GYMNÁZIUM JERONÝMOVA MATEMATIKA V POKERU

Transkript

1 GYMNÁZIUM JERONÝMOVA MATEMATIKA V POKERU ročníková práce Autor: Vedoucí ročníkové práce: Martin Dulák prof. Petr Pajerský LIBEREC 010/11

2 OBSAH ÚVOD 1 1 TEORETICKÁ ČÁST 1.1 Historie pokeru Pravidla a varianty Pravidla Další varianty Témata a jejich vysvětlení Výpočet outs Hand odds Pot odds Implied odds Equity EV = expected value ROI Bankroll managment Slovníček pojmů... PRAKTICKÁ ČÁST 3.1 Pravděpodobnost kombinací Nash equilibrium Rozptyl (variance), směrodatná odchylka ANOTACE 34 ZÁVĚR 35

3 PODĚKOVÁNÍ Na tomto místě bych rád poděkoval zejména panu prof. Petrovi Pajerskému, který mi práci pomáhal zdokonalovat až do konečné podoby a pomohl mi téma Matematika v pokeru shrnout do co nejlidštější podoby. ÚVOD Jako svou ročníkovou práci jsem si vybral téma Matematika v pokeru a to hned ze dvou důvodů. První je, že matematika je můj oblíbený předmět a druhý

4 důvod je poker. Je to úžasná hra, která není založená pouze na štěstí a náhodě. V této práci vám chci ukázat, jak moc v ní figuruje matematika a že štěstí a náhoda jsou pouze nedílnou součástí této hry. V první části (teoretické) vám chci přiblížit pokerovou historii, pravidla a dále pak jeho matematickou stránku (jednodušší výpočty). V druhé části vám zbylá témata související s matematikou podrobněji rozeberu a dokážu, proč je to tak či onak. 1 TEORETICKÁ ČÁST 1.1 Historie pokeru 011

5 Název poker vzniknul pravděpodobně z francouzského poque, které vzniklo z německého pochen (v překladu bušit, tlouct, klepat). Lepší vysvětlení názvu pochází zhruba z 19. století, kdy při této hře podvodníci dokázali velmi rychle obrat o peníze z kapsy začínajícího hráče a kapsa se řekne anglicky poke. Písmeno r bylo údajně přidáno do názvu, aby si nevšimli podobnosti mezi těmito slovy. Je to kombinace více karetních her. Nejvíce se pokeru podobají: perská karetní hra as nas, poté francouzská brelan a anglická brag. Hlavním předchůdcem je však hra primero, která byla rozšířena v 16. století zejména v Evropě. Poker se rozšiřoval po USA hlavně díky cestování, kdy si cestující krátili dlouhé cesty parníky apod. Nejdříve se poker hrál s 0 kartami a čtyři hráči vsázeli na to, kdo má lepší kombinaci. Poté se začal používat balíček s 5 kartami a mezi kombinacemi přibyla flush (barva). V průběhu války Severu proti Jihu ( ) vznikly další varianty této hry: draw poker a stud poker a přibyla výherní kombinace straight (postupka). Dále se postupně vyvíjely další a další varianty a do dalších zemí, zejména do Asie, byl poker rozšířen díky americkým vojákům. Moderní pokerové turnaje se staly populární zejména díky WSOP (World Series of Poker). Díky této sérii, označované za mistrovství světa v pokeru, se začínal poker dostávat i do podvědomí širšího spektra lidí. První série byla v roce V prvních ročnících se účastnili zejména naprostí pokeroví profesionálové a pole obsahovalo maximálně několik desítek jedinců. Později se tyto počty zvyšovaly a začala vycházet i první pokerová literatura. V roce 010 se hlavní události série zúčastnilo něco přes 7000 lidí. A vítěz bral přes 8 miliónů dolarů. Světový boom pokeru přišel v roce 003, kdy hlavní událost (tzv. Main Event) vyhrál online kvalifikant Chris Moneymaker. V té době si přišel jako vítěz na,5m$ (cca 45 milionů korun). Po této nečekané výhře (kvalifikoval se za pouhých 39$) se poker rozšířil do celého světa a zejména online poker zaznamenal obrovský nárůst v počtu hráčů. Mezi další známé série patří: EPT (European poker tour) turnaje po různých místech Evropy, WPT (World poker tour) - série po státech v USA. 011

6 Nejznámějšími online hernami jsou pak Pokerstars a Full tilt poker, na kterých hraje pravidelně každý den několik desítek tisíc lidí. V této době je poker nejrozšířenější karetní hrou po celém světě. Hrají ho miliony lidí a i v České republice je tato hra čím dál populárnější. 1. Pravidla a varianty 011 3

7 Poker je karetní hra určená minimálně pro dva hráče. Maximálně bývá u stolu hráčů deset. Nejznámější a nejběžnější varianta je Texas Holdem poker Pravidla Balíček obsahuje 5 karet rozdělených do 4 různých skupin po 13 kartách. Nahoře: Spades listy, Hearts srdce Dole: Diamonds káry, Clubs - kříže Zde rozeberu podrobněji pravidla hry Texas Hold em: Výherní kombinace Celkem máme 13 výherních kombinací. High card (vysoká karta) Nejnižší možná kombinace karet. V případě, že oba mají stejnou nejvyšší kartu, rozhoduje druhá nejvyšší karta. One Pair (jeden pár) Dvě karty stejné hodnoty. Pokud mají dva či více hráčů pár, vyhrává hráč s párem vyšší hodnoty. Když mají dva hráči pár stejné hodnoty, rozhoduje o vítězi vyšší třetí karta (tzv. kicker). Two Pairs (dva páry) 011 4

8 páté karty. Dvě dvojice karet, které mají stejnou hodnotu. Při rovnosti rozhoduje hodnota Three of kind (trojice) Tři karty stejné hodnoty. Tato kombinace se dále rozděluje na trips (jedna karta v ruce a dvě ze stolu, př.: Máme A5 a na stole je 45A9A ) a set (dvě karty v ruce a jedna na stole, př.: Máme AA a na stole je 54A89 ) Straight (postupka) Kombinace pěti karet jdoucích postupně za sebou. Nelze sestavit postupku QKA3! Pokud mají dva či více hráčů straight, vyhrává hráč s nejvyšší kartou v postupce. Flush (barva) 011 5

9 Pět karet stejné barvy. O vítězi rozhoduje nejvyšší karta v té barvě (případně druhá, atd.). Full house Trojice a dvojice. O vítězi rozhoduje trojice vyšší hodnoty. Four of kind (poker, čtveřice) Čtyři karty stejné hodnoty. Straight flush (postupka v barvě) Pět karet stejné barvy jdoucích postupně za sebou. Royal flush (královská postupka) 011 6

10 Pět karet stejné barvy jdoucích postupně za sebou od desítky po eso. Obrázky: zdroje: Začátek hry, pozice u stolu a povinné sázky Pozice u stolu je základem při hraní pokeru. Pokud hrajete z pozdní pozice, máte velké výhody oproti předchozím hráčům. Vidíte, zda dorovnali, navýšili nebo karty složili. Naopak hraní těsně za blindy (povinné sázky) je bez informací navíc, které by vám pomohly při rozhodování. Tento faktor velmi rozhoduje o tom, jak budete úspěšní v pokeru. Pokud si uvědomíte význam pozice, jste na správné cestě. Zdroj: (vlastní úprava obrázku) Pokud je u stolu hráčů deset, tak bude o jednu brzkou pozici více, ostatní počty se nemění. Pozice u stolu se dělí následujícím způsobem: 011 7

11 Povinné sázky: Každou hru dávají dva hráči povinné sázky. Malý a velký blind (small a big blind (značíme SB,BB) ). Malý blind je polovina velkého. Tyto sázky se postupně střídají podle hodinových ručiček. SB a BB se první kolo sázek rozhodují až jako poslední dva, dále pak už svým rozhodnutím tito hráči začínají. První (brzká) pozice-modrá: Mezi brzké pozice patří velká a malá povinná sázka a ještě první dvě pozice za nimi (tyto pozice se značí SB,BB,UTG,UTG+1). Tyto pozice se řadí mezi nejhorší. UTG a UTG+1 (první dvě pozice za velkým a malým blindem) jsou pozice, ve kterých by hráči neměli hrát špatné handy (dvě karty v ruce). Nemají totiž žádné informace o kartách ostatních hráčů a tak případná sázka nebo dorovnání přináší spíše nepříjemnosti. Střední (middle) pozice-zelená: Střední pozice, které se označují MP1,MP a MP3 jsou další tři pozice u stolu. Na těchto pozicích už alespoň o některých hráčích víme nějaké informace (jestli se zapojili do hry nebo ne a předpokládaná hodnota karet podle jejich akce). Pozdní (late) pozice-žlutá: Tyto pozice se považují za nejlepší (označují se jako CO a BTN). Po celou dobu hry se rozhodujeme buď mezi posledními (první kolo) a dále pak už jako poslední hráči. Díky tomu víme přibližně jak silnou handu můžou mít ostatní hráči u stolu a přizpůsobit tomu svoji hru. Dále následuje rozdání karet a první kolo sázek První kolo sázek 011 8

12 První kolo sázek začíná po rozdání karet. Nejdříve se rozhodují hráči na prvních pozicích, dále pak na středních, pozdních pozicích a nakonec hráči na blindech. Podle uvážení a podle kvalit svých karet se hráč může rozhodnout pro následující věci: Dorovnání (call): Hráč pouze dorovná velký blind. Navýšení (raise): Hráč navýší velký blind minimálně o jeho dvojnásobek Položení (fold): Pokud si hráč myslí, že nemá dost silné karty na pokračování ve hře, může své karty položit. Další hráči pak můžou podle předchozí akce buď: - dorovnat velký blindy (pokud nikdo před tím nenavýšil) - dorovnat navýšení hráče před ním - navýšit (pokud to neudělal hráč před ním) Znovu navýšit (re-raise) Takto probíhá první kolo sázek u všech o stolu. Jakmile se první kolo sázek ukončí přichází na řadu flop FLOP a druhé kolo sázek Výraz flop se používá pro první tři karty vyložené na board (stůl). Po těchto třech kartách začínají znovu sázky. Sázky začíná malý blind (SB), případně první hráč za ním, který stále ještě hraje. Hráči mohou: Vsadit (bet) Zůstat stát (check) Po sázce některého z hráčů může další hráč provést - navýšení sázky soupeře (raise) - dorovnání (call) 011 9

13 TURN a třetí kolo sázek Čtvrtá karta se nazývá turn. Po této kartě probíhá další kolo sázek stejně jako v předchozím kole RIVER a závěrečné kolo sázek Po poslední páté kartě přichází na řadu poslední kolo sázek. Po tomto kole je na řadě showdown neboli odkrytí karet. Hráči, kteří zbyli u stolu odkryjí své karty a hráč s nejlepší kombinací vyhrává bank. 1.. Další varianty Five card draw V této variantě jde stejně jako v Hold emu o sestavení nejlepší možné kombinace z pěti karet. Nejdříve se každému hráči rozdá pět karet, poté probíhá první kolo sázek. Po ukončení sázek si každý hráč vymění libovolný počet karet, následuje druhé kolo sázek a vyložení karet Omaha Omaha je odvozená od Hold emu. Každému hráči jsou rozdány čtyři karty. Na stůl je poté rozdáno pět společných karet (stejným systémem jako v Hold emu). Vítězí kombinace sestavená z libovolných dvou karet hráče a třech karet na stole Stud Hráčům je postupně rozdáno sedm karet. Nejdříve se každému hráči rozdají první tři karty. Dvě vlastní (vidí pouze hráč) a jedna odkrytá. Hráč s nejnižší odkrytou kartou začíná hra. Ta pak pokračuje dále po směru hodinových ručiček. Následuje čtvrtá karta (tzv. Fourth street). Tato karta je také odkrytá a kolo sázek začíná hráč s nejvyšší hodnotou odkrytých karet. Následuje další kolo sázek a po něm přichází karta číslo pět (fifth street). Tato karta je znovu odkrytá. Poté přichází šestá karta a po dalším kole sázek dostanete poslední kartu, která už je lícem

14 dolů. Z těchto sedmi karet (z toho čtyři vidí vaši soupeři) máte za úkol sestavit co nejlepší kombinaci pěti karet. Výherní kombinace jsou stejné jako v Hold emu Ostatní varianty (Razz,Badugi ) Méně známé a hrané varianty jsou ještě například Razz a Badugi. Razz- Hráči je rozdáno celkem sedm karet (stejným způsobem jako ve Studu). Vyhrává však hráč s nejnižšími kartami. Takže nejnižší možná kombinace je 5,4,3,,A. Dále pak 6,4,3,,A atd. Hráč se snaží o nejmenší možnou řadu karet a měl by se vyhýbat párům, trojicím apod. Badugi-Badugi je varianta draw pokeru. To znamená, že každému hráči jsou rozdány čtyři karty lícem dolů. Hráč může libovolný počet karet vyměnit v celkem třech kolech. Každé kolo výměny je rozděleno kolem sázek. Vyhrává kombinace čtyř po sobě jdoucích karet, které jsou každá v jiné barvě. (takže nejlepší kombinace 4,3,,A-v různých barvách) Pokud jsou dvě karty stejné a nebo ve stejný barvě vždy se horší z nich ignoruje a počítá se kombinace tří karet

15 1.3 Témata a jejich vysvětlení Zde budou všechna témata, kterých se více či méně dotýká matematika. Ta jednodušší vysvětlím tady a z těch složitějších si vyberu pár a více je popíšu v praktické části Výpočet outs Správný výpočet outs je velmi důležitý pro veškeré další výpočty. Nejdříve si tedy vysvětlíme co to jsou vlastně outs. Outs je označení pro všechny karty, které nám pomohou k sestavení výherní (nebo aspoň podle nás výherní) kombinace. Příklad: Na flopu jsou karty, my držíme v ruce. Máme tedy 8 outs (4x čtyřka a 4x devítka). Dále například pokud čekáme na barvu máme outs 9. (13 karet v barvě mínus karty v barvě co držíme mínus karty v barvě co jsou na flopu). I přes to, že nám jeden z očekávaných outs dojde ne vždy nám to zaručuje výhru. Někdo může mít například vyšší flush. Nejčastější chybou při výpočtu outs je započítávání jedné karty víckrát. Příklad: Držíme. Flop přijde. Takže máme šanci jak na postupku tak i na barvu, tedy 9+8 = 17 outs. To je ovšem omyl! Ve skutečnosti máme outs pouze 15 (9 outs v jedné barvě + 6 outs do postupky /bez dvou, které už počítáme do barvy/). Pro početně nenáročný a přibližný způsob výpočtu procent, které máme na výhru (sestavení kombinace) se používá, že počet našich outs vynásobíme číslem 4 pokud jsme na flopu (čekáme na turn+river) a nebo číslem pokud jsme na turnu (pouze river). Příklad: Čekáme-li na barvu a jsme na flopu máme 9 outs. Rychlý výpočet tak je 9*4=36% ve skutečnosti je to však 35%, pokud jsme na turnu počítáme 9*=18% (19,6%). O přesném výpočtu procent v kapitole níže

16 1.3. Hand odds Jednou ze základních věcí každého pokerové hráče je vědět co to je hand odds a jak s tím naložit. Jedná se o pravděpodobnost dosažení kombinace, se kterou vyhrajete pot (žetony nebo peníze, o které se hraje). Odds je vlastně poměr mezi tím, kolikrát se událost nestane a kolikrát se naopak stane. (3:1 znamená, že nám požadovaná karta přijde právě jednou ze 4 případů). Pro lepší představu se používá spíše procentuální údaj tzv. pravděpodobnost. Princip není nijak složitý. První krok spočívá ve správném počtu outs (viz výše). Tento počet karet odečteme od karet, které ještě zbývají k vyložení (po flopu 47 karet,po turnu 46 karet) a vydělíme počtem těchto karet. Výsledek pak odečteme od čísla jedna a vynásobíme [(47 outs)/47] * 100 = Hand odds % (na flopu) 1 - [(46 outs)/46] * 100 = Hand odds % (na turnu) Příklad: Pokud máte například 15 outs, což platí pro flush draw a straight draw (čekání na barvu a postupku), tak svých 15 outs odečtete od zbylých 47 karet (3 karty vyložené a držíme). (47-15)/47 = 0,681. A výsledek odečteme od čísla ,681 = 0,319. Pokud chceme výsledek v procentech vynásobíme tuto hodnotu ,319 * 100 = 31,9%. Takže máme 31,9% šanci na to, že nám dojde na turnu postupka resp. barva. Pokud nás to samé zajímá z turnu na river postupujeme stejně. Jestli bychom však chtěli vypočítat jaká je šance, že nám to vyjde na turnu nebo riveru, tak výpočet vypadá následovně: (47-15)/47 * (46-15)/46 = 0,459. Odečteme od 1 a vyjde nám 0,541*100 = 54,1%. To je tedy šance na to, že nám na turnu nebo riveru přijde jedna z potřebných karet. Při přesném zjištění odds, ne pravděpodobnosti, postupujeme následovně: Z předchozího příkladu si vezmeme poslední počítanou hodnotu. 1/(54,1%) = 1/0,54 = 1,85, Poté od tohoto čísla odečteme 1 (1,85-1 = 0,85). Takže odds jsou 0,85:1. To znamená, že máme o něco větší šanci, že se ta daná situace (že karta přijde) stane

17 Je pravda, že takhle počítat při hře je poněkud náročné, takže vzniklo plno tabulek, kde podle počtu outs máte napsáno, jaká je přibližná šance na to, že vám ta potřebná karta přijde. Takže je lepší se tuto tabulku nějak přibližně naučit a osvojit. Tabulka: Turn (47 karet zbývá) River (46 karet zbývá) Turn a River Outs Odds Procenta Odds Procenta Odds Procenta : 1 4.6% 1.30 : % 0.48 : % : % 1.4 : % 0.54 : 1 65% : % 1.56 : % 0.60 : 1 6.4% : 1 36.% 1.71 : 1 37% 0.67 : % : 1 34% 1.88 : % 0.75 : 1 57% : %.07 : 1 3.6% 0.85 : % : 1 9.8%.9 : % 0.95 : 1 51.% 13.6 : 1 7.7%.54 : 1 8.3% 1.08 : % 1.9 : 1 5.5%.83 : 1 6.1% 1. : 1 45% : 1 3.4% 3.18 : 1 3.9% 1.40 : % : 1 1.3% 3.60 : 1 1.7% 1.60 : % 9 4. : 1 19.% 4.11 : % 1.86 : 1 35% : 1 17% 4.75 : %.18 : % : % 5.57 : 1 15.%.59 : 1 7.8% : 1 1.8% 6.67 : 1 13% 3.14 : 1 4.1% : % 8.0 : % 3.91 : 1 0.4% : 1 8.5% : 1 8.7% 5.07 : % : 1 6.4% : 1 6.5% 7.01 : 1 1.5%.50 : 1 4.3%.00 : 1 4.4% : 1 8.4% : 1.1% : 1.%.50 : 1 4.3% Zdroj:

18 1.3.3 Pot odds Spolu s hand odds má svůj velký význam i pot odds. Pot odds se vyjadřuje z hlediska k potu (banku). Pokud je v potu například 100$ a soupeř vsadí 50$, pak naše pot odds jsou: (100+50):50 = 3:1. Takže pokud naše hand odds jsou menší než jsou pot odds, tak se nám vyplatí sázku dorovnat a naše hra je správná. Hand odds < pot odds vyplatí se dorovnat Implied odds Implied odds jsou vlastně takovým vylepšením či rozšířením pro pot odds. Někdy vám pot odds řeknou, že se vám sázku dorovnat nevyplatí. Ale naopak díky implied odds si dorovnání dokážete odůvodnit a nebrat ho poté jako chybu. Implied odds vám řeknou, jak velkou můžete očekávat výhru, když se vám podaří sestavit kombinaci na kterou čekáte. Ke správnému výpočtu implied odds je zapotřebí znát trochu soupeře a vědět jakou částku je schopný zaplatit. Příklad: Jste-li na flopu a máte tedy flush draw, vaše šance, že vám ta potřebná pátá karta přijde na turnu je zhruba 4,:1 (vaše hand odds). V potu je právě 100$ a soupeř vsadí 50$ to znamená, že musíte dorovnat 50$ do potu, který činí 150$ (pot odds jsou 3:1). Pokud byste se řídili jen pot odds, tak tuto sázku dorovnat nemůžete, aby vaše hra byla plusová. Zapojímeli však implied odds, tak dorovnání může být ospravedlněné. Implied odds = hand odds pot odds Implied odds = 4,:1 3:1 = 1,:1 Poté vaše implied odds vynásobíme sázkou, kterou musíme dorovnat: 1, * 50$ = 60$. Vaši sázku můžete dorovnat, pokud věříte, že jste schopni ze soupeře (pokud vám očekávané draw dojde) dostat dalších 60$

19 Stejně tak lze implied odds dopočítat takto: Použijeme stejnou situaci jako v předchozím příkladu. Do potu 100$ hráč vsadí 50$. Znovu čekáme na barvu. Náš i soupeřův stack (naše žetony) je 500$. Pokud si myslíme, že když nám dojde potřebná karta, jsme schopni připravit soupeře o celý jeho stack, můžeme implied odds vypočítat takto: (450 (to, co soupeři zbývá po sázce)+150(pot))/50 = 1 Pokud si myslíme, že jsme soupeře schopni připravit o všechny žetony, tak naše implied odds jsou 1:1 a díky tomu můžeme v klidu dorovnat, aby naše hra byla plusová. Nezapomeňme, že pokud máme menší stack než soupeř, tak do výpočtu nezahrnujeme soupeřův stack, ale stack nižší (náš). Nyní si ukážeme kolik, po našem dorovnání musíme, ze soupeře minimálně dostat, aby naše hra byla v dlouhodobém měřítku alespoň na nule. Příklad necháme stále stejný. 0 = -4,*(50) + 1(100+ IO)..IO = implied odds 0 = IO 0 = IO IO = 110$ Z tohoto výpočtu vyplývá, že pokud chceme aby naše hra byla profitující, musíme ze soupeře dostat minimálně 110$. Tento výpočet je velmi podobný jako ten první, kde nám zbývá získat už pouze 60$, protože soupeř 50$ už vsadil. Tento výpočet nám udává, kolik potřebujeme získat aniž by proběhla ještě jakákoliv další sázka po vyložení flopu

20 1.3.5 Equity Equity je označení pro průměrnou částku, kterou vyhrajeme, pokud bychom danou situaci opakovali neustále dokola. Equity = (naše procentuální šance na výhru) * (velikost banku) Equity jsme schopní spočítat pokud známe aspoň přibližně, jaké karty by mohl mít náš soupeř. Zjištění procentuální šance naší kombinace proti dané range (skupina karet, které přiřazujeme soupeři) nám pomůže zjistit program Pokerstove. Pomocí tohoto program, do kterého napíšete vaše karty, karty nebo range soupeře zjistíte jakou máte procentuální šanci na vítězství v dané partii. Častým opakováním situací si tato procenta přibližně vštípíte do paměti a později už nebudete muset pokerstove používat. Příklad: Naše karty jsou a soupeř před námi z UTG otevře navýšením v hodnotě 3BB (náš stack i stack soupeře je 50BB). My jsme na BB (velká povinná sázka) a dorovnáme. O soupeři víme, že hraje velmi tight (hraje jenom dobré karty), takže mu přiřadíme range 66+, AJs+, AQo+,KQs (páry od 66 výš, AJ v barvě a lepší (AJ,AQ,AK), dále pak AQ mimo barvu a lepší (AQ, AK), a ještě KQ v barvě). V banku je nyní 6,5BB (3BB navýšení, 3BB naše dorovnání, 0,5BB jako small blind). Proti téhle range soupeře máme 47% šanci na výhru. 0,47 * 6,5BB = 3,1BB Naše equity v tento moment je 3,1BB. To znamená, že průměrně vyhrajeme na každých 6,5BB přibližně 3,1BB. Tento údaj se však v průběhu celé partie mění. Dejme tomu, že na flop přijdou karty. Po trefeném setu na flopu nám naše šance vzrostou na 9%. Tím pádem chceme právě tady nacpat co nejvíce žetonů (nebo $) do potu, protože naše equity je velké. Na každý 10BB co nyní do potu vložíme vyhrajeme v průměru 9,BB. Závěr: Pokud je naše equity nízké, snažíme se investovat do banku co nejmenší částku. Když je naše equity vysoké, chceme dostat ze soupeře co nejvíce žetonů, protože právě tady máme v dlouhodobém hledisku největší šanci z něj co nejvíce dostat

21 Equity nám vlastně pomáhá maximalizovat případné výhry a minimalizovat případné prohry EV = expected value Expected value neboli očekávaná výhra je jednou z nejdůležitějších věcí v pokeru. Pokud chcete být úspěšným hráčem, musíte maximalizovat výhry a minimalizovat prohry. Expected value nám vyjadřuje očekávaný zisk, případně ztrátu z dlouhodobého hlediska jedné dané hry. Vypočteme ji takto: EV = ((% šance na výhru) * (velikost banku)) ((% šance na výhru soupeře) * (částka na dorovnání)) Zisková situace se snaží +EV, ztrátová EV. Pokud foldneme (položíme), tak naše expected value se značí 0EV. Příklad: Máme a soupeřovi karty jsou. Oba máme 30BB a hráč s otevře hru raisem (navýšením) na 4BB. My dorovnáme z BB. Pot je nyní 8,5BB. Flop přijde all-in za zbylých 6BB.. My vsadíme 5BB a soupeř dá Bank má nyní hodnotu 39,5BB. Dorovnání nás stojí 1BB. Naše equity v dané handě je následující: QJs vs. ATo = 49% vs. 51% EV = (0,49 * 39,5) (0,51 * 1) EV = (19,355) (10,71) EV = + 8,645 BB V této hře je naše dorovnání dlouhodobě profitující a to znamená, že se nám zde vyplatí dorovnat

22 Pokud neznáme přesné karty soupeře, měli by jsme být schopni přiřadit soupeři nějakou danou range a stejným výpočtem určit jestli to je +EV nebo EV rozhodnutí. Závěr: Správné zvládnutí a odhadnutí +EV situací od těch EV chce hodně práce a počítání. Ale pokud to zvládnete, stane se z vás v dlouhodobém měřítku úspěšný hráč ROI ROI v angličtině Return On Investment je návratnost investice. Díky tomuto pojmu můžeme určit jak moc úspěšní a profitující jsme hráči. Po dostatečně velkém vzorku turnajů můžeme určit, jestli jsme profitující hráči a hrajeme to správně. Výpočet vašeho ROI je velice jednoduchý: (výhry vklad do hry) / vklad do hry * 100 = ROI % Příklad: Představme si, že jsme hráli například 150 turnajů s vkladem 5,5$. Jeden z těchto turnajů jsme trefili a vyhráli jsme 1000$ v dalším z turnajů jsme skončili třetí za 500$. V ostatních turnajích jsme se neumístili na placených příčkách. Celkem jsme tedy vyhráli 1500$. Celkový vklad do turnajů byl 150*5,5$ = 85$. ( )/85 * 100 = 81,81% Toto ROI je velice dobré. Na každý dolar vložený do hry vyhrajeme v tomto příkladu 1,8$. Top hráči jsou schopní mít ROI mezi 50-80%. Musíme si ale uvědomit, že vzorek 150 turnajů je příliš malý na to, aby se určilo naše skutečné ROI. Pro správné nebo alespoň přibližné určení našeho ROI je potřeba vzorek několik tisíc turnajů. Závěr: ROI slouží hlavně jako důkaz toho jak moc jsme nebo můžeme být úspěšní. Pokud je naše ROI záporné i po stovkách až tisících turnajů, měli by jsme se zamyslet nad svou hrou a snažit se ji zlepšit

23 1.3.8 Bankroll managment Bankroll managament a jeho správné dodržování se dá považovat za jednu z nejdůležitějších věcí v pokeru. Právě kvůli varianci se vyplatí bankroll managment dodržovat. V pokeru může přijít několik dlouhých a nepříjemných období, kdy i když děláme správné rozhodnutí, tak prohráváme situace kdy jsme favorité. Proto existuje tento pojem, který má zamezit hrozícímu bankrotu. Na různé typy her se doporučuje různý bankroll. Například na cash games (hry přímo o peníze) se doporučuje přibližně 30 vkladů. Příklad: Když hrajeme limity 1/ $, tak ke stolu můžeme jít většinou se 100BB (velkými sázkami). Takže u stolu můžeme mít nanejvýš 00$ (100*$). Takže náš bankroll by měl být 00$ * 30 = 6000$. Na tento limit můžeme tedy zkusit jít, pokud máme alespoň 6000$. Dále se doporučuje jít zpět o limit níže, pokud náš bankroll klesne na 5 vkladů. Ale záleží na každém z nás, jak si tuhle hranici určíme a s kolika vklady budeme chodit o limit výše nebo naopak níže. Tady je tabulka převzatá z pokergaming.cz: BI = Buy in = 1BI může být buď 1 vklad do turnaje anebo při cash game maximální počet peněz, se kterými lze sednout ke stolu (většinou je to 100 BB) POZOR! I když máme dost bezpečný bankroll managment, tak pokud hrajeme špatně nebo nemáme na to hrát takto vysoké limity, zbankrotujeme tak jako tak

24 Na turnajovou hru je však potřeba mít bankroll mnohonásobně bezpečnější. Doporučuje se mít bankroll počátečních vkladů. To znamená, pokud hrajete 5,5$ turnaje, náš bankroll by měl být $. Záleží podle průměrného počtu hráčů hrajících tento turnaj. Pokud tyto turnaje hraje několik tisíc lidí, doporučuje se mít bankroll 00 vkladů, protože variance (více v praktické části) je v takových turnajích vysoká a můžete čekat hodně dlouhou dobu, než se vám podaří uspět

25 1.4 Slovníček pojmů Big Blind=BB-velká povinná sázka Small Blind=SB-malá povinná sázka Hand- karty které dostaneme na začátku každé hry do ruky Flop první tři vyložené karty na stůl Turn čtvrtá vyložená karta na stůl River pátá (poslední) vyložená karta na stůl Pot celková suma, o kterou se hraje (bank) Range určitá skupina karet, kterou může mít hráč Call dorovnání Raise navýšení (re-raise znovu navýšení) Fold položení Bet sázka (na flopu, turnu nebo riveru) Check nevsázet, zůstat stát Showdown ukázání karetních kombinací, rozdělení banku s = suited karty v barvě (QJs) o = offsuited karty mimo barvu (78o) h = hearts - srdce c = clubs - kříže d = diamonds - káry s = spades - listy Tight hráč, který hraje hlavně dobré karty, nehraje moc kombinací Aggresive hráč, který často vsází a karty, co hraje hraje velmi agresivně Draw čekání na určitou kombinaci, např.: straight draw, flush draw Stack velikost stacku značí počet žetonů, které máme 011

26 PRAKTICKÁ ČÁST.1 Pravděpodobnost kombinací Úvodem bych zmínil něco málo o teorii pravděpodobnosti. Je to matematické odvětví, které používáme při zkoumání tzv. náhodných pokusů. Náhodný pokus je pokus, který není jednoznačně určen, jakým způsobem nastane. Je více možností jak může skončit a každá z možností má určitou pravděpodobnost (např.: házení kostkou). Kvalita našich zjištění narůstá s počtem opakování. Vezmeme si například házení mincí. Pravděpodobnost, že padne panna nebo orel je 50/50. Může se nám však stát, že když stokrát hodíme mincí, tak nám 60x padne orel a 40x panna. Ale čím více bude pokusů, tím blíže se nám pravděpodobnost daného jevu bude blížit právě 50/50. Pravděpodobnost nabývá hodnot od nuly do jedničky. Kde číslo nula nám říká, že jev nikdy nenastane a číslo jedna je jistý jev. Pravděpodobnost a poker Nejdříve začneme tím, kolik je možných dvojic karet, které můžeme dostat při rozdávání do ruky. To vypočítáme jako (5 * 51)/ = 136. Celkem můžeme v pokeru vytvořit 136 hand. Z toho pak dále můžeme vypočítat pravděpodobnost například toho, že dostaneme do ruky dvě esa. To vypočítáme, když vydělíme počet možností mít esa (6), celkovým počtem hand. Na číslo 6 přijdeme takto: Máme 4 různé barvy a v každé jedno eso. Z těchto 4 různých barev lze poskládat 3++1 = 6 různých dvojic es. Pravděpodobnost, že dostaneme esa je tedy 6/136 = 0,0045 * 100 = 0, 45%. Existuje 169 dvojic karet, jejichž síla není ekvivalentní (rovnocenná). 13 párů ( - AA ), dále pak 78 dvojic ve stejné barvě a 78 dvojic v různých barvách (13 * 1 / ). Celkem tedy 169 kombinací. hand. Možností mít, kterýkoliv z párů je tedy 6. Takže 13 * 6 = 78 párů. Možností mít, kteroukoliv kombinaci stejné barvy jsou 4. Takže 78 * 4 =

27 Možností mít jakékoliv dvě karty jiné barvy je 1 (16 je celkový počet všech možností mínus 4 kombinace, které by byli ve stejné barvě). Takže 78 * 1 = 936 hand. Takže z těchto výpočtů víme, že nejpravděpodobněji a nejčastěji dostaneme dvě různé karty mimo barvu. Typ handy Počet hands Počet kombinací pro každou handu Celkový počet kombinací páry * 6 = 78 Karty v barvě * 4 = 31 karty mimo barvu * 1 = 936 Pravděpodbnost konkrétní handy 6/136 = 0,0045 = 0,45% 4/136 = 0,0030 = 0,30% 1/136 =0,00905 = 0,905% Pravděpodobnost jakékoliv handy ze skupiny 78/136 = 0,0588 =5,88% 31/136 = 0,353 =3,53% 936/136 = 0,7059 =70,59% Tato tabulka je ještě rozšířená o pravděpodobnost, že dostaneme konkrétní handu a jakoukoliv handu ze skupiny

28 . Nash equilibrium Nash equilibrium neboli Nashova rovnováha je koncept, kdy žádný z hráčů nemůže jednostrannou změnou své strategie vylepšit svou situaci. S tímto konceptem přišel John Forbes Nash (narozen v USA). Výborný matematik, vystudoval Princeton a později učil na MIT (Massachusetts Institute of Technology) matematiku. V roce 1994 získal díky této teorii Nobelovu cenu za ekonomii. Tuto teorii si rozebereme na dvou konkrétních případech z teorie her. Vězňovo dilema a Battle of sexes (bitva pohlaví). Vězňovo dilema Tento typ hry je založen na vzájemné spolupráci či nespolupráci dvou vězňů. Představme si situaci, že máme dva vězně, na které není dostatek důkazů k jejich odsouzení. Každý z nich je v oddělené místnosti. Označíme si je jako vězeň A a vězeň B. Oba mají na výběr ze dvou možností: spolupracovat nebo nespolupracovat. Pokud se vězeň A rozhodne spolupracovat a vězeň B spolupracovat nebude, tak ho propustí a vězeň B dostane 10 let. Pokud vězeň A spolupracovat nebude a vězeň B také ne, tak oba dostanou roky. Pokud budou oba spolupracovat, dostanou 5 let. Vězeň B spolupráce Vězeň B nespolupráce Vězeň A spolupráce 5, 5 0, 10 Vězeň A nespolupráce 10, 0, Uvažování vězně A: - pokud budu mlčet a vězeň B taky, oba dostaneme roky, lepší je mluvit a budu volný - pokud budu mlčet a vězeň B bude mluvit, dostanu 10 let a on bude volný, je lepší mluvit a dostanu 5 let. Takže pokud oba zvolí správné rozhodnutí a budou mluvit, tak dostanou 5 let, přitom optimální rozhodnutí by bylo kdyby oba mlčeli a dostali pouze roky

29 Celá tato hra záleží na tom, jak jsou schopni spolupracovat. Pokud budou brát v potaz jen svůj zájem, což je pro lidskou povahu pravděpodobnější, tak toho druhého udají. Pokud jim bude záležet a budou přemýšlet i o životě druhého tak je možné, že budou oba dva mlčet a tím pádem z toho vyjdou nejlepším možným způsobem. Battle of sexes ( Bach or Stravinsky, bitva pohlaví) Tato teorie spočívá v tom, že se hráči, kteří volí svůj tah současně (nespolupracují), snaží shodnout na stejné možnosti. Máme muže a ženu. Muž preferuje jít na Bacha, žena na Stravinskyho. Pokud se například shodnou a půjdou na Bacha, tak muž, protože ho preferuje získá body, žena bod 1. Pokud se ovšem neshodnou a každý půjde na něco jiného, nezískají žádný bod. Nashova rovnováha pro čisté strategie jsou dvě. Pro čisté strategie platí, že rovnováhy Postup najít Nashovu rovnováhu: Bach Stravinsky Bach *, 1* 0, 0 Stravinsky 0, 0 1*, * - pokud žena zvolí Bacha, je pro muže nejlepší také zvolit Bacha, protože jeho zisk je. Označíme tedy hvězdičkou. - pokud žena zvolí Stravinskyho, je pro muže nejlepší zvolit také Stravinskyho, jeho zisk je 1. Pokud by zvolil Bacha, zisk bude 0. Označíme hvězdičkou. - pokud muž zvolí Bacha, je pro ženu nejlepší zvolit také Bacha. Označíme tedy hvězdičkou u ženy (červené číslo). - pokud muž zvolí Stravinskyho, je pro ženu nejlepší zvolit Stravinskyho také. Znovu označíme hvězdičkou. Nashova rovnováha je tedy v situací, kde máme hvězdičku jak u volby muže, tak u volby ženy. Jsou to situace, kdy se ani jednomu z nich nevyplatí změnit svou volbu

30 Nashova rovnováha pro smíšené strategie Zde je ještě přidělena ke každému hráči pravděpodobnost se kterou danou volbu zvolí. Pro smíšenou strategii nalezneme pouze jednu Nashovu rovnováhu. Začneme tím, že si označíme pravděpodobnost, že muž vybere Bacha p. Pravděpodobnost, že zvolí Stravinskyho je tedy logicky 1-p (1 je maximální velikost pravděpodobnosti). U ženy zvolíme pravděpodobnost, že zvolí Bacha jako q. U Stravinskyho jako 1-q. Postup výpočtu: Bach q Stravinsky 1-q Bach p, 1 0, 0 Stravinsky 1-p 0, 0 1, - pravděpodobnost, že muž vybere Bacha je: 1 (p) 0 (1- p) 0 (p) (1- p) p 3p p 3 p - pravděpodobnost, že žena vybere Bacha je: (q) 0 (1- q) 0 (q) 1 (1- q) q 3q q 1- q Pravděpodobnost, že muž zvolí Bacha je tedy /3 a že ho zvolí žena je 1/3. U Stravinskyho je to obráceně. Tato situace se dá zakreslit do grafu

31 Body [0,0] jsou body, kdy oba hráči volí Stravinskyho. Body [1,1] jsou body, kdy oba hráči volí Bacha. Tyto body jsou Nashovými rovnováhami v čistých strategiích. Ve smíšených strategiích je to [/3,1/3] Obrázek: Nashova rovnováha a poker Teď si ukážeme, proč sem vůbec o Nashově rovnováze ve své práci psal. Nashova rovnováha se používá nejčastěji ve hře 1-na-1. Byla sestavena tabulka, ve které jsou handy, které posílat all-in (dát všechny žetony do hry) a kterými callovat all-in, aby to bylo co nejvýdělečnější. Tato neporazitelná tabulka se týká hry, ve které mají hráči méně než 0BB (velkých povinných sázek). Pokud sedí u jednoho stolu dva hráči, kteří oba využívají tuto tabulku, tak jejich EV (expected value) bude rovno nule. Oba budou dělat nejlepší možná rozhodnutí, takže hrát nejlepší možnou strategii. Jakmile se jeden z nich od tabulky odchýlí, bude jeho EV záporné

32 Zdroj: První tabulka je pushovací (se kterými handami jít all-in). Druhá tabulka značí, se kterými handami all-in soupeře dorovnat. Zelená barva suited karty v barvě Oranžová barva offsuited karty mimo barvu Modrá barva pockets páry Čísla v tabulce udávají s kolik BB se vyplatí dávat all-in (push) nebo dorovnávat all-in (call)

33 .3 Rozptyl (variance), směrodatná odchylka Tyto veličiny se používají v teorii pravděpodobnosti a statistice. Vypovídají o přesnosti měření. Aritmetický průměr je základem pro jejich výpočet, ale jako sám o sobě se v potaz brát nedá. Dá se říci, že je v tomto ohledu velmi nedokonalý. Například si vezmeme čísla a 10. Jejich Aritmetický průměr je 6. Totéž ale platí i pro čísla 4 a 8 nebo 5 a 7. U všech těchto dvojic čísel je aritmetický průměr 6. Přitom už na první pohled vidíme, že čísla 4,8 nebo 5,7 jsou od sebe vzdálena výrazně méně než čísla a 10. Právě zde nám výrazně pomůže tzv. rozptyl (variance) a směrodatná odchylka. Rozptyl Rozptyl vyjadřuje střední hodnotu kvadrátů odchylek od aritmetického průměru. Vzorec pro výpočet rozptylu: n i 1 x i n x Kde x i je hodnota pozorování i. x je aritmetický průměr všech pozorování. A n je počet pozorování. A teď už můžeme zpět k číslům výše. ( 6) (10 6) Rozptyl u čísel,10 vypočítáme takto: 16 (4 6) (8 6) U čísel 4,8: 4 (5 6) (7 6) A u čísel 5,7: 1 čísla aritmetický průměr rozptyl, , , Tady vidíte, že to, v čem aritmetický průměr rozdíl nevidí, tak naopak výpočtem rozptylu rozdíl vidíme a velmi výrazný. Pro rozptyl platí, že čím blíže máme vypočítanou hodnotu 0, tím přesnější daný výpočet je (odchylka je menší)

34 Směrodatná odchylka Směrodatná odchylka vyjadřuje rozptyl hodnot kolem střední hodnoty. Jak moc se od střední hodnoty v průměru vzdaluje. Směrodatnou odchylku vypočítáme jako odmocninu z rozptylu a používáme ji hlavně díky tomu, že vychází v základních jednotkách, ze kterých jsme na začátku vycházeli. Rozptyl máme totiž umocněný na druhou, takže pokud by jsme například měli hodnoty na začátku v cm, tak by nám rozptyl vyšel v cm. A kvůli tomu zde máme směrodatnou odchylku, která nám tento údaj převede na jednotky výchozí. Vypočítáme ji tedy takto: n i 1 x i n x Kde x i je hodnota pozorování i. x je aritmetický průměr všech pozorování. A n je počet pozorování. odchylky: Takže znovu zpět k číslům a tabulku doplníme ještě o výpočet směrodatné čísla aritmetický průměr rozptyl směr. odch., , ,

35 Teď si vyzkoušíme jeden příklad z praxe. Vypočítáme si rozptyl a směrodatnou odchylku. Příklad: Máme hrací kostku, se kterou jsme osmkrát hodili následující čísla: Vypočítáme si aritmetický průměr: 31/8 = 3,875 Tento výsledek odečteme od každého výsledku hodu, co jsme naházeli a umocníme Všechny výsledky poté sečteme a vydělíme počtem hodů (8) takto: n i 1 5 3, , , , , , ,875 1,66 0,766 3,516 0,766 1,66 8 4,516 4,516 8,66 4, ,11 Rozptyl je tedy v tomto příkladu 3,11. Spočítáme ještě směrodatnou odchylku: 3,11 1,76 Směrodatná odchylka má tedy hodnotu 1,76. Což znamená, že čísla v tomto příkladu se pohybují v průměru v rozpětí 3,875 1,

36 Směrodatná odchylka, variance a poker V pokeru chceme varianci co nejvíce potlačit. To znamená, že potřebujeme odehrát vysoký počet turnajů. Kdybychom měli dostatečný vzorek turnajů a dokázali tím potlačit varianci, tak zjistíme, jaké jsou doopravdy naše pokerové schopnosti. Variance si s námi v pokeru velmi hraje. Jsou hráči, kteří hrají dobře, mají talent i schopnosti na to porážet většinu pole, ale přesto trvá několik set turnajů, než dosáhnou nějaké větší výhry. Naopak někomu, kdo s pokerem začíná se může stát, že trefí obrovskou výhru hned na začátku své pokerové kariéry. Za tohle vše může variance. Kdyby tyto dva hráči měli ale odehráno x-tisíc, možná i desítek tisíc turnajů, zjistili bychom, že ROI (viz výše) bude mít první hráč vyšší. Směrodatná odchylka se používá zejména při přesnějším výpočtu bankroll managementu. V kapitole bankroll management ukazuji tabulku, jaký je vhodný mít bankroll pro určitý typ hráčů. Ale proč je tomu právě takto? Jedním z těchto faktorů je právě směrodatná odchylka. Vzorec pro výpočet bankroll managementu je: B = -ln(r)*σ/(w) B = bankroll, σ = směrodatná odchylka, w = winrate, r = riziko bankrotu, ln = přirozený logaritmus Příklad: A jako příklad si uvedeme hráče, který má winrate bb/100. To znamená, že na každých 100 hand v průměru vyhrajeme velké povinné sázky. Jeho směrodatná odchylka je 35bb/100. Tyto dva údaje získáme většinou z pomocných herních softwaru jako je například Holdem manager. Riziko bankrotu si stanovíme například 0,01%. B = -ln(0,0001)*(35)/* = 80bb = 8, BI Hráčův bankroll zařadíme tedy mezi středně bezpečné

37 Směrodatná odchylka se tedy v pokeru používá hlavně z hlediska bankroll managmentu a jeho správnému stanovení. Většině hráčů, ale většinou stačí vědět jaký by měli mít bankroll na určitý typ hry ( turnaj nebo cash game). Tento podrobnější výklad je pouze pro ty, které to zajímá trochu hlouběji. ANOTACE The main goal of my year project is to introduce poker to the people. I want to show them that poker is not jut a gambling game but can be considered a sport or at least a game requiring skills. In the first part of my project, I explain rules of poker as well as some varieties of this interesting game. Next I focus my attention on easy calculations connected with poker. I try to show the readers that

38 adherence to easy rules and principles can bring the players success. In the second section, I write about mathematics concepts that can use in both, poker and real life. I hope my project will accomplish its goals and that after reading my work, people will see poker at least a little bit differently. ZÁVĚR Cíl mé práce byl jednoduchý. Chtěl jsem napsat práci, kterou by si mohl přečíst každý, ať pokeru rozumí či nikoli. Chtěl jsem přiblížit poker lidem, kterým je trochu vzdálený a dokázat jim, že to není pouze hazard a že v této hře můžeme být úspěšní. V první části jsem se zaměřil hlavně na základy od pokerových pravidel

39 až po různé druhy jednoduchých výpočtů. V praktické části jsem se soustředil na matematiku jako takovou, na různé matematické zajímavosti od pravděpodobnosti přes teorii her až k varianci. Závěrem každého z těchto témat jsem vysvětlil, k čemu tyto věci slouží právě v pokeru a jak s nimi naložit. Myslím a doufám, že se mi uvedené cíle povedly a že po přečtení vám bude aspoň pár věcí o něco jasnějších. To už ale musíte posoudit vy!

40 Martin Dulák: Matematika v pokeru ZDROJE A POUŽITÁ LITERATURA Teoretická část: Historie: Další varianty pokeru: - Počítání outs: - Hand odds: Implied odds: Harrington on hold em vol. 1 Equity: - Expected value: - ROI: Bankroll management: - ArticleView/articleId/76/Bankroll-managment.aspx -

41 Martin Dulák: Matematika v pokeru Praktická část: Pravděpodobnost kombinací: Nash equlibrium: Rozptyl(variance), směrodatná odchylka: - Strana 33: Citace: BLÁHA, Petr. PokerGaming.cz [online] [cit ]. Bankroll managment. Dostupné z WWW: <