Kvadratické funkcie, rovnice, 1

Transkript

1 Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly, b, c sú ľubovoľné reálne čísla. Jednotlivé členy a koeficienty nazývame: ax... kvadratický člen, a... koeficient kvadratického člena bx... lineárny člen, b... koeficient lineárneho člena c... absolútny člen Grafom kvadratickej funkcie je parabola. Zostrojte graf kvadratickej funkcie f: y = x. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x f(x) Zostavíme graf tejto funkcie:

2 Kvadratické funkcie, rovnice,. ročník Z grafu vidíme, že definičným oborom funkcie je množina reálnych čísel. Oborom hodnôt je interval 0 ; ). Funkcia je párna. Je klesajúca na intervale ( ; 0 a rastúca na intervale 0 ; ). Funkcia je zdola ohraničená, nie je zhora ohraničená. V bode x = 0 má ostré minimum. Tento bod sa nazýva vrchol paraboly. Ako vplývajú hodnoty a, b, c na priebeh grafu funkcie? Začneme s hodnotou a. Majme kvadratickú funkciu typu f: y = ax, kde a je reálne číslo rôzne od nuly. Zostrojme grafy funkcií: f 1 : y = x ; f : y =- x ; f 3 : y = x ; f 4 : y = -x ; f 5 : y =3 x ; f 6 : y = -3x ; f 7 : y = 1 x 1 ; f 8 : y = x ; f 9 : y = 3 1 x ; f 10 : y = 4 1 x Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x f 1 (x) f (x) f 3 (x) f 4 (x) f 5 (x) f 6 (x) f 7 (x) 8 4,5 0,5 0 0,5 4,5 8 f 8 (x) -8-4,5 - -0,5 0-0,5 - -4,5-8 f 9 (x) f 10 (x) Vykreslíme grafy jednotlivých funkcií:

3 Kvadratické funkcie, rovnice, 3. ročník Z grafov funkcií vidíme: Vrchol všetkých parabol je v bode [0, 0]. Ak a > 0, tak graf funkcie má tvar doliny. Ak a < 0, tak graf funkcie má tvar kopca. Ďalej vidíme, že pre kladné hodnoty a čím je hodnota a väčšia, tým sa ramená paraboly viac blížia k osi y; pre záporné hodnoty a čím je hodnota a menšia, tým sa ramená paraboly viac blížia k osi y.

4 Kvadratické funkcie, rovnice, 4. ročník Sledujme priebeh funkcií tvaru f: y = x + e, teda napr. funkcií: f 1 : y = x + 1; f : y = x + ; f 3 : y = x -3; f 4 : y = x -0,5. Sami si zostavte tabuľku hodnôt pre vybrané x, my už priamo vykreslíme grafy jednotlivých funkcií: Vidíme, že vrcholy parabol sa pohybujú po osi y, majú x-ovú súradnicu nula, y-ová súradnica je závislá od hodnoty e, teda vrchol paraboly má súradnice [0, e].

5 Kvadratické funkcie, rovnice, 5. ročník Sledujme priebeh funkcií tvaru f: y = (x + f), teda napr. funkcií f 1 : y = (x + 1) ; f : y = (x + ) ; f 3 : y = (x 1) ; f 4 : y = (x 3). Sami si zostavte tabuľku hodnôt pre vybrané x, my už priamo vykreslíme grafy jednotlivých funkcií: Z grafov vidíme, že vrcholy parabol sa pohybujú po osi x, majú y- ovú súradnicu nula, x-ová súradnica je závislá od hodnoty f, teda vrchol paraboly má súradnice [-f, 0].

6 Kvadratické funkcie, rovnice, 6. ročník Ako bude vyzerať graf funkcie tvaru f: y = (x + f) + e, teda napr. f: y = (x + ) + 1? Z predchádzajúcich skúseností vieme, že graf bude dolina, lebo koeficient kvadratického člena je kladný. Vykreslíme graf funkcie: Vrchol funkcie f: y = (x + ) + 1 má súradnice V[-; 1]. Všeobecne môžeme zapísať, že vrchol funkcie v tvare f: y =(x + f) +e má súradnice V[-f; e]. Budeme však potrebovať zobraziť graf kvadratickej funkcie v tvare f: y = ax + bx + c. Túto funkciu budeme musieť upraviť podobný ako v predchádzajúcej časti. Vyskúšame úpravy na konkrétnych príkladoch:

7 Kvadratické funkcie, rovnice, 7. ročník Určte súradnice vrcholu funkcie f: y = x - x + 3. Predpis funkcie f: y = x - x + 3 budeme upravovať týmto spôsobom: ( x - x) výraz v zátvorke upravíme na štvorec a ab + b = (a b) ( x - x + 1) v skutočnosti sme nič nepridali ( x - x + 1) +... upravíme ( x - 1) + Teda platí f: y = x - x + 3 = ( x - 1) + Z tohto predpisu vieme, že vrchol má súradnice V[1; ]. O správnosti sa presvedčíme zostrojením grafu funkcie f: Určte súradnice vrcholu funkcie f: y =-0,5 x + x +. Z predpisu vidíme, že graf funkcie bude mať tvar kopca, pretože koeficient kvadratického člena je záporný. Musíme upraviť: -0,5 x + x + = -0,5(x - x 4) -0,5[(x x) - 4]

8 Kvadratické funkcie, rovnice, 8. ročník -0,5[(x x +1) -1-4] -0,5[(x x + 1) - 5] -0,5[(x 1) - 5] -0,5 (x - 1) +,5 roznásobíme Teda platí f: y = y =-0,5 x + x + = -0,5 (x - 1) +,5 Z tohto predpisu vieme, že vrchol má súradnice V[1;,5]. O správnosti sa presvedčíme zostrojením grafu funkcie f:

9 Kvadratické funkcie, rovnice, 9. ročník Kvadratická rovnica Rovnica ax + bx + c = 0 Pričom a, b, c sú reálne čísla, a 0, x je neznáma, sa nazýva kvadratická rovnica. Rovnici v takomto tvare často hovoríme kvadratická rovnica v anulovanom tvare, pretože na pravej stne je nula. V kvadratickej rovnici nikdy nesmie chýbať kvadratický člen, teda nikdy nesmie obsahovať člen 0x!!! Jednotlivé členy a koeficienty nazývame: ax... kvadratický člen, a... koeficient kvadratického člena bx... lineárny člen, b... koeficient lineárneho člena c... absolútny člen Určte, či nasledujúce rovnice s neznámou x sú kvadratické rovnice, určte ich jednotlivé členy a koeficienty: a) x + 4x + 7 = 0 b) 7x = 5x + 1 c) 0x 5x + = 0 d) (x 1)(4x + 3) = 0 e) -3x + 5 = 0 f) 4x 9x = 0 a) Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je x, koeficient kvadratického člena je, lineárny člen je 4x, koeficient lineárneho člena je 4, absolútny člen je 7. b) Rovnicu upravíme na anulovaný tvar: 7x - 5x 1 = 0. Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je 7x, koeficient kvadratického člena je 7, lineárny člen je -5x, koeficient lineárneho člena je -5, absolútny člen je -1. c) Rovnica nie je kvadratická, pretože koeficient kvadratického člena 0x je 0, čo podľa definície kvadratickej rovnice nesmie byť. d) Rovnicu roznásobíme: (x 1)(4x + 3) = 0 4x + 3x 4x 3 = 0 4x x 3 = 0

10 Kvadratické funkcie, rovnice, 10. ročník Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je 4x, koeficient kvadratického člena je 4, lineárny člen je x, koeficient lineárneho člena je -1, absolútny člen je -3. e) Rovnica je kvadratická, neobsahuje lineárny člen. Kvadratický člen je -3x, koeficient kvadratického člena je -3, absolútny člen je 5. f) Rovnica je kvadratická, neobsahuje absolútny člen. Kvadratický člen je 4x, koeficient kvadratického člena je 4, lineárny člen je 9x, koeficient lineárneho člena je -9. Grafické riešenie kvadratických rovníc Viem už zostrojiť graf kvadratickej funkcie. Tieto grafy využijeme aj pri riešení kvadratických rovníc. Z grafov kvadratických funkcií určíme približné riešenie rovníc, teda hodnoty premennej x, pre ktoré príslušné funkcie nadobúdajú hodnotu nula. Tieto čísla x sú koreňmi rovníc. Riešte graficky kvadratické rovnice: a) x 5x + 6 = 0 b) x + x + 1 = 0 c) 9x + 6x + 1 = 0 d) 0,1 x,3x + = 0 a) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie f:y = x 5x + 6. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x f(x)

11 Kvadratické funkcie, rovnice, 11. ročník Zostrojíme graf: Z tabuľky i z grafu je vidieť, že funkcia f nadobúda hodnotu nula pre čísla x 1 = a x = 3. Preto K = {; 3}. b) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie g:y = x + x + 1. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x g(x) Zostrojíme graf: Z grafu vidíme, že funkcia g nenadobúda hodnotu nula pre nijaké x. Preto K = Ø.

12 Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník c) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie h:y = 9x + 6x + 1. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x ,5-0,3 h(x) ,5 0,01 Zostrojíme graf: Z grafu vidíme, že funkcia h nadobúda hodnotu nula pre číslo x väčšie ako -0,3, konkrétne pre 1 = 3 x. Preto K = 1 3 O správnosti riešenia sa presvedčte dosadením hodnoty do kvadratickej rovnice. d) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie i:y = 0,1x,3x +. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x: x i(x) 4,4-0, -, -4 7 Zostrojíme graf:.

13 Kvadratické funkcie, rovnice, 13. ročník Z grafu vidíme, že funkcia i nadobúda hodnotu nula pre číslo x z intervalu (0; 1) a pre číslo z intervalu (0; 5) Presné riešenie nám zatiaľ robí problémy. Ako vidíme, grafické riešenie kvadratických rovníc je pomerne náročné a nakoniec nám dáva len približné výsledky. Preto budeme hľadať iné možnosti riešenia kvadratických rovníc. Najprv si uvedieme rôzne typy kvadratických rovníc. Typy kvadratických rovníc Kvadratické rovnice nemusia mať všetky tri členy (teda kvadratický, lineárny a absolútny), v každom prípade musí obsahovať kvadratický člen. Kvadratickú rovnicu, ktorá má tvar ax + bx = 0, nazývame kvadratická rovnica bez absolútneho člena. Kvadratickú rovnicu, ktorá má tvar ax + c = 0, nazývame rýdzokvadratická rovnica. Riešenie kvadratickej rovnice bez absolútneho člena Kvadratickú rovnicu tvaru ax + bx = 0 môžeme riešiť nasledujúcim spôsobom: Rovnicu upravíme na súčinový tvar ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 Súčin dvoch čísel je rovný nule práve vtedy, keď aspoň jeden z činiteľov je rovný nule. V našom prípade musí platiť: x = 0 ax + b = 0 Jeden koreň rovnice x 1 = 0, druhý koreň dostávame po úprave b b x =. Preto K = 0, a a.

14 Kvadratické funkcie, rovnice, 14. ročník Riešte kvadratické rovnice: a) 4x x = 0 b) 3x + 5x = 0 a) Rovnicu 4x x = 0 upravíme na súčinový tvar x(x 1) = 0. Rovnica má riešenie práve vtedy, keď x = 0 alebo (x 1) = 0. K = 0;0,5. Potom x 1 = 0 a x = 0,5. Zapíšeme: { } b) Rovnicu 3x + 5x = 0 upravíme na súčinový tvar x(3x + 5) = 0. Rovnica má riešenie práve vtedy, keď x = 0 5 alebo 3x + 5 = 0. Potom x 1 = 0 a x =. Zapíšeme: 3 5 K = 0; 3. Riešenie rýdzokvadratickej rovnice Kvadratickú rovnicu tvaru ax + c = 0 môžeme riešiť nasledujúcim spôsobom (ukážeme na konkrétnych príkladoch): Riešte kvadratické rovnice: a) 4x 1 = 0 b) x + 16 = 0 a) 1. spôsob: Rovnicu 4x 1 = 0 môžeme upraviť na súčinový tvar (x 1) (x + 1) = 0... využili sme vzorec a b = (a b)(a+b) Vieme, že rovnica má riešenie, ak (x 1)=0 alebo (x + 1)=0. Preto x = 1 1 a x = 1. Zapíšeme: 1 1 K = ;

15 Kvadratické funkcie, rovnice, 15. ročník. spôsob: Rovnicu 4x 1 = 0 upravíme na tvar x = 4 1. Hľadáme čísla, ktorých druhá mocnina je rovná 4 1. Je to číslo x = ale aj x =. Je výhodnejšie používať prvý spôsob, pretože často na druhú možnosť (so záporným znamienkom) zabúdame. b) Rovnicu x + 16 = 0 nemôžeme upraviť na súčinový tvar. Preto použijeme druhý spôsob. Dostávame: x = -16. Hľadáme čísla, ktorých druhá mocnina je -16. Také čísla však neexistujú, a tak kvadratická rovnica nemá riešenie. O výsledku sa môžeme presvedčiť z grafu funkcie f: y = x + 16: Z obrázka vidíme, že graf nepretína x-ovú os, preto funkcia pre žiadne x nenadobúda hodnotu nula. Tieto postupy riešení sú vhodné len pre vybrané typy kvadratických funkcií. Ale ako sa riešia kvadratické rovnice so všetkými členmi?

16 Kvadratické funkcie, rovnice, 16. ročník Riešenie kvadratických rovníc Nájdeme algebraické riešenie kvadratickej rovnice ax + bx + c = 0. Vykonáme postupne tieto úpravy: ax + bx + c = 0 rozšírime rovnicu /.a a. ax + a. bx + a. c = 0 necháme na jednej strane členy s x a x + abx = - ac upravíme ľavú stranu na trojčlen (ax) b b +.ax + ax + b = - ac + ax + b = b b 4ac 4 b = - ac + ľavú stanu upravíme na súčin upravíme pravú stranu rovnice Zavedieme označenie D = b 4ac. Keďže ax + b je vždy nezáporné číslo, tak aj D musí byť nezáporné číslo. V prípade, že D<0, rovnica nemá riešenie. Teda dostávame: + b D D ax = pravú stranu rovnice zapíšeme v tvare 4, teda ax + b = D upravíme + b D ax - = 0 ľavú stranu rovnice rozložíme podľa vzťahu a b = (a b)(a + b), teda b D b D ax + = 0 ax + + Musí platiť: b D b D ax + = 0 alebo ax + + = 0, teda b D x a b D alebo x a a a čo môžeme upraviť na tvar

17 Kvadratické funkcie, rovnice, 17. ročník b + D x = alebo a b D x =. a Pre korene kvadratickej rovnice zavedieme označenie x 1, x. Ak D < 0, tak K = Ø. b Ak D = 0, tak K = a. b ± D Ak D > 0, tak K =, D = b 4ac. a Výraz D = b 4ac nazývame diskriminant kvadratickej rovnice ax + bx + c = 0. Už pri grafickom riešení kvadratickej rovnice sme videli, že rovnica môže mať dva, jeden alebo žiadny koreň. Túto skúsenosť sme aj algebraicky overili. Dosadením vypočítaných koreňov do rovnice numericky overíme správnosť výsledku. Riešte rovnicu x + 5x 3 = 0. Využijeme vzorec. Najprv si z rovnice určíme a, b, c. Vidíme, že a =, b = 5, c = -3. Vypočítame hodnotu diskriminantu: D = b 4ac = (-3) = = 49. Keďže D > 0, rovnica má dva korene. Dosadíme do vzorca x 1, = b ± a D = 5 ± 49 = 5 ± 7 4 = 1-3

18 Kvadratické funkcie, rovnice, 18. ročník 1 Zapíšeme K =, 3. Riešenia môžeme overiť dosadením do pôvodnej rovnice. Určte celé čísla, ktoré sú riešením rovnice (x - 4)(4x - 3) + 3 = 0. Najprv rovnicu upravíme na tvar kvadratickej rovnice: (x - 4)(4x - 3) + 3 = 0 4x 3x 16x = 0 4x 19x + 15 = 0 V danej rovnici a = 4, b = -19, c = 15. Vypočítame diskriminant: D = b 4ac = (-19) = = 11, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu x 1, b ± = a D 19 ± ± 11 = = = = Podľa zadania musíme určiť celé čísla, takže K = {1}. Vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice Skúsime nájsť vzťahy z algebraického riešenia kvadratickej rovnice ax + bx + c = 0. Vieme, že kvadratická rovnica má najviac dve riešenia, ktorých tvar je b ± D x1, = a Určíme x 1 + x : x 1 + x = b + a D b + a D b = = a b a

19 Kvadratické funkcie, rovnice, 19. ročník Určíme x 1. x : ( b 4ac) b + D b D b D b 4ac c x 1. x = = = = = a a 4a 4a 4a a Tieto vzťahy môžeme využiť pri riešení kvadratických rovníc. Každú kvadratickú rovnicu ax + bx + c = 0 vieme zapísať v tvare a(x x 1 )(x x ) = 0 s koreňmi x 1, x. Dvojčleny x x 1 a x x nazývame koreňové činitele. Výraz ax + bx + c nazývame kvadratický trojčlen. Rozložte kvadratický trojčlen x činiteľov. + x 6 na súčin koreňových Úlohu môžeme riešiť viacerými spôsobmi: 1.spôsob: Kvadratický trojčlen zapíšeme ako kvadratickú rovnicu x + x 6 = 0. Využijeme vzťahy pre určenie koreňov: a = 1, b = 1, c = -6. Vypočítame diskriminant: D = b 4ac = (-6) = = 5, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu b ± D 1± 5 1± 5 x 1, = = = = a 1-3 Kvadratický trojčlen x + x 6 = 0 zapíšeme ako súčin koreňových činiteľov a(x x 1 )(x x ) = (x ) (x + 3).

20 Kvadratické funkcie, rovnice, 0. ročník.spôsob: Využijeme vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi: b x 1 + x = a c x 1. x = a Po dosadení dostávame: 1 x 1 + x = x x = x 1. x = x1. x 1 = - 6 Určíme dvojice čísel, pre ktoré platí x 1. x = - 6. Vyhovujú dvojice: [1; -6], [-1; 6], [, -3], [-; 3]. Určíme, pre ktoré z nich zároveň platí x 1 + x = - 1. Pre dvojicu [1; -6] platí 1 6 = -5 nevyhovuje. Pre dvojicu [-1; 6] platí = 5 nevyhovuje. Pre dvojicu [; -3] platí 3 = -1 vyhovuje. Pre dvojicu [-; 3] platí = 1 nevyhovuje. Korene rovnice sú a -3, teda kvadratický trojčlen x + x 6 = 0 zapíšeme ako súčin koreňových činiteľov a(x x 1 )(x x ) = (x ) (x + 3). Rozložte kvadratický trojčlen x činiteľov. - 5x 3 na súčin koreňových 5 3 Kvadratický trojčlen najprv upravíme na tvar x x. Budeme upravovať trojčlen v zátvorke, pre ktorý a = 1, b = -,5, c = -1,5. Vypočítame diskriminant: D = b 4ac = (-,5) (-1,5) = 6,5 + 6 = 1,5, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu

21 Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník b ± D,5 ± 1,5,5 ± 3,5 x 1, = = = = 3 a 1-0,5 Kvadratický trojčlen x - 5x 3 upravíme na súčin: (x 3) (x + 0,5). O správnosti sa presvedčíme opätovným roznásobením: (x + 0,5x 3x 1,5) = (x,5x 1,5) =x 5x 3. Kvadratické Všetky tvaru ax + bx + c < 0 ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c 0 pričom a, b, c sú reálne čísla a a 0, x neznáma, sa nazývajú kvadratické. Kvadratické riešime podobne ako kvadratické rovnice, len pri riešení využívame graf kvadratickej funkcie. Riešte nerovnicu: x + x 6 > 0. Kvadratickú nerovnicu zapíšeme ako kvadratickú rovnicu x + x 6 = 0. Korene tejto rovnice sú a -3. Zakreslíme graf kvadratickej funkcie f: y = x + x 6,

22 Kvadratické funkcie, rovnice,. ročník My potrebuje zistiť, pre ktoré x sú hodnoty funkcie kladné. Z obrázka vidieť, že: Teda riešením x + x 6 > 0 sú intervaly ( ; 3) a ( ; ) Zapíšeme: K = ( ; 3) ( ; )..

23 Kvadratické funkcie, rovnice, 3. ročník Riešte nerovnicu: x + x 6 0. Postupujeme podľa predchádzajúceho príkladu. Dostávame graf: Z grafu vyplýva, že = 3; K.