11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami

Transkript

1 11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami I. Úlohy na úvod 1. a) Zaokrúhlite nadol, b) zaokrúhlite nahor, c) zaokrúhlite číslo 5,47 na desatiny, číslo 483,203 na jednotky, číslo na desaťtisíce a číslo 0, na tisíciny. 2. Určte 5 čísel, ktoré sa po a) zaokrúhlení nadol na desiatky rovnajú číslu 60, b) zaokrúhlení nahor na stotiny rovnajú číslu 4,83, c) zaokrúhlení na desatiny rovnajú číslu 19,6. 3. Určte 3 neracionálne čísla, ktoré dávajú rovnaký výsledok po a) zaokrúhlení nadol na 1 aj zaokrúhlení na 1, b) zaokrúhlení nahor na 1 aj zaokrúhlení na 1, c) zaokrúhlení nadol na 1 aj zaokrúhlení nahor na Na čísle ,37 vysvetlite popíšte pravidlo, ako sa na tisíce a) zaokrúhľuje nadol, b) zaokrúhľuje nahor, c) zaokrúhľuje. 5. V meste X je s presnosťou na tisícky obyvateľov. Tohto roku dúfajú, že budú môcť zmeniť 49 na 50. Stačí keď pribudne 28 ľudí. Ako je to možné. 6. Zaokrúhlite s presnosťou a) na dve, b) na tri platné číslice čísla 4,562 a 0, Výsledky: 1. a) 5,4; 483; ; 0, b) 5,5; 484; ; 0, 001, c) 5,5; 483; ; a) Môžete si zvoliť akýchkoľvek 5 čísel z intervalu 60,70), b) môžete si zvoliť akýchkoľvek 5 čísel z intervalu ( 50, 60, c) môžete si zvoliť akýchkoľvek 5 čísel z intervalu 19,55,19,65). 3. a) Sú to všetky neracionálne čísla z intervalu ( 1 ;1,5 ), napr. 2, 2 0,01, 2 0,002, 2 0,003, 2 0,004, b) sú to všetky neracionálne čísla z intervalu 1,5;2),napr. čísla z a) zväčšená o 0,2,, c) také neprirodzené číslo neexistuje. 5. Lebo v meste X je obyvateľov. 6. a) 4,6 a 0,0048, b) 4,56 a 0, II. Niekoľko slov k téme Aj vy máte pocit, že zaokrúhľovať viete, ale 4. úloha Vám robí problémy, hlavne zaokrúhľovanie nahor a zaokrúhľovanie. Určite ste ale všimli, že všetky 3 pravidlá majú niečo spoločné: Od stoviek vrátane bude mať výsledok samé nuly. a) Zaokrúhľovanie nadol týmto končí. b) Pri zaokrúhľovaní nahor si všímame, či od tisícok vpravo je nejaká nenulová číslica. Ak nie, tiež končíme.

2 Ak áno, ideme meniť číslicu na mieste tisícok. Najčastejšie ju zväčšíme o 1. Ak je tam číslica 9 ako je to v čísle ,37 tak sa mení na 0 a o jedno sa zvúčšuje číslica na mieste Ak je tam ale číslica 9, tak ju meníme na nulu atď. Je to pomerne náročné na vyjadrovanie. Preto je presnejšie, keď predchádzajúci odstavec nahradíme nasledujúcim odstavcom. Ak áno, tak číslo (už s urobenými nulami vpravo od tisícok) zväčšíme o c) Pri zaokrúhľovaní si zoberieme niečo z zaokrúhľovania nadol a niečo zo zaokrúhľovania nahor. Stručne povedané, ak na mieste stoviek je číslica 0, 1, 2, 3 alebo 4, tak zaokrúhľujeme nadol, ak na mieste stoviek je číslica 5, 6, 7, 8 alebo 9, tak zaokrúhľujeme nahor. Teraz, keď sme si povedali pravidlá pre zaokrúhľovania na stovky, povedzte pravidlá na zaokrúhľovania na tisíciny. Určite uznáte, že je často dôležité s ako presnými údajmi pracujeme. Preto si pripomeňme nasledujúcu dohodu. Pri zapisovaní čísel zaokrúhlených na desatiny (teda na 1 desatinné miesto), stotiny (na 2 desatinné miesta), atď. napíšeme v zaokrúhlenom čísle taký počet číslic za desatinnou čiarkou, na aký sme zaokrúhľovali. Toto pravidlo platí aj vtedy, keď týmito číslicami sú nuly. Napr. 3,598 zaokrúhlené na desatiny zapíšeme 3,6, 3,598 zaokrúhlené na stotiny zapíšeme 3,60, 3,598 zaokrúhlené na tisíciny zapíšeme 3,600. Počítaniu so zaokrúhľovanými číslami má mnoho úskalí. Na niektoré z nich sa teraz pozrieme cez sériu úloh so spoločnou témou. Začneme úryvkom z novinového článku: Na prvom kole prezidentských volieb v roku 2004 sa mohlo zúčastniť oprávnených voličov. Zúčastnilo sa však len 47,94 %. 1. Koľko oprávnených voličov sa zúčastnilo prvého kola volieb? Zdanlivo ide o štandardnú úlohu na percentá. Očakávame, že väčšina žiakov bez veľkého rozmýšľania na základe výpočtu 1 % ,99 47,94 % 47, ,99 = , uvedie ako odpoveď oprávnených voličov. Problém je v tom, že v uvedenom výpočte sa s hodnotou 47,94 ráta ako s presnou. V skutočnosti 47,94 vzniklo zaokrúhlením presnej hodnoty na 2 desatinné miesta. A to mení situáciu. 2. Viera tvrdí, že počet voličov, ktorí sa zúčastnili na voľbách, mohol byť Dodala, že to musí mať dobre, lebo si urobila skúšku. Overte aj vy, či je Vierin výsledok správny. Urobme aj my skúšku. Treba zistiť, koľko percent z voličov je voličov: 1 % je , : ,99 = 47, , po zaokrúhlení 47,94 %.

3 Áno, Vierin výsledok je správny. To už máme dva správne výsledky! 3. Nájdite všetky počty voličov, ktoré by mohli byť riešením 1. úlohy. Daný počet percent 47,94 vznikol zaokrúhlením skutočného počtu percent na stotiny. Preto skutočný počet percent muselo byť niektoré číslo z intervalu 47,935 ; 47,945). Každý počet oprávnených voličov, pre ktorý príslušný počet percent padne do tohto intervalu, je riešením 4. úlohy. Pre krajné čísla dostaneme: z celkového počtu voličov je 47,935 47,935 %: = ,335 65, ,945 47,945 %: = , Hľadané počty voličov sú celé čísla, preto riešením 4. úlohy sú všetky počty voličov od po (žiaci by si mali rozmyslieť, prečo sme menšie číslo zaokrúhľovali nahor a väčšie nadol). Ak teda počet percent poznáme s presnosťou na 2 desatinné miesta, vieme, že hľadaný počet voličov je niektoré číslo medzi a , čo je celkom 420 možností. Ak chceme tento počet možností znížiť, museli by sme počet percent poznať s väčšou presnosťou (teda zaokrúhlený na väčší počet desatinných miest). Otázkou je, nakoľko presne musíme poznať počet percent, aby sme vedeli určiť počet zúčastnených voličov jednoznačne (teda aby výsledkom namiesto predchádzajúcich 420 možností bola len jediná možnosť). 5. V skutočnosti sa prvého kola prezidentských volieb v roku 2004 zúčastnilo oprávnených voličov. To je : ,99 = 47, % z celkového počtu oprávnených voličov (zaokrúhlené na 24 desatinných miest). Najmenej na koľko desatinných miest treba zaokrúhliť vypočítaný počet percent, aby sme z neho vedeli určiť počet zúčastnených voličov (teda ) jednoznačne? Úloha sa dá vyriešiť aj experimentovaním a postupne zaokrúhľovať na stále väčší počet desatinných miest, až riešenie (zaokrúhlenie na 5 desatinných miest) nájdu. Rýchlejšie sa k výsledku dopracujeme, ak zistíme, koľko percent z predstavujú čísla ,5 a ,5 : ,5 : ,99 = 47, ,5 : ,99 = 47, Vidíme, že čísla určujúce počet percent pre hodnoty , ,5 a ,5 sa líšia na piatom desatinnom mieste. Riešením je preto zaokrúhlenie na 5 desatinných miest, teda 47, % (pozor, táto myšlienka nie je až taká jednoduchá, treba o nej so žiakmi chvíľu diskutovať). Ďalšou možnosťou je táto úvaha: Z čísla je 1 % ,99 0,1 % 4 204,899 0,01 % 420, ,001 % 42, ,000 1 % 4,

4 0, % 0, Odtiaľ vidno: ak v počte percent zväčšíme o 1 napr. číslicu na mieste tisícin, zväčší sa počet voličov o niekoľko desiatok. Pri riešení 5. úlohy potrebujeme zistiť, pre ktoré desatinné miesto táto zmena bude predstavovať menej ako 1 voliča. Ako vidno, táto situácia nastane prvýkrát pri 5. desatinnom mieste. Preto počet percent treba udávať zaokrúhlený na 5 desatinných miest. III. Úlohy na cvičenie 1. Prvá úloha nadväzuje na úlohy z teórie. Zameriame sa na ďalšiu časť novinového článku: Kandidátom bolo odovzdaných platných hlasov. Najviac z nich, rovných hlasov, dostal Vladimír Mečiar, čo bolo 32,74 % všetkých platných hlasov. Druhým najúspešnejším bol Ivan Gašparovič, ktorý získal platných hlasov. Eduardovi Kukanovi nestačilo 22,10 % získaných platných hlasov, aby postúpil do druhého kola. a) Na základe údajov z článku zistite, koľko percent platných hlasov získal I. Gašparovič. b) Tu sú tri rôzne riešenia 6. úlohy: Milan využíval údaje o V. Mečiarovi: ,74 % ? % 32, : = 22, , po zaokrúhlení 22,28 %. Katarína sa snažila napodobniť riešenie 4. úlohy, pričom tiež vychádzala z údajov o V. Mečiarovi: 32,74 vzniklo zaokrúhlením niektorého čísla z intervalu 32,735 ; 32,745) pre 32,735 32, : = 22, , po zaokrúhlení 22,28 % pre 32,745 32, : = 22, , po zaokrúhlení 22,29 % I. Gašparovič získal 22,28 % alebo 22,29 % platných hlasov. Juraj využil pri riešení 6. úlohy údaj o všetkých platných hlasoch: 1 % je , : ,14 = 22, , po zaokrúhlení 22,28 %. Zistite, ktoré z týchto 3 riešení sú správne 2. Vymyslite taký celok a jeho rozdelenie na 3 časti, tak aby počty percent jednotlivých časti z celku po zaokrúhlení na stotiny percent dali súčet a) menší ako 100 %, b) väčší ako 100 %. 3. Na stránke Štatistického úradu Slovenskej republiky sú uvedené nasledujúce údaje: Počet platných hlasov odovzdaných pre všetkých kandidátov bol Vladimír Mečiar získal , t.j. 32,73 % všetkých platných hlasov. Ivan Gašparovič získal , t.j. 22,28 % všetkých platných hlasov. Eduard Kukan získal , t.j. 22,09 % všetkých platných hlasov. Skúmajte o tom, akým výpočtom vznikli uvedené počty percent. 4. Nájdite všetky čísla, ktoré po zaokrúhlení nahor na desiatky sú aspoň 100-krát väčšie ako pôvodné číslo. 5. Ivana má vyplňovať formulár pre štatistický úrad. V pokynoch sa dočítala: Zaokrúhľovanie sa vykonáva podľa normy STN ISO 31-0 z júla 1997 bez ohľadu na znamienka tak, že číslica na poslednom mieste, na ktorú sa zaokrúhľuje:

5 zostáva bez zmeny, ak nasleduje za ňou číslica menšia ako 5, napr. 22,4 = 22, zväčší sa o jednotku, ak nasleduje za ňou číslica - väčšia ako 5, napr. 22,6 = 23, - rovná 5, za ktorou však aspoň jedna z ďalších číslic je rôzna od nuly, napr. 22,501 = 23, zostáva bez zmeny, ak je párna a nasleduje za ňou číslica 5 buď sama, alebo iba s nulami na ďalších miestach, napr. 22,5 = 22, zväčší sa o jednu, ak je nepárna a nasleduje za ňou číslica 5 buď sama, alebo s nulami na ďalších miestach, napr. 21,5 = 22. a) Ivana, ktorá je až priveľmi precízna, tvrdí: Číslo 296 sa podľa tohto pravidla nedá zaokrúhliť na desiatky. Vysvetlite, v čom vidí Ivana problém (hoci všetci vrátane Ivany tomuto nie úplne presne sformulovanému pravidlu rozumejú). b) Uvedené pravidlo zaokrúhľovania sa v niektorých detailoch odlišuje od aritmetického zaokrúhľovania, ktoré zvyčajne používame. Nájdite všetky odlišnosti a s ukážkami.