Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7."

Transkript

1 Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky determinant n-tého řádu vyjadřuje objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu Definice a elementárníúpravy Definice Bud A čtvercová matice typu n/n nad polem P Položme det A sgn σ A σ A 2σ2 A nσn Prvek det A P se nazývá determinant matice A Číslo n se nazývá řád determinantu Používá se též označení A A 2 A s det A A 2 A 22 A 2s A r A r2 A rs Připomeňme, že S n je grupa permutací nan-prvkové množině {,,n} Každá taková permutace je bijekce σ : {,,n} {,,n}, kterou budeme chápat jako bijektivní zobrazení z množiny všech řádkových indexů do množiny všech sloupcových indexů matice A Ke každému řádku je pak vzájemně jednoznačně přiřazen sloupec Tudíž, každý součin A σ A 2σ2 A nσn je utvořen tak, že obsahuje právě jeden prvek z každého řádku a právě jeden prvek z každého sloupce Opatřen jest znaménkem sgn σ ( ) inv σ ± P příslušné permutace σ S n Příklad ) Jestliže n, pak grupa S n má jediný prvek id ( ),přičemž sgn(ι) Tudíž, det A sgn id A id A (Označení det A A se vyhýbáme) 2) Jestliže n 2, pak S n {id,τ}, kde id ( 2 ( 2), τ 2 2 ) Přitom sgn id, sgn τ, a tedy det A sgn id A id A 2id2 sgn τ A τ A 2τ2 A A 22 A 2 A 2 Vzorec pro determinant druhého řádu se snadno pamatuje: + A A 2 A A 22 A 2 A 2 A 2 A 22 3) Jestliže n 3, pak S 3 {id,σ,σ 2,τ,τ 2,τ 3 }, kde id ( ) , σ ( ) , σ2 ( ), τ ( 2 3) 3 2, τ2 ( 2 3) 3 2, τ3 ( ) Přitom sgn id sgn σ sgn σ 2, zatímco sgn τ sgn τ 2 sgn τ 3 Tudíž, det A A A 22 A 33 + A 2 A 23 A 32 + A 3 A 2 A 32 A A 23 A 32 A 3 A 22 A 3 A 2 A 2 A 33 Tento výsledek se nazývá Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu:

2 7 Determinanty + A + A 2 A 3 A + 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A A 22 A 33 + A 2 A 32 A 3 + A 3 A 2 A 23 A 3 A 22 A 3 A 23 A 32 A A 33 A 2 A 2 4) Podobně lze získat vzorec pro determinant čtvrtého řádu, ten však má již dvacet čtyři sčítanců a je naprosto nevhodný k praktickým účelům Žádná jednoduchá obdoba Sarrusova pravidla pro n 4 neexistuje Tvrzení Je-li některý řádek matice A nulový, pak det A 0 Důkaz Je-li i-tý řádek nulový, pak je každý součin A σ A 2σ2 A nσn nulový, protože se v něm vyskytuje prvek A iσi 0 Tvrzení Jsou-li některé dva řádky matice A stejné, pak det A 0 Důkaz Je-li i-tý řádek stejný jako j-tý, pak máme A ik A jk pro každé k Zřejmě n 2 Bud τ ij transpozice vyměňující i, j I n, takže sgn τ ij Ke každé permutaci σ S n zaved me permutaci σ σ τ ij Máme sgn σ sgn σ sgn τ ij sgn σ Člen determinantu odpovídající permutaci σ pak je sgn σ A σ A iσ i A jσ j A nσ n sgn σ A σ A iσ j A jσi A nσn sgn σ A σ A iσi A jσ j A nσn, a je tedy právě roven členu odpovídajícímu permutaci σ, ale opatřený opačným znaménkem Společný příspěvek permutací σ, σ k součtu det A je pak roven nule Snadno se ověří, že σ σ a σ σ Množiny {σ, σ } jsou tedy dvojprvkové a tvoří rozklad množiny S n, jehožkaždátřída přispívá k součtu det A právě nulou, takže det A 0 Tvrzení (o elementárních úpravách determinantů) (i) Přičtenímc-násobku i-tého řádku k j-tému řádku se determinant nezmění: A A 2 A n A i + ca j A i2 + ca j2 A in + ca jn A n A n2 A nn 2 A A 2 A n A i A i2 A in A n A n2 A nn

3 7 Determinanty (ii) Vynásobeními-tého řádku determinantu prvkem c P se determinant vynásobí prvkem c: A A 2 A n A A 2 A n ca i ca i2 ca in c A i A i2 A in A n A n2 A nn A n A n2 A nn (iii) Výměnou i-tého a j-tého řádku, i j, determinant změní znaménko: A A 2 A n A A 2 A n A i A i2 A in A j A j2 A jn A j A j2 A jn A i A i2 A in A n A n2 A nn A n A n2 A nn Důkaz Bud A upravená matice (i) Je-li A je matice vzniklápřičtením c-násobku j-tého řádku k i-tému řádku matice, pak A iσi + ca jσi,načež A iσ i det A sgn σ A σ A iσ i A jσ j A nσ n sgn σ A σ (A iσi + ca jσi ) A jσ j A nσn sgn σ A σ A iσi A jσ j A nσn + c σ S n sgn σ A σ A jσi A jσ j A nσn det A + c 0 det A Zde σ S n sgn σ A σ A jσi A jσ j A nσn 0, protože se jedná o determinant z matice, která má i-tý řádek stejný jako j-tý (ii) Jestliže A je matice vzniklá vynásobením i-tého řádku matice A prvkem c, pak A iσ i ca iσi, kdežto A jσ j A jσ j pro j itudíž, det A sgn σ A σ A iσ i A nσ n sgn σ A σ ca iσi A nσn c σ S n sgn σ A σ A iσi A nσn c det A 3

4 7 Determinanty (iii) Je-li A matice vzniklá výměnou i-tého a j-tého řádku, potom A ik A jk pro každé k Označme σ permutaci σ τ ij Pakσ i σ j a σ j σ i, ale σ k σ k pro k i, j amáme det A sgn σ A σ A iσ i A jσ j A nσ n sgn σ A σ A jσi A iσ j A nσn sgn σ A σ A iσ j A jσi A nσn sgn σ A σ A iσ i A jσ j A nσ n σ S n sgn σ A σ A iσ i A jσ j A nσ n det A Třetí rovnost plyne z komutativního zákona pro násobení, pátá plyne z rovnosti sgn σ sgn σ, zatímco poslední rovnost je důsledkem faktu, že přiřazení σ σ je bijekce S n S n, a proto σ probíhá celou množinu S n, pokud σ probíhá celou množinu S n (Tvrzení lze dokázat i tak, že výměnu dvou řádků vyjádříme jako posloupnost několika úprav prvního a druhého typu) Cvičení Odvod te vztah mezi det(ca) a det A Tvrzení Platí det E Důkaz Víme, že E ii pro každé i, ale E ij 0 pro každou dvojici i j V součtu det E sgn σ E σ E iσi E nσn se pak vyskytuje právě jeden nenulový sčítanec, a sice E E nn, se znaménkem sgn(id) Pro ostatní permutace σ id je totiž alespoň jednou i σ i, a proto E iσi 0, načež celý součin E σ E nσn je nula Tvrzení Bud A čtvercová matice, bud A matice k ní transponovaná Pak det A det A Důkaz Počítejme: det A sgn σ A σ A iσ i A nσ n sgn σ A σ A σi i A σn n sgn σ A σ sgn σ A σ A iσ i A iσ i A nσ n A nσ n det A Třetí rovnost dostaneme uspořádáním součinitelů A σi i podle vzrůstajícího prvního indexu 4

5 7 Determinanty Cvičení Necht A M nn (P) splňuje A A (taková matice se nazývá antisymetrická) Ukažte, že je-li n liché číslo, pak det A 0 Problém k řešení Bud te (x, y ), (x 2, y 2 ) dva body v rovině R 2 Ukažte, že determinant x y x 2 y 2 jest roven obsahu rovnoběžníka s vrcholy (0, 0), (x, y ), (x 2, y 2 ) [čtvrtým vrcholem je (x +x 2, y +y 2 )] Bud te (x, y, z ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ) tři body v prostoru R 3 Ukažte, že determinant x y z x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 jest roven obsahu rovnoběžnostěnu s vrcholy (0, 0, 0), (x, y, z ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ) 2 Výpočet determinantu Připomeňme, že elementárními úpravami můžeme libovolnou matici A převést na Gauss Jordanův tvar B Tyto úpravy sice mění hodnotu determinantu, ale známým způsobem Jak již víme, nastávají dva případy: () B E; (2) B má poslední řádek nulový V obou případech známe hodnotu det B: v prvním det B, ve druhém det B 0 Pak ovšem lze určit i hodnotu det A Dokonce stačí uskutečnit převod jen na tzv trojúhelníkový tvar, kdy pod hlavní diagonálou { A ii } leží samé nuly Definice Čtvercová matice A je v trojúhelníkovém tvaru, jestliže A ij 0 kdykoliv i > j Každá matice, která je ve schodovitém tvaru, je zřejmě i ve tvaru trojúhelníkovém Vidíme, že každou matici lze elementárními úpravami převést na trojúhelníkový tvar Tvrzení Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků A ii Důkaz Bud dána trojúhelníková matice A Rozeznávejme dva případy () Je-li některý prvek A ii nulový, pak je součin A A 22 A nn nulový Ale i na levé straně máme nulu při převodu matice A na Gauss Jordanův tvar B totiž v i-tém sloupci nenalezneme hlavní prvek, což, jak víme, má zanásledek, že B má nulový posledního řádek Tudíž, det B 0, načež i det A 0 (2) Jsou-li všechny prvky hlavní diagonály nenulové, pak při převodu matice A na Gauss Jordanův tvar provádíme následující úpravy: (a) pro všechna i,,n vynásobme i-tý řádek prvkem /A ii ; (b) přičítáním vhodných násobků řádků vynulujme všechny prvky nad hlavní diagonálou Takto vzniklý Gauss Jordanův tvar je jednotková matice E Při úpravách (a) je nutno kompenzovat změny v hodnotě determinantu; při úpravách (b) se determinant 5

6 7 Determinanty nemění Dostáváme A A 2 A n A 2 /A A n /A 0 A det A 22 A 2n (a) 0 A A A 22 A nn 2n /A A nn (b) 0 0 A A 22 A nn A A 22 A nn 0 0 Prakticky provádíme výpočet determinantu tak, že jej převedeme na schodovitý tvar a pak jeho hodnotu určíme z předchozího tvrzení Nesmíme ovšem zapomenout na změny v hodnotě determinantu, způsobené jednotlivými úpravami Pro numerické determinanty je metoda dostatečně efektivní Příklad Výpočet hodnoty determinantu může probíhat např takto: ( ) 3 5 Ověřte samostatně, že Sarrusovým pravidlem získáme týž výsledek 3 Cauchyho věta Cauchyho věta Bud te A, Bdvě čtvercové matice Pak platí det(ab) det A det B Důkaz Rozeznávejme několik případů: () Bud A některá z elementárních matic E i (c), E ij (c), E ij Podle věty o elementárních úpravách determinantů dostáváme det(e i (c) B) c det B det E i (c) det B, podobně det(e ij (c) B) det B det E ij (c) det B, a nakonec det(e ij B) det B det E ij det B Tvrzení platí (2) Dále bud A Q Q 2 Q N součin několika elementárních matic Dokazujeme matematickou indukcí vzhledem k N Pro N viz () Indukční krok: Cvičení (3a) Necht při převádění matice A na Gauss Jordanův tvar dospějeme k jednotkové matici V tomto případě A je součin elementárních matic (proč?), což jejiž dokázaný případ (2) 6

7 7 Determinanty (3b) Necht při převádění matice A na Gauss Jordanův tvar dojdeme k matici N s nulovým posledním řádkem, det N 0 Opět A QN pro nějakou matici Q, která je součinem elementárních matic, a proto det A det(qn) det Q det N 0 Na druhé straně, AB QNB, ale matice NB má také nulový poslední řádek (ověřte), a proto analogicky det(ab) det Q det(nb) 0 Celkem det A det B 0 det(ab) Cauchyho věta vlastně praví, že determinant je homomorfismus multiplikativních pologrup (M nn (P), ) (P, ) Pozor! Determinant není homomorfismus aditivních pologrup Cvičení Dokažte, že det A /det A Cvičení Pro determinanty lišící se pouze v jedom řádku platí A A n A A n A A n A i A in + A i A in A i + A i A in + A in A n A nn A n A nn A n A nn Dokažte Níže se nám bude hodit ještě jedno lemma Lemma Platí A A k A,k+ A n A A k A k+,k+ A k+,n A k A kk A k,k+ A k,n 0 0 A k+,k+ A k+,n A k A kk A n,k+ A nn 0 0 A n,k+ A nn Říkáme, že determinant A se rozpadl na subdeterminanty: subdeterminant A řádu k a subdeterminant A řádu n k Stručně ale výstižně naše pak tvrzení vyjadřujeme zápisem A X 0 A A A Důkaz Determinant vlevo jest det A σ sgn σ A σ A kσk A k+,σk+ A nσn Každá permutace, která některé i > k zobrazuje na σ i k přispívá k součtu det A nulou, protože A iσi 0 Tudíž, stačí sčítat jen přes permutace splňující i > k σ i > k ( ) 7

8 7 Determinanty Označme I n {, 2,,k}, I n {k +, k + 2,,n} Podmínka ( ) znamená, že σ zobrazuje I n do I n,načež také I n do I n (protože σ je bijekce) Každou takovou permutaci σ pak můžeme považovat za dvojici permutací σ : I n I n a σ : I n I n : 2 k k + k + 2 n σ σ 2 k k + k + 2 n Zřejmě přitom inv σ inv σ + inv σ (proč?) Tudíž det A sgn σ A σ A kσk A k+,σk+ A nσn σ sgn σ sgn σ A σ A kσ k A k+,σ σ,σ k+ nσ n ( ) ( ) sgn σ A σ A kσ k sgn σ A k+,σ k+ nσ n σ σ det A det A 4 Minory, kofaktory a Laplaceův rozvoj Determinant řádu n lze převést na součet n determinantů řádu n Definice Bud det A determinant řádu n Bud A matice vzniklá vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce Determinant det A řádu n označíme Ā ij ; nazývá seminor Prvek  ij ( ) i+ j Ā ij se nazývá kofaktor (nebo též algebraický doplněk) prvku A ij Laplaceova věta (o rozvoji determinantu) Pro každý index i,,n platí det A  i A i ++  in A in Uvedený vztah se nazývá Laplaceův rozvoj podle i-tého řádku 8

9 7 Determinanty Důkaz Počítejme det A A A, j A j A, j+ A n A i A i, j A ij A i, j+ A in A n A n, j A nj A n, j+ A nn n j A A, j A j A, j+ A n 0 0 A ij 0 0 A n A n, j A nj A n, j+ A nn n j A ij A A, j A j A, j+ A n A n A n, j A nj A n, j+ A nn Ukažme, že A A, j A j A, j+ A n A n A n, j A nj A n, j+ A nn  ij Vyměňujme v tomto determinantu i-tý řádek (0,, 0,, 0,, 0) s následujícími řádky tak dlouho, až se ocitne na nejspodnější pozici; k tomu je třeba n i výměn Poté vyměňujme j-tý sloupec (A j,,a i, j,, A i+, j,,a nj ) snásledujícími sloupci tak dlouho, až se ocitne na poslední pozici; k tomu je třeba n j výměn Determinant, který takto vznikne, je rozpadlý determinant Ā ij det() Ā ij Výměnami řádků a sloupců se hodnota determinantu vynásobila číslem ( ) i ( ) j ( ) i + j ( ) i+ j 2 ( ) i+ j Celkem det A ( ) i+ j Ā ij  ij adůkaz je hotov 9

10 7 Determinanty 5 Adjungovaná matice Definice Bud A čtvercová matice Utvořme matici  kofaktorů  ij Položme adj A  Matice adj A se nazývá adjungovaná k matici A Tvrzení Bud A čtvercová matice s nenulovým determinantem Pak je invertibilní a platí A adj A det A Důkaz Násobme A adj A: (A adj A) ij k A ik  kj k A ik  jk Je-li i j, dostáváme k A ik  ik det A podle Laplaceovy věty Je-li i j, dostáváme nulu Skutečně, utvořme matici A, která seoda liší tím, že j-tý řádek je kopií i-tého, takže det A 0 (proč?) Podle Laplaceovy věty zase A ik  jk A ikâ jk det A 0 k k Vidíme, že matice A adj A je diagonální,přičemž na hlavní diagonále se stále opakuje prvek det A P Tudíž, A adj A det A E Nyní stačí na obou stranách násobit zleva maticí A adělit nenulovým determinantem det A adůkaz je hotov Tvrzení Čtvercová matice A je invertibilní právě tehdy, když det A 0 Důkaz Invertibilita v případě det A 0 byla dokázánavpředchozím tvrzení Necht naopak det A 0 Připust me, že A je invertibilní s inverzí B Pak což je spor det E det(ab) det A det B 0, Příklad Matice ( a b ) A c d je invertibilní právě tehdy, když ad bc det A 0, načež A ( d b ) ad bc c a Cvičení Vypočtěte det adj A Návod: adj A A det A 0

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3 SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí).

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí). Kapitola 10 Determinanty Začneme pomocnou definicí Definice 101 Vzájemně jednoznačné zobrazení p : X X nazýváme permutace na množině X Je-li p permutace na množině X, pak inverzní zobrazení p 1 : X X nazýváme

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

10. Vektorové podprostory

10. Vektorové podprostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava tel (553 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 1: Matice a determinanty 1 Přehled základních pojmů a tvrzení Základní pojmy Číselná

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

19. Druhý rozklad lineární transformace

19. Druhý rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 4.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 4. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 000/00 Michal Marvan. Permutace Definice. Bud M konečná množina. Bijekce M M se nazývá permutace na množině

Více

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice

Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

rozumíme obdélníkovou tabulku

rozumíme obdélníkovou tabulku Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Datum sestavení dokumentu: 11. června Lineární algebra 2. L ubomíra Balková a Emil Humhal

Datum sestavení dokumentu: 11. června Lineární algebra 2. L ubomíra Balková a Emil Humhal Datum sestavení dokumentu: června 22 Lineární algebra 2 L ubomíra Balková a Emil Humhal e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz, emilhumhal@fjficvutcz Obsah Matice a lineární zobrazení 2 Lineárnímu zobrazení

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více