6 Ordinální informace o kritériích

Transkript

1 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní metody, jak se znalostmi ordinálních informací pracovat lexikografická metoda, permutační metoda a metoda ORESTE. 6.1 Lexikografická metoda Metoda je v zásadě velmi jednoduchá a princip řazení variant je velmi podobný principu řazení slov ve slovníku (proto lexikografická metoda). Nejprve seřadíme kritéria podle důležitosti od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Potom začneme varianty z množiny A = {a 1, a 2,..., a p } hodnotit podle jednotlivých kritérií (v pořadí důležitosti). Vybereme ty varianty z množiny A, které podle nejdůležitějšího kritéria dosahují maximální hodnoty, a vytvoříme z nich množinu A (1), A (1) A. Z množiny A (1) vybereme ty varianty, které dosahují maximální hodnoty pro druhé kritérium a vytvoříme tak množinu A (2), A (2) A (1). Tímto způsobem pokračujeme, dokud není množina A (n) jednoprvková. Prvek takovéto jednoprvkové množiny je považován za optimální variantu. Pokud bychom prošli všechna kritéria a množina A (k) by měla více než jeden prvek, jsou varianty z A (k) považovány za rovnocenné. V takovém případě vybereme libovolnou z nich za kompromisní variantu. Nevýhodou této metody je skutečnost, že se nepřihlíží k hodnotám dosaženým podle dalších kritérií. Ukažme si praktické použití této metody na příkladu s Upírem. 1

2 Upír lexikografická metoda Předpokládejme, že vyhledáváme vhodnou oběť podle 9 kritérií, která jsme si představili v předchozích cvičeních. Ohodnotili jsme důležitost jednotlivých kritérií a dospěli k výsledku, který jsme používali pro metodu pořadí (při určování vah). kritérium i pořadí ČES 1 9 VUP 2 2 KPR 3 3 KOS 4 6 KS 5 7 OS 6 1 FIN 7 8 VOR 8 4 VĚK 9 5 Předpokládejme opět 10 možných obětí. Kriteriální matice (všechna kritéria maximalizační) vypadá tedy následovně: Nejdůležitější je šesté kritérium OS, j = 6. Pro šesté kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 1. Vybereme tedy všechny varianty, pro které y i6 = 1, a získáme tak množinu A (1) = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 6, a 7, a 9, a 10 }. 2

3 Druhým v pořadí je druhé kritérium VUP, j = 2. Pro druhé kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 6. Vybereme tedy z A (1) všechny varianty, pro které y i2 = 6, a získáme tak množinu A (2) = {a 2, a 4 }. A pokračujeme dále. Třetím v pořadí je třetí kritérium KPR, j = 3. Pro třetí kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 91. Vybereme tedy z A (2) všechny varianty, pro které y i3 = 91, a získáme tak množinu A (3) = {a 4 }. Vzhledem k tomu, že množina A (3) obsahuje jen jeden prvek a sice čtvrtou oběť v pořadí, zvolíme tuto variantu za optimální. Pozn.: Pro každé kritérium hledáme nejvyšší hodnotu mezi variantami ve výběru, nikoliv mezi variantami v původní množině. Lexikografickou metodou lze samozřejmě najít nejen nejlepší variantu, ale také varianty uspořádat. V našem případě by byl konečný výsledek: a 4, a 2, a 1, a 7, a 9, a 6, a 3, a 10, a 8, a Permutační metoda Připomeňme, že i u této metody je třeba znát pořadí důležitosti jednotlivých kritérií. Dále si připomeňme, že počet permutací p variant a 1, a 2,..., a p je p!, což je zásadní nevýhoda této metody. V praxi je totiž použitelná opravdu jen pro malý počet variant. Vezměme v úvahu, že pro 1 variantu existuje jediná permutace, pro dvě varianty jsou permutace dvě, pro tři varianty jich je šest a pro 4 varianty je pormutací 24, což je tak maximum, které je člověk ještě ochoten v ruce počítat. Pro pět variant existuje 120 permutací, pro šest 720 permutací,... Už pro deset variant je permutací přes 3,6 milionů, což je dost už i na čekání u počítače Permutační metoda se znalostí vah Pro tuto část potřebujeme znát váhy, proto je odhadneme např. metodou pořadí, kterou jsme se již zabývali v prvním cvičení. 3

4 Pro každou permutaci určíme pro každou dvojici (a i, a j ) všechna kritéria, pro která je a i preferováno před a j, či kde platí indiference. Množinu indexů těchto kritérií označíme I ij. Pro každé (a i, a j ) stanovíme hodnotu c ij = v h. h I ij Z hodnot c ij sestavíme pro každou permutaci matici C. Kompromisní (optimální) pořadí jednotlivých variant pak vybereme podle permutace, pro kterou je výraz R = c ij c ij maximální. i<j i>j Ukažme si metodu opět na příkladu s Upírem. Upír permutační metoda Vzhledem k tomu, že pro 6 variant bychom museli dělat 720 výpočtů, omezíme množinu variant na první tři oběti. Počítat budeme se všemi devíti kritérii. Máme tedy kriteriální matici se všemi kritérii maximalizačními: Metodou pořadí pak získáme následující váhy uvedené v tabulce: kritérium váhy Nejprve určíme množinu indexů kritérií, pro která je a i alespoň tak dobrá jako a j, tzn. a i P a j či a i Ia j. i j I ij I 12 = {3, 4, 5, 6, 8} I 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} I 21 = {1, 2, 4, 6, 7, 9} I 23 = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9} I 31 = {4, 5, 6, 7} I 32 = {3, 4, 6, 7} Nyní spočítáme jednotlivé hodnoty c ij. Poznamenejme, že hodnoty c ii nejsou pro konečný výpočet důležité, proto c ii = 0, pro všechna i. Nyní vypočítáme zbývajících šest hodnot c ij : 4

5 c 12 = v h = v 3 +v 4 +v 5 +v 6 +v 8 = = 0.66 h I 11 c 13 = v h = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 + v 6 + v 8 + v 9 = 0.96 h I 13 c 21 = v h = v 1 + v 2 + v 4 + v 6 + v 7 + v 9 = 0.63 h I 21 c 23 = v h = v 1 + v 2 + v 4 + v 5 + v 6 + v 8 + v 9 = 0.79 h I 23 c 31 = v h = v 4 + v 5 + v 6 + v 7 = 0.40 h I 31 c 32 = v h = v 3 + v 4 + v 6 + v 7 = 0.50 h I 32 Nyní již zbývá jen sestavit matice C a spočítat výrazy R = c ij c ij. i<j i>j Všimněme si, že výraz R je součtem hodnot nad diagonálou matice C mínus součet hodnot pod diagonálou téže matice P 1 = {a 1, a 2, a 3 } = C 1 = R 1 = ( ) ( ) = P 2 = {a 1, a 3, a 2 } = C 2 = R 2 = ( ) ( ) = P 3 = {a 2, a 1, a 3 } = C 3 = R 3 = ( ) ( ) = P 4 = {a 2, a 3, a 1 } = C 4 = R 4 = ( ) ( ) = P 5 = {a 3, a 1, a 2 } = C 5 = R 5 = ( ) ( ) = P 6 = {a 3, a 2, a 1 } = C 6 =

6 R 6 = ( ) ( ) = 0.88 Ze všech uspořádání tedy vybereme tu permutaci, pro kterou je R maximální, v našem případě je to R = 0.88 pro P 1 a optimální uspořádání tedy je (a 1, a 2, a 3 ). Povšimněme si, že hodnota R pro pořadí variant a i, a j, a k je rovna R pro varianty v opačném pořadí (a k, a j, a i ) Permutační metoda bez znalosti vah Permutační metoda je hojně využívána hlavně v případě, kdy váhový vektor neznáme. V této části potřebujeme znát pouze pořadí. Kritéria tedy seřadíme od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Předpokládejme, že důležitost kritérií je f 1, f 2,..., f k. Potom pro váhy musí platit: v 1 v 2 v k k v j = 1 j=1 v j 0 Sestavíme k různých váhových vektorů, které splňují výše uvedené podmínky: 1.) v 1 = (1, 0, 0,..., 0) 2.) v 2 = ( 1, 1, 0,..., 0) ) v 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3,..., 0). k.) v k = ( 1 k, 1 k, 1 k,..., 1 k ) Pro každý jednotlivý váhový vektor určíme permutační metodou popsanou v předchozí části optimální pořadí (konkrétní váhový vektor je známý). Takto tedy zjistíme, jak se mění optimální pořadí v závislosti na vahách jednotlivých kritérií. 6

7 6.3 Metoda ORESTE I při této metodě je nutná znalost pořadí kritérií (stačí kvaziuspořádání kritérií i kavaziuspořádání variant tzn. že připouštíme stejně důležitá kritéria i stejně důležité varianty). Tato metoda je složená z šesti dílčích kroků. Jednotlivé kroky si nejprve vysvětlíme teoreticky, poté si je ukážeme přímo na příkladu Upíra. 1. V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P. Začneme vektorem q = (q 1,..., q k ), kde q j je pořadí j-tého kritéria. Nyní sestavíme matici P = (p ij ), i = 1,..., p a j = 1,..., k, kde p ij je pořadí varianty a i podle j-tého kritéria. V případě indiference pro kritéria či varianty bereme průměrné pořadí pokud po n-tém čísle (pořadí) následuje m indiferentních, pak průměrné pořadí je n + m V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. Tuto matici budeme značit D = (d ij ). [ ] (pij ) Pro prvky této matice platí d ij = r + (q j) 1/r, r 2 2 kde r R. Obvykle se používá r = 3 a v tomto případě se vzdálenost měří tzv. Dujmovičovou metrikou. Parametr r se nazává Dujmovičův exponent. 3. Ve třetím kroku uspořádáme varianty. Vezmeme hodnoty d ij největší a ohodnotíme pořadím. z celé matice, seřadíme je od nejmenší po Na místo d ij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (r ij ). Pro každou variantu a i spočítáme hodnotu r i = k r ij. Hodnoty r i seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant. 4. Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. Začneme tím, že spočítáme hodnoty tzv. preferenčních intenzit, což jsou hodnoty c ij = h I ij (r jh r ih ), i, j = 1,..., p, kde I ij je množina kritérií, pro která a i je preferováno před a j, neboli a i P a j. 7 j=1

8 Dále spočítáme maximální intenzitu c max = k 2 (p 1). Normalizovanou preferenční intenzitou budeme rozumět hodnotu c n ij = c ij c max. Označme dále: symbolem P relaci preference symbolem I relaci indiference symbolem N relaci nesrovnatelnosti symobly α, β, γ prahové hodnoty, parametry pro testy indiference a nesrovnatelnosti. Předpokládejme, že c n ij c n ji 5. Pátý krok se zabývá testem indiference. Test indiference se stává ze dvou podmínek. První podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně malé, neboli že větší z nich je menší než předem zvolená hodnota α. V matematickém zápisu c n ij α. Druhá podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně blízko u sebe, neboli že nejsou od sebe dále než je předem stanovená hodnota β. V matematickém zápisu c n ij cn ji β. Pokud jsou obě podmínky splněny, řekneme, že varianta a i je indiferentní s a j, neboli a i Ia j. 6. A šestý krok testuje nesrovnatelnost variant. Podmínka nesrovnatelnosti říká, že preferenční intenzity jsou příliš velké vzhledem k tomu, jak blízko jsou varianty u sebe, ale nejsou indiferentní. Jinými slovy pokud jsme v předchozím kroku nedošli k závěru, že jsou varianty indiferentní, jsou varianty nesrovnatelné, pokud c n ji c n ij cn ji γ. V takovém případě tedy konstatujeme nesrovnatelnost variant a značíme a i Na j. 8

9 Pokud podmínka nesrovnatelnosti tedy c n ji c n ij cn ji c n ji c n ij cn ji γ není splněna, platí-li < γ, konstatujeme, že varianta a i je preferována před variantou a j, neboli a i P a j. Poznamenejme, že podle předpokladu uvedeného nakonci čtvrtého kroku, jsou všechny uváděné rozdíly nezáporné, neboť symbolem c n ij označujeme vyšší normovanou preferenční intenzitu. Pro prahové hodnoty α, β, γ existují omezení, která bychm měli při volbě hodnot respektovat: α 1 2(p 1) β 1 k(p 1) γ k 2 4 Poznamenejme ještě nakonec, že existují 2 způsoby vyjádření výsledků preferenční analýzy: 1. Formou matice o rozměru (p p), kde řádky i sloupce odpovídají variantám. Symboly v matici označují vztah varianty v řádku (a i ) k variantě ve sloupci (a j ). V matici jsou používány 4 symboly: I pro indiferenci N pro nesrovnatelnost > pro případ, že varianta a i je preferována před variantou a j, a i P a j < pro případ, že varianta a j je preferována před variantou a i, a j P a i Pochopitelně, že v matici jsou na diagonále pouze symboly pro indiferenci, protože každá varianta je sama se sebou indiferentní. Dále jsou symboly pro nesrovnatelnost v matici umístěny symetricky, neboť je-li varianta a i nesrovnatelná s variantou a j, pak také varianta a j je nesrovnatelná s variantou a i. Nakonec si všimněme, že na místech symetrických k preferenčnímu symbolu > je symbol opačný < a obráceně. 9

10 2. Grafickou formou, kde do grafu vynášíme normalizované preferenční intenzity pro každou dvojici variant, a používáme stejné symboly jako při užití maticové formy. Upír metoda ORESTE Použijeme opět stejné zadání o potenciálních obětích. Pracovat ovšem tentokrát budeme pouze s prvními 5 kritérii a pouze prvními 4 variantami V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P. Kritéria seřadíme podle důležitosti: kritérium pořadí q = (q 1,..., q k ), kde q j je pořadí j-tého kritéria, z tabulky tedy q = (5, 1.5, 1.5, 3, 4). P = (p ij ), i = 1,..., p a j = 1,..., k, kde p ij je pořadí varianty a i podle j-tého kritéria. 10

11 Podle 1. kritéria je pořadí variant: a 4 P a 2 P a 1 P a 3 Podle 2. kritéria je pořadí variant: a 2 I a 4 P a 1 P a 3 Podle 3. kritéria je pořadí variant: a 4 P a 1 P a 3 P a 2 Podle 4. kritéria je pořadí variant: a 1 I a 2 I a 3 P a 4 Podle 5. kritéria je pořadí variant: a 1 P a 2 I a 3 I a 4 Matice P tedy bude vypadat: P = V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. Použijeme r = 3, Dujmovičovou metrikou. Tuto matici budeme značit D = (d ij ). [ ] (pij ) Pro prvky této matice platí d ij = r + (q j) r 1/r [ ] (pij ) 2 2 = 3 + (q j) 1/ Pro ukázku: d 11 = d 45 = [ (p11 ) 3 + (q 1) [ (p45 ) 3 + (q 5) ] 1/3 [ ] 1/3 = = 3 76 = 4.24 ] 1/3 [ ] 1/3 = = = 3.57 Kompletně dopočítaná matice vzdáleností od fiktivního začátku tedy bude vypadat: D = Ve třetím kroku uspořádáme varianty. Vezmeme hodnoty d ij největší a ohodnotíme pořadím. z celé matice, seřadíme je od nejmenší po Na místo d ij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (r ij ). Matice tedy bude vypadat následovně: 11

12 R = Řádkové součty pak budou r i = 5 r ij j=1 r 1 = = 47.5 r 2 = = 52.5 r 3 = = 60.5 r 4 = = 49.5 Hodnoty r i seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant a 1, a 4, a 2, a Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. Preferenční intenzity c ij = (r jh r ih ), i, j = 1,..., p, kde I ij je h I ij množina kritérií, pro která a i je preferováno před a j, neboli a i P a j. Nejprve tedy pro každé kritérium určíme, zda a i před a j : f f je preferováno f f Odtud vidíme: f I 11 = I 22 = I 31 = I 33 = I 44 = {} pro všechna kritéria jsou na všech místech v tabulkách - 12

13 I 12 = {3, 5} I 13 = {1, 2, 3, 5} I 14 = {4, 5} I 21 = I 23 = {1, 2} I 24 = {4} I 32 = {3} I 34 = {4} I 41 = I 43 = {1, 2, 3} I 42 = {1, 3} Pro ukázku si předveďme výpočet některých konkrétních peferenčních intenzit c ij = h I ij (r jh r ih ): c 11 = c 22 = c 31 = c 33 = c 44 = 0, neboť sčítáme přes prázdnou množinu. c 12 = (r 2h r 1h ) = (r 2h r 1h ) = r 23 r 13 +r 25 r 15 = h I 12 h {3,5} = 12 c 13 = (r 3h r 1h ) = (r 3h r 1h ) = r 31 r 11 +r 32 r 12 + h I 13 h {1,2,3,5} r 33 r 13 +r35 r 15 = = 13 c 14 = (r 4h r 1h ) = (r 4h r 1h ) = r 44 r 14 +r 45 r 15 = h I 14 h {4,5} = 13 c 42 = (r 2h r 4h ) = (r 2h r 4h ) = r 21 r 41 +r 23 r 43 = h I 42 h {1,3} = 11.5 Celá dopočítaná matice preferenčních intenzit: C = Maximální intenzita c max = k 2 (p 1) = 5 2 (4 1) = 75. Normalizovaná preferenční intenzita c n ij = c ij c max Matice normalizovaných preferenčních intenzit: = c ij

14 C n = Předpokládejme, že c n ij c n ji 5. Test indiference variant Test indiference se stává ze dvou podmínek: c n ij α a c n ij c n ji β. Pokud jsou obě podmínky splněny, platí a i I a j. Zvolme parametry α a β pro test indiference: α = (p 1) a β = k(p 1). Pro dvojice (i = j = 1), (i = j = 2), (i = j = 3) a (i = j = 4) platí c n ij = cn ji = 0 α = 0.1 a zároveň cn ij cn ji = = β Indiference. Odtud tedy a i I a i. c 12 = 0.16 > 0.09 = c 21 c 12 > α Test nesrovnatelnosti c 13 = 0.17 > 0 = c 31 c 13 > α Test nesrovnatelnosti c 14 = 0.17 > 0.15 = c 41 c 14 > α Test nesrovnatelnosti c 23 = 0.15 > 0.04 = c 32 c 23 > α Test nesrovnatelnosti c 42 = 0.15 > 0.11 = c 24 c 42 > α Test nesrovnatelnosti c 43 = 0.26 > 0.11 = c 34 c 43 > α Test nesrovnatelnosti 6. Test nesrovnatelnosti variant Pokud nejsou varianty indiferentní, pak jsou nesrovnatelné (a i N a j ), pokud Pokud c n ji c n ij cn ji c n ji c n ij cn ji γ. < γ, pak a i P a j. c 12 = 0.16 > 0.09 = c 21 c 21 c 12 c 21 = = 1.29 > γ Nesrovnatelnost. Odtud tedy a 1 N a 2. c 13 = 0.17 > 0 = c 31 c 31 c 13 c 31 = = 0 < γ Preference. Odtud tedy a 1 P a 3. = 7.5 > γ Nesrov- c 14 = 0.17 > 0.15 = c 41 c 41 c 14 c 41 = natelnost. Odtud tedy a 1 N a 4. 14

15 c 23 = 0.15 > 0.04 = c 32 c 32 c 23 c 32 = = 0.36 < γ Preference. Odtud tedy a 2 P a 3. c 42 = 0.15 > 0.11 = c 24 c 24 c 42 c 24 = = 2.75 > γ Nesrovnatelnost. Odtud tedy a 2 N a 4. c 43 = 0.26 > 0.11 = c 34 c 34 c 43 c 34 = = 0.73 < γ Preference. Odtud tedy a 4 P a 3. Výsledky shrneme do tabulky. Použité symboly: I pro indiferenci N pro nesrovnatelnost > pro a i P a j < pro a j P a i Přehled preferenční analýzy: a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 I N > N a 2 N I > N a 3 < < I < a 4 N N > I Na diagonále pouze symboly pro indiferenci. Nesrovnatelnost symetrická. Na místech symetrických k > je symbol opačný < a obráceně. 15