4. LU rozklad a jeho numerická analýza

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. LU rozklad a jeho numerická analýza"

Transkript

1 4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října

2 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav lineárních algebraických rovnic Moderní algoritmy pro lineární systémy s řídkou maticí vycházejí z Gaussovy eliminace, teorie grafů a kombinatoriky, a jsou postaveny na jemných heuristikách omezujících zaplnění s využitím teorie citlivosti a numerické stability Historický úvod a souvislosti skripta 3

3 Maticový popis Gaussovy eliminace Eliminační matice Uvažujme čtvercovou n n matici M k následující struktury M k = 1 1 m k+1,k 1 m n,k 1, m k = 0 0 m k+1,k m n,k Platí M k = I + m k e T k, Není těžké se přesvědčit (cvičení), že M 1 k = I m k e T k 4

4 Maticový popis Gaussovy eliminace Součin eliminačních matic Uvažujme dále dolní trojúhelníkovou matici L, Ve cvičení ukážeme, že platí Schematicky znázorněno L M 1 M 2 M 3 M n 1 n 1 L = I + m k e T k k=1 M 1 M 2 M 3 M n 1 L = 5

5 Soustava lineárních rovnic Předpoklad proveditelnosti Gaussovy eliminace Uvažujme nyní soustavu lineárních algebraických rovnic s regulární maticí A Ax = b, A C n n, b C n Budeme nejprve předpokládat, že Gaussovu eliminaci lze provést (prvky, kterými dělíme, jsou různé od nuly) 7

6 Gaussova eliminace První krok Od i-tého řádku odečteme (a i,1 /a 1,1 ) násobek prvního řádku, i = 2,, n Dostaneme tak matici A (1), M 1 1 = a 1,1 a 1,2 a 1,n 0 a (1) A A (1) 2,2 a (1) 2,n 0 a (1) n,2 a (1) n,n 1 a 2,1 /a 1,1 1 a 3,1 /a 1,1 1 a n,1 /a 1,1 1, m 1 = M 1 1 A, 0 a 2,1 /a 1,1 a 3,1 /a 1,1 a n,1 /a 1,1 8

7 Gaussova eliminace První krok - popis Platí M 1 1 = I m 1 e T 1, m 1 0 a 2,1 /a 1,1 a 3,1 /a 1,1 a n,1 /a 1,1 Prvkům a i,1 /a 1,1 budeme říkat násobitelé Současně s A modifikujeme i pravou stranu soustavy, tedy b b (1) M 1 1 b 9

8 Gaussova eliminace Druhý krok V druhém kroku eliminujeme poddiagonální prvky druhého sloupce matice A (1) užitím druhého řádku této matice Dostaneme matici A (2) M2 1 A(1), kde M2 1 = I m 2 e T M2 1 = a (1), m 2 3,2 /a(1) 2,2 1 a (1) a (1) n,2 /a(1) 2,2 1 3,2 /a(1) 2,2 a (1) n,2 /a(1) 2,2 10

9 Gaussova eliminace Po n 1 krocích Po n 1 krocích dostaneme horní trojúhelníkovou matici U A (n 1) = Mn (Mn 2( (M2 (M1 }{{ A )) )) } =A }{{ (1) } =A (2) Zavedeme-li označení A (0) A, platí U = a (0) 1,1 a (0) 1,2 a (0) 1,3 a (0) 1,n a (1) 2,2 a (1) 2,3 a (1) 2,n a (2) 3,3 a (2) 3,n a (n 1) n,n 11

10 Gaussova eliminace a LU rozklad A = (M 1 M 2 M n 2 M n 1 ) U LU, kde L je dolní trojúhelníková matice s jednotkovou diagonálou 1 a (0) 2,1 /a(0) 1,1 1 a (0) 3,1 /a(0) 1,1 a (1) 3,2 /a(1) 2,2 1 L = a (0) 4,1 /a(0) 1,1 a (1) 4,2 /a(1) 2,2 a (2) 4,3 /a(2) 3,3 1 a (0) n,1 /a(0) 1,1 a (1) n,2 /a(1) 2,2 a (2) n,3 /a(2) 3,3 a (n 2) n,n 1 /a(n 2) n 1,n

11 LU rozklad a řešení Ax = b Nechť A C n n je regulární matice Rozklad tvaru A = LU, kde L je dolní trojúhelníková s jednotkovou diagonálou a U je horní trojúhelníková matice, nazveme LU rozkladem matice A Ax = b vyřešíme pomocí LU rozkladu ve dvou krocích 1 Přímý chod: Implicitní násobení Ax = b maticí L 1, Ax = b L 1 Ax = L 1 b Ux = b (n 1) 2 Zpětný chod: Řešení soustavy Ux = b (n 1) s horní trojúhelníkovou maticí U 13

12 Přímý chod Gaussovy eliminace Přímý chod Ax = b L 1 Ax = L 1 b Ux = b (n 1) input A (0) := A = [a i,j ], b (0) := b = [β 1,, β n ] T for k = 1 : n 1 do for i = k + 1 : n do m i,k := a(k 1) i,k a (k 1) k,k for j = k + 1 : n do a (k) i,j := a(k 1) i,j m i,k a (k 1) k,j end for β (k) := β (k 1) i end for end for i m i,k β (k 1) k 14

13 Zpětný chod Gaussovy eliminace Zpětný chod Řešení soustavy Ux = b (n 1) s horní trojúhelníkovou maticí U = A (n 1) input A (n 1), b (n 1) ξ n := β n (n 1) /a (n 1) n,n for i = n 1 : 1 : 1 do ξ i := β (n 1) i for j = i + 1 : n do ξ i := ξ i a (i 1) i,j ξ j end for ξ i := ξ i /a (i 1) i,i end for 15

14 Praktická realizace Přepis prvků matice Prvky A se fyzicky přepisují nově spočtenými prvky Po výpočtu: A U L Nalezli jsme rozklad matice A ve tvaru A = LU, a původní problém LUx = b je možné formulovat jako problém řešení dvou trojúhelníkových soustav L(Ux) = b, Ux = L 1 b, přičemž řešení první soustavy L 1 b = b (n 1) je vypočteno v průběhu vytvoření LU rozkladu 16

15 Gaussova eliminace s částečnou pivotací Silná regularita V předchozím předpoklad a (k 1) k,k 0 pro k = 1,, n 1 Věta: Proveditelnost Gaussovy eliminace Podmínka a (k 1) k,k 0, k = 1,, n 1 je splněna právě tehdy, je-li matice A silně regulární, tj pokud platí a 1,1 a 1,k det 0, k = 1, n a k,1 a k,k (všechny hlavní minory jsou nenulové) 18

16 Věta o proveditelnosti Gaussovy eliminace Důkaz Označme a 1,1 a 1,k à k a k,1 a k,k k-tou hlavní submatici matice A Tvrzení platí pro Ã1 Nechť platí pro Ãk, k < n Vzhledem k tomu, že ve výše popsaném LU rozkladu neprovádíme nic jiného než lineární kombinace řádků (či sloupců) matice, a vzhledem k tomu, že dané operace nemění hodnost žádné z upravovaných matic, s použitím indukčního předpokladu, hlavní submatice Ãk+1 je singulární tehdy a jen tehdy, je-li a (k) k+1,k+1 = 0 19

17 Prostá Gaussova eliminace je obecně numericky nestabilní Předpoklad silné regularity nemusí být splněn, příklad: [ ] Předpoklad silné regularity nedojde k dělení nulou Chceme zabránit nejen dělení nulou, ale i vzniku mezivýsledků s podstatně většími číselnými hodnotami, než jsou číselné hodnoty vstupních dat a hledaného výsledku Mezivýsledky s velkou absolutní hodnotou + výpočet obsahuje operaci odečítání čísel stejného znaménka s velkou pravděpodobností dojde při výpočtu k významné ztrátě počtu platných cifer výsledku Ztráta informace vede k nestabilitě algoritmu Kde mohou v algoritmu vznikat velká čísla? 20

18 Výpočetní operace - jádro Gaussovy eliminace Kde mohou v algoritmu vznikat velká čísla? Jádrem Gaussovy eliminace je následující výpočetní operace m i,k = a(k 1) i,k a (k 1) k,k, a (k) i,j = a(k 1) i,j kde i, j {k + 1,, n}, k = 1,, n 1 m i,k a (k 1) k,j, Je-li dělitel a (k 1) k,k výrazně menší v porovnání s čitateli a (k 1) i,k, potom je m i,k v absolutní hodnotě výrazně větší než 1 Může se pak např stát, že m i,k a (k 1) a (k 1), a tedy k,j i,j a (k) i,j a (k 1) i,j V praxi je třeba řešit soustavy s obecnou regulární maticí bez předpokladu silné regularity 21

19 Jak omezit vliv zaokrouhlovacích chyb? Věta Ke každé regulární A existuje permutační matice P taková, že P A je silně regulární Matice P není obecně určena jednoznačně Naučíme se zkonstruovat permutační matici P zajišťující nejen silnou regularitu P A, ale i zlepšení numerické stability Při řešení soustavy rovnic nezáleží na tom, v jakém pořadí jsou rovnice uspořádány; změna pořadí rovnic vede matematicky (v přesné aritmetice) ke stejnému řešení soustavy Ax = b Numericky může vést k omezení hodnot mezivýsledků, k omezení vlivu zaokrouhlovacích chyb, ke zpřesnění výpočtu Snaha, aby m i,k v absolutní hodnotě co nejmenší, m i,k = a(k 1) i,k a (k 1) k,k 22

20 Gaussova eliminace s částečnou pivotací Strategie Najdeme index l takový, aby = max a (k 1) l,k a (k 1) i=k,,n i,k Vzájemně zaměníme k-tý a l-tý řádek v matici A (k 1) a pokračujeme standardním postupem Stejným způsobem ovšem musíme prohodit řádky ve vznikající matici L, do níž ukládáme jednotlivé násobitele Výběr maximálního prvku ve sloupci všechny násobitelé v absolutní hodnotě menší nebo rovny jedné Díky tomuto výběru omezujeme vliv zaokrouhlovacích chyb na proces Gaussovy eliminace v konečné aritmetice 23

21 Proveditelnost Gaussovy eliminace s částečnou pivotací Při částečné pivotaci je splněn předpoklad nenulovosti pivota Pokud by byly všechny prvky a (k 1) i,k nulové, 0 A (k), potom by byl k-tý sloupec částečně eliminované matice lineární kombinací předchozích sloupců A singulární Gaussova eliminace s částečnou pivotací je tedy proveditelná pro libovolnou regulární matici A 24

22 Gaussova eliminace s částečnou pivotací Maticový zápis Věta Ke každé regulární A existuje permutační matice P taková, že P A je silně regulární Matice P není obecně určena jednoznačně Pro dokončení důkazu věty stačí ukázat, že Gaussovu eliminaci s částečnou pivotací aplikovanou na A můžeme interpretovat jako prostou Gaussovu eliminaci aplikovanou na matici P A Maticí P k budeme značit permutační matici, která v k-tém kroku eliminace realizuje permutaci k-tého a l-tého řádku Celý proces eliminace poddiagonálních prvků lze zapsat ( ) U Mn 1 1 P n 1 (M2 1 (P 2(M1 1 (P 1A)))) 25

23 Gaussova eliminace s částečnou pivotací Maticový zápis ( ) U Mn 1 1 P n 1 (M2 1 (P 2(M1 1 (P 1A)))) Řešení soustavy Ax = b pak dostaneme vyřešením úlohy ( ) Ux = Mn 1 1 P n 1 (M2 1 (P 2(M1 1 (P 1b)))), kde U je horní trojúhelníková matice Uvědomme si, že matice M 1 n 1 P n 1 M 1 2 P 2M 1 1 P 1, která převede matici A na horní trojúhelníkový tvar není obecně dolní trojúhelníková Lze Gaussovu eliminaci s částečným výběrem pivota popsat jako LU rozklad? 26

24 Struktura matic P t Mk 1 P t, t > k Uvažujme M k a nechť k < t P t Mk 1 zamění příslušné řádky dolní trojúhelníkové matice Mk 1 a tím naruší její dolní trojúhelníkovou strukturu Vynásobení stejnou permutační maticí zprava (připomeňme, že t > k) zamění příslušné sloupce tak, že obnoví jednotkovou diagonálu Matice P t M 1 k P t, t > k má stejnou nenulovou strukturu jako M 1 k! Zápis prvního kroku P 2 M 1 1 P 1A = (P 2 M 1 1 P 2)P 2 P 1 A 27

25 Oddělení eliminačních a permutačních matic Analogickým postupem můžeme přepsat kde U = M 1 ( = M 1 n 1 n 1 P n 1M 1 M 1 n 2 n 2 P n 2 P 2 M1 1 P 1A ) 1 M 1 (P n 1 P n 2 P 2 P 1 ) A, M n 1 1 = Mn 1 1 M n 2 1 = P n 1 Mn 2 1 n 1 M 1 1 = (P n 1 P n 2 P 3 P 2 ) M1 1 (P 2 P 3 P n 2 P n 1 ) Matice A je nejprve permutována, poté eliminována Označme L 1 = M n 1 M n 2 M 1, P = P n 1 P n 2 P 2 P 1 28

26 Zápis eliminace s částečnou pivotací jako LU rozklad Potom platí U = L 1 P A, neboli LU = P A je zápis eliminace s částečnou pivotací jako LU rozklad Z konstrukce daný rozklad vždy existuje; pro libovolnou regulární matici A je tedy matice P A silně regulární Matici P nelze určit apriori (předem), vzniká postupně při výběru jednotlivých pivotů Díky výběru pivota prvky L jsou 1 Věta Gaussovu eliminaci s částečnou pivotací lze reprezentovat pomocí vztahu P A = LU Jinak řečeno, na Gaussovu eliminaci s částečnou pivotací lze nahlížet jako na Gaussovu eliminaci bez pivotace aplikovanou na permutovanou matici P A 29

27 Citlivost Ax = b na změny vstupních dat Data A, b určující systém lineárních rovnic Ax = b jsou obvykle zatížena nepřesnostmi různého původu Prvky A lze např v některých případech interpretovat jako hodnoty spojené s popisem modelu a prvky pravé strany jako hodnoty spojené s pozorováním V měřených datech chyby je přirozené zkoumat vliv malých změn vstupních dat (malých perturbací dat) na řešení x Nechť b označuje malou změnu pravé strany a nechť x + x je řešením systému s perturbovanou pravou stranou A(x + x) = b + b Jak velikost b může ovlivnit velikost x? 31

28 Citlivost Ax = b na změny vstupních dat A(x + x) = b + b A x = b Normu x pak můžeme odhadnout následovně: x = A 1 b A 1 b Zároveň však z A x b plyne a dohromady dostáváme x x x b A, A 1 A b b = κ(a) b b Je-li pro danou úlohu číslo podmíněnosti malé, říkáme, že lineární systém je dobře podmíněný 32

29 Kvalita aproximace a norma rezidua Máme aproximaci ˆx přesného řešení x Jak blízko je spočtené řešení k řešení přesnému? Nabízí se spočíst reziduum b Aˆx a na základě jeho velikosti (normy) usuzovat na blízkost ˆx k řešení Malá norma rezidua ale nemusí automaticky implikovat malou vzdálenost mezi aproximací ˆx a řešením x Označíme-li reziduum r = b Aˆx, pak a x ˆx = A 1 (b Aˆx) = A 1 r A 1 r x ˆx x A 1 A r b = κ(a) r b Je-li κ(a) velké, nemusí relativní norma rezidua poskytovat dostatečně přesnou informaci o blízkosti aproximace ˆx k x 33

30 Numerická stabilita Gaussovy eliminace Výsledky Goldstine, von Neumanna, Wilkinsona a ostatních Goldstine, von Neumanna 1947: Pro inverzi X symetrické poz def matice A spočtenou Gaussovou eliminací platí AX I 142 n 2 ε κ(a), kde ε označuje strojovou přesnost Wilkinson a ostatní ( ) Nechť L a Û jsou vypočtené faktory LU rozkladu matice A a nechť x je vypočtené řešení úlohy Ax = b s použitím LU rozkladu Pak x je přesným řešením úlohy (A + A) x = b, A 6 n ε L Û + O(ε2 ), A 6 n ε L Û + O(ε 2 ) 34

31 Gaussova eliminace s částečnou pivotací a zpětná stabilita Na GE s částečnou pivotací lze hledět jako na GE bez pivotace aplikovanou na matici P A - lze aplikovat předchozí větu Kdy je podíl A / A úměrný násobku ε? Částečná pivotace zajišťuje, že prvky matice L jsou vždy menší nebo rovny jedné, a proto je Vydělme nerovnost L n A 6 n ε L Û + O(ε 2 ) maximovou normou matice A o zpětné stabilitě rozhoduje velikost růstového faktoru Û A 35

32 Růstový faktor a zpětná stabilita Gaussovy eliminace s částečnou pivotací Výpočet pomocí Gaussovy eliminace s částečnou pivotací je zpětně stabilní, pokud příliš neroste velikost prvků ve spočtené matici Û v porovnání s velikostí prvků v původní matici A Říkáme, že Gaussova eliminace s částečnou pivotací je podmíněně zpětně stabilní Stabilita výpočtu pro konkrétní data závisí na velikosti růstového faktoru 36

33 Maximální velikost růstového faktoru v Gaussově eliminaci s částečnou pivotací Vyjdeme ze vztahu m i,k = a(k 1) i,k a (k 1) k,k Jelikož m i,k 1, platí a (k), a (k) i,j = a(k 1) i,j i,j a(k 1) i,j + a (k 1) k,j a prvky matice U splňují nerovnost 2 max a (k 1) i,j i,j 2 k 1 max a i,j i,j u ij 2 n 1 max a i,j i,j m i,k a (k 1) k,j 37

34 Maximální velikost růstového faktoru Příklad Maximální nárůst velikosti prvků U lze pozorovat při Gaussově eliminaci s částečnou pivotací např u matice (cvičení) Při praktických výpočtech dochází k exponenciálnímu růstu velikosti prvků matice U zřídka Velikost růstového faktoru obecně nesouvisí s κ(a) 38

35 Škálování Téměř vždy, je-li to možné, se v rámci předzpracování dat provádí škálování matice Jde o násobení sloupců, resp řádků matice A vhodně zvolenými čísly Formálně: jsou-li D 1 a D 2 regulární diagonální matice, pak můžeme místo původní soustavy lineárních rovnic Ax = b řešit soustavu se škálovanou maticí, D 1 AD 2 y = D 1 b, x = D 2 y Jedním z důvodů škálování: normalizace naměřených dat Jiným důvodem: redukce čísla podmíněnosti Jednoduché škálování jakým je normalizace řádků či sloupců vede na číslo podmíněnosti, které je nejvýše n-násobkem minima (n je velikost matice) Škálování může ovlivnit výběr pivota, posloupnost prováděných operací a tím i stabilitu výpočtu 39

36 Choleského rozklad hermitovské pozitivně definitní matice Aplikujme Gaussovu eliminaci na hermitovskou pozitivně definitní (HPD) matici Pro HPD matice je Gaussova eliminace vždy proveditelná bez pivotace (HPD matice je silně regulární cvičení) Věta (důkaz skripta): LU rozklad HPD matice A lze zapsat jako součin dolní trojúhelníkové matice se svojí maticí hermitovsky sdruženou Choleského rozklad Pro každou HPD matici A existuje jednoznačný rozklad A = LL, kde L je dolní trojúhelníková matice s kladnými prvky na diagonále 41

37 Choleského rozklad - algoritmus input A (0) := A = [a i,j ] for k = 1 : n do l k,k := a (k 1) k,k for i = k + 1 : n do l i,k := a(k 1) i,k l k,k for j = k + 1 : i do end for end for end for a (k) i,j := a(k 1) i,j l i,k l j,k Pro řádky l T i matice L platí l T i l i = l i 2 = a i,i n L 2 F = a i,i = trace(a) i=1 V přesné aritmetice je velikost prvků matice L omezena a nemůže dojít k jejich růstu jak je tomu u LU rozkladu 42

38 Zpětná stabilita Choleského rozkladu Zpětná stabilita Choleského rozkladu Nechť L je vypočtený faktor Choleského rozkladu hermitovské pozitivně definitní matice A C n n na počítači se strojovou přesností ε a nechť je n 3/2 ε 1 Potom pro matici E takovou, že A + E = L L, platí ( ) 2 n 3/2 E F 1 2 n 3/2 ε A F + O(ε 2 ) ε Důkaz ve skriptech Z předchozího plyne, že Choleského rozklad je zpětně stabilní nezávisle na prvcích Choleského faktoru L Říkáme, že Choleského rozklad je bezpodmínečně zpětně stabilní 43

39 Iterační zpřesnění Gaussovy eliminace Nechť je dána soustava Ax = b Jak zpřesnit řešení soustavy lineárních rovnic? 1 V prvním kroku získáme Gaussovou eliminací s částečnou pivotací aproximaci řešení x 1 Ze znalostí x 1 jsme schopni spočíst reziduum r 1, platí r 1 = b Ax 1 = Ax Ax 1 = A(x x 1 ) = Ae (1), kde jsme e (1) x x 1 označili chybu řešení 2 V druhém kroku řešíme soustavu lineárních rovnic, ve které se snažíme určit chybu řešení e (1), Ae (1) = r 1 3 Ve třetím kroku použijeme aproximaci chyby ê (1) ke zpřesnění řešení, x 2 = x 1 + ê (1) 45

40 Iterační zpřesnění Gaussovy eliminace Celý proces daný kroky 1-3 můžeme opakovat Pokud bychom byli schopni spočíst e (1) přesně, potom by x 2 = x 1 + e (1) bylo přesné řešení soustavy Kroky však provádíme v aritmetice s konečnou přesností Nakolik je spočtené řešení x 2 bližší hledanému řešení x než spočtené řešení x 1? Na přesnost řešení lze přitom nahlížet ve smyslu přímé chyby (měřené pomocí x x 2 ) či ve smyslu zpětné chyby Dvě možnosti, které nám zajišťují zlepšení přesnosti řešení 46

41 Iterační zpřesnění Gaussovy eliminace Dvě možnosti Mixed precision iterative improvement Pokud má být spočtené řešení x 2 přesnější než řešení x 1 ve smyslu přímé chyby, je nutné provádět výpočet rezidua r 1 se zvýšenou přesností lze dosáhnout zpřesnění řešení na maximální počet platných cifer v dané standardní aritmetice Fixed precision iterative improvement K redukci zpětné chyby řešení na úroveň ε je postačují provádět všechny výpočty ve stejné aritmetice (Skeel 1980), x 2 přesné řešení (A + A)x 2 = b, A A ε + O(ε2 ) Běžně stačí provést jen několik iterací Jedna iterace zajistí zpětnou stabilitu výpočtu, tedy x 2 je již zpětně stabilní 47

42 Výpočetní náklady Gaussovy eliminace viz cvičení Operace celkem 1 3 n3 1 2 n n 1 3 n3 1 2 n n : 1 2 n2 1 2 n 2 3 n3 operací Tabulka: Přímý chod (v každém kroku dělíme číslem a j,j ) Operace celkem 1 2 n2 1 2 n n2 3 1 n + 1 n 1 : 1 Tabulka: Zpětný chod n 2 operací 49

43 Gaussova eliminace pro velké řídké úlohy Velké řídké matice mnoho nulových prvků O řídké matici mluvíme, je-li výhodné použít speciální techniky uložení nebo výpočtu, které uvažují nulovost prvků matice Matici, která není řídká, budeme říkat hustá Z pohledu numerické stability je vhodné provádět Gaussovu eliminaci s částečnou pivotací Výběr pivotního prvku odpovídá permutaci řádků, v případě úplné pivotace i sloupců, matice Permutaci řádků a sloupců matice ovšem můžeme provádět i z jiného důvodu, než je výběr optimálního pivota 51

44 Zaplnění matice při Gaussově eliminaci Příklad Dána A s následující strukturou nenulových prvků A = Pomocí permutační matice P, lze matici A transformovat na matici B, B = P AP T, s následující strukturou 1 B =, P 1 52

45 Zaplnění matice při Gaussově eliminaci Příklad pokračování I Soustava rovnic Ax = b P T AP x = b By = b, kde x = P y Obě soustavy se liší pouze pořadím rovnic a pořadím hledaných neznámých Bude-li platit a 11 > a i1, i = 2,, n, a soustavu s maticí A budeme řešit eliminací s částečnou pivotací, dostaneme po prvním kroku obecně hustou submatici matice A (1), A (1) = 53

46 Zaplnění matice při Gaussově eliminaci Příklad pokračování II Počet nenulových prvků matice A (1) tak obecně vzroste oproti počtu nenulových prvků matice A z 3n 2 na n 2 n + 1 Bude-li např n 10 6 pak uložení nenulových prvků matice A zabere v paměti počítače, ve standardní dvojité přesnosti uložení (64 bitů na číslo) přibližně 23 megabytů Matice A (1) však zabere gigabytů Pokud rovnice a neznámé nejprve přečíslujeme (permutujeme) tak, že dostaneme soustavu s maticí B, a nebudeme-li provádět žádný výběr pivotního prvku matice, bude nám v průběhu celého výpočtu stačit právě 8(3n 2) bytů 54

47 Řídkost, zaplnění, stabilita Příklad ukazuje jak lze využít řídkosti matic ke zmenšení velikosti potřebné paměti i ke zmenšení počtu prováděných operací Využití řídkosti je obzvláště u velkých matic velmi podstatné Obecně se snažíme nalézt permutační matice P, Q takové, aby v LU rozkladu matice B = P AQ T docházelo k co možná nejmenšímu zaplnění a výpočet byl zároveň rozumně stabilní Je zřejmé, že snaha zajistit numericky pokud možno stabilní výpočet pomocí vhodné pivotace může působit (a často také působí) proti snaze minimalizovat zaplnění, numerická stabilita zaplnění 55

48 Srovnání LU a QR rozkladu pro řešení soustav rovnic Srovnání z několika hledisek Stabilita U QR rozkladu pracujeme výhradně s unitárními transformacemi Např QR rozklad založený na Householderových reflexích výpočet je zpětně stabilní LU rozklad je jen podmíněně zpětně stabilní Výpočetní náklady Budeme-li uvažovat algoritmy pro husté matice, je k řešení soustavy užitím LU rozkladu potřeba řádově 2/3 n 3 aritmetických operací QR rozklad realizovaný Householderovými transformacemi potřebuje řádově 4/3 n 3 aritmetických operací, tedy dvakrát více Zaplnění Často rozhodující kritérium Chceme-li použít přímé metody pro řešení velkých řídkých soustav, téměř výhradně používáme metody vycházející z Gaussovy eliminace Při výpočtu QR rozkladu aplikovaného na velkou řídkou matici je totiž velmi obtížné udržet faktory Q a R řídké 57

49 Cvičení 41 Uvažujme eliminační matici M k C n n Ukažte, že M 1 k = I m k e T k 42 Nechť M 1,, M n 1 jsou eliminační matice Dokažte, že platí n 1 M 1 M 2 M 3 M n 1 = I + m i e T i 43 Nechť A C n n Sestrojte permutační matici P takovou, že zaměňuje i-tý a j-tý řádek matice A Ukažte, jak lze pomocí P zaměnit i-tý a j-tý sloupec matice A i=1 59

50 Cvičení 44 Použijte Gaussovu eliminaci s pivotací na matici Sledujte velikosti prvků ve vznikající horní trojúhelníkové matici U 45 Nechť A C n n je matice hermitovská pozitivně definitní Ukažte pomocí blokového rozdělení [ ] Ãk A A = 2,1, A 2,1 A 2,2 kde Ãk je hlavní submatice obsahující prvních k řádků a sloupců matice A, že A je silně regulární 60

51 Cvičení 46 Použijte standardních sčítacích vzorců n k = 1 2 n(n + 1) a n k 2 = 1 n(2n + 1)(n + 1) 6 k=1 k=1 k tomu, abyste ukázali, jaká je výpočetní náročnost přímého chodu Gaussovy eliminace a zpětného chodu Gaussovy eliminace 61

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013

Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013 Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Metoda sdružených gradientů

Metoda sdružených gradientů Metoda sdružených gradientů 1 Poznámka A-skalární součin, A-norma (energetická norma) Standardní euklidovský skalární součin vektorů n x, y = y T x = y i x i. i=1 A R n n je symetrická, pozitivně definitní,

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

5. Singulární rozklad

5. Singulární rozklad 5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2012 1 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

3. Ortogonální transformace a QR rozklady

3. Ortogonální transformace a QR rozklady 3. Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 10. října 2012 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:

pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků: Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody...

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody... Poznámky k přednášce 1 Numerické metody I Jaro 2010 Tomáš Řiháček Obsah 1 Normy vektorů a matic 1 2 Nelineární rovnice 3 2.1 Metoda bisekce (půlení intervalu).............................. 3 2.2 Iterační

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešení soustav lineárních rovnic Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 11. přednáška 11MAG pondělí 9. prosince 2013 verze:2013-12-10 15:33 Obsah 1 Soustavy 2 1.1 Formulace úlohy....................................

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

SVD rozklad a pseudoinverse

SVD rozklad a pseudoinverse SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více