Fyzika Laboratorní cvičení. Doc. RNDr. Stanislav Bartoň, CSc. RNDr. Ivo Křivánek, CSc. Ing. Libor Severa, Ph.D.

Transkript

1 Fyzika Laboratorní cvičení Doc RNDr Stanislav Bartoň, CSc RNDr Ivo Křivánek, CSc Ing Libor Severa, PhD 7 února 2005

2 2

3 3 Obsah Předmluva 7 1 Zpracování výsledků měření 9 11 Chyby měření 9 12 Vzorce pro chyby měření Chyba jediného měření Stanovení chyby výpočtu Kontrolní otázky 17 2 Vyrovnání měření Metoda nejmenších čtverců Vyrovnání přímkou Kontrolní otázky 21 3 Protokol o měření Hlavička Teoretický základ měření Pracovní postup Výsledky a jejich zpracování Grafické znázornění Závěr Kontrolní otázky 27 4 Stanovení koeficientu statického a dynamického tření Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Koeficient statického tření Koeficient dynamického tření Diskuse a závěr Kontrolní otázky 34

4 4 5 Měření pevnosti slupky dužnatých plodin Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Diskuse a závěr Kontrolní otázky 37 6 Určení modulu pružnosti v tahu Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse Kontrolní otázky 42 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem Úvod Matematická kyvadla Fyzikální kyvadla Reverzní kyvadlo Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse Kontrolní otázky 48 8 Měření účinnosti slunečního kolektoru Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse Kontrolní otázky 53 9 Stanovení hustoty pevných a kapalných látek Úvod Experimentální uspořádání Pevné látky Kapaliny Měření a vyhodnocení Stanovení hustoty kvádru přímou a hydrostatickou metodou Stanovení hustoty vody a lihu Diskuse a závěr Kontrolní otázky 59

5 10 Stanovení měrného tepla pevných látek Úvod Experimentální uspořádání Směšovací kalorimetr Elektrický kalorimetr Měření a vyhodnocení Směšovací kalorimetr Elektrický kalorimetr Závěr a diskuse Kontrolní otázky Úvod do měření elektrických veličin různými typy měřících přístrojů Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse výsledků Kontrolní otázky Měření elektrických odporů Úvod Experimentální uspořádání Přímé měření odporů Substituční metoda Měření přístrojem Měření a vyhodnocení Měření přístrojem OMEGA Přímá metoda Substituční metoda Závěr a diskuse Kontrolní otázky Kalibrace termočlánku Úvod Experimentální uspořádání Měření a záznam dat Manuální zpracování dat Počítačové zpracování dat Diskuse a závěr Kontrolní otázky Stanovení indexu lomu a cukernatosti vodného roztoku sacharózy refraktometrem Úvod 83 5

6 6 142 Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse Kontrolní otázky Stanovení koncentrace vodného roztoku sacharózy kruhovým polarimetrem Úvod Experimentální uspořádání Měření a vyhodnocení Závěr a diskuse Kontrolní otázky 90 Tabulky 91 Koeficienty dynamického tření 91 Youngův modul pružnosti vybraných materiálů 91 Hustoty vybraných materiálů 92 Graf závislosti koncetrace lihu na hustotě roztoku 93 Měrná tepla vybraných materiálů 94 Doporučená literatura 95 Rejstřík 97

7 7 Předmluva Měření různých veličin a charakteristik technických, přírodních i biologických procesů patří do náplně činnosti zemědělského nebo lesnického inženýra Proto je nutné, aby si každý student osvojil praktické postupy při měření základních fyzikálních veličin, dokázal stanovit nebo odhadnout chyby měření a také výsledky svých měření dokázal vhodným způsobem zpracovat a prezentovat Z těchto důvodů je možné tato skripta rozdělit na několik částí V části první se student seznámí s problematikou stanovení chyby měření a jejím výpočtem a stanovením relativní chyby měření Na závěr je objasněno jak stanovit chybu výpočtu, pokud jsou hodnoty, které se do výpočtu dosazují známy pouze s určitou přesností V druhé části jsou vysvětleny základy a použití metody nejmenších čtverců Protože v současné době se již použití výpočetní techniky stává samozřejmostí, je možné tuto metodu považovat za standardní Její teoretické zvládnutí není příliš obtížné a numerické výpočty se dají provést již s pomocí jednoduché kalkulačky V části třetí jsou položeny základy správného postupu při zpracování protokolu o měření Je zdůrazněno co a v jaké formě každý protokol musí obsahovat Zvláštní důraz je kladen na tvorbu grafické dokumentace Protože grafy se dnes již většinou tvoří za pomoci výpočetní techniky, je možné zvýšit náročnost na jejich zpracování a z tohoto hlediska se přistupovalo i ke zpracování této části skript V nejrozsáhlejší části je podán detailní popis základních úloh, tak jak se realizují v laboratořích MZLU Na začátku každé úlohy je krátký úvod do teorie potřebné k pochopení procvičované problematiky Pak následuje popis měřicí metody a jejího praktického provedení Následuje výklad zpracování výsledků, případně tvorby grafu z měření a požadavky na údaje, které jsou očekávány v závěru Na konci každé kapitoly je seznam několika kontrolních otázek Při odevzdávání protokolu ke kontrole musí student prokázat, že na ně zná odpovědi a že tedy ví, co a jak měřil a jakým způsobem a proč dospěl ke stanoviskům, která zaujímá v závěru protokolu Teprve po tomto tzv "otestování" protokolu je možné považovat vykonané měření za ukončené a protokol za odevzdaný Počet a výběr laboratorních úloh, které bude nutno absolvovat, aby studentovi mohl být udělen zápočet, stanoví vedoucí cvičení na úvodní hodině Zde se také studenti seznámí s případnými odlišnostmi oproti stavu uvedenému ve skriptech

8 8 Bartoň, Křivánek, Severa Nutnou podmínkou pro absolvování laboratorních cvičení je účast na školení o bezpečnosti práce v laboratořích Pokud student tímto školením neprojde a nepotvrdí, že byl seznámen s základními bezpečnostními předpisy na odpovídajícím formuláři, nebude mu povolen vstup do laboratoří! V Brně, leden 2005 Doc RNDr Stanislav Bartoň, CSc RNDr Ivo Křivánek, CSc Ing Libor Severa, PhD

9 9 Kapitola 1 Zpracování výsledků měření 11 Chyby měření Při každém měření se dopouštíme chyb Jsou nutným následkem nedokonalosti našich smyslů, nepřesnosti měřicích přístrojů a nemožnosti splnit zcela přesně podmínky měření, jako je např časová a místní stálost teploty, neproměnnost tlaku vzduchu nebo jeho vlhkosti apod Konečně i různé rušivé vnější vlivy, které nelze úplně odstranit (jako otřesy, tepelné záření, vnější magnetické pole atd), mohou mít vliv na výsledek měření I když se snažíme všechny nepříznivé okolnosti co nejvíce zmírnit, musíme si být vědomi toho, že dokonale přesná měření nejsou a nemohou být již proto, že samým měřením do jisté míry měníme měřenou veličinu, takže přesně vzato naměřená hodnota ani nemůže být naprosto totožná s původní hodnotou veličiny Nejnázorněji se projevuje existence chyb tím, že při opakování téhož měření nedostáváme mimo zcela výjimečně náhodné případy zcela stejné výsledky Tuto různost výsledků vysvětlujeme právě růzností chyb, jichž jsme se při měření dopustili, při čemž na velikost chyb má vliv také okolnost, že není možné opakovat žádné měření za naprosto stejných podmínek Vlivy, které vedou k měřicím chybám, lze rozdělit na dvě hlavní skupiny: 1 Do první skupiny zahrnujeme vlivy, které se vyskytují při daném způsobu měření pravidelně systematicky protože tkví v povaze měřicí metody nebo jsou dány vlastnostmi přístrojů a pozorovatele Chyby jimi způsobené zkreslují výsledek měření také systematicky určitým způsobem a proto je nazýváme pravidelné, neboli systematické chyby 2 Kromě toho působí při měření velký počet rozmanitých nepravidelných vlivů, které se uplatňují náhodně podle okamžitých podmínek jednotlivých měření Jimi způsobené změny měřených hodnot nazýváme proto chyby náhodné Pokud jde o chyby soustavné, umožňuje nám právě jejich pravidelnost zjistit jejich velikost bud experimentálně, nebo výpočtem, či alespoň odhadem Tak je možno vzít je v úvahu a opravit měřené hodnoty a eliminovat tak jejich vliv Proto děláme kontrolu dosažených výsledků, a to výpočtem ze známých teoretických nebo experimentálních vzorců a snažíme se postihnout všechny vlivy, které by mohly měření zkreslovat známým způsobem Kontrolujeme přístroje přesnějšími metodami nebo

10 10 Bartoň, Křivánek, Severa tak, že srovnáváme měřenou veličinu s etalony nebo s tělesy, pro která známe hodnotu hledané veličiny apod Tak např při vážení na vzduchu vzniká soustavná chyba, protože pro nestejný vztlak vzduchu jsou látky řidší než závaží nadlehčovány více, látky hustší než závaží méně Ze známé hustoty vzduchu však můžeme vypočítat opravu na vztlak, a tak chybu vyloučit Podobně při měření teploty mohou vzniknout systematické chyby např nedokonalým stykem teploměrné nádoby teploměru s měřeným prostředím To je chyba metody, zatímco nesprávně nanesená stupnice vede k systematickým chybám, zaviněným měřicím přístrojem Stejně je tomu např u nepřesně rovnoramenných vah, u ampérmetrů s nepřesnou nulovou polohou apod Na rozdíl od pravidelných chyb, vyskytují se chyby náhodné vždycky a jejich existence se projevuje tím, že se vždy poněkud liší výsledky, které získáme měřeními opakovanými za myslitelně stejných podmínek Právě tyto rozdíly mezi jednotlivými výsledky opakovaných měření nám umožňují odhadnout velikost náhodných chyb, nebo aspoň jejich řád, a podle nich posoudit přesnost provedených měření Nepravidelnost náhodných chyb je vlastnost, která tyto chyby odlišuje od chyb pravidelných a umožňuje posoudit jejich vliv na výsledek měření Na první pohled se zdá naprostá nepravidelnost náhodných chyb překážkou jejich zhodnocení, ale je tomu právě naopak, provedeme li velký počet měření Při rostoucím počtu měření se totiž uplatní statistické zákonitosti, které plynou z počtu pravděpodobnosti Takové statistické zákony nedávají ovšem výsledky platné pro každý jednotlivý případ, ale jen pro velmi početné souhrny - řady měření V moderní fyzice se potkáváme častěji se statistickými zákony, které neříkají nic o individuálních případech, ale poučují nás o jistých středních hodnotách; střední hodnoty nás vedou od nepozorovatelných jednotlivých případů k zákonům platným pro souhrnné nebo průměrné hodnoty, které jsou přístupné pozorování V dalším výkladu se omezíme na to, že uvedeme pouze hlavní výsledky, které plynou pro náhodné chyby z počtu pravděpodobnosti Z tzv hypotézy elementárních chyb vyplývá, že náhodné chyby při velikém počtu měření jsou rozloženy podle jistého zákona, který se obvykle nazývá normální zákon četnosti (Gaussův) Gaussův zákon je zákon statistický, který lze chápat exaktně jen pro mezní případ nekonečného počtu chyb Přesněji řečeno je to zákon, který je tím dokonaleji splněn, čím více stoupá počet měření Pro jakoukoli skutečnou řadu měření platí jen přibližně odchylky jsou tím pravděpodobnější, čím méně početná je tato řada Máme li tedy na mysli veliký počet n chyb, můžeme charakterizovat jejich rozložení podle velikostí na základě pojmu četnosti Při konečném počtu n je ovšem počet chyb zcela určité jediné, velikosti rovný nule Zvolíme-li ale jisté rozmezí velikostí chyb kolem hodnoty ɛ, dané hodnotami ɛ ± ɛ/2, a dělímeli počet chyb ν obsažených v intervalu šířkou intervalu ɛ, dostaneme průměrnou četnost ν/ ɛ Je číselně zhruba rovna počtu chyb v malém jednotkovém intervalu Četnost y(ɛ) chyby určité velikosti ɛ je pak daná mezní hodnotou limitou y(ɛ) = dν dɛ = lim ν ɛ 0 ɛ,

11 Zpracování výsledků měření 11 která už je nezávislá na velikosti intervalu a závisí jen na velikosti chyby a ovšem na počtu měření Kdybychom opakovali větší počet n měření k, pak by při stejných podmínkách bylo v každém intervalu velmi přibližně k více chyb Z toho soudíme, že četnost je úměrná celkovému počtu měření Proto zavádíme četnost relativní neboli poměrnou, η(ɛ) = y(ɛ) n = 1 dν n dɛ, která charakterizuje rozložení chyb při daném způsobu měření nezávislé na počtu provedených měření Násobíme li relativní četnost šířkou intervalu, dostaneme výraz dp(ɛ) = η(ɛ) dɛ = dν n rovný poměru počtu dν chyb v intervalu dɛ k počtu n všech chyb Tento poměr má důležitý statistický význam: Provedeme-li veliký počet měření, je pravděpodobnost, že chyba náhodě vybraného měření leží v intervalu ɛ ± 1 2 dɛ rovna počtu chyb v tomto intervalu, dělenému počtem všech chyb (tj počtu příznivých případů, dělenému počtem všech možných případů) Je tedy dp(ɛ) pravděpodobnost výskytu chyby v daném intervalu, z níž dělením jeho šířkou dɛ dostaneme dp (ɛ) dɛ = η(ɛ) To je pravděpodobnost, že chyba leží v intervalu jednotkové šířky Jak je z uvedeného vztahu patrno, můžeme nazvat relativní četnost η(ɛ) také hustotou pravděpodobnosti Pravděpodobnost, že chyba leží v širších mezích, např mezi hodnotami α, +α, dostaneme, dělíme-li celkový počet chyb ve všech intervalech šířky dɛ, ležícím mezi α, +α, počtem n všech měření V mezním případě nekonečně malých intervalů přejde tento součet v integrál, takže pravděpodobnost P ( α) = +α α η(ɛ) dɛ (11) Symbol P ( α) tedy označuje pravděpodobnost, že prostá velikost chyby nepřekročí danou hodnotu Můžeme ji určit integrací, známe-li funkci η(ɛ), kterou určili Laplace a Gauss ve tvaru η(ɛ) = h e h2 ɛ 2, (12) π kde h je reálná konstanta, (míra přesnosti) Tato rovnice vyjadřuje Laplace Gaussův normální zákon chyb Plynou z něho dva důsledky Počet kladných i záporných chyb je stejný a jejich četnost klesá s rostoucí velikostí chyby Tedy velké chyby jsou méně četné než chyby malé Lze to sledovat na obr 11, kde je průběh funkce (12) zobrazen pro několik hodnot konstanty h Vidíme, že největší poměrnou četnost mají

12 12 Bartoň, Křivánek, Severa Obrázek 11: Gaussovy křivky pro různé míry přesnosti chyby nulové; její velikost je podle (12) η(0) = η 0 = h π, je tedy úměrná míře přesnosti h, která se také nazývá prostě přesnost Čím větší je přesnost h, tím těsněji jsou měřené hodnoty nakupeny kolem správné hodnoty, ɛ = 0 a tím menší je počet větších chyb Přesnost měření se častěji než konstantou h vyjadřuje střední hodnotou chyb, kterou lze počítat různým způsobem Aritmetický průměr všech chyb je při stejném rozložení kladných a záporných chyb roven nule, a proto zavádíme střední kvadratickou chybu σ, také nazývanou směrodatná odchylka, zvanou stručněji, ale nesprávně střední chyba, která je definována tak, že její čtverec je rovný aritmetickému průměru čtverců všech chyb σ 2 = ɛ2 1 + ɛ ɛ 2 ni=1 n ɛ 2 i = (13) n n Jak plyne výpočtem z normálního zákona četnosti, je střední chyba nepřímo úměrná přesnosti h: σ = 1 (14) 2 h a její dvojnásobek určuje šířku Gaussovy křivky, (jak se stručně nazývá geometrické znázornění normálního zákona) v místě, kde je křivka nejstrmější; jinak řečeno kde má Gaussova křivka pro ɛ = ±σ body obratu, D 1 a D 2, viz obr 12 Jinou veličinou, která vhodně vyjadřuje střední hodnotu chyb, je průměrná, střední chyba, definovaná jako aritmetický průměr absolutních hodnot chyb jednotlivých měření, ni=1 ɛ i λ = (15) n

13 Zpracování výsledků měření 13 Obrázek 12: Geometrické významy chyb Průměrná chyba souvisí s mírou přesnosti a se střední kvadratickou chybou vztahy λ = 1 2 = πh π σ Ve fyzice se velmi často posuzuje přesnost měření podle tzv pravděpodobné chyby θ, která je definována tak, že plocha Gaussovy křivky mezi souřadnicemi, vzdálenými od její osy o délky ±θ, (na obrázku 12 je šedá), je rovna polovině plochy vymezené osou a celou křivkou To znamená, že z velkého počtu měření má polovina měřených hodnot chybu menší a polovina chybu větší než pravděpodobná chyba Pravděpodobnost, že velikost chyby náhodně vybraného měření nepřekročí θ, je tedy rovna jedné polovině Podle rovnice (11) je pravděpodobná chyba určena vztahem P ( θ) = +θ θ η(ɛ) dɛ = 1 2 Dosadíme-li za η(ɛ) z (12), dostaneme podmínku z které lze složitějším výpočtem odvodit h +θ e h2 ɛ 2 dɛ = 1 π 2, θ θ = h,

14 14 Bartoň, Křivánek, Severa takže vzhledem k (14) θ = σ = σ 2 3 σ, (16) jak je nakresleno na obrázku 12 Pravděpodobná chyba je tedy rovna přibližně dvěma třetinám chyby střední, pro kterou plyne z teorie pravděpodobnost 68%, že nebude překročena Gaussova křivka neprotíná nikde osu ɛ, a proto nelze teoreticky vyloučit sebevětší chybu Nemůžeme tedy najít nějakou maximální chybu, která by nemohla být nikdy překročena Naopak musíme očekávat, že tím spíše se objeví větší chyby, čím větší počet měření provedeme Chyba rovná trojnásobné střední chybě, tj κ = 3 σ 9 2 θ, se někdy nazývá krajní chybou, protože pro pravděpodobnost, že bude překročena, plyne z teorie malá hodnota [P ( κ) = 09973] Proto můžeme očekávat, že se chyba větší než trojnásobek střední chyby nebo zhruba čtyřiapůlnásobek pravděpodobné chyby vyskytne teprve v řadě měření o 300 členech a nevyskytne se vůbec při obvyklých měřeních o mnohem menším počtu členů 12 Vzorce pro chyby měření V předchozí části jsme vyložili, že přesnost řady měření posuzujeme podle velikosti pravděpodobné chyby θ, přibližně rovné 2/3 σ Výpočet podle vzorce σ = ni=1 ɛ 2 i n, (17) který plyne z definice (13), však vyžaduje znalost skutečných chyb ɛ 1, ɛ n Kdybychom je znali, znali bychom již skutečnou hodnotu měřené veličiny a byly by zbytečné další úvahy o chybách Je jasné, že problém se dá řešit jen statisticky K tomu užijeme aritmetického průměru x, který snadno vypočteme z měřených hodnot x 1, x n Odečteme-li od x po řadě hodnoty x 1, x n, dostaneme odchylky od aritmetického průměru 1 = x x 1, 2 = x x 2, n = x x n, které nazýváme též zdánlivé chyby, protože na rozdíl od skutečných chyb jsou počítány od aritmetického průměru x, místo od skutečné hodnoty Při velkém počtu měření se aritmetický průměr x liší jen málo od skutečné hodnoty a totéž platí pro i a ɛ i Ostatně lze matematicky dokázat, že platí přibližný vztah n ɛ 2 i = i=1 n n 1 n 2 i i=1

15 Zpracování výsledků měření 15 ve shodě s poznatkem, že součet čtverců odchylek od aritmetického průměru je menší než součet odchylek od každé jiné (i od skutečné) hodnoty Tento důležitý vztah nám umožňuje vypočítat pravděpodobnou chybu podle vzorců (16) a (17): θ 2 3 σ = 2 3 ni=1 ɛ 2 i n = 2 3 ni=1 2 i n 1, (18) kde všechna 2 i mají známé hodnoty Veličinu θ nazýváme pravděpodobnou chybou jednoho měření, abychom ji odlišili od pravděpodobné chyby výsledku (aritmetického průměru) Z dalšího, ne příliš jednoduchého výpočtu plyne, že pravděpodobná chyba aritmetického průměru θ je n menší než chyba jednoho měření Podle (18) ji můžeme tedy počítat ze vzorce θ = 2 ni=1 2 i 3 n(n 1) (19) Vhodnější je vzorec odvozený použitím vztahu (15), + θ = 5 3 n (n 1), (110) kde + značí kladné odchylky od průměru Proto odchylky měření, jejichž výsledek je větší než průměr x, vůbec nemusíme počítat Poslední vzorec je zvláště praktický v případě 5, 10 a 50 měření: θ 5 = 1 6 +, θ10 = 1 +, θ50 = Z tohoto výkladu plyne tento jednoduchý postup zpracování přímých a stejně přesných měření: 1 Vypočteme aritmetický průměr x všech měřených hodnot 2 Určíme všechny kladné odchylky +, (zdánlivé chyby) tak, že odečteme od průměru všechny hodnoty menší než průměr 3 Utvoříme součet + těchto kladných odchylek 4 Vypočteme pravděpodobnou chybu průměru θ, násobíce předešlý součet číslem 5/(3 n n 1), kde n je počet všech měření 5 Výsledek měření píšeme ve tvaru X = ( x ± θ x ) [Jednotky SI], θr = θ x x 100 %, kde θ r se nazývá relativní pravděpodobná chyba měření Někdy se také označuje η, nezaměňovat s hustotou pravděpodobnosti η(ɛ) ze vztahu (12)! Vztah

16 16 Bartoň, Křivánek, Severa θ r = η nám říká, kolik procent z průměrné hodnoty x činí pravděpodobná chyba θ Je nutné zdůraznit, že pouze relativní chyba nám umožňuje porovnávat mezi sebou různá fyzikální měření Odpověd na otázku: Které měření je přesnější 6 kg ± 74 g nebo 1200 km ± 150 m?, lze rozhodnout pouze porovnáním relativních přesností navzájem Velmi přibližně můžeme stanovit přesnosti měření θ r = η [%] Hodnocení 1 Velmi přesné (1, 3 > Přesné (3, 5 > Průměrné (5, 10 > Nepřesné 10 Velmi nepřesné Přitom uvádíme chybu nejvýše s numerickou přesností maximálně o dvě (platná) místa vyšší, než je numerická přesnost naměřených hodnot a počet platných číslic v průměru uvádíme o jednu vyšší Tento běžný způsob psaní neznamená ovšem, že správný (skutečný) výsledek leží určitě uvnitř mezí udaných pravděpodobnou chybou, uvedenou s oběma znaménky za nejpravděpodobnějším výsledkem, nýbrž že mezi nimi leží pravděpodobně, tj s pravděpodobností rovnou jedné polovině Vzorec (19) i (110) je zejména výhodný při zpracování výsledků měření, oba vztahy byly odvozeny za předpokladu, že jde o velký počet měření Pro malý počet platí jen velmi přibližně, nebot vztahy odvozené z počtu pravděpodobnosti jsou vždy jen přibližné a jejich platnost je tím méně zaručena, čím menší je počet měření Pokud oba vztahy, jež byly odvozeny z Gaussova zákona, dávají stejné výsledky, pak jde o normální rozložení chyb, (viz obr 11) Liší li se rozložení chyb od normálního, budou oba vztahy udávat hodnoty poněkud rozdílné 13 Chyba jediného měření Velmi často se stane, že z různých důvodů je možné provést pouze jedno jediné měření Samozřejmě i toto měření je provedeno s určitou přesností Jak ji však určit, když na jedno měření již statistický přístup skutečně nelze použít? V tomto případě je možné si pomoci stanovením přesnosti měřicích přístrojů U některých měřidel, například elektrických je přímo uvedená třída přesnosti Tak například, je-li u voltmetru uvedena třída přesnosti 15, znamená to, že naměřená hodnota je určena s chybou ±15% z použitého měřícího rozsahu U dalších měřidel zjistíme řád poslední platné cifry naměřené hodnoty Za chybu měření pak volíme přibližně čtyřnásobek této hodnoty Například při měření pásmem byla stanovena vzdálenost 9 m 6 cm 5 mm Měřidlo je děleno po pěti milimetrech, jsme tedy schopni měřit s přesností cca 20 mm Takto stanovená chyba se často také nazývá krajní chyba jednoho měření κ

17 Zpracování výsledků měření Stanovení chyby výpočtu Velmi často se stává, že naměřené hodnoty se dále zpracovávají Předpokládejme, že jsme po zpracování měření získali hodnoty x±σ x, ȳ ±σ y a z ±σ z Tyto hodnoty použijeme pro výpočet hodnoty F, která je známou funkcí proměnných x, y, z Obecně matematicky se tato skutečnost zapíše F (x, y, z) Je zřejmé, že jsou-li konkrétní hodnoty veličin x, y, z známy pouze s přesnostmi σ x, σ y, σ z, pak musí i F být stanovena pouze s přesností σ F Při jejím výpočtu se využije následujícího postupu σ F = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( F (x, y, z) F (x, y, z) F (x, y, z) σ x + σ y + σ z x y z x = x y = ȳ z = z Relativní chybu výsledku η F pak vypočteme jako η F = σ F F ( x, ȳ, z) Výše uvedený postup lze samozřejmě zobecnit i pro funkci více proměnných 15 Kontrolní otázky 1 Stanovte pravděpodobnou chybu zadaných pěti měření 2 Stanovte střední kvadratickou chybu zadaných pěti měření 3 Stanovte relstivní chybu zadaných pěti měření 4 Určete krajní chybu předloženého měřidla 5 Určete, které ze zadaných měření je přesnější 6 Má smysl měření provedené s relativní přesností ±100%? 7 Určete pravděpodobnou chybu výsledku dle zadaného vztahu

18 18 Bartoň, Křivánek, Severa

19 19 Kapitola 2 Vyrovnání měření Velmi často měření fyzikální veličiny provádíme tak, že měříme její závislost na jiné veličině, která se v průběhu měření mění, (typickým příkladem je závislost na čase), nebo na veličině, jejíž hodnotu můžeme v průběhu měření přímo měnit, (typickým příkladem jsou teplotní závislosti, deformace tělesa v závislosti na působící síle) Z průběhu závislé veličiny na veličině nezávislé pak můžeme určit požadované charakteristiky zkoumaného problému Uved me typický příklad: Při měření rovnoměrně zrychleného, přímočarého pohybu jsme provedli v n časových okamžicích T i, i = 1 n, měření polohy pohybujícího se tělesa a získali tak S i, i = 1 n souřadnic Víme, že dráha S rovnoměrně zrychleného, přímočarého pohybu závisí na čase t podle vztahu S = s 0 + v 0 t + a t2 2, kde s 0 = počáteční poloha tělesa v 0 = počáteční rychlost tělesa a = zrychlení tělesa Na stanovení neznámých veličin by nám tak mohla stačit pouze tři měření polohy Je však jasné, že provedeme-li více měření, podaří se nám určit hledané veličiny přesněji Jak ale do výpočtu zahrnout všechny naměřené hodnoty? Řešením je aplikace metody nejmenších čtverců 21 Metoda nejmenších čtverců Princip metody je naznačen na obrázku 21 Prázdné kroužky označují v grafu polohu dvou bodů, které jsme získali měřením, [x i, y i ] a [x j, y j ] Na souřadnici x vynášíme nezávisle proměnnou veličinu, na souřadnici y vynášíme veličinu, která je závisle proměnná, tedy je funkcí x Víme, jak vypadá teoretická závislost y = f(x) a že v ní například vystupují tři neznámé parametry Pro jednoduchost je označme a, b, c Závislost y na x pak zapíšeme ve tvaru y = f(x, a, b, c), aby bylo zřejmé jaké parametry ve funkci vystupují Pokud by hodnoty a, b, c byly známy, pak bod o souřadnici x i ležící na křivce f(x) by měl souřadnici y = f (x i ), obdobné platí i pro bod x j Označme i = f (x i ) x i, rozdíl mezi přesnou hodnotou, ležící na křivce a hodnotou naměřenou Je zřejmé, že tento rozdíl bude pouze funkcí a, b, c a jejich vhodnou volbou je možné jej minimalizovat Není ale možné minimalizovat prostý sou-

20 20 Bartoň, Křivánek, Severa Obrázek 21: Metoda nejmenších čtverců čet n i=1 i, protože minimum tohoto součtu je Proto se minimalizuje součet druhých mocnin odchylek n i=1 2 i, protože jednotlivé hodnoty 2 i jsou všechny kladné, a tudíž jejich součet musí také být kladné číslo a nejnižší možné minimum pro kladná čísla je nula Tento případ by ovšem nastal jen tehdy, kdyby všechny naměřené body přesně splňovaly hledanou funkční závislost Nalezení minima funkce více proměnných je z matematického hlediska jednoduchá záležitost Derivace n i=1 2 i podle jednotlivých proměnných a, b, c musí být rovny 0 Získáme tak 3 rovnice pro 3 proměnné V případě, že hledané koeficienty a, b, c jsou ve funkci f(x, a, b, c) v lineárním tvaru, pak systém rovnic, který obdržíme je pro a, b, c lineární a jeho řešení je jednoduché Výpočet koeficientů tedy provedeme následujícím způsobem: 1 Stanovíme součet kvadrátů odchylek SKO n SKO = (y i f(x i, a, b, c)) 2 i=1 Součet SKO je funkcí jen a, b, c, zapíšeme SKO = SKO(a, b, c) Hledáme takové hodnoty a, b, c, pro které dosáhne minimální možnou hodnotu 2 Provedeme derivace D a = dsko da, D b = dsko db, D c = dsko dc 3 Z derivací D a, D b, D c sestavíme systém rovnic D a = 0, D b = 0, D c = 0 a pro a, b, c jej vyřešíme Zobecnění postupu pro jiný počet koeficientů není složité

21 Vyrovnání měření Vyrovnání přímkou Předpokládejme opět, že jsme naměřili n uspořádaných dvojic [x i, y i ], i = 1 n Úkolem je stanovit koeficienty k a q, protože obecná rovnice přímky je y = k x + q Budeme-li postupovat podle návodu z předešlé části lze odvodit: kde jednotlivé Σ i znamenají: k = Σ 4N + Σ 3 Σ 2 Σ 1 N Σ 2 2, q = Σ 2Σ 4 + Σ 3 Σ 1 Σ 1 N Σ 2 2, N N N N Σ 1 = x 2 i, Σ 2 = x i, Σ 3 = y i, Σ 4 = y i x i i=1 i=1 i=1 i=1 V případě závislosti bez absolutního členu, přímka prochází počátkem se vztahy zjednoduší y = K x K = Σ 4 Σ 1 Přestože výše uvedené vztahy vyhlížejí poněkud komplikovaně, ve skutečnosti práce s nimi není tak zlá, pokud si uvědomíme, že všechny naznačené sumace představují pouze čísla Například N i=1 x i znamená součet všech naměřených hodnot x 1 + x x N, N i=1 x 2 i znamená součet druhých mocnin naměřených hodnot x x x 2 N a podobně Je nutné rozlišovat N i=1 x 2 i a ( Ni=1 x i ) 2! 23 Kontrolní otázky 1 Uved te příklad funkce y = f(x, a, b) obsahující sin x a cos x s lineárními koeficienty a, b 2 Vysvětlete proč se liší n i=1 x 2 od ( n i=1 x) 2 3 Proložte přímku čtyřmi body o zadaných souřadnicích 4 Proložte přímku procházející počátkem a pěti body o zadaných souřadnicích

22 22 Bartoň, Křivánek, Severa

23 23 Kapitola 3 Protokol o měření Protokol o měření musí obsahovat všechny potřebné údaje o provedeném měření, tak aby bylo možné podle něj měření kdykoliv zopakovat Proto protokol musí obsahovat všechny náležitosti, které mohly mít vliv na naměřené výsledky i na jejich přesnost Z hlediska struktury protokolu jej můžeme rozdělit na několik základních částí 31 Hlavička Pokud nevyplňujeme předtištěný formulář, tak z hlavičky protokolu musí být jasné: a) Co se měřilo - Název úlohy b) Kdo měřil - Jméno, Příjmení, Fakulta, ročník, studijní skupina, obor studia c) Kdy a kde měřil - Den Měsíc Rok, Adresa laboratoře d) Podmínky měření - Teplota, Tlak, Relativní vlhkost 32 Teoretický základ měření V této části je nutné v hlavních rysech vysvětlit, co a jak se bude měřit, zdůvodnit vybrané postupy měření, vyjmenovat potřebné měřicí přístroje a objasnit, co se dále bude s naměřenými hodnotami provádět V případě, že požadovanou veličinu není možné měřit přímo, vysvětlí se zde jakým postupem ji z naměřených hodnot vypočteme Vzhledem k tomu, že přesnost měření závisí na vlastnostech jednotlivých měřicích přístrojů, je nutné všechny použité přístroje jednoznačně identifikovat, nejlépe podle tohoto schématu: Typ přístroje Výrobce Výrobní číslo V případě, že některý údaj chybí, pokusíme se jej nahradit jiným údajem, který by dokázal přístroj jednoznačně identifikovat Nejčastěji chybí na některých přístrojích, dovezených ze zahraničí, výrobní čísla V tomto případě se je pokusíme nahradit číslem inventárním, skladovým nebo jakoukoli jednoznačnou identifikací přístroje Identifikace přístrojů totiž umožní v případě nutnosti opakování měření zajistit naprosto identické podmínky s původním měřením

24 24 Bartoň, Křivánek, Severa 33 Pracovní postup Zde se vysvětlí schéma experimentálního uspořádání, zapojení elektrického obvodu a podobně Velikou výhodou a úsporou času při popisu experimentu je schematický náčrt experimentu nebo obvodu Zdůrazní se zde, kde se nachází ovládací prvky, na nichž závisí velikost naměřených hodnot V případě, že se používá přístroje, který je náročnější na obsluhu, popíše se zde stručně jeho ovládání Zároveň se stručně popíše časová souslednost jednotlivých kroků měřícího postupu, tak aby měření proběhlo co nejjednodušeji Popíše se z kterých měřících přístrojů a kdy se budou odečítat indikované údaje 34 Výsledky a jejich zpracování Hodnoty naměřené v předcházející části se zapisují do tabulky Z tabulky musí být zřejmé o jakou hodnotu se jedná a v jakých jednotkách se měřila V případě, že se provádí více měření stejné veličiny, se pak tabulka rozšíří o základní statistické zpracování naměřené hodnoty Ke každé naměřené hodnotě se vypočte odchylka od průměru z naměřených hodnot a do posledního řádku tabulky se doplní průměrná hodnota měření, odpovídající pravděpodobná chyba měření a jí odpovídající chyba relativní nebo se vypočte střední kvadratická chyba V případě, že se jedná o proměření závislosti jedné veličiny na druhé, například dráhy na čase, kdy je možné provést v daném časovém okamžiku pouze jedno současné měření času a polohy, pak k tabulce vyznačíme krajní chyby měření obou veličin - času i polohy a také odpovídající relativní chyby V případě, že se z naměřených hodnot počítá hodnota veličiny, kterou není možné měřit přímo, je nutné uvést vzorec do kterého se naměřené hodnoty číselně dosazují, a to včetně rozměru podle soustavy SI Vzhledem k tomu, že samotný postup výpočtu je uveden v teoretické části, stačí pouze uvést hodnotu výsledku, opět s odpovídajícími jednotkami soustavy SI Protože všechny vstupní údaje jsou známy i s pravděpodobnou, střední kvadratickou nebo krajní chybou, je nutné provést i výpočet chyby výsledku a relativní chyby výsledku 35 Grafické znázornění Pokud proměřujeme průběh jedné veličiny na druhé, je velmi názorné naměřené závislosti znázornit graficky V průběhu dalšího výkladu označíme nezávisle proměnnou jako x, budeme ji vynášet na vodorovnou souřadnici grafu a závisle proměnnou, kterou budeme vynášet na svislou osu, označíme y Při tvorbě grafu je vhodné postupovat podle následujících bodů 1 Z celého rozsahu naměřených hodnot x a y najdeme maximální a minimální hodnoty, označme je x min a x max pro osu x, obdobně pro osu y

25 Protokol o měření 25 2 Podle velikosti maxim a minim se rozhodneme pro druh grafu Základními druhy jsou: (a) Lineární - obě osy mají lineární stupnici (b) Semilogaritmický - jedna z os x, y má logaritmickou stupnici (c) Logaritmický - obě osy mají logaritmickou stupnici (d) Speciální - podle účelu je možné zvolit i zvláštní stupnice, a to i pro každou osu x, y jinou V dalším se budeme zabývat grafy s lineárními stupnicemi Aplikace následujících bodů na jiné stupnice však není příliš komplikovaná 3 Stanovíme měřítko, modul os Měřítko volíme takové, aby graf naměřených hodnot pokryl celou plochu grafu Přitom pokud je graf monotónně stoupající nebo klesající, měl by sledovat odpovídající úhlopříčku plochy, do které budeme graf zakreslovat Je zřejmé, že průsečík obou os nemusí být v bodě [0, 0] 4 Nalezneme čísla X Min a X Max taková, aby interval < x min, x max > ležel uvnitř intervalu < X Min, X Max > a přitom X Min a X Max byla "rozumná" čísla tak, aby se interval < X Min, X Max > dal rovnoměrně rozdělit na 3-12 dílů a přitom dělící intervaly byly také dány "rozumnými" čísly Dělení naneseme na osu x a zapíšeme hodnoty Zároveň k ose x zapíšeme jaká veličina a v jakých jednotkách se na ní vynáší Shodný postup zopakujeme s osou y 5 Zakreslíme naměřené body V případě, že do jednoho grafu vynášíme dva soubory měření, zvolíme pro každé měření jiný symbol bodu Nespojujeme body s osami, ani nezapisujeme souřadnice bodů! Tuto informaci obsahuje tabulka naměřených hodnot 6 Protože hodnotu každého bodu známe s určitou přesností, chybou, sestrojíme okolo každého bodu malý obdélníček reprezentující chybu určení polohy naměřeného bodu Například i tý bod má souřadnice [x i, y i ], přitom souřadnice x i je známa s pravděpodobnou chybou θ xi, souřadnice y i je známa s pravděpodobnou chybou θ yi Obdélníček tak reprezentuje pravděpodobnou chybu určení tohoto bodu a je možné jej definovat jako část plochy grafu, která vyhoví podmínkám x i θ xi x x i +θ xi pro osu x a y i θ yi y y i +θ yi pro osu y Je možné, že v některých případech bude šířka nebo výška obdélníku vzhledem k použitým měřítkům zanedbatelná Pak ji samozřejmě nezakreslujeme a obdélník se tak zredukuje na úsečku 7 Zakreslené body spojíme hladkou křivkou V případě, že známe její matematický tvar y = f(x, a, b, c), se pokusíme stanovit hodnotu koeficientů a vyneseme přesný průběh křivky Pokud matematický zápis křivky neznáme, snažíme se zvolit křivku co nejhladší, tak aby procházela pokud možno co nejblíže naměřených bodů Přitom body samotné na křivce ležet nemusí Je ale vhodné, aby křivka pokud možno prošla co největším počtem obdélníků znázorňující

26 26 Bartoň, Křivánek, Severa chyby měření Pokud některý bod výrazně vybočuje z průběhu křivky, nebudeme jej dále brát v úvahu, a to i ve výpočtech Pravděpodobně při jeho měření vznikla velká náhodná chyba Pokud je v grafu několik souborů měření, zvolíme jinou tloušt ku, nebo barvu, nebo druh čáry, tak aby bylo zřejmé, která čára patří ke kterému měření 8 V případě současného zobrazení více grafů vyznačíme, která křivka patří ke kterému souboru měření 9 Hotový graf opatříme nadpisem, ze kterého musí být zřejmé, co graf zobrazuje Příklad hotového grafu je na obrázku 31 Obrázek 31: Příklad společného grafu dvou měření 36 Závěr Správný závěr musí obsahovat 3 údaje 1 Naměřenou hodnotu, včetně rozměru podle soustavy SI 2 Pravděpodobnou, střední kvadratickou nebo krajní chybu měřené hodnoty 3 Odpovídající relativní chybu měření v procentech

27 Protokol o měření 27 V případě, že se proměřuje průběh jedné veličiny na druhé, použijeme formulaci v přibližném znění: V rozmezí hodnot x min až x max hodnota y klesá, stoupá, pohybuje se v intervalu od y min do y max Pravděpodobná chyba θ y nepřesáhla θ y, uvedeme maximální hodnotu pravděpodobné chyby, relativní chyba η y nepřesáhla, uvedeme maximální hodnotu relativní chyby Pro střední kvadratickou nebo krajní chybu je formulaci pozměníme odpovídajícím způsobem Pokud bude relativní chyba měření vysoká, je nutné provést diskusi přesnosti měření s ohledem na příčiny zvýšené nepřesnosti Rozhodně však není možné vysvětlovat vznik chyby nepřesností odečítání na přístrojích! 37 Kontrolní otázky 1 Je možné znázornit pravděpodobnou chybu polohy bodu v grafu jinak něž obdélníkem? 2 Jaké stupnice ještě mohou připadat v úvahu při konstrukci grafu? 3 Načrtněte schematicky graf znázorňující průběh zadané hodnoty 4 Je bod, který má maximální pravděpodobnou chybu totožný s bodem, který má maximální relativní chybu?

28 28 Bartoň, Křivánek, Severa

29 29 Kapitola 4 Stanovení koeficientu statického a dynamického tření 41 Úvod Třením nazýváme sílu působící proti pohybu těles Základní druhy tření jsou: 1 Statické Musíme překonat, pokud uvádíme těleso do pohybu z klidu 2 Dynamické Způsobí zastavení pohybujících se těles Pokud těleso chceme udržet v rovnoměrném přímočarém pohybu, musíme na těleso působit silou, která bude stejné velikosti, ale opačné orientace k vektoru síly dynamického tření 3 Valivé Síly způsobující zastavení pohybu valících se těles Koeficient statického tření µ 0 je poměr tečné síly T 0, která právě stačí uvést do relativního pohybu dvě tělesa, která jsou tlačena kolmo k sobě normálovou silou F N : µ 0 = T 0 F N Koeficient dynamického tření µ je poměr tečné síly T, která právě stačí udržovat těleso v rovnoměrném relativním pohybu po povrchu jiného tělesa, k normálové síle F N přitlačující jedno těleso k druhému: µ = T F N Koeficienty statického i dynamického tření závisí pouze na kvalitě, drsnosti, styčných ploch těles, nezávisí na jejich velikosti a do jisté velikosti nezávisí na velikosti přítlačné síly F N Pro malé relativní rychlosti vzájemného pohybu je možné považovat koeficient dynamického tření za konstantní 42 Experimentální uspořádání Zařízení pro stanovení koeficientu dynamického tření bukového špalíku na bukové desce je schematicky znázorněno na obrázku 41, schematický pohled shora Špalík

30 30 Loučka, Bartoň Obrázek 41: Měření koeficientů tření i přívažek jsou pro větší názornost zobrazeny ve větším měřítku než buková deska Bukový špalík o hmotnosti m s s přívažkem o hmotnosti m p je tažen přes kladičku silonovou nití navíjenou na hřídel pohonu P Rychlost pohonu je regulovatelná Druhý konec nitě je připevněn k siloměru S Gumový kompenzátor slouží k regulaci rychlosti nárustu tažné síly F P Špalík je uveden do pohybu v okamžiku, kdy síla F P dosáhne velikosti T 0 a překoná tak statickou třecí sílu F s V tomto okamžiku dosáhne tažná síla F P své maximální velikosti Pro další, rovnoměrný přímočarý pohyb špalíku, již není třeba tak velké síly, proto se tažná síla F P ustálí na hodnotě tečné síly T, která je rovna dynamické třecí síle F t Průběh tažné síly F P v čase zaznamenává siloměr, připojený k počítači 43 Měření a vyhodnocení 431 Koeficient statického tření 1 Nejprve je nutné stanovit hmotnost špalíku m s 2 Spustíme počítač Měřicí program spustíme kliknutím na ikonu s popisem Tření Po startu programu vybereme z menu Experiment možnost Nový experiment Program poté otevře okno Parametry experimentu, znázorněné na obrázku 42 Dobu měření nastavíme na 15 s Dále z rozbalovacího menu Start měření vybereme Manuální V okně Vstupní kanály zkontrolujeme, zda program rozpoznal siloměr 3 Kliknutím na ikonu OK se toto menu uzavře Měření spustíme kliknutím na ikonu START 4 Po pěti sekundách, spustíme pohon P velmi malou rychlostí Nastavení pohonu vyzkoušíme před záznamem experimentu Na monitoru pozorujeme pozvolný nárůst síly Po překročení F s dojde k posunu špalíku a tahová síla výrazně po-

31 Stanovení koeficientu statického a dynamického tření 31 Obrázek 42: Parametry experimentu klesne na F t Pokud neuplynula přednastavená doba měření, zastavíme záznam stiskem ikony STOP Současně vypneme pohon P 5 Měření zopakujeme ještě 7, a to tak, že v menu Měření vybereme položku Další měření Není-li některé měření podle našich představ, můžeme jej nahradit dalším měřením Záznam všech měření znázorňuje obrázek 43 6 Naměřená data uložíme na pevný disk počítače V menu Nástroje klikneme na Export dat a jako Zdroj dat vybereme Excel 40 Vybereme adresář D:\data, název souboru se doporučuje ve tvaru: datum_jméno Pro export vybereme všechna zobrazení i hodnoty času 7 Podle rovnice T 0 = 2 (F max F 0 ) vypočteme pro každé měření velikost T 0i F maxi je maximální hodnota síly z každého záznamu F 0i je počáteční hodnota udávaná siloměrem Určí se jako průměr z jednotlivých hodnot během prvních pěti sekund měření, dokud není zapnuto tažné zařízení Nulová hodnota siloměru totiž nemusí souhlasit s nulovou hodnotou počítače

32 32 Loučka, Bartoň Obrázek 43: Průběh experimentu 8 Vyloučíme maximální a minimální hodnoty, vypočteme průměrnou hodnotu T 0 9 Měření zopakujeme s přívažky m P o velikosti 01, 02, 03, 04 a 05 kg 10 Naměřené a vypočtené hodnoty zaznamenáme do tabulek m P = 0 kg N F max [N] F 0 [N] T 0 [N] µ 0 1 F max1 F 01 T 01 µ 01 5 F max5 F 05 T 05 µ 05 µ 0 ± σ µ0 m P = 05 kg N F max [N] F 0 [N] T 0 [N] µ 0 1 F max1 F 01 T 01 µ 01 5 F max5 F 05 T 05 µ 05 µ 0 ± σ µ0

33 Stanovení koeficientu statického a dynamického tření Z vypočtených hodnot koeficientů statického tření vypočítáme průměrnou hodnotu µ 0, střední kvadratickou σ µ0 a relativní η µ0 chybu koeficientu statického tření Do grafu vyneseme jednotlivé koeficienty v závislosti na hmotnosti přívažku Podle požadavku vedoucího cvičení v grafu vyznačíme pro každou vynesenou hodnotu střední kvadratickou chybu 432 Koeficient dynamického tření Způsob stanovení koeficientu dynamického tření se od stanovení koeficientu statického tření liší pouze v drobných detailech 1 Rychlost pohonu mírně zvýšíme v porovnání s předchozím případem 2 Dobu měření nastavíme na 10 s 3 Měření spouštíme, až když je špalík v rovnoměrném, přímočarém pohybu 4 Po uplynutí šesti sekund vypneme pohon a špalík mírně postrčíme prstem tak, aby gumový kompenzátor nebyl napnutý Měřená tažná síla tak klesne na nulovou hodnotu Záznam hodnot pokračuje až do uplynutí doby měření 5 Při stejném nastavení provedeme další měření pro přívažky o hmotnostech 01, 02, 03, 04 a 05 kg 6 Data uložíme na pevný disk počítače 7 Z naměřených hodnot dat vypočteme velikost tažné síly T T = 2 (F F 0 ), kde F je naměřená síla pro jednotlivé měření, vypočítá se jako průměr z hodnot získaných v průběhu prvních pěti sekund záznamu, kdy byl špalík v pohybu F 0 je hodnota udávaná nezatíženým siloměrem, zjistíme ji jako průměr z hodnot získaných v posledních dvou sekundách záznamu 8 Naměřené a vypočtené hodnoty zapíšeme do podobných tabulek a zpracujeme stejným způsobem jako v části Diskuse a závěr V závěru se soustředíme na diskusi možné závislosti µ = µ(m P ), kterou je možné v některých případech pozorovat v grafu Celé měření zhodnotíme z hlediska dosažené relativní přesnosti

34 34 Loučka, Bartoň 45 Kontrolní otázky 1 Co je důvodem vysoké relativní chyby měření? 2 Jak zvýšit přesnost měření? 3 Lze vyříznout dřevěný špalík tak, aby koeficient dyn tření byl pro všechny stěny přibližně stejný? 4 Navrhněte principiálně jiný způsob měření 5 Bude li se celý experiment odehrávat na Měsíci, kde je tíhové zrychlení 1/6 g, zvýší se přesnost měření? Proč? Poděkování Autoři děkují Ing Martinu Loučkovi za sestavení měřicí aparatury a vypracování metodiky měření

35 35 Kapitola 5 Měření pevnosti slupky dužnatých plodin 51 Úvod Měření pevnosti slupky dužnatých plodin se provádí na penetrometrickém přístroji statickou metodou Princip statického měření spočívá v postupném zvyšování síly, působící na zkušební hrot, při konstantní poloze plodiny, naklápěním desky držáku zkušebního hrotu, viz obrázek Experimentální uspořádání Zkoumaná plodina se umístí mezi pohyblivé desky, které je možno rozevřít podle velikosti plodiny a nabodne se na vyčnívající hrot Vzhledem k tomu, že dužnina plodiny je na rozdíl od slupky elektricky dobře vodivá, dojde po proražení slupky zkušebním hrotem k vodivému spojení s kovovým rámem přístroje, na jehož hrot je plodina nabodnuta To je indikováno rozsvícením svítivé LED diody, viz schéma zapojení na obrázku 52 V okamžiku rozsvícení diody se odečte úhel náklonu v kruhovém otvoru pevné části přístroje Pro přepočet úhlu náklonu na normálovou sílu vzhledem k povrchu plodiny se použije vztah: F = m g sin α, kde F = síla průrazu m = hmotnost závaží = 04 kg α = úhel náklonu Známe-li plochu S hrotu, můžeme určit tlak p, při kterém dojde k mechanickému poškození plodiny Platí: p = F S Průměr čelní plošky zkušebního hrotu je d = 06 mm

36 36 Bartoň, Křivánek, Severa 53 Měření a vyhodnocení Obrázek 51: Penetrometrický přístroj Níže uvedeným postupem stanovte průměrné hodnoty síly průrazu a tlaku u slupky zkoumaných dužnatých plodin 1 Po rozevření pohyblivých desek napíchneme plodinu na hrot 2 Uvolníme šroub držáku závaží na pevném rameni a posuneme jej tak, aby se zkušební hrot závaží lehce dotýkal plodiny, poté jej utáhneme 3 Jemným a plynulým otáčením kličky natáčíme desku až do průrazu rozsvítí se LED dioda 4 Odečteme úhel α

37 Měření pevnosti slupky dužnatých plodin 37 Obrázek 52: Schéma zapojení 5 Přístroj vrátíme do nulové polohy a měřenou plodinu pootočíme U každé plodiny provedeme N měření, výsledky zapíšeme do tabulky Hodnotu N stanoví vedoucí cvičení N α [ ] F [N] p [P a] 1 α 1 F 1 p 1 N α N F N p N α ± σ α F ± σ F p ± σ p Vypočteme pravděpodobnou a relativní chybu měření pro jednotlivé plodiny 54 Diskuse a závěr Porovnejte sílu průrazu a tlak potřebný k průrazu, včetně pravděpodobných a relativních chyb měření u jednotlivých plodin 55 Kontrolní otázky 1 Jaký je rozdíl mezi průměrem a průřezem? 2 Jsou zde získané informace užitečné?

38 38 Bartoň, Křivánek, Severa 3 Proč nejsou síla průrazu a tlak potřebný k proražení slupky u jedné plodiny ve všech místech stejné? 4 Co všechno může ovlivnit pevnost slupky? 5 Jak určit pevnost slupky v případě, že ani při naklopení o úhel α = 90 nedojde k jejímu proražení?

39 39 Kapitola 6 Určení modulu pružnosti v tahu 61 Úvod Při studiu protažení l homogenní tyče délky l 0 o konstantním průřezu S, způsobeném silou F, (směr síly je rovnoběžný s délkou tyče l 0 ), odvodil Hooke obecný zákon ve tvaru: l = k l S F, (61) přičemž zjistil, že konstanta k závisí pouze na materiálu tyče Zavedeme li relativní prodloužení ɛ a normálové napětí σ ɛ = l l 0 = (l l 0) l 0, σ = F S, je možné Hookův zákon (61) psát ve tvaru ɛ = k σ = 1 E σ nebo σ = E ɛ Napětí je přímo úměrné relativnímu prodloužení Konstanta k se nazývá součinitel roztažnosti, její převrácená hodnota E = 1/k se nazývá Youngův modul pružnosti v tahu, (tlaku), má stejný rozměr jako napětí a udává se ve stejných jednotkách Závisí již jen na vlastnostech materiálu a nikoli na rozměrech tělesa Hookův zákon (61) v této podobě platí pouze pro malé relativní prodloužení ɛ V případě vysokých napětí je zapotřebí vzít nejprve v úvahu změnu průřezu tyče, pro ještě vyšší napětí pak dochází k trvalým deformacím, případně i k přetržení materiálu 62 Experimentální uspořádání Úkolem je stanovit Youngův modul pružnosti materiálu zkušebních tyčí o délce l 0 a rozměrech příčného průřezu ve tvaru obdélníku o rozměrech a ± a, b ± b Vzhledem k velikosti průřezu tyče by bylo zapotřebí na ni působit značnou silou Proto přímé měření změny délky tyče není vhodné a modul pružnosti se měří z průhybu tyče

40 40 Bartoň, Křivánek, Severa Podstatou metody je, že při prohnutí tyče do rovinného oblouku dojde na vnitřní straně oblouku ke stlačení materiálu a na vnější straně k protažení materiálu tyče Vrstva materiálu, který nezmění svoji délku se nazývá neutrální vrstva a její průnik s rovinou průhybu se nazývá neutrální osa Je zřejmé, že čím více se tyč prohne, tím vyšší musí být deformace materiálu Deformace materiálu také vzrůstají s rostoucí vzdáleností od neutrální osy Je li obdélníková tyč vodorovně podepřena dvěma břity ve vzdálenosti l 0 a zatížena uprostřed silou F, pak pro její průhyb y lze odvodit y = F l3 0 4 E a b 3, kde l 0 = 5216 ± 02 mm, je vzdálenost břitů (62) Vztah (62) platí ovšem s podmínkami, že: 1 Tíha samotné tyče nezpůsobí měřitelný průhyb 2 Prohnutí tyče je v rovině, která je dána směrem nezatížené tyče a směrem síly způsobující průhyb 3 Vzdálenost břitů l 0 je mnohem vyšší než výška b průřezu, (l b) Youngův modul pružnosti E se ze vztahu (62) vyjádří ve tvaru Vzhledem k (62) je možné každé měření napsat ve tvaru E = F l3 0 4 a b 3 y (63) F i y i = Konst, kde Konst = l E a b 3, (64) lze také levé i pravé strany (64) sečíst pro jednotlivá měření a podělit jejich počtem, tzn v rovnici (64) nahradíme F i /y i průměrnou hodnotou podílu F/y Tento postup se nazývá skupinová metoda Rovnice (63) tak přejde do finálního tvaru E = l3 0 4 a b 3 63 Měření a vyhodnocení ( ) F (65) y Experimentální uspořádání je znázorněno na obrázku 61 Při měření postupujeme následujícím způsobem: 1 Na tyč nasuneme hrazdičku pro závaží 2 Tyč položíme naplocho symetricky na břity měřící lavice

41 Určení modulu pružnosti v tahu 41 Obrázek 61: Určení modulu pružnosti z průhybu tyče 3 Do stojanu uchytíme indikátorové hodinky a umístíme je tak, aby byly kolmo k plošce hrazdičky a přitom měřicí hrot byl téměř zcela zasunut Hrot hrazdičky přitom musí být uprostřed mezi břity 4 Přesvědčíme se, zda se měřicí hrot indikátorových hodinek se volně pohybuje Pokud ne, poněkud uvolníme šroub stojanu udržující indikátorové hodinky 5 Odečteme počáteční počáteční průhyb tyče p pi průhyb nezatížené tyče 6 Na hrazdičku umístíme opatrně závaží, (i disků, 1 i N, hmotnost jednoho disku m = 1±0001 kg) Odečteme průhyb tyče při zatížení p i Pro zatížení dřevěných tyčí volíme přírustek hmotnosti závaží 025 kg nebo 05 kg, použijeme kombinaci disků a závaží 7 Sejmeme zátěž a změříme průhyb tyče p ki po odlehčení 8 Vypočteme i-tý průhyb y i = p i p p i + p ki 2 9 Body 5 8 zopakujeme pro 1 N závaží Hodnotu N stanoví vedoucí cvičení 10 Tyč otočíme o 180 okolo podélné osy a celé měření zopakujeme Hodnoty zapisujeme do tabulky