok Littlovy metody ai 2 35,8 35, ,5 1, ,5 0 35,8 0 bi Zdroj: Vlastní práce Nulové sazby máme tentokrát ve všech řádcích i sloupcích, nemusíme proto odečítat žádné transformační konstanty. Vypočteme hodnotu účelové funkce Z : 4 ; 5 Z Z 4;5 220,1 230,9 4;5 220, ,1 Z 4;5 (24) Z uvedeného srovnání vyplývá, že cesta z bodu 4 do bodu 5 byla zařazena správně. Další úsek cesty nalezneme výpočtem hodnot. Maximální hodnota se v tabulce 21 vyskytuje opět dvakrát. Vybereme například hodnotu pole 2 6. Toto maximum je 35,8 a udává cestu z místa 2 do místa 6. Tím se nám propojil úsek cesty z Pohořelic přes DC Brno do Třebíče: 1 2 Vypočítáme hodnotu účelové funkce Z při nezařazení cesty 2 6 do okruhu. 2 ; 6 Hodnotu účelové funkce získáme součtem hodnot Z a 4; 5 max. 6 Z 220,1 35,8 255,9 2;6 (25) ij V pátém kroku jsme matici opět zredukovali o řádek č. 2 a sloupec č. 6. Zakázaná cesta vede z místa 6 do místa 1 a z místa 5 do místa 3. Oba tyto úseky by okružní trasu uzavřely předčasně. V řádku č. 5 chybí nulová sazba, proto odečteme

52 Vlastní řešení problému 52 transformační konstantu 1,5 a vznikne nám matice o čtyřech polích, kdy dvě pole jsou zakázané cesty a dvě pole mají nulovou sazbu a určují tak zbylé úseky okružní trasy. Výpočet je proto u konce. Nesmíme však ještě zapomenout na výpočet hodnoty účelové funkce. Tab. 22 Pátý krok Littlovy metody 1 3 ai 5 1,5 1,5 6 0 bi Zdroj: Vlastní práce Nejprve je třeba vypočítat hodnotu Z, která určí správnost zařazení úseku 2 ; 6 z bodu 2 do bodu 6: Z Z 2;6 221,6 255,9 2;6 220,1 1,5 221,6 Z 2;6 (26) Určení hodnoty Z nám u typického okružního problému pomůže určit délku 2 ; 6 celého okruhu. V našem případě však k této hodnotě musíme připočítat ještě první etapu z místa 1 do místa 2, tedy z Pohořelic do Brna, kterou jsme na začátku výpočtu pevně stanovili. Její délka je 31 km. Délka celého okruhu je tedy 252,6 km, což můžeme ověřit i sečtením příslušných políček v matici vzdáleností. Výsledný okruh má tedy následující podobu: Řidič vyjede z Pohořelic, v DC Brno proběhne nakládka, poté zásobuje odběratele v Třebíči, Telči, Dačicích, Moravských Budějovicích a odtud se pak vrátí zpět do Pohořelic. Celý postup řešení pomocí Littlovy metody nyní zopakujeme znovu jen s tím rozdílem, že na prvním místě trasy s označením 1 nebudou Pohořelice, ale Slavkov u Brna. Celý průběh výpočtu probíhal stejně jako v předchozím případě, došlo však k jinému uspořádání míst a jiné délce okruhu:

53 Vlastní řešení problému 53 V tomto případě řidič svoji jízdu začíná ve Slavkově u Brna, naloží zboží v DC Brno a pokračuje do Moravských Budějovic, Dačic, Telče a Třebíče, odkud míří zpátky domů do Slavkova. Tato varianta má délku 271,8 km, je tedy zhruba o dvacet kilometrů delší než když trasu obslouží řidič z Pohořelic. Z toho vyplývá, že tato trasa by měla být přiřazena řidiči z Pohořelic. Tato trasa je dokonce zcela totožná jak výčtem míst, tak jejich uspořádáním, s původní linkou P5 (tabulka 12), kterou jezdí pohořelický řidič v pátek. Littlova metoda se ukázala jako vhodná k řešení tohoto typu problému. U rozsáhlejších problémů je však tento ruční výpočet velmi zdlouhavý a náchylný k numerickým chybám. Z toho důvodu budeme k optimalizaci dalších tras využívat specializovaný program STORM, který máme k dispozici ve verzi Řešení pomocí programu STORM Program STORM ve verzi 3.0 nabízí jednoduché pracovní prostředí s ovládáním pomocí klávesnice a možností vložení vzdálenostní matice s maximálně padesáti odběrateli. Řešení okružního problému je dostupné v modulu číslo čtyři: Distance Networks (Paths, Tours, Trees). Tento modul obsahuje řešení grafických optimalizačních úloh. V programu STORM budeme opět řešit trasu, kterou jsme optimalizovali pomocí Littlovy metody. Uvidíme, zda STORM nabídne stejné nebo odlišné řešení. Při vkládání dat se program nejprve zeptá na počet uzlů míst v okruhu. Dále musíme zadat údaj, zda je matice vzdáleností symetrická nebo asymetrická. V našem případě sice hodnoty v matici jsou kvůli Mayerově metodě symetrické, nicméně kvůli pevně určenému úseku trasy z místa bydliště řidiče do distribučního centra musíme hodnoty do matice zadat částečně asymetricky. Zvolíme proto vygenerování asymetrické matice. To nás přivedlo k otázce, jak zadat do matice hodnoty, aby program upřednostnil při optimalizaci pevně daný úsek trasy. Na hlavní diagonále matice jsou tečky, které zakazují vkládání jakýchkoli hodnot. Pokud však na pozici mimo hlavní diagonálu nevložíme žádnou hodnotu, program dodatečně vložení hodnoty nevyžaduje a zadaný úkol vyřeší. Jestliže tedy máme pevně daný úsek z místa 1 do místa 2, v prvním řádku matice vložíme pouze jednu hodnotu (31 km) na pozici 1 2. Zbytek řádku necháme volný. Dále nechceme, aby byla vybrána cesta z Brna (místo 2) do Pohořelic (místo 1), což by předčasně uzavřelo okruh. Proto necháme volnou i pozici 2 1. Bez vyplněných hodnot necháme i druhý sloupec, kde jediná zadaná hodnota bude na pozici 1 2. Našim cílem totiž je, aby jediným místem, ze kterého se dostaneme do DC Brno, byly Pohořelice. Obrázek 2 ukazuje, jak vypadá zadaná matice vzdáleností v programu STORM:

54 Vlastní řešení problému 54 Obr. 2 Tvorba matice vzdáleností v programu STORM V obrázku jsou vidět všechny zakázané cesty, které byly popsány v předchozím textu. V rámci řešení okružního problému v programu STORM je tato tvorba matice nejnáročnějším úkonem. V případě rozsáhlejších úloh je proto výhodnější vytvořit tyto matice pomocí programu Excel a Notepad (Poznámkový blok) a do programu STORM náležitě upravená vstupní data nahrát. V případě menších úloh, jako je tato však stačí data do programu zadat ručně. Když je matice hotova, klávesou F7 přejdeme do menu, kde zvolíme bod 4 Execute the module with the current data set a vybereme algoritmus pro okružní problém Traveling salesperson s tour. Program poté vygeneruje řešení okružního problému, které můžeme vidět na obrázku 3. Výsledný okruh má tedy následující podobu a délku 252,6 km: Řidič vyjede z Pohořelic, v DC Brno proběhne nakládka, poté zásobuje odběratele v Třebíči, Telči, Dačicích, Moravských Budějovicích a odtud se pak vrátí zpět do Pohořelic. Toto řešení pomocí programu STORM je zcela totožné s řešením pomocí Littlovy metody.

55 Vlastní řešení problému 55 Obr. 3 Řešení okružního problému v programu STORM Opět postup zopakujeme i pro řidiče ze Slavkova u Brna. Uspořádání míst i délka okruhu se liší od varianty pohořelického řidiče, nicméně i toto řešení je zcela stejné jako řešení pomocí Littlovy metody: V tomto případě řidič svoji jízdu začíná ve Slavkově u Brna, naloží zboží v DC Brno a pokračuje do Moravských Budějovic, Dačic, Telče a Třebíče, odkud míří zpátky domů do Slavkova. Tato varianta má délku 271,8 km, je tedy zhruba o dvacet kilometrů delší než když trasu obslouží řidič z Pohořelic. I řešení s programem STORM tedy potvrdilo, že trasa by měla být přidělena řidiči z Pohořelic Sestavení okružních linek V podkapitole byl popsán postup optimalizace okružní linky pomocí programu STORM. Stejným způsobem nyní budeme optimalizovat i ostatní trasy. Je třeba připomenout, že máme vytvořeny tři velké vzdálenostní matice, ze kterých jsme Mayerovou metodou získali dohromady třicet distribučních okruhů. Nyní pomocí programu STORM určíme optimální pořadí míst na těchto okruzích a to hned ve dvou variantách jednou pro řidiče z Pohořelic a podruhé pro řidiče ze Slavkova. Nakonec porovnáme, která z variant bude za daných okolností optimální z hlediska absolvované vzdálenosti. Výsledky optimalizace jsou přehledně uvedeny v následujících třech tabulkách. Každá linka je vždy optimalizována dvakrát jednou pro Slavkov a podruhé pro Pohořelice.