4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
|
|
|
- Břetislav Matějka
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
2 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutriční problém (spec. případ směšovacího problému) Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Distribuční úlohy (dopravní a přiřazovací problém) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Investiční společnost disponuje částkou 1,5 mil. Kč (může ale nemusí ji investovat celou) Zvažuje nákup akcií společnosti Mamut, a.s., Dinosaurus, a.s. a Ještěr, a.s. Dále uvažuje o investici do obligací a investici do vládních dluhopisů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Management společnosti rozhodl, že: z důvodu rizikovosti nesmí celková investice do akcií přesáhnout 30 % celkové investované částky celková investice do obligací a dluhopisů nesmí přesáhnout 1 mil. Kč, musí však dosáhnout alespoň celková investice do akcií Do obligací musí být investováno alespoň 300 tisíc Kč Investice do společnosti Dinosaurus, a.s. nesmí být nižší než do společnosti Ještěr, a.s, ani vyšší než do společnosti Mamut, a.s. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Management společnosti dále rozhodl, že: celkový výnos z investice musí být alespoň 10 % a cílem investice je minimalizace rizika Výnos Riziko Mamut, a.s. 18 % 12 % Dinosaurus, a.s. 16 % 8 % Ještěr, a.s. 14 % 7 % Obligace 7 % 2 % Vládní dluhopisy 5 % 1 % Formulujte matematický model úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 Optimální řešení: x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = z = Najděte řešení v softwaru LINGO Interpretujte výsledky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 Optimální řešení: x 1 = ,71 x 2 = ,71 x 3 = 0 x 4 = x 5 = 0 Řešení v softwaru LINGO (v Kč) Interpretujte výsledky z = 0, = 1, % Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 5. Distribuční úlohy LP Úkolem celé velké skupiny distribučních úloh je zajistit distribuci (tj. rozdělení) určité homogenní komodity (např. zboží) z jedné oblasti (např. dodavatelé) do druhé oblasti (např. odběratelé). Proměnné: přiřazení jednotky z první skupiny k jednotce z druhé skupiny (např. doprava od daného dodavatele k danému odběrateli), hodnoty určují, zda k přiřazení dojde či ne (0/1) nebo jak intenzivní přiřazení je (množství převáženého zboží) Omezení: kapacity a požadavky Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 dopravní problém 5. Distribuční úlohy LP kontejnerový dopravní problém obecný distribuční problém přiřazovací problém úloha o pokrytí okružní dopravní problém výrobně-přepravní problém atd. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 5. Distribuční úlohy LP Liší se od běžných úloh LP svým specifickým matematickým modelem Řada z nich je charakteristická požadavkem celočíselnosti proměnných Řeší se proto specifickými metodami Nejjednodušším reprezentantem je dopravní problém (DP) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 5.1 Dopravní problém (DP) DP řeší distribuci homogenní látky od dodavatelů k odběratelům Je dán: počet dodavatelů m (index i = 1, 2,, m) počet odběratelů n (index j = 1, 2,, n) kapacity dodavatelů a i požadavky odběratelů b j cena (náklady, vzdálenost atd.) za dodání jedné jednotky od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli c ij Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stejných jednotkách jako požadavky odběratelů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 5.1 Dopravní problém (DP) Úkol: určit, kolik jednotek dodá každý dodavatel každému odběrateli Cíl: uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle byla minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 5.1 Příklad - zadání V okolí Mladé Boleslavi působí mimo jiné tři zemědělská družstva: Sever Loukovec, Čistá u Mladé Boleslavi a Luštěnice. Družstva disponují 15, 20 a 25 kombajny. Je potřeba posekat tři pole s obilím, přičemž na první je potřeba poslat 22 kombajnů, na druhé 20 a na třetí 18. Vzdálenosti mezi jednotlivými družstvy a poli jsou uvedeny v tabulce. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 5.1 Příklad - zadání [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky Pole km Luštěnice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 5.1 Příklad - proměnné Proměnné označíme x ij Hodnota proměnné x ij určuje množství kombajnů v kusech dodaných i tým dodavatelem (družstvem) j tému odběrateli (poli) Proměnných je m n = 3 3 = 9 Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 T Na obrázku byla znázorněna volba náhodně zvolené proměnné x 32 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 5.1 Dopravní problém formulace MM Proměnné v DP označíme x ij (dvojitý index) Hodnota proměnné x ij určuje množství homogenní látky dodané i tým dodavatelem j tému odběrateli Počet proměnných: m n Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12,, x 1n, x 21, x 22,, x 2n,, x m1, x m2,, x mn T Předpokládá se rovnost součtu kapacit a součtu požadavků (vyrovnaný DP)* Omezení jsou proto formulována v rovnicích Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 5.1 Příklad matematický model minimalizovat za podmínek: c ij O1 O2 O3 a i D D D b j z = 9x x x 33 x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 20 x 31 + x 32 + x 33 = 25 x 11 + x 21 + x 31 = 22 x 12 + x 22 + x 32 = 20 x 13 + x 23 + x 33 = 18 x ij O1 O2 O3 a i D1 x 11 x 12 x D2 x 21 x 22 x D3 x 31 x 32 x b j x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
18 5.1 Příklad matematický model minimalizovat z = 9x x x 33 za podmínek: x 11 +x 12 +x 13 = 15 x 21 +x 22 +x 23 = 20 x 31 +x 32 +x 33 = 25 x 11 +x 21 +x 31 = 22 x 12 +x 22 +x 32 = 20 x 13 +x 23 +x 33 = 18 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 5.1 Dopravní problém formulace MM Počet omezení DP je m + n m pro dodavatele (řádková omezení, zajišťují kapacitu) x i1 + x i2 + + x in = a i, i = 1, 2,, m n j=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m n pro odběratele (sloupcová omezení, zajišťují požadavky) x 1j + x 2j + + x mj = b j, j = 1, 2,, n m i=1 x ij = b j, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 5.1 Dopravní problém formulace MM Podmínky nezápornosti: x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Účelová funkce: minimalizovat z = c 11 x 11 + c 12 x c mn x mn z = m n i=1 j=1 c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 5.1 Dopravní problém obecný model minimalizovat za podmínek: m n z = c ij x ij i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 5.1 Dopravní problém formulace MM Každý vyrovnaný dopravní problém m a i = n i=1 j=1 má vždy přípustné řešení i optimální řešení Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22 n b j b j
23 5.1 Dopravní problém dopravní tabulka Zejména z důvodu přehlednosti Řádek tabulky odpovídá řádkovému omezení Sloupec tabulky odpovídá sloupcovému omezení Řádky a sloupce vymezují políčka Políčko tabulky odpovídá jedné dopravní cestě mezi dodavatelem a odběratelem, tj. jedné proměnné x ij O j D i c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 5.1 Příklad dopravní tabulka Je to PŘ? z = 411 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D x D 2 x7 21 x 23 D x x b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 5.1 Příklad optimální řešení z = 261 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 5.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i n i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Buď přidáním fiktivního dodavatele Nebo přidáním fiktivního odběratele b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 5.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že Pole 3 je již posekané. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 5.1 Příklad fiktivní odběratel c ij O1 O2 a i D D D b j Cenové koeficienty fiktivního odběratele jsou nulové O 1 O 2 F 3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 5.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek kapacit nad požadavky m a i > n i=1 j=1 Přidání fiktivního odběratele (sloupec) s požadavkem m b n+1 = a i b j n i=1 j=1 Představuje neodeslané zboží (nevyčerpaná kapacita) b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 5.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že oproti původnímu zadání má zemědělské družstvo Sever Loukovec celodružstevní dovolenou a jejich kombajny nemohou sekat. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 45 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 5.1 Příklad fiktivní dodavatel c ij O1 O2 O3 a i D D b j Cenové koeficienty fiktivního dodavatele jsou nulové O 1 O 2 O 3 a i D D F b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 5.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek požadavků nad kapacitami m a i < n i=1 j=1 Přidání fiktivního dodavatele (řádek) s kapacitou n a m+1 = b j b j m j=1 i=1 Představuje nedodané zboží (nesplněný požadavek) a i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 5.2 Kontejnerový dopravní problém (KDP) KDP je modifikací dopravního problému s tím rozdílem, že přeprava zboží se provádí pouze v kontejnerech Každý kontejner má kapacitu K jednotek Náklady na přepravu jsou uvedeny na jeden kontejner Náklady jsou stejné bez ohledu na to, je-li kontejner plný nebo poloprázdný Celkové náklady na přepravu se minimalizují Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 5.2 Příklad - zadání Firma Kámen těží ve třech lomech štěrko-písek. Štěrkopísek dodává na tři velké stavby. Kapacita lomů je 30, 20 a 25 tun (denně). Požadavky staveb jsou 25, 35 a 15 tun (denně). Vzdálenosti jednotlivých lomů od staveb v km jsou uvedeny v tabulce. Doprava je realizována pomocí nákladních vozů Liaz 150 s maximální nosností 10 tun. Určete objem dodávek z jednotlivých lomů na stavby tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 5.2 Příklad - zadání [km] Stavba 1 Stavba 2 Stavba 3 Kapacity Lom Lom Lom Požadavky Stavba km 10 Lom 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 5.2 KDP obecný model minimalizovat za podmínek: n j=1 m i=1 z = m n i=1 j=1 c ij y ij x ij a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij Ky ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n y ij 0, celé, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
37 5.3 Obecný distribuční problém (ObDP) Je velmi podobný DP především svým MM Ekonomické modely se liší: v DP jde o rozdělení (distribuci) zdrojů, které se nijak nemění, pouze se převážejí v ObDP jde o rozdělení (distribuci) činností, jejichž realizací vznikají nové výrobky Cílem je takové rozdělení činností, které minimalizuje náklady Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
38 5.3 Příklad - zadání Firma Kniha se zabývá tiskem knih. Ke své činnosti používá dva tiskařské stroje. Každý stroj může pracovat 100 hodin. Tiskne dva typy knih (knihy pro děti a romány pro dospělé). Dle smlouvy musí tiskárna vytisknout 1500 kusů knih pro děti a 1500 kusů románů pro dospělé. Cílem je zajistit tisk požadovaného množství knih s minimálními náklady. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
39 5.3 ObDP obecný model minimalizovat za podmínek: m n z = c ij x ij i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij a i, i = 1, 2,, m k ij x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
40 5.4 Přiřazovací problém (PP) Jedná se o vzájemně jednoznačné přiřazení dvojice jednotek ze dvou skupin (párování) Např. může jít o auta a garáže, stavby a rypadla, pracovníci a pracovní místa apod. Toto přiřazení má přinést co nejvyšší efekt Můžeme minimalizovat ujetou vzdálenost, náklady, maximalizovat pracovní výkon apod. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 65
41 5.4 Příklad - zadání Nově otevřený obchodní dům testoval ve zkušebním provozu výkonnost pracovních skupin prodavačů na jednotlivých odděleních (v procentech průměrné tržby viz tabulku) Určete, jak rozmístit skupiny pracovníků na jednotlivá oddělení tak, aby celková výkonnost (měřená v % tržby) byla maximální Tržba [%] Potraviny Porcelán Textil Pracovní skupina č Pracovní skupina č Pracovní skupina č Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 66
42 5.4 Přiřazovací problém (PP) Předpokládáme, že obě skupiny mají stejný počet prvků Pokud nemají, lze jednu ze skupin doplnit fiktivními jednotkami Řeší se speciálními metodami pro bivalentní úlohy nebo heuristickými metodami, které dávají přibližné výsledky (maďarská metoda, metoda větví a mezí) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 67
43 5.4 Přiřazovací problém (PP) Jsou dány: Jednotky první skupiny (n) A i, i = 1, 2,, n Jednotky druhé skupiny (n) B j, j = 1, 2,, n Cenové koeficienty c ij určující cenu přiřazení každé dvojice jednotek A i a B j Proměnné x ij určující, zda i tá jednotka z první skupiny bude přiřazena j té jednotce ze skupiny druhé (A i k B j ) Proměnné x ij jsou bivalentní, mohou nabývat pouze dvou hodnot nula (0) nebo jedna (1) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 68
44 5.4 Příklad matematický model maximalizovat za podmínek: c ij O1 O2 O3 P P P z = 101x x x 33 x 11 + x 12 + x 13 = 1 x 21 + x 22 + x 23 = 1 x 31 + x 32 + x 33 = 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 x ij O1 O2 O3 P1 x 11 x 12 x 13 P2 x 21 x 22 x 23 P3 x 31 x 32 x 33 x ij 0,1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 69
45 5.4 PP formulace MM Hodnoty proměnných x ij jsou omezeny jednoznačným přiřazením jednotek první skupiny jednotkám druhé skupiny a naopak Počet těchto omezení je tedy n + n = 2n n pro jednotky první skupiny A i (řádková omezení) n j=1 x ij = 1, i = 1, 2,, n n pro jednotky druhé skupiny B j (sloupcová omezení) n i=1 x ij = 1, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 70
46 5.4 PP formulace MM Podmínky nezápornosti a bivalence: Podmínky nezápornosti jsou díky bivalenci splněny automaticky x ij = 1, pokud je A i přiřazeno k B j, i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, n 0, pokud není A i přiřazeno k B j Účelová funkce: maximalizovat (min) z = z = c 11 x 11 + c 12 x c mn x mn n i=1 n j=1 c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 71
47 5.4 PP obecný model Maximalizovat (minimalizovat) z = za podmínek: n j=1 m i=1 n n i=1 j=1 c ij x ij x ij = 1, i = 1, 2,, n x ij = 1, j = 1, 2,, n x ij 0,1, i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 72
48 5.4 Příklad přípustné řešení c ij O1 O2 O3 P P P B j A i c ij x ij O 1 O 2 O 3 a i P P b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 73
49 5.4 Příklad optimální řešení Řešení v předchozí tabulce je nejen přípustné, ale i optimální. První pracovní skupina (P1) bude umístěna v oddělení potravin (O1) Druhá pracovní skupina (P2) bude umístěna v oddělení textilu (O3) Třetí (P3) v oddělení porcelánu (O2) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 74
50 5.5 Okružní dopravní problém (OkDP) Historický název tohoto typu úlohy LP je problém obchodního cestujícího (anglicky Travelling Salesman Problem TSP): obchodní cestující má vyjít z místa M1 obejít stanovený počet míst tak, aby do každého jednou vešel a jednou z něj vyšel cestu musí absolvovat najednou celková délka cesty musí být minimální Na rozdíl od DP nejde o určení přepravovaných množství, ale o stanovení dopravní cesty Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 75
51 Kralupy 5.5 Příklad - zadání 24 Mělník 26 Problém bankovního lupiče Brandýs Praha Kolín Benešov 61 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 78
52 5.5 OkDP obecný model Minimalizovat z = za podmínek: n j=1 n i=1 n n i=1 j=1 c ij x ij x ij = 1, i = 1, 2,, n x ij = 1, j = 1, 2,, n α i α j + n x ij n 1, i = 1, 2,, n, j = 2, 3,, n x ij 0,1, i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 84
53 Kralupy 5.5 Příklad - řešení 24 Mělník 26 Problém bankovního lupiče Praha Benešov Kolín Brandýs Mgr. Sekničková Jana, Ph.D z = 244 Kr Mě Pr Br Be Ko δ i Kralupy Mělník Praha Brandýs Benešov Kolín
54 5.6 Úloha o pokrytí (ÚoP) Jde o jednu z variant přiřazovacího problému Je třeba rozhodnout o umístění K obslužných stanic (hasičská stanice, první pomoc atd.) Území působnosti těchto stanic je rozděleno do n obvodů (n > K) Každý obvod je obsluhován jednou stanicí Je třeba určit, do kterých obvodů bude umístěna určitá obslužná stanice Současně je třeba určit území působnosti této stanice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 87
55 5.6 Příklad - zadání Ve dvou z šesti městských obvodů O1, O2,..., O6 se má postavit stanice rychlé pomoci a určit, které obvody budou mít zřízené stanice na starosti V tabulce je: průměrný čas, který potřebuje stanice zřízená v obvodě O i pro příjezd k pacientovi v obvodě O j (v minutách) průměrná frekvence zásahů rychlé pomoci v jednotlivých obvodech Cílem je navrhnout, kde zřídit stanice a které obvody jim přiřadit tak, aby celková průměrná doba obsluhy byla minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 88
56 5.6 ÚoP obecný model Minimalizovat za podmínek: n j=1 n i=1 z = n n i=1 j=1 c ij x ij f j x ij = 1, j = 1, 2,, n x ij (n K + 1)y i, i = 1, 2,, n n i=1 y i = K, x ij 0,1, i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, n y i 0,1, i = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 96
57 5.6 Příklad - řešení Obvody O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O O O O O O Četnosti Obvody Stanice O 1 y 1 O 2 y 2 O 3 y 3 O 4 y 4 O 5 y 5 O 6 y 6 Celkem 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 97
58 5.6 Příklad optimální řešení Řešení v předchozí tabulce je nejen přípustné, ale i optimální. Jedna stanice rychlé pomoci bude umístěna v obvodu O 4 Bude obsluhovat obvody O 1, O 4, O 5 Druhá stanice rychlé pomoci bude umístěna v obvodu O 6 bude obsluhovat obvody O 2, O 3, O 6 Plánované zásahy budou trvat přibližně 1488 minut Průměrná doba zásahu je odtud 7,09 minut Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 98
59 Detaily k přednášce: skripta, kapitola a KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 99
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
4EK212 Kvantitativní management. 3. Typické úlohy LP
4EK212 Kvantitativní management 3. Typické úlohy LP 3. Typické úlohy LP a ILP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Lineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
4EK212 Kvantitativní management 4. Speciální úlohy lineárního programování
4EK212 Kvatitativí maagemet 4. Speciálí úlohy lieárího programováí 3. Typické úlohy LP Úlohy výrobího pláováí (alokace zdrojů) Úlohy fiačího pláováí (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutričí
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
Operační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2
4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Příklady ke cvičením. Modelování produkčních a logistických systémů
Modelování produkčních a logistických systémů Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky Garant, přednášející, cvičící: Jan Fábry 10.12.2018 Příklady ke cvičením Opakování lineárního programování
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Matematické modelování 4EK201
Matematické modelování 4EK0 Ukázkový test Maimum 00 bodů. Pokud má úloha lineárního programování více optimálních řešení, pak (a) jich může být nekonečně mnoho, (b) jich musí být nekonečně mnoho.. Doplňte
1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.
Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických
4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
Metody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
Otázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
Přiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Pokročilé matematické modely a metody
Pokročilé matematické modely a metody Jan Fábry ŠKODA AUTO Vysoká škola Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky fabry@savs.cz http://nb.vse.cz/~fabry Leden 2017, Mladá Boleslav Jan Fábry Pokročilé
1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
4EK314 Diskrétní modely Příklady
4EK314 Diskrétní modely Příklady Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely - příklady 1 / 28 Cvičení
P ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
4EK314 Diskrétní modely
4EK314 Diskrétní modely Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely 1 / 153 Sylabus kurzu 1 Úloha celočíselného
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. 1 Úvodní pojmy Metody na podporu rozhodování lze obecně dělit na: Eaktní metody metody zaručující nalezení optimální řešení, např. Littlův algortimus,
Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)
Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems) RNDr. Martin Branda, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)
Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada
Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]
![Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]](/thumbs/24/4374207.jpg "Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]")
Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:
3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie
4EK201 Matematické modelování 11. Ekonometrie 11. Ekonometrie Ekonometrie Interdisciplinární vědní disciplína Zkoumá vztahy mezi ekonomickými veličinami Mikroekonomickými i makroekonomickými Ekonomie ekonomické
Vícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
Numerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
4EK201 Matematické modelování. 7. Modely zásob
4EK201 Matematické modelování 7. Modely zásob 7. Zásobovací procesy poptávka objednávka Firma Prodejna výdej Firemní sklad dodávka Dodavatel Velkosklad Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 7. Charakter poptávky
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
RNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Osnova p ednášky Logistické systémy a jejich LOGISTICKÉ SYSTÉMY charakteristika 2 0 0 8 0 8-2/ 2 1 / 3 Typy distribu ních systém Typy distribu
Osnova přednášky LOGISTICKÉ SYSTÉMY 2008-2/13 Logistické systémy a jejich charakteristika Typy distribučních systémů Základní logistické kalkulace, Case Study Přepravní systémy Logistický systém Lokační
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení
Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující
Kvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková
Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA... 3 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA... 7 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM... 13 4 MODEL HROMADNÉ
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 11. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 13 Vybrané ekonomické aplikace diferenciálního
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
þÿx ea e n í t e c h n i c k é i n f r a s t r u k t u r y dopravního problému
DSpace VSB-TUO http://www.dspace.vsb.cz þÿx a d a s t a v e b n í / C i v i l E n g i n e e r i n g S e r i e s þÿx a d a s t a v e b n í. 2 0 0 8, r o. 8 / C i v i l E n g i n e e r i n g þÿx ea e n í
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Kvantitativní metody v rozhodování
Kvantitativní metody v rozhodování Každý manažer je ve své denodenní praxi vystaven řadě rozhodovacích situací a problémů, které může analyzovat ze dvou hledisek: bud na základě znalostí a zkušeností (kvalitativní
Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Úvod do celočíselné optimalizace
Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS
CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP
CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP 1. Definice úlohy Úloha VRP (Vehicle Routing Problem problém okružních jízd) je definována na obecné dopravní síti S = (V,H), kde V je množina uzlů sítě a H
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
4EK201 Matematické modelování. 8. Modely hromadné obsluhy
4EK201 Matematické modelování 8. Modely hromadné obsluhy 8. Modely hromadné obsluhy Systém, ve kterém dochází k realizaci obsluhy příchozích požadavků = systém hromadné obsluhy Vědní disciplína zkoumající
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
xrays optimalizační nástroj
xrays optimalizační nástroj Optimalizační nástroj xoptimizer je součástí webového spedičního systému a využívá mnoho z jeho stavebních bloků. xoptimizer lze nicméně provozovat i samostatně. Cílem tohoto
Když vyjde desetinné číslo, není to reálný výsledek, nemůžu říct šéfovi, vyrábět 700,988 židlí.
Úvod do operačního výzkumu Operační výzkum = Výzkum operací. OV je výzkum systémů samostatných disciplín. Vojenské, strategické a taktické opce. Po skončení války přesun do ekonomie, řešení stavebních
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
SEŠITOVÝ JÍZDNÍ ŘÁD. 532 nákladní pro tratě
Správa železniční dopravní cesty, státní organizace SEŠITOVÝ JÍZDNÍ ŘÁD 532 nákladní pro tratě Kralupy nad Vltavou Neratovice (Všetaty) Čelákovice Neratovice Čelákovice Mochov Platí od 9. prosince 2012
Využití simplexového algoritmu v projektování výroby
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra řízení Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Využití simplexového algoritmu v projektování
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice