SVD rozklad a pseudoinverse

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SVD rozklad a pseudoinverse"

Transkript

1 SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 1/21

2 Cíle této přednášky 1 Každá symetrická matice A : R n R n má pouze reálné vlastní hodnoty a je diagonalisovatelná. a Navíc: vlastní vektory symetrické matice tvoří hezkou bázi prostoru R n. 2 Jako důsledek předchozího ukážeme, že každou matici M : R s R r lze napsat jako b M = USV T }{{} SVD rozklad M kde S je diagonální a U 1 = U T a V 1 = V T. 3 Ukážeme aplikace SVD rozkladu. a Tento výsledek nebudeme dokazovat, vyžaduje hlubší znalosti z reálné analýzy. b Výpočty z této přednášky jsou časově velmi náročné. U zkoušky bude vyžadováno základní pochopení teorie, nikoli výpočty. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 2/21

3 Věta o hlavních osách (pro standardní skalární součin) Pro každou symetrickou reálnou matici A : R n R n existuje ortonormální báze R n složená z vlastních vektorů matice A. Navíc matice A má pouze reálné vlastní hodnoty. Důkaz. Bez důkazu (je těžký). Viz Důsledek skript. Vysvětlení A zobrazuje jednotkovou kouli na (případně degenerovaný) elipsoid. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 3/21

4 Důsledek SVD rozklad matice pro stand. skalární součin Libovolnou matici M : R s R r lze zapsat ve tvaru USV T, kde 1 V : R s R s a U : R r R r jsou ortogonální, tj. V T = V 1 a U T = U 1. 2 S : R s R r má na hlavní diagonále kladná čísla σ 1 σ 2... σ h (tzv. singulární hodnoty matice M), kde h = rank(m). Všude jinde má matice S nuly. Myšlenka důkazu. 1 Matice A = M T M : R s R s je symetrická. Její vlastní hodnoty jsou nezáporné. Seřad te je: λ 1 λ 2... λ s 0. Označte příslušnou ortonormální bázi jako (v 1,..., v s ). 2 Definujte σ 1 = λ 1,..., σ s = λ s. Vyberte nenulová σ i : σ 1 σ 2... σ h > 0 a definujte u i = Mv i /σ i pro i = 1,..., h a doplňte na ortonormální bázi (u 1,..., u r ). Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 4/21

5 Příklad (SVD rozklad) ( ) Nalezneme SVD rozklad pro M = ( ) 14 2 ( ) ( ) M T M = 4 8 = Vlastní hodnoty M T M jsou λ 1 = 360, λ 2 = 90, λ 3 = 0. Příslušná ( ) ( ortonormální ) ( báze ) vlastních vektorů ( je ) 2/3 2/3 1/3 2/3 2/3 1/3 ( 1/3, 2/3, 2/3 ). Tudíž V = 1/3 2/3 2/3. 2/3 1/3 2/3 2/3 1/3 2/3 3 Singulární hodnoty M jsou σ 1 = λ 1 = 6 10, σ 2 = λ 2 = Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 5/21

6 Příklad (SVD rozklad, pokrač.) 4 u 1 = Mv 1 /σ 1 a u 2 = Mv 2 /σ 2 : ( ) ( ) ( ) 2/3 ( 1/3 = 2/3 ) ( 2/3 2/3 1/3 ( = 3/ 10 1/ 10 ) 1/ 10 3/ 10 5 Plný SVD rozklad M je: ( ) ( / 10 1/ ) ( 10 = / 10 3/ 6 ) ( 2/3 2/3 1/ /3 2/3 2/ /3 1/3 2/3 ) ) T Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 6/21

7 Geometrie SVD rozkladu M = USV T Matice V = (v 1,..., v s ) a U = (u 1,..., u r ) jsou tvořeny vektory nových ortonormálních bází V a U prostorů R s a R r, ve kterých se M : R s R r jeví jako změna měřítka S : R s R r. R s T Ks V R s S R r T U Kr R r Protože T Ks V = (T V Ks ) 1 = V 1 = V T a T U Kr = U, znázorňuje vrchní obrázek opravdu R s V T R s S R r U R r A to je přesně SVD rozklad matice M. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 7/21

8 Geometrie SVD rozkladu M = USV T (pokrač.) Obraz jednotkové koule v R s při zobrazení x Mx: 1 Rotace (případně nevlastní) V T : R s R s : V T 2 Změna měřítka (případně i s degenerací) S : R s R r : S 3 Rotace (případně nevlastní) U : R r R r : U Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 8/21

9 Redukce SVD rozkladu a aproximace SVD rozkladem Plný SVD rozklad USV T matice M hodnosti h lze psát jako h M = σ j u j vj T j=1 kde u j jsou sloupce U a v j jsou sloupce V. Částečné součty k M k = σ j u j vj T j=1 pro k h mají hodnost k a platí M M k F = min { M X F X : R s R r, rank(x) k} kde s X F = x T s r j x j = j=1 j=1 i=1 je Frobeniova norma matice X = (x 1,..., x s ) = (x ij ). x 2 ij Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 9/21

10 Příklad ( ) Pro M = lze psát její SVD rozklad ( 3/ 10 1/ ) 10 M = 1/ 10 3/ 10 ( ) ( 2/3 ) T 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 jako M = 6 ( 3/ ) / (2/3 1/3 2/3)+3 ( 1/ ) / ( 2/3 2/3 1/3) 10 a M 1 = 6 ( 3/ ) ( ) / 18/15 9/15 18/15 (2/3 1/3 2/3) = 10 6/15 3/15 6/15 Platí M M 1 F = M F 450 Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 10/21

11 Chyba při nahrazení částečným součtem SVD rozkladu Platí rovnost: M M k F = σ 2 k σ2 h Speciálně: M F = σ σ2 h Podílu M M k F M F = σ 2 k σ2 h σ σ2 h říkáme relativní změna matice M (při nahrazení M k-tým částečným součtem jejího SVD rozkladu). Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 11/21

12 SVD rozklad matice lze použít ke kompresi dat Obrázek lze zadat maticí M = kde 0 = bílá, 0.5 = šedá, 1 = černá. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 12/21

13 SVD rozklad matice lze použít ke kompresi dat (pokrač.) SVD rozklad matice M má tvar USV T, kde matice S je zaokrouhlena na exponenciální formát se dvěma desetinnými místy: S = Ke kompresi stačí použít první čtyři singulární hodnoty (prvky na hlavní diagonále S) matice M, protože pátá až osmá singulární hodnota je prakticky rovna nule. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 13/21

14 SVD rozklad matice lze použít ke kompresi dat (pokrač.) Obrázky pro první čtyři aproximace matice M vypadají takto: Relativní změny matice M jsou následující: M M 1 F M F M M 2 F M F M M 3 F M F M M 4 F M F = Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 14/21

15 Co dělat, když matice A : R s R r nemá inversi? R s A + R r b A + b im(a + ) o ker(a) A o proj im(a) (b) rej im(a) (b) im(a) ker(a + ) Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 15/21

16 Tvrzení At A : R s R r je matice. Potom existuje nanejvýš jedna matice A + : R r R s, která splňuje následující čtyři podmínky a AA + A = A, A + AA + = A +, (A + A) T = A + A, (AA + ) T = AA + A. a Matici A +, která tyto čtyři podmínky splňuje, říkáme pseudoinverse matice Důkaz. Bez důkazu (není těžký, ale není zajímavý). Pro zájemce, viz Tvrzení skript. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 16/21

17 Příklady pseudoinversí 1 At A : R n R n je regulární matice. Potom A + = A 1. Platí totiž rovnosti: 1 AA 1 A = A 2 A 1 AA 1 = A 1 3 (A 1 A) T = E n = A 1 A 4 (AA 1 ) T = E n = AA 1 2 At O s,r : R s R r. Potom (O s,r ) + = O r,s. Platí totiž rovnosti: 1 O s,r O r,s O s,r = O s,r 2 O r,s O s,r O r,s = O r,s 3 (O r,s O s,r ) T = O s,s = O r,s O s,r 4 (O s,r O r,s ) T = O r,r = O s,r O r,s Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 17/21

18 Příklady pseudoinversí (pokrač.) 3 At A : R k R n má hodnost k. Potom A + = (A T A) 1 A T. Platí totiž rovnosti: 1 A(A T A) 1 A T A = A 2 (A T A) 1 A T A(A T A) 1 A T = (A T A) 1 A T 3 ((A T A) 1 A T A) T = (A T A) 1 A T A 4 (A(A T A) 1 A T ) T = A(A T A) 1 A T Pozorování: v tomto případě platí AA + b = proj im(a) (b) To nás nepřekvapuje: tak jsme pseudoinversi vymysleli! Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 18/21

19 Věta (nalezení pseudoinverse pomocí SVD rozkladu) At A = USV T je plný SVD rozklad matice A : R s R r. Potom platí: 1 Matice je pseudoinverse matice S. 2 Matice je pseudoinverse matice A. S + = ( 1 e 1,..., 1 e h, o,..., o ) σ 1 σ h }{{} (r h)-krát A + = VS + U T Důkaz. Bez důkazu. Viz Důsledek skript. Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 19/21

20 Příklad (výpočet pseudoinverse pomocí SVD rozkladu) Nalezneme M + pro matici ( ) M = Plný SVD rozklad matice M je roven ( 3/ 10 1/ ) 10 1/ 10 3/ 10 ( a proto ( ) 2/3 2/3 1/3 M + = 1/3 2/3 2/3 2/3( 1/3 2/3 ) = ) ( 2/3 ) T 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 ( ) 1/(6 10) 0 ( 0 1/(3 10) 0 0 3/ 10 1/ 10 1/ 10 3/ 10 ) T Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 20/21

21 Další aplikace SVD rozkladu nepovinné 1 Pseudoinverse matic souvisí s metodou nejmenších čtverců, viz Dodatek C skript. Metoda nejmenších čtverců slouží k proložení optimální křivky naměřenými daty s nejmenší kvadratickou chybou. 2 Latentní sémantické indexování databází (také: LSI), viz Dodatek E skript. Pro databáze lze vytvořit vektorový model a SVD rozklad lze použít k vyhledání skrytých sémantických konceptů v databázi. 3 Analýza hlavní komponenty (také: PCA), viz Dodatek E skript. Při analýze multidimensionálních dat lze objevit hlavní komponenty dat, tj. lze nalézt podstatné naměřené veličiny. 4 A mnoho dalších aplikací... Jiří Velebil: Lineární algebra : SVD rozklad a pseudoinverse 21/21

Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013

Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013 Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 14.10.2016: 1/13 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Cyklické grupy a grupy permutací

Cyklické grupy a grupy permutací Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Několik aplikací. Kapitola 12

Několik aplikací. Kapitola 12 Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

(u, v) u. v. cos φ =

(u, v) u. v. cos φ = LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel

Více

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Odpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Perfektní lineární kódy Odpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B01LAG 18.5.2016: Perfektní lineární kódy 1/18 Minulé přednášky 1 Detekce

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Vektory a matice. Jiří Militký. Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec,

Vektory a matice. Jiří Militký. Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Vektor a matice Jiří Militký Katedra tetilních materiálů echnická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Matice A 1 2 3 5 4 1 6 7 4 1 4 C 2 7 3 8 Matice

Více

Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec,

Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Vektor a matice Jiří Militký Katedra tetilních materiálů echnická Universita Liberec, Matice 2 3 4 A 5 4 C 2 7 6 7 4 3 8 Matice je obdélníkové pole čísel (funkcí) a a2 a d n d2 d3 a2 a22 D d2 d22 d 23

Více

Úvod do kvantového počítání

Úvod do kvantového počítání 2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Masarykova univerzita Přírodvědecká fakulta Bakalářská práce Lineární algebra, sbírka příkladů Brno 2007 Lenka Malounková Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více