4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
|
|
|
- Michaela Žáková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování
2 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených na analýzu rozhodovacích problémů Analýza a koordinace prováděných operací v rámci systému Historie Počátky ve 30. a 40. letech 20. století G. B. Dantzig, L. Kantorovič Nobelova cena za ekonomii Zásadní rozvoj během 2. světové války (taktické operace) a po ní Další ohromný rozvoj s vývojem výpočetní techniky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Snaha nalézt nejlepší (optimální) řešení daného problému při respektování všech omezení, která mají vliv na chod systému Základním nástrojem matematické modelování Matematický model Zjednodušený obraz reálného systému Umožňuje zkoumat různé varianty systému chování systému ve zkráceném čase chování systému při změně parametrů Nižší náklady na realizaci Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 2.1 Podstata operačního výzkumu Fáze analýzy problému Reálný systém Definice problému Ekonomický model Matematický model Implementace Interpretace výsledků Verifikace modelu Řešení úlohy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 2.2 Ekonomický model Zjednodušený popis reálného systému Slovní a číselný popis problému Obsahuje nejpodstatnější prvky a vazby mezi nimi Cíl analýzy sledované kritérium optimality Procesy reálné aktivity probíhající s jistou intenzitou Činitelé omezení mající vliv na intenzitu procesů Vzájemné vztahy mezi procesy, činiteli a cílem analýzy Pro řešení je třeba ekonomický model formalizovat (zapsat matematickými prostředky) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 2.3 Matematický model Formální zápis ekonomického modelu (matematický) Obsahuje prvky analogické ekonomickému problému Účelová funkce (cíl analýzy) funkce n proměnných (lineární či nelineární, většinou jedna) Proměnné (procesy) hodnoty odpovídají intenzitám jednotlivých procesů Omezující podmínky (činitelé) většinou rovnice či nerovnice Parametry (vzájemné vztahy) jejich hodnoty nemůže uživatel ovlivňovat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 2.4 Matematické programování Hledá řešení optimalizačních úloh daných kriteriální funkcí n proměnných (a příslušným extrémem) účelová funkce množinou variant ve tvaru soustavy omezujících podmínek (lineární či nelineární rovnice a nerovnice) n počet proměnných modelu, x j, j = 1, 2,, n m počet omezujících podmínek, g i x 1, x 2,, x n 0, i = 1, 2,, m Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 2.4 Matematické programování Matematický model úlohy matematického programování maximalizovat minimalizovat z = f(x 1, x 2,, x n ) za podmínek g 1 x 1, x 2,, x n 0, g 2 x 1, x 2,, x n 0, g m x 1, x 2,, x n 0, x 1, x 2,, x n 0. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 2.4 Matematické programování Úloha lineárního programování (LP) Jsou-li všechny funkce, tj. f(x 1, x 2,, x n ) i g i x 1, x 2,, x n 0, i = 1,2,, m, lineární Úloha nelineárního programování (NLP) Je-li alespoň jedna z funkcí f(x 1, x 2,, x n ) či g i x 1, x 2,, x n 0, i = 1,2,, m, nelineární Úloha celočíselného programování (ILP) Jsou-li podmínky nezápornosti doplněny navíc o podmínky celočíselnosti (bivalence) pro alespoň jednu proměnnou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 2.5 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n R b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n R b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n R b m za podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 2.5 Matematický model úlohy LP kde je x j a ij b i c j... proměnná modelu (strukturní)... strukturní koeficient... pravá strana i-tého omezení... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének,, = n m... počet strukturních proměnných modelu... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 2.6 Příklad - zadání Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice jsou lisovány vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Šroubky i matice firma balí do krabiček, ve kterých je pak prodává - krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 2.6 Příklad - zadání Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč Firma nemá potíže s odbytem výrobků Kolik krabiček šroubků a matic má firma vyrobit, chce-li dosáhnout maximálního zisku? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 2.6 Příklad ekonomický model Procesy Jednotky Výroba šroubků (Š) 1 krabička (kr.) Výroba matic (M) 1 krabička Činitelé na straně vstupu Čas na lisu 1 min. Čas pro balení 1 min. Činitelé na straně výstupu Vztah počtu KŠ a KM 1 krabička Max. počet KŠ 1 krabička Cíl Maximální zisk Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 2.6 Příklad kvantitativní vztahy Šroubky Matice Kapacita Jednotky Jednotky [krabička] [krabička] Lis 1 [min./kr.] 2 [min./kr.] 2 [hod.] Balení 1 [min./kr.] 4 [min./kr.] 3 [hod.] Zisk 40 [Kč/kr.] 60 [Kč/kr.] [Kč] Kapacitu lisu a balicí linky bude třeba převést na srovnatelné jednotky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 2.6 Příklad matematický model Šroubky x 1 [krabička] Matice x 2 [krabička] LIS 1 x x min BALENÍ 1 x x min POPTÁVKA 1 x 1-1 x 2 90 krabiček ŠROUBKY 1 x x krabiček NEZÁPORNOST x 1, x 2 0 ZISK 40 x x 2 max Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 2.6 Příklad srovnání EM a MM Ekonomický model: Procesy Výroba Š [KŠ] Výroba M [KM] Činitelé Cíl Čas na lisu [min.] Čas balení [min.] Poptávka [krabičky] Max. KŠ[krabičky] Maximální zisk [Kč] Matematický model: Proměnné x 1 [KŠ] x 2 [KM] Omezení spotřeba 120 [min.] spotřeba 180 [min.] KŠ KM 90 [krabičky] KŠ 110 [krabičky] Účelová funkce Maximální zisk [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
18 2.7 Grafické řešení úlohy LP Jednoduchou úlohu vyřešíme graficky: zvolíme souřadnicový systém os x 1 a x 2 znázorníme všechna omezení modelu najdeme jejich průnik v prvním kvadrantu znázorníme účelovou funkci rovnoběžně ji posuneme tak, aby se dotkla průniku množin (shora nebo zdola) v bodě (popř. bodech) dotyku účelové funkce a množiny přípustných řešení je optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 x OPTIMUM (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 2.7 Grafické řešení úlohy LP Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x = 110, 5 Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x x 2 = = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 2.7 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Vyrobíme 110 krabiček šroubků Vyrobíme 5 krabiček matic Celkový zisk bude 4700 Kč Kolik spotřebujeme času na lisu? Lis bude v provozu 120 minut. Kolik zbyde času na lisu? Na lisu zbyde 0 minut. Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 2.8 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Kolik spotřebujeme času na balení? Kolik zbyde času na balení (jaká je rezerva)? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 2.8 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 O kolik šroubků vyrobíme více než matic? Jaká je rezerva v poptávce? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 2.8 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Kolik šroubků vyrobíme? Jaká je technologická rezerva? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 2.8 Interpretace řešení úlohy LP Vypočtené rezervy jsou ekonomickou interpretací tzv. přídatných proměnných. Metody pro řešení úloh lineárního programování pracují s řešením soustavy rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic. Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [min] x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] z 40 x 1 60 x 2 = 0 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 2.8 Interpretace řešení úlohy LP Strukturní proměnné: x 1 = 110 x 2 = 5 Přídatné proměnné: x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = Optimální řešení: 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [min] z 40 x 1 60 x 2 = 0 max [Kč] x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 2.9 Přídatné proměnné Přídatné proměnné slouží k převodu soustavy vlastních omezení ve tvaru nerovnic na ekvivalentní soustavu rovnic Ekvivalentní soustava rovnic (s podmínkami nezápornosti) má stejné (ekvivalentní) řešení jako původní soustava vlastních omezení Omezení ve tvaru rovnice: a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i není třeba upravovat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 2.9 Přídatné proměnné Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i k levé straně nerovnice přičteme přídatnou proměnnou x n+i a i1 x 1 + a i2 x a in x n + x n+i = b i Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i od levé strany nerovnice odečteme přídatnou proměnnou x n+i a i1 x 1 + a i2 x a in x n x n+i = b i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 2.9 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 2.10 Základní pojmy LP Přípustné řešení úlohy LP je vektor x = x 1, x 2,, x n+m T, jehož složky splňují vlastní omezení úlohy a podmínky nezápornosti Počet přípustných řešení (PŘ): protože počet proměnných (n+m) je větší než počet rovnic (m), má úloha LP buď: 1. nekonečně mnoho přípustných řešení nebo 2. žádné přípustné řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 x (2) x 1 (1) (3) (4) Množina přípustných řešení (konvexní polyedr) -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 2.10 Základní pojmy LP Základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic je takový vektor x = x 1, x 2,, x n+m T, který má maximálně m nenulových složek (zbývajících n složek je rovných 0) Základní řešení (ZŘ) ekvivalentní soustavy rovnic (ESR): protože ekvivalentní soustava rovnic obsahuje m rovnic (lineárně nezávislých) a m+n proměnných má v typickém případě nekonečně mnoho řešení některá z nich lze najít tak, že hodnoty n proměnných zvolíme libovolně (základní proměnné s hodnotou 0) a zbývajících m proměnných dopočítáme řešením soustavy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 2.10 Základní pojmy LP Příklad Počet strukturních proměnných: n = 2 Počet rovnic ekvivalentní soustavy: m = 4 Počet proměnných v ESR: m + n = = 6 1 x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = x 1 1 x 2 x 5 = 90 1 x x 2 + x 6 = 110 Základní řešení: x = x 1, x 2,, x T T n+m = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 x = 0, 0, x 3, x 4, x 5, x T 6 x = 0, 0, 120, 180, 90, 110 T x = 0, x 2, 0, x 4, x 5, x T 6 x = 0, 60, 0, 60, 150, 110 T x = x 1, x 2, 0, x 4, x 5, 0 T x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 2.10 Základní pojmy LP Počet základních řešení ESR: Kolika způsoby lze z m+n proměnných vybrat těch n proměnných, které budou základní (a budou tedy rovny 0)? m + n n = m + n! n! m + n n! = m + n! n! m! Kolika způsoby lze z m+n proměnných vybrat těch m proměnných, které nebudou základní (a budou tedy dopočítány)? m + n m = m + n! m! m + n m! = m + n! m! n! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 2.10 Základní pojmy LP Počet základních řešení ESR: m + n n = m + n! m! n! Pokud jsou m a n konečná čísla, je počet základních řešení ESR také konečný. Kolik ZŘ má ESR pro náš příklad? 1 x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = x 1 1 x 2 x 5 = 90 1 x x 2 + x 6 = 110 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 x (2) x 1 (1) (3) (4) Základní řešení ESR -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
37 2.10 Základní pojmy LP Jsou všechna základní řešení ESR přípustnými řešeními původní úlohy LP? Základní řešení: x = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 T x = 0, 0, 120, 180, 90, 110 T x = 0, 60, 0, 60, 150, 110 T x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 2.10 Základní pojmy LP Základní řešení úlohy LP neboli základní přípustné řešení úlohy LP je takové základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které splňuje všechna vlastní omezení úlohy LP i podmínky nezápornosti. Základní přípustné řešení (ZPŘ) úlohy LP: Má všechny složky nezáporné Strukturní proměnné jsou nezáporné vzhledem k podmínkám nezápornosti v úloze LP Přídatné proměnné jsou nezáporné z definice (záporná hodnota přídatné proměnné znamená, že vlastní omezení není splněno) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 2.10 Základní pojmy LP Základní přípustné řešení úlohy LP je takové přípustné řešení, které má maximálně tolik kladných složek, kolik je lineárně nezávislých vlastních omezení, tj. m, zbývající složky (alespoň n) jsou rovny nule. Vektory strukturních koeficientů u proměnných s kladnou hodnotou jsou lineárně nezávislé. Degenerované základní přípustné řešení (ZPŘ): Má-li řešení méně než m kladných složek Má-li řešení více než n nulových složek Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 Počet základních přípustných řešení (ZPŘ) úlohy LP: Kolik PŘ má úloha LP? Buď žádné nebo nekonečně mnoho Kolik základních přípustných řešení má úloha LP? Buď žádné 2.7 Základní pojmy LP nebo maximálně m + n m Kolik ZŘ má ESR? = m + n! m! n! Maximálně m + n m + n! = m m! n! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 x D 0 A C B (2) x 1 (1) (3) (4) Množina Základní přípustných přípustná Základní řešení ESR řešení řešení úlohy LP -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 2.10 Základní pojmy LP Výpočet základních přípustných řešení: Bod A: (3) + (x 2 0) A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T Bod B: (4) + (x 2 0) B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T Bod C: (1) + (4) C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Bod D: (1) + (3) D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [min] x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
43 2.10 Základní pojmy LP Optimální řešení úlohy LP je takové přípustné řešení x = x 1, x 2,, x n+m T, které má nejvyšší (nejnižší) hodnotu účelové funkce. Optimální řešení (OŘ): Přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Nejlepší přípustné řešení Z grafického zobrazení je zřejmé, že existuje-li, musí ležet na hranici množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
44 2.10 Základní pojmy LP Počet optimálních řešení: Optimální řešení úlohy LP je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce. Pokud úloha LP nemá žádné přípustné řešení Nemá žádné optimální řešení Pokud má úloha LP nekonečně mnoho přípustných řešení Pak je optimální to s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
45 2.10 Základní pojmy LP Musí OŘ existovat? Musí být jediné? Může jich být více? Dokážeme ho vždy najít? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 2.11 Možnosti zakončení výpočtu O počtu optimálních řešení rozhoduje: Množina přípustných řešení Počet přípustných řešení (žádné, nekonečně mnoho) Tvar množiny přípustných řešení (prázdná, omezená, neomezená) Účelová funkce Sklon účelové funkce Extrém účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
47 a) MPŘ - prázdná Žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
48 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr z... max. x 2 OPTIMUM Jedno OŘ x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
49 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr z... max. x 2 Nekonečně OPTIMUM mnoho OŘ OPTIMUM x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
50 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. Jedno OŘ OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50 x 1
51 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. Nekonečně OPTIMUM mnoho OŘ OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51 x 1
52 x 2 c) MPŘ - neomezená konvexní množina z... max. Žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52 x 1
53 2.11 Možnosti zakončení výpočtu Počet optimálních řešení: Žádné optimální řešení Prázdná množina přípustných řešení nebo Neomezená hodnota účelové funkce Má jediné optimální řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě Má nekonečně mnoho optimálních řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
54 2.11 Možnosti zakončení výpočtu Má-li úloha LP optimální řešení: Buď je toto optimální řešení jediné MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru je ZPŘ Nebo je optimálních řešení nekonečně mnoho MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Alespoň jedno OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru ZPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
55 2.12 Základní věta LP Má-li úloha LP optimální řešení, pak má také základní optimální řešení Základní věta lineárního programování (ZVLP) Věta nic neříká o případu, kdy úloha LP nemá optimální řešení! Pokud existuje OŘ, pak existuje také základní OŘ. Co je to základní OŘ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
56 2.12 Základní věta LP Základní optimální řešení: Základní řešení Optimální řešení Přípustné řešení Řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Základní optimální řešení = základní přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
57 2.12 Základní věta LP Důsledek základní věty lineárního programování: Má-li úloha LP optimální řešení, pak alespoň jedno z nich je základní přípustné řešení. Význam základní věty lineárního programování: Optimální řešení stačí hledat mezi základními přípustnými řešeními. ZPŘ je konečný počet Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57
58 2.12 Základní věta LP Výpočet základních přípustných řešení: A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T z A = 3600 z B = 4400 z C = 4700 z D = 4600 Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
59 Detaily k přednášce: skripta, kap KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
RNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. 1 Úvodní pojmy Metody na podporu rozhodování lze obecně dělit na: Eaktní metody metody zaručující nalezení optimální řešení, např. Littlův algortimus,
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Operační výzkum. Základní informace
Operační výzkum Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Cvičící: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Základní informace rozsah předmětu: 2/2, zakončeno: zkouškou, počet kreditů:
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Lineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace
@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Operační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
Lineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY)
Úvod do optimalizace Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl (volně dle M.T. Heathe) 10. přednáška 11MAMY úterý 22. března 2016 verze: 2016-04-01 16:10 Obsah Optimalizační problém 1 Definice 1
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie
4EK201 Matematické modelování 11. Ekonometrie 11. Ekonometrie Ekonometrie Interdisciplinární vědní disciplína Zkoumá vztahy mezi ekonomickými veličinami Mikroekonomickými i makroekonomickými Ekonomie ekonomické
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
4EK201 Matematické modelování. 1. Úvod do matematického modelování
4EK201 Matematické modelování 1. Úvod do matematického modelování Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
DSS a De Novo programming
De Novo Programming DSS a De Novo programming DSS navrhují žádoucí budoucnost a cesty k jejímu uskutečnění Optimalizační modely vhodné nástroje pro identifikaci optimálního řešení problému Je ale problém
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA Ing. Jana Friebelová, Ph.D. České Budějovice 2009 Operační analýza Jana Friebelová Recenzent: doc. Ing. Mgr. Martin Dlouhý,
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Vícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
DIPLOMOVÁ PRÁCE. Petra Váchová Lineární programování ve výuce na střední
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Váchová Lineární programování ve výuce na střední škole Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Pavla
ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ Přednáška 1. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 1 ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ Organizační Vyučující Ing., Ph.D. email: belinova@k620.fd.cvut.cz Doporučená literatura Dudorkin J. Operační výzkum. Požadavky zápočtu docházka zápočtový test (21.5.2015)
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.