Česká zemědělská univerzita v Praze Technická fakulta Katedra fyziky

Transkript

1 Česká zemědělská univerzita v Praze Technická fakulta Katedra fyziky ZÁKLADY MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ ZEMĚDĚLSKÝCH MATERIÁLŮ A PRODUKTŮ (Studijní texty určené pro 1. ročník AF ČZU v Praze) doc. Ing. Martin Libra, CSc. RNDr. Eva Schürerová, CSc. 004

2 doc. Ing. Martin Libra, CSc., RNDr. Eva Schürerová, CSc. Recenzoval: doc. Ing. Eva Veselá, CSc. ISBN:

3 LABORATORNÍ ÚLOHY k předmětu FYZIKA PRO BIOLOGY v roce určené pro 1.ročník AF ČZU Praha ZÁKLADY MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ ZEMĚDĚLSKÝCH MATERIÁLŮ A PRODUKTŮ 1. Úvod Tento učební text je určen studentům Agronomické fakulty České zemědělské univerzity Praha jako studijní pomůcka k laboratornímu cvičení předmětu Fyzika pro biology. Jsou zde základní pokyny k organizaci cvičení a návody k jednotlivým laboratorním úlohám. Autoři vycházeli ze skript prof. Rudolfa Janála, DrSc. Měření fyzikálních parametrů zemědělských materiálů a produktů z r.001. Prof. Janál, DrSc. byl v minulosti garantem podobného předmětu Biofyzika na AF ČZU a mnoho dobrých, obecně platných zkušeností s laboratorní prací zapracoval do svých skript. Proto autoři některé části textu použili a děkují za svolení k jejich publikování. V předkládaných skriptech byly všechny laboratorní úlohy přepracovány, doplněny a aktualizovány s ohledem na současné možnosti výuky v laboratoři katedry fyziky. Bloky teorie k praktickým demonstracím byly vypracovány zcela nově a byly přidány úvodní kapitoly pojednávající o teorii chyb měření a dodatky ve formě tabulek. Úlohy jsou zaměřeny především na měření fyzikálních vlastností biologických materiálů (dřevo, listy, zemina, plody ovoce a zeleniny, zrniny, okopaniny, pícniny, vajíčka, chlorofyl, potravinářská barviva, mléko, smetana, sýry, masné výrobky, limonády, šťávy z ovoce a zeleniny, nápoje a jiné). Parametry biologických materiálů mají vždy určitý rozptyl na rozdíl od anorganických materiálů, které mohou být mnohem přesněji definovány. Proto při měření každého parametru je nutno uvažovat, že zemědělské materiály jsou: a) rozdílné dle odrůd nebo plemene b) nestálé v čase i místě c) závislé na způsobu "výroby" a technologii d) nehomogenní vnitřně i lokálně e) ovlivněny prostředím i člověkem U každého vzorku zemědělského materiálu měřeného v laboratoři je tedy nutno znát jeho původ i genezi, odběr a převoz, uložení a formu i dobu odběru, tzn. prostředí jeho tvorby. Bez těchto informací a znalostí vzorků je měření formální a proto nemůže být seriozně hodnoceno, neboť rozdílnost vzorků jednoho druhu je prostředím podmíněna. Proto je třeba, aby si studenti u většiny úloh přinesli vlastní vzorky listů, mléka, šťáv, nápojů, brambor a plodů, aby tyto vlivy ať pozitivní, nebo negativní, mohli sledovat. K měření každého parametru je volena určitá vhodná metoda, ale vždy je zatíženo chybou. Teorie metod měření, zpracování dat a chyb měření bude probrána na úvodním cvičení. Pro zvýšení přesnosti získaného výsledku lze například použít metodu opakovaných měření, měření několikrát opakovat a výsledky statisticky zpracovat, tzn. stanovit absolutní a relativní chybu a výsledek správně zapsat.

4 .1. Laboratorní řád. Organizace laboratorního cvičení 1) Každý student je povinen dodržovat ve fyzikální laboratoři předpisy zajišťující ochranu zdraví při práci, ochranu státního majetku a zásady protipožární ochrany. S těmito předpisy budou studenti seznámeni v úvodních teoretických cvičeních. ) Před nástupem do cvičení jsou studenti povinni laboratorní úlohu řádně prostudovat a vypracovat si písemnou přípravu podle požadavků, které jsou dále uvedeny a budou na úvodním cvičení vysvětleny. Nebudou-li studenti řádně připraveni na danou úlohu budou odkázáni k opakování cvičení v náhradním termínu. 3) Studenti jsou povinni přicházet do cvičení včas a k pracovnímu místu laboratorní úlohy si vzít pouze vyhotovenou přípravu a nejnutnější psací a rýsovací potřeby, kalkulačku. 4) Měření úloh provádějí studenti ve dvojicích, jen ve výjimečných případech sami. K měření si přinesou k jednotlivým úlohám vlastní vzorky (ovoce, zeleninu, brambor, vajíčko, listy, mléko, nápoje apod.) 5) V laboratoři studenti zaujmou místo pouze u úlohy dané jim harmonogramem, který přiřazuje úlohy podle kalendářních týdnů a je vyvěšen v laboratoři. Není dovoleno shlukovat se u úloh, manipulovat se zařízením mimo určenou úlohu, užívat přístroje pro jiné účely než je předepsáno v textu. 6) Před zahájením práce studenti překontrolují, zda u úlohy nechybí některé pomůcky a každou nesrovnalost ihned ohlásí pedagogickému dozoru. Za všechny pomůcky patřící k úloze ručí studenti laboratorní skupiny po celou dobu cvičení. Během cvičení nesmí studenti opouštět laboratoř bez souhlasu vyučujícího. 7) Každý student musí naměřit všechny úlohy programu s výjimkou těch, které připadnou na školou uznaný den volna. Neúčast na cvičení může být omluvena jen ve vážných případech. Zameškané laboratorní cvičení musí být vždy nahrazeno v termínu, který po dohodě stanoví učitel. Student musí přinést na náhradní cvičení písemnou přípravu s podpisem svého učitele, který docvičení úlohy povolil. 8) Se svěřeným majetkem je třeba zacházet šetrně, aby nedošlo k jeho poškození nesprávnou manipulací. Neznají-li studenti funkci některého zařízení, obrátí se na učitele. Dozoru v laboratoři je třeba hlásit každé poškození přístrojů a vybavení úlohy. 9) U úloh, v nichž se používá zdrojů elektrického napětí, jsou studenti povinni provést zapojení jednotlivých prvků obvodu podle schématu a dát si zapojení zkontrolovat učitelem, který sám připojí obvod ke zdroji. Studenti nesmí sami žádný obvod připojovat ke zdroji napětí a během měření rozpojovat obvod pod napětím. Po skončeném měření požádají studenti učitele o kontrolu obvodu a následné odpojení od zdroje, studenti nesmějí sami odpojovat elektrický obvod od zdroje. 10) Po skončeném měření studenti uklidí pracoviště a předloží zápis měření s vyplněnými naměřenými hodnotami (zapsanými perem nebo propisovací tužkou) pedagogickému dozoru k podpisu, který přitom provede kontrolu naměřených hodnot a zaznamená prezenci. Pro zpracování protokolu je platná pouze tato podepsaná příprava. 11) Vypracovaný protokol z laboratorního cvičení odevzdávají studenti nejpozději na následujícím laboratorním cvičení. Každý student vypracuje vlastní protokol. Na odevzdávané protokoly si musí každý student přinést papírové desky. 1) Odevzdané protokoly učitel prohlédne, opraví, ohodnotí a seznámí studenty s chybami a s hodnocením. 13) Studenti jsou povinni řídit se tímto laboratorním řádem a všemi dalšími pokyny, které dají učitelé vedoucí laboratorní cvičení.

5 Podmínky zápočtu: 1) Minimálně 75% účast na cvičeních v řádných termínech. ) Získat minimálně 30 bodů z odevzdaných protokolů laboratorních úloh a ze tří testů. 3) Mít naměřeny všechny laboratorní úlohy a odevzdány a uznány všechny protokoly. Doporučená literatura: Kolektiv katedry fyziky, Laboratorní cvičení z fyziky, ČZU, Praha, 1998 Roubík V., Sedláček J., Fyzika-příklady, ČZU, Praha, 001 Halliday D. a kol., Fyzika, VUTIUM, Brno, 001, ISBN Libra M. a kol., Fyzika v příkladech, R. Hájek, Ústí nad Labem, 003, ISBN Pokyny k přípravě a vypracování protokolu Protokol měřené úlohy se musí skládat z těchto částí: A) Domácí příprava B) Záznam naměřených hodnot C) Zpracování výsledků měření D) Závěr a zhodnocení A) Domácí příprava (obsahující dvě části) musí být vypracována na papíru formátu A4. Tato příprava je první částí protokolu a musí obsahovat: 1) Vyplněné razítko jako hlavička zpracovaného protokolu Česká zemědělská univerzita Katedra fyziky LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméno Fakulta / ročník Číslo kroužku Lab.skupina ÚLOHA č. NÁZEV Datum měření Datum odevzdání Hodnocení I. II. III. ) Úkoly ( podle zadání ze skript ) 3) Teoretické základy úlohy obsahující: a) definici zjišťované veličiny a její jednotku, b) stručné vystižení principu měřicí metody tj. fyzikální představy, ze které metoda vychází, c) výsledný vzorec, který bude použit k výpočty hledané veličiny, d) stručný postup práce, případně schéma zapojení (v případě úlohy z elektřiny). e) vztahy pro stanovení chyby výsledku B) Záznam naměřených hodnot Naměřené hodnoty je nutno zapisovat na volný list papíru formátu A4 opatřený malým razítkem PŘÍPRAVA ÚLOHY č. Jméno Datum

6 Pro zápis naměřených hodnot je třeba zde předem připravit : soupis měřených veličin potřebných do výpočtových vzorců tabulky pro zápis opakovaně měřených hodnot s nadpisem a hlavičkou Hodnoty měřených veličin je třeba vyplnit do připravených tabulek s označením veličin a jejich jednotek. Záznam musí také obsahovat největší přípustné chyby naměřených hodnot stanovené na základě údaje výrobce nebo odhadem, nejsou-li jiné podklady. Naměřené hodnoty zapisujeme přímo v jednotkách dané veličiny, nikoli v dílcích (u elektrických měřicích přístrojů s více rozsahy si při použití daného rozsahu hned spočítáme, jaké hodnotě měřené veličiny odpovídá jeden dílek). K údajům ručkových elektrických přístrojů je třeba uvést použité rozsahy a třídu přesnosti přístrojů, u digitálních elektrických přístrojů uvést údaje výrobce o chybě. Pečlivě čteme na stupnici přístrojů, odhadujeme i části dílků. Měření je třeba provádět velmi pečlivě, abychom dosáhli co největší přesnosti měření. Je-li to možné a účelné, měření opakujeme alespoň pětkrát či desetkrát. Při nulových metodách kontrolujeme nulu přístroje na začátku měření i po jeho skončení. Zásadně nikdy neprovádíme žádnou úpravu naměřených hodnot, odečítáme na tolik platných míst, jak dovoluje metoda měření. Měření doplníme podmínkami v laboratoři (tlak, teplota, vlhkost vzduchu) a zamyslíme se nad okolnostmi, které mohly nepříznivě ovlivnit výsledky měření. Ukončení měření potvrdí svým podpisem vyučující na malé razítko. Razítka jsou v laboratoři a současně na internetové síti na serveru fakulty. List s naměřenými a podepsanými hodnotami je nedílnou součástí protokolu a musí být tedy k protokolu připojen. C) Vypracování protokolu Teoretickou část protokolu je nutno dále doplnit oddílem "Přehled výsledků měření a jejich zpracování". Zde je třeba: uvést přehledně výsledky přímo měřených veličin s příslušnými chybami. Jsou-li opakovaně měřené hodnoty v tabulkách měření zapsané přehledně a úpravně, stačí uvést jejich průměry s příslušnými chybami. provést výpočty nepřímo měřených veličin, chyb (u závěrečných veličin je třeba uvést vzorce s dosazenými hodnotami v soustavě SI a potom teprve výsledek). provést požadované grafy s přehledným popisem (na mm-papíru nebo zpracované počítačem). D) Závěr Závěr musí být ve formě odpovědí na jednotlivé body úkolu. Jestliže bylo požadováno stanovit hodnotu fyzikální veličiny x, pak musí být uvedena její číselná hodnota, její chyba a jednotka v soustavě SI, tedy ve formě {x ± x} [x]. U veličin tabelovaných musí být výsledek měření porovnán s hodnotou tabulkovou. V závěru je by měla být také kriticky zhodnocena měřicí metoda a její přesnost.

7 .3 Chyby měření Měřením nemůžeme nikdy zjistit skutečnou (pravou) hodnotu x s měřené veličiny. To je způsobeno nedokonalostí metod měření, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměnnými podmínkami při měření. Záleží na okolnostech měření, jak se ke skutečné hodnotě veličiny přiblížíme. Výsledkem měření je hodnota x, která se od skutečné hodnoty x s liší a jejich rozdíl je chyba měření κ x κ x = x x s, (0.1) kterou nemůžeme nikdy přesně určit (vzhledem k neznalosti hodnoty x s ), pouze ji můžeme odhadnout. Chyba charakterizuje odchylku naměřené hodnoty veličiny od skutečné hodnoty a proto se nazývá absolutní chyba a je vyjádřena v jednotkách měřené veličiny. Přesnost naměřené hodnoty někdy však názorněji vyjadřuje relativní chyba definovaná vztahem κ x δ ( x) = (0.) x s a je možno ji vyjádřit v procentech. Chyba má dvě složky systematickou a náhodnou, které se liší svým původem. Chyby systematické Systematické chyby zkreslují při opakovaném měření konaném za stejných podmínek správnou hodnotu měřené veličiny stále stejným způsobem. Teoreticky by bylo možné je vyloučit, prakticky by to znamenalo je alespoň částečně ohodnotit pomocí přesnějších přístrojů nebo zavést korekci na zpřesnění měřicí metody. V praxi a zvláště v laboratorním cvičení je tento požadavek těžko uskutečnitelný a proto často provádíme odhad systematických chyb tak, že určujeme maximální chybu m x. Její význam je takový, že chyba, které se při měření skutečně dopouštíme je vždy menší nebo nanejvýš rovna chybě m x. Podle původu těchto chyb je třeba odlišit chyby způsobené nepřesností měřidel, chyby metody a chyby pozorovatele. Systematické chyby způsobené omezenou přesností měřidel Určení maximální chyby můžeme provést následujícím dvojím způsobem. Buď budeme vycházet z dokumentace výrobce a nejsou-li žádné podklady, rozhodneme podle možnosti odečítání hodnot na stupnici přístroje. To se týká zvláště jednoduchých měřidel. Pro některé sériově vyráběné přístroje výrobce udává největší přípustnou (maximální) chybu m x. Tím je zaručeno, že hodnota veličiny x naměřená přístrojem bude mít v celém jeho rozsahu chybu nanejvýš rovnou maximální chybě. Jestliže výrobce neudává informace o přesnosti měřidla, musíme sami odhadnout maximální chybu m x naměřené hodnoty. Obvykle lze chybu m x odhadnout tak, že ji položíme rovnu části nejmenšího dílku na stupnici přístroje, kterou jsme schopni ještě rozlišit. Zpravidla to bývá 1/ nejmenšího dílku. Tento způsob určení chyby souvisí s tím, že optimální hodnota nejmenšího dílku by měla být výrobcem stanovena tak, abychom mohli na stupnici odečítat hodnoty naměřené veličiny v souladu s přesností daného přístroje nebo měřidla. V tabulce (tab.0.1) jsou uvedeny hodnoty maximálních chyb pro nejčastěji používaná měřidla. Je třeba si také uvědomit, že někdy použitá metoda způsobuje, že není využita uvedená přesnost měřicích přístrojů. Např. jestliže přesné elektronické stopky ovládá pozorovatel pomocí páčkového spínače, v tom případě není chyba měřeného času dána maximální chybou stopek, ale reakční dobou pozorovatele (cca 0,3 s).

8 Tab.0.1 Hodnoty maximálních chyb pro nejčastěji používaná měřidla. Měřidlo Měřítko pásové Měřítko posuvné Mikrometr Váhy analytické Váhy laboratorní (podle typu) Stopky mechanické Stopky elektronické Teploměry Maximální chyba (0,5-1) mm (0,05 0,1) mm (0,005-0,01) mm (0,001-0,03) g (0,01 0,3) g (0,1-0,3) s (0,001-0,1) s Závisí na dělení stupnice a velikosti jednoho dílku, až (1 - ) násobek nejmenšího dílku Chyby náhodné Předpokládejme, že vliv systematických chyb byl korigován. Budeme-li provádět opakovaná měření téže veličiny za stejných podmínek, zjistíme, že výsledky jednotlivých měření se poněkud liší. To je způsobeno velkou řadou vlivů jednotlivě nepostižitelných. Jsou to prostorové fluktuace veličin, které měření provázejí jako je tlak, teplota, vlhkost, magnetické pole nebo např. malé variace mechanických částí experimentálního zařízení (např. tření) apod. Náhodnou chybu si můžeme obecně představit složenou z velkého počtu velmi malých, ojediněle nepozorovatelných, elementárních chyb. Zdroje těchto elementárních chyb nejsou pod naší kontrolou (vlivy nekontrolovatelné) a mají za následek vznik chyb, které sice nelze vyloučit, které však při velkém počtu opakovaných měření vykazují statistické zákonitosti a tyto zákonitosti můžeme použít k odhadu vlivu náhodných chyb na přesnost měření. Základní zákonitosti náhodných chyb u takovýchto souborů si přiblížíme následujícím příkladem. V laboratoři bylo provedeno 1000 měření délky tyčky z tvrdé gumy. Všechna měření byla provedena stejným mikrometrem v místnosti, ve které teplota nepravidelně kolísala v rozmezí (0 ± ) o C. Na mikrometru se daly spolehlivě odečítat hodnoty po 0,01mm. V souboru naměřených hodnot x i ( i =1,..1000) bylo celkem deset různých hodnot a to od 19,95 mm po 0,01 mm až do 0,04 mm. Číslo n i vyjadřující počet, kolikrát se některá z těchto hodnot vyskytuje se nazývá absolutní četnost této hodnoty. Získané četnosti spolu Tab.0. Rozdělení naměřených hodnot podle četností s odpovídajícími naměřenými hodnotami jsou uvedeny v tabulce (tab.0.) a také jsou graficky vyjádřeny na obr.0.1 jako svislé úsečky v závislosti na hodnotě x i. Koncovými body úseček v grafu se dá proložit křivka. Při počtu měření n (základní soubor) by rozdělení naměřených hodnot bylo dokonale symetrické a znázorňovala by jej symetrická Naměřená hodnota x i (mm) Absolutní četnost n i Relativní četnost 19, ,017 19, ,048 19, ,095 19, ,150 19, ,190 0, ,198 0, ,154 0,0 87 0,087 0, ,043 0, ,018

9 Obr.0.1 Normální Gaussovo rozdělení Obr.0. Normální rozdělení s různým rozptylem křivka zvonového tvaru (křivka v obr Gaussova křivka) vyjadřující normální Gaussovo rozdělení veličiny. Nejpravděpodobnější hodnota měřené veličiny by odpovídala maximu křivky. U souboru konečného počtu měření (výběrový soubor) můžeme mluvit pouze o nejpravděpodobnější hodnotě měřené veličiny, která se skutečné hodnotě nejvíce blíží, a tou je aritmetický průměr výběrového souboru (často pouze aritmetický průměr) n xi i= x = 1, (0.3) n kde x i jsou naměřené hodnoty a n počet měření. Jestliže zvětšujeme počet měření, hodnota aritmetického průměru se více blíží skutečné hodnotě veličiny x. Z tvaru křivky v grafu lze soudit na rozptyl naměřených hodnot x i a tedy na přesnost měření. Na obr.0. jsou znázorněny křivky k, jejichž vrcholy odpovídají sice stejné hodnotě (u výběrového souboru stejnému aritmetickému průměru), ale různé přesnosti měření (nejštíhlejší křivce k přísluší největší přesnost měření, křivce k 1 nejmenší přesnost). Mírou rozptylu je směrodatná odchylka σ základního souboru, odpovídající poloze inflexního bodu na Gaussově křivce (obr.0.1). Rozptyl hodnot výběrového souboru charakterizuje směrodatná odchylka výběrového souboru s x daná vztahem n ( xi x) i= 1 sx = n 1. (0.4) Protože opakovaná měření se vyhodnocují pomocí aritmetického průměru, používá se častěji směrodatná odchylka aritmetického průměru výběrového souboru s x (často pouze nazývaná směrodatná odchylka aritmetického průměru), pro kterou platí n ( xi x) sx i= 1 sx = =. (0.5) n n( n 1) Ke zpracování opakovaných měření můžeme s výhodou použít statistického režimu kapesní kalkulačky. Po vložení dat dostaneme jak aritmetický průměr (0.3), tak směrodatnou odchylku podle vztahu (0.4), jejíž označení závisí na typu kalkulačky. Tlačítko může být označeno symboly s nebo (příp. s ), zatímco symboly σ nebo σ (příp. s ) σ n 1 n 1 označují tlačítko dávající směrodatnou odchylku σ základního souboru podle vztahu n n

10 n ( xi x) σ = i= 1 n. (0.6) Na základě směrodatné odchylky je možno spočítat chybu x vymezující kolem aritmetického průměru interval spolehlivosti. Skutečná střední hodnota měřené veličiny leží s pravděpodobností P = 1 - α v intervalu x x; x + x, kde sx x = tα ( f ) sx = tα ( f ). (0.7) n t α ( f ) je koeficient Studentova rozdělení (Studentův koeficient - viz. tab. 0.3), α f = n - 1 n je zvolená hladina významnosti (riziko), je počet stupňů volnosti, je počet měření. Volíme-li α = 0,05, tedy P = 0,95, pak s pravděpodobností P = 1-α = 95% leží skutečná hodnota měřené veličiny v intervalu (x ± x). Pro biologické systémy je vhodné používat α = 0,05. Je-li počet měření n = 10, pak odečteme v tabulce koeficient t α (f) =,6. Výběr některých hodnot Studentových koeficientů je uveden v Tab.0.3. Tab.0.3 Vybrané hodnoty Studentových koeficientů α 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 n f t α (f),776,6,093,04,01,000 Postup při zpracování opakovaných měření na kalkulačce nebo na počítači: 1) nastavení statistického programu na kalkulačce či počítači a vložení naměřených dat, ) odečtení aritmetického průměru x, 3) odečtení směrodatné odchylky s x a výpočet směrodatné odchylky aritmetického s průměru s x =, n 4) volba hladiny významnosti, zjištění hodnoty Studentova koeficientu pro dané f = n 1 (viz tab. 0.3) a výpočet absolutní chyby x = tα ( f ) s, 5) vyjádření výsledku ve formě x = ( x ± x ) s jednotkou měřené veličiny. Absolutní chybu zaokrouhlíme na jedno nebo dvě platná místa a výsledek zaokrouhlíme na stejný řád jako absolutní chybu, 4) příp. výpočet relativní chyby δ(x) = x / x jako poměrného čísla nebo po vynásobení 100x vyjádřené v procentech. x Stanovení chyb při nepřímých metodách Cílem přímé metody bylo zjistit hodnotu jediné veličiny, měření se provádělo buď jednou nebo opakovaně. V případě nepřímých metod, kdy se stanovuje veličina y na základě vztahu, ve kterém vystupuje jedna nebo více přímo měřených veličin x 1 x n a konstant

11 C 1...C n tj. y = f ( x1...xn,c1...cn ), platí pro výpočet chyby (y) zákon hromadění chyb (někdy též zákon šíření chyb). Jestliže pro zjednodušení budeme předpokládat, že chyby konstant jsou zanedbatelné vzhledem ke známým chybám (x1)... (x n ) měřených veličin x 1...x n, má zákon hromadění chyb tvar y y y ( y) ( x1 ) ( x )... ( xn ) x1 x x = (0.8) n Pro účely laboratorního cvičení používáme jednodušší formu tohoto zákona ve tvaru y y y ( y) = ( x1) + ( x ) ( xn ) (0.9) x x x 1 Obecný vzorec (0.9) lze ve speciálních případech funkčních závislostí nahradit jednodušším výrazem pro výpočet chyby nepřímo měřené veličiny. 1. V případě funkce vyjádřené jako k-násobek (k je číselná konstanta) měřené veličiny x y = k x je chyba výsledné veličiny y = k x, (0.10) tedy k-násobek chyby x měřené veličiny.. V případě funkce vyjádřené jako součet nebo rozdíl měřených veličin x 1 a x y = x 1 ± x, je chyba y výsledné veličiny y = x + x (0.11) 3. V případě funkce vyjádřené jako n-tá mocnina měřené veličiny n y = k x ( k je číselná konstanta) ( y) je nejvhodnější vyjádřit relativní chybu δ ( y) = výsledné veličiny a platí vztah y δ ( y) = nδ ( x) n 1. (0.1) α β γ 4. V případě funkce vyjádřené jako součin mocnin měřených veličin y = k x x. x..., kde k, α, β, γ jsou reálné konstanty, je relativní chyba δ (y) výsledné veličiny určena relativními chybami jednotlivých měřených veličin x 1, x n podle vztahu δ y) = αδ x + βδ x + γδ x... (0.13) ( ) ( ) ( ). ( Podle (0.13) lze vyjádřit např. relativní chybu δ (y) funkce y = k x1 x (k je číselná konstanta) vztahem δ ( y) = δ x + δ x. (0.14) ( ) ( ) 1 6. Pro relativní chybu δ (y) funkce y = x 1 ± x, uvedené výše pod bodem. platí podle (0.11) a (0.13) x ± x x ± x ( ) + ( x ) ( 1 1 δ (y) = =. (0.15) 1 ) x x ± x.4 Funkční závislosti Při fyzikálních měřeních se často sledují závislosti dvou veličin. Příkladem mohou být biologické materiály, které nejsou stálé a vyvíjejí se v čase nebo v závislosti na okolních podmínkách a to i při skladování nebo zpracování. Je tedy sledovaná veličina y jak funkcí času tak místa (např. lokality, průběhu teploty, vlhkosti apod.), obecně funkcí proměnné x, 1 ± 1

12 tedy y = y(x). Je třeba změřit více uspořádaných dvojic (x i, y i ), kde i 5, aby bylo možno z nich dělat závislost a graficky ji znázorňovat. Při grafickém řešení proložíme množinu bodů přibližnou křivkou, aby se tato křivka co nejlépe přimykala k daným bodům (nad i pod křivkou by měl ležet přibližně stejný počet bodů). Regresní analýza hledá tuto závislost matematicky a s cílem najít správný tvar fyzikální závislosti těchto dvou veličin. K vyrovnání této závislosti slouží metoda nejmenších čtverců vycházející z podmínky, že součet čtverců odchylek nalezené závislosti od měřených hodnot je minimální. Je-li tato závislost v prvním přiblížení lineární, pak y = y o + kx, (0.16) kde k je směrnice této přímky. Platí y y y k = o =. x x x (0.17) V tomto případě mluvíme o lineární regresi, která určuje konstanty hledané přímky. Většina kalkulaček určených k vědeckým účelům má v sobě zabudovaný program pro zjištění konstant y 0 a k metodou nejmenších čtverců. Při ručním výpočtu lze použít pro stanovení základních konstant přímky jednodušší metodu skupinovou. Očekáváme-li závislost ve tvaru pouhé přímé úměrnosti y = k x (tedy přímky procházející počátkem), dává tato metoda pro směrnici vyrovnané přímky vztah k n i= 1 = n i= 1 y x i i o. (0.18) 3. Návody k laboratorním úlohám Úloha 1 Statistické testování hmotnosti zrn (např. zrna různých odrůd obilí) Úkol 1) Určete pro soubory zrn A a B sestávající se každý alespoň ze 30 vzorků průměrnou hmotnost jednoho zrna m a m a příslušnou směrodatnou odchylku s A a s B na počítači, A B Σ( mi mb ) Σ( mi mb ) kalkulačce nebo výpočtem dle vztahů sa = a sb = (1.1) n 1 n 1 ) Stanovte (pomocí vztahů 0.3, 0.7) nejpravděpodobnější hmotnost zrna a intervaly spolehlivosti pro 95% pravděpodobnost m A ± m A a m B ± m B. 3) Pro srovnání obou souborů vypočtěte dle vztahu (1.) testovací parametr t pro α=0,05, n=30, f=(n-1) a rozhodněte, zda je rozdíl mezi oběma soubory statisticky významný, tj. zda se jedná o dva soubory nebo o jeden. 4) Nakreslete histogram rozdělení četnosti všech měřených hodnot podle hmotnosti.

13 Obecná část Testování výsledků měření patří k základním postupům při zpracování měření. Zde je celá problematika zúžena na zjištění, zda dva měřené soubory A,B jsou totožné nebo ne. Výpočet průměrných hodnot včetně směrodatných odchylek obou souborů umožní vyhodnotit pomocí testovacího parametru t, zda je nebo není mezi soubory významný rozdíl. Princip rozhodování v tomto případě spočívá v porovnání vypočtené hodnoty testovacího parametru t s tabelovanou hodnotou t α (f). Metoda měření Na základě vypočtených aritmetických průměrů hmotností m, m A B obou souborů A,B a jejich směrodatných odchylek s A, s B lze dle vztahu (1.) vypočítat testovací parametr t t = s d s n A + B, (1.) kde d je rozdíl aritmetických průměrů hmotností obou souborů m. A m B Pro daný počet měření n plyne počet stupňů volnosti u dvou souborů f = (n-1) a k této hodnotě najdeme z tabulky pro zvolenou hladinu významnosti α = 0,05 příslušnou hodnotu t α (f). S touto hodnotou porovnáme vlastní testovací parametr t vypočtený dle vztahu (1.). Jeli statisticky významný rozdíl mezi oběma soubory A,B, pak pro námi vybranou hladinu významnosti α = 0,05 (tzn. 95% vzorků není součástí jednoho souboru) bude vypočtený testovací parametr t > t α (f). Není-li významný rozdíl mezi soubory, je parametr t < t α (f). Návod k měření 1) Odpočítejte stejný počet zrn (nejméně 30) jednoho i druhého souboru buď vlastního nebo dodaného dozorem a postupně je všechny zvažte. ) Vypočítejte u každého souboru aritmetický průměr m A a mb, dále směrodatnou odchylku s A a s B (dle 0.4) a podle vztahu (0.7) vypočítejte absolutní chyby měřených hodnot. 3) Vypočtené hodnoty aritmetických průměrů m A a mb a směrodatných odchylek obou souborů dosaďte do rovnice (1.) a porovnejte vypočtenou hodnotu testovacího parametru t s hodnotou Studentova koeficientu t α (f) z tabulky (tab.0.1). 4) Podle testovacího parametru zjistěte, zda jde o jeden nebo dva rozdílné soubory. 5) Nakreslete histogram rozdělení četnosti obou souborů dohromady. Interval mezi největší a nejmenší naměřenou hodnotou hmotnosti rozdělte nejméně na patnáct tříd a vyneste na horizontální osu. Na vertikální osu vyneste četnost v jednotlivých třídách. Přesnost výsledku Průměrné hodnoty hmotnosti zrn obou souborů jsou stanoveny i s absolutní chybou. S výsledky se nesmí manipulovat ani je upravovat, neboť pak se zkreslí závěry. Při větším počtu měření se anulují náhodné chyby tak, že se vypustí největší a nejmenší hodnota. Poznámka: Příklady průměrné hmotnosti vybraných zrn: Estica 51,0mg, Sitno 37,9mg, Plzeňský slad 40,0mg Spalda při vlhkosti 15% 41,6mg, při vlhkosti 45% 45,38 mg, při vlhkosti 51,4% 83,85 mg.

14 Úloha Měření ploch planimetrem (např. listů, honů, území) Úkol 1) Proveďte opakované měření (10x) známé plochy čtvrtkruhu planimetrem, určete průměrný počet dílků N o připadajících na jedno objetí a směrodatnou odchylku s ( N o ). ) Spočítejte plošný obsah použité známé pravidelné plochy podle geometrického vzorce. 3) Spočítejte převodní konstantu k planimetru a její absolutní a relativní chybu (k) a δ(k). 4) Z opakovaného měření planimetrem (alespoň 5x) stanovte průměrný počet dílků N na jedno objetí a odtud velikost S neznámé plochy (např. vymezeného lánu na mapce, plošného obsahu diagramu, plochy listu rostliny atd.) a její relativní chybu δ(s) a absolutní chybu (S). ( δ ( S) = δ ( N0 ) + δ ( N ) ) 5) Změřte informativně kontaktním měřítkem nebo mikrometrickým šroubem tloušťku listu d a současně ho na vážkách zvažte. Orientačně vypočítejte hustotu listu ρ. Obecná část Velikost plochy pravidelných rovinných obrazců se nejsnáze a nejpřesněji stanoví výpočtem podle geometrických vzorců na základě zjištěných rozměrů. Pro určení plochy nepravidelných obrazců lze použít metod založených na rozdělení obrazce na pravidelné útvary, jejichž plochu lze spočítat nebo odměřit na milimetrovém papíru. K určení rovinné plochy nepravidelných obrazců slouží také geometrická metoda Simpsonova. K snadnému určení rovinné plochy nepravidelných obrazců středních rozměrů se s výhodou používá zařízení zvané polární planimetr. Obr..1 Schéma polárního planimetru. Polární planimetr se skládá (viz obr..1) ze dvou ramen A a C vzájemně spojených kloubem K. Polární rameno A je na jednom konci opatřené kovovým těžítkem s jehlovým hrotem (pólem) P, který se zabodne ve vhodném místě do podložky poblíž měřeného obrazce. Druhý konec tohoto ramene je opatřen kulovým čepem a zasadí se do otvoru pojízdného

15 ramene, čímž vznikne kloubové spojení K obou ramen. Pojízdné rameno C má na jednom konci hrot H (příp. lupu s vyznačeným kroužkem), jímž se objíždí měřená plocha. Na druhém konci tohoto ramena je umístěno posuvné měřicí zařízení. Jeho hlavní částí je integrační kolečko I s bubínkem B opatřeným stupnicí dělenou na sto dílků. Jestliže objíždíme měřenou plochu S hrotem H, otáčí se kolečko I úměrně složce pohybu hrotu kolmého k pojízdnému rameni. Pohybová složka hrotu rovnoběžná s pojízdným ramenem působí jen klouzání kolečka bez jeho otáčení. Z konstrukce planimetru je zřejmé, že při objíždění měřené plochy S se pohybuje kloub K po oblouku kružnice. Z teorie přístroje za této podmínky vychází, že velikost plochy objeté hrotem H je úměrná celkovému otočení ϕ kolečka I, tedy S ϕ. (.1) Planimetr je možno použít i k měření větších ploch, kdy pól P je nutné umístit uvnitř měřené plochy. Pak pro stanovení její velikosti je třeba připojit k údaji plynoucímu z otočení kolečka ještě konstantu udanou výrobcem. Metoda měření Podle rovnice (.1) závisí velikost měřené rovinné plochy na otočení kolečka ϕ. To se zjišťuje pomocí čtyř dekadických číslic, které určují okamžité nastavení kolečka. První číslice vyjadřující celé otočky kolečka se odečítá na vodorovné kruhové stupnici V. Protože celá otočka kolečka odpovídá sto dílkům vyznačeným na bubínku B, jsou druhá a třetí číslice dány dvojčíslím odpovídajícím těmto dílkům. Pomocí odečtu na noniu N je možno zjistit čtvrtou číslici, což je příslušná část nejmenšího dílku. Tak získáme čtyřmístné číslo. Potom je otočení kolečka ϕ vyjádřeno počtem dílků N odvalených na stupnici bubínku. Měřená plocha je podle (.1) dána S = k N, (.3) a k jejímu určení je tedy třeba znát kromě počtu odvalených dílků N ještě hodnotu příslušné konstanty k. Tu je sice možno zjistit podle nastavení měřícího zařízení na rameni B, ale v laboratorních podmínkách zvolíme takovou metodu (srovnávací), že budeme objíždět plochu známé velikosti S 0 a ze známého počtu odvalených dílků N o spočítáme konstantu k podle vztahu k = S o /N o. (.4) Návod k měření a) Postup práce při měření planimetrem: 1) Papír s narýsovanou neznámou i pravidelnou (čtvrtkruh) plochou připevníme na rýsovací prkno. Velikost pravidelné plochy S o spočítáme. ) Měřicí zařízení sestavíme dle obrázku č.1, hrot H umístíme na určité místo obvodu známé plochy a zaznamenáme čtyřmístné číslo určující nastavení planimetru (údaj x 0 ). 3) Objedeme hrotem obvod plochy (ve smyslu postupu hodinových ručiček) a zaznamenáme další údaj x 1 planimetru. 4) Objíždění desetkrát opakujeme a zaznamenáváme údaje x i. 5) Po zápisu do tabulky spočítáme rozdíly x i+1 x i, které dále statisticky zpracujeme. Vypočítáme jejich střední hodnotu N, směrodatnou odchylku s N ) a její chybu N o. o ( o

16 6) Ze vztahu (.4) spočítáme převodní konstantu k planimetru a její chybu k. 7) Metodu opakovaného měření použijeme i při objíždění neznámé plochy, čímž získáme hodnoty y i a jejich rozdíly y i+1 - y i z nichž spočítáme střední hodnotu N a její chybu N. 8) Velikost měřené plochy spočítáme ze vztahu (.3) a určíme její chybu. 9) Kontaktním měřením stanovíme tloušťku d měřeného listu, vážením stanovíme jeho hmotnost m a odtud orientačně vypočítáme i jeho hustotu ρ = m/s.d (.5) Doporučené tabulky Hodnoty naměřené planimetrem je vhodné uspořádat do následujících tabulek č. měř. měření známé plochy měření neznámé plochy i x i N 0 = x i+1 - x i y i n = y i+1 - y i 0 1 N = N = 0 s ( N o ) = s (N ) = 0 N = N = δ = δn = N 0 Přesnost výsledku Absolutní chybu neznámé plochy stanovíme pomocí vztahů pro metodu opakovaných měření. N o δ ( k) = δ ( N o ) =, δ ( S) = δ ( k) + δ ( N) N o Poznámka: 1) Listy některých rostlin rychle vysýchají a snižují svoji plochu denně o % podle teploty a vlhkosti místnosti a během 3-4 dnů uschnou a rozpadnou se, listy jiných rostlin vysýchají velmi pomalu o % za -4 týdny a uschnou případně až po cca měsících. ) Na staletém buku je cca listů, které vyrobí za den 1 kg sacharidů a 9000 l kyslíku. Člověk spotřebuje za 1 h cca 30 l kyslíku, auto 500 krát více, tj.cca l. 3) Listy na jednom stromu se velikostně liší až o 400 % v závislosti na vývojovém stadiu a na přírodních podmínkách (sluneční svit, vlhkost a další). Listy různých stromů a rostlin se liší svými rozměry i několika násobně, ale naše vzorky mají tloušťku d (cca 0,5 mm) a hustotu cca ρ=m/v = m/s.d cca 800 kg.m -3.

17 Úloha 3 Stanovení modulu pružnosti (např.dřeva, stébla apod.) Úkol 1) Změřte metodou opakovaných měření délku hrany vzorku dřeva a stanovte její velikost a a absolutní chybu a. Meření opakujte 10x na různých místech hranolku. Změřte parametry z, u a odhadněte jejich chyby z, u. ) Pro dva druhy dřeva stanovte modul pružnosti E v tahu včetně absolutní chyby ( E ± E). Vyhodnocení je možno provést na počítači v laboratoři, program je zde nainstalován. 3) Srovnejte hodnoty naměřených modulů podle druhů dřeva s tabulkami. 4) Měříte-li vlhký vzorek, pak stanovte jeho vlhkost (m tzv. suchého vzorku je uvedena). 5) Měřený vzorek dřeva zvažte, změřte jeho délku l a vypočítejte jeho hustotu ρ=m.l -1.a -. 6) Pro obě tyče vyneste grafickou závislost průhybu tyče na hmotnosti závaží. Obecná část Youngův modul pružnosti v tahu E je poměr normálového napětí v tahu σ k poměrnému prodloužení ε : σ F / S [ ] Pa kg.m 1 E = = E = =. s (3.1) ε l / l a je materiálovou konstantou při elastických deformacích. Metoda měření Při ohýbání tyče se vrstvy na jedné straně stlačují a na druhé straně natahují. Pro průhyb tyče y spočívající na dvou podpěrách při symetrickém zatěžování silou F=mg na obou koncích v uspořádání podle obr.3.1 platí y = F z u / 8 J E. Pro postupné zatěžování a po zu gσm úpravě dostaneme vztah pro modul pružnosti E =, (3.) 8 JΣy kde J = a 4 /1 je konstanta pro daný hranol. Tyč ze dřeva (smrk, dub, buk, jedle, topol, olše a jiné) je upevněna dle obr.3.1. Návod k měření 1) Délku hrany tyče a měříme metodou opakovaných měření (měříme 10x na různých místech). Stanovíme průměrnou hodnotu, směrodatnou odchylku, absolutní a relativní chybu pro α = 0,05. ) Změříme délky z, u a odhadneme chyby. jejich Obr.3.1 Uspořádání při stanovení modulu pružnosti ohybem tyče. 3) Vzorek zasuneme do měřicího zařízení a nakreslíme si směr letokruhů, neboť získané hodnoty jsou závislé na struktuře dřeva. 4) Postupně zatěžujeme a odlehčujeme 5x cca po kg (hmotnost závaží m je udána i s absolutní chybou), měříme výchylku y a zapisujeme do tabulky. Ke zpracování dat

18 využijeme program na počítači, nebo stanovíme modul pružnosti podle vztahu (3.). Výsledek zapíšeme ve tvaru (E ± E). 5) Měření opakujeme s dalšími vzorky. 6) Každý vzorek dřeva zvážíme. (Pozor, nezaměnit hmotnost vzorku m v a hmotnost závaží m.) 7) Změříte-li délku vzorku dřeva l, můžete z hodnot S=a, m v, l orientačně vypočítat hustotu daného vzorku dřeva ρ = m v / S l. Doporučené tabulky Naměřené hodnoty uspořádejte do následujících tabulek. V nadpisu je třeba u každé veličiny uvést i příslušnou jednotku případně řád. a) měření hrany a vzorků Č. měř. Vzorek č1 Vzorek č i a 1 a ā 1 = ā = s ā1 = s ā = a 1 = a = δ(a 1 ) = δ(a ) = b) parametry zatěžovacího zařízení u u δ(u) z z δ(z) c) měření průhybu i m i y (zatěžování) y (odtěžování) Přesnost výsledku Relativní chyba pro každý vzorek se vypočte ze vztahu δ(e) = δ(z) + δ(u) + δ(σm i ) + 4δ(a) + δ(σy i ). (3.3) Předpokládejte δ ( Σy) = 0, 05, δ ( Σm) = 0, 0. V závěru uveďte natočení hranolu a směr vláken ve vzorku vzhledem ke směru působící síly, neboť hodnota E velmi závisí na směru vláken a může nabývat hodnot ( ).10 8 Pa. Poznámky: Vlhký vzorek dřeva za 4 h ve vodě zvětší svou hmotnost na dvojnásobek, za 30 minut vyschne na cca 70%, za 1h na cca 6% a za den na cca 16 % původní hodnoty (závisí na podmínkách). Pevnost vzorku se mění s vlhkostí. Hookeův zákon platí jen pro elastickou deformaci (lineární závislost mezi napětím v tahu a relativním prodloužením). Kost je orgán, který na 1 mm plochy unese zatížení 10 kg (tj. tíhová síla cca 100 N), tzn. pevnost vůči tlaku 100 MPa 1000 krát větší tlak než je atmosférický.

19 Úloha 4 Měření vlhkosti a hmotnosti při sušení (zrno, zemina, sypké materiály) Úkol 1) Seznamte se (dle přiloženého návodu) s činností analyzátoru vlhkosti MA 30 firmy Sartorius, který umožňuje měřit jakýkoliv sypký vzorek, zeminu, zrna atd., který se nespéká. Přivolejte učitele, který přístroj spustí. Pozor na volbu programu!!! ) Změřte závislost hmotnosti na čase pro dva vzorky při teplotě 130 C až do úplného vysušení a vyneste graficky na milimetrový papír. 3) Stanovte pro oba vzorky původní vlhkost ϕ = m m vzorku a m k je konečná hmotnost vysušeného vzorku. p m p k, kde m p je počáteční hmotnost Obecná část Uvedený analyzátor umožňuje průběžně sledovat jak hmotnost tak vlhkost vzorků různých materiálů při zvolené teplotě sušení dle předem zvoleného programu analyzátoru. Všechny živé systémy jsou složeny z velké části z vody. Obsah vody kolísá u každého materiálu v závislosti na průběhu růstu, skladování, prostředí apod. a tím určuje jeho vlastnosti. Pro další skladování nebo výkup zemědělského materiálu je tato vlhkost rozhodující a znalost její hodnoty je bezpodmínečně nutná. Metoda měření Voda se teplem odpařuje a materiál se vysouší. Přístroj automaticky udržuje nastavenou teplotu měří kontinuálně hmotnost vzorku. Odečítáme-li pravidelně po určitých časových intervalech hodnoty, můžeme je poté zpracovat a graficky vynést. Časové intervaly volíme t = 1 min. Návod k měření 1) Přístroj se zapíná a vypíná tlačítkem ON/OFF a rozsvítí se veškeré segmenty LCD displeje. Proběhne automatický test a po něm přejde automaticky do módu měření s displejem podle programu výrobce s nadpisem TAR. Návod je u přístroje přiložen. ) Do držáku položíme prázdnou misku z alobalu a po stisknutí tlačítka ENTER se objeví údaj 0,000 g. Když ne, pak vytárujeme tlačítkem CF (objeví se znovu TAR) a stiskneme znovu ENTER. 3) Do misky vložte opatrně a rovnoměrně vzorek a po uzavření víka se automaticky spustí sušící proces a běží čas měření (sušení). Indikace je zvuková i optická na displeji se objeví v pravém rohu displeje. Pokud běží program manuální, odstartujeme sušení tlačítkem ENTER. Pozor! Analyzátor lze spustit jedině při správném vytárování a při hmotnosti m > 96 mg a spuštění víka. 4) Proces sušení průběžně kontrolujeme na displeji podle navolení tlačítkem MODE: * 0-100% - procenta vypařené vody dle vztahu (m p -m k ).100/m p * 100-0% - sušina dle vztahu m k..100/m p (m p je počáteční a m k je konečná hmotnost) * g - hmotnost 5) Proces sušení lze zastavit tlačítkem CF nebo zdvihnutím víka (pozor - je horké). Pokud sušení doběhne vymezený čas dle nastavení, nebo se hmotnost ustálí u automatického sušení, zobrazí se END s výslednou hodnotou zvolené veličiny (po ustálení nejde volit program, jedině vynulovat tlačítkem CF a začít měření znovu). 6) Hodnoty hmotnosti v závislosti na času sušení (po dobu 0 minut) zaznamenejte každou minutu. Vyneste grafy m(t) pro oba vzorky.

20 Přesnost měření Přesnost je dána přesností přístroje. U této úlohy chybu měření nestanovujte. Poznámka 1) Jediný vzrostlý strom vypařuje až 370 l vody denně a nahradí hodinovou práci dobrého klimatizačního zařízení. ) Měrné skupenské teplo vypařování vody je,5 MJ/kg, tzn. 1 kg vypařené vody z těla odebere teplo, čímž se tělo o hmotnosti cca 100 kg ochladí asi o 7 o C. Úloha 5 Stanovení měrné tepelné kapacity látek směšovací kalorimetrem (plody ovoce nebo zeleniny, vejce aj.) Úkol 1) Proveďte měření pro stanovení tepelné kapacity kalorimetru K a po poté ji spočítejte. ) Stanovte měrnou tepelnou kapacitu c vzorku a její absolutní chybu c. 3) Výslednou hodnotu c porovnejte s tabulkovou hodnotou a vysvětlete případný nesouhlas. Obecná část Jestliže je třeba dodat látce hmotnosti m teplo dq ke zvýšení teploty o dt, je měrná tepelná kapacita c látky dána vztahem c = dq m dt [ c ] = J.kg -1.K -1. (5.1) Protože měrná tepelná kapacita závisí na teplotě, střední hodnota v teplotním intervalu t je Q c =, kde Q je teplo potřebné ke zvýšení teploty látky hmotnosti m o t. m t K ohřátí kalorimetru o teplotní rozdíl t je třeba dodat teplo Q = K t. Veličinu K definovanou vztahem Q K = [K] = J.K -1 (5.) t nazýváme tepelná kapacita kalorimetru a představuje teplo, které spotřebuje kalorimetr k ohřátí o 1 o C. Daná úloha vychází z kalorimetrické rovnice, která je vyjádřením zákona zachování energie. V kalorimetru je kapalina známé teploty t 1, hmotnosti m 1, a měrné tepelné kapacity c 1 (známé z tabulek). Jestliže do kalorimetru přidáme druhou látku známé teploty t > t 1, hmotnosti m a měrné tepelné kapacity c, pak ohřeje nejen kapalinu v něm obsaženou, ale i samotný kalorimetr, jehož tepelna kapacita je K. Teplota v kalorimetru se ustálí na hodnotě t a za předpokladu vyloučení tepelných ztrát musí platit následující tepelná bilance: teplo Q předané teplejší látkou je rovno teplu Q 1 přijatému chladnější látkou a nádobou (kalorimetrem), v níž k výměně tepla dochází. Matematicky to můžeme vyjádřit rovnicí m c ( t - t ) = m 1 c 1 ( t - t 1 ) + K ( t - t 1 ) (5.3)