PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

Transkript

1 . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu, přičemž průřezovými charakteristikami rozumíme veličiny popisující jeho uspořádání a mechanické parametry. Podle uspořádání (viz obr.) rozeznáváme průřezy: masivní (plné), které se skládají z jednoduchých geometrických obrazců (kruh, trojúhelník, obdélník apod.), jejichž jednotlivé rozměry se řádově neliší; tenkostěnné, které sestávají z dílčích částí (obdélník, výseč mezikruží) tzv. stěn jejich tloušťka je řádově menší než jejich šířka. Tenkostěnný průřez lze schematicky znázornit pomocí střednice čáry půlící tloušťky stěn. Rozlišujeme tenkostěnné průřezy: uzavřené (duté), u nichž tvoří střednice uzavřenou křivku, otevřené, u nichž střednice netvoří uzavřenou křivku. Obr. Průřezy Poznámka Masivních průřezů se užívá převážně v betonových konstrukcích, tenkostěnné průřezy se vyskytují především v ocelových konstrukcích. 1

2 Obecné souřadnicové soustavy V rovině průřezu obvykle zavádíme soustavy: kartézských souřadnic uplatňují se u všech druhů průřezu; výsečových souřadnic uplatňují se především u otevřených průřezů. Kartézské souřadnice Kartézské souřadnice jsou definovány dvojicí navzájem kolmých orientovaných přímek souřadných os y, z. Osa y vede obvykle vodorovně, s kladným smyslem zprava doleva; osa z potom vede svisle, s kladným smyslem odshora dolů. Průsečík os označujeme jako počátek soustavy O. Obr. Kartézské souřadnice Libovolnému bodu M průřezu přiřazujeme dvojici souřadnic z a y z-ová souřadnice představuje orientovanou vzdálenost bodu M od osy y, y-ová souřadnice je pak orientovaná vzdálenost bodu M od osy z (viz obr.): z = ym ( ± mm). y = zm Kladný smysl z-ové, resp. y-ové souřadnice je totožný se smyslem osy z, resp. y. Výsečové souřadnice Výsečové souřadnice jsou definovány pólem B (ležícím obecně kdekoliv v rovině průřezu) a výsečovým počátkem M 0 ležícím na střednici průřezu.

3 Obr. Výsečová souřadnice Libovolnému bodu M střednice průřezu přiřazujeme výsečovou souřadnici ω dvojnásobek orientované plochy výseče omezené úsekem střednice M 0 M a dvojicí průvodičů BM 0 a BM (viz obr.): M ( ± mm ) ω = r ds, M0 kde r...absolutní vzdálenost pólu B od tečny ke střednici, ds...diferenciál délky střednice měřené od bodu M 0. Výsečová souřadnice je kladná, jestliže ji čteme od počátečního průvodiče BM 0 proti smyslu chodu hodinových ručiček. Základní statické veličiny průřezu. Definice Uvádíme statické veličiny technické teorie prutů tažených (tlačených), ohýbaných a kroucených, jež jsou dány následujícími definičními vztahy: plocha = d mm, ( ) (axiální) statický moment S y = z d 3 ( ± mm ), S z = y d (axiální) deviační moment 4 D yz = z y d ( ± mm ), 3

4 (axiální) moment setrvačnosti I d y = z 4 ( mm ), I z = y d výsečový statický moment 4 Sω = ω d ( ± mm ), výsečový deviační moment Dωy = ω z d 5 ( ± mm ), Dωz = ω y d výsečový moment setrvačnosti 6 Iω = ω d ( mm ), kde d...diferenciál plošného obsahu průřezu, z, y...kartézské souřadnice elementu d, ω...výsečová souřadnice elementu d. K analýze prutu se z uvedených veličin sestavuje matice tuhosti S y S z Sω S = y I y Dyz Dωy K E, S z Dyz I z Dωz Sω Dωy Dωz Iω (kde E je Youngův modul), která je však pro praktické účely nešikovná, neboť je plná, takže představuje značnou pracnost výpočtu. Výrazného zjednodušení se dosáhne použitím hlavní vztažné soustavy. Hlavní vztažná soustava V rámci hlavní vztažné soustavy zavádíme v rovině průřezu (viz obr.): hlavní kartézské souřadnice, jejichž počátek leží v těžišti C g, souřadné osy jsou totožné s hlavními osami setrvačnosti y, z; hlavní výsečové souřadnice, jejichž pól leží ve středu smyku C s, výsečový počátek je totožný s hlavním nulovým bodem M 0. 4

5 Obr. Hlavní vztažná soustava Těžiště C g je jediný bod v rovině průřezu, pro který platí S y = S z = 0, kde S y, S z jsou statické momenty stanovené v kartézských souřadnicích s počátkem v těžišti. Hlavní (centrální) osy setrvačnosti y, z jsou (v obecném případě) jediná dvojice navzájem kolmých přímek v rovině průřezu (s průsečíkem v těžišti), pro které platí D yz = 0, kde D yz je deviační moment stanovený v hlavních kartézských souřadnicích. Střed smyku C s je jediný bod v rovině otevřeného průřezu, pro který platí D ωy = D ωz = 0, kde D ωy, D ωz jsou výsečové deviační momenty stanovené v hlavních kartézských souřadnicích a ve výsečových souřadnicích s pólem ve středu smyku. Hlavní nulový bod M 0 je bod na střednici otevřeného průřezu, pro který platí S ω = 0, kde S ω je výsečový statický moment stanovený v hlavních výsečových souřadnicích. Matice tuhosti prutu v hlavní vztažné soustavě I y 0 0 K = E 0 0 I z I ω je tedy diagonální umožňuje řešit jednotlivé případy namáhání odděleně (viz teorii pružnosti). 5

6 Poznámka Plochu a momenty setrvačnosti I y, I z, I ω používáme k analýze prutu; statické momenty S y, S z, S ω a deviační momenty D yz, D ωy, D ωz používáme k definování hlavní vztažné soustavy. Hlavní body a hlavní osy roviny průřezu. Určení polohy Těžiště C g V rovině průřezu zavedeme soustavu pomocných kartézských souřadnic definovanou libovolně zvoleným počátkem O 1 a souřadnými osami y 1, z 1 (viz obr.). Obr. Těžiště Těžiště má (v této soustavě) souřadnice S y c = 1, S z d = 1, kde S y 1, S z 1... statické momenty (stanovené v zavedených souřadnicích),... průřezová plocha. Hlavní osy setrvačnosti y, z V rovině průřezu zavedeme další soustavu pomocných kartézských souřadnic definovanou počátkem v těžišti C g a libovolně zvolenými souřadnými osami y, z (viz obr.). 6

7 Obr. Hlavní osy setrvačnosti Hlavní setrvačné osy (jež procházejí těžištěm) svírají s osami y, z úhel 1 Dyz α = arctg, I z I y kde I y, I z... momenty setrvačnosti, D y z... deviační moment, vše stanoveno v zavedených pomocných souřadnicích. Poznámka Úhel α je orientovaný, tzn. kladné hodnoty představují otočení opačné ke smyslu chodu hodinových ručiček. Střed smyku C s V rovině otevřeného průřezu zavedeme soustavu hlavních kartézských souřadnic, a dále soustavu pomocných výsečových souřadnic definovanou libovolně zvoleným pólem B 1, jakož i výsečovým počátkem M 0,1 (viz obr.). Obr. Střed smyku 7

8 Střed smyku je dán (kartézskými) souřadnicemi Dω 1z zs = zb, 1 I z Dω 1y ys = yb +, 1 I y kde Dω 1 z, Dω 1 y... výsečové deviační momenty, I z, I y... (axiální) momenty setrvačnosti, z B 1, y B 1... (kartézské) souřadnice pólu B 1, vše stanoveno v příslušných zavedených souřadnicích. Hlavní nulový bod M 0 V rovině otevřeného průřezu zavedeme další soustavu pomocných výsečových souřadnic definovanou pólem ve středu smyku C s a libovolně zvoleným výsečovým počátkem M 0, (viz obr.). Obr. Hlavní nulový bod Hlavní nulový bod má (v této soustavě) výsečovou souřadnici Sω e =, kde S ω...výsečový statický moment (stanovený v zavedených souřadnicích),...průřezová plocha. 8

9 K axiálním veličinám Poznámka V číselném příkladu použijeme vztahy upravené pro tenkostěnný průřez složený z přímých úseků konstantní tloušťky, převzaté z ČSN ; (norma byla v r. 000 zrušena, vzorečky však mají obecnou platnost). Příklad Zadání. Stanovte průřezové charakteristiky tenkostěnného jednoose symetrického U profilu podle obr. Řešení Úlohu rozdělíme do několika po sobě jdoucích kroků 1) stanovíme průřezovou plochu, ) určíme polohu těžiště C g, 3) ověříme polohu centrálních os setrvačnosti y, z, 4) stanovíme hlavní momenty setrvačnosti I y, I z. S ohledem na systematičnost výpočtu dílčí části průřezu očíslujeme tak např. č. 1 horní vodorovná stěna, č. svislá stěna, č. 3 dolní vodorovná stěna. 1) Průřezovou plochu stanovíme pomocí diskrétního vztahu = i = siti, kde i...plocha i-té stěny, s i...délka střednice i-té stěny, t i...tloušťka i-té stěny. 9

10 Tedy = =, mm. Poznámka V dalším potřebujeme rovněž plochy dílčích částí i, takže 1 = 3 = = 600 mm, = 100 mm. ) Polohu těžiště C g určíme pomocí statického momentu zavedeme tudíž pomocné kartézské souřadnice. Souřadné osy proložíme osou symetrie (označme y) a střednicí svislé stěny (označme z 1 ), viz obr. Vzhledem k symetrii úlohy zřejmě těžiště leží na ose symetrie, takže hledáme jen jeho vodorovnou souřadnici S z d = 1, kde...průřezová plocha, S z 1...statický moment k ose z 1. Dále platí, že osa symetrie je současně hlavní osou setrvačnosti. Statický moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu S z = i y 1 c, i, kde i...plocha i-té stěny, y c,i...y-ová souřadnice středu i-té stěny. Tedy = = 6, mm. S z 1 ( ) ( ) 3 10

11 Souřadnice těžiště 4 6,00 10 d = = 5,0 mm. 3,40 10 Poznámka Záporná hodnota značí vzdálenost od osy z 1 vynášenou proti smyslu osy y. 3) Centrální osy setrvačnosti jsou dány následovně: osa y je totožná s osou symetrie, osa z je k ní kolmá a prochází těžištěm C g. Z pedagogických důvodů jejich polohu ověříme, a to pomocí deviačního momentu zavedeme tudíž hlavní kartézské souřadnice (tzn. osám y, z dáme orientaci), viz obr. Deviační moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( zb, i za, i )( yb, i ya, i ) D yz = i + zc, i yc, i, 1 kde i... plocha i-té stěny, z c,i, y c,i... souřadnice středu i-té stěny, z a,i, y a,i... souřadnice (zvoleného) počátku střednice i-té stěny, z b,i, y b,i... souřadnice (zbývajícího) konce střednice i-té stěny. 11

12 Tedy D yz ( )( ) = ( )( 5 5) ( )( 75 5) ( 5) = 0 1. ( 100)( ) + 4) Momenty setrvačnosti stanovíme pomocí diskrétních vztahů ( z ) b, i za, i I y = i + zc, i, 1 ( y ) b, i ya, i I z = i + yc, i, 1 kde i... plocha i-té stěny, z a,i, z b,i, z c,i... z-ové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny, y a,i, y b,i, y c,i... y-ové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny. Tedy ( ) ( ) ( ) I y = ( ) = 1,60 10 mm, 1 ( ) ( ) ( 5 5) I z = ( 75 5) ( 5) =,50 10 mm. 1 1