6 Ordinální informace o kritériích

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6 Ordinální informace o kritériích"

Transkript

1 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní metody, jak se znalostmi ordinálních informací pracovat lexikografická metoda, permutační metoda a metoda ORESTE. 6.1 Lexikografická metoda Metoda je v zásadě velmi jednoduchá a princip řazení variant je velmi podobný principu řazení slov ve slovníku (proto lexikografická metoda). Nejprve seřadíme kritéria podle důležitosti od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Potom začneme varianty z množiny A = {a 1, a 2,..., a p } hodnotit podle jednotlivých kritérií (v pořadí důležitosti). Vybereme ty varianty z množiny A, které podle nejdůležitějšího kritéria dosahují maximální hodnoty, a vytvoříme z nich množinu A (1), A (1) A. Z množiny A (1) vybereme ty varianty, které dosahují maximální hodnoty pro druhé kritérium a vytvoříme tak množinu A (2), A (2) A (1). Tímto způsobem pokračujeme, dokud není množina A (n) jednoprvková. Prvek takovéto jednoprvkové množiny je považován za optimální variantu. Pokud bychom prošli všechna kritéria a množina A (k) by měla více než jeden prvek, jsou varianty z A (k) považovány za rovnocenné. V takovém případě vybereme libovolnou z nich za kompromisní variantu. Nevýhodou této metody je skutečnost, že se nepřihlíží k hodnotám dosaženým podle dalších kritérií. Ukažme si praktické použití této metody na příkladu s Upírem. 1

2 Upír lexikografická metoda Předpokládejme, že vyhledáváme vhodnou oběť podle 9 kritérií, která jsme si představili v předchozích cvičeních. Ohodnotili jsme důležitost jednotlivých kritérií a dospěli k výsledku, který jsme používali pro metodu pořadí (při určování vah). kritérium i pořadí ČES 1 9 VUP 2 2 KPR 3 3 KOS 4 6 KS 5 7 OS 6 1 FIN 7 8 VOR 8 4 VĚK 9 5 Předpokládejme opět 10 možných obětí. Kriteriální matice (všechna kritéria maximalizační) vypadá tedy následovně: Nejdůležitější je šesté kritérium OS, j = 6. Pro šesté kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 1. Vybereme tedy všechny varianty, pro které y i6 = 1, a získáme tak množinu A (1) = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 6, a 7, a 9, a 10 }. 2

3 Druhým v pořadí je druhé kritérium VUP, j = 2. Pro druhé kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 6. Vybereme tedy z A (1) všechny varianty, pro které y i2 = 6, a získáme tak množinu A (2) = {a 2, a 4 }. A pokračujeme dále. Třetím v pořadí je třetí kritérium KPR, j = 3. Pro třetí kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 91. Vybereme tedy z A (2) všechny varianty, pro které y i3 = 91, a získáme tak množinu A (3) = {a 4 }. Vzhledem k tomu, že množina A (3) obsahuje jen jeden prvek a sice čtvrtou oběť v pořadí, zvolíme tuto variantu za optimální. Pozn.: Pro každé kritérium hledáme nejvyšší hodnotu mezi variantami ve výběru, nikoliv mezi variantami v původní množině. Lexikografickou metodou lze samozřejmě najít nejen nejlepší variantu, ale také varianty uspořádat. V našem případě by byl konečný výsledek: a 4, a 2, a 1, a 7, a 9, a 6, a 3, a 10, a 8, a Permutační metoda Připomeňme, že i u této metody je třeba znát pořadí důležitosti jednotlivých kritérií. Dále si připomeňme, že počet permutací p variant a 1, a 2,..., a p je p!, což je zásadní nevýhoda této metody. V praxi je totiž použitelná opravdu jen pro malý počet variant. Vezměme v úvahu, že pro 1 variantu existuje jediná permutace, pro dvě varianty jsou permutace dvě, pro tři varianty jich je šest a pro 4 varianty je pormutací 24, což je tak maximum, které je člověk ještě ochoten v ruce počítat. Pro pět variant existuje 120 permutací, pro šest 720 permutací,... Už pro deset variant je permutací přes 3,6 milionů, což je dost už i na čekání u počítače Permutační metoda se znalostí vah Pro tuto část potřebujeme znát váhy, proto je odhadneme např. metodou pořadí, kterou jsme se již zabývali v prvním cvičení. 3

4 Pro každou permutaci určíme pro každou dvojici (a i, a j ) všechna kritéria, pro která je a i preferováno před a j, či kde platí indiference. Množinu indexů těchto kritérií označíme I ij. Pro každé (a i, a j ) stanovíme hodnotu c ij = v h. h I ij Z hodnot c ij sestavíme pro každou permutaci matici C. Kompromisní (optimální) pořadí jednotlivých variant pak vybereme podle permutace, pro kterou je výraz R = c ij c ij maximální. i<j i>j Ukažme si metodu opět na příkladu s Upírem. Upír permutační metoda Vzhledem k tomu, že pro 6 variant bychom museli dělat 720 výpočtů, omezíme množinu variant na první tři oběti. Počítat budeme se všemi devíti kritérii. Máme tedy kriteriální matici se všemi kritérii maximalizačními: Metodou pořadí pak získáme následující váhy uvedené v tabulce: kritérium váhy Nejprve určíme množinu indexů kritérií, pro která je a i alespoň tak dobrá jako a j, tzn. a i P a j či a i Ia j. i j I ij I 12 = {3, 4, 5, 6, 8} I 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} I 21 = {1, 2, 4, 6, 7, 9} I 23 = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9} I 31 = {4, 5, 6, 7} I 32 = {3, 4, 6, 7} Nyní spočítáme jednotlivé hodnoty c ij. Poznamenejme, že hodnoty c ii nejsou pro konečný výpočet důležité, proto c ii = 0, pro všechna i. Nyní vypočítáme zbývajících šest hodnot c ij : 4

5 c 12 = v h = v 3 +v 4 +v 5 +v 6 +v 8 = = 0.66 h I 11 c 13 = v h = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 + v 5 + v 6 + v 8 + v 9 = 0.96 h I 13 c 21 = v h = v 1 + v 2 + v 4 + v 6 + v 7 + v 9 = 0.63 h I 21 c 23 = v h = v 1 + v 2 + v 4 + v 5 + v 6 + v 8 + v 9 = 0.79 h I 23 c 31 = v h = v 4 + v 5 + v 6 + v 7 = 0.40 h I 31 c 32 = v h = v 3 + v 4 + v 6 + v 7 = 0.50 h I 32 Nyní již zbývá jen sestavit matice C a spočítat výrazy R = c ij c ij. i<j i>j Všimněme si, že výraz R je součtem hodnot nad diagonálou matice C mínus součet hodnot pod diagonálou téže matice P 1 = {a 1, a 2, a 3 } = C 1 = R 1 = ( ) ( ) = P 2 = {a 1, a 3, a 2 } = C 2 = R 2 = ( ) ( ) = P 3 = {a 2, a 1, a 3 } = C 3 = R 3 = ( ) ( ) = P 4 = {a 2, a 3, a 1 } = C 4 = R 4 = ( ) ( ) = P 5 = {a 3, a 1, a 2 } = C 5 = R 5 = ( ) ( ) = P 6 = {a 3, a 2, a 1 } = C 6 =

6 R 6 = ( ) ( ) = 0.88 Ze všech uspořádání tedy vybereme tu permutaci, pro kterou je R maximální, v našem případě je to R = 0.88 pro P 1 a optimální uspořádání tedy je (a 1, a 2, a 3 ). Povšimněme si, že hodnota R pro pořadí variant a i, a j, a k je rovna R pro varianty v opačném pořadí (a k, a j, a i ) Permutační metoda bez znalosti vah Permutační metoda je hojně využívána hlavně v případě, kdy váhový vektor neznáme. V této části potřebujeme znát pouze pořadí. Kritéria tedy seřadíme od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Předpokládejme, že důležitost kritérií je f 1, f 2,..., f k. Potom pro váhy musí platit: v 1 v 2 v k k v j = 1 j=1 v j 0 Sestavíme k různých váhových vektorů, které splňují výše uvedené podmínky: 1.) v 1 = (1, 0, 0,..., 0) 2.) v 2 = ( 1, 1, 0,..., 0) ) v 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3,..., 0). k.) v k = ( 1 k, 1 k, 1 k,..., 1 k ) Pro každý jednotlivý váhový vektor určíme permutační metodou popsanou v předchozí části optimální pořadí (konkrétní váhový vektor je známý). Takto tedy zjistíme, jak se mění optimální pořadí v závislosti na vahách jednotlivých kritérií. 6

7 6.3 Metoda ORESTE I při této metodě je nutná znalost pořadí kritérií (stačí kvaziuspořádání kritérií i kavaziuspořádání variant tzn. že připouštíme stejně důležitá kritéria i stejně důležité varianty). Tato metoda je složená z šesti dílčích kroků. Jednotlivé kroky si nejprve vysvětlíme teoreticky, poté si je ukážeme přímo na příkladu Upíra. 1. V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P. Začneme vektorem q = (q 1,..., q k ), kde q j je pořadí j-tého kritéria. Nyní sestavíme matici P = (p ij ), i = 1,..., p a j = 1,..., k, kde p ij je pořadí varianty a i podle j-tého kritéria. V případě indiference pro kritéria či varianty bereme průměrné pořadí pokud po n-tém čísle (pořadí) následuje m indiferentních, pak průměrné pořadí je n + m V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. Tuto matici budeme značit D = (d ij ). [ ] (pij ) Pro prvky této matice platí d ij = r + (q j) 1/r, r 2 2 kde r R. Obvykle se používá r = 3 a v tomto případě se vzdálenost měří tzv. Dujmovičovou metrikou. Parametr r se nazává Dujmovičův exponent. 3. Ve třetím kroku uspořádáme varianty. Vezmeme hodnoty d ij největší a ohodnotíme pořadím. z celé matice, seřadíme je od nejmenší po Na místo d ij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (r ij ). Pro každou variantu a i spočítáme hodnotu r i = k r ij. Hodnoty r i seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant. 4. Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. Začneme tím, že spočítáme hodnoty tzv. preferenčních intenzit, což jsou hodnoty c ij = h I ij (r jh r ih ), i, j = 1,..., p, kde I ij je množina kritérií, pro která a i je preferováno před a j, neboli a i P a j. 7 j=1

8 Dále spočítáme maximální intenzitu c max = k 2 (p 1). Normalizovanou preferenční intenzitou budeme rozumět hodnotu c n ij = c ij c max. Označme dále: symbolem P relaci preference symbolem I relaci indiference symbolem N relaci nesrovnatelnosti symobly α, β, γ prahové hodnoty, parametry pro testy indiference a nesrovnatelnosti. Předpokládejme, že c n ij c n ji 5. Pátý krok se zabývá testem indiference. Test indiference se stává ze dvou podmínek. První podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně malé, neboli že větší z nich je menší než předem zvolená hodnota α. V matematickém zápisu c n ij α. Druhá podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně blízko u sebe, neboli že nejsou od sebe dále než je předem stanovená hodnota β. V matematickém zápisu c n ij cn ji β. Pokud jsou obě podmínky splněny, řekneme, že varianta a i je indiferentní s a j, neboli a i Ia j. 6. A šestý krok testuje nesrovnatelnost variant. Podmínka nesrovnatelnosti říká, že preferenční intenzity jsou příliš velké vzhledem k tomu, jak blízko jsou varianty u sebe, ale nejsou indiferentní. Jinými slovy pokud jsme v předchozím kroku nedošli k závěru, že jsou varianty indiferentní, jsou varianty nesrovnatelné, pokud c n ji c n ij cn ji γ. V takovém případě tedy konstatujeme nesrovnatelnost variant a značíme a i Na j. 8

9 Pokud podmínka nesrovnatelnosti tedy c n ji c n ij cn ji c n ji c n ij cn ji γ není splněna, platí-li < γ, konstatujeme, že varianta a i je preferována před variantou a j, neboli a i P a j. Poznamenejme, že podle předpokladu uvedeného nakonci čtvrtého kroku, jsou všechny uváděné rozdíly nezáporné, neboť symbolem c n ij označujeme vyšší normovanou preferenční intenzitu. Pro prahové hodnoty α, β, γ existují omezení, která bychm měli při volbě hodnot respektovat: α 1 2(p 1) β 1 k(p 1) γ k 2 4 Poznamenejme ještě nakonec, že existují 2 způsoby vyjádření výsledků preferenční analýzy: 1. Formou matice o rozměru (p p), kde řádky i sloupce odpovídají variantám. Symboly v matici označují vztah varianty v řádku (a i ) k variantě ve sloupci (a j ). V matici jsou používány 4 symboly: I pro indiferenci N pro nesrovnatelnost > pro případ, že varianta a i je preferována před variantou a j, a i P a j < pro případ, že varianta a j je preferována před variantou a i, a j P a i Pochopitelně, že v matici jsou na diagonále pouze symboly pro indiferenci, protože každá varianta je sama se sebou indiferentní. Dále jsou symboly pro nesrovnatelnost v matici umístěny symetricky, neboť je-li varianta a i nesrovnatelná s variantou a j, pak také varianta a j je nesrovnatelná s variantou a i. Nakonec si všimněme, že na místech symetrických k preferenčnímu symbolu > je symbol opačný < a obráceně. 9

10 2. Grafickou formou, kde do grafu vynášíme normalizované preferenční intenzity pro každou dvojici variant, a používáme stejné symboly jako při užití maticové formy. Upír metoda ORESTE Použijeme opět stejné zadání o potenciálních obětích. Pracovat ovšem tentokrát budeme pouze s prvními 5 kritérii a pouze prvními 4 variantami V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P. Kritéria seřadíme podle důležitosti: kritérium pořadí q = (q 1,..., q k ), kde q j je pořadí j-tého kritéria, z tabulky tedy q = (5, 1.5, 1.5, 3, 4). P = (p ij ), i = 1,..., p a j = 1,..., k, kde p ij je pořadí varianty a i podle j-tého kritéria. 10

11 Podle 1. kritéria je pořadí variant: a 4 P a 2 P a 1 P a 3 Podle 2. kritéria je pořadí variant: a 2 I a 4 P a 1 P a 3 Podle 3. kritéria je pořadí variant: a 4 P a 1 P a 3 P a 2 Podle 4. kritéria je pořadí variant: a 1 I a 2 I a 3 P a 4 Podle 5. kritéria je pořadí variant: a 1 P a 2 I a 3 I a 4 Matice P tedy bude vypadat: P = V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. Použijeme r = 3, Dujmovičovou metrikou. Tuto matici budeme značit D = (d ij ). [ ] (pij ) Pro prvky této matice platí d ij = r + (q j) r 1/r [ ] (pij ) 2 2 = 3 + (q j) 1/ Pro ukázku: d 11 = d 45 = [ (p11 ) 3 + (q 1) [ (p45 ) 3 + (q 5) ] 1/3 [ ] 1/3 = = 3 76 = 4.24 ] 1/3 [ ] 1/3 = = = 3.57 Kompletně dopočítaná matice vzdáleností od fiktivního začátku tedy bude vypadat: D = Ve třetím kroku uspořádáme varianty. Vezmeme hodnoty d ij největší a ohodnotíme pořadím. z celé matice, seřadíme je od nejmenší po Na místo d ij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (r ij ). Matice tedy bude vypadat následovně: 11

12 R = Řádkové součty pak budou r i = 5 r ij j=1 r 1 = = 47.5 r 2 = = 52.5 r 3 = = 60.5 r 4 = = 49.5 Hodnoty r i seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant a 1, a 4, a 2, a Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. Preferenční intenzity c ij = (r jh r ih ), i, j = 1,..., p, kde I ij je h I ij množina kritérií, pro která a i je preferováno před a j, neboli a i P a j. Nejprve tedy pro každé kritérium určíme, zda a i před a j : f f je preferováno f f Odtud vidíme: f I 11 = I 22 = I 31 = I 33 = I 44 = {} pro všechna kritéria jsou na všech místech v tabulkách - 12

13 I 12 = {3, 5} I 13 = {1, 2, 3, 5} I 14 = {4, 5} I 21 = I 23 = {1, 2} I 24 = {4} I 32 = {3} I 34 = {4} I 41 = I 43 = {1, 2, 3} I 42 = {1, 3} Pro ukázku si předveďme výpočet některých konkrétních peferenčních intenzit c ij = h I ij (r jh r ih ): c 11 = c 22 = c 31 = c 33 = c 44 = 0, neboť sčítáme přes prázdnou množinu. c 12 = (r 2h r 1h ) = (r 2h r 1h ) = r 23 r 13 +r 25 r 15 = h I 12 h {3,5} = 12 c 13 = (r 3h r 1h ) = (r 3h r 1h ) = r 31 r 11 +r 32 r 12 + h I 13 h {1,2,3,5} r 33 r 13 +r35 r 15 = = 13 c 14 = (r 4h r 1h ) = (r 4h r 1h ) = r 44 r 14 +r 45 r 15 = h I 14 h {4,5} = 13 c 42 = (r 2h r 4h ) = (r 2h r 4h ) = r 21 r 41 +r 23 r 43 = h I 42 h {1,3} = 11.5 Celá dopočítaná matice preferenčních intenzit: C = Maximální intenzita c max = k 2 (p 1) = 5 2 (4 1) = 75. Normalizovaná preferenční intenzita c n ij = c ij c max Matice normalizovaných preferenčních intenzit: = c ij

14 C n = Předpokládejme, že c n ij c n ji 5. Test indiference variant Test indiference se stává ze dvou podmínek: c n ij α a c n ij c n ji β. Pokud jsou obě podmínky splněny, platí a i I a j. Zvolme parametry α a β pro test indiference: α = (p 1) a β = k(p 1). Pro dvojice (i = j = 1), (i = j = 2), (i = j = 3) a (i = j = 4) platí c n ij = cn ji = 0 α = 0.1 a zároveň cn ij cn ji = = β Indiference. Odtud tedy a i I a i. c 12 = 0.16 > 0.09 = c 21 c 12 > α Test nesrovnatelnosti c 13 = 0.17 > 0 = c 31 c 13 > α Test nesrovnatelnosti c 14 = 0.17 > 0.15 = c 41 c 14 > α Test nesrovnatelnosti c 23 = 0.15 > 0.04 = c 32 c 23 > α Test nesrovnatelnosti c 42 = 0.15 > 0.11 = c 24 c 42 > α Test nesrovnatelnosti c 43 = 0.26 > 0.11 = c 34 c 43 > α Test nesrovnatelnosti 6. Test nesrovnatelnosti variant Pokud nejsou varianty indiferentní, pak jsou nesrovnatelné (a i N a j ), pokud Pokud c n ji c n ij cn ji c n ji c n ij cn ji γ. < γ, pak a i P a j. c 12 = 0.16 > 0.09 = c 21 c 21 c 12 c 21 = = 1.29 > γ Nesrovnatelnost. Odtud tedy a 1 N a 2. c 13 = 0.17 > 0 = c 31 c 31 c 13 c 31 = = 0 < γ Preference. Odtud tedy a 1 P a 3. = 7.5 > γ Nesrov- c 14 = 0.17 > 0.15 = c 41 c 41 c 14 c 41 = natelnost. Odtud tedy a 1 N a 4. 14

15 c 23 = 0.15 > 0.04 = c 32 c 32 c 23 c 32 = = 0.36 < γ Preference. Odtud tedy a 2 P a 3. c 42 = 0.15 > 0.11 = c 24 c 24 c 42 c 24 = = 2.75 > γ Nesrovnatelnost. Odtud tedy a 2 N a 4. c 43 = 0.26 > 0.11 = c 34 c 34 c 43 c 34 = = 0.73 < γ Preference. Odtud tedy a 4 P a 3. Výsledky shrneme do tabulky. Použité symboly: I pro indiferenci N pro nesrovnatelnost > pro a i P a j < pro a j P a i Přehled preferenční analýzy: a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 I N > N a 2 N I > N a 3 < < I < a 4 N N > I Na diagonále pouze symboly pro indiferenci. Nesrovnatelnost symetrická. Na místech symetrických k > je symbol opačný < a obráceně. 15

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

4 Kriteriální matice a hodnocení variant

4 Kriteriální matice a hodnocení variant 4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Vícekriteriální hodnocení variant VHV

Vícekriteriální hodnocení variant VHV Vícekriteriální hodnocení variant VHV V lineárním programování jsme se naučili hledat optimální řešení pro úlohy s jedním (maximalizačním nebo minimalizačním) kritériem za předpokladu, že podmínky i účelová

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Vícekriteriální rozhodování za jistoty Kapitola 1 Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Layout pracoviště a řízení Rozvrhování pracovníků

Layout pracoviště a řízení Rozvrhování pracovníků Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Layout pracoviště a řízení Rozvrhování pracovníků Jan Vavruška Technická univerzita

Více

Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Vícekriteriální rozhodování za jistoty 1 Část I Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO

HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO HEURISTICKÉ ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ ÚLOH OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO Heuristické algoritmy jsou speciálními algoritmy, které byly vyvinuty pro obtížné úlohy, jejichž řešení je obtížné získat v rozumném čase. Mezi

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Vícekriteriální programování příklad

Vícekriteriální programování příklad Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Výběr lokality pro bydlení v Brně

Výběr lokality pro bydlení v Brně Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Výběr lokality pro bydlení v Brně Projekt do předmětu Optimalizační metody Martin Horák Brno 5 Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

(Úlohy z MO kategorie P, 32. část)

(Úlohy z MO kategorie P, 32. část) Rozklady na součet (Úlohy z MO kategorie P, 32. část) PAVEL TÖPFER Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Náš dlouhodobý seriál o úlohách z Matematické olympiády kategorie P se dnes zastaví ve 39. ročníku

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor

3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme

Více

9.6 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU

9.6 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU Statistické třídění dle jednoho nespojitého číselného znaku Aleš Drobník strana 1 9.6 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU Na následujícím příkladu si vysvětlíme problematiku třídění podle

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Pythagorova věta

Pythagorova věta .8.19 Pythagorova věta Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu rýsuje každý žák pouze jeden bod podle toho, v jakém sedí oddělení. Př. 1: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník: a) ABC:

Více